théorie du signal - artp senegal · 2017. 8. 8. · raitét d'électricité (volume 20) :...

Introduction Signaux et systèmes Séries de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Laplace

Théorie du Signal

A. POREBSKI

Bureau [email protected]

École d'Ingénieurs du Pas-de-Calais (E.I.P.C.)

Année 2009-2010

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mailto:[email protected]


1 Introduction

2 Signaux et systèmes

3 Séries de Fourier

4 Transformée de Fourier

5 Transformée de Laplace

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Théorie du Signal

Introduction


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Introduction

Outils mathématiques pour le traitement du signalSérie de FourierTransformée de FourierTransformée de Laplace

Domaines d'applicationÉlectricité, électrotechnique, électronique de puissanceAsservissement, régulationThéorie des communications, théorie de l'informationTraitement de la parole, du son, des images et des vidéos...

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Références bibliographiques I

F. Auger.

Introduction à la théorie du signal et de l'information.

Édition Technip, 1999.

M. Chossat.

Mathématiques de l'ingénieur : aide mémoire.

Dunod, 2001.

F. Cottet.

Traitement des signaux et acquisition de données.

Dunod, 1997.

F. Cottet.

Traitement du signal : aide mémoire.

Dunod, 2000.

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Références bibliographiques II

F. De Coulon.

Traité d'électricité (volume 6) : théorie et traitement des signaux.

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998.

D. Ghorbanzadeh, P. Mary, N. Point, and D. Vial.

Éléments de mathématiques du signal : exercices résolus.

Dunod, 2003.

M. Kunt.

Traité d'électricité (volume 20) : traitement numérique des signaux.

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1996.

H. Reinhard.

Éléments de mathématiques du signal (tome 1) : signaux déterministes.

Dunod, 1995.

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Références bibliographiques III

M. Rivoire and J.-L. Ferrier.

Cours d'automatique (tome 1) : signaux et systèmes.

Eyrolles, 1995.

P. Thuillier and J.-C. Belloc.

Mathématiques : analyse 3.

Masson, 1989.

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Liens

Application de la transformée de Fourierhttp:

//www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html

Analyse de Fourierhttp://lumimath.univ-mrs.fr/~jlm/cours/fourier/fourier.htm

Introduction à l'analyse de Fourierhttp:

//lsiwww.epfl.ch/LSI2001/teaching/physiciens/lecon06/lecon6.html

Séries de Fourierhttp:

//www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/fourier.html

Synthèse de Fourierhttp:

//www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/syntfour.html

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http://www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html

http://www.essi.fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier.html

http://lumimath.univ-mrs.fr/~jlm/cours/fourier/fourier.htm

http://lsiwww.epfl.ch/LSI2001/teaching/physiciens/lecon06/lecon6.html

http://lsiwww.epfl.ch/LSI2001/teaching/physiciens/lecon06/lecon6.html

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/fourier.html

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/fourier.html

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/syntfour.html

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/syntfour.html


1 Introduction

2 Signaux et systèmesDé�nitionsExemple d'application : la transmission des signaux radiophoniquesModélisation mathématique d'un signal réelPropriétésSignaux typesCaractéristiques énergétiquesCaractéristiques fréquentielles ou spectralesSystèmes : dé�nitionsProduit de convolutionCorrélation




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Théorie du Signal

1ère partieSignaux et systèmes


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Dé�nitions

1 Introduction





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Dé�nitions

Signal

Entité (courant électrique, onde acoustique, onde lumineuse, suite de nombres)engendrée par un phénomène physique et véhiculant une information (musique, parole,son, image, température)

Système

Ensemble isolé de dispositifs établissent un lien de cause à e�et entre des signauxd'entrée (excitations : commandes, consignes, perturbations) et des signaux desortie (réponses ou mesures)

Bruit

Phénomène perturbateur gênant la perception ou l'interprétation d'un signal

Systèmesignal signal

bruit

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Exemple d'application : la transmission des signaux radiophoniques

1 Introduction





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Soient deux messages di�usés par deux émetteurs radios :

Représentation temporelle

Évolution temporelle du signals1(t) correspondant au message 1

s1(t)

t

Évolution temporelle du signals2(t) correspondant au message 2

s2(t)

t

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Soient deux messages di�usés par deux émetteurs radios :

Représentation fréquentielle

Spectre du signal s1(t)

S1(f )

f

Spectre du signal s2(t)

S2(f )

f

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Signal s(t) capté par le récepteur :

Évolution temporelle du signal s(t)

s(t)

t

Spectre du signal s(t)

S(f )

f

Problème 1 : les signaux transmis s1 et s2 occupent le même domaine de fréquenceet sont émis en même temps.Problème 2 : les signaux de parole sont des signaux basses fréquences (BF) et lesupport de transmission, ici l'air et les antennes, n'est pas adapté à ce type designaux. En e�et, si on voulait transmettre les signaux BF tels quels, il faudrait desantennes de plusieurs kilomètres, la longueur des antennes étant inversementproportionnelle à la fréquence.

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Solution : moduler chaque signal avec une fréquence élevée di�érente avant del'émettre. Cela revient généralement à multiplier chaque signal avec une sinusoïded'équation cos (2πfpt + ϕ), avec fp une haute fréquence

Spectre d'un signal sinusoïdal

f

−fp fp

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Spectre des signaux s1 et s2 modulés :

Spectre du signal modulé sm1 (t)

Sm1 (f )

f

−fp1 fp1

Spectre du signal modulé sm2 (t)

Sm2 (f )

f

−fp2 fp2

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On voit ici l'intérêt de passer dans le domaine fréquentiel : on arrive bien à distinguerles deux signaux.

