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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux Unité 10 : Les 4 opérations sur les nombres décimaux Étendre l’automatisation des techniques écrites de calcul aux nombres décimaux. Contrôler la vraisemblance des résultats. Revoir les différents sens des opérations et les utiliser dans des résolutions de problèmes à une ou plusieurs étapes. Introduction Les algorithmes et les propriétés des quatre opérations ont déjà été abordés. La pratique régulière a permis aux élèves d’en comprendre les mécanismes et de les automatiser. C’est essentiellement dans la présenta- tion des calculs et dans la gestion de la virgule que les élèves vont acquérir de nouvelles compétences. Pour les calculs additifs et soustractifs posés, les élèves vont apprendre que, dans une opération posée, on doit ali- gner les virgules les unes sous les autres. Pour le calcul en colonne du produit d’un décimal par un entier, la question de la présentation ne se pose pas. Les élèves apprennent qu’une fois le résultat obtenu, la virgule est placée de manière à avoir une partie décimale de même longueur au résultat que dans le nombre déci- mal multiplié. Dans la division d’un nombre décimal par un nombre entier, l’attention des élèves est attirée sur la place de la virgule dans le résultat. La vérifica- tion de la pertinence des résultats reste ici essentielle. La résolution de nombreux problèmes concrets permet de consolider les différents sens des opérations. Choix didactiques Une large part de manipulation est accordée à l’apprentissage des opérations sur les décimaux. L’étude des mécanismes opératoires est complétée par de nombreux problèmes concrets permettant de donner du sens aux opérations, et qui constitue l’un des points clés de la méthode de Singapour. Le calcul mental y prend également une grande place dans la recherche de valeurs approchées et d’arrondis. La véri- fication de la vraisemblance des résultats est systéma- tisée. Les élèves y retrouvent et utilisent les fameux « modèles en barres », dont l’efficacité pour la com- préhension des situations n’est plus à démontrer. Les quatre étapes de Polya (comprendre, planifier, faire, vérifier) sont également reprises et constituent une aide essentielle à la résolution des problèmes. Progression L’apprentissage de l’addition et de la soustraction des nombres décimaux occupe pour chaque opéra- tion trois séances : les deux premières sont relatives à l’algorithme de chacune des opérations, la troisième concerne l’estimation du résultat des calculs posés. Ces séances sont suivies de deux séances de problèmes additifs mettant en jeu l’addition et la soustraction. La multiplication des nombres décimaux occupe ensuite trois séances, suivies également d’une séance sur l’esti- mation des résultats. La division des nombres décimaux s’étend sur quatre séances, aussi suivies d’une séance sur l’estimation des résultats. Les séances suivantes sont dédiées à la résolution de problèmes mettant en jeu les quatre opérations sur les nombres décimaux avec des problèmes à une seule étape dans un premier temps, puis des problèmes à deux étapes. Difficultés générales d’apprentissage Il existe des erreurs courantes dans les calculs additifs ou multiplicatifs. Le premier type d’erreur concerne la présentation des calculs lorsque les parties décimales sont de longueurs distinctes. Le placement de la vir- gule au résultat peut également varier : absence de virgule, virgule placée comme dans le nombre d’en haut ou comme dans le nombre d’en bas. Pour éviter ce type d’erreurs, il est possible de reprendre la mani- pulation des disques-nombres permettant aux élèves d’avoir une vision concrète des nombres, de les placer dans le tableau de numération ou encore de complé- ter par des zéros la partie décimale la plus courte afin de « calibrer » les parties décimales. Le calibrage des parties décimales se révèle particulièrement utile dans le calcul d’une soustraction posée lorsque la partie décimale du nombre que l’on soustrait est plus longue. Un autre type d’erreur rejoint la conception erronée du décimal, perçu comme la juxtaposition de deux entiers séparés par une virgule. Cette erreur consiste, notamment dans le calcul en ligne, à l’ajout séparé de la partie entière et de la partie décimale considérée comme un entier. Concernant les calculs multiplicatifs, la principale source d’erreurs est liée à la méconnais- sance des tables de multiplication. Le rôle et la place du zéro sont à travailler car la présence d’un zéro peut aussi conduire à des erreurs de calcul. ©La Librairie des Écoles, 2018

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Page 1: Unité 10 : Les 4 opérations sur les nombres décimaux...Additionner des nombres décimaux jusqu’aux centièmes (nombres inférieurs à 10). Compétence du programme 2016 : Calculer

Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Unité 10 : Les 4 opérations sur les nombres décimauxÉtendre l’automatisation des techniques écrites de calcul aux nombres décimaux. Contrôler la vraisemblance des résultats. Revoir les différents sens des opérations et les utiliser dans des résolutions de problèmes à une ou plusieurs étapes.

IntroductionLes algorithmes et les propriétés des quatre opérations ont déjà été abordés. La pratique régulière a permis aux élèves d’en comprendre les mécanismes et de les automatiser. C’est essentiellement dans la présenta-tion des calculs et dans la gestion de la virgule que les élèves vont acquérir de nouvelles compétences. Pour les calculs additifs et soustractifs posés, les élèves vont apprendre que, dans une opération posée, on doit ali-gner les virgules les unes sous les autres. Pour le calcul en colonne du produit d’un décimal par un entier, la question de la présentation ne se pose pas. Les élèves apprennent qu’une fois le résultat obtenu, la virgule est placée de manière à avoir une partie décimale de même longueur au résultat que dans le nombre déci-mal multiplié. Dans la division d’un nombre décimal par un nombre entier, l’attention des élèves est attirée sur la place de la virgule dans le résultat. La vérifica-tion de la pertinence des résultats reste ici essentielle. La résolution de nombreux problèmes concrets permet de consolider les différents sens des opérations.

Choix didactiquesUne large part de manipulation est accordée à l’appren tissage des opérations sur les décimaux. L’étude des mécanismes opératoires est complétée par de nombreux problèmes concrets permettant de donner du sens aux opérations, et qui constitue l’un des points clés de la méthode de Singapour. Le calcul mental y prend également une grande place dans la recherche de valeurs approchées et d’arrondis. La véri-fication de la vraisemblance des résultats est systéma-tisée. Les élèves y retrouvent et utilisent les fameux « modèles en barres », dont l’efficacité pour la com-préhension des situations n’est plus à démontrer. Les quatre étapes de Polya (comprendre, planifier, faire, vérifier) sont également reprises et constituent une aide essentielle à la résolution des problèmes.

ProgressionL’apprentissage de l’addition et de la soustraction des nombres décimaux occupe pour chaque opéra-

tion trois séances : les deux premières sont relatives à l’algorithme de chacune des opérations, la troisième concerne l’estimation du résultat des calculs posés. Ces séances sont suivies de deux séances de problèmes additifs mettant en jeu l’addition et la soustraction. La multiplication des nombres décimaux occupe ensuite trois séances, suivies également d’une séance sur l’esti-mation des résultats. La division des nombres décimaux s’étend sur quatre séances, aussi suivies d’une séance sur l’estimation des résultats. Les séances suivantes sont dédiées à la résolution de problèmes mettant en jeu les quatre opérations sur les nombres décimaux avec des problèmes à une seule étape dans un premier temps, puis des problèmes à deux étapes.

Difficultés générales d’apprentissage

Il existe des erreurs courantes dans les calculs additifs ou multiplicatifs. Le premier type d’erreur concerne la présentation des calculs lorsque les parties décimales sont de longueurs distinctes. Le placement de la vir-gule au résultat peut également varier : absence de virgule, virgule placée comme dans le nombre d’en haut ou comme dans le nombre d’en bas. Pour éviter ce type d’erreurs, il est possible de reprendre la mani-pulation des disques-nombres permettant aux élèves d’avoir une vision concrète des nombres, de les placer dans le tableau de numération ou encore de complé-ter par des zéros la partie décimale la plus courte afin de « calibrer » les parties décimales. Le calibrage des parties décimales se révèle particulièrement utile dans le calcul d’une soustraction posée lorsque la partie décimale du nombre que l’on soustrait est plus longue. Un autre type d’erreur rejoint la conception erronée du décimal, perçu comme la juxtaposition de deux entiers séparés par une virgule. Cette erreur consiste, notamment dans le calcul en ligne, à l’ajout séparé de la partie entière et de la partie décimale considérée comme un entier. Concernant les calculs multiplicatifs, la principale source d’erreurs est liée à la méconnais-sance des tables de multiplication. Le rôle et la place du zéro sont à travailler car la présence d’un zéro peut aussi conduire à des erreurs de calcul.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Pré-requis pour additionner des nombres décimaux

Les élèves doivent maîtriser les connaissances sur la numération décimale (unités, dizaines, cen-taines, dixièmes…). Ils doivent savoir placer des nombres dans un tableau et connaître la valeur de position de chacun des chiffres. Assurez-vous que les élèves maî-trisent certaines procédures de calcul mental et réfléchi ainsi que l’algorithme de l’addition des nombres entiers. Ils doivent éga-lement être capables d’évaluer un ordre de grandeur.

Étapes de la séance Modalité

1 Observer l’illustration page 204 Collectif

2 Introduire l’addition des nombres décimaux

Collectif

3 Exercices guidés Collectif et individuel

4 Pratique autonome Individuel

Manuel : pp. 204-206Fichier photocopiable : p. 209

Matériel pédagogique : disques-nombres, cartes-nombres, matériel multibases, tableau de numération, ardoises

Vocabulaire : partie entière, partie décimale, dixièmes, centièmes

1 Observer l’illustration page 204Projetez la page 204 du manuel. Les élèves doivent connaître les quatre opérations sur les nombres décimaux pour pouvoir tirer des conclusions. Attirez l’attention des élèves sur Adèle et Idris : « Quelle est la longueur du saut d’Adèle ? De celui D’Idris ? » Expliquez : « Pour connaître la longueur totale de leurs sauts, nous allons compter à par-tir de 6 dixièmes : 6 dixièmes, 7 dixièmes…, 13 dixièmes. La longueur totale est de 13 dixièmes de mètre. Est-ce plus long que 1 mètre ? Comment écrit-on 13 dixièmes de mètre avec un nombre décimal ? » Demandez aux élèves combien ils pesaient l’an dernier et combien ils pèsent aujourd’hui. Revenez sur Maël et placez les nombres 30,8 et 31,8 sur la droite numérique : « Que cherche-t-on à connaître pour Maël ? Quelle était sa masse l’an dernier ? Combien pèse-t-il aujourd’hui ? » Il s’agit ici de la recherche de l’écart, notion déjà abordée en CE2. On peut calculer « pas à pas » en comptant les dixièmes, ainsi justifier le phylactère de pensée de Maël. Pour Alice, placez 29,3 sur la droite numérique et expliquez : « Alice pesait 29,3 kg l’an dernier, on va chercher combien elle pèse aujourd’hui. Alice dit qu’elle a pris 1 kg, cela signifie qu’elle pèse 1 kg de plus cette année, c’est 1 kg de plus que 29,3. » On peut aussi faire lire la masse d’Alice sur la balance.

2 Introduire l’addition des nombres décimauxProjetez la page 205 et utilisez le matériel multibases et les disques-nombres pour illustrer le calcul des additions proposées. La technique de calcul de l’addition des nombres décimaux est la même que celle pour les nombres entiers. Les élèves doivent avoir une bonne connais-sance préalable de la valeur de position et du sens des nombres. S’ils éprouvent des difficultés avec le calcul de l’addition, aidez-les en pré-cisant la valeur de position au-dessus des chiffres du premier terme de l’addition ou utilisez les cartes-nombres dans le tableau de numé-ration. Utilisez les disques-nombres pour illustrer l’algo rithme de

Additionner des nombres décimaux jusqu’aux centièmes (nombres inférieurs à 10).

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Calcul mental

Donnez des nombres décimaux avec deux chiffres après la virgule et demandez aux élèves d’écrire sur leur ardoise combien de centièmes il faudrait ajouter à ces nombres pour atteindre le dixième supérieur. Exemple : avec 9,78 il faut ajouter 0,02 pour atteindre 9,8. Faites remarquer aux élèves qu’il faut simplement trou-ver le complément à 10 du chiffre des centièmes de ce nombre et ensuite écrire sous forme de centième le résultat. Exemple : 8 a 2 pour complé-ment à 10 donc il faut ajouter 0,02 au nombre donné.

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– durée de la séance : 1 heure 30

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 204

Manuel p. 205

Manuel p. 206

204 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Les 4 opérations sur les nombres décimaux10

Unité

Mon saut atteint 0,6 m.

Mon saut atteint 0,7 m. Est-ce qu’à nous deux, Adèle et moi sautons plus que 1 m ?

De combien ma masse a-t-elle

augmenté cette année ?

Je pesais 29,3 kg l’année dernière. Cela veut dire que j’ai pris 1 kg cette année !

Fais un saut à partir de la ligne de départ.

31,7 kg – 30,8 kg = 0,9 kg

206 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

1 Additionne. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour vérifier tes réponses.

a) 0 , 4+ 0 , 2

b) 0 , 3+ 0 , 6

c) 0,07 + 0,02 = d) 0,95 + 0,03 =

e) 0,31 + 0,04 = f) 0,3 + 0,04 =

2 Additionne. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour vérifier tes réponses.

a) 0,4 + 0,8 = b) 0,8 + 0,7 =

c) 0,7 + 0,42 = d) 0,6 + 0,5 =

3 Additionne 3,19 et 0,14.

3,19 + 0,14 =

4 Additionne. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour vérifier tes réponses.

a) 0,25 + 0,36 = b) 0,38 + 0,37 =

c) 4,68 + 0,13 = d) 5,36 + 2,49 =

7 centièmes+ 2 centièmes= 9 centièmes

Ajoute les dixièmes.

Échange 13 centièmes contre 1 dixième et 3 centièmes.

Ajoute les unités.Ajoute les centièmes.

3 , 11 9+ 0 , 1 4

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3 , 11 9+ 0 , 1 4

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206 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

1 Additionne. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour vérifier tes réponses.

a) 0 , 4+ 0 , 2

b) 0 , 3+ 0 , 6

c) 0,07 + 0,02 = d) 0,95 + 0,03 =

e) 0,31 + 0,04 = f) 0,3 + 0,04 =

2 Additionne. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour vérifier tes réponses.

a) 0,4 + 0,8 = b) 0,8 + 0,7 =

c) 0,7 + 0,42 = d) 0,6 + 0,5 =

3 Additionne 3,19 et 0,14.

3,19 + 0,14 =

4 Additionne. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour vérifier tes réponses.

a) 0,25 + 0,36 = b) 0,38 + 0,37 =

c) 4,68 + 0,13 = d) 5,36 + 2,49 =

7 centièmes+ 2 centièmes= 9 centièmes

Ajoute les dixièmes.

Échange 13 centièmes contre 1 dixième et 3 centièmes.

Ajoute les unités.Ajoute les centièmes.

3 , 11 9+ 0 , 1 4

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l’addi tion et mettez en évidence avec eux que l’addition des nombres décimaux est similaire à celle des nombres entiers. Le calcul de l’addi-tion commence par la colonne la plus à droite. Lorsque le total est supérieur à 10, on pose une retenue dans la colonne voisine.

3 Exercices guidésDans les exercices 1 et 2 page 206, faites exprimer les additions en dixièmes et centièmes. Les élèves doivent trouver la somme en cal-culant mentalement. Par exemple : « Dans l’exercice 1a), 4 dixièmes et 2 dixièmes font 6 dixièmes. Dans le 2a), 4 dixièmes et 8 dixièmes font 12 dixièmes, 12 dixièmes, c’est 1 unité et 2 dixièmes. » Deman-dez-leur d’utiliser les disques-nombres pour appuyer leur réponse si nécessaire. Dans l’exercice 3, utilisez les disques-nombres pour illustrer l’addition de 3,19 et 0,14. En commençant par les centièmes, deman-dez aux élèves de procéder à l’échange contre 1 dixième. Demandez : « Combien font 9 centièmes et 4 centièmes ? Comment exprime-t-on cette somme en dixièmes et centièmes ? Comment doit-on le faire apparaître dans l’opération ? Que doit-on additionner ensuite ? Pour-quoi ? Combien obtient-on de dixièmes ? Que doit-on écrire dans cette colonne ? Doit-on aussi faire un échange avec les dixièmes ? Pourquoi ? Qu’obtient-on en additionnant les unités ? Quel est le résultat de la somme de 3,19 et 0,14 ? » Laissez-les répondre indivi-duellement à l’exercice 4 sur leur ardoise à l’aide des disques-nombres pour effectuer leurs calculs posés. Rappelez-leur de bien aligner la vir-gule en posant l’addition, que les chiffres des dixièmes sont dans la même colonne et les chiffres des centièmes dans la colonne suivante. Passez dans les rangs pour faire reformuler aux élèves en difficulté la procédure utilisée pour additionner.

4 Pratique autonomeExercice 1 page 209 du fichier photocopiable. Laissez les élèves en difficulté utiliser le matériel pour illustrer leurs calculs.

Différenciation

Soutien : Pour les élèves en difficulté, il peut être nécessaire de renfor-cer la maîtrise de la valeur de position dans l’écriture décimale et de celle des égalités du type : 10 centièmes, c’est 1 dixième ou 10 dixièmes c’est 1 unité… que l’addition de 8 dixièmes et de 4 dixièmes donne 12 dixièmes : 10 dixièmes formant une unité (en retenue). La mani-pulation permet de consolider et d’automatiser l’algorithme de l’ad-dition avec les décimaux. Les élèves doivent rapidement réaliser que cette technique est identique à celle utilisée pour les entiers.Approfondissement : Proposez aux élèves les plus avancés une série d’additions (le résultat sera un nombre inférieur à 10). Donnez les additions en ligne, ce qui impose aux élèves de les disposer verticale-ment. Dites : « Posez et calculez les additions. »

Synthèse de la séance

• Je sais calculer une addition en procédant aux échanges entre centièmes, dixièmes et unités.

• Je sais placer correctement la virgule sous la virgule lorsque je pose une addition avec des nombres décimaux.

• J’ai compris que la technique utilisée dans l’addition des nombres décimaux est la même que celle utilisée dans l’addition des nombres entiers.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Points de vigilance et critères de réussite

Dans cette séance, afin de per-mettre aux élèves de s’approprier convenablement l’algorithme de l’addition des nombres décimaux, veillez à ce qu’ils développent les automatismes suivants :• placer correctement les termes de

l’addition posée en mettant la vir-gule sous la virgule ;

• calculer la somme dans chaque classe des termes de l’addition en commençant par la colonne la plus à droite ;

• effectuer les échanges de 10 élé-ments d’une classe du tableau de numération en 1 élément de la classe supérieure ;

• ne pas oublier de reporter la vir-gule dans le résultat.

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Additionner des nombres avec plus d’un échange

Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 207Fichier photocopiable : p. 210

Matériel pédagogique : disques-nombres, tableau de numération, ardoises

1 Se mettre en situationRevenez sur la séance précédente où l’addition des nombres déci-maux a été abordée. Rappelez aux élèves que l’on procède pour les nombres décimaux comme pour les nombres entiers en com-mençant par la colonne de droite et en procédant aux échanges de centièmes aux dixièmes, puis de dixièmes aux unités lorsque le total est supérieur à 10. Dites-leur de ne pas oublier la retenue lorsqu’ils ont procédé à un échange. Ensuite, demandez-leur de prendre leurs ardoises et de poser l’opération suivante : 0,4 + 0,9. Attirez leur attention sur l’alignement des virgules. Posez vous-même cette opé-ration au tableau en invitant les élèves à vous guider pour le faire et en expliquant oralement toutes les étapes à respecter pour poser cette addition, puis pour la calculer. Appuyez cette démonstration avec les disques-nombres. Proposez-leur ensuite de calculer seuls sur leur ardoise l’addition suivante : 3,27 + 2,56. Proposez à un élève volontaire de venir faire l’opération devant ses camarades en expli-quant sa démarche.

2 Additionner des nombres avec plus d’un échangeFaites ouvrir le manuel page 207. Utilisez les disques-nombres pour montrer les deux échanges qui seront nécessaires dans l’opération de l’exercice 1, 3,58 + 2,79 (centièmes en dixième, puis dixièmes en unité). Faites trois colonnes au tableau et demandez à un élève volontaire de venir représenter le nombre 3,58. Assurez-vous qu’il place correctement dans les colonnes les disques des unités à la gauche des disques des dixièmes et les disques des centièmes à la droite de ceux des dixièmes. Demandez à un autre élève de venir représenter le nombre 2,79, en plaçant les disques-nombres en-des-sous de ceux représentant le nombre 3,58. Rappelez de nouveau que l’addition des nombres décimaux se fait de la même manière que l’addition des nombres entiers. Commencez par calculer le nombre de centièmes dans la colonne de droite. Comptez le nombre de cen-tièmes en demandant s’il y en a suffisamment pour échanger contre 1 dixième. Répétez chacune des actions dans chaque colonne. Faites

Additionner des nombres décimaux jusqu’aux centièmes (nombres inférieurs et supérieurs à 10).

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Calcul mental

Proposez des nombres avec deux chiffres après la virgule et demandez aux élèves d’arrondir ces nombres au dixième le plus proche (faites-les utili-ser l’ardoise).

Additionner des nombres décimaux (2)96

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 207

207Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Exercices p. 210 - Fichier photocopiable

1 Additionne 3,58 et 2,79.

3,58 + 2,79 =

Séance 96 Additionner des nombres décimaux (2)

Ajoute les dixièmes.

Échange 17 centièmes contre 1 dixième et 7 centièmes.

Ajoute les unités.Ajoute les centièmes.

3 , 15 8+ 2 , 7 9

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13 , 15 8+ 2 , 7 9

3 7

13 , 15 8+ 2 , 7 9

6 , 3 7Échange 13 centièmes contre 1 unité et 3 dixièmes.

Cela ressemble à : 3 5 8 + 2 7 9 6 3 7Quelle est la différence ?

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échan

ge

échange

2 Additionne.

a) 7,6 + 8,7 = b) 0,09 + 5,93 =

c) 5,38 + 4,8 = d) 9,6 + 17,45 =

Souviens-toi d’aligner les virgules.

