poincaré intuition mathématiques

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DU ROLE DE L'INTUITION ET DE LA LOGIQUE EN MATHÉMATIQUES, PAR M. HENRI POINCARÉ (PARIS). I. Il est impossible d'étudier les Œuvres des grands mathématiciens, et même celles des petits, sans remarquer et sans distinguer deux tendances opposées, ou plutôt deux sortes d'esprits entièrement différents. Les uns sont avant tout préoccupés de la logique; à lire leurs Ouvrages, on est tenté de croire qu'ils n'ont avancé que pas à pas, avec la méthode d'un Vauban qui pousse ses travaux d'approche contre une place forte, sans rien abandonner au hasard. Les autres se laissent guider par l'intuition et font du premier coup des con- quêtes rapides, mais quelquefois précaires, ainsi que de hardis cava- liers d'avant-gardc. Ce n'est pas la matière qu'ils traitent qui leur impose l'une ou l'autre méthode. Si l'on dit souvent des premiers qu'ils sont des analysteselsiVou appelle les autres géomètres, cela n'empêche pas que les uns restent analystes, même quand ils font de la Géométrie, tandis que les autres sont encore des géomètres, même s'ils s'occu- pent d'Analyse pure. C'est la nature même de leur esprit qui les fait logiciens ou intuitifs, et ils ne peuvent la dépouiller quand ils abordent un sujet nouveau.

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Poincaré Intuition Mathématiques

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  • DU ROLE

    DE L'INTUITION ET DE LA LOGIQUEEN MATHMATIQUES,

    PAR M. H E N R I P O I N C A R ( P A R I S ) .

    I.

    Il est impossible d'tudier les uvres des grands mathmaticiens,et mme celles des petits, sans remarquer et sans distinguer deuxtendances opposes, ou plutt deux sortes d'esprits entirementdiffrents. Les uns sont avant tout proccups de la logique; lireleurs Ouvrages, on est tent de croire qu'ils n'ont avanc que pas pas, avec la mthode d'un Vauban qui pousse ses travaux d'approchecontre une place forte, sans rien abandonner au hasard. Les autresse laissent guider par l'intuition et font du premier coup des con-qutes rapides, mais quelquefois prcaires, ainsi que de hardis cava-liers d'avant-gardc.

    Ce n'est pas la matire qu'ils traitent qui leur impose l'une oul'autre mthode. Si l'on dit souvent des premiers qu'ils sont desanalysteselsiVou appelle les autres gomtres, cela n'empche pasque les uns restent analystes, mme quand ils font de la Gomtrie,tandis que les autres sont encore des gomtres, mme s'ils s'occu-pent d'Analyse pure. C'est la nature mme de leur esprit qui lesfait logiciens ou intuitifs, et ils ne peuvent la dpouiller quand ilsabordent un sujet nouveau.

  • IlG SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNIC\TIONS.

    Ce n'est pas non plus l'ducation qui a dvelopp en eux l'une desdeux tendances et qui a touff l'autre. On nat mathmaticien, onne le devient pas, et il semble aussi qu'on nat gomtre, ou qu'onnat analyste.

    Je voudrais citer des exemples et certes ils ne manquent pas ; maispour accentuer le contraste, je voudrais commencer par un exempleextrme; pardon, si je suis oblig de le chercher auprs de deux ma-thmaticiens vivants.

    M. Mray veut dmontrer qu'une quation binme a toujoursune racine. S'il est une vrit que nous croyons connatre par intui-tion directe, c'est bien celle-l. Qui doutera qu'un angle peut tou-jours tre partag en un nombre quelconque de parties gales?M. Mray n'en juge pas ainsi; ses yeux, cette proposition n'estnullement vidente et pour la dmontrer, il lui faut plusieurs pages.

    Voyez au contraire M. Klein : il tudie une des questions les plusabstraites de la thorie des fonctions; il s'agit de savoir si sur unesurface de lliemann donne, il existe toujours une fonction admet-tant des singularits donnes : par exemple deux points singulierslogarithmiques avec des rsidus gaux et de signe contraire. Quefait le clbre gomtre allemand? Il remplace sa surface de Rie-mann par une surface mtallique dont la conductibilit lectriquevarie suivant certaines lois. Il met les deux points logarithmiques encommunication avec les deux ples d'une pile. Il faudra bien que locourant passe, et la faon dont ce courant sera distribu sur la sur-face dfinira une fonction dont les singularits seront prcismentcelles qui sont prvues par l'nonc.