Spectres des signaux sm1 (t) et sm2 (t) additionnés

f

−fp2 −fp1 fp1 fp2

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Le signal sr (t) reçu sur l'antenne du récepteur est en�n démodulé pour pouvoir êtreécouté : il subit un changement de fréquence (la fréquence utilisée est celle �xée parl'auditeur sur son poste de radio) et un �ltrage :

Changement du fréquence

Sr (f )

t

Filtrage du signal

Sr (f )

f

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Modélisation mathématique d'un signal réel

1 Introduction





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Signal expérimental

Un signal expérimental s(t) est généralement un signal électrique délivré par uncapteur ou un appareil de mesure et représente donc une tension ou un courant enfonction du temps. Il peut être de tout autre nature mais doit être physiquementréalisable et répondre à un ensemble de contraintes :

à énergie bornée,

à amplitude bornée,

continu,

causal, dé�ni sur R+ (s(t) = 0 pour t < 0),

à support borné (de durée limitée ou �nie),

de spectre à support borné.

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Représentation d'un signal expérimental

6

-temps

amplitude amplitude bornée

-�support bornée

R

causal

-continuénergiebornée

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Signal théorique

Sur le plan théorique, un signal est représenté par une fonction ou une distributionréelle ou complexe qui permettent son étude de façon plus aisée. Ainsi les modèlesutilisés possèdent des caractéristiques di�érentes des signaux expérimentaux :

à énergie théorique in�nie,

à amplitude non bornée,

possédant des discontinuités,

dé�nie sur R ou C,à support non borné (observé durant un temps in�ni),

à spectre in�ni.

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Représentation d'un signal théorique

6

-temps

amplitude

support non bornée

-noncausal énergie

in�nie

-discontinu

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Propriétés

1 Introduction





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Propriétés

Rappels

Fonction paire

Une fonction réelle est paire si, pour tout t ∈ R, on a :f (−t) = f (t).

f (t)

t

Fonction paire

Propriété graphique

Graphiquement, une fonction paireprésente une symétrie horizontale parrapport à l'axe des ordonnées.

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Propriétés

Rappels

Fonction impaire

Une fonction réelle est impaire si, pour tout t ∈ R, on a :f (−t) = −f (t) (ou f (t) = −f (−t)).

f (t)

t

Fonction impaire


Graphiquement, une fonction impaireprésente une symétrie par rapport àl'origine.

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Propriétés

Rappels

Fonction périodique

Une fonction périodique fT (t) de période T est la répétition à l'in�ni avec une période T

d'une fonction f (t) dé�nie sur l'intervalle T et appelée motif.

fT (t)

t

Fonction périodique

Formule

Les signaux périodiques sont ainsidé�nis par la relation :

fT (t) =+∞∑

k=−∞f (t − kT ), k ∈ N.

Pour tout t ∈ R, fT (t) = fT (t + T ).

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Propriétés

Décalage (translation verticale)

Un décalage est la transformation qui fait correspondre à toute fonction f (t), la fonctiong(t) telle que g(t) = f (t) + a avec a ∈ R.

f (t) et g(t)

t


Graphiquement, une fonction décalée subitune translation le long de l'axe desordonnées.

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Propriétés

Fonction retardée (translation horizontale)

La fonction g(t) est la fonction f (t) retardée de t0 (t0 > 0) si, pour tout t ∈ R, on a :g(t) = f (t − t0).

f (t) et g(t)

t

Fonction retardée

Retard ou avance

En particulier, pour t = t0,g(t) = g(t0) = f (t − t0) =f (t0 − t0) = f (0).

Si t0 > 0, g(t) est en retard surf (t).

Si t0 < 0 (ou si g(t) = f (t + t0) ett0 > 0), g(t) est en avance sur f (t).

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Propriétés

Changement d'échelle (dilatation ou compression)

Un changement d'échelle est la transformation qui fait correspondre à toute fonction f (t),la fonction g(t) telle que g(t) = f (at) (ou g(t) = f (t/a)) avec a, un réel strictementpositif (a ∈ R+∗).

f (t) et g(t)

t

Fonction dilatée

Dilatation

Si g(t) = f (at) et a < 1 ou sig(t) = f (t/a) et a > 1

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Propriétés

Changement d'échelle (dilatation ou compression)

Un changement d'échelle est la transformation qui fait correspondre à toute fonction f (t),la fonction g(t) telle que g(t) = f (at) (ou g(t) = f (t/a)) avec a, un réel strictementpositif (a ∈ R+∗).

f (t) et g(t)

t

Fonction compressée

Compression

Si g(t) = f (at) et a > 1 ou sig(t) = f (t/a) et a < 1

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Signaux types

1 Introduction





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Signaux types

Impulsion (ou distribution ou pic) de Dirac


L'impulsion de Dirac, notée δ(t) se dé�nit comme la distribution qui fait correspondre àtoute fonction f (t) continue à l'origine sa valeur à l'origine :

f (0) =

+∞∫−∞

δ(t)f (t)dt.

Généralisation

D'une manière plus générale, pour toute fonction f (t) continue en t = t0 :

f (t0) =

+∞∫−∞

δ (t − t0) f (t)dt =

+∞∫−∞

δ(t)f (t + t0) dt.