Calcul mental Exercice 96 - Guide pédagogique

lire et commenter ce que disent Idris et Adèle sur la page en insis-tant bien sur l’importance, dans l’addition de nombres décimaux, de ne pas oublier de faire figurer la virgule au résultat. En effet, même si la technique de calcul est la même que pour les nombres entiers, le nombre 637 n’a pas la même valeur que le nombre 6,37. Dans l’exercice 2, laissez les élèves effectuer individuellement les additions en allant cependant vers les élèves les plus fragiles afin de les aider à se remémorer les différentes étapes du calcul. Reprenez éventuellement avec eux les disques-nombres pour représenter cha-cun des termes dans les additions proposées et pour ainsi procéder plus concrètement aux échanges. Attirez leur attention sur le calcul de 5,38 + 4,8 où les deux termes n’ont pas le même nombre de déci-males après la virgule. Demandez-leur ce que l’on doit faire dans ce cas, en rappelant avec eux que 4,8 c’est 4 unités et 8 dixièmes, c’est donc 4 unités, 8 dixièmes et 0 centième. Amenez les élèves à expri-mer que l’on place la virgule sous la virgule en posant l’opération et qu’on ajoute les 8 centièmes de 5,38 au 0 centième de 4,8.

3 Pratique autonomeProposez à l’ensemble des élèves l’exercice 1 page 210 du fichier photocopiable. Laissez les élèves les plus fragiles utiliser le matériel pour illustrer leurs calculs et la possibilité de travailler en binômes (voir différenciation).

Différenciation

Soutien : Pour les élèves en difficulté, faites travailler l’exercice 1 page 210 du fichier photocopiable en binômes et avec les disques-nombres pour représenter chacun des termes des additions.Approfondissement : Les élèves les plus avancés résoudront seuls l’énigme proposée page 210 du fichier photocopiable. Dans le cas où certains élèves finiraient rapidement cet exercice, proposez le calcul d’additions de nombres décimaux (résultats variant de 10,01 à 99,99). Proposez éventuellement le calcul d’additions dont les termes n’ont pas le même nombre de décimales.

Synthèse de la séance

• Je sais calculer une addition en procédant aux échanges entre centièmes, dixièmes et unités.

• J’ai compris que la technique utilisée dans l’addition des nombres décimaux est la même que celle utilisée dans l’addition des nombres entiers.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Estimer un résultat en arrondissant à l’entier ou au dixième le plus proche

Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 208Fichier photocopiable : pp. 211-214

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

1 Se mettre en situationDans les séances 92 et 93, les élèves ont appris à arrondir un nombre décimal à l’entier et au dixième le plus proche. Les compétences développées lors de ces leçons vont leur permettre de trouver la valeur approchée d’un résultat en arrondissant les termes de la somme. Demandez aux élèves de prendre leurs ardoises et question-nez : « Quel est l’entier le plus proche de 8,2 ? Quel est l’entier le plus proche de 3,8 ? Quel est le dixième le plus proche de 6,26 ? Quel est le dixième le plus proche de 4,23 ? Comment fait-on pour trouver l’entier le plus proche ? Le dixième le plus proche ? » Utilisez une droite numérique pour visualiser la place des nombres par rapport à l’entier le plus proche et faites rappeler la règle utilisée.

2 Estimer un résultat en arrondissant à l’entier ou au dixième le plus procheÉcrivez au tableau les nombres de l’exercice 1 page 208 du manuel. Demandez aux élèves d’arrondir ces nombres à l’entier le plus proche : « 6,7 est plus grand que 6,5, mais plus petit que 7. 7,9 est plus grand que 7,5, mais plus petit que 8. La somme de 6,7 et 7,5 sera plus grande que 14, mais elle sera plus petite que 15. » Vous pouvez aussi prendre en compte les dixièmes dans l’estimation : « 6,7 est plus petit que 7 et 7,9 est légèrement plus petit que 8. La somme de 6,7 et 7,5 sera donc plus petite que 15. » Faites ouvrir le manuel à la page 208. Dites à la classe que l’estimation du résultat d’un calcul peut permettre de vérifier la vraisemblance des réponses. Laissez les élèves s’exprimer sur les différentes manières possibles pour estimer. Par exemple : « On peut dire que 6,7 c’est environ 6,5 et 7,9, c’est environ 7,5, alors 6,7 et 7,9, c’est un peu moins que 15, la somme de 7 et 8. » Attirez l’attention des élèves sur ce que dit Maël et deman-dez aux élèves de répondre à sa question. Le résultat trouvé est 14,6. Le résultat est un peu plus petit que 15, donc la réponse est vrai-semblable. Dans l’exercice 2, montrez aux élèves comment estimer le résultat en verbalisant les cheminements possibles. Laissez-les exprimer les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Par

Intérêt de savoir estimer le résultat d’un calcul

Pour les élèves, s’assurer de la vrai-semblance du résultat de leurs calculs favorise l’auto-apprentis-sage et l’auto-évaluation, dans la mesure où ils seront capables d’identifier eux-mêmes leurs erreurs. Cela leur donne également l’occasion de partager avec leurs camarades leurs stratégies de véri-fication.Entraîner les élèves à estimer les effets prévisibles d’un calcul est une pratique importante au cycle 3 pour les conduire à mieux contrôler les résultats obtenus par un calcul ins-trumenté ou posé, mais également en résolution de problèmes où le calcul met en jeu des grandeurs au travers de situations concrètes de la vie quotidienne.

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs Estimer une somme de décimaux en arrondissant les termes aux entiers les plus proches ou bien aux dixièmes les plus proches.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Calcul mental

Proposez des devinettes. Exemple : « Je suis un nombre à virgule avec deux chiffres après la virgule. J’ai trois dixièmes de plus que le nombre qu’il faut ajouter à 14,7 pour obtenir 16. Mon chiffre des centièmes est le même que mon chiffre des unités. Qui suis-je ? » (1,61.) Utilisez dans ces devinettes des ajouts ou des retraits simples, des compléments, et jouez sur la place des chiffres dans le nombre.

Additionner et estimer97

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 208

208 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Exercices pp. 211-214 - Fichier photocopiable

1 Trouve la valeur de 6,7 + 7,9. Estime le calcul pour vérifier si ton résultat est raisonnable.

6 , 7+ 7 , 9

6,7 + 7,9 =

2 Trouve la valeur de 9,36 + 6,82.Estime le calcul pour vérifier si ton résultat est raisonnable.

9 , 3 6+ 6 , 8 2

9,36 + 6,82 =

3 Trouve la somme de 4,64 et 5,36. Estime le calcul pour vérifier si ton résultat est raisonnable.

4 Calcule mentalement.

a) 3,05 + 2,04 = b) 7,35 + 4,65 =

c) 1,45 + 3,2 = d) 2,85 + 6,15 =

Séance 97 Additionner et estimer

6,7 → 77,9 → 8

7 + 8 = Mon résultat est-il raisonnable ?

3,05 + 2 + 0,047,35 + 4 + 0,65

Calcul mental Exercice 97 - Guide pédagogique

exemple, arrondir les nombres au dixième le plus proche donne une estimation plus précise, mais les arrondir à l’entier le plus proche est plus facile, puisque le calcul de l’estimation se fait avec des nombres entiers. Laissez les élèves réaliser individuellement l’exercice 3, mais demandez à la moitié de la classe d’arrondir chaque nombre déci-mal au dixième le plus proche avant d’additionner et à l’autre moi-tié d’estimer la somme en arrondissant chaque décimal au nombre entier le plus proche. Confrontez ensuite les résultats. (La réponse à trouver est 10 quelle que soit la démarche utilisée.) L’exercice 4 invite à calculer mentalement les sommes 3,04 + 2,04 et 7,35 + 4,65. Pour les questions a) et b), les stratégies de calcul sont données alors que, pour les questions c) et d), les élèves doivent les trouver eux-mêmes en s’appuyant sur les modèles proposés dans les deux pre-mières questions.

3 Pratique autonomeProposez l’exercice 3 page 214 du fichier photocopiable. Les deux autres pages feront l’objet de la différenciation. L’exercice 1 se révèle complexe en raison de sa consigne demandant de réaliser plu-sieurs tâches et de sa forme, où les résultats des calculs doivent être reportés dans les briques, ce qui peut mettre en difficulté les élèves les plus fragiles. L’exercice 2 pourra être proposé aux élèves avancés lorsqu’ils auront terminé l’exercice 3.

Différenciation

Soutien : L’exercice 2 page 214 du fichier photocopiable qui reprend dans sa forme l’exercice réalisé lors de la pratique autonome de la séance 96 peut être proposé aux élèves fragiles en binômes. Lais-sez-leur la possibilité d’utiliser les disques-nombres ou de placer les nombres sur la droite numérique.Approfondissement : Les élèves les plus avancés feront individuelle-ment les exercices des pages 211 à 213 du fichier photocopiable. La consigne de l’exercice 1 sera explicitée afin d’effectuer chacune des étapes dans le bon ordre. En effet, Les élèves doivent :• repérer les nombres à additionner (attention, sur la 2e ligne, le

même nombre, celui de la brique du milieu, est utilisé deux fois) ;• poser l’opération ;• estimer son résultat ;• reporter le résultat dans la brique si la réponse trouvée est vraisem-

blable.Ils pourront confronter leurs résultats et échanger sur la méthode utilisée.

Synthèse de la séance

• Je sais utiliser l’arrondi à l’entier le plus proche pour estimer le résultat d’une addition de nombres décimaux.

• Je sais utiliser l’arrondi au dixième le plus proche pour estimer le résultat d’une addition de nombres décimaux.

• Je choisis la démarche me permettant d’estimer le résultat de mon calcul.

• Je sais dire si le résultat de mon calcul est vraisemblable.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Soustraire des nombres décimaux

On appliquera, comme pour la soustraction des nombres entiers, la méthode qui consiste à « cas-ser » la dizaine pour la transfor-mer en 10 unités, à l’unité que l’on transformera en 10 dixièmes et au dixième que l’on transformera en 10 centièmes.Bien que l’addition des nombres décimaux ait été travaillée, le fait d’avoir une partie décimale au dixième ou au centième dans les deux nombres ne permet pas de voir si l’élève a bien identifié l’unité pour poser l’opération. Il est donc important de proposer très vite des nombres ne comportant pas le même nombre de chiffres dans la partie décimale. Il s’agit de conser-ver un regard vigilant permettant de distinguer la procédure « méca-nique » de la bonne compréhen-sion du système décimal par l’élève.

Étapes de la séance Modalité

1 Introduire la soustraction des nombres décimaux

Collectif

2 Exercices guidés Collectif, individuel et en binômes

3 Pratique autonome Individuel

Manuel : pp. 209-210Fichier photocopiable : pp. 215-216

Matériel pédagogique : disques-nombres, cartes-nombres, matériel multibases, tableau de numération, ardoises

Vocabulaire : partie entière, partie décimale, dixièmes, centièmes

1 Introduire la soustraction des nombres décimauxLa technique de la soustraction des nombres décimaux est identique à celle des nombres entiers. Les élèves doivent déjà avoir des connais-sances sur cette technique et sur la valeur de position des chiffres. S’ils éprouvent des difficultés, demandez-leur d’écrire la valeur de chaque chiffre au-dessus des nombres à soustraire et utilisez les disques-nombres, le matériel multibases ou encore le tableau de numération. Projetez la page 209 du manuel. Le premier exemple propose une soustraction sans retenue. En utilisant le matériel mul-tibases et les disques nombres pour représenter le nombre 0,7, dites aux élèves : « Combien y a-t-il de dixièmes ? Nous allons retirer 4 dixièmes (retirez alors 4 dixièmes du matériel multibases, puis des disques-nombres représentant 0,7 pour matérialiser la soustraction). Combien de dixièmes reste-t-il ? Comment écrit-on 3 dixièmes avec un nombre décimal ? Que reste-t-il lorsqu’on soustrait 0,4 de 0,7 ? » Le deuxième exemple montre une soustraction à retenue. Utilisez une approche concrète pour aider les élèves à trouver la différence entre 3 et 0,4. Lisez le phylactère de pensée d’Adèle pour réactiver que 3 est égal à 3,0. Aidez les élèves à trouver la différence entre 3 et 0,4 en les guidant ainsi : « Lorsque l’on soustrait 0,4 de 3, combien d’unités reste-t-il ? » (2 unités.) « Où doit-on écrire 2 unités ? Qu’ob-tient-on quand on soustrait 0,4 de 3 ? » (2,6.) Consolidez le résultat obtenu en commentant le phylactère de pensée de Maël où 3 est transformé en 30 dixièmes, 0,4 en 4 dixièmes et 2,6 en 26 dixièmes. Rappelez aux élèves les différentes étapes figurant sur la page pour poser l’opération 3 – 0,4 : « Aligne les virgules des décimales. Sous-trais les dixièmes. Soustrais les unités. »

2 Exercices guidésDans l’exercice 1 page 210, demandez aux élèves de formuler les nombres en dixièmes et en centièmes et de calculer mentalement le résultat. Par exemple, en 1a : « 9 dixièmes moins 6 dixièmes est égal

Soustraire des nombres décimaux jusqu’aux centièmes.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Calcul mental

Proposez des sommes de deux déci-maux avec d’abord un seul chiffre après la virgule et une partie entière à un puis deux chiffres, et demandez aux élèves d’estimer la valeur de la somme en arrondissant ces nombres à l’entier. Refaites la même chose avec des nombres avec deux chiffres après la virgule.

Soustraire des nombres décimaux (1)98

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 209

Manuel p. 210

209Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Exercices pp. 215-216 - Fichier photocopiable

Séance 98 Soustraire des nombres décimaux (1)

J’observe

Soustrais 0,4 de 0,7.

0,1 0,1 0,1 0,10,1 0,10,1

0,7 − 0,4 = 0,37 dixièmes − 4 dixièmes = 3 dixièmes

Soustrais 0,4 de 3.

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

1 1

1échange

3 − 0,4 =

Soustrais les dixièmes.

Soustraisles unités.

Aligne les virgules des décimales.

3 , 0– 0 , 4

Échange 3 unités contre 2 unités et 10 dixièmes.

23 , 100– 0 , 4

6

23 , 100– 0 , 4

2 , 6

3, c’est 3 unités et 0 dixième.3 = 3,0.

30 dixièmes− 4 dixièmes

26 dixièmes

3 unités – 4 dixièmes

Calcul mental Exercice 98 - Guide pédagogique

210 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

1 Soustrais.

a) 0,9 − 0,6 = b) 0,08 − 0,02 =

c) 0,07 − 0,04 = d) 0,15 − 0,13 =

2 Soustrais.

a) 5 , 3– 2 , 7

b) 5 , 1– 2 , 9

c) 2 − 0,6 = d) 19 − 8,4 =

3 Soustrais 1,75 de 2,8.

2,8 − 1,75 =

4 Soustrais.a) 1 8 , 7 5

– 2 , 2 8 b) 2 7 , 5 2

– 6 , 4 9

c) 18,42 − 11,25 = d) 39,3 − 17,25 =

Soustrais les dixièmes. Soustrais les unités.Soustrais les centièmes.

Échange 8 dixièmescontre 7 dixièmeset 10 centièmes.

2 , 78 100– 1 , 7 5

5

2 , 78 100– 1 , 7 5

0 5

2 , 78 100– 1 , 7 5

1 , 0 5

2,8 c’est 2 unités, 8 dixièmes et 0 centième.2,8 =2,80

Souviens-toi d’aligner les virgules.

échange

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

1 1 0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

à 3 dixièmes. » Dans l’exercice 2, assurez-vous que les élèves alignent correctement les virgules et les chiffres. Rappelez-leur qu’un nombre entier peut s’écrire avec un 0 au rang des dixièmes. Pour chacune des soustractions, demandez à différents élèves de venir montrer le calcul des retenues en l’illustrant avec les disques-nombres. Corrigez les éventuelles erreurs ou mauvaises représentations avant de passer à l’opération suivante. Dans l’exercice 3, utilisez les disques-nombres pour représenter la soustraction 2,8 – 1,75. Montrez aux élèves la manière dont on écrit la retenue. Verbalisez la façon dont on estime le résultat pour vérifier la réponse. Par exemple : « 1,75, c’est presque 1,8. Lorsqu’on soustrait 1,8 de 2,8, on obtient 1. La réponse est donc proche de 1. » Laissez les élèves effectuer individuellement l’exercice 4, puis demandez-leur de vérifier leur réponse avec leur binôme.

3 Pratique autonomeProposez les exercices 1 et 2 page 215 du fichier photocopiable. Laissez les élèves les plus fragiles utiliser les disques-nombres pour représenter les nombres à soustraire et faciliter la gestion des rete-nues en visualisant les échanges. Avant de proposer le travail, attirez l’attention des élèves sur ce qui est écrit dans le phylactère de pensée d’Adèle : 6 = 6,0 pour le calcul de la seconde soustraction de l’exer-cice 2. L’exercice 3 page 216 propose une situation déjà rencontrée en pratique autonome lors de la leçon 96 sur l’addition des nombres décimaux. Le principe est le même : il s’agit de calculer les opérations où chaque résultat correspond à une lettre permettant de décoder une énigme.

Différenciation

Soutien : Les élèves en difficulté calculeront les soustractions de l’exercice 3 page 216 du fichier photocopiable en binômes avec le soutien du matériel de manipulation. Assurez-vous que toutes les étapes du calcul sont correctement suivies et faites-les reformuler oralement pour renforcer la compréhension de l’algorithme.Approfondissement : Invitez les élèves les plus avancés à tenter d’établir, par estimation du résultat, une première correspondance entre chaque soustraction et les résultats proposés, en estimant le résultat des calculs, puis de vérifier leur résultat par le calcul de la soustraction, et ce même s’ils sont parvenus à décoder l’énigme par simple estimation.

Synthèse de la séance

• Je sais calculer une soustraction en procédant aux échanges entre centièmes, dixièmes et unités.

• Je sais placer correctement la virgule sous la virgule lorsque je pose une soustraction avec des nombres décimaux.

• J’ai compris que la technique utilisée dans la soustraction des nombres décimaux est la même que celle utilisée dans la soustraction des nombres entiers.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Additionner des nombres avec plus d’un échange

En binômes et collectif

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 211Fichier photocopiable : pp. 217-218

Matériel pédagogique : disques-nombres, tableau de numération, ardoises

1 Se mettre en situationRevenez sur la séance précédente. Rappelez aux élèves que, pour poser une soustraction, on commence par la colonne de droite, on n’oublie pas de placer la virgule sous la virgule et on procède aux échanges de dixièmes aux centièmes, puis des unités aux dixièmes. Demandez-leur de poser et de calculer la soustraction suivante sur leur ardoise : 5,42 – 1,27. Demandez à un volontaire d’expliquer sa démarche à la classe en matérialisant l’échange à l’aide des disques-nombres. Dites aux élèves : « Nous allons calculer des soustractions dans lesquelles nous échangerons deux fois. »Regardez l’exercice 1 page 211 du manuel. Demandez-leur : « Dans le nombre 3,24, quelle est la valeur du chiffre 3 ? » (3 unités.) « Quelle est la valeur du chiffre 2 ? » (2 dixièmes.) « Quelle est la valeur du chiffre 4 ? » (4 centièmes.) Demandez aux élèves d’utili-ser les disques-nombres pour représenter 3,24. Assurez-vous que les disques des unités sont bien placés à gauche de ceux des dixièmes, et que ceux des dixièmes sont, à leur tour, à gauche de ceux des centièmes. Demandez : « Combien de centièmes doit-on retirer ? A-t-on suffisamment de centièmes pour en retirer 4 ? » (Non.) « Que doit-on faire alors ? » (Échanger 1 dixième contre 10 centièmes.) « Combien a-t-on de dixièmes maintenant ? » (1.) « Combien a-t-on de centièmes ? » (14.) « Maintenant, a-t-on suffisamment de cen-tièmes pour retirer 5 centièmes ? » (Oui.) « Combien reste-t-il de centièmes ? » (9.) « Où doit-on écrire 9 centièmes ? Que doit-on faire ensuite ? A-t-on suffisamment de dixièmes pour en retirer 7 ? » (Non.) « Que doit-on faire alors ? » (Échanger 1 unité contre 10 dixièmes.) « Combien a-t-on d’unités maintenant ? » (2.) « Com-bien a-t-on de dixièmes ? » (11.) « Maintenant, a-t-on suffisamment de dixièmes pour retirer 7 dixièmes ? » (Oui.) « Combien reste-t-il de dixièmes ? » (4.) « Où doit-on écrire 9 dixièmes ? Il faut maintenant soustraire les unités. Qu’obtient-on quand on retire 1 unité à 2 uni-tés ? » (1 unité.) « Qu’obtient-on quand on soustrait 1,75 de 3,24 ? » (1,49.) Demandez à un élève de montrer l’échange d’1 dixième pour 10 centièmes et la soustraction des 5 centièmes aux 10 centièmes.

Soustraire des nombres décimaux jusqu’aux centièmes.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Points de vigilance et critères de réussite

La soustraction par « cassage » est la plus proche du système de numé-ration décimale. En effet, les élèves ont déjà acquis la correspondance entre la dizaine et 10 unités, et répercutent ce système d’échange aux dixièmes et aux centièmes. Cette méthode est également la plus facile à traduire par la manipu-lation. Il est cependant nécessaire d’être vigilant dans le cas de double cassage et lorsque le nombre du haut contient des zéros ou moins de chiffres dans sa partie décimale. Il ne faut pas hésiter à reprendre fréquemment des soustractions plus simples à l’aide du matériel afin de consolider la maîtrise de cette technique passant par « cas-sage » des unités et des dixièmes.

Calcul mental

Faites compter de 0,2 en 0,2 les élèves chacun leur tour à partir d’un nombre à virgule donné dont le chiffre des dixièmes est un nombre pair. Faites se lever l’élève qui dit un nombre entier. Refaites le même exercice à partir d’un nombre à virgule dont le chiffre des dixièmes est un nombre impair. Faites compter ensuite à rebours au signal donné. Attention, quand on part d’un nombre comme 4,7, le passage à l’unité est beaucoup plus difficile ; en effet, après 4,7 on a 4,9 puis 5,1 et non 4,11. Faites bien remarquer cela. Utili-sez une droite graduée si nécessaire.

Soustraire des nombres décimaux (2)99

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 211

211Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

1 Soustrais 1,75 de 3,24.

3,24 – 1,75 =

2 Soustrais.

a) 1 5 , 3 6– 3 , 4 8

b) 2 5 , 2 3– 6 , 5 4

c) 5 7 , 1– 2 3 , 8 9

3 Soustrais.

a) 2 – 0,14 = b) 3 – 1,75 = c) 10 – 1,08 =

Séance 99 Soustraire des nombres décimaux (2)

échange

échange

1 1 1

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

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0,1 0,1

0,1

0,1

Soustrais les dixièmes. Soustrais les unités.Soustrais les centièmes.

Échange 3 unités contre 2 unités et 10 dixièmes.

3 , 12 144– 1 , 7 5

9

23 , 112 144– 1 , 7 5

4 9

Échange 2 dixièmes contre 1 dixième et 10 centièmes.

