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Universite Antonine Semestre 3Annee 2014- 2015

Analyse complexe et de Fourier 1

Chapitre VI- Transformee de Laplace

Exercice 1. Trouver la transformee de Laplace de chacune des fonctions suivantes :

1. f1(t) = 3t2 − 4t + 5 cos t

2. f2(t) = 6e−t + 3t sin(5t)

3. f3(t) = e2t−3

4. f4(t) = (1 + t)4

5. f5(t) = sin2(t)

6. f6(t) = 2 cos(3t + π4)

Exercice 2. Trouver les transformees de Laplace inverses des fonctions suivantes :

1. F1(s) =1

s4 − 1

2. F2(s) =3s + 6

s2 + 9

3. F3(s) =2s + 10

s2 + 6s + 25

4. F4(s) =s3 + 3s2 − s + 1

s(s + 1)2(s2 + 1)

Exercice 3. Utiliser le produit de convolution pour trouver la transformee inverse desfonctions suivantes :

1. F (s) =1

s(s2 + 1)

2. F (s) =s

(s2 + 1)(s2 + 4)

Exercice 4. Resoudre les equations suivantes :

1. f(t) = 2 cos t−∫ t0(t− u)f(u)du

2. f(t) + 4∫ t0(t− u)f(u)du = 2

3. f(t) = et +∫ t0et−uf(u)du

1. Drs R. Akoury & C. Ghannam - 2014

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Exercice 5. Utiliser la transformee de Laplace pour resoudre les equations differentiellessuivantes :

1. y′′(t) + y′(t)− 2y(t) = 0 , y(0) = 1, y′(0) = 4

2. y′′(t) + y(t) = Un(t) , y(0) = y′(0) = 0

3. y′′(t)− 2y′(t) + 5y(t) = 8e−t, y(0) = 1, y′(0) = 2

4. y′′′(t) + 4y′′(t) + 5y′(t) + 2y(t) = 10 cos t, y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 3

Exercice 6. On considere le montage electrique RLC represente par la figure suivante.A l’instant t = 0, on bascule l’inverseur. La tension V (t) aux bornes des trois dipoles enserie est donnee par :

V (t) = Ldi(t)

dt+ Ri(t) +

q(t)

C

ou i(t) est l’intensite du courant, et q(t) la charge du condensateur, liee a i(t) par :

i(t) =dq(t)

dt. L’equation differentielle de i(t) s’ecrit alors sous la forme suivante :

Ldi(t)

dt+ Ri(t) +

1

C

∫ t

0

i(u)du = V (t)

Utiliser la transformee de Laplace pour trouver i(t). On donne V (t) = 4 sin t, i(t = 0) = 0,q(t = 0) = 0, R = 8, L = 4 et C = 0.25 (unites S.I.).

Exercice 7. On considere une particule electrique q, de masse m, placee dans un champ

electromagnetique (−→E ,−→B ) avec :

−→E = E0

−→k et

−→B = B0

−→j . (Pour le calcul, prendre

q = m = E0 = 1 et B0 = 2)On suppose qu’a l’instant t = 0, la particule est au repos au point O, origine du repere.

Soit−→M(t) = (−→x (t),−→y (t),−→z (t)) la position de la particule a l’instant t, et

−→V (t) =

d−→M

dtsa

vitesse. On a alors :

m.d2−→M

dt2= q

(−→E +

−→V ∧

−→B)

1. Ecrire le systeme differentiel aux trois inconnues −→x (t), −→y (t) et −→z (t).

2. Verifier que y(t) = 0 (le mouvement est donc plan).

3. Utiliser la transformee de Laplace pour resoudre le systeme.