Collège Voltaire / 1MA/ Géométrie / 2016-2017

Exercices

GÉOMÉTRIEh ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma1-geometrie.pdf

Table des matièresSérie 1 1MA / Géométrie / Septembre 2016...................................................................................................2

Identifier les relations entre les angles d'une figure donnée......................................................2Construire et reconnaître dan la géométrie : plan, points, droites, angles, triangles, droites remarquables du triangle...........................................................................................................2

Série 2 1MA / Géométrie / Septembre 2016..................................................................................................6Maîtriser une démonstration du théorème de Pythagore...........................................................6Résoudre des problèmes faisant intervenir le théorème de Pythagore......................................6

Série 3 1MA / Géométrie / Septembre 2016................................................................................................. 10Résoudre des problèmes faisant intervenir les rapports de similitude et le théorème de Thalès......................................................................................................................................10

Série 4 1MA / Géométrie / Septembre 2016................................................................................................. 14Résoudre des problèmes faisant intervenir le théorème de la hauteur, d’Euclide, de Pythagoreet de Thalès..............................................................................................................................14

Série 5 1MA / Géométrie / Travail de groupe /Septembre 2016............................................................20Comprendre la signification du sinus, du cosinus et de la tangente........................................20

Série 6 1MA / Géométrie / Septembre 2016.................................................................................................21Utiliser les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles.......................................21Résoudre des problèmes divers avec le sinus, le cosinus et la tangente.................................21

Série 7 1MA / Géométrie / Octobre 2016.....................................................................................................26Utiliser les propriétés des fonctions trigonométriques............................................................26Résoudre des problèmes divers avec les fonctions trigonométriques.....................................26Trouver les valeurs du sinus , du cosinus et de la tangente pour des angles particuliers (30°,45° et 60°)........................................................................................................................26

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Série 1 1MA / Géométrie / Septembre 2016

Objectifs✔ Identifier les relations entre les angles d'une figure donnée ✔ Construire et reconnaître dan la géométrie : plan, points, droites, angles, triangles, droites

remarquables du triangle http://dcpe.net

Ex.1.Parmi les angles suivants, indiquez ceux qui sont aigus, ceux qui sont obtus ainsi que lespaires d'angles qui sont complémentaires ou supplémentaires :

34° 72° 120° 18° 60° 90° 56°

Ex.2.

Soit les droites a et b sont parallèles ( a∥b ) :

a) Trouvez les angles : α (alpha), β (bêta),δ (delta), ε (epsilon), ζ (zêta) et η (êta). b) Donnez les paires d'angles opposés par le sommet,c) Donnez les paires d'angles supplémentaires (somme de leurs mesures vaut 180°),d) Donnez les paires d'angles correspondants.e)Donnez les paires d'angles alternes-externes.f) Donnez les paires d'angles alternes-internes.¨

Ex.3.Dans le dessin suivant, les droites a et b sont coupés par une droite sécante c :

Trouvez tous les angles et justifiez.

Ex.4.Soit la figure ci-dessous (dimensions non respectées) :

a) Les droites (EA) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifiez.b) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? Justifiez.

Ex.5.Données : [DF ]⊥[AC ] et (DE)⊥[AB ]

Prouvez que α = β Croquis :

Ex.6.a) Représentez un triangle de sommets A,B et C et d'angles intérieurs α , β et γ.b) Représentez la parallèle au côté [AB] qui passe par C.c) Sur le croquis, repérez deux angles alternes-internes et un angle platd) Quelle égalité peut-on écrire ?

Ex.7.Soit ABCD un parallélogramme. Montrez que BAD = DCB

Ex.8.a) Représentez deux angles α et β opposés par le sommet.b) En utilisant les angles plats fournis par cette situation, prouvez que α = β.

Ex.9. Vrai ou faux ?

a) La somme des angles d'un triangle est égale à 180.b) Le carré est un rectangle dont les côtés sont égaux.b) Tous les parallélogrammes ont des angles droits.c) Un triangle équilatéral a se 3 angles égaux à 60°.

Ex.10. Identifiez les triangles numérotés :

Ex.11. Dans un triangle CDE, DCE =42° et EDC =69° a) Faites un croquis de la situation.b) Il s'agit d'un type de triangle particulier,lequel ?

