trabajo colaborativo 3 métodos numéricos

8/21/2019 Trabajo Colaborativo 3 Mtodos Numricos

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Aporte Individual Momento 3100401 Mtodos NumricosOscar Jos Ramrez CardonaGrupo N 12

MTODOS NUMRICOS

Trabajo Momento 3

Presentado por:OSCAR JOS RAMREZ CARDONA - Cd.: 79810115

RODOLFO DANIEL BOGOTA - Cd.: 79976308

CHRISTIAN EDUARDO TORRES - Cd.: 79992506

CAMILO EDUARDO MORALES - Cd.:

WILSON BERNARDO PULIDO ROBAYO - Cd.: 79850780.

Tutor

JOSE ADEL BARRERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAINGENIERIA DE SISTEMAS

Noviembre de 2014


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Introduccin

Con el presente documento se pretende dar a conocer los conocimientos y destrezas adquiridascon la manipulacin, lectura y tratamiento que se le dio a la UNIDAD 3 DIFERENCIACINEINTEGRACIN NUMRICA, Y SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES delmdulo de Mtodos Numricos de la UNAD.

Para tales fines fue necesario el conocimiento de temas como: Frmulas de diferencia, Las

reglas de Trapecio, Reglas de Simpson, Integracin de Romberg, Mtodo de Euler, Mtodo de

Runge Kutta, Mtodos Multipasos y otros conceptos que se encuentran en cada uno de los

temas de sta unidad. Es necesario tener estos conceptos claros para la buena complementaciny desarrollo de las actividades propuestas, adems es importante la aplicacin de estos

conocimientos en la solucin de los problemas cotidianos.


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Objetivo

Estimar valores funcionales a partir de cierto nmero de datos iniciales. Mejorar el manejo de los conceptos de Mtodos numricos ya que a travs de ellos

podemos resolver una gran variedad de problemas matemticos. Identificar los diversos mtodos para la integracin por mtodos iterativos. Distinguir las diferentes implicaciones que tienen los mtodos de integracin: toma de

intervalos y nmero de operaciones.


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Desarrollo de la Actividad

Fase 1

Calcular la integral a la funcin plantada f(x) = 1/(1+x) en el video de la unidad 3 mtodosSimpson 1/3 con (n=6) utilizando los siguientes mtodos:

Regla del TrapecioVamos a usar la regla del trapecio, basados en la siguiente frmula:

=

= 2 2 2 2

Teniendo en cuenta los valores de x y f(x) para (n=6)

n 0 1 2 3 4 5 6

0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 1 6/7 2/3 3/5 6/11 1/2

Nuestra frmula quedara:

=

= 2 2 2 2 2 2

Remplazando por los valores de la tabla:

1 026[0 2 (16) 2 (

13) 2 (

12) 2 (

23) 2 (

56) 1]

1 026[1 2 (67) 2 (

34) 2 (

23) 2 (

35) 2 (

611) (

12)]

1

12 1 1,7142 1,5 1,3333 1,2 1,0909 0,5

0,8338,3385 0,6948


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Regla de Simpson 3/8Usando la regla de Simpson 3/8, basados en la siguiente frmula:

=

= 8 [ 3 (2 3 ) 3( 23 ) ]

Teniendo en cuenta que (n=6) vamos a hacer la siguiente tabla para hallar f(x), teniendo en

cuenta que =

n 0 1 2 3 4 5 6

0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 1 6/7 2/3 3/5 6/11 1/2

Teniendo esto en cuenta vamos a iniciar el desarrollo de la frmula

= 8 [ 3 (2

3 ) 3( 2

3 ) ]

=0 18 [0 3 (20 1

3 ) 3 (0 21

3 ) 1]

=18 [1 3 (

13) 3 (

23)

12]

=18 [1 3 (34) 3 (

35)

12]

= 0,1251 2,25 1,8 0,5

= 0,1255,55

0,69375


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Fase 2

Realizar un cuadro comparativo entre los tres mtodos y establecer la repuesta de mayor

exactitud. (Sobre algunas dudas en la gua del trabajo colaborativo momento 3, quieroaclararles que para la fase 2 el cuadro comparativo entre los tres mtodos y establecer la

respuesta de mayor exactitud, se utiliza: Regla del trapecio, Regla de Simpson e integracin

de Romberg)

Antes de hacer el cuadro comparativo, vamos a realizar el ejercicio por algoritmos de

Romberg.

