métodos numéricos - tercer examen parcial (trabajo final)

7/18/2019 Métodos Numéricos - Tercer Examen Parcial (Trabajo Final)

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Universidad Nacional de Trujillo

Facultad de Ingenier í a Quí mica Escuela de Ingenier í a Quí mica

EJERCICIOS

TERCER EXAMEN PARCIAL

CURSO : MÉTODOS NUMÉRICOS

DOCENTE : Dr. GUILLERMO EVANGELISTA BENITES

INTEGRANTES :

ALIAGA ROJAS, Yolanda

PACHECO MENDOZA, Carlos

PANTA RIVERA, Paúl

TORRES VELÁSQUEZ, Andrés

ZAVALETA BUSTAMANTE, Franco

CICLO : VI

Trujillo - Perú



2014



Métodos Numéricos para Ingeniería

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ejercicios Propuestos

Antonio Nieves – Steven ! "apra

#$ Nieves% A!& Domingue'% (ederico! Métodos Numéricos aplicados a laIngeniería!)ta Edici*n+

Ejercicio ,!-.+

Resuelva el siguiente PVI con el método de Runge-Kutta de cuarto orden: ANTONIO NIEVES

dy

dx= z

y ( 0)=1

y (1 )=?} PVI

dz

dx= y

z (0 )=−1

z (1 )=¿ h=0.1} PVI

SOL!I"N EN #ATLA$:

- !%digo de Programaci%n:

clc, clear all, close allformat compact%% INGRESOsyms x y z xp1 xp2 yp1 zp1 yp2 zp2 yp3 zp3 fprintf('nn'!f1"inp#t(' In$rese la f#ncin &y&x " '!

f2"inp#t(' In$rese la f#ncin &z&x " '!x) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e x, x()! " '!y) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e y, y()! " '!z) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e z, z()! " '!xf " inp#t(' In$rese el *alor final &e x, x(f! " '!+" inp#t(' In$rese el *alor &e +, + " '!%% -.O/O /E R0NGE0.. (4.O OR/EN!i"1n " (xf x)!+$1"s#5s(f1,6x,y,z7,6xp1,yp1,zp17!$2"s#5s(f2,6x,y,z7,6xp1,yp1,zp17!m1"s#5s(f1,6x,y,z7,6xp1,yp2,zp27!m2"s#5s(f2,6x,y,z7,6xp1,yp2,zp27!

n1"s#5s(f1,6x,y,z7,6xp2,yp3,zp37!n2"s#5s(f2,6x,y,z7,6xp2,yp3,zp37!xp(1! " x)



yp(1! " y)zp(1! " z)fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt -.O/O /E R0NGE0.. (4to Or&en!'!fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt i x y z'!

fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt %2& %894f %894f%894fn',i,xp(1!,yp(1!,zp(1!!:+ile i;"n x " x) y " y) z " z) <y1"e*al(f1! <z1"e*al(f2! xp1"x)=+2 yp1"y)=<y1>+2 zp1"z)=<z1>+2 <y2"e*al($1! <z2"e*al($2! yp2"y)=<y2>+2 zp2"z)=<z2>+2 <y3"e*al(m1! <z3"e*al(m2! xp2"x)=+ yp3"y)=<y3>+ zp3"z)=<z3>+ <y4"e*al(n1! <z4"e*al(n2! x1 " x)=+ y1"y)=+>(<y1=2><y2=2><y3=<y4!8 z1"z)=+>(<z1=2><z2=2><z3=<z4!8 x) " x1 xp(i=1! " x1 y) " y1 yp(i=1! " y1 z) " z1 zp(i=1! " z1 fprintf('ttt %2& %494f %494f%494fn',i=1,x1,y1,z1! i " i = 1en&fprintf('ttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""n' !plot(xp,yp,'r','line:i&t+',2!+ol& onplot(xp,zp,'5','line:i&t+',2!plot(xp,yp,'o<','line:i&t+',2!plot(xp,zp,'o<','line:i&t+',2!$ri& onyla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137y (RoBa! C z (z#l!'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137x'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7-.O/O /E R0NGE0..(4to Or&en!'!



SOL!I"N EN E&!EL:



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x vs. Y & x vs. Z

x

y & z

'atos de Entrada:



- Valor inicial de (: !))- Valor inicial de *: R))- Valor inicial de +: S))

Valores ,redeinidos:

- Valor de .: !elda /0

!eldas de !1lculo 2N3N4mero de 5ila6:

7Nota: N em,ie+a desde ila )8

- &: !N 3!2N-)69/0- K*): 'N 3S2N-)6- K+): EN 3R2N-)6- ;est): 5N3R2N-)69<=>7'N7/?- @est): N 3S2N-)69<=>7EN7/?- K*B: CN 3N- K+B: IN 35N- ;estB: /N 3R2N-)69<=>7CN7/?- @estB: KN 3S2N-)69<=>7IN7/?- K*8: LN 3KN- K+8: #N 3/N- ;est8: NN 3R2N-)69LN7/?- @est8: ON 3S2N-)69#N7/?- K*D: PN 3ON

- K+D: N 3NN- ;: RN 3R2N-)692)FG672'N9B7CN9B7LN9PN67/?

- @: SN 3S2N-)692)FG672EN9B7IN9B7#N9N67/?

SOL!I"N EN POL;#ATC:

- Ecuaciones de Entrada:

(2<6 3 <(2 6 3 )d2+6Fd2(6 3 *

+2<6 3 -)d2*6Fd2(6 3 +*2<6 3 )

- TaHla de Resultados:



- r1ico:

Ejercicio ,!/#+



Resuelva el siguiente PVI con el método de Runge-Kutta de cuarto orden con.3<=)

d2 y

d x2+2

dy

dx +2 y=0

PVI y (0)=1

dy

dx x=0|=−1

y (1)=?

ANLISIS:

- Sustitu*endo:

dy

dx=w

- TendrJamos un sistema de ecuaciones de ,rimer orden de la siguientemanera:

dy

dx=w

dw

dx =−2w−2 y

- !on estas consideraciones ,odremos a,licar el método numéricocorres,ondiente ,ara la resoluci%n de la ecuaci%n=

SOL!I"N EN #ATLA$:


clc, clear all, close allformat compact%% INGRESO



syms x y : xp1 xp2 yp1 :p1 yp2 :p2 yp3 :p3 fprintf('nn'!f1"inp#t(' In$rese la f#ncin &y&x " '!f2"inp#t(' In$rese la f#ncin &:&x " '!x) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e x, x()! " '!y) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e y, y()! " '!

:) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e :, :()! " '!xf " inp#t(' In$rese el *alor final &e x, x(f! " '!+" inp#t(' In$rese el *alor &e +, + " '!%% -.O/O /E R0NGE0.. (4.O OR/EN!i")n " (xf x)!+$1"s#5s(f1,6x,y,:7,6xp1,yp1,:p17!$2"s#5s(f2,6x,y,:7,6xp1,yp1,:p17!m1"s#5s(f1,6x,y,:7,6xp1,yp2,:p27!m2"s#5s(f2,6x,y,:7,6xp1,yp2,:p27!n1"s#5s(f1,6x,y,:7,6xp2,yp3,:p37!n2"s#5s(f2,6x,y,:7,6xp2,yp3,:p37!xp(1! " x)yp(1! " y):p(1! " :)fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt -.O/O /E R0NGE0.. (4to Or&en!'!fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt i t y :'!fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt %2& %894f %894f%894fn',i,xp(1!,yp(1!,:p(1!!:+ile i=1;"n x " x) y " y) : " :) <y1"e*al(f1! <:1"e*al(f2! xp1"x)=+2 yp1"y)=<y1>+2 :p1":)=<:1>+2 <y2"e*al($1! <:2"e*al($2! yp2"y)=<y2>+2 :p2":)=<:2>+2 <y3"e*al(m1! <:3"e*al(m2! xp2"x)=+ yp3"y)=<y3>+ :p3":)=<:3>+ <y4"e*al(n1! <:4"e*al(n2! x1 " x)=+ y1"y)=+>(<y1=2><y2=2><y3=<y4!8 :1":)=+>(<:1=2><:2=2><:3=<:4!8 x) " x1 xp(i=1! " x1 y) " y1 yp(i=1! " y1 :) " :1 :p(i=1! " :1 fprintf('ttt %2& %894f %894f%894fn',i=1,x1,y1,:1!

i " i = 1en&



fprintf('ttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""n' !fprintf('ntttEl *alor &e y estima&o esD %894fn',y1!plot(xp,yp,'r','line:i&t+',2!+ol& onplot(xp,yp,'o<','line:i&t+',2!$ri& on

yla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137y'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137x'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7-.O/O /E R0NGE0..(4to Or&en!'!



SOL!I"N EN E&!EL:



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x vs. Y

x

y

'atos de Entrada:

- Valor inicial de (: !0- Valor inicial de *: R0- Valor inicial de : S0


- Valor de .: !elda /M




7Nota: N em,ie+a desde ila )<

- &: !N 3!2N-)69/M

- K*): 'N 3S2N-)6- K): EN 3-B7S2N-)6-B7R2N-)6- ;est): 5N3R2N-)69<=>7'N7/M- est): N 3S2N-)69<=>7EN7/M- K*B: CN 3N- KB: IN 3-B7N-B75N- ;estB: /N 3R2N-)69<=>7CN7/M- estB: KN 3S2N-)69<=>7IN7/M- K*8: LN 3KN- K8: #N 3-B7KN-B7/N- ;est8: NN 3R2N-)69LN7/M

- est8: ON 3S2N-)69#N7/M- K*D: PN 3ON- KD: N 3-B7ON-B7NN- ;: RN 3R2N-)692)FG672'N9B7CN9B7LN9PN67/M- : SN 3S2N-)692)FG672EN9B7IN9B7#N9N67/M



d2*6Fd2(6 3 *2<6 3 )d26Fd2(6 3 -B 7 - B 7 *2<6 3 -)(2<6 3 <(2 6 3 )




- r1ico:

Ejercicio ,!/- 0Nieves$+



Resuelva el siguiente PVI con el método de Runge-Kutta de cuarto orden con:

a6 .3<=)H6 .3<=>=

dy

dx= z

PVI dz

dx=−125 y−20 z

y (0 )=0 y (1 )=¿ ?

z (0 )=1 z (1 )=¿ ?

!om,are los resultados con la soluci%n analJtica:

y=1

5e−10 x

sin5 x

z=e−10 x (cos5 x−2sin5 x )

SOL!I"N EN #ATLA$:


clc, clear all, close allformat compact%% INGRESOsyms x y z xp1 xp2 yp1 zp1 yp2 zp2 yp3 zp3 fprintf('nn'!

f1"inp#t(' In$rese la f#ncin &y&x " '!f2"inp#t(' In$rese la f#ncin &z&x " '!x) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e x, x()! " '!y) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e y, y()! " '!z) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e z, z()! " '!xf " inp#t(' In$rese el *alor final &e x, x(f! " '!+" inp#t(' In$rese el *alor &e +, + " '!%% -.O/O /E R0NGE0.. (4.O OR/EN!i")n " (xf x)!+$1"s#5s(f1,6x,y,z7,6xp1,yp1,zp17!$2"s#5s(f2,6x,y,z7,6xp1,yp1,zp17!m1"s#5s(f1,6x,y,z7,6xp1,yp2,zp27!

m2"s#5s(f2,6x,y,z7,6xp1,yp2,zp27!n1"s#5s(f1,6x,y,z7,6xp2,yp3,zp37!n2"s#5s(f2,6x,y,z7,6xp2,yp3,zp37!



xp(1! " x)yp(1! " y)zp(1! " z)fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""'!fprintf('nttt -.O/O /E R0NGE0.. (4to Or&en!'!

fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""'!fprintf('nttt i x y z'!fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""'!fprintf('nttt %2& %894e %894e%894en',i,xp(1!,yp(1!,zp(1!!:+ile i=1;"n x " x) y " y) z " z) <y1"e*al(f1! <z1"e*al(f2! xp1"x)=+2 yp1"y)=<y1>+2 zp1"z)=<z1>+2 <y2"e*al($1! <z2"e*al($2! yp2"y)=<y2>+2 zp2"z)=<z2>+2 <y3"e*al(m1! <z3"e*al(m2! xp2"x)=+ yp3"y)=<y3>+ zp3"z)=<z3>+ <y4"e*al(n1! <z4"e*al(n2! x1 " x)=+ y1"y)=+>(<y1=2><y2=2><y3=<y4!8 z1"z)=+>(<z1=2><z2=2><z3=<z4!8 x) " x1 xp(i=2! " x1 y) " y1 yp(i=2! " y1 z) " z1 zp(i=2! " z1 fprintf('ttt %2& %494e %494e%494en',i=1,x1,y1,z1! i " i = 1en&fprintf('ttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""n'!yanalitico"(1A!>exp(1)>xf!>sin(A>xf!zanalitico"exp(1)>xf!>(cos(A>xf!2>sin(A>xf!!errory"a5s((yanaliticoy1!>1))yanalitico!errorz"a5s((zanaliticoz1!>1))zanalitico!fprintf('ntttEl *alor &e y estima&o esD %894en',y1!fprintf('ntttEl *alor &e y analtico esD%894en',yanalitico!fprintf('ntttEl *alor &e z estima&o esD %894en',z1!fprintf('ntttEl *alor &e z analtico esD%894en',zanalitico!fprintf('ntttEl porcentaBe &e error para y esD

%894fn',errory!



fprintf('ntttEl porcentaBe &e error para z esD%894fn',errorz!plot(xp,yp,'r','line:i&t+',2!+ol& onplot(xp,zp,'5','line:i&t+',2!plot(xp,yp,'o<','line:i&t+',2!

plot(xp,zp,'o<','line:i&t+',2!$ri& onyla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137y (RoBa! C z (z#l!'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137x'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7-.O/O /E R0NGE0..(4to Or&en!'! (4to Or&en!'!

a6 .3<=>:



H6 .3<=):



SOL!I"N EN E&!EL:

a6 .3<=>:



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

x vs. y & x vs. z

x

y (azul & z (rojo

'atos de Entrada:

- Valor inicial de (: !)B- Valor inicial de *: R)B

- Valor inicial de +: S)B


- Valor de .: !elda /0


7Nota: N em,ie+a desde ila )8

- &: !N 3!2N-)69/0

- K*): 'N 3S2N-)6- K+): EN 3-)B>7R2N-)6-B<7S2N-)6



- ;est): 5N3R2N-)69<=>7'N7/0- @est): N 3S2N-)69<=>7EN7/0- K*B: CN 3N- K+B: IN 3-)B>75N-B<7N- ;estB: /N 3R2N-)69<=>7CN7/0

- @estB: KN 3S2N-)69<=>7IN7/0- K*8: LN 3KN- K+8: #N 3-)B>7/N-B<7KN- ;est8: NN 3R2N-)69LN7/0- @est8: ON 3S2N-)69#N7/0- K*D: PN 3ON- K+D: N 3-)B>7NN-B<7ON- ;: RN 3R2N-)692)FG672'N9B7CN9B7LN9PN67/0- @: SN 3S2N-)692)FG672EN9B7IN9B7#N9N67/0