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Signaux types


Propriété de localisation

f (t)δ(t) = f (0)δ(t), pic de Dirac de poids f (0) en 0.

f (t)δ (t − t0) = f (t0)δ (t − t0) , pic de Dirac de poids f (t0) en t0.

Représentation graphique

La représentation graphiqueconventionnelle d'une impulsion de Diracde poids f (t0) en t0 est une �ècheverticale placée en t = t0 de longueurproportionnelle au poids f (t0).

δ(t)

t

Pic de Dirac

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Signaux types

Echelon de Heaviside (ou échelon unitaire)

Dé�nition

L'échelon de Heaviside, notée Γ(t) sedé�nit comme la primitive de l'implusionde Dirac :

Γ(t) =

t∫−∞

δ(u)du =

1 si t ≥ 0

0 si t < 0.

Γ(t)

t

Echelon unitaire

Remarque

La dérivée de Γ(t) est nulle sur R∗ et égale au pic de Dirac de poids 1 en t = 0 :

δ(t) = dΓ(t)dt

.

Γ(t) permet de rendre causal n'importe quel signal.

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Signaux types

Rampe unitaire

Dé�nition

La rampe unitaire, notée r(t) se dé�nitcomme la primitive de l'échelon unitaire :

r(t) =

t∫−∞

Γ(u)du = t · Γ(t).

r(t)

t

Rampe unitaire

Remarque

La dérivée de r(t) est égale à l'échelon unitaire :

Γ(t) = d r(t)dt

pour t 6= 0.

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Signaux types

Impulsion ou signal rectangulaire (ou signal porte)

Dé�nition

Le signal rectangulaire, noté rect(t) ouΠ(t), est dé�ni par :

rect(t) = Γ

(t +

1

2

)− Γ

(t −

1

2

)

rect(t) =

1 si |t| < 1

2

0 si |t| > 12

.

rect(t)

t

Signal rectangulaire

Remarque

Sa surface est égale à l'unité.

A partir de ce signal, on peut obtenir une impulsion rectangulaire de durée T ,d'amplitude A centrée en t = τ notée A rect

(t−τT

).

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Signaux types

Impulsion ou signal triangulaire

Dé�nition

Le signal triangulaire, noté tri(t) ou Λ(t),est dé�ni par :

tri(t) = r (t + 1)− 2 r(t) + r (t − 1)

tri(t) =

1− |t| si |t| ≤ 1

0 si |t| > 1.

tri(t)

t

Signal triangulaire

Remarque


A partir de ce signal, on peut obtenir une impulsion triangulaire de base 2T ,d'amplitude maximum A centrée en t = τ notée A tri

(t−τT

).

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Signaux types

Impulsion exponentielle

Dé�nition

L'impulsion exponentielle est dé�nie par :

s(t) = exp (−at) · Γ(t), a ∈ R+∗.

s(t)

t

Impulsion exponentielle

Remarque


L'impulsion exponentielle permet d'amortir n'importe quel signal.

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Signaux types

Peigne de Dirac

Dé�nition

Le peigne de Dirac noté δT0 (t) ouPgnT0 (t) est une suite périodiqued'impulsions de Dirac régulièrementespacées de période T0 :

δT0 (t) =+∞∑

k=−∞δ(t − kT0), k ∈ N.

δT0 (t)

t

Peigne de Dirac

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Caractéristiques énergétiques

1 Introduction





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E , l'énergie totale dissipée par un signals(t)

E =

+∞∫−∞

|s(t)|2dt,

P, la puissance moyenne totale fournie parun signal s(t)

P = limT→∞

1

T

T/2∫−T/2

|s(t)|2dt

.

Remarque

Pour un signal périodique de période T0, la puissance moyenne totale est calculée surune période :P = 1

T0

∫T0|s(t)|2dt.

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Signal à énergie totale �nie (ouconvergente)

+∞∫−∞

|s(t)|2dt <∞.

s(t)

t

Impulsion rectangulaire centrée en zérod'amplitude A et de durée T , A rect

(tT

)

Remarque

Sa puissance moyenne totale estnulle (cas des signaux transitoires,des signaux physiques ouphysiquement réalisables).

Ce sont des signaux de carrésommable (ou intégrable).

s(t)

t

Impulsion exponentielle simple d'amplitudeA, A exp (−at) · Γ(t)

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Signal à puissance moyenne totale �nie (oubornée)

0 < limT→∞

1

T

T/2∫−T/2

|s(t)|2dt

<∞.

s(t)

t

Échelon unitaire, Γ(t)

Remarque

Son énergie totale est in�nie (cas dessignaux périodiques, des signauxphysiquement irréalisables comme lesmodèles mathématiques)

s(t)

t

Signal rectangulaire périodique d'amplitudeA et de période T

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Caractéristiques fréquentielles ou spectrales

1 Introduction





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Spectre d'un signal

Le spectre d'un signal est la représentation de son amplitude, de sa phase, de sonénergie ou de sa puissance en fonction de sa fréquence f (exprimée en Hertz (Hz)) oude sa longueur d'onde λ (exprimée en mètre ou en nanomètre (nm) avec λ = c

Foù

c = 300 000 Km/s représente la vitesse de la lumière).

Largeur de bande

C'est le domaine des fréquences occupé par le spectre d'un signal. Elle est dé�niecomme la di�érence entre les fréquences maximum et minimum de ce spectre. Enfonction de la largeur de bande et en fonction du domaine de fréquences dans lequel sesitue le signal, di�érent types de signaux se distinguent :

les signaux à bande étroite dont la largeur de bande est relativement petite,

les signaux à bande large dont la largeur de bande est relativement grande voirein�nie,

les signaux de basses fréquences (BF) dont la largeur de bande est centrée surdes fréquences relativement faibles,

les signaux de hautes fréquences (HF) dont la largeur de bande est centrée surdes fréquences relativement importantes.