23 , 112 144– 1 , 7 5

1 , 4 9

Cela ressemble à : 3 2 4 – 1 7 5 1 4 9Quelle est la différence ?

Souviens-toi d’aligner les virgules !

Calcul mental Exercice 99 - Guide pédagogique

Exercices pp. 217-218 - Fichier photocopiable

Reportez ensuite dans l’opération posée le résultat dans la colonne des centièmes. Demandez à un autre volontaire de faire l’échange d’1 unité pour 10 dixièmes et de retirer les 7 dixièmes. Enfin, retirez 1 unité de 2 unités pour compléter le résultat de la soustraction.

2 Additionner des nombres avec plus d’un échangeMettez les élèves en binômes pour effectuer les soustractions des exercices 2 et 3. Rappelez-leur que les virgules doivent être bien placées les unes en-dessous des autres, comme le montrent les trois soustractions posées de l’exercice 2. Dites-leur que pour calculer ces opérations, il est nécessaire de faire parfois plusieurs échanges. Cor-rigez les erreurs éventuelles avant de passer au calcul de la soustrac-tion suivante.

3 Pratique autonomeProposez l’exercice 1 page 217 du fichier photocopiable. Laissez les élèves en difficulté utiliser le matériel pour illustrer leurs calculs et la possibilité de travailler en binômes. L’exercice 2 sera réservé aux élèves avancés.

Différenciation

Soutien : Dans l’exercice 1 page 217 du fichier photocopiable, atti-rez de nouveau l’attention des élèves en difficulté sur les soustrac-tions où le nombre du haut ne comporte pas le même nombre de chiffres que celui qu’on lui soustrait, particulièrement lorsqu’il s’agit d’un nombre entier ne montrant ni virgule, ni partie décimale. Les élèves peuvent réaliser cet exercice en binômes et confronter leur démarche. Ils calculeront, s’ils en ont le temps, les additions de l’exer-cice 2 page 218 pour trouver la somme totale dépensée par chaque enfant, dans le cadre d’une révision du calcul des additions. Il est pré-férable pour eux de leur proposer un entraînement au calcul de sous-tractions plutôt que de traiter la suite des questions du problème ou de revenir sur l’exercice 1.Approfondissement : L’exercice 2 page 218 du fichier photocopiable propose un problème mettant en jeu plusieurs compétences : le calcul d’additions, la mise en correspondance d’une somme avec l’enfant qui l’a dépensée en fonctions d’informations sur l’ordre de grandeur des nombres obtenus, le calcul des différences dans les dépenses réalisées par Alice et Adèle, puis par Idris et Maël. Atten-tion, l’utilisation des formulations « de plus » et « de moins » peut induire une confusion. Lisez et explicitez les consignes. Les élèves les moins à l’aise pourront traiter ce problème en binômes.

Synthèse de la séance

• Je sais calculer une soustraction en procédant à plus d’un échange entre centièmes, dixièmes et unités.

• J’ai compris que la technique utilisée dans la soustraction des nombres décimaux est la même que celle utilisée dans la soustraction des nombres entiers.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Estimer un résultat en arrondissant à l’entier ou au dixième le plus proche

Collectif et en binômes

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 212Fichier photocopiable : pp. 219-220

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

1 Se mettre en situationDans la séance 97, les élèves ont appris à estimer le résultat du calcul d’une addition de nombres décimaux en arrondissant les termes à l’entier et au dixième le plus proche. Cette compétence déjà travail-lée doit leur permettre de trouver la valeur approchée du résultat d’une soustraction de nombres décimaux. Rappelez la procédure uti-lisée pour estimer le résultat d’une addition. Appuyez-vous sur une addition en leur demandant comment ils vérifient si le résultat de 8,6 + 4,7 est vraisemblable. Précisez de nouveau les moyens utilisés : arrondir au dixième le plus proche, ce qui donne une estimation plus précise du résultat, ou à l’entier le plus proche, ce qui rend la tâche plus facile. Illustrez votre propos avec l’addition proposée : « 8,6 est plus grand que 8,5, mais plus petit que 9. 4,7 est plus grand que 4,5, mais plus petit que 5. La somme de 8,5 et 4,5 sera plus grande que 13, mais plus petite que 14. Vous pouvez aussi dire : « 8,6 est plus petit que 9 et 4,7 est plus petit que 5. La somme de 6,7 et 7,5 sera donc plus petite que 14. » Demandez aux élèves de calculer cette addition sur leur ardoise. Le résultat trouvé est 13,3. Le résultat est un peu plus petit que 14, donc la réponse est vraisemblable. Annoncez l’ob-jectif de la séance : « Aujourd’hui, comme nous savons le faire pour les additions, nous allons estimer le résultat des soustractions pour vérifier que nos réponses sont vraisemblables. »

2 Estimer un résultat en arrondissant à l’entier ou au dixième le plus procheDites aux élèves d’ouvrir leur manuel page 212. Demandez-leur de calculer la soustraction de l’exercice 1. Précisez que 8,8 peut aussi s’écrire 8,80. Échangez avec les élèves sur la méthode utilisée et demandez à deux élèves de venir présenter à leurs camarades les méthodes d’estimation qu’ils ont utilisées (arrondir au dixième le plus proche ou arrondir à l’entier le plus proche). Validez avec eux la réponse (6,22.) Demandez aux élèves de calculer la soustraction de l’exercice 2, d’abord en estimant leur résultat en arrondissant les nombres au dixième le plus proche, puis en arrondissant à l’entier

Estimer une différence de décimaux en arrondissant les termes aux entiers les plus proches ou bien aux dixièmes les plus proches.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Estimer le résultat d’un calcul en passant par le calcul mental

Le calcul mental, proposé dans l’exercice 3 de la séance, permet de soutenir la mémoire à court terme en appuyant les étapes intermé-diaires. Les élèves développent des stratégies de raisonnement en réponse aux faits numériques qu’ils automatisent peu à peu afin de ne plus avoir à se les remémorer. Ces faits numériques de base et les stra-tégies de calcul mental permettent de consolider les fondements de l’estimation de la vraisemblance d’un résultat.

Calcul mental

Faites compter de 0,02 en 0,02 les élèves chacun leur tour à partir d’un nombre à virgule donné dont le chiffre des centièmes est un nombre pair. Partez d’un nombre dont la partie décimale est supérieure à 78. Faites se lever l’élève qui dit un nombre entier. Quand vous arrivez à un entier, repar-tez d’un autre nombre avec le même type de partie décimale. Refaites le même exercice à partir d’un nombre à virgule dont le chiffre des dixièmes est un nombre impair. Faites compter ensuite à rebours au signal donné. Attention, quand on part d’un nombre comme 4,97, le passage à l’unité est beaucoup plus difficile ; en effet, après 4,97 on a 4,99 puis 5,01 et non 5,101. Faire bien remarquer cela. Uti-lisez une droite graduée si nécessaire.

Soustraire et estimer100

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 212

212 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 100 Soustraire et estimer

1 Trouve la valeur de 15,02 − 8,8. Estime le calcul pour vérifier si ton résultat est raisonnable.

1 5 , 0 2– 8 , 8

15,02 – 8,8 =

2 Trouve la valeur de 8,46 – 0,52. Estime le calcul pour vérifier si ton résultat est raisonnable.

8 , 4 6– 0 , 5 2

8,46 – 0,52 =

3 Soustrais mentalement.

a) 4 – 3,06 = b) 8,76 – 2,36 =

4 1 – 3 – 0,068,76 – 2 – 0,36

15,02 → 158,8 → 9

15 – 9 = Mon résultat est-il raisonnable ?

Calcul mental Exercice 100 - Guide pédagogique

Exercices pp. 219-220 - Fichier photocopiable

le plus proche, pour vérifier leur réponse. Montrez qu’arrondir les nombres à l’entier le plus proche rend le calcul plus simple, mais qu’il donne une réponse moins précise qu’arrondir au dixième le plus proche. Dans l’exercice 3, dites aux élèves de calculer mentale-ment les soustractions en suivant les méthodes proposées par Idris et Maël en observant leurs phylactères de pensée. La démarche pro-posée consiste à décomposer le calcul en commençant par soustraire seulement la partie entière au premier nombre, puis soustraire la partie décimale au nombre obtenu. Attirez l’attention des élèves sur cette démarche : « Dans la première soustraction, que fait d’abord Idris ? » (Il ne soustrait que 3 au lieu de 3,06 à 4. Il ne soustrait donc que la partie entière.) « Quel résultat trouve-t-il ? » (1.) « Que fait-il ensuite ? » (Il soustrait 0,06 à 1.) « Quel nombre obtient-il ? » (0,94.) Laissez les élèves effectuer seuls le second calcul et demandez à un volontaire de commenter sa réponse.

3 Pratique autonomeProposez aux élèves l’exercice 1 page 219 du fichier photocopiable. L’exercice 2 page 220 est plus complexe : il s’agit d’un problème met-tant en jeu à la fois le calcul d’additions à trous et celui d’estimations sur la monnaie rendue par rapport à la somme d’argent donnée. La forme de la situation proposée peut mettre en difficulté les élèves les plus en difficulté. Il peut être proposé aux élèves avancés lorsqu’ils auront terminé l’exercice 1 dans le cadre de la différenciation.

Différenciation

Soutien : Renforcez l’idée selon laquelle les procédures d’estima-tion utilisées pour l’addition sont identiques pour la soustraction en entraînant les élèves en difficulté avec d’autres soustractions en utilisant les disques-nombres. Vous pouvez travailler uniquement la situation a) de l’exercice 2 page 220 du fichier photocopiable en binômes, en clarifiant avec les élèves ce que l’on doit chercher et en les accompagnant pour les différentes étapes : calculer le prix man-quant sur la facture en suivant la méthode proposée dans le phy-lactère d’Adèle, puis vérifier si ce qu’elle dit est vrai : « Si je donne 20 euros, on me rendra à peu près 4 euros. »Approfondissement : Les élèves les plus avancés feront individuel-lement l’exercice 2 page 220 du fichier photocopiable. Explicitez la consigne afin d’éviter toute confusion dans ce que les élèves doivent chercher : chercher le prix manquant sur les factures en posant la soustraction ; estimer le résultat de ce calcul ; estimer le résultat de la différence entre la somme donnée au restaurant et le montant de la facture pour répondre à la seconde question : « Si je donne…, on me rendra à peu près… »

Synthèse de la séance

• Je sais utiliser l’arrondi à l’entier le plus proche pour estimer le résultat d’une soustraction de nombres décimaux.

• Je sais utiliser l’arrondi au dixième le plus proche pour estimer le résultat d’une soustraction de nombres décimaux.

• Je choisis la démarche me permettant d’estimer le résultat de mon calcul.

• Je sais dire si le résultat de mon calcul est vraisemblable.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Contextualisation des calculs d’additions et de soustraction

Cette séance contextualise le calcul d’additions et de soustractions des nombres décimaux. Les élèves ont déjà utilisé les modèles en barres, représentations du tout et parties et de la comparaison de quantités, pour résoudre des problèmes addi-tifs. Ils sont donc familiarisés avec cette représentation, l’analyse des parties et du tout pour la recherche de réponse, et l’estimation du résultat des calculs garde ici toute sa place.

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Résoudre des problèmes additifs à l’aide des modèles en barres

Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel

Manuel : p. 213Fichier photocopiable : pp. 221-222

Matériel pédagogique : ardoises

1 Se mettre en situationDans cette séance, les élèves vont retrouver les modèles en barres qu’ils ont déjà éprouvés depuis le cycle 2. La leçon propose une contextualisation des additions et soustractions de décimaux au tra-vers de problèmes simples à une étape, en donnant pour les exer-cices 1, 2 et 3 les modèles de représentation. Pour introduire cette séance, évoquez avec les élèves la situation observée dans l’illus-tration de la page 204 introduisant l’unité 10. Attirez l’attention des élèves sur Maël en traduisant la situation par l’énoncé suivant : « Souvenez-vous de l’image que nous avions observée : Maël était sur la balance et constatait qu’il pesait plus lourd que l’année der-nière. Aujourd’hui, il pèse 31,7 kg alors qu’il pesait 30,8 kg. Il voulait savoir de combien sa masse avait augmenté depuis l’année der-nière. » Demandez aux élèves : « Combien pèse Maël aujourd’hui ? » (31,7 kg.) Représentez au tableau cette masse par une barre. « Com-bien pesait-il l’an dernier ? » (30,8 kg.) Représentez au tableau cette masse par une seconde barre sous la première. « Maël veut connaître la différence entre sa masse de l’an dernier et celle d’aujourd’hui. » Tracez au tableau la partie représentant la différence entre la barre du haut et celle du bas. « On cherche donc une partie. Comment la calcule-t-on ? » Attirez l’attention des élèves sur le phylactère de pensée de Maël où figure la soustraction et demandez-leur de la calculer sur leur ardoise en estimant le résultat pour vérifier si leur réponse est correcte.

2 Résoudre des problèmes additifs à l’aide de modèles en barresDites aux élèves : « Nous allons utiliser le modèle en barres pour résoudre des problèmes avec des additions et des soustractions de nombres décimaux. » Lisez le problème de l’exercice 1 page 213 du manuel. Les élèves ont leur manuel fermé et écoutent. Décomposez le problème comme vous l’avez fait pour Maël dans la première par-tie de la leçon en illustrant chacune des informations par le modèle en barres. Demandez ensuite aux élèves d’ouvrir leur manuel à la page 213. Dites : « Nous voyons que Pierre a sauté plus haut que David

Résoudre des problèmes additifs à l’aide de modèles en barres en vérifiant la vraisemblance du résultat.

Compétence du programme 2016 : Résoudre des problèmes en utilisant les nombres décimaux et le calcul.

Calcul mental

Proposez des différences de deux décimaux avec d’abord un seul chiffre après la virgule et une partie entière à un ou deux chiffres, et demandez aux élèves d’estimer la valeur de la diffé-rence en arrondissant ces nombres à l’entier. Refaites la même chose avec des nombres avec deux chiffres après la virgule.

Problèmes (1)101

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 213

213Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

1 David a franchi une barre de 1,24 m en saut en hauteur. Pierre a franchi une barre 0,29 m plus haute que celle de David. À quelle hauteur Pierre a-t-il sauté ?

DavidPierre

1,24 m

?

0,29 m

2 Salima et Rachel pèsent à elles deux 79,81 kg. Salima pèse 38,42 kg.Combien Rachel pèse-t-elle ?

Salima Rachel

38,42 kg

79,81 kg

?

3 En saut en longueur, Carole a sauté une distance de 2,75 m. Léa a sauté 0,88 m de moins que Carole. Quelle distance Léa a-t-elle sautée ?

?

2,75 m

Carole

Léa

0,88 m

4 La masse du sac de courses de Monsieur Mahault est de 5,28 kg. Celle du sac d’Amandine est de 4,97 kg. Quelle est la masse totale des deux sacs ?

Séance 101 Problèmes (1)

Résous chacun des problèmes suivants, puis estime le résultat pour vérifier si ta réponse est raisonnable.

Calcul mental Exercice 101 - Guide pédagogique

Exercices pp. 221-222 - Fichier photocopiable

mais on ne connaît pas la hauteur de la barre que Pierre a franchie, c’est ce que l’on cherche. Quelle hauteur de plus que David, Pierre a-t-il réussi à franchir ? » (0,29 m.) « Quelle opération doit-on faire pour cal-culer la hauteur de la barre que Pierre a franchie ? Laquelle ? » (Une addition : 1,24 + 0,29.) Demandez aux élèves de calculer l’addition en estimant le résultat. Utilisez l’exercice 2 pour illustrer l’application du modèle en barres à une soustraction traduisant une situation de tout et parties. Guidez les élèves de la manière suivante : « Quel est le modèle que l’on doit utiliser ici pour représenter les parties et le tout ? Que représente le tout ? Que représente la partie ? Comment trouve-t-on la masse de Rachel ? » Utilisez l’exercice 3 pour illustrer l’application du modèle en barres à une soustraction traduisant une situation de comparaison. Guidez les élèves de la manière suivante : « Quel est le modèle que l’on doit utiliser ici pour représenter la com-paraison ? Comment trouve-t-on la longueur du saut de Léa ? Donc, quelle est la longueur du saut de Léa ? Dans l’exercice 4, guidez les élèves pour obtenir l’opération appropriée en les accompagnant lors des différentes étapes : « Quelles informations sont données dans ce problème ? De quoi a-t-on besoin pour le résoudre ? Quelle opéra-tion va nous permettre de le résoudre ? Quelle somme trouve-t-on ? » (10,25 kg.) Demandez aux élèves de s’exprimer sur la méthode utilisée pour vérifier leur résultat. Soulignez l’importance de ne pas oublier d’indiquer l’unité appropriée dans leur réponse.

3 Pratique autonomeProposez aux élèves de résoudre les problèmes 1 et 2 page 221 du fichier photocopiable. Veillez à ce que les termes du vocabulaire utilisé ne soient pas un obstacle à la résolution (courge butternut et potimar-ron peuvent être peu familiers à certains). Passez dans les rangs pour vérifier l’utilisation du modèle en barres approprié par les élèves et pour soutenir les élèves en difficulté. Rappelez aux élèves de ne pas oublier d’estimer le résultat de leurs calculs pour vérifier leurs réponses.

Différenciation

Soutien : Reprenez avec les élèves en difficulté la correspondance entre un problème à traiter, le modèle en barres approprié et l’opé-ration permettant de trouver la réponse. Utilisez les deux problèmes de la page 221 du fichier photocopiable pour les aider à dessiner leur modèle en barres correspondant à la situation. Dans le problème 1, dont la résolution se fait par une addition et la représentation par le modèle en barres « partie-partie-tout », changez oralement l’in-connue, demandez aux élèves à quel élément elle correspond sur le schéma et quelle opération permettrait de trouver la réponse.Approfondissement : Problèmes 3 et 4 page 222 du fichier photoco-piable.

Synthèse de la séance

• Je sais résoudre un problème impliquant l’addition ou la soustraction de nombres décimaux.

• Je sais représenter les données du problème à l’aide du modèle en barres approprié.

• Je sais choisir la bonne opération (addition ou soustraction) pour résoudre mon problème.

• Je sais estimer le résultat de mon calcul pour vérifier la vraisemblance de ma réponse à la question du problème.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Résoudre des problèmes additifs à l’aide des modèles en barres

Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel

Manuel : p. 214Fichier photocopiable : pp. 223-224

Matériel pédagogique :ardoises

1 Se mettre en situationCette séance est dans la continuité de la précédente. Il s’agit de pour-suivre la résolution de problèmes additifs à une étape en s’appuyant sur le modèle en barres. Dites : « Souvenez-vous des problèmes de la dernière leçon. Aujourd’hui, nous allons continuer à résoudre des problèmes avec des additions et des soustractions de nombres déci-maux. » Lisez l’énoncé de l’exercice 1 page 214 du manuel et deman-dez aux élèves de dessiner sur leur ardoise le modèle en barres correspondant. Aidez-les en les guidant de la manière suivante : « Quelle est la quantité d’eau que Joseph a bue avant de jouer ? Représentez cette quantité par une barre. Quelle quantité d’eau a-t-il bue après avoir joué ? Représentez également cette quantité. » Vérifiez que les élèves ont dessiné le bon modèle en barres. Repro-duisez-le au tableau. « Que veut-on savoir ? Quelle opération per-met de trouver la réponse ? » Demandez à un élève volontaire de venir expliquer son cheminement de résolution en illustrant son pro-pos avec le modèle en barres dessiné au tableau. Calculez l’addition et demandez aux élèves de vérifier si la réponse obtenue (1,1 l) est vraisemblable. Validez la réponse. Attirez de nouveau l’attention des élèves sur les différentes représentations possibles en fonction du type de problème à résoudre (parties et tout ou comparaison).

2 Résoudre des problèmes additifs à l’aide des modèles en barresDans l’exercice 2, un modèle de comparaison d’états doit être utilisé. Trouver la distance qu’Idris a parcourue revient à chercher la plus petite distance. Mettez en évidence que la soustraction permettant de trouver la réponse (0,98 km) met en jeu des retenues, et qu’il faut faire attention et bien vérifier par l’estimation si la réponse trouvée est vraisemblable. Dans l’exercice 3, aidez les élèves à identifier le modèle en barres permettant d’illustrer la distance totale parcou-rue par Madame Valéry. Guidez-les en leur demandant de repré-senter la distance que parcourt Madame Valéry en courant, puis la distance qu’elle parcourt en marchant. Demandez-leur d’identifier

Le repérage des procédures de résolution des problèmes additifs

Dans des problèmes ne compor-tant qu’une étape, la capacité des élèves à repérer la procédure de résolution adaptée doit être déve-loppée en identifiant le modèle en barres correspondant à la situa-tion. Le modèle « parties et tout » traduit une situation statique et se dessine avec une seule barre cou-pée en deux parties. La situation peut mettre en jeu une addition ou une soustraction, selon ce que l’on cherche : l’une des parties ou bien le tout. Le modèle se dessinant avec deux barres de longueurs inégales s’applique aux situations de « com-paraison » et à celles faisant inter-venir un « avant » et un « après ». On trouve souvent dans les énon-cés de situations de comparaison les expressions « en/de plus » ou « en/de moins », sans que cela soit forcément un indicateur de l’opé-ration à effectuer. Le modèle en barres constitue un outil important de résolution de problèmes car, en visualisant ce que l’on a et ce que l’on cherche, il permet aux élèves de s’orienter plus facilement vers l’opération appropriée.

Résoudre des problèmes additifs à l’aide de modèles en barres en vérifiant la vraisemblance du résultat.

Compétence du programme 2016 : Résoudre des problèmes en utilisant les nombres décimaux et le calcul.

Calcul mental

Faites remarquer aux élèves que 0,9 c’est 1 − 0,1 et donc qu’ajouter 0,9 c’est ajouter 1 et retirer 0,1. Faites compter de 0,9 à l’endroit à partir d’un nombre avec un seul chiffre après la virgule.

Problèmes (2)102

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 214

214 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 102 Problèmes (2)

1 Joseph a bu 0,25 l d’eau avant de jouer au football, et 0,85 l après avoir joué. Trouve la quantité totale d’eau que Joseph a bue.

2 Dans une course de 1 km, Jules avait 0,02 km d’avance sur Idris quand il a franchi la ligne d’arrivée. Quelle distance Idris avait-il parcourue quand Jules a franchi la ligne d’arrivée ?

3 Madame Valéry a fait son jogging sur une distance de 2,4 km, puis a marché sur une distance de 1,64 km. Quelle distance Madame Valéry a-t-elle parcourue en tout ?

