vibroacoustique des structures planesperso.univ-lemans.fr/~jcpascal/cours/ensim3a_master2... ·...

VIBROACOUSTIQUE DES

STRUCTURES PLANES

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE

PLAQUE INFINIE

4 - RAYONNEMENT D'UNE PLAQUE RECTANGULAIRE

5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

Transparence acoustique:CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

� Rayonnement acoustique

��Transparence acoustiqueTransparence acoustique

milieu 2milieu 2

Plaque mince

milieu 1milieu 1

z

( )yxw ,

( )zyxp ,,2( )zyxp ,,1

111 ,, kcρ 222 ,, kcρ

( ) ( )+− == 0,,0,, 21 yxuvyxu zz

Transparence acoustique d’une plaque infinie

Milieu 1 : ondes acoustiques

Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

Plaque : déplacement du aux ondes de flexion


( ) ( ) 0,,,, 1211

2 =+∇ zyxpkzyxp

( )( )yxw

z

zyxp

z

,,,

12

0

1 ρω=∂

∂

=


( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,, 2124 yxpyxpyxwhyxwD −=−∇ ρω

( )( )yxw

z

zyxp

z

,,,

22

0

2 ρω=∂

∂

=

( ) ( ) 0,,,, 2222

2 =+∇ zyxpkzyxp



Onde plane incidente : angles et

( ) ( ) 0,,,, 1211

2 =+∇ zyxpkzyxp

( )

( ) θ

θφθφθ ω

cos

coscossinsinsininc

,

,,,

jkz

jkzjkyjkx

eyxp

ckePzyxp

−

−−−

=

==

ϕθ

Ondes planes incidente + réfléchie

( ) ( ) [ ]θθ coscos1 ,,, jkzjkz

eReyxpzyxp += −

Continuité des vitesses …. ( ) ( ) zjkzeTyxpzyxp−=⇒ ,,,2

( ) θ222222 sinkkkkkk tyxtz −=+−=t

tc

kω

=


Toujours propagative

kkt =θθ =t

Onde transmiseOnde transmise)( cckk tt ==

ttkk θθ sinsin =c

c

k

k t

k

t

θθθ

sinarcsin

sinarcsin ==


fréquence

critique

k

fk


Onde transmiseOnde transmise

ttkk θθ sinsin =c

c

k

k t

k

t

θθθ

sinarcsin

sinarcsin ==

Toujours propagative

max0 θθ ≤≤ t

c

c

k

k t

t

arcsinarcsinmax ==θ

)( cckk tt <>

tk

k


Onde transmiseOnde transmise

ttkk θθ sinsin =c

c

k

k t

k

t

θθθ

sinarcsin

sinarcsin ==

Evanescente Evanescente )sin( θkk t <

Propagative )sin( θkk t >

ktk

)( cckk tt ><

20

πθ ≤≤ t

t

t

LIMc

c

k

karcsinarcsin ==θ

VIBROACOUSTIQUE DES

STRUCTURES PLANES


PLAQUE INFINIE



CAS D'UNE PLAQUE FINIE

� Rayonnement acoustiqueRayonnement acoustique

�Transparence acoustique

milieu 2milieu 2

Plaque mince

milieu 1milieu 1

z

( )yxw ,

( )zyxp ,,2( )zyxp ,,1

111 ,, kcρ 222 ,, kcρ

( ) ( )+− == 0,,0,, 21 yxuvyxu zz

( ){ } 0,CL =yxwConditions aux limites

PLAQUE FINIE



Plaque : déplacement du aux ondes de flexion


( ) ( ) 0,,,, 1211

2 =+∇ zyxpkzyxp

( )( )

=∂

∂

= Syxwz

zyxp

z sur,

ailleurs0,,

12

0

1

ρω


( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,,, 2124

yxpyxpyxFyxwhyxwD −+=−∇ ρω

( ) ( ) 0,,,, 2222

2 =+∇ zyxpkzyxp

( )( )

=∂

∂

= Syxwz

zyxp

z sur,

ailleurs0,,

22

0

2

ρω

( ){ } 0,CL =yxw

Transformée de Fourier Spatiale

( ) ( ) ( )dydxeyxwkkW

ykxkj

yxyx∫∫

+∞

∞−

++∞

∞−

= ,,

Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS)

( ) ( ) ( )

