Université de Liège Faculté des sciences appliquées Examen de Communication Graphique Année académique 2012 – 2013, session de janvier. Solution de la question de théorie N°1 : Cotation fonctionnelle

Nous nous intéressons aux tolérances associées à la cotation d’une vue de face de la pièce servant de glissière pour un patin. Lors de l’étalonnage, la machine-outil prend pour référence l’origine des axes XY représentés sur la figure ci-dessus. Cette position est considérée exacte. Elle se déplace ensuite vers une position donnée avec une erreur relative de ±0.05mm entre la position de référence et celle demandée.

On demande :

1. D’identifier parmi les tolérances associées aux cotes nominales A, B, C, D et E, celles qui ne peuvent pas être respectées lors de l’usinage. Explicitez votre raisonnement.

Solution : On commence par déterminer l’abscisse de chacune des arêtes verticales de la pièce. L’abscisse nulle coïncide avec le coté latéral droit de la pièce sur la vue de face étant donnée l’origine des axes XY. Les valeurs nominales et leurs erreurs relatives sont reportées sur la figure 1a.

Figure 1a Figure 1b Le calcul des cotes obtenues par usinage s’effectue alors par différence des valeurs nominales et sommation des erreurs relatives (figure 1b). En comparant ces valeurs aux tolérances associées aux cotes nominales A, B, C, D et E, on constate que la cote C ne peut pas être respectée puisque l’erreur engendrée par l’usinage est de 0.1mm, valeur supérieure à la tolérance de 0.05mm requise.

2. De déterminer la précision de la machine-outil requise pour satisfaire l’intégralité des tolérances de la pièce décrites sur la vue de face.

Solution : Afin de satisfaire l’intégralité des tolérances de la pièce, la sommation des erreurs d’usinage relative à la cote C ne doit pas dépasser 0.05mm. Ainsi une précision de 0.025mm (deux fois inférieure à celle proposée) permettrait la fabrication de la pièce :

(45±0.025) – (25±0.025) = 20±0.05

Solution de la question de théorie N°2 : Géométrie de Monge

L’épure fournie en annexe présente les projections horizontale et verticale d’un solide ainsi que les traces horizontales et verticales de deux plans () et ().

On demande :

1. De tracer les projections de la droite (i) d’intersection entre les plans () et ().

Solution (Figure 2a) : La droite d’intersection est obtenue conformément à la méthode du cours théorique.

2. De déterminer les traces horizontale et verticale du plan vertical () contenant (i).

Solution (Figure 2b) : Le plan () étant vertical et contenant la droite (i), sa trace horizontale est confondue avec la projection horizontale de (i). De plus comme tout plan vertical sa trace verticale est perpendiculaire à la ligne de terre.

3. De tracer dans les deux projections le contour de la coupe du solide par le plan ().

Solution : Figure 2c : Le plan de coupe étant projetant, la projection horizontale de la coupe est évidente, elle est confondue avec la trace horizontale du plan de coupe. Figure 2d : On commence à représenter la projection verticale de la coupe par les arêtes de coupes comprises dans les faces horizontales de l’objet ainsi que dans la face oblique supérieure. Pour ce faire, on reporte simplement les extrémités de ces arêtes de coupe depuis la projection horizontale vers la projection verticale. Figure 2e : On trace ensuite les arêtes de coupe des faces verticales.

4. D’effectuer un changement de plan de projection vertical permettant de voir la coupe en vraie grandeur.

Tracez la nouvelle ligne de terre passant par le point (M).

Solution : Figure 2f : La nouvelle ligne de terre est choisie parallèle à la trace horizontale du plan (). De cette façon le plan de projection vertical V2 sera parallèle au plan () et la coupe y sera vue en vraie grandeur. Figure 2g à 2j : La projection dans le plan V2 est obtenue en appliquant la méthode du cours théorique sur base des projections existantes.