4 Basile a dépensé 43,85 €. Il a donné un billet de 50 € au vendeur. Quelle monnaie le vendeur lui a-t-il rendue ?

5 La bouteille d’eau de Nagisa contient 1,25 l d’eau. La bouteille d’eau d’Élise contient 0,3 l de moins que la bouteille d’eau de Nagisa. Quelle quantité d’eau contient la bouteille d’Élise ?

6 Ce matin, Lili avait 8,89 € dans son porte-monnaie. Sa mère lui a donné 9,20 € en plus pour faire des courses. Combien Lili avait-elle dans son porte-monnaie en tout ?

Résous les problèmes suivants, puis estime le résultat pour vérifier si ta réponse est raisonnable.

Calcul mental Exercice 102 - Guide pédagogique

Exercices pp. 223-224 - Fichier photocopiable

l’opération permettant de calculer la distance totale qu’elle a par-courue (4,05 km). Un modèle en barres « parties et tout » illustrera le problème de l’exercice 4, la dépense de Basile et la monnaie que le vendeur lui rend représentant le tout. La soustraction à effectuer comportera deux retenues (50 – 43,85 = 6,15). Dans l’exercice 5, unmodèle en barres de comparaison est utilisé avec la contenance de la bouteille de Nagisa et la différence donnée. Trouver la conte-nance de la bouteille d’Élise revient à chercher la plus petite partie. Les élèves peuvent placer un zéro dans 0,3 à la place des centièmes avant d’effectuer la soustraction. Cette soustraction comporte une retenue (1,25 – 0,3 = 0,95). Laissez les élèves traiter individuellement l’exercice 6, puis demandez à un volontaire de venir expliquer sa démarche en justifiant l’utilisation du modèle « parties et tout » et le calcul d’une addition pour trouver la réponse. Dans chacune des situations proposées dans la séance, demandez aux élèves de s’inter-roger sur la vraisemblance de leurs résultats.

3 Pratique autonomeLes exercices 1, 2, 3 et 4 pages 223 et 224 du fichier photoco-piable proposent des problèmes du même type que ceux vus lors de la séance et ne présentent pas de difficulté particulière. Clarifiez cependant l’expression « supérieure à » employée dans le problème de l’exercice 2. Dans le problème proposé dans l’exercice 5, l’utilisa-tion de l’expression « de plus que » peut induire une confusion chez les élèves qui pourraient penser que l’opération à effectuer est une addition. Proposez ce problème dans le cadre de la différenciation.

Différenciation

Soutien : Proposez le problème de l’exercice 1 page 223 du fichier photocopiable aux élèves en difficulté. Aidez-les en mettant en correspondance ce problème et celui de l’exercice 3 du manuel qui montre une situation similaire dans laquelle il s’agit de trouver la distance totale parcourue. Faites de même pour l’exercice 2 en le mettant en lien avec l’exercice 5 du manuel où l’on recherche une capacité d’eau en litres en utilisant une démarche similaire de réso-lution. Selon leur aisance et le temps qu’il reste, certains pourront traiter les problèmes des exercices 3 et 4 page 224.Approfondissement : Les élèves les plus avancés résoudront indivi-duellement les problèmes des pages 223 et 224 du fichier photoco-piable. Pour le problème de l’exercice 5, dessinez éventuellement le modèle en barres pour aider les élèves à comprendre que l’opération à effectuer est une soustraction.

Synthèse de la séance

• Je sais résoudre un problème impliquant l’addition ou la soustraction de nombres décimaux.

• Je sais représenter les données du problème à l’aide du modèle en barres approprié.

• Je sais choisir la bonne opération (addition ou soustraction) pour résoudre mon problème.

• Je sais estimer le résultat de mon calcul pour vérifier la vraisemblance de ma réponse à la question du problème.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

De l’addition itérée à la multiplication

Le calcul d’additions itérées d’un même nombre, l’étude de situa-tions pouvant être formulées à l’aide du mot « fois » et la repré-sentation d’une répétition de quan-tités ou de groupes de quantités identiques vont permettre la réacti-vation du sens de la multiplication. Il est nécessaire de reprendre cet apprentissage avant de mettre en place la multiplication d’un nombre décimal par un entier qui ne peut être comprise que si ces propriétés sont maîtrisées. Les difficultés pro-viennent souvent d’une maîtrise insuffisante de l’algorithme de la multiplication mais également d’une connaissance insuffisante des tables de multiplication.

Étapes de la séance Modalité

1 Introduire la multiplication des nombres décimaux

Collectif

2 Exercices guidés Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel

Manuel : pp. 215-216Fichier photocopiable : p. 225

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

Vocabulaire : partie entière, partie décimale, dixièmes, centièmes

1 Introduire la multiplication des nombres décimauxLes élèves sont déjà familiarisés avec la technique opératoire de la multiplication avec des nombres entiers. Cette séance reprend le sens de la multiplication par transformation de l’addition itérée en pro-duit d’un nombre décimal par un nombre entier. Annoncez : « Nous avons appris à additionner et à soustraire des nombres décimaux. Aujourd’hui, nous allons apprendre à multiplier un nombre décimal par un nombre entier. » Faites un bref rappel de l’algorithme de la multiplication à un chiffre en demandant aux élèves de multiplier, sur leur ardoise, 124 × 3 en complétant la multiplication posée au fur et à mesure des étapes. Dites aux élèves : « Pour calculer 124 × 3, on calcule d’abord 3 × 4 unités, on obtient 12 unités. On échange 12 unités pour 1 dizaine et 2 unités. On écrit 8 au rang des unités et on a 1 dizaine en retenue. Ensuite, on calcule 3 × 2 dizaines, on obtient 6 dizaines, on n’oublie pas d’ajouter la dizaine en retenue et on écrit 7 au rang des dizaines. Maintenant, on calcule 3 × 1 centaine et on obtient 3 centaines que l’on écrit au rang des centaines. » Lisez le « J’observe » page 215 du manuel. Utilisez les disques-nombres pour montrer aux élèves comment chaque étape s’illustre. Complé-tez l’opération posée (0,5 × 3) à chaque étape de votre démonstra-tion illustrée par les disques-nombres. Accompagnez la réflexion des élèves : « Qu’est-ce qu’Idris a acheté ? Quelle quantité d’eau contient chaque bouteille ? » (Chaque bouteille contient 0,5 l.) Uti-lisez des disques-nombres pour représenter 0,5. « Pour trouver la quantité d’eau totale contenue dans les trois bouteilles, quelle opé-ration va-t-on utiliser ? Que doit-on multiplier en premier ? » Mon-trez aux élèves trois lignes de 5 dixièmes avec les disques-nombres. « Combien y a-t-il de dixièmes en tout ? Y en a-t-il suffisamment pour échanger contre 1 unité ? » Faites l’échange des 10 dixièmes contre une unité avec les disques-nombres. « Combien reste-t-il de dixièmes ? Combien y a-t-il d’unités ? Que donne 0,5 multiplié par 3 ? » (0,5 × 3.) « Combien de litres d’eau Idris a-t-il acheté ? » (1,5 l.) En lisant le phylactère de pensée d’Idris, soulignez l’importance de bien faire apparaître la virgule dans le résultat (15 ≠ 1,5).

Passer d’une addition itérée à un produit de deux nombres.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Calcul mental

Faites remarquer aux élèves que 0,09 c’est 0,1 − 0,01 et donc qu’ajouter 0,09 c’est ajouter 0,1 et retirer 0,01. Faites compter de 0,09 à l’endroit à partir d’un nombre avec deux chiffres après la virgule comme 1,27 : cela donne 1,36 ; 1,45  ; 1,54  ; 1,63  ; 1,72  ; 1,81  ; 1,90 ; 1,99 ; 2,08 ; etc. Le passage de 1,99 à 2,08 est difficile car ajouter 0,1 à 1,99 fait changer la partie entière. Attirez l’attention des élèves sur ce fait et utilisez une droite numérique si nécessaire.

Multiplier des nombres décimaux par des nombres entiers (1)103

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 215

215Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

J’observe

Idris a acheté 3 bouteilles d’eau. Chaque bouteille contient 0,5 l. Quelle quantité d’eau Idris a-t-il achetée en tout ?

0,5 l + 0,5 l + 0,5 l

0,5 l × 3

10 , 5× 3

1 , 5

0,5 × 3 =

Idris a acheté l d’eau en tout.

Séance 103 Multiplier des nombres décimaux par des nombres entiers (1)

5 dixièmes × 3 = 15 dixièmes 15 dixièmes = 1 unité et 5 dixièmes = 1,5

échange

1

0,1 0,1

0,10,1

0,1

0,10,1 0,1

0,1

0,1 0,1

0,10,1

0,10,1

Calcul mental Exercice 103 - Guide pédagogique

Exercices p. 225 - Fichier photocopiable

2 Exercices guidésReprenez avec les élèves le calcul de la multiplication en proposant de multiplier 3,5 par 3. Illustrez avec les disques-nombres. Posez l’opération et complétez-la au fur et à mesure. « Lorsqu’on multiplie 5 dixièmes par 3, combien obtient-on de dixièmes ? » (15.) « A-t-on suffisamment de dixièmes pour faire un échange pour 1 unité ? » Pro-cédez à cet échange avec les disques-nombres. « Combien reste-t-il de dixièmes ? » (5.) « Où écrit-on les dixièmes ? Où écrit-on l’unité ? » Complétez l’opération posée en écrivant 5 au rang des dixièmes et en plaçant la retenue au-dessus des unités. « Que doit-on multiplier ensuite ? » (Les unités.) « On multiplie 3 par 3. Combien d’unités obtient-on ? Combien d’unités a-t-on en tout, avec celle de la rete-nue ? » (10.) « Où écrit-on 10 unités ? » Complétez l’opération posée. « Quel est le résultat du produit de 3,5 par 3 ? » (10,5.) Illustrez ce résultat avec les disques-nombres et notez l’opération en ligne : 3,5 × 3 = 10,5. Lisez aux élèves le problème page 216. « Combien y a-t-il d’haltères ? Que doit-on chercher ? Quelle est la masse de chacune des haltères ? » (0,25 kg.) Utilisez les disques-nombres pour représenter 0,25. « Pour trouver la masse des 5 haltères, quelle opération doit-on utiliser ? Que multiplie-t-on d’abord ? » Quand le produit a été trouvé, montrez aux élèves comment vérifier leur réponse en s’appuyant sur ce qui est écrit dans le phylactère de pensée d’Adèle. Veillez à ce que la virgule ne soit pas oubliée dans l’écriture du résultat.

3 Pratique autonomeExercice 1 page 225 du fichier photocopiable. Précisez comment iden-tifier les multiplications à effectuer selon la disposition des nombres sur la cible. Lisez les phylactères de pensée d’Adèle pour aider les élèves à se représenter les calculs et laissez les élèves en difficulté uti-liser les disques-nombres pour représenter les nombres à multiplier.

Différenciation

Soutien : Aidez les élèves en difficulté dans le calcul des multiplica-tions de l’exercice 1 page 225 du fichier photocopiable. Reprenez la manipulation avec les disques-nombres en verbalisant les étapes du calcul de la multiplication et les soustractions de l’exercice 3 page 216 du fichier photocopiable en binômes avec le soutien du matériel de manipulation. Assurez-vous que toutes les étapes du calcul sont cor-rectement suivies et faites-les reformuler oralement pour renforcer leur compréhension de l’algorithme de la multiplication. Si les dif-ficultés persistent, n’hésitez pas à revenir sur le sens du calcul de la multiplication en le mettant en lien avec l’addition itérée comme dans la leçon.Approfondissement : Invitez les élèves les plus avancés à répondre à l’ensemble des calculs de la fiche de pratique autonome et à vérifier leurs réponses en binômes.

Synthèse de la séance

• J’ai compris la correspondance entre une addition itérée et une multiplication.

• Je sais multiplier un nombre décimal par un nombre entier en procédant aux échanges entre centièmes, dixièmes et unités.

• J’utilise correctement les tables de multiplication pour effectuer mes calculs.

Manuel p. 216

216 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

1 Résous le problème suivant.Dans la salle de gymnastique, il y a 5 petits haltères de 0,25 kg chacun. Quelle est la masse totale des 5 haltères ?

0,25 kg + 0,25 kg + 0,25 kg + 0,25 kg + 0,25 kg

0,25 kg × 5

10 , 22 5× 5

0,25 × 5 =

La masse totale des 5 haltères est kg.

25 centièmes × 5 = 125 centièmes = 1 unité et 25 centièmes = 1,25

échange

échange

échange1

0,1

0,1 0,1

0,1 0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,01 0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

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0,01

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0,01 0,01

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Intérêt du calcul mental dans le calcul de multiplications

Le calcul de multiplications suppose le recours à des résultats mémorisés (tables de multiplication). Le calcul mental est donc mobilisé dans le calcul posé. Il constitue également une compétence importante car il permet de maîtriser les rapports entre les nombres. Il conduit aussi à réaliser mentalement les trans-formations entre les nombres qui sont exprimés en dixièmes ou en centièmes pour favoriser le calcul. Il faut veiller à choisir des nombres permettant de calculer mentale-ment les multiplications proposées aux élèves.

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Calculer mentalement des produits simples

Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 217Fichier photocopiable : p. 226

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

1 Se mettre en situationCette séance vise à consolider le mécanisme de calcul de la multipli-cation d’un nombre décimal par un entier en mettant l’accent sur le calcul mental. Les opérations sont simples, avec une seule rete-nue. Dites aux élèves : « Lors de la dernière leçon, vous avez appris à multiplier un nombre décimal par un nombre entier. Aujourd’hui, vous allez continuer à vous entraîner à calculer des multiplications avec des nombres décimaux pour que ce soit de plus en plus facile pour vous. » Pour aider les élèves à se remémorer les étapes du calcul de la multiplication, proposez la situation suivante : « Maël parcourt 0,3 km pour se rendre à l’école. Il fait ce trajet quatre fois par jour car il rentre déjeuner chez lui le midi. Quelle distance a-t-il parcourue à la fin de la journée ? » Tracez au tableau les quatre tra-jets avec la distance. Dites : « Que cherche-t-on ? Quelle opération va nous permettre de trouver la réponse ? » (0,3 × 4.) « 0,2 c’est combien de dixièmes ? » (3.) Représentez 3 dixièmes fois 4 à l’aide des disques-nombres. Demandez aux élèves de calculer la multipli-cation mentalement. Guidez-les dans le calcul : « 3 dixièmes fois 4, c’est 12 dixièmes, et 12 dixièmes c’est égal à 1,2. Maël parcourt donc chaque jour 1,2 km. »

2 Calculer mentalement des produits simplesDites aux élèves d’ouvrir leur manuel page 217. Dans l’exercice 1, pour la question a), demandez-leur de lire les nombres en dixièmes et de calculer mentalement la multiplication (0,2 × 3). Attirez leur attention sur le phylactère de pensée de Maël qui reprend le che-minement de calcul. Autorisez-les à utiliser les disques-nombres si nécessaire. Laissez-les effectuer individuellement la question b), puis demandez à un élève volontaire de venir expliquer la démarche de calcul en transposant 0,4 en 4 dixièmes pour effectuer mentalement la multiplication et donner le résultat dans l’unité initiale. Dans l’exercice 2, demandez aux élèves de lire les nombres décimaux en centièmes, puis de calculer mentalement chacun des deux produits. Permettez-leur ici aussi d’utiliser les disques-nombres. Dans la ques-

Calculer mentalement le produit d’un nombre décimal par un entier.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Calcul mental

Revoyez avec les élèves ce que signifie multiplier par 10 : les unités deviennent des dizaines, donc tous les chiffres changent de catégorie et les dixièmes deviennent unités, les centièmes deviennent dixièmes, etc. Proposez ensuite des nombres à un ou deux chiffres après la virgule et demandez aux élèves de les multiplier par 10. Vous pouvez établir la règle qui consiste à déplacer la virgule d’un cran vers la droite quand on multiplie un nombre à virgule par 10. Attention, faites remarquer que la règle des zéros ne fonctionne pas dans le cas des nombres à virgule.

Multiplier des nombres décimaux par des nombres entiers (2)104

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

tion b), attirez leur attention sur le phylactère de pensée d’Adèle qui décompose bien les différentes étapes du calcul car celui-ci comporte une retenue à considérer, alors que les trois calculs précédents n’en comportaient pas.Laissez les élèves calculer individuellement les multiplications de l’exercice 3. Demandez ensuite à certains élèves volontaires de par-tager avec leurs camarades leur cheminement de pensée pour effec-tuer mentalement ces calculs. Les élèves devraient être capables de verbaliser les différentes étapes. Par exemple, pour la question f), pouvoir dire : « 0,05, c’est 5 centièmes. 5 centièmes multipliés par 8, c’est 40 centièmes. 40 centièmes, c’est pareil que 4 dixièmes. 0,08 multiplié par 8 ça fait donc 0,4. »

3 Pratique autonomeL’exercice 1 page 226 du fichier photocopiable propose une série de multiplications à effectuer en les posant. Laissez les élèves en diffi-culté utiliser le matériel pour illustrer leurs calculs et la possibilité de travailler en binômes.

Différenciation

Soutien : Dans l’exercice 1 page 226 du fichier photocopiable, aidez les élèves en difficulté à effectuer les calculs à l’aide des disques-nombres. Revenez sur la procédure utilisée en calcul mental pour les aider à automatiser l’algorithme. Il n’est pas indispensable pour ces élèves que toutes les opérations de cette page soient effectuées.Approfondissement : Les élèves les plus avancés dans la réalisation de leur travail sur le fichier photocopiable peuvent réaliser en binômes des calculs de produits simples permettant le traitement mental des produits. Proposez une liste de dix produits à calculer le plus rapide-ment possible. Celui qui termine sans erreur le premier a gagné. Veil-lez à mettre à leur disposition une fiche autocorrective pour qu’ils puissent vérifier leurs réponses.

Synthèse de la séance

• Je sais calculer mentalement une multiplication d’un nombre décimal par un entier.

• Je suis la procédure de calcul en transposant le nombre décimal en dixièmes ou en centièmes pour pouvoir calculer sans erreur.

• Je sais donner mon résultat sous la forme d’un nombre décimal.

Manuel p. 217

217Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 104 Multiplier des nombres décimaux par des nombres entiers (2)

1 Multiplie :a) 0,2 par 3.

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1 0,1

0,2 × 3 =

b) 0,4 par 2.

0,4 × 2 =

2 Multiplie :a) 0,03 par 3.

0,01 0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,03 × 3 =

b) 0,09 par 4.

0,09 × 4 =

3 Multiplie. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour t’aider.

a) 0,2 × 2 = b) 0,4 × 3 = c) 0,04 × 2 =

d) 0,09 × 7 = e) 0,08 × 6 = f) 0,05 × 8 =

4 dixièmes × 2 = dixièmes

=

9 × 4 = 36

9 centièmes × 4 = centièmes

= dixièmes et

centièmes

=

3 centièmes × 3 = 9 centièmes

=

2 dixièmes × 3 = 6 dixièmes = 0,6

Calcul mental Exercice 104 - Guide pédagogique

Exercices p. 226 - Fichier photocopiable

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Calculer des multiplications posées Collectif et en binômes

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 218Fichier photocopiable : pp. 227-228

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

1 Se mettre en situationDans cette séance, l’algorithme de calcul de la multiplication d’un nombre décimal par un entier est repris afin de renforcer ce qui a été travaillé durant la séance 103 durant laquelle les élèves ont appris comment calculer une multiplication posée d’un nombre décimal par un entier. Dites aux élèves : « Vous vous souvenez de la leçon où l’on parlait d’haltères ? » Demandez-leur d’ouvrir leur manuel page 216 pour revoir l’illustration. « Il fallait chercher la masse totale des cinq haltères qui pesaient chacune 0,25 kg. Quelle opération a permis de trouver la réponse ? Qui peut venir montrer à ses camarades com-ment on a calculé 0,25 × 5 ? » Invitez un élève volontaire à faire la démonstration du calcul de l’opération posée. Reformulez les dif-férentes étapes en les illustrant avec les disques-nombres. Relisez en conclusion le phylactère de pensée d’Adèle pour formaliser de nouveau la procédure utilisée. Dites aux élèves : « Nous allons main-tenant nous entraîner à calculer des multiplications dans lesquelles il faudra bien respecter toutes les étapes du calcul. »

2 Calculer des multiplications poséesDites aux élèves d’ouvrir leur manuel page 218. Pour l’exercice 1, aidez-les à trouver la réponse en illustrant avec les disques-nombres, ou bien demandez à un élève de venir faire la démonstration de ce calcul au tableau avec les disques-nombres, tandis qu’un autre élève verbalise chaque étape du calcul. Les nombres seront notés sur l’opération posée au fur et à mesure. En utilisant la même procé-dure, guidez les élèves dans le calcul de la multiplication proposée dans l’exercice 2 : « On veut multiplier 2,84 par 4, que doit-on mul-tiplier d’abord ? » (Les centièmes.) « Combien de centièmes trouve-t-on ? Peut-on faire un échange pour 1 dixième ? » Continuez de cette manière à guider les élèves dans le calcul. Mettez en évidence les similitudes entre la multiplication d’un nombre entier par un nombre à un chiffre et la multiplication d’un nombre décimal par un nombre à un chiffre. Soulignez l’importance de la virgule dans le résultat lorsqu’on multiplie des nombres décimaux. En effet, 1 136 est différent de 11,36. Lorsque l’opération est terminée, verbalisez la

Multiplier un nombre décimal jusqu’au centième par un nombre entier : calcul de la multiplication posée.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Intérêt du calcul de la multiplication posée

La compréhension de l’algorithme de calcul de la multiplication néces-site : une bonne maîtrise des tables de multiplication et la connais-sance de la numération décimale pour la gestion des retenues, compétences qui sont renforcées par le calcul mental. Cela suppose donc une bonne compréhension des nombres décimaux, en l’occur-rence de la valeur de position des chiffres dans les nombres à virgule. La multiplication et la division par 10 et 100 lorsqu’il s’agit d’établir les correspondances entre cen-tièmes, dixièmes et unités peuvent être source de difficultés pour des élèves. Il faut donc les entraîner dans l’objectif d’une automatisa-tion de l’algorithme.