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Signal basses fréquences

f

Signal à bande étroite

f

Signal hautes fréquences

f

Signal à large bande

f

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Gain

Le gain A d'un système est dé�ni comme le logarithme à base 10 du rapport despuissances des grandeurs d'entrée Pe et de sortie Ps :

A = 10 log(Ps

Pe

).

A est exprimé en bel mais l'unité pratique est ici le décibel noté db.Lorsque A > 0, on parle de gain tandis que lorsque A < 0, on parle d'a�aiblissement.

Bande passante

C'est l'intervalle de fréquences pour lesquelles le gain A est supérieur à −3 db. Onparle alors de bande passante à −3 db mais on dé�nit également la bande passante à−6 db. Le gain est ainsi souvent utilisé pour étudier le comportement d'un système enfonction de la fréquence.

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Systèmes : dé�nitions

1 Introduction





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Système intemporel (stationnaire ou invariant)

Les caractéristiques du système n'évoluent pas au cours du temps. Une expérienceréalisée à l'instant t donnera les mêmes résultats une heure après, le lendemain ou unan plus tard.

Système linéaire et système non linéaire

Un système linéaire véri�e le principe de superposition, à savoir, la réponse d'unesomme d'excitations est égale à la somme des réponses des excitationscorrespondantes.

Système monovariable et système multivariable

Un système est monovariable (S.I.S.O.) si il possède une seule entrée et une seulesortie et multivariable dans le cas contraire (M.I.M.O., M.I.S.O, S.I.M.O).

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Système causal

Un système est causal si sa réponse ne précède jamais l'excitation qui lui correspond.La réponse à un instant t0 ne dépend pas de l'excitation à un instant t < t0.

Système déterministe et système stochastique

Un système est déterministe si pour chaque excitation ne correspond qu'une seuleréponse et stochastique si plusieurs réponses existent.

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Réponse impulsionnelle (ou percusionnelle)

Une brève impulsion, injectée à l'entrée d'un système causal, linéaire, continu etinvariant donne en sortie un signal de durée �nie appelée réponse impulsionnelle. Laréponse impulsionnelle, notée h(t) est donc la réponse d'un système à une impulsionde Dirac.

δ(t)

t

Système

h(t)

t

Fonction de transfert

La réponse impulsionnelle caractérise le comportement temporel du système : ellecorrespond à sa fonction de transfert.

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Réponse indicielle

La réponse indicielle, noté γ(t), est la réponse d'un système à un échelon unitaire.

Γ(t)

t

Système

γ(t)

t

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Produit de convolution

1 Introduction





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Produit de convolution

Dé�nition

L'opération de convolution, notée ∗, exprime la réponse s(t) d'un système linéaire,causal et invariant à une entrée quelconque e(t) à partir de sa réponse impulsionnelleh(t) qui le caractérise. Le produit de convolution est dé�nie par :

s(t) = e(t) ∗ h(t) =

+∞∫−∞

e(τ)h(t − τ)dτ .

Propriétés

Commutativité : f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t),

Distributivité : [f (t) + g(t)] ∗ h(t) = [f (t) ∗ h(t)] + [g(t) ∗ h(t)] ,

Associativité : [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] ,

Elément neutre : f (t) ∗ δ(t) = f (t).

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Corrélation

1 Introduction





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Corrélation

Dé�nition

L'opération de corrélation, notée ⊗, permet d'exprimer la ressemblance entre deuxsignaux f (t) et g(t) au niveau de la forme et de la position en fonction d'unparamètre de translation.La fonction de corrélation entre deux signaux f (t) et g(t), notée Cfg (t), est appeléefonction d'intercorrélation (ou corrélation croisée ou corrélation mutuelle) et estdé�nie par :

Cfg (t) = f (t)⊗ g(t) =

+∞∫−∞

f (τ + t)g(τ)dτ .

Par changement de variables, la fonction d'intercorrélation est également dé�nie par :

Cfg (t) =

+∞∫−∞

f (τ)g(τ − t)dτ .

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Corrélation

Application aux signaux réels

Les deux formes précédentes deviennent respectivement pour des fonctions f (t) etg(t) réelles :

Cfg (t) =

+∞∫−∞

f (τ)g(τ + t)dτ , Cfg (t) =

+∞∫−∞

f (τ − t)g(τ)dτ .

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Corrélation

Fonction d'autocorrélation

C� (t) = f (t)⊗ f (t) =

+∞∫−∞

f (τ + t)f (τ)dτ .

Application aux signaux réels

Si f (t) est réelle, l'autocorrélation s'écrit respectivement, en utilisant les deux formesprécédentes :

C� (t) =

+∞∫−∞

f (τ)f (τ + t)dτ , C� (t) =

+∞∫−∞

f (τ)f (τ − t)dτ ,

La fonction d'autocorrélation d'un signal réel est donc paire (C� (−t) = C� (t)). Deplus, elle est maximale pour t = 0 (pas de décalage).

