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Plan de la présentationIntroduction

Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP

Une approche d'optimisation robuste pourl'ordonnancement de projet sous contraintes de

ressources avec durées incertaines

Christian Artigues1 et Roel Leus2

1LAAS-CNRS, Université de Toulouse, France

2Research group ORSTAT, Faculty of Business and Economics,

K.U.Leuven, Leuven, Belgium

Recherche en partie �nancée par le programme ANR �Blanc�

Projet ROBOCOOP - ANR-08-BLAN-0331-01

Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP



1 IntroductionOptimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux

2 Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRestriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal

3 Résolution du AR-RCPSP




Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux

Optimisation combinatoire robuste

Optimisation combinatoire et scénarios d'incertitude

Soit le problème d'optimisation combinatoireminx∈X⊆{0,1}n cx .

supposons que c est incertain avec c ∈ C, ensemble desscénarios d'incertitude.

Coût Minimax ou regret minimax

L'optimisation combinatoire robuste consiste à

Minimiser le pire des cas sur les scénarios minx∈X maxc∈C cx

Minimiser le plus grand regret absolu sur les scénariosminx∈X maxc∈C(cx −miny∈Y cy)

Minimiser le plus grand regret relatif sur les scénariosminx∈X maxc∈C

(cx−miny∈Y cy)miny∈Y cy





Ordonnancement de projet sous contraintes de ressources

Dé�nitions

V = {0, 1, . . . , n, n + 1}, ensemble des tâches (projet) avec 0tâche �ctive de début et n + 1 tâche �ctive de �n,

pi durée de la tâche i ∈ V ,

R ensemble de ressources,

bk , disponibilité de la ressource k ∈ R ,

bik demande de la tâche i en ressource k ∈ R ,

E contraintes de successions entre tâches

Si début de la tâche i (à déterminer)

RCPSP (Resource-Constrained Project Scheduling Problem) :Minimiser la durée totale du projet en respectant les contraintes desuccession et les disponibilités des ressources.





Formulation �conceptuelle� du RCPSP

Décision : Détermination des dates de début des tâches(S ∈ Rn+2)

Soit S ensemble (in�ni) des ordonnancements réalisables =ensemble des vecteurs S ∈ Rn+2 véri�ant

Sj ≥ Si + pi ∀(i , j) ∈ E (1)∑sj≤t<sj+pi

bik ≤ Bk ∀t ≥ 0,∀k ∈ R (2)

Sj ≥ 0 i ∈ V (3)

Formulation 1 (directe)

(RCPSP)minS∈S Sn+1





Le RCPSP comme un problème d'optimisation combinatoire

Décision : Sélection d'un ordre strict X ⊆ V 2 (ensemble decouples de tâches représentant des successions additionnelles)réalisable

Un ordre strict X ⊆ V 2 est dit réalisable si S(X ) ⊆ S avecS(X ) = {S ≥ 0|Sj ≥ Si + pi , ∀(i , j) ∈ E ∪ X}, l'ensemble desdates de début respectant l'ordre strict.

Soit X l'ensemble des ordres stricts réalisables.

Soit Cmax(X ) la longueur du plus long chemin dansG (V ,E ∪ X ) dans lequel les arcs sont valués par les durées destâches.

Formulation 2 (optimisation combinatoire)

(RCPSP)minX∈X Cmax(X )





Durées incertaines et ordres stricts

On suppose une incertitude sur les durées pi ∈ Pi avec Piensemble continu (intervalle) ou discret.

On note Cmax(X , p) la longueur du plus long chemin dansG (V ,X ∪ E ) dans lequel les arcs sont valués par les durées destâches.

Par dé�nition, un ordre strict réalisable reste réalisable pourtout scénario de durées.

Un ordre strict dé�nit une politique de décision sous incertitude dedurées





Ordonnancement de projet robuste sous contraintes deressources

Le regret absolu d'un ordre strict X pour un scénario de durées pest donné parRA(X , p) = (Cmax(X , p)−minY∈X Cmax(Y , p))

Ordonnancement de projet à minimax regret absolu

(AR − RCPSP)minX∈X maxp∈P RA(X , p)

Le regret relatif d'un ordre strict X pour un scénario de durées pest donné parRR(X , p) = (Cmax(X ,p)−minY∈X Cmax(Y ,p))

minY∈X Cmax(Y ,p)

Ordonnancement de projet à minimax regret relatif

(RR − RCPSP)minX∈X maxp∈P RR(X , p)





Di�culté du problème et enjeux

Complexité

Étant donné un ordre strict X et un scénario de durées p, calculerle regret absolu RA(X , p) ou relatif RR(X , p) est NP-di�cile(résolution d'un RCPSP).