Solution de la question de théorie N°3 : Projection cotée

On souhaite déterminer un itinéraire le plus court possible permettant de relier deux villages séparés

On souhaite construire une route rectiligne passant par deux points (A) et (B) se trouvant tous deux sous terre. La construction de deux tunnels est prévue pour la partie souterraine de la route tandis que la portion enjambant la vallée sera supportée par un talus. On donne en annexe la projection cotée des deux points (A) et (B) ainsi que les échelles de pente des plans (α) et (β) représentant les deux versants d’une vallée. L’unité graphique est u=5mm.

On demande :

1. De rechercher les entrées des tunnels en trouvant les points de percée de la droite (AB) dans les plans (α) et (β), notés respectivement (Pα) et (Pβ).

Solution : Figures 1i à 1iii : On commence par tracer et graduer la droite (AB) représentant la route. Ensuite la droite (i) d’intersection des plans (α) et (β) figurant le fond de la vallée est obtenue conformément à la méthode décrite dans le cours théorique. Les plans auxiliaires (π1) et (π2) permettent enfin de tracer l’intersection du segment AB avec les plans (α) et (β) . Nous déterminons ainsi les points (Pα) et (Pβ).

2. De créer un talus d’une pente de 25% pour supporter la route entre (Pα) et (Pβ).

Solution : A partir de l’équation up

δ= , nous pouvons déterminer l’intervalle graphique δ que

possèdent les plans correspondant aux flancs du remblai. Celui-ci vaut 20mm.

Figure 2i : La première étape est de trouver la ligne de niveau 6 des deux remblais. Pour cela, nous traçons autour du point de cote 8 du segment AB un cercle de rayon 2 δ. Les lignes de niveau 6 des deux plans sont donc tangentes à ce cercle et passent par le point B6. Pour localiser le point de tangence avec précision, nous utilisons un second cercle centré sur le point de cote 7 du segment AB et passant par B6 ainsi que le point de cote 8 du segment AB. Les points de tangence sont aux intersections des deux cercles.

Figure 2ii : Dans un second temps, les lignes de niveau 6 sont dessinées ainsi que les échelles de pente des plans p1 et p2.

Figure 2iii : Puis, les lignes de niveau 7 et 8 sont obtenues en traçant des parallèles aux lignes de niveau 6.

Figure 2iv : Enfin, les intersections du talus avec les versants α et β sont recherchées.

Solution de la question de théorie N°4 : Projection centrale  

Sur l’épure du haut en annexe on donne la projection centrale d’un panneau rectangulaire (ABCD), la ligne d’horizon ainsi que la position du point principal associé à cette vue. Cette projection centrale a été obtenue avec une distance principale à l’échelle de 60 mm. On demande de dessiner dans l’épure du bas l’image du même panneau si on diminue la distance principale à 30 mm en rapprochant le point de vue du plan perspectif ce dernier restant fixe. Les conditions de la prise de vue sont les suivantes :

La caméra est orientée horizontalement.

Les deux bords du panneau (AB) et (CD) sont verticaux. Les deux autres, (AD) et (BC) sont quant à eux horizontaux.

Le bord vertical (AB) est compris dans le plan perspectif.

Méthode :

1. A l’aide de la première vue, commencez par déterminer l’angle que font les côtés horizontaux du panneau avec la direction perpendiculaire au plan perspectif ainsi que leur longueur. Indiquez clairement ces deux valeurs sur l’épure.

a. Déterminez le point de fuite des côtés horizontaux (AD) et (BC).

Solution (Figure 4a): On prolonge simplement l’image des deux côtés afin de trouver leur point de fuite. Les deux arêtes étant horizontales, le point de fuite se trouve sur la ligne d’horizon.

b. A l’aide d’un rabattement, mesurez l’angle que font ces droites par rapport aux droites perpendiculaires au plan perspectif (de point de fuite (P)).