Calcul mental

Revoyez la décomposition de 20 en 2 × 10 et de 30 en 3 × 10 puis deman-dez aux élèves comment on peut mul-tiplier facilement un nombre décimal par 20. Il s’agit de le multiplier par 10 puis de le multiplier par 2. Même chose dans le cas de la multiplication par 30. Commencez par des nombres avec un chiffre pour la partie décimale et avec une partie entière d’un ou deux chiffres. Là encore, commencez par la multiplication par 20. Si les élèves réussissent bien, proposez le cas de la multiplication par 30. Cette multiplica-tion peut aussi être proposée lors des séances de révisions. Exemple : 18,4 × 20 = 18,4 × 10 × 2 = 184 × 2 = 368. Pro-posez aussi des cas qui permettent aux élèves d’utiliser des décomposi-tions du nombre simplifiant le calcul. Exemple : 21,9 × 20 = 21,9 × 10 × 2 = 219 × 2. Or 219 c’est 220 − 1 donc mul-tiplier 220 − 1 par 2 c’est 220 × 2 − 1 × 2 = 440 − 2 soit 438.

Multiplier des nombres décimaux par des nombres entiers (3)105

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 218

218 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 105 Multiplier des nombres décimaux par des nombres entiers (3)

1 Multiplie 3,5 par 3.

Multiplie les dixièmes. Multiplie les unités puis additionne.

5 dixièmes × 3 = 15 dixièmes = 1 unité et 5 dixièmes

3 unités × 3 = 9 unités

9 unités + 1 unité = 10 unités

13 , 5× 3

5

13 , 5× 3

1 0 , 5

3,5 × 3 =

2 Multiplie 2,84 par 4.

Multiplie les dixièmes, puis additionne.

Multiplie les unités, puis additionne.

Multiplie les centièmes.

8 dixièmes × 4= 32 dixièmes

32 dixièmes + 1 dixième= 33 dixièmes= 3 unités et 3 dixièmes

2 unités × 4= 8 unités

8 unités + 3 unités= 11 unités

4 centièmes × 4= 16 centièmes= 1 dixième et

6 centièmes

2 , 18 4× 4

6

32 , 18 4× 4

3 6

32 , 18 4× 4

1 1 , 3 6

2,84 × 4 =

3 Dessine les dixièmes puis multiplie. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour t’aider.

a) 1 , 9× 2

b) 0 , 3 7× 2

c) 2 , 2 5× 5

d) 4 , 5 9× 6

e) 7 × 15,43 f) 8 × 26,87

Cela ressemble à :

2 8 4× 4 1 1 3 6

Quelle est la différence ?

Calcul mental Exercice 105 - Guide pédagogique

Exercices pp. 227-228 - Fichier photocopiable

manière dont vous procédez à la vérification du résultat en « pensant à voix haute », par exemple : « 2,84 est un peu plus petit que 3. 3 × 4 = 12, donc la réponse est un nombre qui doit être plus petit que 12. 11,36 est bien un nombre plus petit que 12, donc la réponse est cor-recte. » Pour l’exercice 3, mettez les élèves en binômes. L’un des deux élèves calcule les multiplications a), c) et e) tandis que l’autre calcule les multiplications b), d) et f). Lorsqu’ils ont terminé, ils vérifient les résultats de leur camarade.

3 Pratique autonomeLes exercices proposés aux pages 227 et 228 du fichier photocopiable constituent un entraînement au calcul de multiplications de nombres décimaux par un nombre entier. À la page 227, les nombres décimaux qui sont multipliés ne comportent pas de centièmes alors que ceux de la page 228 en comportent. Les retenues sont donc à prendre en compte plusieurs fois dans le calcul, ce qui rend la tâche plus difficile. Tous les élèves ne seront peut-être pas en mesure de réaliser ces deux pages de manière autonome. Le travail peut donc être organisé dans une différenciation en termes de difficulté de la tâche ou de quan-tité d’opérations à calculer.

Différenciation

Soutien : Les élèves en difficulté peuvent réaliser en totalité ou en partie les multiplications de la page 227 du fichier photocopiable en s’aidant des disques-nombres. Accompagnez l’opération 2a) de la page 228 pour renforcer le calcul avec des nombres comportant des centièmes. Faites verbaliser la procédure de calcul. Les élèves qui l’ont bien comprise mais qui ont besoin de davantage de temps pour effectuer leurs opérations peuvent ne faire qu’une partie des multi-plications proposées aux pages 227 et 228 1a, 1b 1d, 1f et 2a, 2b, 2d, 2f, par exemple.Approfondissement : Les élèves les plus avancés réaliseront indivi-duellement les calculs proposés pages 227 et 228 et pourront vérifier leurs réponses en binômes en confrontant leurs résultats.

Synthèse de la séance

• Je sais multiplier un nombre décimal par un nombre entier en procédant aux échanges entre centièmes, dixièmes et unités.

• Je sais calculer une multiplication posée sans oublier les retenues ni la virgule au résultat.

• J’utilise correctement les tables de multiplication pour effectuer mes calculs.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

Objectifs

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Estimer le produit d’un nombre décimal par un nombre entier en arrondissant le facteur décimal à l’entier le plus proche ou au dixième le plus proche.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Exercices guidés Collectif et en binômes

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 219Fichier photocopiable : pp. 229-230

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

1 Se mettre en situationRappelez aux élèves l’intérêt d’estimer le résultat d’un calcul : « Pour-quoi est-il utile d’estimer le résultat d’une opération ? « Comment peut-on vérifier que ce que l’on a calculé est vraisemblable ? » (Dans l’addition et la soustraction, on arrondit les deux nombres à l’en-tier ou au dixième le plus proche, puis on calcule mentalement ce que serait le résultat et on vérifie si la réponse est vraisemblable.) Annoncez : « Aujourd’hui, nous allons apprendre à estimer le résul-tat d’une multiplication avec un nombre décimal. » Demandez aux élèves de prendre leur ardoise, de calculer le produit de 2,8 par 4 et de vérifier si leur résultat est vraisemblable. Attirez leur attention sur les deux facteurs : « Est-il nécessaire d’arrondir 4 ? Pourquoi ? » (On va chercher l’arrondi de 2,8.) Demandez à un volontaire d’expliquer son cheminement en l’aidant à verbaliser les étapes suivantes : « 2,8 est plus grand que 2,5 mais plus petit que 3. 3 × 4 = 12, le résultat de 2,8 × 4 est 11,2. 11,2 est plus petit que 12, donc le résultat trouvé est vraisemblable. »

2 Exercices guidésFaites ouvrir le manuel page 219. Pour la question a) de l’exercice 1, arrondissez 3,9, puis multipliez par 4 pour estimer le résultat du produit : « 3,9 est proche de 4. Quel est le produit de 4 par 5 ? » (On peut dire que le produit de 3,9 par 4 est proche de 20.) Deman-dez aux élèves de procéder de la même manière pour la question b) et demandez à un volontaire de partager sa démarche avec ses camarades. Pour la question c), montrez d’abord comment trouver l’estimation de 19,95 en multipliant les dizaines, puis demandez aux élèves d’estimer le résultat de la question d). Pour l’exercice 2, demandez aux élèves de réaliser individuellement le travail proposé en explicitant clairement la consigne, invitez-les à comparer leurs estimations avec les résultats trouvés pour chacun des produits afin de déterminer si elles sont cohérentes avec leurs calculs. L’exercice 3 propose une situation ouverte dans la mesure où plusieurs réponses sont possibles pour un même résultat. Cette activité place les élèves

Calcul mental

Revoyez avec les élèves ce que signi-fie multiplier par 100 : les unités deviennent des centaines, donc tous les chiffres changent de deux catégo-ries et les centièmes deviennent uni-tés, les dixièmes deviennent dizaines, etc. Proposez ensuite des nombres à un ou deux chiffres après la virgule et demandez de les multiplier par 100. Vous pouvez établir la règle qui consiste à déplacer la virgule de deux crans vers la droite quand on multiplie par 100. Attention, s’il n’y a qu’un seul chiffre après la virgule, il faut mettre un 0 dans la colonne des centièmes pour effectuer cette multiplication par 100. Faites remarquer que la règle des zéros ne fonctionne pas dans le cas des nombres à virgule.

Lorsque le facteur décimal est compris entre 0 et 1

Le résultat de la multiplication de deux nombres entiers non nuls est toujours un nombre supérieur à chacun de ses deux facteurs, ce qui n’est pas le cas dans la multiplica-tion des décimaux : 0,5 × 4 = 2, or 2 est plus petit que 4. Ainsi, certains élèves écrivent 20 au résultat. Esti-mer le résultat de la multiplication d’un décimal par un entier permet de réduire le risque d’erreurs liées au fait que les élèves s’attachent à faire fonctionner les habitudes acquises jusqu’alors, avec la multi-plication des nombres entiers.

Multiplier et estimer106

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 219

219Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 106 Multiplier et estimer

1 Estime la valeur du produit.

a) 3,9 × 5 =

b) 4,7 × 6 =

c) 7 × 19,95 =

d) 8 × 30,12 =

2 Estime, puis calcule le produit.

Estimation ProduitMon produit est-il

raisonnable ?

a) 1,90 € × 6 2 € × 6 = € 11,40 € Oui

b) 0,60 € × 5 € €

c) 2,55 € × 7 € €

d) 23,15 € × 8 € €

e) 36,25 € × 9 € €

3 Chaque résultat donné est le produit d’un nombre décimal par un nombre entier. Trouve les nombres manquants.

a) × = 1,2 b) × = 3,6

× = 1,2 × = 3,6

3,9 → 4

4 × 5 =

Mon résultat est-il raisonnable ?

Calcul mental Exercice 106 - Guide pédagogique

Exercices pp. 229-230 - Fichier photocopiable

en situation de recherche mobilisant la réflexion et la créativité. Pla-cez les élèves en binômes pour trouver les différentes solutions et précisez-leur la tâche : « Dans cet exercice, vous devez trouver les nombres que l’on doit multiplier ensemble pour obtenir le résultat. Par exemple, si je multiplie deux nombres ensemble, je dois trouver 1,2. » Attirez leur attention sur le fait que l’un des deux nombres à trouver est un nombre entier et l’autre un nombre décimal. Gui-dez-les pour la question a) : « 1,2, c’est combien de dixièmes ? » (12 dixièmes.) « Quels sont les nombres qui me permettent d’obtenir 12 quand je les multiplie ? » (3 × 4 ; 2 × 6 ; 1 × 12.) « Par exemple, je peux dire que si je multiplie 3 dixièmes par 4, j’obtiens 12 dixièmes. 3 dixièmes, c’est 0,3 ; 12 dixièmes, c’est 1,2. Le produit de 0,3 par 4 est donc égal à 1,2. » Lorsque les élèves ont trouvé une solution, demandez-leur de venir présenter leur réponse à leurs camarades en verbalisant leur démarche de recherche.

3 Pratique autonomePour l’exercice 1 page 229 du fichier photocopiable, il est nécessaire de rappeler ce que signifie le mot « périmètre » et de préciser la consigne. Il est demandé de trouver les réponses arrondies avec une précision de 1 chiffre après la virgule, mais aussi de poser les mul-tiplications et de vérifier leur résultat avec l’estimation demandée dans un premier temps. Dans l’exercice 2 page 230, il est question de trouver le nombre d’articles possibles à acheter avec la somme de 20 €. La tâche consiste à rechercher le facteur (entier) manquant dans une multiplication, tout en procédant à une estimation permet-tant de savoir quand le résultat des produits est un nombre inférieur ou supérieur à 20 €. Cette recherche peut se révéler complexe pour les élèves en difficulté. Cet exercice sera donc proposé aux plus avan-cés dans le cadre de la différenciation. Cet exercice, comme l’exer-cice 3 du manuel, établit un lien avec la division lorsqu’on cherche le nombre de parts qu’il est possible de trouver dans un nombre donné.

Différenciation

Soutien : Pour les exercices proposés, lors de la leçon et dans la pra-tique autonome, aidez les élèves en difficulté à se représenter les quantités avec les disques-nombres. N’hésitez pas à reprendre avec eux, en les faisant verbaliser, les différentes étapes de la procédure d’estimation pour la multiplication d’un décimal par un entier.Approfondissement : Les élèves les plus avancés feront individuelle-ment l’exercice 2 page 230 du fichier photocopiable.

Synthèse de la séance

• Je sais utiliser l’arrondi à l’entier le plus proche pour estimer le résultat d’une multiplication d’un nombre décimal par un entier.

• Je sais utiliser l’arrondi au dixième le plus proche pour estimer le résultat d’une multiplication d’un nombre décimal par un entier.

• Je sais formuler la démarche me permettant d’estimer le résultat de mon calcul.

• Je sais dire si le résultat de mon calcul est vraisemblable.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Introduire la division des nombres décimaux

Collectif

2 Exercices guidés Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel et en binômes

Manuel : pp. 220-221Fichier photocopiable : pp. 231-232

Matériel pédagogique : disques-nombres

Vocabulaire : partie entière, partie décimale, dixièmes, centièmes, diviser

1 Introduire la division des nombres décimauxLes élèves ont abordé la technique opératoire de la division avec des nombres entiers. La leçon s’appuie dans un premier temps sur la notion de partage pour visualiser de manière concrète ce que l’on recherche. Proposez aux élèves la situation suivante : « Alice, Adèle, Idris et Maël prennent un goûter. Ils se partagent une tablette de chocolat de 0,2 kg, chaque enfant reçoit la même quantité de cho-colat. Combien de chocolat chacun mange ? » Orientez les élèves sur les informations dont ils disposent et ce qu’ils veulent savoir : « Que sait-on en entendant cette histoire de goûter ? Combien d’enfants participent au goûter ? Que se partagent-ils ? Quelle est la masse de la tablette de chocolat ? Quelle est sa masse en dixièmes ? Et en centièmes ? » Représentez la masse de chocolat avec les disques-nombres en centièmes en disposant quatre rangées de cinq disques-nombres. Dites aux élèves : « Pour chercher la masse de chocolat que chaque enfant mange, on partage 20 centièmes en 4 parts. Quelle est la masse de la part de chacun ? » (Chaque enfant mange 5 cen-tièmes de la tablette. Chaque enfant mange 0,05 kg de chocolat.) Concluez : « Pour trouver la quantité de chocolat que chaque enfant a mangé au goûter, on a divisé 0,2 par 4. »

2 Exercices guidésLisez l’exercice 1 page 220 du manuel à voix haute. Aidez les élèves à comprendre la situation : « Quelle est la quantité totale de lait ? Combien d’enfants se partagent le lait ? Quelle est la plus grande quantité ? 1 l ou 0,8 l ? Quelle quantité de lait boit chaque enfant ? » (Pour trouver la réponse, on divise 0,8 par 4.) Utilisez les disques-nombres pour représenter 0,8. Partagez ensuite les disques en quatre parties égales : « Combien de dixièmes y a-t-il dans chaque partie ? » Écrivez la division en ligne au tableau et montrez dans la division posée, l’alignement des virgules et la place de chaque chiffre. Faites énoncer oralement à un élève la réponse au problème : « Chaque enfant boit 2 dixièmes du lait donc 0,2 l. » Procédez de la même manière pour l’exercice 2. En utilisant les disques-nombres, expli-

Diviser un nombre décimal par un nombre entier à un chiffre.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Division partage

L’algorithme de la division est sou-vent difficile à comprendre pour les élèves. Pour leur enseigner cet algorithme la situation la plus par-lante pour eux est le partage où, par la manipulation, les mécanismes installés lors de l’apprentissage de la division des entiers sont réacti-vés, tout en donnant du sens aux situations représentées. Les calculs proposés doivent être simples pour leur permettre de les traiter men-talement. Ainsi, avant d’aborder la division posée d’un nombre décimal par un entier, des situations imagées avec un recours à la manipulation et à la représentation sont proposées pour que les élèves consolident le sens donné à cette opération.L’une des erreurs les plus fré-quentes faite par les élèves est de ne pas utiliser le zéro dans l’écriture du quotient. Les nombres à diviser sont, dans cette leçon, inférieurs à 1, le résultat comportant de fait le chiffre 0 au rang des unités.

Calcul mental

Comme pour la séance 65, faites d’abord rappeler que 50 est la moitié de 100. Puis demandez aux élèves de rappeler comment multiplier par 50 facilement : on multiplie par 100, ce qui est facile, avant de diviser le résul-tat par 2. Prenez d’abord des nombres dont la partie entière est d’un ou deux chiffres qui se divisent facilement par 2 afin de faciliter le calcul. Exemple : 46,24 ; la multiplication par 100 donne 4 624 et la division par 2 donne 2 312. Prenez ensuite des nombres avec un seul chiffre après la virgule à multi-plier par 50 et faites faire le calcul en deux temps. Exemple : 2,7 × 50 ; mul-tiplication par 100 : résultat 270 ; puis division par 2 en prenant la moitié de ce résultat. Réponse 135.

Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (1)107

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 220

Manuel p. 221

220 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 107 Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (1)

1 Idris, Alice, Adèle et Maël se sont partagé 0,8 l de lait. Chaque enfant en a bu la même quantité. Quelle quantité de lait chacun a-t-il bu ?

0,10,1

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0,1

0,1

0,10,1

0,10,1

0,1 0,1

0,10,1

0 , 8 4– 0 , 8 0 , 2

0

2 5 sœurs ont partagé équitablement 0,45 kg de raisin. Quelle quantité de raisin chaque sœur a-t-elle obtenue ?

0,01

0,01

0,01

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0,1

0,1

0,1

0,1

0 , 4 5 5– 0 , 4 5 0 , 0 9

0

0,45 ÷ 5 =

Chaque sœur a obtenu kg de raisin.

0,8 ÷ 4 = 0,2Chaque enfant a bu 0,2 l de lait.

Calcul mental Exercice 107 - Guide pédagogique

Exercices pp. 231-232 - Fichier photocopiable

4 dixièmes s’échangent contre 40 centièmes.

221Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

3 Divise :

a) 0,6 ÷ 3 =

b) 0,06 ÷ 3 =

4 Divise :

a) 1,8 ÷ 3 =

b) 3 ÷ 6 =

3 , 0 6– 3 , 0 0 , 5

0

5 Divise. Utilise des 10 1 0,1 0,01 pour t’aider.

a) 0,18 ÷ 3 = b) 0,3 ÷ 6 =

c) 1,5 ÷ 3 = d) 4,9 ÷ 7 =

e) 2 ÷ 4 = f) 0,64 ÷ 8 =

g) 0,42 ÷ 6 = h) 0,4 ÷ 5 =

6 dixièmes ÷ 3= 2 dixièmes

6 centièmes ÷ 3 = 2 centièmes

0,1

0,1

0,10,1

0,10,1

18 dixièmes ÷ 3 = 6 dixièmes

18 centièmes ÷ 3 = 6 centièmes

30 centièmes ÷ 6 = 5 centièmes

1 , 8 3– 1 , 8 0 , 6

0

0,10,1

0,1

0,1

0,10,1

0,10,1

0,1

0,10,1

0,1

0,1

0,10,1

0,1

0,10,1

3, c’est 30 dixièmes.30 dixièmes ÷ 6= 5 dixièmes

0,01

0,01

0,010,01

0,010,01

quez l’algorithme et notez les différentes étapes de calcul sur le tableau. Rappelez aux élèves de d’abord partager dans le nombre ce qui représente la plus grande valeur, soit le chiffre de gauche. « Comment peut-on partager 4 dixièmes entre 5 sœurs ? Combien de dixièmes chaque sœur reçoit-elle ? Que doit-on faire ensuite ? Combien de centièmes peut-on échanger contre 4 dixièmes ? Com-bien de centièmes obtient-on ? Combien de centièmes chaque sœur obtient-elle ? » (9 centièmes, c’est 0,09.) Mettez en évidence l’utilisa-tion du zéro au rang des dixièmes dans le quotient. Faites verbaliser la réponse à la question posée dans le problème : « Chaque sœur a obtenu 9 centièmes, cela représente 0,09 kg de raisin. » Dans les exercices 3, 4 et 5 page 221, soulignez l’importance d’exprimer les nombres décimaux en dixièmes et/ou centièmes et de calculer men-talement les divisions comme le montrent les phylactères. Laissez les élèves travailler individuellement puis demandez à quelques-uns d’expliquer leur démarche et, pour la question 4b), pourquoi il a été nécessaire d’échanger 3 unités contre 30 dixièmes. Dans l’exercice 5, soulignez l’importance de lire les décimaux en dixièmes et en cen-tièmes et de calculer mentalement les divisions comme indiqué dans les phylactères de pensée d’Idris. Pour la question b), expliquez que 3 dixièmes sont échangés contre 30 centièmes car il n’y en a pas suf-fisamment pour être divisés par 6. Guidez les élèves pour l’utilisa-tion de la correspondance avec les tables de multiplication dans le calcul des divisions : « 1,5 divisé par 3, c’est pareil que 15 dixièmes divisés par 3. Comme on sait que 5 × 3 est égal à 15, on sait que 15 dixièmes divisés par 3 est égal à 5 dixièmes. On écrit donc 0,5 pour 5 dixièmes. »

3 Pratique autonomeL’exercice 1 page 231 du fichier photocopiable reprend la procédure de calcul mental de la division par l’échange en dixièmes et/ou en centièmes du nombre décimal à diviser. Laissez les élèves en difficulté utiliser les disques-nombres pour représenter les nombres à diviser et faciliter leur tâche.

Différenciation

Soutien : Aidez les élèves en difficulté dans le calcul des divisions de l’activité de la pratique autonome en soutenant leur raisonnement par la manipulation des disques-nombres et en leur faisant verbali-ser la procédure de la division d’un nombre décimal par un entier.Approfondissement : Proposez aux élèves les plus avancés de réa-liser seuls l’exercice 2 page 232 du fichier photocopiable qui per-met un entraînement au calcul de divisions en proposant la division de nombres entiers inférieurs au diviseur, ce qui oblige à réaliser des échanges alors que le dividende n’est pas un nombre décimal. Demandez-leur de vérifier leurs réponses en binômes.

Synthèse de la séance

• J’ai compris comment partager une quantité donnée par un nombre décimal en parts égales.

• Je sais diviser un nombre décimal par un nombre entier en procédant aux échanges en dixièmes et/ou centièmes nécessaires à mon calcul.