H6 .3<=):



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x vs. y & x vs. z

x

y (azul & z(rojo

'atos de Entrada:

- Valor inicial de (: !DD- Valor inicial de *: RDD- Valor inicial de +: SDD


- Valor de .: !elda /D)


7Nota: N em,ie+a desde ila D>

- &: !N 3!2N-)69/D)- K*): 'N 3S2N-)6- K+): EN 3-)B>7R2N-)6-B<7S2N-)6

- ;est): 5N3R2N-)69<=>7'N7/D)- @est): N 3S2N-)69<=>7EN7/D)- K*B: CN 3N- K+B: IN 3-)B>75N-B<7N- ;estB: /N 3R2N-)69<=>7CN7/D)- @estB: KN 3S2N-)69<=>7IN7/D)- K*8: LN 3KN- K+8: #N 3-)B>7/N-B<7KN- ;est8: NN 3R2N-)69LN7/D)- @est8: ON 3S2N-)69#N7/D)- K*D: PN 3ON

- K+D: N 3-)B>7NN-B<7ON- ;: RN 3R2N-)692)FG672'N9B7CN9B7LN9PN67/D)



- @: SN 3S2N-)692)FG672EN9B7IN9B7#N9N67/D)


- Ecuaciones de entrada:

(2<6 3 <(2 6 3 )d2+6Fd2(6 3 -)B> 7 * - B< 7 ++2<6 3 )d2*6Fd2(6 3 +*2<6 3 <


- r1ica:



Discusi*n+

!omo ,odemos oHservar los resultados analJticos ,ara el inciso a 2.3<=>6diieren enormemente de los resultados analJticos usando el método de Runge-Kutta de Dto orden 2n error de )=<>()<0 ,ara la variaHle y * un error de)=B()<0 ,ara z 6= Este enorme dierencia res,onde a un intervalo mu* grande* ,oco signiicativo ,ara la resoluci%n de la ecuaci%n dierencial 2a,enas 8

valores generados en taHla6= Podemos com,roHar esto en el inciso b 2.3<=)6donde un intervalo ma*or genera un error menor 2BD=? ,ara la variaHle y mientras ue un B0=D ,ara la variaHle z 6= A ,esar de ello el error sigue siendomu* grande ,or lo ue necesitarJamos em,lear un intervalo m1s ,eueQo ue,ermita oHtener un resultado m1s e(acto= Si em,leamos ,or eem,lo .3<=<):



!omo ,odemos oHservar el error se reduo consideraHlemente ,r%(imo a cero2<=<<<? ,ara la variaHle y mientras ue un <=<<)8 ,ara la variaHle z 6 conun total de )<< iteraciones=

Por otro lado las curvas oHtenidas en la gr1ica son idénticas a las oHtenidasen Pol*mat.= Recordemos ue éste 4ltimo ,rograma nos ,ermite oHtener los

datos analJticos verdaderos ,ara la soluci%n de ecuaciones dierencialesordinarias=

Ejercicio ,!/) 0Nieves$+

!onsidere el siguiente conunto de reacciones reversiHles

! "

# $

Asuma ue .a* un mol de A solamente al inicio * tome N A , N B y N C como las

moles de A $ * ! ,resentes res,ectivamente=

!omo la reacci%n veriica a volumen constante N A , N B y N C son

,ro,orcionales a las concentraciones=

%1

%

%

%



Sean K 1 y K

2 las constantes de velocidad de reacci%n de derec.a a

i+uierda de la ,rimera reacci%n res,ectivamente igualmente sean K 3 y K

4

a,licaHles a la segunda reacci%n=

La velocidad de desa,arici%n neta de A esta dada ,or:d N A

dx =− N A K

1+ N B K

2

; ,ara $=

d N B

dx =−( K

2+ K

3 ) N B+ N A K 1+ N C K

4

'etermine N A , N B y N C

transcurridos >< minutos del inicio de las reaccionesmediante:

K 1=0.1min

−1

K 2=0.01min−1

K 3=0.09min−1

K 4=0.009min−1

ANLISIS:

- !omo las ecuaciones ,ara la velocidad de desa,arici%n neta de A * $est1n dadas lo ue altarJa es construir la ecuaci%n de velocidad dea,arici%n de !=

Anali+ando las ecuaciones de reacci%n oHtenemos

dN c

dt =k

3 N B−k

4 N C

- OHtenidas las tres unciones 2ecuaciones de velocidad6 estamos listos,ara a,licar el método numérico corres,ondiente ,ara .allar los valoresde Na NH * Nc transcurridos los >< minutos=

SOL!I"N EN #ATLA$:




clc, clear all, close allformat compact%% INGRESO&isp('FR REHHIND'!syms t Na N5 Nc tp1 tp2 yp1 zp1 :p1 yp2 zp2 :p2 yp3 zp3 :p3 fprintf('nttt ;J K'!

fprintf('nttt K ;J H'!fprintf('nn'!f1"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e &esaparicin &Na&t " '!f2"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e &esaparicin &N5&t " '!f3"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e aparicin &Nc&t " '!y) " inp#t(' In$rese el nLmero &e moles iniciales &e " '!tf " inp#t(' In$rese el nLmero &e min#tos transc#rri&os "'!+" inp#t(' In$rese el *alor &e +, + " '!%% -.O/O /E R0NGE0.. (4.O OR/EN!t)")z)"):)")i")n " (tf t)!+$1"s#5s(f1,6t,Na,N5,Nc7,6tp1,yp1,zp1,:p17!$2"s#5s(f2,6t,Na,N5,Nc7,6tp1,yp1,zp1,:p17!$3"s#5s(f3,6t,Na,N5,Nc7,6tp1,yp1,zp1,:p17!m1"s#5s(f1,6t,Na,N5,Nc7,6tp1,yp2,zp2,:p27!m2"s#5s(f2,6t,Na,N5,Nc7,6tp1,yp2,zp2,:p27!m3"s#5s(f3,6t,Na,N5,Nc7,6tp1,yp2,zp2,:p27!n1"s#5s(f1,6t,Na,N5,Nc7,6tp2,yp3,zp3,:p37!n2"s#5s(f2,6t,Na,N5,Nc7,6tp2,yp3,zp3,:p37!n3"s#5s(f3,6t,Na,N5,Nc7,6tp2,yp3,zp3,:p37!tp(1! " t)yp(1! " y)zp(1! " z):p(1! " :)fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""'!fprintf('nttt -.O/O /E R0NGE0.. (4to Or&en!'!fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""'!fprintf('nttt i t Na N5 Nc'!fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""'!fprintf('nttt %2& %494f %494f %494f%494fn',i,tp(1!,yp(1!,zp(1!,:p(1!!:+ile i=1;"n t " t) Na " y) N5 " z) Nc " :) <y1"e*al(f1! <z1"e*al(f2! <:1"e*al(f3! tp1"t)=+2 yp1"y)=<y1>+2 zp1"z)=<z1>+2 :p1":)=<:1>+2 <y2"e*al($1! <z2"e*al($2! <:2"e*al($3!