Ex.12. Tracez ce qui est faux.

a) La droite (EA) ou (GF) ou(CI) est une médianes.b) La demi droite [BF) ou [GF) [ou CI) est une bissectrice.c) La droite est (EA) ou (GF) ou (CI) est une médiatrice.d) La hauteur du triangle ABC,perpendiculaire à la droite(AC) doit passer par I ou B ou G

Série 2 1MA / Géométrie / Septembre 2016

Objectifs✔ Maîtriser une démonstration du théorème de Pythagore✔ Résoudre des problèmes faisant intervenir le théorème de Pythagore

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Ex.1.On désire escalader un mur vertical à l'aide d'une échelle. Le mur mesure 24 m de hauteur. Un fossé empêche de s'approcher à moins de 7 m du mur. Quelle longueur minimum doit avoir l'échelle pour qu'elle atteigne le sommet du mur ?

Ex.2.Melba, le chien de Julie est attaché à unechaîne 35 m de long. Peut-il atteindre l’osenterré à 5 mètres du mur extérieur dujardin ?

Ex.3.Un toit a deux pans égaux, de 6.3 mètres chacun. Chaque pan dépasse d'un mètre le mur de la maison. La largeur de la maison est de 9 mètres. Calculez la hauteur x qui représente la plus grande distance entre le sol du grenieret le faîte du toit.

Ex.4.Calculez la longueur inconnue des triangles rectangles représentés sur les croquis ci-dessous :a) d)

b) e)

c)

Ex.5.On construit deux carrées. On obtient aussi quatre triangle rectangles (voir la figure). Les côtés de ces carrés mesurent respectivement a+b et c.

a) Calculez l'aire du grand carré (de côté a+b) de deux manières différentesb) Développez et simplifiez la relation trouvée à la question (a)..

RÉPONSES: www.dcpe.net/video/maths/ma1-thm pythagore2.mp4

Ex.6.On considère un triangle UVW, tel que UV = 9900, VW = 2000 et UW = 10100

Ce triangle est-il un triangle rectangle ? Si oui, indiquez son hypoténuse.

Ex.7.On considère un triangle UVW, tel que UV = 10000, VW = 3000 et UW = 13000Ce triangle est-il un triangle rectangle ? Si oui, indiquez son hypoténuse.

Ex.8.Voici les dimensions du trapèze ci-contre :

a = 20 cmb = 25 cmc = 13 cm

Calculez le périmètre de ce trapèze.

RÉPONSES: La hauteur du trapèze mesure 12 cm.

Son périmètre mesure 70 cm.

c

a

b

Ex.9.On considère un triangle ABC, rectangle en A, tel que AB=3cm et AC =2cm Calculez BC en justifiant.

RÉPONSES: BC= 3,6

Ex.10.Faites un dessin avant de résoudre les situations.

a) Dans un triangle rectangle, les cathètes mesurent 6 cm et 8 cm. Calculez l'hypoténuse.

b) Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 25 cm et l'une des cathètes mesure 24 cm. Calculez la longueur de l'autre cathète.

c) Les côtés d'un triangle mesurent 45 mm, 200 mm et 205 mm. Ce triangle est-il rectangle ?

d) Calculez le périmètre d'un triangle isocèle, sachant que la hauteur "axe de symétrie" mesure 4 cm et la base 6 cm.

e) Calculez la hauteur d'un triangle équilatéral de périmètre p centimètres.Application numérique : p = 36 cm

f) L'aire d'un triangle isocèle, mesure 180 cm2, sa base mesure 40 cm. Calculez son périmètre.

g) Calculez l'aire d'un trapèze isocèle, sachant que ses bases mesurent respectivement 18 cm et 30 cm et que son périmètre est de 78 cm.

RÉPONSES: a) 10 b) 7 c)Oui d)P=16

e) h=√3 p6

application numérique : h=6√3≅10,39 cm

f) P≅83,86 cm g) A ≅329,95 c m2

Série 3 1MA / Géométrie / Septembre 2016

Objectifs

✔ Résoudre des problèmes faisant intervenir les rapports de similitude et le théorème de Thalès.

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Ex.1.Thalès de Milet : Philosophe et mathématicien grec (Milet, Ionie, auj. en Turquie, v. 625av. J.-C. — v. 547 av. J.-C.). Thalès, l’homme de l’ombre (Texte tiré du livre : Le théorème du perroquet – Denis Guedj.)