ππ 22,, yxykxkj

yx

dkdkekkWyxw yx∫∫

+∞

∞−

+−+∞

∞−

=

analyse

synthèse

La TFS 2D permet de généraliser les résultats de la plaque infinie à

une structure plane quelconque :

� Pour une plaque infinie une composante de flexion est représentée

par un point sur le spectre des nombres d’onde

� Pour une plaque finie les multiples réflexions sur les bords

conduiront à de multiples points sur le spectre des nombres d’onde

Exemple


( ) ( ) ( )

( )yxj

yyjk

yyxxjk

xx

yxykxkj

yx

xx

yx

yx

eW

dkek

dkekW

dkdkekkWyxw

γγ

π

πγδ

πγδ

ππ

+−

∞+

∞−

−∞+

∞−

−

+∞

∞−

+−+∞

∞−

=

−−=

=

∫∫

∫∫

20

0

4

2)(

2)(

22,,

=

=

ϕγγ

ϕγγ

sin

cos

y

xyk

xk

γ

ϕ

Si le spectre de nombre

d’onde est représentée par

)()(),( 0 yyxxyx kkWkkW γδγδ −−=

Exemple


Plaque finie : solution générale

20222 et ,, ρρ ==== kkccppPour simplifier

Transformée de Fourier de l’équation de Helmholtz

( ) ( ) ( )dydxezyxpzkkP

ykxkj

yxyx∫∫

+∞

∞−

++∞

∞−

= ,,,,

Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS) de la pression

( ) ( ) ( )

ππ 22,,,, yxykxkj

yx

dkdkezkkPzyxp yx∫∫

+∞

∞−

+−+∞

∞−

=

analyse

synthèse

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) 0,,,,,,,, 2222 =+∇=+∇ zkkPkzyxpTFSzyxpkzyxpTFS yx


donc

( ){ } ( ) ( ) ( ) ),,(,,,,

,, 222

2

2

22

zkkPkky

zyxp

x

zyxpTFSzyxpTFS yxyx +−=

∂

∂+

∂

∂=∇

Dérivée de la pression

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ππ

ππ

22,,

22,,

,,

yxykxkj

yxx

yxykxkj

yx

dkdkezkkPjk

dkdke

xzkkP

x

zyxp

yx

yx

∫∫

∫∫

∞+

∞−

+−∞+

∞−

+∞

∞−

+−+∞

∞−

−=

∂

∂=

∂

∂

( ) ( ) ( )

ππ 22,,,, yxykxkj

yx

dkdkezkkPzyxp yx∫∫

+∞

∞−

+−+∞

∞−

=

),,(),,(

zkkPjkx

zyxpTFS yxx−=

∂

∂( ) ),,(

),,(zkkPjk

x

zyxpTFS yx

n

xn

n

−=

∂

∂

( ) ( ) ),,(),,(

zkkPjkjkyx

zyxpTFS yx

n

y

m

xmm

nm

−−=

∂∂

∂ +


Transformée de Fourier de l’équation de Helmholtz

avec

devient

( )( ) ( ) 0,,

,,222

2

2

=−−+∂

∂zkkPkkk

z

zkkPyxyx

yx

avec pour solution

( ) ( ) ( ) zjkyx

zjkyxyx

zz ekkBekkAzkkP ,,,, += −

( ){ } ( ) 0,,,, 22 =+∇ zkkPkzyxpTFS yx

( ){ } ( ) ),,(,, 222 zkkPkkzyxpTFS yxyx +−=∇

Éliminé par la condition de Sommerfeld


relation de continuité

Pression rayonnée dans le domaine des nombres d’onde

et dans l’espace après TFS inverse

( ) ( )yx

z

yxkkW

z

zkkP,

,,0

2

0

ρω=∂

∂

=

( ) ( ) ( )dydxeyxwkkW

S

ykxkj

yxyx∫∫

+= ,,

( ) ( )yxzjk

z

yx kkWek

kcjzkkP z ,,, 0 −=

ρω

( ) ( ) ( )

ππ

ρω

22,,,

222

222

0 yxykxkj

yx

zkkkj

kkk

dkdkekkWe

ckjzyxp yxyx

yx

∫∫∞+

∞−

+−−−−

−−

∞+

∞−

=

Solution pour la pression en champ lointain

coordonnées sphériques

Quand méthode de la phase stationnaire

θ

φθ

φθ

cos

sinsin

cossin

Rz

Ry

Rx

=

=

=

( )( )