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1 Introduction


3 Séries de FourierSéries de Fourier à coe�cients réelsSéries de Fourier à coe�cients harmoniquesSéries de Fourier à coe�cients complexesRelation entre les di�érents développementsSimpli�cations pour les fonctions paires et impairesExempleSpectres d'un signalPropriétés des coe�cients de FourierÉgalité de Bessel-Parseval



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Théorie du Signal

2ème partieSéries de Fourier


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Séries de Fourier à coe�cients réels

1 Introduction





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Théorème de Fourier

Théorème

Soit s(t), une fonction périodique de période T0 (fréquence F0 = 1T0

et pulsationω0 = 2πF0).

s(t) peut s'écrire sous la forme d'une somme de fonctions sinusoïdales etcosinusoïdales d'amplitudes di�érentes et de fréquences f , multiples de la fréquenceF0, dite fréquence fondamentale :

s(t) = a0 +∞∑n=1

[an cos (nω0t) + bn sin (nω0t)] .

Les coe�cients an et bn sont les coe�cients réels de la série de Fourier oucoe�cients de Fourier trigonométriques. Cette forme est appelée le développement(ou la décomposition) en série de Fourier à coe�cients réels du signal s(t).

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Calcul des coe�cients réels de Fourier a0, an et bn

a0

a0 est appelée la composante continue. C'est la valeur moyenne du signal s(t) :

a0 =1

T0

∫T0

s(t)dt.

an

an est dé�ni pour n ≥ 1 par :

an =2

T0

∫T0

s(t) cos (nω0t) dt.

bn

bn est dé�ni pour n ≥ 1 par :

bn =2

T0

∫T0

s(t) sin (nω0t) dt.

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Séries de Fourier à coe�cients harmoniques

1 Introduction





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Séries de Fourier à coe�cients harmoniques

Développement en harmoniques

s(t) = ρ0 +∞∑n=1

ρn cos (nω0t − ϕn).

ρ0 = a0, l'harmonique d'ordre (ou de rang) 0,

ρ1 cos (ω0t − ϕ1) l'harmonique d'ordre 1 appelé aussi le fondamental car ilcorrespond à un terme de fréquence fondamentale F0,

ρn cos (nω0t − ϕn), l'harmonique d'ordre n.

ρn : module de chaque harmonique

ρn =

√an2 + bn

2.

ϕn : argument de chaque harmonique

ϕn = arctan(bn

an

).

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Séries de Fourier à coe�cients complexes

1 Introduction





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Séries de Fourier à coe�cients complexes

Développement à coe�cients complexes

s(t) =+∞∑

n=−∞cn exp (nω0t).

cn

Les coe�cients cn sont les coe�cients complexes de la série de Fourier ou coe�cients

de Fourier exponentiels : cn =1

T0

∫T0

s(t) exp (−nω0t) dt.

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Relation entre les di�érents développements

1 Introduction





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Relation entre les di�érents développements

c0 = a0,

cn =1

2(an − bn) , c−n =

1

2(an + bn) = cn,

|cn| =1

2

√an2 + bn

2 =ρn

2, arg (cn) = arctan

(−bn

an

)= −ϕn,

an = cn + c−n = 2< (cn) ,

bn = (cn − c−n) = −2= (cn) ,

a−n = an,

b−n = −bn.

72 / 132


Simpli�cations pour les fonctions paires et impaires

1 Introduction





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Simpli�cations pour les fonctions paires et impaires

Cas des fonctions périodiques paires (s(−t) = s(t))a0 = 2

T0

T02∫0

s(t)dt,

an = 4T0

T02∫0

s(t) cos (nω0t) dt,

bn = 0,

cn =1

2an = c−n.

On obtient une série de cosinus.

Cas des fonctions périodiques impaires (s(−t) = −s(t))a0 = 0,an = 0,

bn = 4T0

T02∫0

s(t) sin (nω0t) dt,cn = −

1

2bn = −c−n.

On obtient une série de sinus.

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Exemple

1 Introduction





75 / 132


Exemple

Question

Décomposer en série de Fourier à coe�cients réels le signal suivant :s(t)

t

Réponse

Le développement en série de Fourier à coe�cients réels de s(t) s'écrit :

s(t) =∞∑n=1

A

nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .

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Exemple

Question

Décomposer la série en sommes de termes pairs et impairs

Réponse

Si n est pair (−1)n = 1 et bn = 0. Les harmoniques de rang pair du signal s(t)sont nuls. En e�et, on pose n = 2p (p ∈ N) et la somme des termes pairss'écrit :

∞∑p=1

A

2pπ

[1− (−1)2p

]sin (2pω0t) = 0.

Si n est impair (−1)n = −1 et bn = 2Anπ

. En e�et, on pose n = 2p + 1 (p ∈ N)et la somme des termes impairs s'écrit :

∞∑p=0

2A

(2p + 1)πsin ((2p + 1)ω0t) = s(t).

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Exemple

Signal obtenu en prenant le premier harmonique

s(t) =1∑

n=1

A

nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .

s(t)

t

sommes partielles de s(t)

t

série de Fourier de s(t)

t

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Exemple

Signal obtenu en prenant les 3 premiers harmoniques

s(t) =3∑

n=1

A

nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .

s(t)

t


t


t

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Exemple


s(t) =5∑

n=1

A

nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .

s(t)

t


t


t

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Exemple


s(t) =10∑n=1

A

nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .

s(t)

t


t


t

81 / 132


Exemple


s(t) =50∑n=1

A

nπ[1− (−1)n] sin (nω0t) .

s(t)

t


t


t

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Spectres d'un signal

1 Introduction





83 / 132



Spectre en fréquence

Dé�nition

Composantes du spectre : la forme exponentielle du développement en série deFourier d'un signal s(t) réel fait apparaître, dans un but de simpli�cation, descoe�cients complexes cn où n peut être négatif. Ces coe�cients représententles composantes du spectre en fréquence de s(t).