Para resolver por medio de los algoritmos de Romberg, debemos tener en cuenta las siguientes

frmulas:

Primero que todo la regla del trapecio:

=2 2

=

Donde:

a=lmite inferiorb=lmite superior

n=subintervalos

= primer valor= ltimo valor= suma de los valores dentro del intervalo

Para obtener cada nivel usamos la frmula:

44 1

14 1

Donde h2 es la iteracin de mayor exactitud y h1 la de menor exactitud, se dice que la exactitud

es mayor cuando tenemos mayor nmero de iteraciones, lo que nos proporciona ms fuentesde datos.


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Resolviendo las iteraciones por la frmula de trapecios tenemos:

a b primero ltimo

0 1 1 0,5

i x f(x) x n trapecio

0 1 1 1 nivel 2

1 1 0,5 0,75

nivel 3

i x f(x) x n 0,6944

0 1 0,5 2 nivel 4

1 0,5 0,6667 0,7083 0,6974

2 1 0,5

0,6972 0,6959 nivel 5

i x f(x) x n

0 1 0,3333 3

1 0,3333 0,75 0,7 0,6960 0,6951 nivel 62 0,6667 0,6

3 1 0,5

0,6960 0,6951 0,6946

i x f(x) x n

0 1 0,25 4

1 0,25 0,8 0,6970 0,6951 0,6946

2 0,5 0,6667

3 0,75 0,5714

4 1 0,5 0,6946

0,6952

i x f(x) x n

0 1 0,2 5

1 0,2 0,8333 0,6956 0,6946

2 0,4 0,7143

3 0,6 0,625

4 0,8 0,5556

5 1 0,5 0,6946

i x f(x) x n

0 1 0,1667 6

1 0,1667 0,8571 0,6949

2 0,3333 0,75

3 0,5000 0,6667

4 0,6667 0,6

5 0,8333 0,54556 1,0000 0,5

nivel 1

1 +

43

13 ()1615

115()6463

163()

256255

1255()

10241023

11023 (


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Ahora podemos proceder a comparar los resultados de los tres mtodos.

Simpson 1/3 (vdeo) Regla del Trapecio Simpson 3/8 Integracin deRomberg

0,6931 0,6948 0,6937 0,6946

Con base en los resultados obtenidos, podramos decir que el mtodo que nos da la respuestade mayor exactitud (tomando como referencia la dada en el vdeo por Simpson 1/3) es la de

Simpson 3/8. Aunque en lo personal pienso que la respuesta ms exacta de las 4 es la

obtenida por Integracin de Romberg, pues tenemos muchos ms datos lo que nos da unamayor aproximacin que en los otros casos.

METODO REGLAS TRAPEZOIDALES. REGLADE SIMPSON METODO ROMBERG

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la

primera de las frmulas cerradas de Newton-Cotes.Corresponde al caso en donde el

polinomio de aproximacin es de primer

orden

Una forma evidente de mejorar la aproximacin deuna integral es con una mejor aproximacin para el

integrando (x). Esto se puede lograr con unpolinomio de grado 2

En anlisis numrico, el Mtodo de Romberggenera unamatriz triangular cuyos elementos son estimaciones

numricas de la integral definidasiguiente:

En donde f1(x) corresponde a una lnea recta

que se representa como:Considrese la funcin (x ) en el intervalo [a , b ] yx 0= a ,x 1=x 0+ h ,x 2= b ,donde

usando la extrapolacin de Richardsonde forma reiteradaen la regla del trapecio. El mtodo de Romberg evala el

integrando en puntos equiespaciados del intervalo de

integracin estudiado. Para que este mtodo funcione, el

integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo,

aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para

integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el

El rea bajo la lnea recta es unaaproximacin de la integral de f(x) entre los

lmites a y b:

Con los puntos (x0, (x0)), (x1, (x1)) y(x2, (x2)) se construye el polinomio de

Lagrange de grado 2,

El resultado de la integracin es: ahora

La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

La regla de Simpson es exacta para funciones polinmicas de grado menor o

igual a 3, ya que el error contiene

No obstante que las condiciones de la

proposicin 1 son sumamente generales, no

setiene garanta de que, al aplicar los mtodosusualmente conocidos para resolverintegrales,

se pueda encontrar la antiderivada de una

funcin f(x) cualquieranecesaria para obtener

la integral definida.

Una manera de mejorar la aproximacin de una integral definida de una

funcinfen un intervalo [a ,b ], consiste en dividir el intervalo [a ,b ] en variossubintervalos yaplicar en cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de

Simpson. Estos mtodos se conocen como regla compuesta o extendida del

trapecio y de Simpson respectivamente.

El algoritmo ms eficiente dentro de ste

mtodo, se llama Integracin de Romberg,la

cual es una frmula recursiva.

DEFINICION

La regla del trapecio es exacta para funciones

lineales (f(x ) =mx + c ) ya que el trmino de error contienef''(z )yeste casof''(x ) = 0 yel error sera cero.

CARACTERISTICAS

Los mtodos de Trapecios, Simpson y Romberg permiten estimar la integral con error de orden n 2, n4, n, . Usan nodos equiespaciados, incluyendo los extremos del intervalo. Son casos particulares de Newton-Cotes

3

]2[][4][

hIhIhI

TT

S

I h

I h I h

I h I h I h

I h I h I h I h

T

T S

T S R

T S R Q

[ ]

[ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ] [ / ]

2 2

4 4 4

8 8 8 8


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Mtodo de Euler Mtodo de Runge Kutta Mtodo Metapasos

DEFINICION

Es un Procedimiento de Integracinnumrica para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias a partir de

un valor inicial Dado.El mtodo de Euler es el ms

simple de los Mtodos Numricos

para Resolver un Problema delsiguiente tipo

= (, )

Y(xo)=yoY(x1)=?

Son un Conjunto de Mtodosgenricos interactivos, explcitos

E implcitos de resolucinNumrica de Ecuaciones

Diferenciales El Mtodo RK (de

orden) tiene la siguienteexpresin en su forma msgeneral:

Yn+1 = yn + h =1

Son llamados Mtodos de un paso porque laaproximacin de la solucin en el punto i 1 de la

malla se obtiene con informacin proveniente de laaproximacin obtenida en el punto i

Un mtodo metapasosDe p paso para resolver un problema

SEMEJANSAS

Y DIFERENCIAS

En lo mtodos de un paso secalcula cada valor sucesivode yn+1 solo con base en

informacin acerca del valorinmediato anterior a yn

Mtodo de un paso se calculacada valor sucesivo en yn + 1solo con base en informacinAcerca del valor inmediato

anterior a yn

-Mtodo de pasoMtodo en varios pasos

Mtodo de predictor y Corrector.Un mtodo en varios pasos calculados conanterioridad para obtener el valor de yn + 1hay numerosas formulas aplicables en la

aproximacin de soluciones deAplicaciones Diferenciales.

VENTAJAS

A medida que dividimos el

tamao del paso H los errorestambin se disminuyen en

aproximadamente la mitad enun mtodo sencillo de

implementar dependiendo delgrado de precisin que se dice

el h puede ser muy pequeo.