« La hauteur de la pyramide était impossible à mesurer. Elle était la construction la plus visible du monde habité et elle était la seule à ne pouvoir êtremesurée ! Thalès voulu relever le défi… »

Données connues : La base de la pyramide est un carré de 440 coudées égyptiennes de côté. Une coudée égyptienne mesure environ 52 cm. Thalès mesurait 3,25 coudées égyptiennes de haut.

En supposant que les rayons du soleil sont parallèles entre eux, Thalès trouva que :- son ombre faisait 3 coudées égyptiennes ;- l’ombre de la pyramide faisait 42 coudées.

Trouvez la hauteur de la pyramide en coudées et en mètres ! Corrigé :

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Ex.2.a) Déterminez les triangles qui sont semblables.

b) Écrivez le théorème de Thalès.

c) Déduisez-en les valeurs des longueurs DE et CE.

Ex.3.Calculez les valeurs de x et y :

Ex.4.

BB' // CC'AB = 33 cmAC = 55 cmAB' = 39 cm

Calculez AC'.

Ex.5.NN' // PP'MN = 32 mmNP = 48 mmMP' = 105 mm

Calculez MN'.

Ex.6.

En rentrant chez elle, Christiane s'arrête et veut calculer la distance qui la sépare de son immeuble. Pour cela, elle prend sa gomme (qui mesure 4 cm) et la tient à bout de bras verticalement en fermant un œil. Sa gomme lui masque alors un bout de l'immeuble correspondant à deux étages.

Sachant que sa gomme est à 50 cm de son œil et qu'un étage mesure 3 m, calculez la distance que Christiane doit encore parcourir pour arriver chez elle.

Ex.7.

Une échelle est posée contre un mur et une caisse cubique de 1 m de côté. La distance entre le bas de l'échelle et la caisse estde 1,40 m. Calculez, si possible, la distance entre le haut de l’échelle et le sol.

Ex.8.Calculez la profondeur du puits sur l’illustration ci-contre. BC= 1,20m BT= 1m OT= 1,50 m

Ex.9.Au dessus d’un meuble de 1,70 m de haut et de 75 cm de profond, on a placé un spot lumineux. L’ombre du meuble s’étend sur 1,30 m. A quelle hauteur est fixé ce spot ?

Ex.10.Sur le croquis ci-dessous, d1 // d2.

Calculer les valeurs de x et y. Unité : cmJustifier clairement les calculs.

RÉPONSES: : x = 64

3 21.3 cm y = 28 cm

Ex.11.Dans la figure ci-dessous il y a trois triangles rectangles.

- Montrez que ces trois triangles sont semblables.

- Calculez x et y.

RÉPONSES: x = 4 cm y =12

5= 2,4 cm

5 cm

3 cmy

x

h = ?

Série 4 1MA / Géométrie / Septembre 2016

Objectifs✔ Résoudre des problèmes faisant intervenir le théorème de la hauteur, d’Euclide, de Pythagore et

de Thalès. http://dcpe.net

Ex.1.

Cherchez les valeurs manquantes :a)

b)

c)

RÉPONSES:

a) a=1,47 / h=2,04 / a= 2,51 / b=3,48b) a’=2,94 / c=8,11 / b=6, 46c) h=4,8 / b’=13,3 / c=15,03

Ex.2.

Soit ABCD un rectangle de diagonale DB=3 E est l'intersection de la perpendiculaire à (BD) passant par A F est l'intersection de la perpendiculaire à (BD) passant par FSachant que DE=EF=BF, calculez les dimensions du rectangle et les longueurs AE et CF

Ex.3.

ABCD un rectangle tel que AB= 6 cm et AD= 8 cm. Calculez la (plus courte) distance d quisépare A de la diagonale BD.

Ex.4.Déterminez MP sachant que ABCD est un rectangle.

RÉPONSES: MP=81,86 / DP=39,69

Ex.5.

Calculez les longueurs c, a', b' et h. Indication a= 3 cm et b=4 cm

RÉPONSES: c=5 a'=1,8 b'=3,2 h'=2,4

Ex.6. Les pyramides égyptiennes de Gizeh sont des pyramides à base carrée.