    Sans doute, M. Klein sait bien qu'il n'a donn l qu'un aperu :toujours est-il qu'il n'a pas hsit le publier; et il croyait proba-blement y trouver sinon une dmonstration rigoureuse, du moins jene sais quelle certitude morale. Un logicien aurait rejet avec hor-reur une semblable conception, ou plutt il n'aurait pas eu larejeter, car dans son esprit elle n'aurait jamais pu natre.

    Permettez-moi encore de comparer deux hommes, dont l'unvient tout rcemment de nous tre enlev par la mort, dont l'autre

  • II. POINCAR. DU ROLE DE L'iNTUITION ET DE IA LOGIQUE EN MATHMATIQUES. HJ

    est encore noire doyen vnr, mais qui tous deux sont depuislongtemps entrs dans l'immortalit. Je veux parler de M. Bertrandet de M. Hermite. Ils ont t lves de la mme cole et en mmetemps; ils ont subi la mme ducation, les mmes influences; etpourtant quelle divergence ; ce n'est pas seulement dans leurs critsqu'on la voit clater; c'est dans leur enseignement, dans leur faonde parler, dans leur aspect mme. Dans la mmoire de tous leurslves, ces deux physionomies se sont graves en traits ineffaables ;pour la plupart d'entre nous qui avons eu le bonheur de suivre leursleons, ce souvenir est encore tout rcent; il nous est ais del'voquer.

    Tout en parlant, M. Bertrand est toujours en action; tantt ilsemble aux prises avec quelque ennemi extrieur, tantt il dessined'un geste de la main les figures qu'il tudie. Evidemment, il voitet il cherche peindre, c'est pour cela qu'il appelle le geste sonsecours. Pour M. Hermite, c'est tout le contraire; ses yeux sem-blent fuir le contact du monde; ce n'est pas au dehors, c'est audedans qu'il cherche la vision de la vrit.

    Parmi les gomtres allemands de ce sicle, deux noms surtoutsont illustres ; ce sont ceux des deux savants qui ont fond la thoriegnrale des fonctions, Weierstrass et Riemann. Weierstrass ra-mne tout la considration des sries et leurs transformationsanalytiques; pour mieux dire, il rduit l'Analyse une sorte deprolongement de l'Arithmtique ; on peut parcourir tous ses Livressans y trouver une figure. Riemann, au contraire, appelle tout desuite la Gomtrie son secours, chacune de ses conceptions estune image que nul ne peut oublier ds qu'il en a compris le sens.

    Plus rcemment, Lie tait un intuitif; on aurait pu hsiter enlisant ses Ouvrages, on n'hsitait plus aprs avoir caus avec lui;on voyait tout de suite qu'il pensait en images. Mme Kowalevskitait une logicienne.

    Chez nos tudiants, nous remarquons les mmes diffrences; lesuns aiment mieux traiter leurs problmes par l'Analyse , lesautres par la Gomtrie . Les premiers sont incapables de voir

  • llS SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNICATIONS.

    dans l'espace , les autres se lasseraient promptement des longscalculs et s'y embrouilleraient.

    Les deux sortes d'esprits sont galement ncessaires aux progrsde la Science; les logiciens, comme les intuitifs, ont fait de grandeschoses que les autres n'auraient pas pu faire. Qui oserait dire s'il

    . aimerait mieux que Weierstrass n'et jamais crit, ou s'il prf-rerait qu'il n'y et pas eu de Riemann? L'Analyse et la Synthseont donc toutes deux leur rle lgitime. Mais il est intressantd'tudier de plus prs quelle est dans l'histoire de la Science la partqui revient l'une et l'autre.

    IL

    Chose curieuse ! Si nous relisons les uvres des anciens, nousserons tents de les classer tous parmi les intuitifs. Et pourtant lanature est toujours la mme, il est peu probable qu'elle ait com-menc seulement dans ce sicle crer des esprits amis de lalogique.