Représentation du spectre : le spectre en fréquence S(f ) du signal périodiques(t) représente les composantes cn en fonction des fréquences nF0 = nω0

2π . S(f )est représentée par la fonction suivante :

S(f ) =+∞∑

n=−∞cnδ (f − nF0) .

S(f ) est donc un spectre de raies formé de pics de Dirac sur tout l'axe desfréquences (positives ou négatives). Chaque raie a une hauteur proportionnellesoit au module et à l'argument de cn (spectre d'amplitude et de phase), soit à la

partie réelle et à la partie imaginaire de cn.

84 / 132



Représentations spectrales

Spectre réel

S(f ) =+∞∑

n=−∞<(cn)δ (f − nF0) .

Spectre imaginaire

S(f ) =+∞∑

n=−∞=(cn)δ (f − nF0) .

Spectre d'amplitude

S(f ) =+∞∑

n=−∞|cn|δ (f − nF0) .

Spectre de phase

S(f ) =+∞∑

n=−∞arg(cn)δ (f − nF0) .

Spectre de puissance

S(f ) =+∞∑

n=−∞|cn|2δ (f − nF0) .

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Suite de l'exemple

Question

Représenter les di�érents spectres du signal s(t) :s(t)

t

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Suite de l'exemple

Réponse

cn = −1

2bn = −

A

2nπ[1− (−1)n] =

A

2nπ[(−1)n − 1] .

< (cn) = 0,

= (cn) = − A2nπ [1− (−1)n] ,

|cn| =

∣∣∣ A2nπ [(−1)n − 1]

∣∣∣ ,arg (cn) = −90◦ pour cn 6= 0.

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Suite de l'exemple

Spectre réel

< (cn)

f

Spectre d'amplitude

|cn|

f

Spectre imaginaire

= (cn)

f

Spectre de phase

arg (cn)

f

Spectre de puissance

|cn|2

f

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Propriétés des coe�cients de Fourier

1 Introduction





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Notations

Soient f (t), g(t) et h(t), trois fonctions périodiques de périodes T0. Leursdéveloppements en séries de Fourier à coe�cients complexes s'écrivent :

f (t) =+∞∑

n=−∞c fn exp (nω0t) avec : c fn =

1

T0

∫T0

f (t) exp (−nω0t) dt,

g(t) =+∞∑

n=−∞cgn exp (nω0t) avec : cgn =

1

T0

∫T0

g(t) exp (−nω0t) dt,

h(t) =+∞∑

n=−∞chn exp (nω0t) avec : chn =

1

T0

∫T0

h(t) exp (−nω0t) dt.

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Linéarité

Si h(t) = af (t) + bg(t) : chn = ac fn + bcgn .

Translation verticale

Si g(t) = f (t) + a :

cgn = c fn pour n 6= 0,

cg0 = c f0 + a.

Translation horizontale

Si g(t) = f (t − t0) :

cgn = c fn exp (−nω0t0) pour n 6= 0,

cg0 = c f0 .

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Dérivation dans le domaine temporel

Si g(t) = df (t)dt

: cgn = nω0cfn .

Si g(t) = dp f (t)dtp

: cgn = (nω0)p c fn .

Intégration dans le domaine temporel

Si g(t) =t∫−∞

f (u)du et c f0 = 0 : cgn =c fn

nω0.

Si g(t) =t∫−∞

t1∫· ··∫

−∞

tp−1∫−∞

f (u)du : cgn =c fn

(nω0)p,

où les composantes continues après chaque intégration sont nulles.

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Égalité de Bessel-Parseval

1 Introduction





93 / 132



Théorème

Soient f (t) et g(t), deux signaux périodiques de périodes T0 et c fn et cgn , leurscoe�cients de Fourier complexes respectifs. Le théorème de Bessel-Parseval conduit àla relation :

1

T0

∫T0

f (t)g(t)dt =+∞∑

n=−∞c fn c

gn =

+∞∑n=−∞

c fncg−n.

Conséquences

Il en découle que la puissance moyenne d'un signal périodique s(t) de période T0 estégale à la somme des modules aux carrés de ses coe�cients de Fourier cn :

1

T0

∫T0

|s(t)|2 dt =+∞∑

n=−∞|cn|2,

1

T0

∫T0

|s(t)|2 dt = a02 +

1

2

+∞∑n=1

(an

2 + bn2),

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1 Introduction



4 Transformée de FourierDé�nitionExemplePropriétésÉgalité de Bessel-ParsevalTransformée de Fourier d'un signal périodique


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Théorie du Signal

3ème partieTransformée de Fourier


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Dé�nition

1 Introduction





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Dé�nition

Dé�nition

Extension des séries de Fourier pour les signaux périodiques aux signauxquelconques en considérant qu'ils possèdent une période in�nie (T0 →∞).

Le spectre devient alors continu puisque F0 → 0.

La transformée de Fourier représente un signal sous forme d'une in�nité decomposantes sinusoïdales complexes et fournit ainsi des informations sur ladistribution fréquentielle de ce signal.

Transformée de Fourier S(f ) d'un signal s(t)

S(f ) = F {s(t)} =

+∞∫−∞

s(t) exp (−2πft) dt.

