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Introduction à la théorie des jeux T. Pénard Faculté de Sciences Économiques Université de Rennes 1 2007-2008

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Page 1: introduction à La Théorie Des Jeux - Perso.univ-rennes1.fr · – Schelling (1960) Strategy of Conflict • Jeu de coordination et point focal – Aumann (1981): théorie des jeux

Introduction à la théorie des jeuxT. Pénard

Faculté de Sciences ÉconomiquesUniversité de Rennes 1

2007-2008

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A l’origine de la théorie des jeux

• Les fondateurs– Morgenstern et Von Neumann (1944) Theory of

Games and Economic Behavior, Princeton.– Nash quatre articles fondamentaux durant sa thèse

• " Equilibrium points in N-Person Games", 1950. • "The Bargaining Problem", 1950, Econometrica. • "Non-Cooperative Games", 1951, Annals of

Mathematics. • "Two-Person Cooperative Games", 1953,

Econometrica– Kuhn et Tucker (1950, 1953),

• Mais plusieurs français précurseurs, dont Cournot, puis Borel et Ville.

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Une théorie récompensée par plusieurs prix Nobel d’économie

• 1994– Nash – Selten (1965) : équilibre de sous-jeux parfaits– Harsanyi (1967-68) : jeu à information incomplète

• 2005– Schelling (1960) Strategy of Conflict

• Jeu de coordination et point focal– Aumann (1981): théorie des jeux répétés

• De futurs nobélisables ?– Fudenberg et Tirole (1991)– Kreps (1982),

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Qu’est ce qu’un jeu ?

• Un jeu stratégique se caractérise par un ensemble de règles de jeu spécifiant : – les joueurs– les espaces de stratégies (actions ou décisions) – la séquence des décisions– les gains ou l’utilité des joueurs (fonction des

décisions des joueurs)– l’information à la disposition des joueurs (complète/

parfaite)

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Typologie des jeux

• Jeux coopératifs / non coopératifs– Binding agreement ? Cheap talk ?

• Jeux avec décisions simultanées / séquentielles

• Jeux statiques/répétés (en horizon fini ou infini)

• Jeux à information parfaite/imparfaite• Jeux à information complète/incomplète

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Définitions• Une stratégie en théorie des jeux : un plan

d'action complet spécifiant ce que le joueur fera à chaque étape de décision et face à chacune des situations pouvant survenir au cours du jeu.

• Hypothèse forte sur la rationalité des joueurs– Rationalité parfaite=capacité de compréhension du

jeu, de calcul et de raisonnement par induction àrebours (backward induction)

– Connaissance commune du jeu= je comprends le jeu, et je sais que les autres comprennent aussi le jeu et je sais qu'ils savent que je comprends le jeu et je sais qu'ils savent que je sais qu'ils comprennent aussi le jeu, etc …

• Voir la fable des maris trompés

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Comment représenter un jeu ?

• Sous forme d'arbre ou extensive– Adapté pour des jeux avec décisions

séquentielles

• Sous forme matricielle ou normale– Adapté pour des jeux (statiques) avec

décisions simultanées

• Exemple d'un jeu à deux joueurs 1 et 2 ayant chacun deux décisions possibles (A1, B1) et (A2; B2).

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Notion d’équilibre de Nash

• Un équilibre de Nash est un état dans lequel aucun joueur ne souhaite modifier sa stratégie étant donné les stratégies adoptées par les autres joueurs. – Chaque stratégie est une meilleure réponse aux

stratégies des autres joueurs.

• Une situation attendue ou probable lorsque les joueurs interagissent de manière stratégique

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Stratégies dominantes

• Une stratégie dominante pour un joueur est une stratégie qui lui donne toujours un gain supérieur ou égal au gain qu’il peut attendre de toutes ses autres stratégies (quelles que soient les stratégies des autres joueurs)– Une stratégie dominante domine toutes les autres

stratégies– si chacun des joueurs possède une stratégie

dominante, alors il existe au moins un équilibre de Nash consistant pour les joueurs à choisir leur stratégie dominante

• un équilibre en stratégies dominantes est un équilibre de Nash (réciproque non vérifiée)

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Stratégies dominées

• Une stratégie dominée pour un joueur est une stratégie qui lui donne toujours un gain inférieur à celui d’au moins une des autres stratégies à sa disposition (quelles que soient les stratégies des autres joueurs).– Une stratégie peut n'être dominée que par une seule

stratégie

• Une stratégie dominée n’est jamais jouée– Recherche des équilibres de Nash par élimination

des stratégies dominées

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Application expérimentale de Schotter, Weigelt, Wilson (1993))

• Expérience sur des étudiants • Jeu sous forme normale

– rôle du joueur 1 =57% de choix a– rôle du joueur 2 =20% de choix B (stratégie

dominée)

• Jeu sous forme extensive– rôle du joueur 1 =9% de choix a

• Interprétation : la manière de présenter un jeu est importante => Framing

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Les jeux statiques classiques

• Dilemme du prisonnier : – E Nash sous-optimal (A1,A2) avec a1<d1 et

a2<d2, – A1 et A2 stratégie dominante : a1>b1 et c1>d1

et a2>c2 et b2>d2

• Jeu de coordination : – Deux équilibres de Nash (A1,A2) et (B1,B2)

avec un qui domine l’autre a1<d1, a2<d2, d2>b2et a2 >c2, a1>b1 et d1>c1

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Les jeux statiques classiques