Enjeux :

Calculer des bornes supérieures et inférieures du regret ?

Proposer une méthode de résolution utilisable en pratique ?




Restriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal

Regret maximal absolu : restriction aux scénarios extrêmes

si Pi est un ensemble continu ou discret, il possède un élémentminimum pmin

i et un élément maximal pmaxi .

un scénario p est extrême si pi = pmini ou pi = pmax

i pourtoute tâche i ∈ V .

Théorème

Étant donné un ordre strict X , le regret absolu maximal est atteintsur un scénario extrême.





Regret maximal relatif et scénarios extrêmes

Contrexemple pour le regret relatif

soit n = 2 et P1 = {2, 3, 6} et P2 = {1, 3, 5}, pas de contrainte desuccession, pas de contrainte de ressource.

Pour tout scénario, le makespan optimal estC ∗max(p) = max(p1, p2).

Soit X = {(1, 2)}. Cmax(X , p) = p1 + p2.

Le regret absolu de X pour un scénario p estRA(X , p) = p1 + p2 −max(p1, p2) de maximum atteint pourp1 = 6 et p2 = 5.

Le regret relatif de X pour un scénario p estRR(X , p) = p1+p2

max(p1,p2) − 1 de maximum unique atteint pourp1 = p2 = 3





Bornes inférieures des regrets maximaux

Soit Y un ordre strict.

ra(X ,Y ) = maxp∈P(Cmax(X , p)− Cmax(Y , p))

rr(X ,Y ) = maxp∈PCmax(X ,p)−Cmax(Y ,p)

Cmax(Y ,p)

ra(X ,Y ) (rr(X ,Y )) est la plus grande di�érence absolue(relative) entre les longueurs des plus longs chemins dansG (V ,E ∪ X ) et G (V ,E ∪ Y ).

Bornes inférieures des regrets absolu et relatif

Si Y est un ordre strict réalisable, alorsmaxp∈P RA(X , p) ≥ ra(X ,Y ) etmaxp∈P RR(X , p) ≥ rr(X ,Y )





Bornes supérieures des regrets maximaux

Un ordre strict �nécessaire� Y est un ordre strict nonnécessairement réalisable mais tel que pour tout scénariop ∈ P , Cmax(Y , p) est une borne inférieure de C ∗max(p).

Un ordre strict nécessaire trivial est donné par Y = ∅.

Bornes supérieures des regrets absolu et relatif

Si Y est un ordre strict nécessaire, alorsmaxp∈P RA(X , p) ≤ ra(X ,Y ) etmaxp∈P RR(X , p) ≤ rr(X ,Y )

Problème ouvert : complexité du calcul de ra(X ,Y ) et rr(X ,Y ).





PLNE pour l'évaluation du regret absolu maximal

Détermination simultanée de la durée optimale pour le regret et dela solution optimale du RCPSP

Variable ai ∈ {0, 1} de sélection de la durée minimale oumaximale

Variables de �ot continues φminij ∈ [0, ai ] et φmax

ij ∈ [0, 1− ai ]pour le calcul du plus long chemin dans G (V ,E ∪ X ).

Variables de dates de début Si pour le calcul de la solutionoptimale du RCPSP pour la durée p

Variables yi ,j ∈ {0, 1} pour le calcul de l'ordre strict optimalpour la durée p

Variables continues de �ots d'unités de ressource fijk pour lesconditions de �réalisabilité� de l'ordre strict

RCPSP multi-mode à fonction objectif composite (mais linéaire)





Extrait du PLNE pour l'évaluation du regret absolu maximal

RA∗(X ) = max

∑

(i,j)∈E∪Xpmin

i φmin

ij + pmax

i φmax

ij

− Sn+1

sous les contraintes :∑

(i,j)∈E∪Xφmin

ij + φmax

ij =∑

(j,i)∈E∪Xφmin

ji + φmax

ji ∀i ∈ V \ {0, n + 1}

∑(0,j)∈E∪X

φmin

0j + φmax

0j =∑

(j,n+1)∈E∪Xφmin

j,n+1+ φmax

j,n+1= 1

∑(i,j)∈E∪X

φmax

ij ≤ ai ,∑

(i,j)∈E∪Xφmin

ij ≤ 1− ai ∀i ∈ V \ {0, n + 1}

φmin

ij , φmax

ij ≥ 0 ∀(i , j) ∈ E ∪ X

Sj ≥Si + (1− ai )pmin

i + aipmax

i −M(1− yij ) ∀(i , j) ∈ E

S0 = 0

ai ∈ {0, 1} ∀i ∈ V

a0 = an+1 = 0

Y ∈ XChristian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP



Formulation du AR-RCPSP par considération explicite desscénarios

La minimisation du plus grand regret absolu peut être formuléeen considérant explicitement tous les scénariosp1, . . . , ph, . . . , p|P| :