    Si nous pouvions nous replacer dans le courant des ides quirgnaient de leur temps, nous reconnatrions que beaucoup de cesvieux gomtres taient analystes par leurs tendances. Euclide, parexemple, a lev un chafaudage savant o ses contemporains nepouvaient trouver de dfaut. Dans cette vaste construction, dontchaque pice, pourtant, est due l'intuition, nous pouvons encoreaujourd'hui sans trop d'efforts reconnatre l'uvre d'un logicien.

    Ce ne sont pas les esprits qui ont chang, ce sont les ides; lesesprits intuitifs sont rests les mmes; mais leurs lecteurs ont exigd'eux plus de concessions.

    Quelle est la raison de cette volution?Il n'est pas difficile de le dcouvrir. L'intuition ne peut nous

    donner la rigueur, ni mme la certitude, on s'en est aperu de plusen plus.

    Citons quelques exemples. Nous savons qu'il existe des fonctionscontinues dpourvues de drives. Rien de plus choquant pour Fin-

  • H. POINCAR. DU ROLE DE L'INTUITION ET DE LA LOGIQUE EX MATHMATIQUES. IIC)

    tuition que cette proposition qui nous est impose par la logique.Nos pres n'auraient pas manqu de dire : II est vident que toutefonction continue a une drive, puisque toute courbe a une tan-gente. ))

    Gomment l'intuition peut-elle nous tromper ce point? C'est quequand nous cherchons imaginer une courbe, nous ne pouvons pasnous la reprsenter sans paisseur; de mme, quand nous nous re-prsentons une droite, nous la voyons sous la forme d'une banderectilignc d'une certaine largeur. Nous savons bien que ces lignesn'ont pas d'paisseur; nous nous efforons de les imaginer de plusen plus minces et de nous rapprocher ainsi de la limite ; nous y par-venons dans une certaine mesure, mais nous n'atteindrons jamaiscette limite.

    Et alors il est clair que nous pourrons toujours nous reprsenterces deux rubans troits, l'un rectiligne, l'autre curviligne, dans une

    Fig. i.

    position telle qu'ils empitent lgrement l'un sur l'autre sans setraverser (fg. T).

    Nous serons ainsi amens, moins d'tre avertis par une analyserigoureuse, conclure qu'une courbe a toujours une tangente.

    Je prendrai comme second exemple le principe de Dirichlet; ons'est content d'abord d'une dmonstration sommaire. Une certaine

    , intgrale dpendant d'une fonction arbitraire ne peut jamais s'an-nuler. On en conclut qu'elle doit avoir un minimum. Le dfaut dece raisonnement nous apparat immdiatement parce que nous em-ployons le terme abstrait de fonction et que nous sommes familia-riss avec toutes les singularits que peuvent prsenter les fonctionsquand on entend ce mot dans le sens le plus gnral.

  • 120 SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNICATIONS.

    Mais il n'en serait pas de mme si Ton s'tait servi d'images con-crtes, si l'on avait par exemple considr cette fonction comme unpotentiel lectrique; on aurait pu croire lgitime d'affirmer quel'quilibre lectrostatique peut tre atteint. Peut-tre cependant unecomparaison physique aurait veill quelques vagues dfiances. Maissi l'on avait pris soin de traduire le raisonnement dans le langagede la Gomtrie, intermdiaire entre celui de l'Analyse et celui deJa Physique, ces dfiances ne se seraient sans doute pas produites,cl peut-tre pourrait-on ainsi, mme aujourd'hui, tromper encorebien des lecteurs non prvenus.

    L'intuition ne nous donne donc pas la certitude. Voil pourquoil'volution devait se faire; voyons maintenant comment elle s'estfaite.

    On n'a pas tard s'apercevoir que la rigueur ne pourrait pass'introduire dans les raisonnements, si on ne la faisait entrer d'aborddans les dfinitions.

    Longtemps les objets dont s'occupent les mathmaticiens taientpour la plupart mal dfinis; on croyait les connatre parce qu'on seles reprsentait avec les sens ou l'imagination; mais on n'en avaitqu'une image grossire et non une ide prcise sur laquelle le rai-sonnement put avoir prise.