• J’utilise correctement les tables de multiplication pour effectuer mes calculs.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Exercices guidés Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel et en binômes

Manuel : p. 222Fichier photocopiable : pp. 233-234

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

Vocabulaire : partie entière, partie décimale, dixièmes, centièmes, diviser, quotient, reste

1 Se mettre en situationRappelez aux élèves de ce qui a été réalisé lors de la séance 107 : « Vous avez déjà appris à faire une division avec des nombres entiers et, lors de la dernière leçon, vous avez appris à diviser un nombre décimal par un nombre entier. Souvenez-vous, cinq sœurs se par-tageaient 0,45 kg de raisin. » Demandez : « 0,45 c’est combien de centièmes ? » (45 centièmes.) « 45 centièmes divisés par 5 est égal à 9 centièmes. Chacune avait obtenu 0,09 kg de raisin. » Reprenez en parallèle au tableau la représentation de la situation avec les disques-nombres. Complétez la division posée. Dites aux élèves : « Aujourd’hui, nous allons continuer à diviser des nombres décimaux par des nombres entiers en posant la division. »

2 Exercices guidésDans l’exercice 1 page 222 du manuel, guidez les élèves dans le calcul posé de la division de 0,75 par 3. Soulignez l’importance de bien connaître et d’utiliser les tables de multiplication pour réaliser ce calcul. Utilisez les disques-nombres et, pour chacune des étapes, une approche orale, concrète, puis symbolique. « On veut diviser 0,75 par 3. » Représentez 0,75 avec les disques-nombres. « Combien y a-t-il d’unités ? De dixièmes ? De centièmes ? » (0 unité, 7 dixièmes et 5 centièmes.) Posez la division au tableau. « A-t-on des unités à partager ? » (Non.) « Que va-t-on écrire au quotient à la place des unités ? » (0.) « On cherche combien font 7 dixièmes divisés par 3. On cherche dans 7 combien on a de fois 3. » Procédez au groupe-ment des dixièmes avec les disques-nombres. « Combien cela fait-il de dixièmes ? » (2 dixièmes.) « Où écrit-on 2 dixièmes au quotient ? Combien de dixièmes reste-t-il ? » (1 dixième.) Complétez la division posée avec les nombres trouvés en effectuant la soustraction dans la partie reste et en complétant le quotient avec 2. « On va maintenant diviser 1 dixième et 5 centièmes par 3. On échange 1 dixième contre 10 centièmes. » Procédez à l’échange avec les disques-nombres. « Combien a-t-on de centièmes maintenant ? » (15 centièmes.) « On

Division posée d’un nombre décimal par un nombre entier à un chiffre.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Calcul mental

Revoyez la décomposition de 200 en 2 × 100 et de 300 en 3 × 100 puis demandez aux élèves comment mul-tiplier facilement un nombre décimal par 200 : on le multiplie par 100 puis on le multiplie par 2. Même chose dans le cas de la multiplication par 300. Commencez par des nombres avec deux chiffres pour la partie déci-male et avec une partie entière d’un ou deux chiffres. Là encore, commen-cez par la multiplication par 200. Pro-posez ensuite des nombres avec un seul chiffre à la partie décimale. Cette activité est plus difficile car il ne faut pas oublier d’écrire un 0 à la droite du nombre avant de faire la multiplica-tion par 2. Exemple : 7, 8 × 200 = 7,8 × 100 × 2 = 780 × 2 = 1 560. Si les élèves réussissent bien, proposez le cas de la multiplication par 300. Cette multi-plication peut aussi être proposée lors des séances de révisions. Rappelez aux élèves que l’on peut utiliser les approximations quand le calcul est simplifié. Exemple : avec 780, la mul-tiplication par 2 comporte des rete-nues qui peuvent gêner les élèves. Si l’on constate que 780, c’est 800 − 20 la multiplication par 2 est simplifiée : il s’agit de multiplier 800 − 2 par 2 soit 800 × 2 − 20 × 2 = 1 600 − 40 = 1 560.

Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (2)108

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 222

222 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 108 Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (2)

1 Divise 0,75 par 3.

0 , 7 5 3

0,75 ÷ 3 =

2 Divise. Utilise les 10 1 0,1 0,01 pour t’aider.

a) 0,39 ÷ 4 = b) 0,84 ÷ 2 = c) 0,77 ÷ 7 =

d) 0,68 ÷ 4 = e) 0,75 ÷ 5 = f) 0,96 ÷ 6 =

3 Divise les sommes d’argent.

a) 0,30 € ÷ 2 = b) 0,45 € ÷ 3 = c) 0,95 € ÷ 5 =

d) 3,55 € ÷ 5 = e) 4,32 € ÷ 6 = f) 5,04 € ÷ 9 =

Divise les dixièmes. Divise les centièmes.

7 dixièmes ÷ 3Quotient : 2 dixièmes Reste : 1 dixième

Échange 1 dixième contre 10 centièmes.15 centièmes ÷ 3 = 5 centièmes

0 , 7 5 3– 6 0 , 2

1

0 , 7 5 3– 6 0 , 2 5

1 5– 1 5

0

Unités Dixièmes Centièmes

0,1

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0,1 0,1

0,1

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0,01

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0,01

échange

Calcul mental Exercice 108 - Guide pédagogique

Exercices pp. 233-234 - Fichier photocopiable

cherche dans 15 combien on a de fois 3. » (5 centièmes.) « Où écrit-on 5 centièmes ? Reste-t-il des centièmes ? » (Non.) Matérialisez cette étape avec les disques-nombres, puis complétez la division posée. Formalisez le calcul, écrivez-le au tableau : « Quel est le résultat de 0,75 ÷ 3 ? » (0,25.) Représentez ce résultat avec les disques-nombres puis complétez l’opération en ligne.Dans l’exercice 2, demandez aux élèves de calculer les divisions en s’aidant des disques-nombres pour matérialiser les échanges. Deman-dez-leur de les poser en suivant la même démarche que dans votre démonstration de l’exercice 1. Dans ces divisions, le résultat est un nombre inférieur à zéro. Aidez-les à placer le zéro au rang des uni-tés dans le quotient. Passez dans les rangs et faites verbaliser aux élèves en difficulté les étapes de leur calcul. Demandez à deux élèves de venir présenter leur travail au tableau. Corrigez les erreurs éven-tuelles avant de passer à la division suivante. Demandez aux élèves de réaliser en binômes l’exercice 3 de manière à pouvoir mutuelle-ment vérifier leurs réponses. Accompagnez ceux qui éprouveraient des difficultés dans la division posée en reformulant les étapes du calcul. Laissez les élèves en difficulté utiliser les disques-nombres ou bien des pièces de monnaie factices pour représenter les nombres à diviser et faciliter leur tâche.

3 Pratique autonomeProposez à l’ensemble des élèves l’exercice 1 page 233 du fichier photocopiable en permettant aux élèves en difficulté utiliser les disques-nombres pour leurs calculs. N’hésitez pas à les accompagner dans la procédure en mettant de nouveau en lumière chaque étape.

Différenciation

Soutien : Aidez les élèves en difficulté dans le calcul des divisions de l’activité proposée en pratique autonome en soutenant leur raison-nement par la manipulation des disques-nombres. Faites-leur verba-liser la procédure de calcul en illustrant les partages et les éventuels échanges avec les disques-nombres, en notant les résultats trouvés sur la division posée au fur et à mesure de la progression du calcul.Approfondissement : Proposez aux élèves les plus avancés de réaliser seuls l’exercice 2 page 234 du fichier photocopiable. Là, les résultats sont inférieurs à 1, sauf pour la question f) où le résultat est supé-rieur à 1. Veillez à ce que les chiffres et la virgule soient placés correc-tement au quotient. Demandez aux élèves de vérifier leurs réponses en binômes.

Synthèse de la séance

• Je sais diviser un nombre décimal par un nombre entier en procédant aux échanges en dixièmes et/ou centièmes nécessaires à mon calcul.

• Je sais calculer la division posée d’un nombre décimal par un nombre entier en plaçant correctement les chiffres au résultat.

• J’utilise correctement les tables de multiplication pour effectuer mes calculs.

Division calcul posé

L’une des principales difficultés dans l’algorithme de la division provient du manque de connais-sance des tables de multiplication.La division est une opération com-plexe car elle met en jeu plusieurs opérations : addition, soustraction et multiplication.Il est donc nécessaire d’avoir une aisance en calcul mental et une bonne connaissance des tables de multiplication.La division des nombres décimaux doit être abordée de manière pro-gressive, avec des petits nombres et des calculs simples afin d’éviter une surcharge cognitive en obligeant le maintien en mémoire de résultats partiels. Un entraînement au calcul de la division posée est indispen-sable pour consolider et automa-tiser les différentes étapes de cet algorithme.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs Division posée d’un nombre décimal par un nombre entier à un chiffre.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Exercices guidés Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel et en binômes

Manuel : p. 223Fichier photocopiable : p. 235

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

Vocabulaire : partie entière, partie décimale, dixièmes, centièmes, diviser, quotient, reste

1 Se mettre en situationExpliquez aux élèves que vous allez poursuivre le travail sur le calcul des divisions posées. Faites-leur énoncer oralement les différentes étapes du calcul en précisant que c’est une notion qui a déjà été vue : « Souvenez-vous, vous avez déjà travaillé sur la division des nombres entiers. Lorsqu’on calcule une division posée, à quoi faut-il faire attention tout d’abord ? » (Il faut commencer par le chiffre se trouvant le plus à gauche du nombre à diviser.) « Comment appelle-t-on le résultat d’une division ? » (Il s’appelle le quotient.) Posez au tableau la division suivante : 3,25 ÷ 5. Demandez aux élèves de la cal-culer sur leur ardoise, puis récapitulez les différentes étapes du calcul sans oublier de compléter au fur et à mesure la division posée au tableau : « Lorsque je calcule une division, je commence par le chiffre le plus à gauche du nombre à diviser ; d’abord, je divise les unités, ensuite, je divise les dixièmes, puis je divise les centièmes en faisant les échanges nécessaires à chaque fois. » Rappelez également aux élèves sur ce qui a déjà été énoncé lors de l’étude de la division dans l’unité 3 : « Que doit-on vérifier avant de faire chaque échange ? » (Il faut toujours vérifier que chaque reste que l’on obtient par sous-traction est inférieur au nombre par lequel on divise avant de faire un échange.)

2 Exercices guidésDans l’exercice 1 page 223 du manuel, il faut diviser 6,85 par 5. Contrairement à la séance 108, le quotient est supérieur à 1. Mon-trez aux élèves comment estimer le résultat de la division avant de la calculer : « 6,85 est plus grand que 5. Lorsqu’on divise 6 par 5, on obtient un résultat supérieur à 1, mais inférieur à 2. Lorsqu’on divise 6,85 par 5, on obtient donc un résultat supérieur à 1, mais inférieur à 2. » (1,37.) Utilisez les disques-nombres pour illustrer les étapes du calcul de la division posée. Procédez aux échanges entre l’unité restante et les dixièmes, puis entre les 3 dixièmes restants et les cen-tièmes avant de faire chaque soustraction dans la partie gauche de

Division calcul posé

La séance 109, dans la continuité de la précédente, poursuit l’ap-prentissage de l’algorithme de la division d’un nombre décimal par un nombre entier, mais, cette fois, le quotient est supérieur à 1, ce qui signifie qu’il y a davantage de résul-tats partiels à considérer. Dans cette mesure, autorisez les élèves qui en auraient encore besoin à consul-ter les tables de multiplication afin qu’ils libèrent leur mémoire de travail et se concentrent sur l’algo-rithme. Insistez cependant sur la nécessité de connaître les tables.De plus, on introduit ici la présence du zéro dans le quotient qui se révèle être également une source d’erreurs fréquentes dans le calcul de la division.Proposez le recours aux disques-nombres, pour matérialiser les par-tages et les échanges aussi souvent que nécessaire.

Calcul mental

Proposez des produits de nombres à virgule avec un ou deux chiffres après la virgule par un nombre entier à deux ou trois chiffres et deman-dez aux élèves d’arrondir d’abord les nombres à multiplier avant d’estimer le produit. Exemple : 237,52 × 18 ; on arrondit les deux nombres à 240 et 20 et on trouve le résultat approché du produit : 4 800. Choisissez bien l’en-tier par lequel multiplier le nombre à virgule afin que le calcul approché soit fait de tête.

Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (3)109

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 223

223Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 109 Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (3)

1 Divise 6,85 par 5.

Divise les dixièmes. Divise les centièmes.Divise les unités.

Échange 1 unité contre 10 dixièmes.18 dixièmes ÷ 5Quotient : 3 dixièmes Reste : 3 dixièmes

Échange 3 dixièmes contre 30 centièmes.35 ÷ 5 = 7

6 unités ÷ 5Quotient : 1 unitéReste : 1 unité

6 , 8 5 5– 5 1

1

6 , 8 5 5– 5 1 , 3

1 8– 1 5

3

6 , 8 5 5– 5 1 , 3 7

1 8– 1 5

3 5– 3 5

0

6,85 ÷ 5 =

2 Divise :

a) 9,66 ÷ 3 = b) 14,52 ÷ 6 =

3 Divise 36,48 par 6.

Divise les dixièmes. Divise les centièmes.Divise les dizaines et les unités.

4 dixièmes ÷ 6Quotient : 0 dixièmeReste : 4 dixièmes

Échange 4 dixièmes contre 40 centièmes.48 centièmes ÷ 6 = 8 centièmes

3 dizaines et 6 unités = 36 unités36 unités ÷ 6 = 6 unités

3 6 , 4 8 6– 3 6 6

0

3 6 , 4 8 6– 3 6 6 , 0

4– 0

4

3 6 , 4 8 6– 3 6 6 , 0 8

4– 1 0

4 8– 4 8

0

6,85 ÷ 5 =

Calcul mental Exercice 109 - Guide pédagogique

Exercices p. 235 - Fichier photocopiable

la division. Demandez aux élèves de réaliser individuellement l’exer-cice 2. Circulez dans la classe pour repérer les éventuelles erreurs de procédure et aidez les élèves qui éprouveraient des difficultés à trouver le résultat des divisions proposées. Pour la question a), dites : « 9,66 est plus grand que 3. Lorsqu’on divise 9 par 3, on obtient 3. Lorsqu’on divise 9,66 par 3, on obtient donc un résultat supérieur à 3, mais inférieur à 4. » (3,22.) Pour la question b), dites : « 14,52 est plus grand que 6. Lorsqu’on divise 14 par 6, on obtient un résultat supérieur à 2, mais inférieur à 3. Lorsqu’on divise 14,52 par 6, on obtient donc un résultat supérieur à 2, mais inférieur à 3. » (2,42.) Sollicitez deux élèves pour qu’ils expliquent leur calcul au tableau. Corrigez les erreurs éventuelles avant de passer à la division suivante. Soulignez l’importance de ne pas oublier la virgule dans le quotient. 608 est différent de 6,08. Dans l’exercice 3, la division de 36,48 par 6 fait apparaître un zéro au quotient. Reprenez la description de l’algorithme pour calculer 36,48 ÷ 3. Mettez en évidence que, lors-qu’on divise 36 par 6, on obtient 6, que le résultat de la division de 36,48 par 6 est donc compris entre 6 et 7 (6,08). Montrez également aux élèves comment l’estimation du résultat permet de vérifier la réponse : « 6,08 est proche de 6. 6 × 6 = 36. La réponse 6,08 est vrai-semblable. »

3 Pratique autonomeL’exercice 1 page 235 du fichier photocopiable poursuit le travail d’entraînement à l’algorithme de la division. Les élèves peuvent réa-liser individuellement les divisions proposées. Dans la question a), la division est déjà calculée. Demandez aux élèves de bien suivre les étapes précisées dans le phylactère de pensée d’Adèle. Ils calculent les divisions individuellement, puis confrontent leurs résultats avec ceux d’un camarade.

Différenciation

Soutien : Pour les élèves en difficulté, il est peut-être préférable qu’ils calculent moins de divisions posées, mais qu’ils comprennent bien ce qu’ils font. Il est donc possible de reprendre avec eux les différents exemples de la pratique guidée et la matérialisation des échanges à l’aide des disques-nombres pour leur permettre de renforcer leur compréhension de l’algorithme.Approfondissement : Proposez aux élèves les plus avancés de s’en-traîner en calculant d’autres divisions du même type que celles pro-posées dans la leçon pour bien fixer l’algorithme. Mettez-les en binômes pour leur permettre de vérifier leurs calculs mutuellement.

Synthèse de la séance

• Je sais diviser un nombre décimal par un nombre entier en procédant aux échanges en dixièmes et/ou centièmes nécessaires à mon calcul.

• Je sais calculer la division posée d’un nombre décimal par un nombre entier en plaçant correctement les chiffres au résultat, y compris quand celui-ci comporte un zéro.

• Je sais estimer la valeur de mon résultat pour vérifier si ma réponse est vraisemblable.

• J’utilise correctement les tables de multiplication pour effectuer mes calculs.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs Division posée d’un nombre entier par un nombre entier à un chiffre, avec une précision d’un à deux chiffres après la virgule au résultat.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Exercices guidés Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel et en binômes

Manuel : p. 224Fichier photocopiable : p. 236

Matériel pédagogique : disques-nombres

Vocabulaire : partie entière, partie décimale, dixièmes, centièmes, diviser, quotient, reste

1 Se mettre en situationLes élèves sont maintenant familiarisés avec l’algorithme de la divi-sion d’un nombre décimal par un entier. Dites : « Aujourd’hui, nous allons apprendre à trouver un résultat précis de la division de deux nombres lorsque le reste n’est pas égal à zéro. Nous allons voir qu’il est possible de continuer à calculer la division jusqu’aux dixièmes ou aux centièmes. Dans une division de deux nombres entiers, quand le reste n’est pas égal à 0, il est possible de poursuivre le calcul de la division en échangeant ce reste contre des dixièmes, et en parta-geant ces dixièmes. Nous avons alors un résultat plus précis. S’il reste des dixièmes, nous pouvons aussi poursuivre le calcul en échangeant les dixièmes restants contre des centièmes, pour obtenir un résultat encore plus précis. La division s’arrête si on trouve un reste de dixièmes ou de centièmes égal à 0. » Illustrez votre propos avec la situation sui-vante que vous aurez au préalable notée au tableau : « Quatre cama-rades vont ensemble cueillir des cerises. Ils récoltent 3 kg de cerises. Ils se partagent équitablement leur récolte. Quelle masse de cerises chacun aura ? » Demandez aux élèves : « Quelle opération permet de partager les 3 kg de cerises entre les enfants ? » (3 ÷ 4). Rappelez que 3 = 3,00 et notez-le. « Combien d’unités obtient-on ? » (0 unité.) « Combien de dixièmes font 3 unités ? » (30 dixièmes.) « Si on divise 30 dixièmes par 4, on obtient 7 dixièmes, mais il reste 2 dixièmes. On transforme ces 2 dixièmes en 20 centièmes pour continuer la division et avoir un résultat plus précis. Lorsqu’on divise 20 centièmes par 4, on obtient 5, et il reste 0 centièmes, la division est terminée : 7 divisé par 4 est égal à 0,75 et il reste 0. Chaque enfant aura donc 0,75 kg de cerises après ce partage. » Formalisez votre démarche au fur et à mesure de son avancée en sollicitant des élèves volontaires pour venir procéder aux échanges et compléter la division posée.

2 Exercices guidésDans l’exercice 1 page 224 du manuel, les élèves doivent diviser un nombre entier de 1 chiffre par un autre nombre entier de 1 chiffre.

Division de deux entiers, quotient décimal

Calculer le quotient décimal d’une division de deux nombres entiers consiste à continuer la division après avoir partagé les unités. On partage alors les dixièmes et les centièmes de la même manière que dans les séances précédentes, après avoir vérifié que le reste obtenu par soustraction est inférieur au nombre par lequel on divise. La séance 110 aborde la division d’un nombre produisant un reste non nul et conduisant à prolonger le calcul jusqu’à trouver un reste égal à zéro. Ici, la notion de précision du résultat est à mettre en avant pour donner du sens à la poursuite de la division jusqu’à l’obtention, pour cette séance, d’un reste nul. Les calculs proposés resteront simples et le reste sera égal à zéro lorsque la division des centièmes sera faite.

Calcul mental

Rappelez que lorsqu’on divise par 10 un nombre, les dizaines deviennent des unités, les centaines deviennent des dizaines, etc. Proposez d’abord des nombres entiers à diviser par 10, puis des nombres avec un seul chiffre après la virgule. Établissez la règle qui consiste à déplacer la virgule d’un nombre décimal d’un cran vers la gauche quand on le divise par 10. Quand il s’agit d’un entier, on place la virgule juste avant le chiffre des uni-tés de l’entier à diviser.

Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (4)110

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 224

224 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 110 Diviser des nombres décimaux par des nombres entiers (4)

1 Divise 7 par 4.

Divise les dixièmes. Divise les centièmes.Divise les unités.

Échange 3 unités contre 30 dixièmes.30 dixièmes ÷ 4Quotient : 7 dixièmesReste : 2 dixièmes

Échange 2 dixièmes contre 20 centièmes.20 ÷ 4 = 5

7 unités ÷ 4Quotient : 1 unité Reste : 3 unités

7 4– 4 1

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3 0– 2 8

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7 , 0 0 4– 4 1 , 7 5

3 0– 2 8

2 0– 2 0

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2 Divise :a) 3,4 par 5. b) 5 par 4. c) 22 par 8.d) 30,4 par 5. e) 12 par 8. f) 8,1 par 6.

3 Une corde mesure 30 mètres de long. Si on la coupe en deux morceaux égaux, la longueur de chaque morceau est de 15 mètres. Quelle sera la longueur de chaque morceau si on coupe à nouveau la corde en différents nombres de morceaux égaux ?

Nombre de morceaux égaux Longueur de chaque morceau

2 30 m ÷ 2 = 15 m

4 30 m ÷ 4 = m

8 m

7 unités = 70 dixièmes = 700 centièmes 7 = 7,0 7 = 7,00

7 ÷ 4 =

Calcul mental Exercice 110 - Guide pédagogique

Exercices p. 236 - Fichier photocopiable

Utilisez les disques-nombres pour illustrer le calcul de la division posée de 7 par 4. Montrez aux élèves que, lorsque le nombre que l’on divise est un nombre entier, il est possible de placer une virgule et des zéros aux rangs des dixièmes et des centièmes sans changer la valeur du nombre que l’on divise. Par exemple, écrivez : 7 = 7,00. Gui-dez les élèves dans la démarche : « Si on divise 7 par 4, on obtient 1, mais il reste 3 unités. On transforme ces 3 unités en 30 dixièmes pour continuer la division et avoir un résultat plus précis. Lorsqu’on divise 30 dixièmes par 4, on obtient 7, mais il reste 2 dixièmes. On transforme ces 2 dixièmes en 20 centièmes pour continuer la division et avoir un résultat encore plus précis. Lorsqu’on divise 20 centièmes par 4, on obtient 5, et il reste 0 centièmes, la division est terminée : 7 divisé par 4 est égal à 1,75 et il reste 0. » Procédez aux échanges successifs tout au long de cette démonstration à l’aide des disques-nombres et com-plétez au fur et à mesure la division au tableau. Rappelez aux élèves de ne pas oublier la virgule au quotient. Placez les élèves en binômes pour l’exercice 2. Demandez-leur de traiter les calculs un à la fois et de vérifier la vraisemblance de leurs réponses. Dans l’exercice 3, les élèves doivent diviser des nombres entiers par des nombres entiers pour obtenir des réponses au dixième ou au centième près. Laissez-les traiter individuellement cet exercice en ayant au préalable lu l’énoncé du problème et en explicitant ce que l’on cherche pour chaque situa-tion proposée. Demandez à des volontaires de venir montrer leur démarche à leurs camarades pour chacun des calculs.