yp2"y)=<y2>+2 zp2"z)=<z2>+2



:p2":)=<:2>+2 <y3"e*al(m1! <z3"e*al(m2! <:3"e*al(m3! tp2"t)=+ yp3"y)=<y3>+

zp3"z)=<z3>+ :p3":)=<:3>+ <y4"e*al(n1! <z4"e*al(n2! <:4"e*al(n3! t1 " t)=+ y1"y)=+>(<y1=2><y2=2><y3=<y4!8 z1"z)=+>(<z1=2><z2=2><z3=<z4!8 :1":)=+>(<:1=2><:2=2><:3=<:4!8 t) " t1 tp(i=2! " t1 y) " y1 yp(i=2! " y1 z) " z1 zp(i=2! " z1 :) " :1 :p(i=2! " :1 fprintf('ttt %2& %494f %494f %494f%494fn',i=1,t1,y1,z1,:1! i " i = 1en&fprintf('ttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""n'!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e transc#rri&os los %492fmin#tos esD %494fn',tf,y1!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e K transc#rri&os los %492fmin#tos esD %494fn',tf,z1!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e H transc#rri&os los %492fmin#tos esD %494fn',tf,:1!plot(tp,yp,'r','line:i&t+',2!+ol& onplot(tp,zp,'5','line:i&t+',2!plot(tp,:p,'Dy','line:i&t+',2!plot(tp,yp,'o<','line:i&t+',2!plot(tp,zp,'o<','line:i&t+',2!plot(tp,:p,'o<','line:i&t+',2!$ri& onyla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137 (ROMO! ;J K(0!;J H(RIO!'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137t'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7-.O/O /E R0NGE0..(4to Or&en!'!



SOL!I"N EN E&!EL:



0 10 20 0 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

' vs. a & ' vs. ) & ' vs. *

'ie+,o (+i

a (!zul & ) (ojo & * (/ris

'atos de Entrada:

- Valor inicial de t: !))- Valor inicial de Na: ;))- Valor inicial de NH: @))

- Valor inicial de Nc: AA))


- Valor de .: !elda /?


7Nota: N em,ie+a desde ila )B

- &: !N 3!2N-)69/?- K*): 'N 3-<=)7;2N-)69<=<)7@2N-)6- K+): EN 3-2<=<)9<=<067@2N-)69<=)7;2N-)69<=<<07AA2N-)6- K): 5N 3<=<07@2N-)6-<=<<07AA2N-)6- ;est): N 3;2N-)69<=>7'N7/?- @est): CN 3@2N-)69<=>7EN7/?- est):IN 3AA2N-)69<=>75N7/?- K*B: /N 3-<=)7N9<=<)7CN- K+B: KN 3-2<=<)9<=<067CN9<=)7N9<=<<07IN- KB:LN 3<=<07CN-<=<<07IN- ;estB: #N 3;2N-)69<=>7/N7/?

- @estB: NN 3@2N-)69<=>7KN7/?- estB:ON 3AA2N-)69<=>7LN7/?



- K*8: PN 3-<=)7#N9<=<)7NN- K+8: N 3-2<=<)9<=<067NN9<=)7#N9<=<<07ON- K8: RN 3<=<07NN-<=<<07ON- ;est8: SN 3;2N-)69PN7/?- @est8: TN 3@2N-)69N7/?

- est8: N 3AA2N-)69RN7/?- K*D: VN 3-<=)7SN9<=<)7TN- K+D: N 3-2<=<)9<=<067TN9<=)7SN9<=<<07N- KD: &N 3<=<07TN-<=<<07N- Na: ;N 3;2N-)692)FG672'N9B7/N9B7PN9VN67/?- NH: @N 3@2N-)692)FG672EN9B7KN9B7N9N67/?- Nc: AAN 3AA2N-)692)FG6725N9B7LN9B7RN9&N67/?



d2NH6Fd2t6 3 -2B 9 86 7 NH 9 ) 7 Na 9 D 7 NcNH2<6 3 <d2Na6Fd2t6 3 -) 7 Na 9 B 7 NHNa2<6 3 )d2Nc6Fd2t6 3 8 7 NH - D 7 NcNc2<6 3 <) 3 <=)8 3 <=<0B 3 <=<)t2<6 3 <t2 6 3 ><D 3 <=<<0




- r1ico:

- 'iscusi%n:

!omo ,odemos oHservar los resultados oHtenidos tanto en E(cel *#atlaH son los mismos= Ustos a su ve+ coinciden con los resultadosanalJticos oHtenidos en Pol*mat.= Adem1s la gr1ica oHtenida en los dos,rimeros ,rogramas tamHién coinciden con la gr1ica de los resultadosanalJticos oHtenidos en Pol*mat. ,or lo ue los resultados son los

correctos=



-$ "apra% Steven !& anale% 1a2mond P! Métodos Numéricos para

Ingenieros!3ta Edici*n+

Ejercicio -4!/) 0"apra$+

Se .an ,ro,uesto las siguientes E'O como modelo de una e,idemia:

dS

dt =−aSI

dI

dt =−aSI −rt

dR

dt =−rI

'onde S3 los individuos susce,tiHles I3 los inectados R3 los recu,erados a3la tasa de inecci%n * r3 la tasa de recu,eraci%n= na ciudad tiene )<<<<.aHitantes todos los cuales son suce,tiHles=

a6 Si un solo individuo inectado entra a la ciudad en t3 < calcule la,rogresi%n de la e,idemia .asta ue el n4mero de individuos inectados

caiga ,or deHao de )<= se los siguientes ,ar1metros: a3 <=<<BF2,ersona=semana6 * r3 <=)>Fd= 'esarrolle las gr1icas de serie de tiem,ode todas las variaHles de estado= TamHién genere una gr1ica de ,lanode rase S vs I vs R=

SOL!I"N EN #ATLA$:


clc, clear all, close allformat compact%% INGRESOsyms t S I R tp1 tp2 Sp1 Ip1 Rp1 Sp2 Ip2 Rp2 Sp3 Ip3 Rp3 fprintf('nn'!f1"inp#t(' In$rese la primera ec#acin &S&t " '!f2"inp#t(' In$rese la se$#n&a ec#acin &I&t " '!f3"inp#t(' In$rese la tercera ec#acin &R&t " '!

S) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e S, S" '!I) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e I, I" '!



R) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e R, R" '!+" inp#t(' In$rese el *alor &e +, + " '!%% -.O/O /E R0NGE0.. (4.O OR/EN!t)")i")n " (tf t)!+

$1"s#5s(f1,6t,S,I,R7,6tp1,Sp1,Ip1,Rp17!$2"s#5s(f2,6t,S,I,R7,6tp1,Sp1,Ip1,Rp17!$3"s#5s(f3,6t,S,I,R7,6tp1,Sp1,Ip1,Rp17!m1"s#5s(f1,6t,S,I,R7,6tp1,Sp2,Ip2,Rp27!m2"s#5s(f2,6t,S,I,R7,6tp1,Sp2,Ip2,Rp27!m3"s#5s(f3,6t,S,I,R7,6tp1,Sp2,Ip2,Rp27!n1"s#5s(f1,6t,S,I,R7,6tp2,Sp3,Ip3,Rp37!n2"s#5s(f2,6t,S,I,R7,6tp2,Sp3,Ip3,Rp37!n3"s#5s(f3,6t,S,I,R7,6tp2,Sp3,Ip3,Rp37!tp(1! " t)Sp(1! " S)Ip(1! " I)Rp(1! " R)fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

""""'!fprintf('nttt -.O/O /E R0NGE0.. (4to Or&en!'!fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

""""'!fprintf('nttt i t S I R'!fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