    C'est l d'abord que les logiciens ont d porter leurs efforts.Ainsi pour le nombre incommensurable.

    L'ide vague de continuit, que nous devions l'intuition, s'estrsolue en un systme compliqu d'ingalits portant sur des nombresentiers.

    Par l les difficults provenant des passages la limite, ou de laconsidration des infiniment petits, se sont trouves dfinitivementclair cics.

    Il ne reste plus aujourd'hui en Analyse que des nombres entiersou des systmes finis ou infinis de nombres entiers, relis entre euxpar un rseau de relations d'galit ou d'ingalit.

    Les Mathmatiques, comme on l'a dit, se sont arithmtises.

  • II. POINCAR. DIT ROLE DE L'INTUITION ET DE LA LOGIQUE EX MATHMATIQUES. 121

    III.

    Une premire question se pose. Cette volution est-elle termine?Avons-nous atteint enfin la rigueur absolue? A chaque stade cl

    l'volution nos pres croyaient aussi l'avoir atteinte. S'ils se trom-paient, ne nous trompons-nous pas comme eux?

    Nous croyons dans nos raisonnements ne plus faire appel l'in-tuition; les philosophes nous diront que c'est l une illusion. Lalogique toute pure ne nous mnerait jamais qu' des tautologies ; ellene pourrait crer du nouveau; ce n'est pas d'elle toute seule qu'au-cune science peut sortir.

    Ces philosophes ont raison dans un sens; pour faire l'Arithm-tique, comme pour faire la Gomtrie, ou pour faire une sciencequelconque, il faut autre chose que la logique pure. Cette autrechose, nous n'avons pour la dsigner d'autre mot que celui *intui-tion. Mais combien d'ides diffrentes se cachent sous ce mmemot?

    Comparons ces quatre axiomes :

    i Deux quantits gales une troisime sont gales entre elles.2 Si un thorme est vrai du nombre i et si l'on dmontre qu'il

    'est vrai de n -h T, pourvu qu'il le soit de /i, il sera vrai de tous lesnombres entiers.

    3 Si sur une droite le point G est entre A et B et le point D entreA et C, le point sera entre A et B.

    4 Par un point on ne peut mener qu'une parallle une droite.

    Tous quatre doivent tre attribus l'intuition, et cependant lepremier est l'nonc d'une des rgles de la logique formelle; lesecond est un vritable jugement synthtique a priori, c'est le fon-dement de l'induction mathmatique rigoureuse; le troisime est unappel l'imagination ; le quatrime est une dfinition dguise.

    L'intuition n'est pas forcment fonde sur le tmoignage des sens;les sens deviendraient bientt impuissants; nous ne pouvons par

  • 122 SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNICATIONS.

    exemple nous reprsenter le chilogone et cependant nous raisonnonssouvent par intuition sur les polygones en gnral, qui comprennentle chilogone comme cas particulier.

    Vous savez ce que Poncelet entendait par le principe de conti-nuit. Poncelet tait l'un des esprits les plus intuitifs de ce sicle; ill'tait avec passion, presque avec ostentation; il regardait le principede continuit comme une de ses conceptions les plus hardies, etcependant ce principe ne reposait pas sur le tmoignage des sens ;c'tait plutt contredire ce tmoignage que d'assimiler l'hyperbole l'ellipse. Il n'y avait l qu'une sorte de gnralisation htive etinstinctive que je ne veux d'ailleurs pas dfendre.

    Nous avons donc plusieurs sortes d'intuitions; d'abord, l'appelaux sens et l'imagination; ensuite, la gnralisation par induction,calque, pour ainsi dire, sur les procds des sciences exprimen-tales; nous avons enfin l'intuition du nombre pur, celle d'o estsorti le second des axiomes que j'nonais tout l'heure et qui peutengendrer le vritable raisonnement mathmatique.

    Les deux premires ne peuvent nous donner la certitude, je l'aimontr plus haut par des exemples ; mais qui doutera srieusementde la troisime, qui doutera de l'Arithmtique"?

