VIBROACOUSTIQUE DES

STRUCTURES PLANES

1 – INTRODUCTION

2 - PLAQUE MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE

PLAQUE INFINIE

4 - PLAQUE FINIE COUPLEE (plaque rectangulaire)

5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

6 - EXEMPLES

Bibliographie

M. Bruneau, Manuel d'acoustique fondamentale, Hermès, 1998.

F.J. Fahy, Sound and Structural Vibration, Academic Press, 1985. (Nouvelle édition en Novembre 2006)

M.C. Junger, D. Feit, Sound, Structures, and their Interaction (2nd ed.), MIT press, 1986. (réédition : Acoustical

Society of America, 1993).

A.D. Pierce, Acoustics : an introduction to its physical principles and applications, McGraw-Hill, 1981.

E.G. Williams, Fourier Acoustics, Sound Radiation and Nearfield Acoustical Holography, Academic Press,

1999.

Acoustique générale (P. Filippi, Ed.), Les Editions de Physique, 1994.

J.L. Guyader, C. Lesueur, Transparence et rayonnement acoustiques des plaques minces (Ch. 8)

Rayonnement acoustique des structures (C. Lesueur, Ed.), Eyrolles, 1988.

C. Lesueur, J.L. Guyader, Rayonnement acoustique des plaques et des coques cylindriques (Ch. 4)

J.L. Guyader, C. Lesueur, Comportement vibroacoustique des plaques minces (Ch. 5)

PLAQUE, MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE

Ondes de flexion dans la plaque

vibrations de flexion des plaques minces isotropes

( ) ( ) ( )yxNyxwhyxwD ,,, 24 =−∇ ρω

( )23 112 υ−= EhDrigidité de flexion

( ) ( ) ( )D

yxNyxwkyxw f

,,, 44 =−∇

D

hk f

ρω 24 =nb d’onde de flexion dans le vide

ω

fk

Ondes de flexion élémentaires dans la plaque

solution générale

Ondes propagatives

Relation de dispersion

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,, 222244 =−∇+∇=−∇ yxwkkyxwk fff

( ) ( ) ( )yxwyxwyxw ,,, −+ +=

( ) ( ) 0,22 =+∇ +yxwk f

( ) ( )ykxkj yxeWyxw+−++ =⇒ ,

Ondes évanescentes

( ) ( ) 0,22 =−∇ −yxwk f

( ) ( )ykxk yxeWyxw+−−− =⇒ ,

222yxf kk

D

hk +==

ρω

Représentation des ondes de flexion élémentaires dans la plaque

Ondes propagatives

Relation de dispersion22yxf kkk +=

=

=

ϕ

ϕ

sin

cos

fy

fx

kk

kk

( ) ( )( )yjk

y

yjk

yxjk

xxjk

xyyxx eBeAeBeAyxw ++=

−−+ ,

( ) ( ) ( )ϕϕ sincos,

yxjkykxkj fyx eWeWyxw+−++−++ ==

ϕ

yk

xk

Nombre d’onde effectif

Equation de propagation homogène dans le vide

mais le nombre d’onde effectif pourra être obtenu par

( ) ( ) 0,, 44 =−∇ yxwkyxw f

( )( )yxw

yxwk f

,

,4

4 ∇=⇒

( ) ( ) ( )ϕγϕγϕγϕγ sincossincos,

yxyxjeWeWyxw

+−−+−+ +=

Avec un fluide lourd, le nombre d’onde va changer

( )( )yxw

yxw

,

,44 ∇

=γ

Ondes acoustiques dans l’espace semi-infini

Equation de Helmholtz

relation de dispersion

onde plane élémentaire

( ) ( ) 0,,,, 22 =+∇ zyxpkzyxp

ck

ω=

( ) ( )zkykxkj zyxePzyxp++−

=,,

222

2

2zyx kkk

ck ++=

=

ω

Solution équivalente en variables séparées

( ) ( )( )( )zjkz

zjkz

yjk

y

yjk

yxjk

xxjk

xzzyyxx eBeAeBeAeBeAzyxp +++= −−−

,,

Condition de Sommerfeld

Ondes acoustiques élémentaires : repère cartésien

Un champ quelconque peut se représenter à partird’ondes planes élémentaires

( ) ( )zkykxkj zyxePzyxp++−

∑=,,

Exemple pour l’onde monopolaire

( )∫∫∫ −→

•−−

3222π

K

K

rK d

k

e

R

e jjkR

( )zyx kkk ,,=KVecteur d’onde

Vecteur spatial ( )zyx ,,=r

Ondes acoustiques élémentaires

onde plane élémentaire

Exemple pour

front d'onde plan

( ) ( ) zjkzeyxpzyxp−= ,,, 0≥z

0=yk

θsinkk x =

22xz kkk −=

Équation de dispersion 2222yxz kkkk −−=

θ

λλ

sin=x

θ

λλ

cos=z

k

c

f

c π

ωπλ

22 ===

θcoskk z =

λθ

θ k

Ondes élémentaires : spectre de nombre d’onde

orientation quelconque normale rasante

0,sinθk

k kk

0,0 0,k

yk yk yk

xk xk xk

Couplage vibroacoustique

ContinuitContinuitéé des vitesses sur la paroides vitesses sur la paroi (composantes normales)

