Ahlem ALIA, H. Sadok, M. Souli

Simulation numérique des problèmes d’acoustique et de vibroacoustique: Application de CMRH

Université des Sciences et Technologies de Lille

Laboratoire de Mécanique de Lille

GDR-IFS 3-4/06/2010, Compiègne

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Techniques Analytiques

Formes géométriques simples

Méthode des Eléments Finis (FEM)

Discrétisation de tout le volume du domaine

Méthode des Eléments Finis de Surface (BEM)

Discrétisation de la surface du domaine

Collocation

Variationnelle

Introduction

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• BEM– La discrétisation de la surface du domaine acoustique– Prise en compte du rayonnement en champs libre

Introduction

BEMMEF

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BEM

Théorème de Green

n S

12

2n2 v,p

1n1 v,p

SV

0pkp 2

VIBEM (BEM variationnelle indirecte)

S

n dSnG

pGviPpPC

Equation intégrale

Equation d’Helmholtz

Condition de Neumann

r4

erG

ikr

bAx

x yx S S

xyyxyx

y2

S

xxn dSdSrµrµnn

r,rGdSrµVi

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• Matrices BEM– Complexes (fonction de Green)

– Pleines (interaction de chaque nœud avec tous les nœuds du maillage)

– Mémoire

• Temps CPU– Construction de la matrice (Intégration double)

– Résolution du système linéaire

– Analyse multi-fréquentielle

VIBEM (BEM variationnelle indirecte)

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Système linéaire

Généralement, Gmres (Generalized Minimal Residual Method) est la méthode itérative la plus utilisée (Marburg et al. (Performance of iterative solvers for acoustic problem, 2003))

Gmres (en plus de la matrice BEM, stockage de la matrice d’Hessenberg, vecteurs de Krylov)

Besoin d’une méthode itérative plus économique en terme de mémoire

Cmrh (Changing Minimal Residual method based on Hessenberg process ) développée par Pr. H. Sadok

Méthode d’Hessenberg

Résolution d’un problème de moindres carrés

La matrice A sert d’espace de stockage pour CMRH

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Processus d’Hessenberg: matrice trapézoïdale unitaire

Ses colonnes sont des vecteurs de base de l’espace de Krylov

Orthogonal aux vecteurs ek(n)=(0,…, 0,1,0,…,0)T.

hj,k sont déterminés tq: lk+1┴ e1,e2,…,ek et (lk+1)k+1=1

(i-1) composantes de li sont nulles et (li)i=1

Méthodes itérative: CMRH

m21m l,...,l,lL

)A,r(K 0m

k

1j

jk,jk1kk,1k

001

m,...,1koùlhAllh

1roù/rlkk kAL L H 1

8

end

h/ul

u)u,e(h

end

lhuu

u)u,e(h

k,...,1jpour

Alu

m,..,1kpour

)r,e/(rl

k,1k1k

1k1kk,1k

jk,j

jjk,j

k

0101

Méthodes itérative: CMRH

end

u/uq

uh

end

qhuu

)u,q(h

k,...,1jpour

Aqu

m,..,1kpour

r/rq

21k

2k,1k

jk,j

jk,j

k

001

Hessenberg Arnoldi

- Produit A par une matrice trapézoïdale

- Produit A q

- Produit scalaire

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Méthodes itérative: CMRH

Lk

kH

A

Stockage de Lk et Hk dans A

A l’étape k, Lk est trapézoïdale inférieure

u=Alk, (k-1) premières colonnes de A ne sont pas utilisées

n

1kj

)j(k,j

)k(k

)n()2()1(

alaAl

aaaA

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• Performance de CMRH en comparaison avec GMRES (sans l’option: restart)

• Applications numériques – Sphère pulsante– Rayonnement d’un ventilateur excité avec ses

modes propres

Applications numériques

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• Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air.

• Deux maillages: 21602 noeuds et 7352 noeuds• Performance de CMRH: le vecteur b est choisi de

telle sorte que la solution exact x* soit connue. Ce qui permet de bien calculer ||res=b-Ax|| et l’erreur ||err=x-x*||

• Un critère d’arrêt de 10-9.

Sphère pulsante

12

Sphère pulsante

Figure(1): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 7352 nœuds )

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Sphère pulsante

Figure(2): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 21602 nœuds )

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• Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air.

• Maillage 7352 nœuds

• Pression au centre de la sphère

• Un critère d’arrêt de 10-9 pour les deux méthodes

Sphère pulsante

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Sphère pulsante

Figure(3): Variation de la pression au centre de la sphère pulsante en fonction de la fréquence( maillage 7352 nœuds )

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Sphère pulsante

Figure(4): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )

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• Rayonnement des pales d’un ventilateur comprenant des bords libres

• Excitations aux modes propres du ventilateur• Maillage (5407 nœuds)• Analyse modale pour des fréquences <1000Hz• 3 modes propres à 399.31, 462.15 et 999.15 Hz• Pression rayonnée sur un plan distant de 0.3m du

ventilateur

Rayonnement d’un ventilateur

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Figure(5): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )

Rayonnement d’un ventilateur

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Figure(6): Vitesse à la fréquence propre 399.31Hz, 462.15Hz et 999.15Hz

Rayonnement d’un ventilateur

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Figure(9): Pression acoustique rayonnée dans le plan d’observation

Rayonnement d’un ventilateur

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• Performance de GMRES et CMRH– Cmrh demande 3 fois moins de mémoire que

Gmres

Rayonnement d’un ventilateur

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Conclusion

Analyse de la performance de Cmrh appliquée pour des problèmes d’acoustique simulés par la BEM.

Cette analyse a été faite par comparaison avec Gmres

Elle a montré que Cmrh a le même comportement de Gmres mais demande moins de mémoire

Cmrh peut être utilisée comme une bonne alternative de Gmres pour les problèmes de très grande taille

En perspective, cette méthode sera testée avec un préconditionnement