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PCSI 2 Machines thermiques

2012 – 2013 1/9

MACHINES THERMIQUES

I Un climatiseur est une machine thermique ditherme. Elle décrit des cycles réversibles à partir de deux "sources" thermiques constituées d'une part par l'air extérieur de température invariable Text = 298 K et d'autre part par une pièce de température initiale Ti (Ti = Text) que l'on désire porter à la température Tf = 293 K. Déterminer le travail électrique nécessaire au bon fonctionnement de la machine sachant que la capacité thermique de la pièce est évaluée à C = 5.103 kJ.K-1. Quel est le temps nécessaire à la mise en température de la pièce pour une puissance électrique de 250 W ?

Réponse : W = C ( Tf - Text + Text Ln

€

TextT f

).

II Un moteur thermique fonctionne de façon réversible entre deux sources dont les températures Tc et Tf (Tf < Tc) peuvent évoluer au cours du temps à cause des échanges thermiques avec la machine. La source froide est constituée par une masse M = 100 kg d’eau en totalité à l’état de glace fondante à la température Tf0 = 273 K. La source chaude est constituée par une masse 2M d’eau liquide à la température Tc0 = 373 K. On donne :

Capacité thermique massique de l’eau liquide C = 4,18 kJ.K-1.kg-1. Chaleur latente massique de fusion de la glace à la température Tf0 : L = 335,6 kJ.kg-1.

On donnera la valeur numérique de toutes les grandeurs demandées.

1) Déduire d’un bilan entropique effectué sur la machine la température Tc1 de la source chaude lorsque la totalité de la glace de la source froide a fondu. 2) Calculer dans ce cas le travail total W1 fourni par le moteur. 3) Le moteur s’arrête de fonctionner lorsque les deux sources sont à la même température T0. Calculer T0. 4) Calculer le travail total W2 fourni par le moteur depuis le début de son fonctionnement jusqu’à ce qu’il s’arrête. 5) Calculer le rendement thermique global η du moteur. 6) Calculer le rendement thermique η0 du moteur si l’on avait maintenu constantes les températures initiales de chacune des deux sources.

Réponse : Tc1 = 322 K ; W1 = - 9,076.106 J ; T0.= 304,8 K ; W2 = - 1,021.107 J ; η = 0,18 ; η0 = 0,27. III Le fluide d’une pompe à chaleur décrit de façon réversible un cycle de Carnot constitué de deux évolutions adiabatiques AD et BC et de deux évolutions isothermes AB et DC (cf. le diagramme p(pression), V (volume) représenté sur la figure ci-contre). Au cours de chaque évolution isotherme AB, le système échange la quantité de chaleur

€

δQc avec une source chaude constituée par l’air ambiant d’une pièce de capacité thermique totale C que l’on désire chauffer. La température de la pièce à l’instant t est notée T(t). Au cours de chaque évolution isotherme DC, le système échange la quantité de chaleur

€

δQfavec une source froide constituée par l’air extérieur à la pièce dont la température constante est notée

€

Text . On peut considérer que la température T(t) de la source chaude reste constante au cours d’un cycle (de durée dt) et qu’elle augmente de dT à chaque cycle. On désigne par P la puissance mécanique totale constante fournie au système.

1) Pour que la machine fonctionne en pompe à chaleur qui réchauffe la pièce : * il faut que le cycle soit décrit dans le sens ADCBA. * il faut que le cycle soit décrit dans le sens ABCDA. * le sens de parcours du cycle n’a aucune importance. * on doit nécessairement avoir

€

T (0) >Text . Quelle est (ou quelles sont) parmi ces 4 affirmations celle(s) qui vous semble(nt) correcte(s) ? Justifier.

2) L’efficacité thermique

€

η(t) de la pompe est définie par le rapport

€

η = −δQcδW

où

€

δW est le travail total échangé au cours d’un

cycle. Exprimer

€

η(t) en fonction de T(t) et

€

Text .