    Or, dans l'Analyse d'aujourd'hui, quand on veut se donner lapeine d'tre rigoureux, il n'y a plus que des syllogismes ou desappels cette intuition du nombre pur, la seule qui ne puisse noustromper. On peut dire qu'aujourd'hui la rigueur absolue est atteinte.

    IV.

    Les philosophes font encore une autre objection : Ce que vousgagnez en rigueur, disent-ils, vous le perdez en objectivit. Vousne pouvez vous lever vers votre idal logique qu'en coupant lesliens qui vous rattachent la ralit. Votre Science est impeccable,mais elle ne peut le rester qu'en s'enfermant dans une tour d'ivoireet en s'interdisant tout rapport avec le monde extrieur. Il faudrabien qu'elle en sorte ds qu'elle voudra tenter la moindre appli-cation.

  • II. POINCAR. DU ROLE DE I/INTUITION ET DE LA LOGIQUE EN MATHMATIQUES. 123

    Je veux dmontrer, par exemple, que telle proprit appartient tel objet dont la notion me semble d'abord indfinissable parcequ'elle est intuitive. J'choue d'abord ou je dois me contenter dodmonstrations par peu prs; je me dcide enfin donner monobjet une dfinition prcise, ce qui me permet d'tablir cette pro-prit d'une manire irrprochable.

    Et aprs, disent les philosophes, il reste encore montrer quel'objet qui rpond cette dfinition est bien le mme que l'intuitionvous avait fait connatre ; ou bien encore que tel objet rel et concretdont vous croyiez reconnatre immdiatement la conformit avecvotre ide intuitive, rpond bien votre dfinition nouvelle. C'estalors seulement que vous pourrez affirmer qu'il jouit de la propriten question. Vous n'avez fait que dplacer la difficult.

    Cela n'est pas exact; on n'a pas dplac la difficult, on l'adivise. La proposition qu'il s'agissait d'tablir se composait enralit de deux vrits diffrentes, mais que l'on n'avait pas distin-gues tout d'abord. La premire tait une vrit mathmatique etelle est maintenant rigoureusement tablie. La seconde tait unevrit exprimentale. L'exprience seule peut nous apprendre quetel objet rel et concret rpond ou ne rpond pas telle dfinitionabstraite. Cette seconde vrit n'est pas dmontre mathmatique-ment, mais elle ne peut pas l'tre, pas plus que ne peuvent l'tre leslois empiriques des Sciences physiques et naturelles. Il serait drai-sonnable de demander davantage.

    Eh bien, n'est-ce pas un grand progrs d'avoir distingu ce qu'oavait longtemps confondu tort?

    Est-ce dire qu'il n'y ait rien retenir de cette objection desphilosophes? Ce n'est pas cela que je veux dire; en devenant rigou-reuse, la Science mathmatique prend un caractre artificiel quifrappera tout le monde; elle oublie ses origines historiques; on voitcomment les questions peuvent se rsoudre, on ne voit plus commentet pourquoi elles se posent.

    Cela nous montre que la logique ne suffit pas; que la Science dela dmonstration n'est pas la Science tout entire et que l'intuition

  • r>4 SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNICATIONS.

    doit conserver son rle comme complment, j'allais dire commecontrepoids ou comme contrepoison de la logique.

    Dans VEnseignement mathmatique, cette Revue cre parM. Laisant et qui commence tre bien connue du monde savant,j'ai dj eu l'occasion d'insister sur la place que doit garder l'intui-lion dans l'enseignement des Sciences mathmatiques. Sans elle, lesjeunes esprits ne sauraient s'initier l'intelligence des Mathma-tiques; ils n'apprendraient pas les aimer et n'y verraient qu'unevaine logomachie; sans elle surtout, ils ne deviendraient jamaiscapables de les appliquer.

    Mais aujourd'hui, c'est avant tout du rle de l'intuition dans laScience elle-mme que je voudrais parler. Si elle est utile l'tu-diant, elle Test plus encore au savant crateur.

    V.