Solution : Figure 4b : On rabat le point de vue autour de la ligne de fuite passant par (Fh) et (P) qui est dans le cas présent la ligne d’horizon. Le point de vue rabattu est nommé (Sr). Figure 4c :

L’angle h rF S P est égal à l’angle entre les droites de point de fuite (Fh) et les droites

perpendiculaires au plan perspectif. Cet angle mesure 30°. c. Mesurez la longueur en vraie grandeur à l’échelle du côté inférieur (AD) en effectuant un

second rabattement.

Solution : Figure 4d : Le point de vue est cette fois rabattu autour de l’image de la droite (AD) supportant l’arête de base du panneau. Soit le point rabattu (Sr2). Figure 4e : La trace de la droite (AD) se trouve à son intersection avec le côté vertical (AB). On peut donc rabattre la droite (AD) selon la méthode du cours théorique et reporter le point (D) sur ce rabattement. La longueur du panneau à l’échelle est donc de 60mm.

2. Etablissez ensuite la projection du panneau pour une distance principale de 30mm dans l’épure inférieure. Dans cette vue, l’image du coté vertical le plus proche (AB) a déjà été tracée. Celui-ci étant compris dans le plan principal, son image n’est pas modifiée par rapport à la première vue.

a. En utilisant l’angle mesuré précédemment et un rabattement déterminez le point de fuite des bords horizontaux du panneau.

Solution : Figure 4f : Le point de fuite recherché étant celui correspondant aux bords horizontaux, il se trouvera à nouveau sur la ligne d’horizon. On commence donc par rabattre le point de vue autour de la ligne d’horizon en utilisant une distance principale de 30mm. On obtient ainsi le point (Sr3). Figure 4g :

Sachant que l’angle 3h rF S P doit être de 30° on localise aisément le point de fuite (Fh).

b. Tracez et rabattez la droite supportant le côté (AD) du panneau. A l’aide du rabattement de cette droite et de la longueur mesurée dans la première vue déterminez l’image du bord inférieur du panneau.

Solution : Figure 4h : La droite (AB) est rabattue autour de son image conformément à la méthode du cours théorique. Figure 4i : Le rabattement (Dr) du point (D) est placé à 60mm de la trace de la droite (AB) puis le point (Dr) est relevé sur la droite (AB).

c. Finalisez la seconde image en complétant le contour du panneau.

Solution (Figure 4j) : La droite supportant le côté supérieur est tracée en se servant du point de fuite (Fh). Ensuite, le côté vertical (CD) est obtenu en reliant verticalement le point (D) à la droite supportant le côté supérieur ce qui délimite ce dernier.

Solution de la question de théorie N°5 : Géométrie numérique  

Soit à la Figure 3 à gauche un objet placé dans sa configuration initiale par rapport aux axes. Cet objet subit la séquence de transformations suivante. Tout d’abord une rotation d’axe X et d’angle =45° comme indiqué à droite dans la Figure 3. Ensuite, on lui applique une transformation de projection centrale dont le point de vue est placé sur l’axe Z du côté négatif à une distance de l’origine égale à 60 2 . La matrice correspondant à cette transformation est par conséquent :

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

10 0 1d

C ,

avec 60 2d . Puis finalement une projection sur le plan XY.

a) Position initiale b) Position après rotation d’axe X

Figure 3 : Position de l’objet par rapport au système d’axe

On demande :

1. De déterminer la matrice de transformation composée M comprenant la rotation d’axe X suivie de l’opération de projection centrale et de la projection sur le plan XY.

Solution : L’expression de la matrice de rotation d’axe X est :

1 0 0 01 0 0 0

2 20 00 cos(45) sin(45) 0 2 20 sin(45) cos(45) 0 2 20 02 20 0 0 1

0 0 0 1

X

R .

Comme indiqué dans l’énoncé, cette transformation est suivie de la transformation perspective :

1 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 0

11 0 0 10 0 160 2d

C .

Puis finalement, l’objet est projeté sur le plan XY à l’aide la matrice suivante :

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

XY

P .