( )ππ

ρωφθθφθφθ

22,,,

cossinsincossin

0yx

yx

z

kkkjR dkdkkkW

k

ejRp

zyx ++−∞+

∞−

∞+

∞−∫∫=

1>>kR

( ) ( )φθφθρωφθ sinsin,cossin,, 02

kkWR

eRp

jkR−

−≈

φθφθ sinsinet cossin kkkk yx ==φ

k

Utilisation de la représentation modale

Conditions aux limites : 4 bords simplement supportés

Solution libre

Pulsation propres

Déformée modale

( )yx

mnL

yn

L

xmyx

ππφ sinsin, =

( ) [ ] ( )∑∑∞

=

∞

=

+=1 1

,cossin,,m

mn

n

mnmnmnmn yxtBtAtyxw φωω

h

D

L

n

L

m

yx

mnρ

πω

+

=

222

Plaque rectangulaire SS

Mode (1, 1) Mode (2, 1) Mode (1, 2) Mode (2, 2)

d’après Dan Russell, www. kettering.edu/~drussell/

( )yx,11φ

( )yx,21φ

( )yx,12φ

( )yx,22φ

Excitation forcée des plaques

Equation du déplacement

masse modale généralisée

force modale généralisée

( )[ ]

( )yxjM

eFyxw mn

m n mnmnmnmn

tj

mn ,2

,,22

φζωωωω

ωω

∑∑+−

=

( )∫ ∫=x yL L

mnmn dydxyxhM0 0

2 ,φρ

( ) ( )∫ ∫=x yL L

mnmn dydxyxyxfF0 0

,, φ

anti-résonance

ω

Cwlog20

ωlogCωB

ωA

ω

Bwlog20

Awlog20

wlog20

Pression sur la plaque

Pression pariétale

Utilisation de la base modaleUtilisation de la base modale

( )( ) ( )

ππ

ρω

22

,0,,

222

0 yxykxkj

yx

yx dkdke

kkk

kkWkcjyxp yx +−

∞+

∞−

∞+

∞−∫∫

−−=

( ) ( ) ( )yxayxw mn

nm

mn ,,,

φω∑∞

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )∫∫

≠

==

S

mn

klmnnmlk

nmlkNdydxyxyx

,, quand 0

,, quand ,, φφ

Objectif : exprimer le déplacement dans la base modale

pour la pression pariétale( ) ( ) ( )yxmn

nm

mnyx kkakkW ,,,

Φ=∑∞

ω


Pression pariétale s’écrit de deux façons différentes

… en exprimant la vitesse sur la basse modale

… en recherchant une décomposition de la pression pariétale sur la base des fonctions orthogonales

( ) ( )( ) ( )

ππωρω

22

,0,,

222,

0yx

yx

ykkj

yxmn

nm

mn

dkdk

kkk

ekkakcjyxp

yx

∫∫∑∞+

∞−

+−∞+

∞−

∞

−−

Φ=

( )yxpq ,φ

( ) ( )yxbyxp kl

lk

kl ,0,,,

φ∑∞

=


L’utilisation de la seconde expression pour la pression

conduit aux coefficients

En multipliant chaque terme par et en utilisant la relation d’orthogonalité

( ) ( ) ( ) ( ) pqpqpqkl

lk

klpq Nbdydxyxyxbdydxyxyxp == ∫ ∫∑∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞∞

∞−

∞

∞−

,,,0,,,

φφφ

( )yxpq ,φ

( )( )

( ) ( )

ππφω

ρω

22,

,

222,

0 yxykxkj

pq

yx

yxmn

nm

mn

pq

pq

dkdkdydxeyx

kkk

kka

N

kcjb yx +−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞

∫∫∫∫∑−−

Φ=

( )yxpq kk −−Φ ,

( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= dydxyxyxpN

b pq

pq

pq ,0,,1

φ


Pression pariétale prend la forme

( ) ( )ωωω mnpq

nm

mnpq Zajb ∑∞

=,

La pression pariétale peut s’écrire sous la forme suivante

avec l’impédance de rayonnement

( ) ( ) ( )ππ

ρω

22,,

222

0 yxyxpqyxmn

yxpq

mnpq

dkdkkkkk

kkk

k

N

cZ −−ΦΦ

−−= ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxbyxp pqmnpq

nm

mn

qp

pq

qp

pq ,,0,,,,,

φωωωφ ∑∑∑∞∞∞

==

Impédance de rayonnement

• les termes directs sont positifs avec une partie réelle qui

tend en hautes fréquences vers l'impédance caractéristique

• les termes croisés oscillent autour de zéro

Quantité complexe ( ) ( ) ( )ωωω mnpqmnpqmnpq IjRZ +=

f

c

Z

0

1111Reρ

c

Z

0

1111Imρ

0

1

f

4.0+

4.0−

c

Z

0

1113Reρ

d’après Sandman 1975

Réponse vibratoire couplée de la plaque

Les déformées modales satisfont les conditions aux limites et vérifient l’équation homogène