Suelen usasen por su exactitud y

facilidad de Programacin

Solo necesita una evaluacin de funcin por

pasoEsto puede originar grandes en tiempo y CostoDeterminar las condiciones de orden es mucho

ms sencilloPara un mtodo lineal Multi paso que para un

mtodo de Runge kutta

DESVENTAJAS

Tiene errores Grandes Sobre3todo cuando la pendiente

instantnea es decir la funcinf(x,y)x.ese Mtodo Considereque la pendiente calculada de

lado Izquierdo del xEs la misma para cada

intervalo. Una mejorAproximacin a esta pendiente

ser considerada no solo elpunto inicial sino el promedio

del inicial y el final el mtodoque utiliza esta aproximacin es

el mtodo de EULERModificado.

Una de sus Mayores desventajases que el lado derecho de la

ecuacin diferencial debeevaluarse

Muchas veces en cada etapa

Es importante asegurar que el mtodo de unpaso con el que generan los valores

iniciadores sea tambin consistente con el

El mismo orden Aunque el error deTruncamiento, tanto con el mtodo de Adams-Bashforinh de cuatro pasos como el mtodode Adeams.Multohom de Tres pasos es de

igual orden al de Runge Kutta

4 Este es ms Preciso

USOS

Este Metodo se aplica paraencontrar la solucin a lasecuaciones DiferencialesOrdinarias (EDO) Esto es

cuando la funcin involucra solouna Variable independiente

Su uso es co0mun tanto enciertas Aplicaciones como enciencias Fundamentales como

son la Fsica la Qumica Biologao Matemticas.

Solucin de un Problema Diferencial de SegundoOrden con retardo.

Resuelven Problemas de valor Inicial.Estos Mtodos sirven para mejorar la

Aproximaciones Obtenidas con los mtodosexplcitos.

Pvi


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MAPA CONCEPTUAL


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MAPA CONCEPTUAL MTODOS ITERATIVOS EMPLEADOS EN LA SOLUCINDE ECUACIONES DIFERENCIALES DE VALOR INICIAL


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Fase 4:

Evaluar los diversos mtodos para los valores aproximado de ecuaciones diferenciales con

valor inicial ecuacin.

Aplicar el mtodo de Runge-Kutta de orden cuatro para obtener la aproximacin y (0,8) a la

solucin del siguiente problema de valor inicial, con h=0,2

Para resolver por el mtodo de Runge - Kutta,debemos tener en cuenta las siguientes frmulas.

+ = 16 2 2

= ,

= (2 ;

2 )

= (2 ;

2 )

= ;

x0 0

y0 0,25

h 0,2

iteracin X K1 K2 K3 K4 Y

0 0 0,25

1 0,2 1,25 1,3650 1,3765 1,4853 0,524

2 0,4 1,4839 1,5823 1,5922 1,6824 0,841

3 0,6 1,6811 1,7592 1,7670 1,8345 1,1934 0,8 1,8334 1,8867 1,8921 1,9318 1,571

= + 1


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Conclusiones

Alcanzamos manejo y destreza en la diferenciacin numrica, integracin numrica y

ecuaciones diferenciales con mtodos numricos.

Complementamos las dudas e inquietudes referentes a esta unidad, resaltando su importancia

en el campo de las matemticas.

Adquirimos conocimientos para diferenciar numricamente funciones con datos tabulados o

mediante curvas determinadas en forma experimental.


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Bibliografa

Bucheli Chaves, Carlos Ivn (2013): Curso Acadmico Mtodos Numricos. Pasto, Nario.

Chapra C., Steven; Canale, Raymond P. (2007):Mtodos Numricos para Ingenieros.Mxico.

http://www.ma3.upc.edu/users/carmona/teaching/clases/08-09/trabajos/metodo%20biseccion.pdfEL MTODO DE LA BISECCIN

trabajo colaborativo 3 métodos numéricos

Documents