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3) On suppose, dans un premier temps, que la pièce est thermiquement isolée de l’extérieur et que sa température initiale est

€

T (0) =To >Text . Calculer l’intervalle de temps

€

t1 pendant lequel la pompe à chaleur doit fonctionner, à puissance mécanique constante, pour que la température de la pièce atteigne la valeur

€

T1 >To, en fonction de C, P,

€

T1,

€

T0 et

€

Text . 4) On suppose maintenant que la puissance

€

P est directement fournie à une résistance chauffante de capacité thermique négligeable et que la pièce est initialement à la température

€

To. Calculer l’intervalle de temps

€

t2 au bout duquel la température de la pièce atteint la valeur

€

T1, en fonction de C, P,

€

T1 et

€

To. 5) On suppose maintenant que la pièce présente une fuite thermique. Lorsque sa température est

€

T (t) ,elle échange avec l’extérieur, pendant l’intervalle de temps

€

dt , une quantité de chaleur

€

δQ = −kC (T (t) −Text )dt où k est une constante. La pompe est arrêtée lorsque la température de la pièce vaut 295 K alors que

€

Text = 290 K .On constate qu’au bout de 3 heures la température de la pièce a chuté de 3°C. Calculer la valeur de k en s-1. 6) Montrer que la température maximale

€

Tmax qu’il est possible d’obtenir dans la pièce en présence de la fuite thermique lorsque la pompe fonctionne et que le régime permanent est établi, peut se déduire d’une équation en

€

Tmax que l’on donnera (on ne demande pas de résoudre cette équation).

Réponse : ADCBA et

€

T (0) >Text ;

€

η(t) =T (t)

T (t) −Text ;

€

t1 =CPT1 −To −TextLn

T1To

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ;

€

t2 =CPT1 −To( ) ; k = 84,8.10-6 s-1 ;

€

Tmax2 − 2 Text +

P2kC

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ Tmax +Text

2 = 0 .

IV A propos du stockage des déchets nucléaires Le stockage des déchets radioactifs constitue un problème majeur dans la poursuite du programme nucléaire des nations. De nombreuses solutions sont à l’étude. Une d’entre elles a pour but d’enfouir, dans la roche, ces résidus inutilisables en les incorporant au béton. On se propose, ici, d’étudier un des problèmes posés par cette méthode : le contrôle de la production de chaleur.

Les parties A et B sont totalement indépendantes.

Partie B

Refroidissement de la salle de stockage Une installation frigorifique assure le maintien de la cellule (ou salle) de stockage des déchets à une température modérée. Un fluide (fréon) permet, en décrivant un cycle supposé quasi-statique, de prélever de l’énergie à l’intérieur de la salle et de céder de l’énergie à une source extérieure.

• A la sortie de l’évaporateur (radiateur échangeur) E, la vapeur sèche, tout juste saturante à la pression P1 et à la température T1 (état A), est entraînée dans le compresseur P où elle est comprimée jusqu’à la pression P2 et la température T’2 (état B). La compression AB est considérée comme isentropique.

• Maintenu sous la pression constante P2, le fluide, entièrement gazeux, pénètre dans le condenseur (radiateur échangeur) C où il se refroidit, puis se liquéfie totalement. A la fin de cette étape, l’état du corps pur est caractérisé par les paramètres P2 et T2 (état C).

• Le liquide passe ensuite dans le détendeur D, dans lequel il subit une détente isenthalpique (absence de pièces mobiles) en se vaporisant partiellement : soit x le titre (ou fraction) massique en vapeur. Au terme de cette étape, l’état du corps pur est caractérisé par les paramètres P1 et T1 (état D).

• Ce mélange liquide-vapeur pénètre ensuite dans l’évaporateur E, où il achève, à pression constante, de se vaporiser à l’état de vapeur saturante (état A).