SC= 220 m et AB= 231 m

a) Calculez la hauteur et le volume de la pyramide de Kheops .

b)Quelles sont les dimensions d'un cube (longueur d'une arrête) ayant le même volume que cette pyramide ?

c) Si le cube représentait un immeuble d'habitation. Combien aurait-il d'étages (un étage environ 3m)?

RÉPONSES:

a) hauteur=147m Volume=airebase ∙ hauteur

3=2614689m3

b) arrête : 138 m c) 46 étages (1 étage = 3 m)

Ex.7.

a) Calculez l AH, AB, AC ET CD

On donne BH= 2 cm , CH= 8 cm et BD= √ 5 cm

AB

S

CD

IM

=

=

Ex.8.Calculez l'aire de la surface hachurée.

Les droites (AD) et (CB) sont parallèles.

Ex.9.Sachant que CE= 111 km , BC=35km et ED= 36kma) Calculez AB et BDb) Calculez l'aire de la surface hachurée.

RÉSOLUTION EX. 8 :

RÉSOLUTION EX. 9 :

Série 5 1MA / Géométrie / Travail de groupe /Septembre 2016

Objectifs✔ Comprendre la signification du sinus, du cosinus et de la tangente

Voir : travail de groupe

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Série 6 1MA / Géométrie / Septembre 2016

Objectifs✔ Utiliser les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles ✔ Résoudre des problèmes divers avec le sinus, le cosinus et la tangente

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Ex.1.DEF est un triangle rectangle en D tel que l'angle DEF est de 30 ° et DF =5dmQuelle est la mesure du segment [EF] ?

RÉPONSES: 10 m

Ex.2.TV est un triangle rectangle en J. On donne la longueur du segment [TV] = 5,9 cm et l’angle en T mesure 48° .Calculez la longueur du segment [TJ] à 0,01cm près.

RÉPONSES: 3.95 cm

Ex.3.OWT est un triangle rectangle en TOn donne la longueur du segment [OW] =5,8cm et l’angle en W mesure 26° .Calculez la longueur du segment [OT] à 0,01cm près

Ex.4.Trouvez la valeur de chacune des inconnues (attention : il s'agit de croquis!)

Réponse au centième (1/100).

RÉPONSES: a) γ≅54,31 °α ≅35,69 ° b) x≅=26,82 β=34 °

c) γ≅ 49,90° β≅40,1 ° d) α=32 ° y≅34,77 x≅21,73

e) α≅45,91 ° β ≅44,09 ° x≅44,55 f) α=55 ° y ≅18,84 x≅13,19

g) α≅43,73 ° γ≅46,27 ° x≅12,73 h) α≅58,33 ° β≅31,67 ° x≅7,72

Ex.5.

Résoudre le triangle rectangle esquissé ci-dessus dans les cas suivants :a) α = 30° et a = 5 cm

b) α = 45° et b = 10 cm

c) γ = 50° et a = 2 cm

d) b = 5 cm et c = 4 cm

e) a = 7 cm et b = 7 5 cmRÉPONSES:

a) γ = 60° c = 8,66 cm b = 10 cm

b) γ = 45° a = c = 5 2 cm

c) α = 40° c = 2,38 cm b = 3,11 cm

d) a = 3 α = 36,87° γ = 53,13°

e) c = 14 cm α = 26,57° γ = 63,43°

Ex.6.Un géomètre observe qu’en un point A, placé au niveau du sol à une distance de 7,5 m de labase B d’un mât, l’angle entre le sol et le sommet du mât est 30°. Calculez la hauteur h dumât arrondie au dixième de centimètre.

RÉPONSES: 4,33 m

Ex.7.Stonehenge, dans les plaines de Salisbury, en Angleterre, a été construit à l’aide de blocsde pierre solide pesant plus de 45'000 kg chacun. Pour soulever une seule de ces pierres, il a fallu 550 personnes qui poussaient la pierre le long d’une rampe inclinée d’un angle de 9°. Calculez sur quelle distance la pierre a été déplacée pour la dresser à une hauteur de 9m.

RÉPONSES: 57,5 m

Ex.8.Une personne manœuvrant un cerf-volant tient le fil à 1 m au-dessus du sol. Le fil du cerf-volant est tendu et forme un angle de 60° avec l’horizontale (voir dessin).Calculez la hauteur du cerf-volant par rapport au sol, si on laissedérouler 150 mètres de fil.