( )0,,),( yxuyxv n=

( ) ( )yxwjyxv ,, ω=z

p

ck

j

z

pju z

∂

∂=

∂

∂=

00 ρωρ

( ) ( )yxwz

zyxp

z

,,,

02

0

ρω=∂

∂

=

z2n̂

1n̂

zn uu =Par exemple pour

Couplage vibroacoustique

Couplage dynamiqueCouplage dynamique

( ) ( )( ) ( )

D

yxpyxpyxwkyxw f

,,,, 2144 −

=−∇

( ) ( )( )yxwD

yxpyxpk f

,

,, 2144 −+=γ

( ) ( )( )

−+=

yxwh

yxpyxpk f

,

,,1

2

2144

ωργ

( )( )

44

,

,γ=

∇

yxw

yxw

42fkhD ρω=

relation de dispersion

Couplage vibroacoustique

relation de dispersion

Impédance de rayonnement

z2n̂

1n̂

normale reparticulai vitesse

pariétale pression=rZ

wj

p

u

p

u

pZ

wj

p

u

p

u

pZ

zn

r

zn

r

ω

ω

−=

−==

===

11

1

11

22

2

22

zn uu =

zn uu −=

+−=

ωργ

h

ZZjk

rrf

2144 1

Couplage vibroacoustique

Problème découplé Problème couplé

continuité desvitesses

équation dynamiquede la structure

force

mécanique

continuité desvitesses

équation dynamiquede la structure

force

mécanique

21 , pp 21 , pp

v vréponse vibratoire

champ acoustique rayonné

21 pppa −=

Couplage vibroacoustique

intensité acoustique rayonnée

{ } { } { } 222

Re2

Re2

Re2

1ˆ wZZ

uupI rr

nnn

ω====⋅ ∗

nI

{ } dSwZdSW

S

r

S

∫∫ =⋅=2

2

Re2

ˆω

nI

{ }

∫

∫

∫==

S

Sr

SdSw

dSwcZ

dSwc

W2

2

0

2

02

21

Re ρ

ρωσ

puissance acoustique

facteur de rayonnement

CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

� Rayonnement acoustique

�Transparence acoustique

milieu 2milieu 2

Plaque mince

milieu 1milieu 1

z

( )yxw ,

( )zyxp ,,2( )zyxp ,,1

111 ,, kcρ 222 ,, kcρ

( ) ( )+− == 0,,0,,21

yxuvyxu zz

Rayonnement d’une plaque infinie

Milieu 1 : ondes acoustiques

Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

Plaque : déplacement du aux ondes de flexion

Milieu 2 : ondes acoustiques

( ) ( ) 0,,,, 1

2

11

2 =+∇ zyxpkzyxp

( )( )yxw

z

zyxp

z

,,,

1

2

0

1 ρω=∂

∂

=

Interface milieu 2 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,, 21

24 yxpyxpyxwhyxwD −=−∇ ρω

( )( )yxw

z

zyxp

z

,,,

2

2

0

2 ρω=∂

∂

=

( ) ( ) 0,,,, 2

2

22

2 =+∇ zyxpkzyxp

Rayonnement d’une plaque infinie

Pression

Continuité = fonctions en x,y sont identiques pour p1, p2 et w

( ) ( )( )( )zz

yjk

y

yjk

y

xjk

x

xjk

xz

z

BAeBeAeBeAjkz

zyxpyyxx −++−=

∂

∂ −−

=0

,,

( ) ( )( )( )zjkz

zjkz

yjk

y

yjk

yxjk

xxjk

xzzyyxx eBeAeBeAeBeAzyxp +++= −−−

,,

Gradient de pression à la surface

yyyyxxxxkkkkkk ====== γγ 2121 et

( ) ( )yxwz

zyxp

z

,,,

02

0

ρω=∂

∂

=

( ) ( )( )yjBy

yjAy

xjBx

xjAx

yyxx eWeWeWeWyxwγγγγ ++=

−−,

Continuité des composantes normalesdes vitesses sur la paroi

Rayonnement d’une plaque infinie

Conséquences :

� le nombre d’onde de flexion impose

� la relation de dispersion conduit à

� les relations de continuité détermine l’amplitude

γ 22yx kk +=γ

22 γ−= kk z

( ) ( )