Transformée de Fourier inverse s(t) de S(f )

s(t) = F−1 {S(f )} =

+∞∫−∞

S(f ) exp (2πft) df .

98 / 132


Dé�nition

Notation complexe

De façon générale S(f ) est appelé le spectre complexe du signal s(t). Il admet unepartie réelle, < [S(f )] et une partie imaginaire, = [S(f )] ainsi qu'un module, |S(f )| etun argument arg [S(f )].

Partie réelle de la transformée de FourierS(f ) d'un signal s(t)

< [S(f )] =

+∞∫−∞

s(t) cos (2πft) dt.

Module de la transformée de Fourier S(f )d'un signal s(t) (amplitude du spectre)

|S(f )| ={<2 [S(f )] + =2 [S(f )]

} 1

2 ,

Partie imaginaire de la transformée deFourier S(f ) d'un signal s(t)

= [S(f )] = −+∞∫−∞

s(t) sin (2πft) dt.

Argument de la transformée de FourierS(f ) d'un signal s(t) (phase du spectre)

arg [S(f )] = arctan{= [S(f )]

< [S(f )]

}.

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Exemple

1 Introduction





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Exemple

Question

Calculer la transformée de Fourier du signal s(t) suivant :s(t)

t

Réponse

La transformée de Fourier du signal s(t) s'écrit :

S(f ) = AT sinc (fT ).

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Exemple

Représentation fréquentielle

S(f ) est une fonction réelle. Sa partie imaginaire est donc nulle et son module estégale à la valeur absolue de sa partie réelle.

Spectre réel

S(f )

f

Spectre d'amplitude

|S(f )|

f

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Propriétés

1 Introduction





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Propriétés

Notations

Soient f (t), g(t) et h(t), trois fonctions et F (f ), G(f ) et H(f ) leurs transformées deFourier respectives.

Linéarité

Si h(t) = af (t) + bg(t) : H(f ) = aF (f ) + bG(f ).

Homothétie (changement d'échelle)

Si g(t) = f (at) : G(f ) =1

|a|F

(f

a

).

Conséquence :

Si g(t) = 1|a| f

(ta

): G(f ) = F (af ),

Si g(t) = f (−t) : G(f ) = F (−f ).

104 / 132


Propriétés

Translation temporelle (ou retard) et fréquentielle

Si g(t) = f (t − t0) : G(f ) = exp (−2πft0)F (f ),

Si g(t) = exp (2πf0t) f (t) : G(f ) = F (f − f0) .

Dérivation temporelle et fréquentielle

Si g(t) = df (t)dt

: G(f ) = 2πfF (f ),

Si g(t) = dp f (t)dtp

: G(f ) = (2πf )p F (f ),

Si g(t) = −2πtf (t) : G(f ) =dF (f )

df,

Si g(t) = (−2πt)p f (t) : G(f ) =dpF (f )

df p.

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Propriétés

Intégration temporelle et fréquentielle

Si g(t) =t∫−∞

f (u)du : G(f ) =F (f )

2πf,

Si g(t) =t∫−∞

t1∫· ··∫

−∞

tp−1∫−∞

f (u)du : G(f ) =F (f )

(2πf )p,

Si g(t) = f (t)−2πt : G(f ) =

f∫−∞

F (u)du,

Si g(t) = f (t)(−2πt)p

: G(f ) =

f∫−∞

f1∫· · ·∫

−∞

fp−1∫−∞

F (u)du.

106 / 132


Propriétés

Symétrie (propriété de parité)

Signal réel (f (t) = f (t)) : F (f ) = F (−f ),

Signal pair (f (t) = f (−t)) : F (f ) = F (−f ),

F (f ) = 2

+∞∫0

f (t) cos (2πft) dt,

Signal impair (f (t) = −f (−t)) : F (f ) = −F (−f ),

F (f ) = −2+∞∫0

f (t) sin (2πft) dt.

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Propriétés

Conséquences

f (t) F (f )réel complexe

réel pair réel pairréel impair imaginaire impairimaginaire complexe

imaginaire pair imaginaire pairimaginaire impair réel impair

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Propriétés

Convolution (Théorème de Borel)

Si h(t) = f (t) ∗ g(t) (produit de convolution) : H(f ) = F (f ) · G(f ),

Si h(t) = f (t) · g(t) (produit simple) : H(f ) = F (f ) ∗ G(f ).

Corrélation

Si h(t) = f (t)⊗ g(t) (intercorrélation) : H(f ) = F (f ) · G(f ),

Si g(t) = f (t)⊗ f (t) (autocorrélation) : G(f ) = |F (f )|2 .

|F (f )|2 est la densité spectrale d'énergie du signal f (t) qui est donc égale à latransformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation de f (t). La densité spectraled'énergie dé�nit le spectre d'énergie du signal f (t).

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Propriétés

Spectre d'énergie

|F (f )|2

f

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1 Introduction





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Théorème

+∞∫−∞

f (t)g(t)dt =

+∞∫−∞

F (f )G(f )df .

Conséquences

+∞∫−∞

|f (t)|2 dt =

+∞∫−∞

|F (f )|2 df .

+∞∫−∞|f (t)|2 dt est l'énergie totale du signal f (t). Cette énergie est donc conservée par

la transformée de Fourier.

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Transformée de Fourier d'un signal périodique

1 Introduction





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Transformée de Fourier d'un signal périodique

Forme exponentielle du développement en série de Fourier d'un signal périodiquesT0 (t) de période T0

sT0 (t) =+∞∑

n=−∞cn exp

(n

2π

T0t

).