""""'!fprintf('nttt %2& %191i %191i %191i

%191in',i,tp(1!,Sp(1!,Ip(1!,Rp(1!!I"I):+ile I;1) t " t) S " S) I " I) R " R) <S1"e*al(f1! <I1"e*al(f2! <R1"e*al(f3! tp1"t)=+2 Sp1"S)=<S1>+2 Ip1"I)=<I1>+2 Rp1"R)=<R1>+2 <S2"e*al($1! <I2"e*al($2! <R2"e*al($3! Sp2"S)=<S2>+2 Ip2"I)=<I2>+2 Rp2"R)=<R2>+2 <S3"e*al(m1! <I3"e*al(m2! <R3"e*al(m3! tp2"t)=+ Sp3"S)=<S3>+ Ip3"I)=<I3>+ Rp3"R)=<R3>+ <S4"e*al(n1! <I4"e*al(n2! <R4"e*al(n3! t1 " t)=+

S1"S)=+>(<S1=2><S2=2><S3=<S4!8 I1"I)=+>(<I1=2><I2=2><I3=<I4!8



R1"R)=+>(<R1=2><R2=2><R3=<R4!8 t) " t1 tp(i=2! " t1 S) " S1 Sp(i=2! " S1 I) " I1

Ip(i=2! " I1 R) " R1 Rp(i=2! " R1 fprintf('ttt %2& %19)f %19)f %19)f

%19)fn',i=1,t1,S1,I1,R1! i " i = 1en&:+ile IJ"1) t " t) S " S) I " I) R " R) <S1"e*al(f1! <I1"e*al(f2! <R1"e*al(f3! tp1"t)=+2 Sp1"S)=<S1>+2 Ip1"I)=<I1>+2 Rp1"R)=<R1>+2 <S2"e*al($1! <I2"e*al($2! <R2"e*al($3! Sp2"S)=<S2>+2 Ip2"I)=<I2>+2 Rp2"R)=<R2>+2 <S3"e*al(m1! <I3"e*al(m2! <R3"e*al(m3! tp2"t)=+ Sp3"S)=<S3>+ Ip3"I)=<I3>+ Rp3"R)=<R3>+ <S4"e*al(n1! <I4"e*al(n2! <R4"e*al(n3! t1 " t)=+ S1"S)=+>(<S1=2><S2=2><S3=<S4!8 I1"I)=+>(<I1=2><I2=2><I3=<I4!8 R1"R)=+>(<R1=2><R2=2><R3=<R4!8 t) " t1 tp(i=2! " t1 S) " S1 Sp(i=2! " S1 I) " I1 Ip(i=2! " I1 R) " R1 Rp(i=2! " R1 fprintf('ttt %2& %19)f %19)f %19)f

%19)fn',i=1,t1,S1,I1,R1! i " i = 1en&fprintf('nttt"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

""""'!

fprintf('ntttEl tiempo transc#rri&o +asta #e el nLmero &einfecta&os'!



fprintf('ntttcai$a a &e5aBo &e 1) esD %39)f &iasn',t1!plot(tp,Sp,'r','line:i&t+',2!+ol& onplot(tp,Ip,'5','line:i&t+',2!plot(tp,Rp,'Dy','line:i&t+',2!plot(tp,Sp,'o<','line:i&t+',2!

plot(tp,Ip,'o<','line:i&t+',2!plot(tp,Rp,'o<','line:i&t+',2!$ri& onyla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137S(ROMO!C I(0! C

R(RIO!'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137t'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7-.O/O /E R0NGE0..

(4to Or&en!'!pa#se+ol& offplot3(Sp,Ip,Rp,'$','line:i&t+',2!+ol& onplot3(Sp,Ip,Rp,'o<','line:i&t+',2!$ri& onxla5el('S'!yla5el('I'!zla5el('R'!pa#se

- Resultados:



SOL!I"N EN E&!EL



0 10 20 0 40 50 600

2000

4000

6000

8000

10000

12000

' vs. & ' vs. & ' vs.

' (ias

(!Z3 & ( 7 (

'atos de Entrada:

- Valor inicial de t: !0- Valor inicial de S: ;0- Valor inicial de I: @0- Valor inicial de R: AA0


- Valor de .: !elda K>


- t:!N 3!2N-)69K>- Ks): 'N 3-2<=<<BFM67;2N-)67@2N-)6

- KI): EN 92<=<<BFM67;2N-)67@2N-)6-<=)>7@2N-)6- KR): 5N 3<=)>7@2N-)6- Sest): N 3;2N-)69<=>7'N7C8- Iest): CN 3@2N-)69<=>7EN7C8- Rest):IN 3AA2N-)69<=>75N7C8- KsB: /N 3-2<=<<BFM67N7CN- KIB: KN 32<=<<BFM67N7CN-<=)>7CN- KRB:LN 3<=)>7IN- SestB: #N 3;2N-)69<=>7/N7C8- IestB: NN 3@2N-)69<=>7KN7C8- RestB:ON 3AA2N-)69<=>7LN7C8

- Ks8: PN 3-2<=<<BFM67#N7NN- KI8: N 32<=<<BFM67#2N67N2N6-<=)>7N2N6



- KR8: RN 3<=)>7O2N6- Sest8: SN 3;2N-)69PN7C8- Iest8: TN 3@2N-)69N7C8- Rest8: N 3AA2N-)69RN7C8- KsD: VN 3-2<=<<BFM67S2N67T2N6

- KID: N 32<=<<BFM67S2N67T2N6-<=)>7T2N6- KRD: &N 3<=)>7T2N6- S: ;N 3;2N-)692)FG672'N9B7/N9B7PN9VN67C8- I: @N 3@2N-)692)FG672EN9B7KN9B7N9N67C8- R: AAN 3AA2N-)692)FG6725N9B7LN9B7RN9&N67C8



d2R6Fd2t6 3 r 7 I

R2<6 3 <d2I6Fd2t6 3 a 7 S 7 I - r 7 II2<6 3 )d2S6Fd2t6 3 -a 7 S 7 IS2<6 3 )<<<<a 3 <=<<B F Mr 3 <=)>t2<6 3 <t2 6 3 >)




Discusi*n+ Los resultados oHtenidos en los dos ,rimeros ,rogramas 2#atlaH *E(cel6 son los mismos ,or lo ue éste constitu*e el resultado estimado através del método de Runge-Kutta de Dto orden= Si oHservamos el resultadoanalJtico en Pol*mat. ,ara un tiem,o ue va desde < .asta >) dJas 2de

acuerdo al resultado estimado ,or el método de Runge-Kutta de Dto orden6oHservamos ue la cantidad analJtica de inectados es M=0MM><> lo ue da unerror mJnimo * des,reciaHle com,arado con el estimado a través de nuestrométodo numérico=

Sin emHargo al oHservar la taHla de iteraciones de Pol*mat.:

Podemos oHservar ue la cantidad de inectados llega a menos de )< en laiteraci%n 0M en el tiem,o t3D0=M)?0G dJas= Sin emHargo *a ue la ,oHlaci%n sedeHe medir en cantidades enteras ,odrJamos decir ue el n4mero cu*oredondeo da el ,rimer valor menor ue )< es el de la iteraci%n 0? cuandot3><=)BG0G dJas= Esto uiere decir ue la cantidad de inectados Haa a menosde )< en el transcurso del dJa ><= Uste error en la estimaci%n se deHe al valor de intervalo tomado 2.3)6= Si tom1ramos un valor de . menor oHtendrJamos unresultado m1s a,ro(imado= No oHstante esto traerJa un ma*or n4mero deiteraciones=



/$ 5ilat% Amos& Su6ramanian% 7is"! Métodos Numéricos para Ingenieros 2

ientíficos!/ra Edici*n+Ejercicio #8!)/+

El is%to,o inestaHle )8>Te 2Peso at%mico: )8>6 decae en unci%n de:

)8>Tek 1

→ )8>I

)8>Ik 2

→ )8>&e

)8>&ek 3

→ )8>!s

)8>!sk 4

→ )8>$a

'onde k 1=5.78 x 10−3 s−1

k 2=2.87 x 10−5 s−1

k 3=2.09 x 10−5 s−1

k 4=1.10 x10−12

s−1

= La cantidad instant1nea de cada elemento se determina a

,artir de la soluci%n del siguiente sistema de E'O:

d (Te)dt

=−k 1(Te)

d ( I )dt =k

1 (Te )−k

2( I )

d ( e)dt

=k 2 ( I )−k

3( e)

d (Cs)dt

=k 3( e )−k

4(Cs)

d (Ba)dt

=k 4(Cs)

tilice las comandos necesarios en #ATLA$ ,ara encontrar la cantidad decada elemento ,resente en los siguientes tiem,os= Plotee los resultadosutili+ando gr1icas semilogarJtmicas en cada caso:

2a6 n intervalo de )< segundos ,ara los ,rimeros > minutos2H6 n intervalo de )<<< segundos ,ara las siguientes 0 .oras=

Las condiciones iniciales son: 2Te6 3 G=<88 ( )<B8 2I6 3 2&e6 3 2!s6 3 2$a6 3 <=

SOL!I"N EN #ATLA$:


clc, clear all, close all

format compact%% INGRESO



&isp('FR REHHIND'!syms t .e I Pe Hs tp1 tp2 yp1 zp1 :p1 #p1 yp2 zp2 :p2 #p2 yp3 zp3 :p3 #p3 fprintf('nttt .e J I'!fprintf('nttt I J Pe'!fprintf('nttt Pe J Hs'!

fprintf('nttt Hs J Ka'!fprintf('nn'!<1"inp#t(' In$rese constante &e e#ili5rio <1 " '!<2"inp#t(' In$rese constante &e e#ili5rio <2 " '!<3"inp#t(' In$rese constante &e e#ili5rio <3 " '!<4"inp#t(' In$rese constante &e e#ili5rio <4 " '!f1"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e &esaparicin &.e&t " '!f2"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e &esaparicin &I&t " '!f3"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e aparicin &Pe&t " '!f4"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e aparicin &Hs&t " '!fA"inp#t(' In$rese la *eloci&a& &e aparicin &Ka&t " '!y) " inp#t(' In$rese el nLmero &e moles iniciales &e .e "'!z) " inp#t(' In$rese el nLmero &e moles iniciales &e I " '!:) " inp#t(' In$rese el nLmero &e moles iniciales &e Pe "'!#) " inp#t(' In$rese el nLmero &e moles iniciales &e Hs "'!*) " inp#t(' In$rese el nLmero &e moles iniciales &e Ka "'!tf1 " inp#t(' In$rese se$#n&os para el primer inter*alo "'!tf2 " inp#t(' In$rese se$#n&os para el se$#n&o inter*alo "'!+1" inp#t(' In$rese el *alor &e primer inter*alo, +1 " '!+2" inp#t(' In$rese el *alor &e se$#n&o inter*alo, +2 " '!%% -.O/O /E R0NGE0.. (4.O OR/EN!t)")i")$1"s#5s(f1,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp1,zp1,:p1,#p17!$2"s#5s(f2,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp1,zp1,:p1,#p17!$3"s#5s(f3,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp1,zp1,:p1,#p17!$4"s#5s(f4,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp1,zp1,:p1,#p17!$A"s#5s(fA,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp1,zp1,:p1,#p17!m1"s#5s(f1,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp2,zp2,:p2,#p27!m2"s#5s(f2,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp2,zp2,:p2,#p27!m3"s#5s(f3,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp2,zp2,:p2,#p27!m4"s#5s(f4,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp2,zp2,:p2,#p27!mA"s#5s(fA,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp1,yp2,zp2,:p2,#p27!n1"s#5s(f1,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp2,yp3,zp3,:p3,#p37!n2"s#5s(f2,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp2,yp3,zp3,:p3,#p37!n3"s#5s(f3,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp2,yp3,zp3,:p3,#p37!n4"s#5s(f4,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp2,yp3,zp3,:p3,#p37!nA"s#5s(fA,6t,.e,I,Pe,Hs7,6tp2,yp3,zp3,:p3,#p37!tp(1! " t)yp(1! " y)zp(1! " z):p(1! " :)#p(1! " #)*p(1! " *)fprintf('nn'!fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !

fprintf('nttt -.O/O /E R0NGE0.. (4to Or&en!'!



fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt i t .e IPe Hs Ka'!fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !

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t) " t1 tp(i=2! " t1



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#) " #1 #p(i=2! " #1 *) " *1 *p(i=2! " *1 fprintf('ttt %2& %494e %494e %494e%494e %494e %494en',i=1,t1,y1,z1,:1,#1,*1! i " i = 1en&:+ile t1J"tf1 CC t1;(tf1=tf2! t " t) .e " y) I " z) Pe " :) Hs " #) Ka " *) <y1"e*al(f1! <z1"e*al(f2! <:1"e*al(f3! <#1"e*al(f4! <*1"e*al(fA! tp1"t)=+22 yp1"y)=<y1>+22 zp1"z)=<z1>+22 :p1":)=<:1>+22 #p1"#)=<#1>+22 *p1"*)=<*1>+22 <y2"e*al($1! <z2"e*al($2! <:2"e*al($3! <#2"e*al($4! <*2"e*al($A! yp2"y)=<y2>+22 zp2"z)=<z2>+22 :p2":)=<:2>+22 #p2"#)=<#2>+22 *p2"*)=<*2>+22 <y3"e*al(m1! <z3"e*al(m2! <:3"e*al(m3! <#3"e*al(m4! <*3"e*al(mA! tp2"t)=+2 yp3"y)=<y3>+2 zp3"z)=<z3>+2 :p3":)=<:3>+2 #p3"#)=<#3>+2 *p3"*)=<*3>+2 <y4"e*al(n1! <z4"e*al(n2! <:4"e*al(n3! <#4"e*al(n4! <*4"e*al(nA! t1 " t)=+2

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yp(i=2! " y1 z) " z1 zp(i=2! " z1 :) " :1 :p(i=2! " :1 #) " #1 #p(i=2! " #1 *) " *1 *p(i=2! " *1 fprintf('ttt %2& %494e %494e %494e%494e %494e %494en',i=1,t1,y1,z1,:1,#1,*1! i " i = 1en&fprintf('ttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""n' !fprintf('nttt.ransc#rri&os los %492f se$#n&osDn',t1!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e .e esD %494en',y1!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e I esD %494en',z1!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e Pe esD %494en',:1!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e Hs esD %494en',#1!fprintf('ntttEl nLmero &e moles &e Ka esD %494en',*1!plot(tp,yp,'r','line:i&t+',2!+ol& onplot(tp,yp,'o<','line:i&t+',2!$ri& onyla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137.e'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137t'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7.iempo(se$! *s9 NQ moles&e .e'!pa#se+ol& offplot(tp,zp,'5','line:i&t+',2!+ol& onplot(tp,zp,'o<','line:i&t+',2!$ri& onyla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137I'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137t'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7.iempo(se$! *s9 NQ moles&e I'!pa#se+ol& offplot(tp,:p,'Dy','line:i&t+',2!+ol& onplot(tp,:p,'o<','line:i&t+',2!$ri& onyla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137Pe'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137t'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7.iempo(se$! *s9 NQ moles&e Pe'!pa#se+ol& offplot(tp,#p,'$','line:i&t+',2!+ol& on

plot(tp,#p,'o<','line:i&t+',2!$ri& on



yla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137Hs'!xla5el('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize6137t'!title('color?r$5@6) 9A 9A7fontsize61A7.iempo(se$! *s9 NQ moles&e Hs'!pa#se+ol& off