Hypothèses de travail :

• Le groupe fonctionne en régime permanent. L’énergie cinétique du fluide et l’action de la pesanteur sont négligées. • h est l’enthalpie de l’unité de masse (1 kg) de ce corps pur (ou enthalpie massique). • cl est le cœfficient thermique massique (constant) du fréon liquide. • P*(T) est la pression de l’équilibre liquide-vapeur du corps pur, ou pression de vapeur saturante, à la température T. • La chaleur latente (massique) de vaporisation du fluide, à la température T, est notée LV(T). • Le corps pur gazeux, de masse molaire M, est supposé parfait. Sa caractéristique énergétique γ = cp,m/cv,m (rapport des

coefficients thermiques molaires, respectivement isobare et isochore) est constante. Données :


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T (K) 240 250 265 280 295 310 P*(T) (bar) 0,85 1,25 2,40 3,90 5,90 8,50

T1 = 240 K LV(T1) = 170 kJ.kg-1 P1 = 0,85.105 Pa T2 = 310 K LV(T2) = 130 kJ.kg-1 P2 = 8,50.105 Pa M = 120.10-3 kg.mol-1 γ = 1,20 cl = 1,00 kJ.K-1.kg-1 R = 8,31 J.mol-1.K-1 (constante des gaz parfaits)

1) Diagramme du corps pur a) Soit u le volume massique du corps pur. Représenter l’allure du cycle dans le diagramme P = f(u) du corps pur. On y fera figurer la courbe de saturation du fluide, les isothermes, ainsi que les points A, B, C et D. b) Représenter l’allure du cycle dans le diagramme P = f(T) du corps pur. On y représentera la courbe d’équilibre P*(T) ainsi que les points A, B, C et D.

2) Compression

a) Exprimer, en fonction de T1, P1, P2 et γ, la température T’2 du fréon à la sortie du compresseur P. b) Le travail massique w, reçu par l’unité de masse de corps pur ayant transité dans le compresseur, est égal à la variation d’enthalpie massique ΔhAB de ce fluide. Donner, en fonction de T1, T’2, M, R et γ, l’expression de w. c) Application numérique : calculer T’2 et w.

3) Refroidissement et liquéfaction dans le condenseur (B → C)

a) Donner la température d’apparition de la première goutte de fréon liquide. b) Exprimer, en fonction de T2, T’2, M, R, γ et LV(T2), l’expresssion de la variation d’enthalpie massique ΔhBC du fluide. c) Application numérique : calculer ΔhBC.

4) Détente isenthalpique (C → D)

a) Le fréon entre liquide à la température T2 dans le détendeur D, et en sort sous forme de mélange liquide-vapeur à la température T1. La détente est isenthalpique. Soient hliq et hvap les enthalpies massiques du corps pur, respectivement liquide et vapeur. Donner la relation entre hliq(T2), hliq(T1), hvap(T1) et x. b) Le liquide étant de volume massique constant, il n’échange que de la chaleur avec l’extérieur : la variation d’enthalpie du liquide est approximativement égale à la variation d’énergie interne. Pour cette détente, quelle relation peut-on écrire entre Δhliq,CD, cl, T1 et T2 ? c) Exprimer, en fonction de cl, T1, T2 et LV(T1), la fraction massique de vapeur x à la sortie du détendeur. d) Application numérique : calculer x.

5) Fin de la vaporisation (D → A)

a) Donner, en fonction de x et de LV(T1), la quantité de chaleur ΔhDA reçue par 1 kg de corps pur au cours de cette étape. b) Application numérique : calculer ΔhDA.

6) Bilan énergétique du cycle

a) Vérifier, numériquement, le bilan enthalpique du cycle. b) Définir l’efficacité frigorifique εfr de l’installation. c) Application numérique

α) Calculer εfr. β) Pour maintenir, en régime stationnaire, une cellule de stockage de déchets à température constante, il est nécessaire de prélever une puissance thermique de 105 W. Calculer la puissance mécanique moyenne à fournir au fluide. γ) Calculer la valeur correspondante de Dm, débit massique moyen du fréon, dans le circuit.