Equation dynamique (pression dans le demi espace z>0)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF

yxahyxaD

pqklpq

qp

kl

lk

mn

nm

mnmn

nm

mn

,,

,,

,,

,

24

,

φωωω

φωρωφω

∑∑

∑∑∞∞

∞∞

−=

−∇

( ) ( ) ( ) ( )0,,,,, 24yxpyxFyxwhyxwD −=−∇ ρω

( ) ( ) 0,, 24 =−∇ yxhyxD mnmnmn φρωφ

Pulsation propre du mode (m,n)


Equation dynamique (pression dans le demi espace z>0)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF

yxahyxaD

pqklpq

qp

kl

lk

mn

nm

mnmn

nm

mn

,,

,,

,,

,

24

,

φωωω

φωρωφω

∑∑

∑∑∞∞

∞∞

−=

−∇

module de Young complexe avec un facteur de perte

et

η( )ηωω jmnmn += 122 ( ) ( ) ( )yxhjyxD mnmnmn ,1, 24 φρηωφ +=∇

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF

yxjah

pqlkpq

qp

kl

kl

mnmn

nm

mn

,,

,1

,,

22

,

φωωω

φωηωωρ

∑∑

∑∞∞

∞

−=

−+


En réalisant l’opération

orthogonalité des déplacements modaux

( ) { } dydxyxs

rs Eq∫∫ ,φ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) rsmnrs

nm

mnrsrsmnrs NZajyxFjaNh ωωωωηωωρ ∑∞

−=−+,

22 ,1

avec la force modale généralisée appliquée au mode (r,s)

( ) ( ) dydxyxyxFjF rsS

rs ,, φω∫∫−=

( )rs

rs

nm

mnmnrsN

FaA =∑

∞

ω,

[ ] ( )ωωδδηωωωρ mnrsnsmrrsrsmnrs ZjjhA ++−= 222


L’expression

Peut se mettre sous forme matricielle en utilisant une base modale tronquée

indices i modes (r,s)

indices j modes (m,n)[ ] ijij faA =

faA =

⇒

⇒

( )ωmnj aa =rs

rsi

N

Ff =rsmnij AA =

( )rs

rs

nm

mnmnrsN

FaA =∑

∞

ω,

[ ] ( )ωωδδηωωωρ mnrsnsmrrsrsmnrs ZjjhA ++−= 222

éléments diagonaux


Détermination des coefficients en inversant la matrice associée à la base modale tronquée

( )ωmna

fAa1−=

( ) ( ) ( )yxayxw mn

N

nm

mn ,,,

φω∑=

( ) ( )yxAN

Fyxw mn

N

nm mnmnmn

mn ,,,

φ∑=

Pour les fluides légers (air), les termes non diagonaux

peuvent être négligés

VIBROACOUSTIQUE DES

STRUCTURES PLANES


PLAQUE INFINIE



PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

La puissance acoustique

facteur de rayonnement

Essentiellement deux approches :� calculer la pression pariétale en utilisant l’impédance modale de

rayonnement (méthode du champ proche)

� calculer la pression par l’intégrale de Rayleigh en champ lointain

{ } { } dSwZdSupdSS

r

S

n

S

∫∫∫ ==⋅=Π ∗ 22

Re2

Re2

1ˆ

ωnI

{ }

∫

∫=

S

Sr

dSw

dSwcZ

2

20Re ρ

σ

∫

Π=

S

dSwc 2

20

2ωρ

σ

Puissance rayonnée par une plaque finieméthode du champ lointain

Intensité radiale sur un hémisphère de rayon infini

conduit à la puissance acoustique rayonnée

Inconvénient: calcul long avec les expressions analytiques de

Autres solutions : calcul purement numérique en réalisant la transformée

de Fourier du champ vibratoire (Williams)