• Bataille des sexes : – deux équilibres de Nash (B1,A2) et (A1,B2),

chacun étant plus favorable à l’un des joueurs – b1>c1 et b2<c2

– b2 >d2 et a1<b1 ; c1>d1 et c2>a2

• Jeu du chicken game– Équivalent à la guerre des sexes, sauf que la

situation optimale est (A1,A2) – (a1+a2) supérieur à (b1+b2), (c1+c2) et (d1+d2)

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Engagement et crédibilité

• Commitment : un engagement sur une décision ou une action future en réponse aux décisions des autres joueurs

• Deux types de commitment :– Menaces : punir ceux qui ne joueraient pas l’action

attendue– Promesses : récompenser ceux qui joueraient l’action

attendue

• Engagement crédible (aux yeux des autres joueurs) uniquement si son auteur a bien intérêt à le faire le moment venu– Si non crédible, sans aucune valeur pour les autres

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Engagement et crédibilité• Un équilibre de sous-jeu parfait est un équilibre

reposant sur des stratégies de menace et/ou de promesse crédibles – Une stratégie comme un ensemble de règles de

décision conditionnelles aux décisions (passées) des autres joueurs

• Commitment comme moyen de modifier à son avantage l’issue d’un jeu stratégique

• Comment crédibiliser un commitment ?– « Burn bridges behind you » ou « cutting-off

communication »• Cortès et la conquête du Mexique en 1519

– Réputation– Mise en place d’institutions publiques ou privées

comme les contrats, les intermédiaires, …

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Enjeux autour du futur standard DVD

• DVD : quel standard pour la future génération haute définition– Plus de capacité de stockage– Plus de sécurité contre le piratage

• Opposition entre Sony et Toshiba– Format HD-DVD soutenu par Toshiba, Nec, Sanyo, TDK, …– Format Blu-Ray soutenu par Sony et les principaux acteurs de

l’électronique grand public (Matsushita, Samsung, Panasonic, Philips, Sharp, Hitachi, …) et des acteurs de l’informatique (Acer, HP, Dell) …

– LG et Thomson ont adhéré aux deux• Une opposition par le biais d’annonces

– « Un standard unique est meilleur pour le consommateur, mais naturellement nous allons continuer à promouvoir le Blu-ray »

– Le format HD-DVD « a été reconnu comme le seul format DVD de nouvelle génération par le DVD forum ».

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Enjeux autour du futur standard DVD

– Annonce de soutien et de ralliement des éditeurs de contenu

• Conversion du catalogue de Sony au format Blu-ray• Walt Disney, Fox, Universal, rallié à Blu-ray• Time Warner à HD-DVD

– Ou des fournisseurs de composants• Soutien de HP, Microsoft et Intel au format HD-DVD

– Une majorité des PC vendus équipés d’un lecteur HD-DVD

• Analyse en termes de théorie des jeux– Une guerre des sexes avec deux groupes d’acteur

ayant comme stratégie : • Rallier le standard concurrent• Maintenir son standard

– Risque d’échec de coordination

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Enjeux autour du futur standard DVD

• Comment imposer son standard ? – Par une stratégie de commitment

• À travers les Annonces des acteurs, mais pas toujours crédible– Facile de changer de coalition

« Sony n’est plus l’unique alternative sur le marché. Nous devons être continuellement compétitifs et agressifs. Nous devons être comme les Russes défendant Moscou face àNapoléon. Nous devons nous battre comme les guerriers de Sony que nous sommes » M. Stringer, PDG Sony

– des annonces qui peuvent modifier les anticipations des futurs clients => Blu-Ray représente désormais « une part de plus de 90% à la fois en termes de matériels et de films » D. Walstra, président de la Blu-Ray Disc Association

• A travers des investissements irrécupérables– Commercialisation des premiers lecteurs Blu-Ray au Japon

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Equilibre en stratégie mixte

• Une stratégie mixte pour un joueur est une distribution de probabilité sur l’ensemble de ses stratégies pures– Si m stratégies pures possibles, stratégie mixte (p1,

p2, …,ps,…, pm-1, pm ) tel que où ps est la probabilité de jouer la sième stratégie

– Dans un équilibre en stratégies mixtes , chacun des joueurs est indifférent entre jouer sa stratégie mixte ou jouer l’une de ses stratégies pures support de sa stratégie mixte

• Même gain attendu

∑ ==m

s sp

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Equilibre en stratégie mixte dans un jeu de standardisation

(1,2)(0,0)Standard 2

(0,0)(2,1)Standard 1

Standard 2Standard 1

•Deux équilibres en stratégies pures : (S1,S1) et (S2,S2)

•Un équilibre en stratégie mixte : (2/3,1/3) pour 1 et (1/3,2/3) pour 2

•Gain espéré en stratégie mixte=2/3

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Équilibre corrélé

• Notion d’équilibre plus faible que l’équilibre de nash– Rôle d’un médiateur en présence d’équilibres

multiples ou d’équilibres en stratégie mixte– Aumann

• Equilibre corrélé dans le jeu de standardisation– Pile ou face sur S1 et S2

• Gain espéré=3/2