Pour obtenir l’opérateur combiné, on multiplie à gauche les transformations successives :

1 0 0 01 0 0 01 0 0 02 20 1 0 0 0 00 1 0 0 2 2

0 0 1 00 0 0 0 2 20 02 210 0 10 0 0 160 2 0 0 0 1

1 0 0 01 0 0 0

2 20 02 20 1 0 0

2 20 0 0 0 0 02 20 0 0 1

1 10 1120 120

1 0 0 0

2 20 02 20 0

XY X

M P C R

0 0

1 10 1120 120

.

2. De calculer la transformation du point B par l’opérateur M, le pas du quadrillage est de 10 unités.

Solution : D’après la figure, les coordonnées homogènes initiales du point B sont :

0

50

30

0

1

B .

Pour connaitre les coordonnées projetées, on multiplie premièrement à gauche ce vecteur par l’opérateur combiné M :

1 0

1 0 0 050

2 20 0 302 200 0 0 011 10 1120 120

5050

15 215 2

00

51 14 4

B M B

.

Ensuite on effectue la division perspective afin de ramener ce point dans le plan w=1 pour obtenir l’image du point B. On divise donc chaque composante par 5/4 :

2

40

12 2

0

1

B .

3. D’obtenir le point de fuite de l’arête OA dans la projection finale.

Solution : Pour connaître le point de fuite de l’arête OA, nous allons appliquer la transformation combinée à son vecteur directeur. D’après la figure, le vecteur OA s’exprime initialement en coordonnées homogènes comme suit :

0

0

30

0

0

OA

Dès lors, on commence par le multiplier à gauche par la matrice M :

1 0

1 0 0 00

2 20 0 302 200 0 0 001 10 1120 120

0

15 2

0

14

OA M OA

Puis on divise chaque composante par la coordonnée homogène (1/4) pour ramener le point dans le plan w=1 :

2

0

60 2

0

1

OA

Qui correspond à la position du point de fuite des arêtes parallèles à OA.

Solution de l’exercice N°1 : Axonométrie

On donne les trois vues d'un objet.

1. Dans un premier temps, tracez en traits fins une isométrie selon la direction d'observation indiquée.

Solution : Figure a : L'axonométrie est tracée conformément à la méthode du cours.

2. Dans un second temps, déterminez la trace du plan de coupe suggéré par les trois points (A), (B) et (C). Les arêtes visibles situées en dessous du plan de coupe seront tracées en traits continus forts, les arêtes invisibles en traits pointillés. La trace du plan sera indiquée en traits forts. Les arêtes situées à l'avant du plan (visibles ou non) resteront en traits fins.

Solution : Figure b : La droite (AB) (respectivement (AC)) permet de déterminer la direction de coupe des faces verticales parallèles à la vue de gauche (resp. parallèles à la vue de face). Ensuite, on utilise les deux directions de coupe précédemment obtenues afin de déterminer la direction de coupe des faces horizontales. Partant du point (A) et connaissant les coupes des deux faces verticales supportant ce point, on détermine la coupe de la face horizontale directement supérieure au point (A). Le reste de la coupe est obtenu en utilisant successivement ces trois directions de coupe. Finalement, la coupe de la face oblique de la pièce est obtenue en dernière.

Solution de l’exercice N°2 : Construction d'une perspective

On donne deux vues d'un bâtiment.

1. Tracez la vue en perspective sur l'ébauche fournie correspondant au tableau , en respectant le point de vue S dont la position est indiquée sur le dessin.

Solution : L’épure de Monge est complétée. Figures 1i à 1vii : Ensuite le bâtiment est représenté en projection centrale.

2. Dans un second temps, dessinez l'ombre visible portée par le solide sur le plan horizontal de référence. La source lumineuse placée à une distance infinie de l’observateur éclaire la scène latéralement depuis la gauche de l’observateur. Ses rayons lumineux forment un angle de 45° avec le plan horizontal. Hachurez les parties visibles de l'ombre.

Solution : Figures 2i à 2iii : L’ombre portée par le bâtiment sur le sol est recherchée Figure 2iv : Enfin, on obtient l'ombre visible portée par l'objet en projection centrale.