Transformée de Fourier ST0 (f ) d'un signal périodique sT0 (t) de période T0

ST0 (f ) =+∞∑

n=−∞cnδ

(f −

n

T0

).

Le spectre d'un signal périodique est donc un spectre de raies.Si S(f ) est la transformée de Fourier du motif s(t) de sT0 (t), alors :

cn =1

T0S

(n

T0

).

S(f ) est appelée l'enveloppe complexe de ST0 (f ).

114 / 132


1 Introduction




5 Transformée de LaplaceDé�nitionPropriétésTransformée de Laplace d'un signal périodiqueTransformée de Laplace inverseApplicationsReprésentation dans le plan complexe

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Théorie du Signal

4ème partieTransformée de Laplace


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Dé�nition

1 Introduction





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Dé�nition

Transformée de Laplace S(p) d'un signal s(t) causal

S(p) = L{s(t)} =

+∞∫0

s(t) exp (−pt) dt.

En posant p = 2πf = ω, la transformée de Laplace correspond à la transformée deFourier de signaux causaux.

118 / 132


Propriétés

1 Introduction





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Propriétés

Notations

Soient f (t), g(t) et h(t), trois fonctions et F (p), G(p) et H(p) leurs transformées deLaplace respectives.

Linéarité

Si h(t) = af (t) + bg(t) : H(p) = aF (p) + bG(p).

Symétrie

Signal réel (f (t) = f (t)) : F (p) = F (p).

Homothétie (changement d'échelle)

Si g(t) = f (at) (a > 0) : G(p) =1

aF(pa

).

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Propriétés

Translation temporelle

Si g(t) = f (t − t0) : G(p) = exp (−pt0)F (p).

Translation dans le plan complexe

Si g(t) = exp (at) f (t) : G(p) = F (p − a) .

Dérivation et intégration temporelle

Si g(t) = df (t)dt

: G(p) = pF (p)− f (0+),

Si g(t) = dn f (t)dtn

: G(p) = pnF (p)− pn−1f (0+)− . . .− f (0+),

Si g(t) =t∫0f (u)du : G(p) =

F (p)

p.

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Propriétés

Dérivation et intégration dans le plan complexe

Si g(t) = tf (t) : G(p) = −dF (p)

dp,

Si g(t) = tnf (t) : G(p) = (−1)ndnF (p)

dpn,

Si g(t) = f (t)t

: G(p) =

+∞∫p

F (u)du.

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Propriétés

Valeurs initiales et �nales

Théorème de la valeur initiale : limt→0+

f (t) = limp→+∞

pF (p).

Théorème de la valeur �nale : limt→+∞

f (t) = limp→0

pF (p).

Convolution (Théorème de Plancherel)

Si h(t) = f (t) ∗ g(t) (produit de convolution) : H(p) = F (p) · G(p).

123 / 132


Transformée de Laplace d'un signal périodique

1 Introduction





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Transformée de Laplace d'un signal périodique

Périodisation

Soit sT (t), un signal périodique causal de période T et de motif s(t) :

sT (t) =+∞∑n=0

s (t − nT ).

Transformée de Laplace ST (p) du signal périodique sT (t) :

ST (p) =S(p)

1− exp (−pT ).

125 / 132


Transformée de Laplace inverse

1 Introduction





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Transformée de Laplace inverse

Transformée de Laplace inverse s(t) de S(p)

s(t) = L−1{S(p)} =1

2π

∫D

S(p) exp (pt) dp,

où D correspond au domaine de dé�nition de p.

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Applications

1 Introduction





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Applications

Résolution d'équations di�érentielles

Un système physique d'une entrée e(t) et d'une sortie s(t) peut être modélisé par uneéquation di�érentielle à coe�cient constant :

andns(t)

dtn+ an−1

dn−1s(t)

dtn−1+ . . .+ a0s(t) = bm

dme(t)

dtm+ . . .+ b0e(t) (m ≤ n).

La transformée de Laplace de cette équation lorsque le système démarre au repos(conditions initiales nulles) est :

(anp

n + an−1pn−1 + . . .+ a0

)S(p) = (bmp

m + . . .+ b0)E(p).

La résolution de cette équation dans le domaine de Laplace (équation algébrique) estplus aisée puisque s(t) = L−1{S(p)} avec :

S(p) =bmp

m + . . .+ b0

anpn + an−1pn−1 + . . .+ a0E(p).

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Applications

Fonction de transfert d'un système

Le rapport S(p)E(p)

= H(p) est appelé fonction de transfert du système :

H(p) =S(p)

E(p)=

bmpm + . . .+ b0

anpn + an−1pn−1 + . . .+ a0.

Les racines du dénominateur sont appelées les pôles et les racines dunumérateur sont appelées les zéros.

Le degré du dénominateur dé�ni l'ordre du système.

A partir de la fonction de transfert, il est possible de déterminer la réponse dusystème à un signal d'entrée ou d'analyser la précision, la rapidité et la stabilitédu système.

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Représentation dans le plan complexe

1 Introduction





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Représentation dans le plan complexe

Notation complexe

La transformée de Laplace S(p) d'un signal s(t) est un nombre complexe qui s'écritS(p) = < (S(p)) + = (S(p)).

Lieu de Nyquist

C'est la représentation de = (S(p)) en fonction de < (S(p)).

Lieu de Bode

C'est la représentation du gain (en décibels) et de la phase en fonction de la fréquence.

Lieu de Black

C'est la représentation du gain en fonction de la phase.

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