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- Resultados:



- r1icos:



- r1icos semilogarJtmicos:



SOL!I"N EN E&!EL:



0 5000 10000 15000 20000 25000 0000 50000.00:;00

1.00:;6<

2.00:;6<

.00:;6<

4.00:;6<

5.00:;6<

6.00:;6<

=.00:;6<

8.00:;6<

' (se/ vs. > +oles e Te

'

Te

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

' (se/ vs. > +oles e

'



0 5000 10000 15000 20000 25000 0000 50000

5.00:;066

1.00:;06=

1.50:;06=

2.00:;06=

2.50:;06=

.00:;06=

.50:;06=

4.00:;06=

' (se/ vs. > +oles e e

'

e

0 5000 10000 15000 20000 25000 0000 5000

-1.40:;065

-1.20:;065

-1.00:;065

-8.00:;064

-6.00:;064

-4.00:;064

-2.00:;064

0

2.00:;064

' (se/ vs. > +oles e #s

'

#s



0 5000 10000 15000 20000 25000 0000 50000

5.00:;054

1.00:;055

1.50:;055

2.00:;055

2.50:;055

.00:;055

' (se/ vs. > +oles e "a

'

"a

'atos de Entrada:

- Valor inicial de t: '?- Valor inicial de Te: AN?- Valor inicial de I: AO?

- Valor inicial de &e: AP?- Valor inicial de !s: A?- Valor inicial de $a: AR?


- Valor de .): !elda />- Valor de .B: !elda /G


7'esde ila 0 .asta ila 8?

- &: 'N 3!2N-)69/>- K*): EN 3-<=<<>M?7AN2N-)6- K+): 5N 3<=<<>M?7AN2N-)6-<=<<<<B?M7AO2N-)6- K): N 3<=<<<<B?M7AO2N-)6-<=<<<<B<07AP2N-)6- Ku): CN 3<=<<<<B<07AP2N-)6-<=<<<<<<<<<<<))7A2N-)6- Kv): IN 3<=<<<<<<<<<<<))7A2N-)6- ;est): /N 3AN2N-)69<=>7EN7/>- @est): KN 3AO2N-)69<=>75N7/>- est):LN 3AP2N-)69<=>7N7/>

- est): #N 3A2N-)69<=>7CN7/>- Vest): NN 3AR2N-)69<=>7IN7/>



- K*B: ON 3-<=<<>M?7/N- K+B: PN 3<=<<>M?7/N-<=<<<<B?M7KN- KB:N 3<=<<<<B?M7KN-<=<<<<B<07LN- KuB: RN 3<=<<<<B<07LN-<=<<<<<<<<<<<))7#N- KvB: SN 3<=<<<<<<<<<<<))7#N

- ;estB: TN 3AN2N-)69<=>7ON7/>- @estB: N 3AO2N-)69<=>7PN7/>- estB: VN 3AP2N-)69<=>7N7/>- estB: N 3A2N-)69<=>7RN7/>- VestB: &N 3AR2N-)69<=>7SN7/>- K*8: ;N 3-<=<<>M?7TN- K+8: @N 3<=<<>M?7TN-<=<<<<B?M7N- K8: AAN 3<=<<<<B?M7N-<=<<<<B<07VN- Ku8: A$N 3<=<<<<B<07VN-<=<<<<<<<<<<<))7N- Kv8: A!N 3<=<<<<<<<<<<<))7N- ;est8: A'N 3AN2N-)69;N7/>

- @est8: AEN 3AO2N-)69@N7/>- est8: A5N 3AP2N-)69AAN7/>- est8: AN 3A2N-)69A$N7/>- Vest8: ACN 3AR2N-)69A!N7/>- K*D: AIN 3-<=<<>M?7A'N- K+D: A/N 3<=<<>M?7A'N-<=<<<<B?M7AEN- KD: AKN 3<=<<<<B?M7AEN-<=<<<<B<07A5N- KuD: ALN 3<=<<<<B<07A5N-<=<<<<<<<<<<<))7AN- KvD: A#N 3<=<<<<<<<<<<<))7AN- Te: ANN 3AN2N-)692)FG672EN9B7ON9B7;N9AIN67/>- I: AON 3AO2N-)692)FG6725N9B7PN9B7@N9A/N67/>- &e: APN 3AP2N-)692)FG672N9B7N9B7AAN9AKN67/>- !s: AN 3A2N-)692)FG672CN9B7RN9B7A$N9ALN67/>- $a: ARN 3AR2N-)692)FG672IN9B7SN9B7A!N9A#N67/>

77 'esde ila 80 .asta ila inal

- &: 'N 3!2N-)69/G- K*): EN 3-<=<<>M?7AN2N-)6- K+): 5N 3<=<<>M?7AN2N-)6-<=<<<<B?M7AO2N-)6- K): N 3<=<<<<B?M7AO2N-)6-<=<<<<B<07AP2N-)6

- Ku): CN 3<=<<<<B<07AP2N-)6-<=<<<<<<<<<<<))7A2N-)6- Kv): IN 3<=<<<<<<<<<<<))7A2N-)6- ;est): /N 3AN2N-)69<=>7EN7/G- @est): KN 3AO2N-)69<=>75N7/G- est):LN 3AP2N-)69<=>7N7/G- est): #N 3A2N-)69<=>7CN7/G- Vest): NN 3AR2N-)69<=>7IN7/G- K*B: ON 3-<=<<>M?7/N- K+B: PN 3<=<<>M?7/N-<=<<<<B?M7KN- KB:N 3<=<<<<B?M7KN-<=<<<<B<07LN- KuB: RN 3<=<<<<B<07LN-<=<<<<<<<<<<<))7#N

- KvB: SN 3<=<<<<<<<<<<<))7#N- ;estB: TN 3AN2N-)69<=>7ON7/G



- @estB: N 3AO2N-)69<=>7PN7/G- estB: VN 3AP2N-)69<=>7N7/G- estB: N 3A2N-)69<=>7RN7/G- VestB: &N 3AR2N-)69<=>7SN7/G- K*8: ;N 3-<=<<>M?7TN

- K+8: @N 3<=<<>M?7TN-<=<<<<B?M7N- K8: AAN 3<=<<<<B?M7N-<=<<<<B<07VN- Ku8: A$N 3<=<<<<B<07VN-<=<<<<<<<<<<<))7N- Kv8: A!N 3<=<<<<<<<<<<<))7N- ;est8: A'N 3AN2N-)69;N7/G- @est8: AEN 3AO2N-)69@N7/G- est8: A5N 3AP2N-)69AAN7/G- est8: AN 3A2N-)69A$N7/G- Vest8: ACN 3AR2N-)69A!N7/G- K*D: AIN 3-<=<<>M?7A'N- K+D: A/N 3<=<<>M?7A'N-<=<<<<B?M7AEN

- KD: AKN 3<=<<<<B?M7AEN-<=<<<<B<07A5N- KuD: ALN 3<=<<<<B<07A5N-<=<<<<<<<<<<<))7AN- KvD: A#N 3<=<<<<<<<<<<<))7AN- Te: ANN 3AN2N-)692)FG672EN9B7ON9B7;N9AIN67/G- I: AON 3AO2N-)692)FG6725N9B7PN9B7@N9A/N67/G- &e: APN 3AP2N-)692)FG672N9B7N9B7AAN9AKN67/G- !s: AN 3A2N-)692)FG672CN9B7RN9B7A$N9ALN67/G- $a: ARN 3AR2N-)692)FG672IN9B7SN9B7A!N9A#N67/G