( ) ( )yxwyxpjk

yxwyxpjk

z

z

,0,,

,0,,

2

2

22

1

2

11

ρω

ρω

=−

=

( ) ( )

( ) ( ) zkj

zkj

eyxwk

jzyxp

eyxwk

jzyxp

222

221

,,,

,,,

22

2

2

2

2

22

1

2

1

1

γ

γ

γ

ωρ

γ

ωρ

−−

−

−=

−−=

( ) ( )

( ) ( ) zkj

zkj

eyxpzyxp

eyxpzyxp

222

221

,,,

,,,

22

11

γ

γ

−−

−

=

=

Condition de Sommerfeld

Solution de l'équation de dispersion

Relation de dispersion

+−=

ωργ

h

ZZjk

rrf

2144 1

[ ] 02 44

4

0 =−− f

fz

kk

hj

kγ

ρρ

zr kZ 111ωρ=

Impédance de rayonnement pour la plaque infinie

etzr kZ 222

ωρ=

deux fluides sont identiques (pour simplifier) 021 ρρρ == kkk == 21

22222 γ−=−−= kkkkk yxzavec

Relation de dispersion

Solution de l'équation de dispersion

Changement de variable

donc

d’où les pressions

Relation de dispersion

zjkk −=−= 22γκ222 k+= κγ

( ) ( ) ( ) ( ) zzeyxw

kczyxpeyxw

kczyxp

κκ

κ

ωρ

κ

ωρ,,,et,,, 0

2

0

1 =−= −

( ) 02

4222

4

0=−++ f

fkk

h

kκκκ

ρ

ρ

[ ] 02

2

4

044325 =+−++h

kkkk

f

fρ

ρκκκéquation du 5ème degré

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers

on néglige ce terme

équation du second degré en

Solutions

[ ] 02

2

4

044325 =+−++h

kkkk

f

fρ

ρκκκ

[ ] 02 44224 =−++ fkkk κκ

2κ

( ) 22

2

222

2

2222

1

222

1

ff

fff

kkjkk

kkjkkkk

+±=⇒+−=

−=−±=⇒−=

κκ

κκ m

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers

premier type de solution

nombre d’onde dans la plaque

Pression

22222fzf kkjjkkk −−=−=⇒−= κκ

( ) ( ) ( ) ( ) zkkj

f

zkkj

f

ffeyxw

kk

kcjzyxpeyxw

kk

kcjzyxp

2222

,,,et,,,22

0

222

0

1

−−−

−

−=

−=

ωρωρ

fkk ±=+= 22κγ

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers

pulsation critiquefkk =

( )2

222 112

hEc

D

hcc

υρρω

−==

ω∝fk

ck

ω=

ω

ωω cf kk =22

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers

( ) ( )zkkzjk fz

22expexp −±=± ( ) ( ) ( )θcosexpexpexp 22 jkzkkjzjk fz ±=−±=±

=

=

ϕθϕ

ϕθϕ

sinsinsin

cossincos

kk

kk

f

f

>

>

ϕϕ

ϕϕ

sinsin

coscos

kk

kk

f

f

cfkk ωω >>cfkk ωω <<

yk yk

xk xk

k k

ϕϕ

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers

deuxième type de solution

( ) 22222fzf kkjjkkk +−=−=⇒+−= κκ

nombre d’onde dans la plaque

fjkk ±=+= 22κγ

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers

Facteur de rayonnement

−=

=22

ReReγ

σk

k

k

k

z

fk±=γ

fjk±=γ

cω

cωω

ω

σ

σ

0

0

1

1

+=

=22

ReReγ

σk

k

k

k

z

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides lourds

5 racines de l’équation de dispersion

0ακ −=−= zjkzz

ee 0ακ −=

ondes acoustiques en

22 βακ jjk z −−=−= zjzzeee 22 βακ −−=

Approximations : relation de dispersion avec

−+=

−−=

−=

22

04

22

0444 21

21

21

khk

khjk

h

Zjk ff

rf

γρ

ρ

γρ

ρ

ωργ

zr kZ ωρ0=

4

1

0

4

1

22

0

1

21

1

1

21

1

−+

±

±=

−+

±

±≈

cf

f

ff

fhk

kjkkhk

kj ωωρ

ρ

ρ

ργ

2

fk

valable en dessous de la fréquence critique : quand k>γ

Solution de l'équation de dispersionpour les fluides lourds

Approximation pour

4

1

0

4

1

22

0

1

21

1

1

21

1

−+

±

±=

−+

±

±≈

cf

f

ff

f

hkk

j

kkhkk

j

ωωρ

ρ

ρ

ργ

valeurs exactesapproximation

cωω <