( )( )

c

RpRI r

0

2

2

,,,,

ρ

ϕθφθ ≈

( ) ( )∫∫=Π2

0

22

02

40 sin,

8

ππ

φθθπ

ωρω ddkkW

cyx

φθ cossin0kk x = φθ sinsin0kk y =

( ) ( ) ( )yxmn

nm

mnyx kkakkW ,,,

Φ=∑∞

ω

Puissance rayonnée par une plaque finieméthode du champ proche

Milieu 2

Relation d’orthogonalité

( ) ( ){ }∫∫∗=Π

sz dxdyyxuyxp 0,,0,,Re

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) dydxyxyxaZa

dydxyxayxZa

rss

pq

sr

rsmnpqmn

qpnm

sqp sr

rsrspqmnpqmn

nm

,,Re2

,,Re2

,,,

2

, ,,

2

φφωωωω

φωφωωω

∫∫∑∑∑

∫∫ ∑ ∑∑

∞∗

∞∞

∞ ∞∗

∞

=

=Π

( ) ( ) ( )∫∫ =⇒=s

pqpq Ndxdyyxqpsr ,,, 2φ

( ) ( ) ( ){ } pq

qp

pqmnpqmn

nm

NaZa∑∑∞

∗∞

=Π,,

2

Re2

ωωωω

Puissance rayonnée par une plaque finie

fluide léger : seuls les termes diagonaux de sont

conservés

Facteur de rayonnement

( )ωmnpqZ

( ) ( ){ } mnmnmn

nm

mn NZa ωωω

Re2 ,

22

∑∞

=Π

( )∫∫

Π=

Sdydxyxw

c 22

0 ,2

ωρσ

( ) ( )rs

sr

rsS

Nadydxyxw2

,

2, ∑∫∫ = ω

( ) ( ){ }

( )

( ){ }c

Z

Nac

NZa

mnmn

mnmn

mnmnmnmn

mn

0

22

0

22

Re2

Re2

ρ

ω

ωωρ

ωωω

σ

=

=

Facteur de rayonnement modal

Wallace (1972) obtient une expression du facteur de rayonnement pour les modes à partir d’une expression analytique de la pression en champ lointain

pour une une plaque rectangulaire simplement supportée

( )qp,

( )( ) ( )

dydxR

eLyqLxparp

yxL jkR

yx

L

pq

∫∫−−

=00

02 sinsin

2,,

ππ

π

ρωφθ

( ) ( ) ( )yxpqpq LyqLxpayxw ππ sinsin, =

Facteur de rayonnement modal

plaque rectangulaire simplement supportée

Wallace (1972)

Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire

Sans introduire tout de suite la notion de mode (th. Parseval)

En exprimant

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ππ 22

0,,0,,Re2

10,,0,,Re

2

1 yxyxzyx

sz

dkdkkkUkkPdydxyxuyxp ∫∫∫∫

+∞

∞−

∗+∞

∞−

∗ =

( ) ( )

( )∫∫

∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∗∞+

∞−

−−=

−−=Π

ππ

ωρ

ππ

ρω

22

,Re

2

22

,,Re

2

222

22

0

222

02

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx

dkdk

kkk

kkWkc

dkdk

kkk

kkWkkWck

( ) ( )0,,et0,, yxzyx kkUkkP∗


quatre bords simplement supportés

( )

=

b

yq

a

xpyxpq

ππφ sinsin,

( ) ( ) ( )yxyx qppq φφφ =,

Simplification : la dimension y est supposée infinie

( ) ( )∫+

− −

Φ=Π

k

k

x

x

yxpp dk

kk

kkkac

π

ωωρ

2

,

2 22

222

0

{ ( ) ( ) } ( ) ( ) ( )( )

222

2

2sinsin

−

−=Φ⇒=

π

πππφ

pak

pakpakaxpxTF

x

xxpp

Puissance rayonnée par une plaque


( ) ( )∫+

− −

Φ=Π

k

k

x

x

yxpp dk

kk

kkkac

π

ωωρ

2

,

2 22

222

0 ( ) ( )( )

( )