    Nous cherchons la ralit, mais qu'est-ce que la ralit?Les physiologistes nous apprennent que les organismes sont for-

    ms de cellules; les chimistes ajoutent que les cellules elles-mmessont formes d'atomes. Cela veut-il dire que ces atomes ou que cescellules constituent la ralit ou du moins la seule ralit ? La faondont ces cellules sont agences et d'o rsulte l'unit de l'individu,n'est-elle pas aussi une ralit, beaucoup plus intressante que celledes lments isols, et un naturaliste qui n'aurait jamais tudil'lphant qu'au microscope croirait-il connatre suffisamment cetanimal ?

    Eh bien, en Mathmatiques, il y a quelque chose d'analogue. Lelogicien dcompose pour ainsi dire chaque dmonstration en un trsgrand nombre d'oprations lmentaires; quand on aura examinces oprations les unes aprs les autres et qu'on aura constat quechacune d'elles est correcte, croira-t-on avoir compris le vritablesens de la dmonstration ? L'aura-t-on compris mme quand, parun effort de mmoire, on sera devenu capable de rpter cette d-monstration en reproduisant toutes ces oprations lmentaires dansl'ordre mme o les avait ranges l'inventeur ?

  • II. POINCAR. DU ROLE DE I/INTUITION ET DE LA LOGIQUE EN MATHMATIQUES. I2>

    videmment non, nous ne possderons pas encore la ralit toutentire, ce je ne sais quoi qui fait l'unit de la dmonstration nouschappera compltement.

    Dans ces difices compliqus levs par les matres de la Sciencemathmatique, il ne suffit pas de constater la solidit de chaquepartie et d'admirer l'uvre du maon, il faut comprendre le plande l'architecte.

    Or, pour comprendre un plan, il faut en apercevoir la foistoutes les parties, et le moyen de tout embrasser dans un coup d'ild'ensemble, c'est l'intuition seule qui peut nous le donner.

    L'Analyse pure met notre disposition une foule de procds dontelle nous garantit l'infaillibilit; elle nous ouvre mille chemins diff-rents o nous pouvons nous engager en toute confiance; noussommes assurs de n'y pas rencontrer d'obstacles; mais, de tous ceschemins, quel est celui qui nous mnera le plus promptement aubut? Qui nous dira lequel il faut choisir? Il nous faut une facultqui nous fasse voir le but de loin, et, cette facult, c'est l'intuition.Elle est ncessaire l'explorateur pour choisir sa route, elle ne l'estpas moins celui qui marche sur ses traces et qui veut savoir pour-quoi il l'a choisie.

    Si vous assistez une partie d'checs, il ne vous suffira pas, pourcomprendre la partie, de savoir les rgles de la marche des pices.Cela vous permettrait seulement de reconnatre que chaque coup at jou conformment ces rgles et cet avantage aurait vraimentbien peu de prix. C'est pourtant ce que ferait le lecteur d'un livre deMathmatiques, s'il n'tait que logicien. Comprendre la partie, c'esttout autre chose; c'est savoir pourquoi le joueur avance telle piceplutt que telle autre qu'il aurait pu faire mouvoir sans violer lesrgles du jeu. C'est apercevoir la raison intime qui fait de cette sriede coups successifs une sorte de tout organis. A plus forte raison,cette facult est-elle ncessaire au joueur lui-mme, c'est--dire l'inventeur.

    Laissons l cette comparaison et revenons aux Mathmatiques.Voyons ce qui est arriv, par exemple, pour l'ide de fonction

  • 120 SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNICATIONS.

    conlinue. Au dbut, ce n'tait qu'une image sensible, par exemple,celle d'un trait continu trac la craie sur un tableau noir. Puis elles'est pure peu peu, bientt on s'en est servi pour construire unsystme compliqu d'ingalits, qui reproduisait pour ainsi diretoutes les lignes de l'image primitive; quand cette construction a ttermine, on a dcintr, pour ainsi dire, on a rejet cette reprsen-tation grossire qui lui avait momentanment servi d'appui et quitait dsormais inutile; il n'est plus rest que la construction elle-mme, irrprochable aux yeux du logicien. Et cependant si l'imageprimitive avait totalement disparu de notre souvenir, commentdevinerions-nous par quel caprice toutes ces ingalits se sont cha-faudes de cette faon les unes sur les autres ?