3 Pratique autonomeEn proposant des divisions analogues, les exercices 1 et 2 page 236 du fichier photocopiable poursuivent le travail d’entraînement à l’al-gorithme de la division. Les élèves calculent les divisions individuel-lement, puis confrontent leurs résultats avec ceux d’un camarade.

Différenciation

Soutien : Les élèves en difficulté peuvent avoir recours aux disques-nombres pour réaliser les exercices proposés dans le travail autonome. Ils peuvent juste effectuer les calculs des questions a) et b) de l’exer-cice 1 si leur démarche est trop coûteuse en temps. Reprenez avec eux la notion de précision à 1 ou 2 chiffres après la virgule en vous appuyant sur l’exemple utilisé dans la première phase de la séance. Si l’on n’avait pas réalisé ce calcul précis, diviser 3 par 4 ne permettrait pas de connaître la masse de cerises obtenue par chaque enfant.Approfondissement : Proposez aux élèves les plus avancés de réaliser seuls les exercices 1 et 2 page 236 du fichier photocopiable. D’autres divisions du même type peuvent leur être proposées en complément. Mettez-les en binômes pour leur permettre de vérifier leurs calculs mutuellement.

Synthèse de la séance

• Je sais diviser un nombre entier par un autre nombre entier en procédant aux échanges en dixièmes et/ou centièmes nécessaires à mon calcul.

• Je sais trouver le résultat d’une division avec une précision d’un ou deux chiffres après la virgule.

• Je sais estimer la valeur de mon résultat pour vérifier si ma réponse est vraisemblable.

• J’utilise correctement les tables de multiplication pour effectuer mes calculs.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Estimer le résultat d’une division au dixième le plus proche

Collectif et en binômes

3 Pratique autonome Individuel ou en binômes

Manuel : p. 225Fichier photocopiable : pp. 237-238

Matériel pédagogique : disques-nombres, ardoises

1 Se mettre en situationRappelez aux élèves l’importance d’estimer un résultat pour savoir s’il est vraisemblable. Dites : « Vous avez déjà appris à estimer le résultat d’une division quand le quotient est un nombre entier. Aujourd’hui, nous allons apprendre à estimer le résultat d’une division quand le quotient est un nombre à virgule. » Demandez-leur de prendre leur ardoise et de diviser 3,8 par 5. Dites : « Nous allons vérifier si le résultat est vraisemblable. » Attirez leur attention sur le nombre à diviser : « 3,8 c’est combien de dixièmes ? » (38 dixièmes.) « Quel est le multiple le plus proche de 38 dans la table de 5 ? » (40.) « Si 40 dixièmes, c’est 5 × 8 dixièmes, alors quand je divise 40 dixièmes par 5, j’obtiens 8 dixièmes. 8 dixièmes, c’est 0,8. Quelle estimation peut-on donner du quotient de cette division ? » (0,8.) Demandez à un élève volontaire de venir calculer la division et de vérifier si, avec l’estimation qui a été faite (0,8), son résultat (0,76) est vraisemblable.

2 Estimer le résultat d’une division au dixième le plus procheDites aux élèves d’ouvrir leur manuel page 225. Dans l’exercice 1, tra-duisez le phylactère de pensée d’Idris de la question a) : « Idris veut estimer le résultat de la division de 31,2 par 4. Il cherche le nombre qui est le plus proche de 31,8 dans la table de 4. Il trouve 32 car c’est le multiple de 4 le plus proche de 31,8. Quelle estimation peut-on donner du quotient de cette division ? » (8.) « Pourquoi ? » (Parce que 32 ÷ 4 = 8.) Concluez : « 8 est une estimation du résultat de 31,8 divisé par 4. » Dans la question b), Alice estime la division de 5,28 par 6. Demandez aux élèves pourquoi, dans le phylactère de pensée d’Alice, on lit 5,4 ÷ 6. Guidez-les pour reprendre le cheminement du premier exemple : « Alice veut estimer le résultat de la division de 5,28 par 6. Elle propose 5,4 ÷ 6. Pourquoi ? » (Elle transforme 5,28 en 52,8 dixièmes, et cherche le multiple le plus proche de 52,8 dixièmes dans la table de 6.) « Elle trouve 54 car c’est le multiple de 6 le plus proche de 52,8. Quelle estimation peut-on donner du quotient de cette division ? » (9 dixièmes, c’est-à-dire 0,9.) « Pourquoi ? » (Parce que 5,4 ÷ 6 = 0,9.)

Estimer le résultat de la division d’un nombre décimal par un entier ou de la division d’un entier par un entier en l’arrondissant à l’entier le plus proche ou bien au dixième le plus proche.

Compétence du programme 2016 : Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne ou en posant les opérations).

Estimer un quotient

Dans la division d’un nombre déci-mal par un entier ou la division de deux entiers, soit la division s’arrête (le quotient est alors un nombre décimal), soit, au bout d’un certain temps, on obtient dans le quotient une succession de chiffres qui se répète indéfiniment. Il s’agit dans cette séance d’estimer le résul-tat de la division à l’entier ou au dixième le plus proche, que le quo-tient de cette division soit décimal ou non, car les élèves ne doivent pas penser que toute division pro-duira un quotient exact. Dans les calculs proposés, le nombre divisé reste inférieur à 100 afin de ne pas multiplier le risque d’erreurs lié à la mentalisation des calculs, l’objectif étant de concentrer l’attention sur l’estimation du résultat.

Calcul mental

Rappelez que lorsqu’on divise par 100 un nombre, les centaines deviennent des unités. Demandez aux élèves ce qu’il advient des dizaines. Utilisez un tableau de numération pour faire comprendre que les dizaines prennent la place des dixièmes, les unités celle des centièmes, etc. Tous les chiffres du nombre sont décalés de deux rangs vers la droite. Proposez d’abord des nombres entiers à diviser par 100, puis des nombres avec un seul chiffre après la virgule. Établissez la règle qui consiste à déplacer la virgule d’un nombre décimal de deux crans vers la gauche quand on le divise par 100. Quand il s’agit d’un entier, on place la virgule juste avant le chiffre des dizaines de l’entier à diviser.

Problèmes (1)111

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 225

225Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 111 Problèmes (1)

1 Estime les résultats de ces divisions :a) 31,2 divisé par 4. b) 5,28 divisé par 6.

2 Fais une estimation, puis divise.a) 0,81 ÷ 3 b) 7,12 ÷ 8 c) 46,35 ÷ 9

3 Trouve le quotient de 7 divisé par 3 au dixième près.

7 , 0 0 3– 6 2 , 3 3

1 0

– 9

1 0

9

2,33 cela donne quand on arrondit au dixième près.

4 Estime les réponses des divisions suivantes, puis donne la réponse exacte.

Estimation Réponse exacteTon estimation est-elle

raisonnable ?

a) 1,85 ÷ 5 2,0 ÷ 5 = 0,37

b) 2,82 ÷ 6

c) 23,1 ÷ 7

d) 37,26 ÷ 9

Fais la division jusqu’aux centièmes, puis arrondis au dixième le plus proche.

32 ÷ 4 = 8 5,4 ÷ 6 = 0,9

Calcul mental Exercice 111 - Guide pédagogique

Exercices pp. 237-238 - Fichier photocopiable

Concluez : « 0,9 est une estimation du résultat de 5,28 divisé par 6. » L’exercice 2 propose de faire une estimation, puis d’effectuer la divi-sion. Laissez les élèves réaliser individuellement le travail, puis deman-dez à un élève volontaire de présenter sa démarche au tableau en le guidant pour verbaliser les étapes de l’estimation. Demandez à un autre élève de venir calculer la division et conclure en insistant sur la vraisemblance de l’estimation donnée par son camarade. Passez à la question suivante lorsque la réponse donnée est validée : pour la question a), l’estimation est 0,3, le résultat de la division 0,27 ; pour la question b), l’estimation est 0,9, le résultat de la division 0,89 ; pour la question c), l’estimation est 7, le résultat de la division 7,17. L’exer-cice 3 propose de calculer la division de 7 par 3 au centième près, puis de donner un arrondi du résultat au dixième près. La division conduit à la production de restes au-delà du rang des centièmes. Demandez aux élèves de calculer individuellement la division. Demandez à un élève volontaire de venir exposer son calcul au tableau. Il est possible, sans pour autant évoquer les millièmes, de faire émerger l’idée qu’on pourrait poursuivre encore la division de la même façon, en posant aux élèves la question suivante : « Que pourrait-on faire puisqu’il reste des centièmes ? » (On pourrait refaire un échange et continuer la divi-sion.) Un autre élève présente sa démarche pour trouver l’arrondi du résultat (2,33) au dixième le plus proche (2,3) ; appuyez-le en reformu-lant les étapes. Ici, il faut que les élèves comprennent la nuance entre l’estimation du résultat d’une division (qui met en jeu la recherche du multiple le plus proche du nombre qu’on divise) et la recherche de l’arrondi du quotient. Placez les élèves en binômes pour réaliser l’exercice 4 pour estimer le résultat de leur division à l’unité ou au dixième le plus proche. Précisez bien de faire cette estimation avant de calculer la division. Demandez ensuite aux élèves de comparer leurs estimations avec le résultat de la division et proposez aux binômes volontaires de partager leurs observations.

3 Pratique autonomeLes pages 237 et 238 du fichier photocopiable proposent un exercice d’entraînement. Les élèves doivent effectuer les divisions, puis don-ner une estimation du résultat.

Différenciation

Soutien : Demandez aux élèves en difficulté de ne faire que le travail de la page 237 fichier photocopiable en leur apportant votre aide éventuelle dans leur démarche et en utilisant les disques-nombres en appui si nécessaire.Approfondissement : Les élèves les plus avancés feront individuelle-ment l’ensemble des questions proposées dans les pages 237 et 238 du fichier photocopiable en vérifiant leurs réponses en binômes.

Synthèse de la séance

• Je sais rechercher le multiple le plus proche du nombre à diviser pour estimer le résultat.

• Je sais donner l’arrondi à l’unité au dixième le plus proche du résultat d’une division comportant 1 ou 2 chiffres après la virgule.

• Je sais formuler la démarche me permettant d’estimer le résultat de mon calcul.

• Je sais dire si le résultat de mon calcul est vraisemblable.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Résoudre des problèmes Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel

Manuel : p. 226Fichier photocopiable : pp. 239-240

Matériel pédagogique : ardoises

1 Se mettre en situationLes problèmes proposés page 226 du manuel sont des problèmes à une étape. Reprenez le scénario décrit dans les quatre étapes de Polya (voir séance 33) pour aider les élèves à trouver la bonne opération per-mettant de résoudre ces problèmes, en essayant, pour ces problèmes simples, de ne pas forcément avoir recours aux modèles dessinés. Dites : « Nous allons résoudre des problèmes simples dont la réponse sera trouvée grâce à une multiplication ou à une division. » Utilisez l’exer-cice 1 page 226 du manuel (manuel fermé) pour une mise en situation. Lisez l’énoncé du problème à la classe. Demandez aux élèves : « Que cherche-t-on à savoir dans ce problème ? » (La distance totale parcou-rue par Maël.) « Quelles sont les informations que l’on nous donne ? » (La longueur de la piste d’athlétisme et le nombre de tours que fait Maël.) « Combien mesure la piste d’athlétisme ? » (0,4 km.) « Combien Maël fait-il de tours de piste ? » (4 tours.) Notez les informations au tableau. « Si Maël n’avait fait qu’un seul tour de piste, quelle distance aurait-il parcourue ? » (0,4 km.) « Puisque Maël a fait 4 tours de piste, il a donc parcouru une distance 4 fois plus grande. Quelle opération va permettre de calculer la distance parcourue par Maël ? » (0,4 × 4.) Demandez aux élèves de calculer l’opération sur leur ardoise, puis pro-posez à un volontaire de présenter son calcul au tableau. « Quelle dis-tance a parcouru Maël en faisant 4 tours de piste ? » (1,6 km.)

2 Résoudre des problèmesAssurez-vous que les élèves utilisent la bonne unité dans leurs réponses. Encouragez-les à réfléchir pour vérifier l’exactitude et la vraisemblance de leurs résultats. Pour l’exercice 2, récapitulez le concept de la division qui permet de partager en parts égales. Dites aux élèves de lire la division de 0,6 par 2 ainsi : 6 dixièmes divisés par 2. L’utilisation de petits nombres doit faciliter le calcul. Dans l’exercice 3, après avoir lu l’énoncé du problème, attirez l’attention des élèves sur le phylactère de pensée d’Idris : « Idris propose une démarche pour résoudre le problème. Que fait-il d’abord ? » (Il donne l’arrondi de la dépense de Monsieur Beauval.) « Que fait-il ensuite ? » (Il cal-cule ce que dépense à peu près Madame Hervé.) « Pourquoi multi-plie-t-il par 5 ? » (Parce qu’on dit que Madame Hervé dépense 5 fois

Résoudre des problèmes impliquant l’utilisation de la multiplication ou de la division des nombres décimaux.

Compétence du programme 2016 : Résoudre des problèmes en utilisant les nombres décimaux et le calcul.

Contextualisation des calculs de multiplications et de divisions

Cette séance contextualise le calcul de multiplications et de divisions de nombres décimaux. Les élèves ont déjà mobilisé ces techniques opé-ratoires avec des nombres entiers dans la résolution de problèmes. Ils sont donc familiarisés avec les pro-cessus mentaux relevant de « fois plus » et « fois moins ». Il s’agit ici de résoudre des problèmes ne com-portant qu’une seule étape. Pour la division, seul le sens de la division partition (recherche de la valeur d’une part) est utilisé dans les pro-blèmes car il est, d’une manière générale, plus simple à com-prendre pour les élèves que celui de la division quotition (recherche du nombre de parts). Le but est de mobiliser progressivement l’utilisa-tion à bon escient de la multiplica-tion ou de la division en offrant un contexte facile à comprendre.

Calcul mental

Proposez des nombres avec un ou deux chiffres après la virgule mais dont la partie décimale est paire. Choi-sissez des nombres avec une par-tie entière d’un puis de deux chiffres et demandez aux élèves de diviser ces nombres par 2. Exemples : 4,8 (réponse 2,4) ; 36,6 (réponse 18,3). Proposez aussi des cas afin que les élèves ne croient pas que l’on fait la division de la partie entière et ensuite de la partie décimale. Exemple : avec 37,6, on peut suggérer aux élèves de trouver d’abord le nombre multiple de 2 proche de la partie entière. Ici, on pourrait mentalement décomposer le nombre en 36 + 1,6. 36 est le double de 18 et 1,6 est le double de 0,8 d’où le résultat 18,8.

Problèmes (2)112

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 226

226 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 112 Problèmes (2)

1 Une piste d’athlétisme mesure 0,4 km de long.Maël a fait 4 tours de piste. Quelle distance a-t-il parcourue en tout ?

2 Deux enfants ont partagé équitablement 0,6 l de jus de mangue. Quelle quantité de jus de mangue chaque enfant a-t-il bue ?

3 Monsieur Beauval a dépensé 21,15 € au marché.Madame Hervé a dépensé 5 fois plus que Monsieur Beauval.Combien Madame Hervé a-t-elle dépensé ?

4 Un fil de 2,16 m de long a été coupé en 8 parts égales.Quelle longueur mesure chaque part ?

5 Une pile de 5 pièces de 20 centimes mesure 0,75 cm de haut.Quelle est l’épaisseur d’une pièce de 20 centimes ?

6 Kim a acheté 8 pots de yaourt à 0,85 € chacun.Combien Kim a-t-elle payé en tout ?

21,15 €, c’est à peu près 20 €.20 × 5 = 100Donc 21,15 € × 5, c’est à peu près 100 €.

2,16 m, c’est à peu près 2 m si on arrondit à l’unité la plus proche.

2 m ÷ 8 =

Donc 2,16 m ÷ 8, c’est à peu près m.

Résous les problèmes suivants, puis estime le résultat pour vérifier si ta réponse est raisonnable.

Calcul mental Exercice 112 - Guide pédagogique

Exercices pp. 239-240 - Fichier photocopiable

plus que Monsieur Beauval.) « À combien Idris estime-t-il la dépense de Madame Hervé ? » (100 €.) Demandez aux élèves d’effectuer le calcul, puis de vérifier si leur réponse est vraisemblable avec l’estima-tion de 100 €.Pour résoudre le problème proposé dans l’exercice 4, orientez la réflexion par le questionnement décrit dans les quatre étapes de Polya. Commentez le phylactère d’Adèle. Attirez l’attention des élèves sur la représentation du fil : « Qu’est-ce qui est représenté par le dessin ? » (Le fil coupé en 8.) « Que doit-on chercher ? » (La mesure de chaque part.) « Que fait Adèle avant de calculer la longueur de chaque part ? » (Une estimation.) Procédez avec les élèves à l’estimation guidée dans le phylactère d’Adèle, puis demandez-leur de calculer individuelle-ment la longueur de chaque part (0,27 m). Vérifiez avec eux le résultat et confrontez-le à l’estimation pour évaluer la vraisemblance de leur réponse. Laissez les élèves traiter en binômes les exercices 5 et 6. Dans l’exercice 5, précisez avec les élèves en difficulté ce que l’on cherche à connaître et les nombres qui vont servir à trouver la réponse, la pré-sence du nombre 20 dans l’énoncé pouvant être source d’erreurs pour certains. Dans l’exercice 6, reformulez éventuellement l’énoncé avec les élèves en difficulté : « 8 pots de yaourt à 0,85 chacun signifie que 1 pot de yaourt coûte 0,85 €. » En effet, la bonne compréhension des mots « chaque », « chacun », « chacune » dans un énoncé n’est parfois pas évidente pour certains, et la correspondance de ces termes avec l’unité d’une collection n’est pas forcément établie. Demandez à des volon-taires d’exposer leur démarche et leur calcul pour chaque problème.

3 Pratique autonomeProblèmes 1, 2 et 3 page 239 du fichier photocopiable. Rappelez aux élèves qu’ils peuvent s’aider du modèle en barres comme dans l’exercice 1. Pour ce problème, attirez leur attention sur ce que l’on cherche : c’est la valeur de 4 pains, donc 4 fois plus que la valeur de 1 pain. On va donc multiplier. Dans l’exercice 2, on cherche la longueur d’une partie du ruban coupé en 4, c’est 4 fois moins que la longueur totale. On va donc diviser.

Différenciation

Soutien : Aidez les élèves en difficulté à mettre en correspondance un problème à traiter, le modèle en barres approprié et l’opération permettant de trouver la réponse. Utilisez les problèmes page 239 du fichier photocopiable pour les aider à dessiner le modèle en barres cor-respondant à la situation s’ils ont du mal à identifier l’opération per-mettant de trouver la réponse.Approfondissement : Les élèves les plus avancés résoudront indivi-duellement les problèmes pages 239-240 du fichier photocopiable et compareront en binômes leurs résultats.

Synthèse de la séance

• Je sais résoudre un problème impliquant la multiplication ou la division de nombres décimaux.

• J’identifie si ce que je cherche c’est « fois plus » ou « fois moins » que la quantité de départ pour choisir la bonne opération (multiplication ou division) pour résoudre mon problème.

• Je sais estimer le résultat de mon calcul pour vérifier la vraisemblance de ma réponse à la question du problème.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Objectifs

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Résoudre des problèmes à deux étapes Collectif et individuel

3 Pratique autonome Individuel et en binômes

Manuel : pp. 227-228Fichier photocopiable : pp. 241-242

Matériel pédagogique : ardoises

1 Se mettre en situationAnnoncez aux élèves : « Aujourd’hui, nous allons traiter des pro-blèmes dans lesquels il y a deux opérations à effectuer pour répondre à la question posée. » Rassurez-les en leur disant que c’est un travail qu’ils ont déjà fait lorsqu’ils ont travaillé sur les problèmes à étapes, la différence est que l’on utilise des nombres entiers et des nombres décimaux dans les opérations. Projetez l’exercice 1 page 227 du manuel et demandez : « Que voit-on sur cette image ? » (Des aliments avec leur prix.) « Quels sont ces aliments ? Quel est leur prix ? » Lisez à voix haute le problème. Attirez l’attention des élèves sur Idris : « Que pense Idris quand il résout un problème ? » Rappe-lez en quoi consistent ces quatre étapes (Polya) pour résoudre un problème. D’abord, comprendre : « Quels sont les aliments que les élèves de CM1 achètent pour leur fête ? » (Des pains-surprise et de la salade.) « Combien de chaque ? » (3 pains-surprise et 1 salade.) « Que doit-on chercher ? » (Ce qu’ils ont payé en tout.) Ensuite, planifier : « Comment peut-on trouver la somme totale qu’ils ont dépensée ? » (On additionne le prix des 3 pains-surprise et celui de 1 salade.) « Que doit-on chercher d’abord ? » (Le prix des 3 pains-surprise.) « Com-ment le calcule-t-on ? » (On multiplie 24,90 par 3.) « Que doit-on faire ensuite ? » (Ajouter 5,50 qui est le prix d’une salade.) Deman-dez aux élèves de rechercher le prix des 3 pains-surprise (24,90 × 3 = 74,70 €.) Vérifiez le calcul avec eux, puis demandez-leur de chercher la dépense totale (74,70 + 5,50 = 80,20 €.) Demandez à un élève de venir au tableau réaliser le deuxième calcul ; demandez à un autre de récapituler la procédure en l’aidant à verbaliser.

2 Résoudre des problèmesDans l’exercice 2, utilisez la même approche que précédemment pour guider les élèves. Indiquez-leur que la somme totale collectée est celle du professeur et des quatre groupes d’élèves. Dites-leur que, pour trou-ver la somme collectée par chaque groupe d’élèves, ils doivent d’abord chercher ce que les quatre groupes d’élèves ont récolté ensemble. Reprenez ensuite la démarche décrite pour résoudre le premier pro-blème. L’exercice 3 page 228 reprend l’utilisation du modèle en barres. Il s’agit d’un problème additif. Lisez l’énoncé à voix haute et assu-rez-vous de sa compréhension : « Quels sont les jeux qu’Alice a ache-

Résoudre des problèmes impliquant l’utilisation de la multiplication ou de la division des nombres décimaux.