222

2

2sin

−

−=Φ

π

ππ

pak

pakpak

x

xxp

( )xp k2Φ + +

xk

yk



valeurs maximales du spectre quadratique de nombre

d'onde

xk

yk

bqk

apk

y

x

π

π

±=

±=



Mode de bord

xk

yk

bqk π<

apk π>



Mode de bord

xk

yk

bqk π>

apk π<



Mode de coin

xk

yk

bqk π>

apk π<


quatre bords simplement supportés Modes de coin

Modes de bord

Modes de bord

Facteur de rayonnement approché pour une plaque rectangulaire

Formule de Mainanik

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

>−

≈+

<++

=−

cc

cc

ccc

ffff

ffra

ffgargar

,1

,11

,122

21

212

λ

αλαλ

σ

bar = cc fc=λ ( ) Dhcf c ρπ22=

( ) ( )

>

<−

−

=

c

c

ff

ffg

5.00

5.01

2142

2

41 αα

α

πα ( )( )

( ) 232

2

221

21

1ln1

4

1

α

αα

αα

πα

−

+−

+−

=g

cff=α

Facteur de rayonnement approché pour une plaque rectangulaire

Formule de Mainanik

Méthode simplifiée de Müller et al

Facteur de rayonnement pour une plaque finie

cf

dB/oct 15

dB/oct 5,1

dB/oct 6

a

b

σL

0

− 1

82

22

S

P

fS

c

c

S

c

2

log10λ

( ) baSbaPD

hcf

f

cc

c

c =+=== 22

2 ρ

πλ

Méthode modale – logiciel ADNR du GAUS


en acier de 1 m x 0.8 m (amortissement 0.2%), force en 0.35 m x 0.35 m

2 mm

Expansion modale de 50

Müller fréquence critique : 5605 Hz

fréquence 1 : 12.5 Hz - L1 = -11.3 dB

Méthode modale – logiciel ADNR du GAUS


en acier de 1 m x 0.8 m (amortissement 0.2%), force en 0.35 m x 0.35 m

Expansion modale de 50

1 mm

Müller fréquence critique : 11209 Hz

fréquence 1 : 6.3 Hz - L1 = -14.3 dB


cf

a

b

σL

0

− 1

82

22

S

P

fS

c

c

S

c

2

log10λ

1h1 oct

1 oct

Influence de l’épaisseur

12 2hh =

12 2hh =

dB 6


cf

a

b

σL

0

− 1

82

22

S

P

fS

c

c

1

2

2log10

S

cλ

1S

1 oct

Influence de la surface

12 2SS =

dB 3

1S

12 2SS =1

2

log10S

cλ

12 2SS =

Facteur de rayonnement pour une plaque raidie

10 mm

5 mm1 mm

non raidie

raidie

acier de 1 m x 0.8 m

(amortissement 0.2%),

Facteur de rayonnement excitation mécaniques / excitation acoustique

(d’après Macadam, 1976)

Facteur de rayonnement excitation mécaniques / excitation acoustique

(d’après von Venzke)

Indice d’affaiblissement des plaques raidies

Méthode modale

Plaque bafflée avec des conditions aux limites arbitraires

(méthode variationnelle et méthode de Rayleigh-Ritz,

Degeorges 1988, Berry et al 1990)

Influence des conditions aux limites résultats par mode

acier

0.55 m x 0.45 m

(r = 1.2),

épaisseur 1 mm,

fréquence critique 12 kHz

Le facteur de rayonnement d’une plaque

encastrée est pratiquement le double de

celui d’une plaque simplement supportée

encastrée

simplement supportée

Berry, Guyader, Nicolas, JASA 1990

Influence des conditions aux limites résultats globaux

acier

0.55 m x 0.45 m

(r = 1.2),

épaisseur 1 mm,


amortissement 1%

Force ponctuelle au centre

encastrée

simplement supportée


Influence des conditions aux limites Plaque libre partiellement encastrée

acier

0.55 m x 0.45 m

(r = 1.2),

épaisseur 1 mm,


amortissement 1%

Force ponctuelle au centre


Influence du baffle

Atalla, Nicolas, Gauthier JASA 1996

Plaque simplement supportée Plaque libre

bafflée

non bafflée

Influence de l’écoulement du fluide

Frampton, JASA 2003

Plaque simplement supportée

2222 2)1( zxx kMkkMkk ++−=

Nouvelle relation de dispersion

Mode (1, 1)

Influence de l’écoulement du fluide

Frampton, JASA 2003

Mode (1, 1) Mode (2, 1)

Mode (1, 2) Mode (3, 3)Mode (6, 1)

vibroacoustique des structures planesperso.univ-lemans.fr/~jcpascal/cours/ensim3a_master2... ·...

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