    Vous trouverez peut-tre que j'abuse des comparaisons; passez-m'en cependant encore une. Vous avez vu sans doute ces assem-blages dlicats d'aiguilles siliceuses qui forment le squelette de cer-taines ponges. Quand la matire organique a disparu, il ne restequ'une frle et lgante dentelle. Il n'y a l, il est vrai, que de lasilice, mais, ce qui est intressant, c'est la forme qu'a prise cettesilice, et nous ne pouvons la comprendre si nous ne connaissonspas l1 ponge vivante qui lui a prcisment imprim cette forme.C'est ainsi que les anciennes notions intuitives de nos pres, mmelorsque nous les avons abandonnes, impriment encore leur formeaux chafaudages logiques que nous avons mis leur place.

    Cette vue d'ensemble est ncessaire l'inventeur; elle est nces-saire galement celui qui veut rellement comprendre l'inventeur;la logique peut-elle nous la donner?

    Non; le nom que lui donnent les mathmaticiens suffirait pourle prouver. En Mathmatiques, la logique s'appelle Analyse et ana-lyse veut dire division, dissection. Elle ne peut donc avoir d'autreoutil que le scalpel et le microscope.

    Ainsi, la logique et l'intuition ont chacune leur rle ncessaire.Toutes deux sont indispensables. La logique qui peut seule donnerla certitude est l'instrument de la dmonstration: l'intuition est l'in-strument de l'invention.

  • H. POINCAR. DU ROLE DE L'INTUITION ET DE LA. LOGIQUE EN MATHMATIQUES. 127

    VI.

    Mais, au moment de formuler cette conclusion, je suis pris d'unscrupule.

    Au dbut, j'ai distingu deux sortes d'esprits mathmatiques, lesuns logiciens et analystes, les autres intuitifs et gomtres. Eh bien,les analystes aussi ont t des inventeurs. Les noms que j'ai citstout l'heure me dispensent d'insister.

    Il y a l une contradiction au moins apparente qu'il est ncessaired'expliquer.

    Croit-on d'abord que ces logiciens ont toujours procd du gn-ral au particulier, comme les rgles de la logique formelle semblaientles y obliger? Ce n'est pas ainsi qu'ils auraient pu tendre les fron-tires de la Science; on ne peut faire de conqute scientifique quepar la gnralisation.

    Dans un travail imprim dans la Revue de Mtaphysique et deMorale, j'ai eu l'occasion d'tudier la nature du raisonnementmathmatique et j'ai montr comment ce raisonnement, sanscesser d'tre absolument rigoureux, pouvait nous lever du parti-culier au gnral par un procd que j'ai appel Vinductioi ma-thmatique.

    C'est par ce procd que les analystes ont fait progresser laScience et si l'on examine le dtail mme de leurs dmonstrations,on l'y retrouvera chaque instant ct du syllogisme classiqued'Aristote.

    Nous voyons donc dj que les analystes ne sont pas simplementdes faiseurs de syllogismes la faon des scholastiques.

    Croira-t-on, d'autre part, qu'ils ont toujours march pas passans avoir la vision du but qu'ils voulaient atteindre? Il a bien falluqu'ils devinassent le chemin qui y conduisait, et pour cela ils ont eubesoin d'un guide.

    Ce guide, c'est d'abord l'analogie.

  • 128 SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNICATIONS.

    Par exemple, un des raisonnements chers aux analystes est celuiqui est fond sur l'emploi des fonctions majorantes. On sait qu'il adj servi rsoudre une foule de problmes; en quoi consiste alorsle rle de l'inventeur qui veut l'appliquer un problme nouveau?Il faut d'abord qu'il reconnaisse l'analogie de cette question aveccelles qui ont dj t rsolues par cette mthode; il faut ensuitequ'il aperoive en quoi cette nouvelle question diffre des autres, etqu'il en dduise les modifications qu'il est ncessaire d'apporter lamthode.

    Mais comment aperoit-on ces analogies et ces diffrences?Dans l'exemple que je viens de citer, elles sont presque toujours

    videntes, mais j'aurais pu en trouver d'autres o elles auraient tbeaucoup plus caches; souvent il faut pour les dcouvrir une per-spicacit peu commune.