ρ∗ = min ρ

ρ ≥ Shn+1 − C∗max(ph) ∀ph ∈ P

Shj ≥ Shi + phi −M(1− xij ) ∀(i , j) ∈ V × V , i 6= j , ∀ph ∈ P

Shi ≥ 0 ∀i ∈ V , ∀ph ∈ PX ∈ X

La considération d'un sous ensemble de scenarios P̃ ⊆ Pconduit à une borne inférieure du plus grand regret minimal.

Nous proposons une méthode itérative pour la résolution duAR-RCPSP, basée sur la relaxation des scénarios, faisantprogressivement croître la borne inférieure.




Un premier algorithme de relaxation des scenarios

1: Choisir un scénario p1 (par exemple pmin) et résoudre le RCPSP.P̃ ← {p1}. h← 1.

2: Résoudre le AR-RCPSP avec P̃ et obtenir une borne inférieure BI etun ordre strict X .

3: Si BI = BS alors Stop.4: Sinon Calculer le regret maximal de X en résolvant le RCPSP

multi-mode, mettre à jour la borne supérieure BS , récupérer lescénario ph+1 et le makespan optimal C∗

max(ph+1). h← h + 1.

5: Si BI = BS alors Stop.6: Sinon retour à l'étape 2.

Converge en au plus 2n itérations.(voir aussi Assavapokee et al. (COR 35(6), 2093-2102, 2008)) pour une approche

générale en optimisation robuste)




Algorithme de relaxation des scenarios (variante)

1: Choisir un scénario p1 (par exemple pmin) et résoudre le RCPSP.P̃ ← {p1}. h← 1.

2: Résoudre le AR-RCPSP avec P̃ et obtenir une borne inférieure BI etun ordre strict X .

3: Si BI = BS alors Stop.4: Sinon chercher une solution du RCPSP multimode d'objectif plus

grand que BI , et récupérer le scénario de durée ph+1. h← h + 1.5: Si une solution a été trouvée, Calculer le makespan optimal

C∗max(p

h+1) et retour à l'étape 2.6: Sinon Stop.

Avantages : Le RCPSP multi-mode n'a pas a être résolu àl'optimalité (on cherche seulement un regret plus grand que laborne inférieure)Inconvénient : On doit résoudre un RCPSP à chaque itération.




Expériences numériques

Deux exemples

i pmin

ipmax

ibi1 bi2 Γi

1 4 8 2 1 102 0 2 1 0 5, 63 0 2 3 1 74 1 3 2 0 85 2 4 1 1 96 4 6 2 1 107 4 8 3 0 −8 2 4 1 2 −9 1 3 1 2 1010 3 5 1 1 −bk 7 4

i pmin

ipmax

ibi1 bi2 bi3 bi4 Γi

1 1 3 10 10 5 5 7, 8, 92 1 3 10 2 3 8 5, 6, 73 1 4 5 9 2 8 4, 5, 64 6 8 3 2 10 10 85 1 3 4 6 10 8 66 1 3 1 7 2 1 87 8 10 10 8 8 2 −8 6 8 8 4 4 3 −9 6 8 4 2 3 2 −10 6 8 2 9 2 5 −bk 19 18 19 17




Résultats

L'algorithme 1 résout l'exemple 1 en 9 itérations et 9,3secondes et l'exemple 2 en 7 itérations et 2801 secondes.

L'algotithme 2 résout l'exemple 1 en 9 itérations et 4,8secondes et l'exemple 2 en 13 itérations et 1843 secondes.

La variante proposée divise par deux le temps requis parl'algorithme inspiré d'Assavapokee et al.




Conclusion

Dé�nition du problème de RCPSP robuste basé sur lareprésentation des solutions par ordres stricts.

Résultats pour la résolution du problème de minimax regretpour le RCPSP avec durées incertaines : propriétés structurelleset amélioration d'approches d'optimisation robuste générales.

Vers une approche pratique en ordonnancement robuste...Améliorer les calculs de bornes inférieures et supérieures,utiliser des méthodes d'ordonnancement basées sur lescontraintes.

Nécessité de considérer des approches moins conservatives(Bertsimas et Sim, Math Prog, 2004, ...).

http ://robocoop.li.univ-tours.fr


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