Soluci%n en Pol*mat.:


d2Te6Fd2t6 3 -) 7 TeTe2<6 3 G=<88EB8D 3 )=)< 7 )< -)B8 3 B=<0 7 )< ->t2<6 3 <t2 6 3 8BM<<B 3 B=?M 7 )< ->) 3 >=M? 7 )< -8

d2$a6Fd2t6 3 D 7 !s$a2<6 3 <d2!s6Fd2t6 3 8 7 &e - D 7 !s!s2<6 3 <d2&e6Fd2t6 3 B 7 I - 8 7 &e&e2<6 3 <d2I6Fd2t6 3 ) 7 Te - B 7 II2<6 3 <




- r1ico:



Discusi*n+

!omo ,odemos oHservar los resultados oHtenidas con el método de Runge WKutta de Dto orden se alean enormemente de los valores analJticos reales2oHtenidos con Pol*mat.6 adem1s de *a ser incongruentes de ,or sJ 2no ,uedeoHtenerse un valor negativo ,ara n4mero de moles6= Esto se deHe al enormevalor usado ,ara el segundo intervalo 2.3)<<<6 el cual ,rovoca un gran error de estimaci%n= Uste se corrige al usar un valor m1s signiicativo 2. menor6= Por eem,lo ,ara .B3)<< oHtenemos:



r1icas semilogarJtmicas:



!omo ,odemos oHservar los resultados oHtenidos son similares a losanalJticos ,or lo ue el error disminu*e .asta .acerse insigniicante= Por otra,arte com,arando la orma de las curvas oHtenidas con las oHtenidas en

Pol*mat. oHservamos la similitud de las mismas= El 4nico ,roHlemaoHservaHle es la gran cantidad de iteraciones necesarias 28>D iteraciones6=



Ejercicio #8!))+

'os tanues de 1reas de secci%n transversal A) * AB son interconectados ,or una tuHerJa de longitud L3) t * un 1rea de secci%n transversal de A< Si laaltura inicial del luido en amHos tanues es igual a )< t * una ,resi%n de:

P={ P00! t <20t "2 }

Si de re,ente se a,lica una uer+a soHre lasu,ericie del tanue B el nivel del luido deltanue ) se des,la+a una distancia (2ignorando ricci%n6 Hao la siguiente E'O nolineal:

dx

dt ¿¿

d2 x

d t 2 +

[1−( A1

A2)2

]2 #

¿

'onde C3)<7 [1+(

A 1

A2 )]

+

[1−(

A1

A2 )

2

] x+ $ A1

A0

g38B=B tFsB P0

% =100 &t

2

s2

,

A1

A2

=2 A

1

A0

=10. se un ,rograma de #atlaH ,ara construir una unci%n

ue solucione (2t6 de t3< a t3G<s= !ondiciones Iniciales: (2<63< tdx

dt =0(t =')

ANLISIS:

- Reem,la+ando d(Fdt:

dx

dt =w

- SaHiendo ued2 x

d t 2 =

dw

dt * des,eando en la E'O no lineal de

segundo orden:



w¿¿

dw

dt =

P

%# −

[1−( A1

A2)2

]2 # ¿

- Para el caso de t "2 :

w¿¿

dwdt =

−

[1−

(

A1

A2

)

2

]2 # ¿

SOL!I"N EN #ATLA$:


clc, clear all, close all

format compact%% INGRESOsyms t x : tp1 tp2 xp1 :p1 xp2 :p2 xp3 :p3 fprintf('nn'!$"3292F)$"1))12"21)"1)"1""1)>(1=12!=(1(12!2!>x=>1)f1"inp#t(' In$rese la f#ncin, &x&t " '!f2"inp#t(' In$rese la f#ncin para primera con&icin, &:&t" '!

f3"inp#t(' In$rese la f#ncin para se$#n&a con&icin, &:&t" '!t) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e t, t()! " '!x) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e x, x()! " '!:) " inp#t(' In$rese el *alor inicial &e :, :()! " '!tf " inp#t(' In$rese el *alor final &e t, t(f! " '!+" inp#t(' In$rese el *alor &e +, + " '!%% -.O/O /E R0NGE0.. (4.O OR/EN!i")n " (tf t)!+$1"s#5s(f1,6t,x,:7,6tp1,xp1,:p17!$2"s#5s(f2,6t,x,:7,6tp1,xp1,:p17!$3"s#5s(f3,6t,x,:7,6tp1,xp1,:p17!

m1"s#5s(f1,6t,x,:7,6tp1,xp2,:p27!m2"s#5s(f2,6t,x,:7,6tp1,xp2,:p27!



m3"s#5s(f3,6t,x,:7,6tp1,xp2,:p27!n1"s#5s(f1,6t,x,:7,6tp2,xp3,:p37!n2"s#5s(f2,6t,x,:7,6tp2,xp3,:p37!n3"s#5s(f3,6t,x,:7,6tp2,xp3,:p37!tp(1! " t)xp(1! " x)

:p(1! " :)fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt -.O/O /E R0NGE0.. (4to Or&en!'!fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt i t x &x&t'!fprintf('nttt""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""' !fprintf('nttt %2& %894f %894f%894fn',i,tp(1!,xp(1!,:p(1!!:+ile t);2+

t " t) x " x) : " :) <x1"e*al(f1! <:1"e*al(f2! tp1"t)=+2 xp1"x)=<x1>+2 :p1":)=<:1>+2 <x2"e*al($1! <:2"e*al($2! xp2"x)=<x2>+2 :p2":)=<:2>+2 <x3"e*al(m1! <:3"e*al(m2! tp2"t)=+ xp3"x)=<x3>+ :p3":)=<:3>+ <x4"e*al(n1! <:4"e*al(n2! t1 " t)=+ x1"x)=+>(<x1=2><x2=2><x3=<x4!8 :1":)=+>(<:1=2><:2=2><:3=<:4!8 t) " t1 tp(i=2! " t1 x) " x1 xp(i=2! " x1 :) " :1 :p(i=2! " :1 fprintf('ttt %2& %894f %894f%894fn',i=1,t1,x1,:1! i " i = 1en&:+ile t)J"2+ CC t);tf t " t) x " x) : " :) <x1"e*al(f1! <:1"e*al(f3! tp1"t)=+2 xp1"x)=<x1>+2 :p1":)=<:1>+2 <x2"e*al($1! <:2"e*al($3! xp2"x)=<x2>+2

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- r1ico:



Discusi*n+

!omo ,odemos oHservar los resultados estimados ,or el método de Runge-Kutta de Dto orden ,ara los dos ,rimeros ,rogramas 2#atlaH * E(cel6 sonsimilares ,or lo ue éste constitu*e el valor verdadero estimado a través deeste método numérico= Al com,arar estos valores con el analJtico oHtenido através de Pol*mat. oHservamos ue e(iste un error mJnimo * des,reciaHle,or lo ue el valor es ace,tado= Adem1s el com,ortamiento de las curvas enlas gr1icas son casi las mismas=

Sin emHargo ,odemos oHservar ue el valor de ( es de signo negativo= Estose ,uede e(,licar deHido a ue durante los dos ,rimeros segundos la ,resi%neercida ,rovocar1 un aumento del nivel de lJuido en el tanue )= No oHstanteal llegar a los dos segundos dic.a ,resi%n desa,arece ,or lo ue la alturadescender1 * suHir1 re,etitivamente .asta Huscar su estaHili+aci%n= En eltiem,o t3G< s el nivel del lJuido desciende )=G8 t=

métodos numéricos - tercer examen parcial (trabajo final)

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