    Les analystes, pour ne pas laisser chapper ces analogies caches,c'est--dire pour pouvoir tre inventeurs, doivent, sans le secoursdes sens et de l'imagination, avoir le sentiment direct de ce qui faitl'unit d'un raisonnement, de ce qui en fait pour ainsi dire l'me etla vie intime.

    Causez avec M. Hermite ; jamais il n'voquera une image sensible,et pourtant vous vous apercevrez bientt que les entits les plusabstraites sont pour lui comme des tres vivants. Il ne les voit pas,mais il sent qu'elles ne sont pas un assemblage artificiel, et qu'ellesont je ne sais quel principe d'unit interne.

    Mais, dira-t-on, c'est l encore de l'intuition. Conclurons-nousque la distinction faite au dbut n'tait qu'une apparence, qu'il n'ya qu'une sorte d'esprits et que tous les mathmaticiens sont desintuitifs, du moins ceux qui sont capables d'inventer?

    Non, notre distinction correspond quelque chose de rel. J'aidit plus haut qu'il y a plusieurs espces d'intuition. J'ai dit combienl'intuition du nombre pur, celle d'o peut sortir l'induction math-matique rigoureuse, diffre de l'intuition sensible dont l'imaginationproprement dite fait tous les frais.

    L'abme qui les spare est-il moins profond qu'il ne parat d'abord ?

  • H. POINGR. DU ROLE DE L'INTUITION ET DE LA LOGIQUE EN MATHMATIQUES. I2g

    Reconnatrait-on avec un peu d'attention que cette intuition pureelle-mme ne saurait se passer du secours des sens? C'est l l'affairedu psychologue et du mtaphysicien et je ne discuterai pas cettequestion.

    Mais il sufft que la chose soit douteuse pour que je sois en droitde reconnatre et d'affirmer une divergence essentielle entre les deuxsortes d'intuition ; elles n'ont pas le mme objet et semblent mettreen jeu deux facults diffrentes de notre me; on dirait de deuxprojecteurs braqus sur deux mondes trangers l'un l'autre.

    C'est l'intuition du nombre pur, celle des formes logiques puresqui claire et dirige ceux que nous avons appels analystes.

    C'est elle qui leur permet non seulement de dmontrer, maisencore d'inventer. C'est par elle qu'ils aperoivent d'un coup d'ille plan gnral d'un difice logique, et cela sans que les sensparaissent intervenir.

    En rejetant le secours de rimagination, qui, nous Favons vu, n'estpas toujours infaillible, ils peuvent avancer sans crainte de se trom-per. Heureux donc ceux qui peuvent se passer de cet appui! Nousdevons les admirer, mais combien ils sont rares!

    Parmi les analystes, il y aura donc des-inventeurs, mais il y enaura peu.

    La plupart d'entre nous, s'ils voulaient voir de loin par la seuleintuition pure, se sentiraient bientt pris de vertige. Leur faiblessea besoin d'un bton plus solide et, malgr les exceptions dont nousvenons dparier, il n'en reste pas moins vrai que l'intuition sensibleest en Mathmatiques l'instrument le plus ordinaire de l'invention.A propos des dernires rflexions que je viens de faire, une ques-tion se pose que je n'ai le temps, ni de rsoudre, ni mme d'nonceravec les dveloppements qu'elle comporterait.

    Y a-t-il lieu de faire une nouvelle coupure et cl distinguer parmiles analystes ceux qui se servent surtout de cette intuition pure etceux qui se proccupent d'abord de la logique formelle?

    M. Hermite, par exemple, que je citais tout l'heure, ne peultre class parmi les gomtres qui font usage de l'intuition sensible;

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  • l3o SECONDE PARTIE. CONFRENCES ET COMMUNICATIONS.

    mais il n'est pas non plus un logicien proprement dit. Il ne cachepas sa rpulsion pour les procds purement dductifs qui parlentdu gnral pour aller au particulier.

    Je ne puis que soumettre ce nouveau sujet vos mditations ; carl'heure nous presse, et cette confrence est dj trop longue.