Compétence du programme 2016 : Résoudre des problèmes en utilisant les nombres décimaux et le calcul.

Problèmes à deux étapes impliquant des calculs sur les nombres décimaux

Contrairement aux problèmes de la séance précédente, les problèmes proposés dans cette séance sont des problèmes à deux étapes qui requièrent la compétence de faire le choix de deux opérations pour les résoudre. Les élèves en difficulté auront sans doute besoin de davan-tage de soutien et de supports pour comprendre les situations.Encouragez les élèves à utiliser l’ap-proche proposée dans la séance fai-sant référence aux quatre étapes de Polya permettant de structurer le processus de résolution des pro-blèmes. Elle permet aux élèves de hiérarchiser les opérations mentales à réaliser (sous-problèmes) pour répondre aux questions posées, l’as-pect « planification » étant d’autant plus essentiel dans un problème à étapes.

Calcul mental

Faites remarquer aux élèves que 0,99, c’est 1 − 0,01 donc ajouter 0,99 c’est comme ajouter 1 et retirer 0,01. Faites le rapprochement avec ajouter 99 à un entier. Sur l’ardoise, proposez des nombres à virgule avec deux chiffres après la virgule et demandez aux élèves d’ajouter 0,99 à ces nombres. Commencez par des nombres comme 3,67, puis des nombres entiers pour ne pas que les élèves travaillent comme des robots, enfin des nombres comme 3,7. Dans ce cas, l’ajout de 0,99 donne 4,69. Rappelez que 7 dixièmes corres-pondent à 70 centièmes avant de faire faire le calcul. Pour les élèves, il est souvent difficile de comprendre que lorsqu’on fait un ajout, il faut retirer un nombre. Il faut donc leur expliquer que, comme on a ajouté 1, nombre plus grand que 0,99, il faut enlever ce qu’on a ajouté en trop (0,01).

Problèmes (3)113

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 227

Manuel p. 228

227Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 113 Problèmes (3)

1 Observe l’illustration, puis résous le problème posé.Pour la fête de l’école, les élèves de CM1 ont acheté 3 pains-surprises et 1 salade. Combien ont-ils payé en tout ?

24,90 € 5,50 € 2,20 € 4,95 €1,60 €

Coût total des pains-surprises : 24,90 € × 3

= €

Somme totale dépensée : € + 5,50 €

= €

Les élèves de CM1 ont dépensé € en tout.

2 Résous le problème posé.4 groupes d’élèves de CM1 ont récolté 98 € pour la fête de leur école. Cette somme inclut 25 € donnés par leur professeur. Chaque groupe a récolté la même somme. Combien chaque groupe a-t-il récolté ?

Somme totale récoltée par les élèves : 98 € 25 €

= €

Somme récoltée par chaque groupe : € 4

= €

Chaque groupe a récolté €.

1 : Comprendre

2 : Planifier

3 : Faire

4 : Vérifier

Calcul mental Exercice 113 - Guide pédagogique

Exercices pp. 241-242 - Fichier photocopiable

228 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

3 Alice a dépensé 25,85 € pour acheter un jeu d’échecs. Elle a dépensé 1,95 € de moins pour acheter un jeu de société.a) Combien coûte le jeu de société ?b) Combien d’argent Alice a-t-elle dépensé en tout ?

a) ?

25,85 €

jeu d’échecs

jeu de société

1,95 €

b) ?

25,85 € 1,95 € = €

Le jeu de société coûte €.

25,85 € € = €

Alice a dépensé € en tout.

4 Idris achète 3 concombres et un ananas pour 4,05 €. L’ananas coûte 1,50 €. Combien coûte chaque concombre ?

1,50 €

?

concombre

ananas4,05 €

4,05 € – 1,50 € = €

3 concombres coûtent €.

€ ÷ 3 = €

Chaque concombre coûte €.

Comment peux-tu savoir si cette réponse est raisonnable ?

Le jeu de société est moins cher. Il coûte moins de 25,85 €.

tés ? » (Un jeu d’échecs et un jeu de société.) « Quel est celui qui coûte le moins cher ? » (Le jeu de société.) Expliquez : « Nous allons dessiner un modèle de comparaison pour montrer les informations données. La différence de longueur des deux barres représente la différence de prix des deux jeux. Que doit-on faire pour trouver la réponse à la première question et trouver le prix du jeu de société ? » (Soustraire 1,95 € à 25,85 €.) « Quel signe manque dans l’opération ? » (Le signe moins.) « Calculez le prix du jeu de société. » (25,85 – 1,95 = 23,90 €.) « La réponse est-elle vraisemblable ? Pourquoi ? Comment le modèle en barres nous montre la dépense totale d’Alice ? Que doit-on faire pour trouver sa dépense totale ? » (Additionner 25,85 et 23,90.) « Quel signe manque dans l’opération ? » (Le signe plus.) « Calculez la dépense totale d’Alice. » (25,85 + 23,90 = 49,75 €.) « La réponse est-elle vraisemblable ? » Lisez l’exercice 4. Vérifiez la compréhension de l’énoncé et aidez les élèves à voir l’utilité de travailler de manière inver-sée pour résoudre le problème à partir du prix total des 3 concombres et de l’ananas. Le modèle en barres « parties-parties-tout » peut être utilisé. Identifiez avec les élèves les sous-problèmes à résoudre avant de répondre à la question posée : « Combien Idris a-t-il dépensé ? » (4,05 €.) « Que doit-on chercher d’abord ? » (Le prix des 3 concombres.) « Comment calcule-t-on leur prix ? » (On soustrait le prix de l’ananas.) Écrivez ces étapes de recherche au tableau (sans les calculs à effectuer) et laissez les élèves terminer le problème individuellement. Demandez à un volontaire de corriger le problème au tableau. Appuyez-vous sur le modèle en barres pour l’aider à détailler les calculs en reformulant chaque étape au fur et à mesure. Concluez : « On a cherché le prix des 3 concombres (4,05 – 1,50 = 2,55 €). Si 3 concombres coûtent 2,55 €, le prix de 1 concombre est 2,55 ÷ 3 = 0,85 €. » Demandez aux élèves de s’exprimer sur la manière dont ils vérifient que leur réponse est vraisemblable.

3 Pratique autonomeProblèmes 1, 2 et 3 page 241 du fichier photocopiable. À partir de l’exercice 2, aidez les élèves en difficulté à comprendre les situations et construisez avec eux le modèle en barres pour le problème de l’exer-cice 3. Les autres élèves traiteront ces trois problèmes individuellement.

Différenciation

Soutien : Les élèves en difficulté auront certainement besoin d’aide pour la compréhension des problèmes, la planification des étapes et l’élabo-ration du modèle en barres. Ainsi, pour l’exercice 3 page 241 du fichier photocopiable, l’expression « de plus que » peut les induire en erreur dans la mesure où les deux étapes de calcul sont des soustractions.Approfondissement : Les élèves avancés résoudront en binômes tout ou partie des problèmes de la page 242 du fichier photocopiable. Ils pourront choisir les problèmes à résoudre avec un minimum de deux problèmes par binômes.

Synthèse de la séance

• Je sais résoudre des problèmes à plusieurs étapes impliquant l’utilisation des quatre opérations avec des nombres décimaux.

• J’identifie les étapes du problème me permettant de trouver la réponse à la question posée.

• Je sais estimer le résultat de mes calculs pour vérifier la vraisemblance de ma réponse à la question du problème.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

Problèmes à plusieurs étapes

En leur réitérant les questions et instructions relatives aux quatre étapes de Polya, on permet aux élèves de développer des méca-nismes de réflexion aidant à mieux structurer la résolution de pro-blèmes complexes :1) Comprendre, en clarifiant le lexique utilisé, en identifiant les dif-férentes informations données dans l’énoncé et la recherche à faire.2) Planifier, en hiérarchisant les recherches à effectuer : ce que l’on doit chercher d’abord, après, ensuite… et en identifiant les opé-rations à réaliser.3) Faire, en formalisant ce qui a été planifié dans la deuxième étape.4) Vérifier, en examinant les démarches de résolution utilisées qui peuvent être descendantes (on part de ce qu’on connaît) ou ascen-dantes (on part de la question). On observe si les opérations ont été correctement utilisées et on évalue la vraisemblance de la réponse en estimant le résultat des calculs.

Étapes de la séance Modalité

1 Se mettre en situation Collectif

2 Résoudre des problèmes à plusieurs étapes Collectif et en binômes

3 Pratique autonome Individuel

Manuel : pp. 229-230Fichier photocopiable : pp. 243-244

1 Se mettre en situationDemandez aux élèves : « Qu’avons-nous fait lors de la dernière séance ? » (Des problèmes à deux étapes.) « Dans ces problèmes, nous avons vu qu’on ne pouvait pas répondre directement à la question posée, mais qu’il y avait une recherche intermédiaire à faire avant de pouvoir trouver la réponse. Qu’est-ce qui peut nous aider à résoudre ces problèmes et à trouver les opérations intermédiaires ? » (Réaliser le modèle en barres correspondant au problème.) Lors de l’introduction de cette séance, demandez aux élèves de rappeler les quatre étapes indispensables pour résoudre un problème (voir ci-contre). Dites-leur qu’ils vont poursuivre ce travail de résolution de problèmes à plusieurs étapes et qu’il y aura parfois plusieurs manières d’aboutir à la solution.

2 Résoudre des problèmes à plusieurs étapesDans l’exercice 1 page 229 du manuel, deux méthodes de résolution sont proposées. La première suit la logique de la dépense : Aziz a un billet de 50 €, il achète un premier jouet qui coûte 5,85 €, puis un second à 21,95 €. On soustrait donc à 50 € d’abord 5,85 €, puis 21,95 €. Cette méthode suit la chronologie des événements et peut être plus aisée à suivre pour certains élèves. Attention, il faut ici expli-quer aux élèves que le calcul de l’opération 50 – 5,85 – 21,95 € doit se faire en deux temps : on calcule d’abord 50 – 5,85, puis on soustrait au résultat 21,95. La seconde méthode propose de calculer dans un premier temps la dépense totale d’Aziz, 5,85 + 21,95 = 27,80 €, et de la soustraire ensuite aux 50 € dont il disposait : 50 – 27,80 = 22,20 €. Guidez les élèves à travers ces deux méthodes et faites-leur partager leurs réflexions sur celle qu’ils préfèrent. Illustrer avec un exemple d’estimation pour vérifier la vraisemblance de la réponse. On arron-dit les nombres à l’entier le plus proche et on estime que la réponse sera à peu près 22 : 50 – 28 = 22 €. Dans l’exercice 2, pour aider à la compréhension du problème, demandez aux élèves de comparer les masses. Si la masse d’Abel a augmenté, cela signifie qu’il était plus léger l’an dernier et plus lourd cette année. Pour trouver l’augmen-tation de la masse d’Abel, les élèves doivent donc soustraire à ce qu’il pèse aujourd’hui ce qu’il pesait l’an dernier (35,4 – 32,5 = 2,9 kg). Rappelez aux élèves de ne pas oublier de noter l’unité de mesure.

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Résoudre des problèmes à plusieurs étapes impliquant l’utilisation des quatre opérations.

Compétence du programme 2016 : Résoudre des problèmes en utilisant les nombres décimaux et le calcul.

Objectifs

Calcul mental

Faites remarquer aux élèves que 0,99, c’est 1 − 0,01 donc que retirer 0,99 c’est comme retirer 1 et ajouter 0,01. Faites le rapprochement avec retirer 99 à un entier. Sur l’ardoise, proposez des nombres à virgule avec deux chiffres après la virgule et demandez aux élèves d’ajouter 0,99 à ces nombres. Proposez ensuite des nombres avec un seul chiffre après la virgule comme dans la séance 113. Pour les élèves, il est souvent diffi-cile de comprendre que lorsqu’on fait un retrait, il faut ajouter un nombre. Il faut donc leur expliquer que, comme on a retiré 1, nombre plus grand que 0,99, il faut ajouter ce qu’on a enlevé en trop (0,01).

Problèmes (4)114

– durée de la séance : 1 heure

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Manuel p. 229

Manuel p. 230

229Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 114 Problèmes (4)

1 Aziz a acheté deux jouets qui ont coûté 5,85 € l’un et 21,95 € l’autre. Il a donné un billet de 50 € au vendeur. Quelle monnaie le vendeur lui a-t-il rendue ?

21,95 € ?

50 €

5,85 €

50 € – 5,85 € – 21,95 € = €

1re méthode

5,85 € 21,95 € = €

Aziz a dépensé € en tout.

50 € € = €

Aziz a reçu € de monnaie.

2e méthode

2 L’année dernière, Abel pesait 32,5 kg. Cette année, il pèse 35,4 kg. De combien la masse d’Abel a-t-elle augmenté ?

3 Un agent d’entretien a acheté 4 bouteilles de détergent. Chaque bouteille contient 1,25 l de détergent et coûte 3,85 €.a) Quelle est la quantité totale de détergent contenu dans les 4 bouteilles ?b) Combien l’agent d’entretien a-t-il payé en tout ?

4 Idris, Maël et Alice utilisent des briques pour construire des tours.La tour d’Idris mesure 1,63 m de haut. La tour de Maël mesure 0,05 m de moins que celle d’Idris, et 0,64 m de plus que celle d’Alice.Quelle est la hauteur de la tour d’Alice ?

Soustrais 5,85 € et 21,95 € de 50 €.

Commence par calculer la somme totale d’argent dépensé.

1,63 m

0,64 m

0,05 m

?

Idris Maël Alice

Calcul mental Exercice 114 - Guide pédagogique

Exercices pp. 243-244 - Fichier photocopiable

230 Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

5 La hauteur d’un escalier de 5 marches identiques est de 0,75 m. Quelle est la taille d’un escalier qui aurait 8 marches semblables ?

6 Un électricien a 16 m de câble. Après avoir coupé le câble en 7 morceaux de longueur égale, il lui reste encore 3,26 m de câble. Quelle est la longueur de chacun des 7 morceaux de câble ?

7 Léon a 20 €. Il achète quatre canettes de jus de fruits à 0,65 € chacune. Combien lui reste-t-il ?

8 Paula a 5 €. Elle a quatre fois plus d’argent que Manon. Combien Paula a-t-elle d’argent de plus que Manon ?

9 Utilise les informations ci-dessous pour répondre aux questions.

épaisseur : 0,22 cm 0,23 cm 0,21 cm 0,19 cm

masse : 8,50 g 7,50 g 5,74 g 4,10 g

a) Idris a 8 pièces identiques. Leur masse totale est de 60 g. Quelle est la valeur totale des pièces d’Idris ?

b) Adèle a empilé 3 pièces de 20 c et 3 pièces de 1 €. Quelle est la hauteur de la pile ?

c) Alice fait une pile avec 7 pièces similaires. La hauteur de sa pile est de 1,33 cm. Quelle est la masse totale de sa pile ?

d) Maël a des pièces de 10 c et de 1 €. Il en a 8 en tout. La masse totale de ses pièces est de 42,6 g. Combien de pièces de 10 c et de pièces de 1 € a-t-il ?

0,75 m

Dans l’exercice 3, attirez leur vigilance sur l’utilisation des unités appropriées. En effet, la réponse à la question a) s’exprime en litres (1,25 × 4 = 5 l) tandis que la réponse à la question b) s’exprime en euros (3,85 × 4 = 15,40 €). L’exercice 4 propose une situation dans laquelle la comparaison entre la tour d’Idris et celle d’Alice peut entraîner chez les élèves l’utilisation d’une addition. Le dessin doit les aider à visualiser que la tour d’Alice est la moins haute des trois. De plus, il met en évidence la relation suivante : comme la tour de Maël est moins haute que celle d’Idris et que celle d’Alice est moins haute que celle de Maël, alors la tour d’Alice est moins haute que celle d’Idris. Dans l’exercice 5 page 230, attirez l’attention des élèves sur l’expression « 5 marches identiques » et faites-leur reformuler ce que cela signifie : « Cela veut dire que les marches sont toutes de la même hauteur », ce qui induit l’utilisation de l’opération à effectuer pour trouver la hauteur d’une marche (0,75 ÷ 5 = 0,15 m), puis la hauteur d’un escalier de 8 marches (0,15 × 8 = 1,2 m). La recherche de la hau-teur totale par le biais de la hauteur des marches qui sont décalées peut peut-être gêner certains élèves. N’hésitez pas à matérialiser en couleur sur le dessin le report des hauteurs partielles sur la hauteur totale de l’escalier. Pour résoudre l’exercice 6, encouragez les élèves à dessiner le modèle en barres pour mieux visualiser la situation. Indi-quez-leur que la longueur totale du câble peut être trouvée si l’on connaît la longueur de chacun des morceaux (1,82 m). Une erreur fréquente que peuvent faire les élèves en traitant l’exercice 7 est de considérer que les 4 canettes coûtent 0,65 €. Clarifiez de nouveau l’utilisation du terme « chacune » et ramenez les élèves à la réalité actuelle où 4 canettes pour 0,65 € coûteraient bien peu. Encouragez les élèves à réaliser le modèle en barres correspondant à l’exercice 8, le comptage par unités les aidera à comprendre que Paula a 4 fois plus d’argent que Manon. Laissez les élèves traiter l’exercice 9 en binômes en passant dans les rangs pour les aider à la résolution.

3 Pratique autonomeLes pages 243 et 244 du fichier photocopiable proposent des problèmes synthétisant l’ensemble des connaissances acquises. Les élèves résoudront un nombre de problèmes variable selon leur niveau de compréhension. Aidez les élèves en difficulté à comprendre les situations, reformulez-les ensemble et construisez avec eux les modèles en barres appropriés.

Différenciation

Soutien : Accompagnez les élèves en difficulté dans les différentes étapes de résolution (comprendre, planifier, faire, vérifier) pour développer les automatismes permettant de traiter les problèmes.Approfondissement : Les élèves les plus avancés résoudront le plus possible de problèmes parmi ceux proposés en travail autonome.

Synthèse de la séance

• Je sais résoudre des problèmes à plusieurs étapes impliquant l’utilisation des quatre opérations avec des nombres décimaux.

• Je sais dessiner les modèles en barres correspondants.• J’identifie les étapes du problème me permettant de trouver la réponse

à la question posée.• Je sais estimer le résultat de mes calculs pour vérifier la vraisemblance

de ma réponse à la question du problème.• J’utilise la bonne unité dans mes réponses.

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Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance

Ce que j’ai apprisFaites ouvrir le manuel page 231. Utilisez son contenu pour revoir les algorithmes de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division avec des nombres décimaux. Mettez en évidence l’alignement des virgules dans l’addition et la soustraction posées. Avant chacune des rubriques proposées (addition et soustraction, multiplication, puis division des nombres décimaux), reprenez tous les phylactères de pensée que vous lirez à voix haute avant de détail-ler chaque point de la synthèse avec les élèves. Laissez-les ensuite travailler en groupes, puis demandez-leur d’expliquer les calculs de la page. Encouragez-les à utiliser un langage mathématique précis en les aidant à reformuler chaque étape de leurs calculs. Corrigez les erreurs fréquemment rencontrées dans les travaux d’élèves. Mettez en évidence le rôle des zéros et leur place dans les opérations posées.Placer ici la reproduction du document en annexe de cette séance

Faire le point sur ce que les élèves ont appris et compris en fin d’unité 10. Trois activités au choix : « Mon journal », « Explorons » et « Jouons avec les maths ».

Bilan de l’unité 10115

Explorons

Répartissez les élèves en binômes mais commentez l’énoncé princi-pal collectivement. « Que repré-sentent les nombres dans les cercles gris ? De quels nombres sont-ils la somme ? Peut-on obtenir ces sommes en additionnant d’autres nombres décimaux ? » (Oui.) « Que se passerait-il si nous essayions de changer les nombres dans les cercles blancs ? » (Dans ce cas, les autres cercles gris changeraient de valeur.) Pour réaliser le 2 et le 3, encoura-gez les élèves à écrire toutes les additions possibles qui forment les résultats (sous forme de tableau ou de schéma), puis à éliminer au fur et à mesure les réponses impos-sibles. Pour le 3, plusieurs réponses sont possibles.

En ateliers tournants

Jouons avec les maths

Avant de commencer, lisez les règles en entier. Faites un tour d’essai avec un élève volontaire. Insistez sur le fait qu’une fois les chiffres écrits sur le plateau de jeu, il est interdit de les changer. Distribuez les pla-teaux de jeu par groupes d’élèves et laissez-les jouer trois tours. À la fin, faites expliciter la stratégie gagnante : le plus grand chiffre doit être placé sur la position la plus grande. Faites jouer un qua-trième tour aux élèves maintenant conscients de cette stratégie.

Mon journal

Expliquez la tâche. Amenez les élèves à vérifier que le calcul est cor-rect : 37,26 ÷ 9 = 4,14. 4,14 donne 4 une fois arrondi à la dizaine la plus proche. Pour aider les élèves à inventer un énoncé, vous pouvez donner des exemples : « 37,26 kg de farine sont répartis équitable-ment dans neuf sacs. Combien pèse chaque sac, arrondi au kilo le plus proche ? » ou « Combien de mor-ceaux de ruban de 9 m de long le décorateur peut-il découper dans un ruban de 37,26 m ? » À la fin de l’exercice, faites partager les pro-positions des élèves entre eux.

Manuel p. 231

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www.methodedesingapour.com

Explorons

Mon journal

Jouons avec les maths

Unité 10 • Les 4 opérations sur les nombres décimaux

Séance 115

Faire des opérations avec des nombres décimaux, c’est comme faire des opérations avec des nombres entiers.Mais il faut faire attention à la place de la virgule !

Addition et soustraction

Multiplication

Division

Je dois placer les virgules pour que :– les unités soient alignées en colonne ;– les dixièmes soient alignés en colonne ;– et les centièmes soient alignés en colonne.

Quand je multiplie un nombre décimal par un nombre entier, le produit aura le même nombre de chiffres après la virgule que le nombre décimal multiplié.

Quand je divise un nombre décimal par un nombre entier, je dois faire attention à la place de la virgule dans le résultat.

Qu’est-ce que je multiplie :des unités, des dixièmes ou des centièmes ?

Qu’est-ce que je divise :des unités, des dixièmes ou des centièmes ?

u d c

3 , 2+ 6 , 4 5

9 , 6 5

u d1

3 , 2× 51 6 , 0

u d c1 10

7 , 2– 1 , 1 9

6 , 0 1

u d c1 1

1 , 2 3× 5

6 , 1 5

u d c4 , 1 6 4

– 4 1 , 0 40 1

– 01 6

– 1 60

Calcul mental Exercice 115 - Guide pédagogique

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