théorie des jeux : les duels

S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010

Les DuelsS.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR

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Sommaire

Introduction..........................................................................................Page 3 Duels bruyants avec une seule balle........Page 5

Duels bruyants avec plusieurs balles......Page 14

Duels silencieux avec une seule balle...4

Les autres types de duel.................................................Page 35

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Introduction

• Le duel est un jeu de «timing».

• Nos hypothèses :

- La probabilité que le joueur tue son adversaire en tirant une balle à l’instant t es où est une fonction croissante ( avec ).

- La fonction de paiement de ce jeu à somme nulle est l’espérance du gain (survivre) du joueur 1 (Bleu).

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Introduction

Distance initiale «D»

• Gains :

- Si le joueur est le seul survivant : 1.

- Si les deux meurent ou survivent : 0.

- S’il est le seul à mourir : -1.

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Duels bruyants avec une seule balle

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• Les joueurs disposent chacun d’un pistolet bruyant et d’une seule balle ainsi si l’un des deux a tiré l’autre l’entend.

• Après le premier tir le comportement optimal du survivant est donc d’avancer jusqu’à une distance nulle et de tuer l’adversaire.

• Une stratégie pure de Bleu est de tirer à l’instant x.

• Une stratégie pure de Rouge est de tirer à l’instant y.

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• Nous avons donc la fonction de paiement de Bleu:


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• On sait que augmente avec x et y donc on a :

• On peut diviser l'intervalle (0,1) en trois intervalles suivants :


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• Ces intervalles sont non nuls, pour l’intervalle A on a :

• On en déduit :

• et :

• Donc pour l’intervalle A on a :


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• L’intervalle B est défini par :

• Qui montre :

• Et donc :


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• L’intervalle C est défini par :

• Donc on a :

• On en déduit donc :


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• On a :

• Où :

• De la même manière, on peut montrer :

• Où :

• Donc on a :

• C'est-à-dire que chaque joueur a une stratégie pure.


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• Résumé du résultat :

• La stratégie optimale pour les joueurs est de tirer simultanément à l’instant . qui satisfait :

• Si Bleu utilise cette stratégie, il peut être sûr de gagner au moins :

• et Rouge perd au plus :


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Duels bruyants avec plusieurs balles

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• Les joueurs disposent de plusieurs balles. À l’instant t Bleu a m(t) et Rouge a n(t) balles.

• On supposera que les fonctions de précision sont :

• Une stratégie optimale pour chaque joueur est de tirer quand :

• mais le joueur qui a moins de balles ne tire avant que :

• la valeur de jeux est :


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Preuve par récurrence : pour m(0)=2 et n(0)=1 on obtient :

parce que

C'est-à-dire que le duelliste avec une seule balle préfère attendre jusqu’à l’instant quand l’autre va tirer. S’il est encore vivant, on sera dans le cas «duel bruyant avec une seule balle».


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• La valeur de ce jeu est :

• Maintenant on considère le cas où les joueurs ont m et n balles.

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la fonction de paiement sera : [ cas avec m-1 et n balles] [cas avec m-1 et n-1 balles]

[cas avec m et n-1 balles]

où


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si on aura :


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si

on a


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Donc si les deux duellistes tirent en même temps le paiement pour Bleu va être plus grand que C’est pour ça que rouge ne préfère pas cette stratégie !


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• si

• dans ce cas on a

• supposons

• La fonction de paiement à Bleu sera :


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• comme

• Si Rouge tire avant Bleu la fonction de paiement a Bleu sera plus grand que donc Rouge ne préfère pas cette stratégie.

• On déduit que la valeur du jeu est :


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Duels silencieux avec une seule balle

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• Les joueurs disposent d’une balle chacun et de pistolets silencieux de sorte qu’aucun des deux ne sait si l’adversaire a déjà tiré ou pas.

• on supposera qu’ils ont la même précision :

• une stratégie pure de Bleu est le moment où il va tirer s’il est encore en vie :

• une stratégie pure de Rouge est le moment où il va tirer s’il est encore en vie:


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• Le paiement à Bleu est :


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• Ce jeu n’a pas de valeur en stratégie pure donc les joueurs doivent utiliser des stratégies mixtes.

• On suppose que Bleu utilise une stratégie mixe F , l’espérance de Bleu est :

• Il est pratique d’assumer que :


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• Où une stratégie optimale pour Bleu est une fonction de densité, comme on va le vérifier .

• De la symétrie du jeu, on conclut :

• et on a pour tout y que est constant et égale à 0.


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• La valeur du jeu est donc :

• Qui est indépendant de y.

• On essaie de résoudre cette équation différentielle :

• où

• La solution est :


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• On substitue les solutions dans l’expression et on trouve :

• Maintenant on montre qu’une stratégie optimale pour Bleu et Rouge est de tirer à x avec la fonction de densité :

• Où :


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• Et de ne jamais tirer avant :

• Supposons que Bleu utilise cette stratégie donc Rouge choisi un y entre 1/3 et 1 :

• Donc on aura :


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• Et si Rouge choisit une stratégie :

• On aura :


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• Résumé :

• Si Bleu utilise la stratégie mixte P(x), il peut être sur de gagner au moins 0.

• On peut aussi montrer que si Rouge utilise la même stratégie mixte, Bleu va gagner au plus 0.


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Précisions sur les duels silencieux :Dans les duels silencieux si les deux joueurs utilisaient des stratégies pures, ils pourraient prédire à quel instant l’autre va tirer, on serait alors dans le même cas que les duels bruyants ! C’est pour cela que dans les duels silencieux les duellistes utilisent des stratégies mixtes.


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Les autres types de duel

• Bruyants :- Avec une seule balle.- Avec une seule balle, fonction de précision arbitraire.- Avec plusieurs balles, même fonction de précision.• Silencieux :- Avec une seule balle, même fonction de précision.- Avec 1 balle contre 2 balles.- Bruyant / Silencieux avec une seule balle.• ...

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