RÉPONSES: 131 m

Ex.9.

Pour déterminer la distance d séparant deux points P et Q situés sur les rives opposées d’un lac, un géomètre repère un point R situé à 50 mètres du point P et tel que RP soit perpendiculaire à PQ, comme le montre la figure. Puis à l’aide d’un théodolite, le géomètre mesure l’angle PRQ à 72° .

Déterminez d.

RÉPONSES: 160 m

Ex.10.Une fusée est lancée à partir du niveau de la mer et parcourt 3'000 m suivant un angle constant de 75°. Calculer son altitude au mètre près.

RÉPONSES: 2898 m

Ex.11.Un pont basculant a une longueur de 45 mètres lorsqu’il est déployé au-dessus d’une rivière. Comme le montre le dessin, les deux sections du pont peuvent être relevées d’un angle de 35°.a) Si le niveau de l’eau est à 5 m sous le pont abaissé, calculez la distance d entre

l’extrémité d’une section et l’eau quand le pont est entièrement levé (35°).b) Quelle est la distance approximative entre les extrémités des deux sections quand

le pont est entièrement levé, comme le montre le dessin ?

RÉPONSES: a) 17,9 m b) 8,1 m

Série 7 1MA / Géométrie / Septembre 2016

Objectifs✔ Utiliser les propriétés des fonctions trigonométriques ✔ Résoudre des problèmes divers avec les fonctions trigonométriques✔ Trouver les valeurs du sinus , du cosinus et de la tangente pour des angles particuliers (30°,45° et 60°)

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Ex.1.Voici deux propriétés des fonctions trigonométriques :

1) cos(α))2 + (sin(α))2 =1 ou de manière plus allégée cos2 (α) + sin2 (α) =1

2) tan(α)= sin(α )

cos(α )

Démontrez ces deux propriétés.

Ex.2.

Indiquez dans quel ordre et à l'aide de quelle formule il est possible de calculer chacune des grandeurs inconnues de la figure ci-dessus. (Aucun calcul n'est demandé.)

Déterminez, avec un minimum de calculs, x, y, z, α, β, γ et δ.

RÉPONSES: α = γ = 14,04° β = δ = 75,96° x = 48 y = 12 17 49,48 z = 3 17 12,37

α

β

γδ

x 12

y

z

3

Ex.3.

Deux frères, séparés par une distance de 80 mètres, observent un ballon selon le schéma ci-dessus.

- A quelle hauteur se trouve la nacelle ?

- (facultatif) Quel est le nom de famille de ces deux Ardéchois* célèbres ?* Ils inventèrent le ballon à air chaud en 1783, soit 6 ans avant la révolution française.

RÉPONSES: cette hauteur mesure environ 32,95 mètres.

Ex.4.Calculez les angles du triangle :

RÉPONSES: Les angles de ce triangle sont 34°, 44,4° et 101,6°

45° 35°

?

80 mEtienne Joseph

4 5

7

Ex.5.Pour calculer la hauteur h d'un peuplier, dont le pied est inaccessible, un amateur effectue deux mesures d'angles et une mesure de longueur selon le schéma ci-dessous.

- Posez le système d'équations qui permet de calculer la hauteur h.

- Quelle est la hauteur de cet arbre ?

- Un professionnel lui suggère de se placer en un point en lequel l'angle mesuré soit de 45°. Pourquoi ?

REPONSES : x = 10tg(30)

tg(40) – tg(30) 22,06 m h =

10tg(30)tg(40)

tg(40) – tg(30) 18,51 m

Avec un angle de 45° (au lieu de 40), nous aurions h = x.Il n'y aurait qu'une inconnue dans ce problème.

Ex.6.a) Trouvez les valeurs du sinus , du cosinus et de la tangente pour les angles de 30°, 45°et 60° à l’aide des figures suivantes :

Carré de longueur de côté b

sin(45)= b

cos(45) = 45° btan(45)=

Triangle équilatéral de longueur de côté a

sin (30) =

30° cos(30)= a tan(30) = 60°

sin(60)=

cos(60)=

tan(60)=

b) Comparez les valeurs obtenues avec celles de la table CRM.