Réponse :

€

T '2 =T1P1P2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1−γγ

;

€

w =γR

γ −1( )MT '2 −T1( ) ;

€

ΔhBC =γR

γ −1( )MT2 −T '2( ) − LV T2( ) ;

€

x hvap T1( ) − hliq T1( )[ ] + hliq T1( ) − hliq T2( ) = 0 ;

€

x =cl T2 −T1( )LV T1( )

;

€

ΔhDA = 1− x( )LV T1( ) ; εfr.=

€

ΔhDAw

= 2,14 ; Pméca = 46,65 kW ;

Dm = 1 kg.s-1. V Une pompe à chaleur effectue le cycle de Joule inversé suivant :

* L’air pris dans l’état A de température

€

To et de pression

€

Po est comprimé suivant une adiabatique quasi-statique (ou réversible) jusqu’au point B où il atteint la pression

€

P1. *Le gaz se refroidit à pression constante et atteint la température finale de la source chaude,

€

T1, correspondant à l’état C.


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* L’air est ensuite refroidi dans une turbine suivant une détente adiabatique quasi-statique (ou réversible) pour atteindre l’état D de pression

€

Po. * Le gaz se réchauffe enfin à pression constante au contact de la source froide et retrouve son état initial A.

On considère l’air comme un gaz parfait de coefficient isentropique

€

γ = 1,4 .

On posera

€

β = 1− 1γ

et

€

a =P1Po

.

Pour les applications numériques, on prendra :

€

To = 283K (10°C) ,

€

T1 = 298K (25°C) ,

€

R = 8,31J .K−1.mol−1 (constante des gaz parfaits),

€

a = 5.

1) Représenter le cycle parcouru par le fluide dans un diagramme de Clapeyron

€

(P,V ) . 2) Exprimer les températures

€

TB et

€

TD en fonction de

€

To,

€

T1,

€

a et

€

β . Calculer leurs valeurs. 3) Définir l’efficacité

€

e de la pompe à chaleur à partir des quantités d’énergie échangées au cours du cycle. Montrer qu’elle s’exprime seulement en fonction de

€

a et

€

β . Calculer sa valeur. 4) Quelles doivent être les transformations du fluide si on envisage de faire fonctionner la pompe à chaleur suivant un cycle de Carnot réversible entre les températures

€

To et

€

T1 ? Etablir l’expression de son efficacité

€

er en fonction de

€

To et

€

T1. Calculer sa valeur. 5) Comparer les valeurs obtenues pour

€

e et

€

er . Interpréter la différence observée. 6) Donner l’expression de l’entropie créée,

€

si , pour une mole d’air mise en jeu dans le parcours du cycle de Joule inversé, en

fonction de

€

x =Toa

β

T1,

€

R et

€

β . Etudier le signe de cette expression pour

€

x ≥ 0. Calculer sa valeur.

7) La pompe à chaleur envisagée est utilisée pour chauffer une maison. Sachant qu’en régime permanent les fuites thermiques s’élèvent à

€

˙ Q f = 20 kW , calculer la puissance mécanique du couple compresseur-turbine qui permet de maintenir la maison à température constante.

Réponse : TB = To aβ ; TD = T1 a−β ;

€

e =QBC

QBC +QDA= 1− a−β( )−1 ;

€

er =T1

T1 −To ;

€

si =Rβ

x +1x− 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ; P = 7,37 kW.

VI Étude d'une centrale nucléaire

Partie A - Étude du cycle de Carnot On considère une masse

€

m de gaz parfait qui décrit le cycle moteur de Carnot, constitué de deux isothermes et de deux adiabatiques réversibles. On appelle

€

TC la température de la source chaude et la température

€

TF de la source froide. On prendra

€

TC = 300°C et

€

TF = 30°C . 1)

a) Représenter le cycle de Carnot dans un diagramme

€

T ,S( ) et un diagramme

€

P,V( ) . Justifier brièvement vos tracés. b) Dans quel sens les cycles sont-ils parcourus ? Justifier votre réponse.

2) a) Représenter sur deux schémas le sens algébrique et le sens effectif des échanges d'énergie. Expliquer brièvement le principe de fonctionnement d'un moteur. b) Exprimer l'efficacité

€

ηC de ce cycle en fonction de

€

TC et de

€

TF et la calculer numériquement.

Partie B - Étude du cycle de Rankine

1) Soit un système ouvert constitué par le fluide contenu dans un des composants d'un cycle (compresseur ou générateur de vapeur ou pompe …). Le fluide reçoit par unité de masse un travail utile

€

wu et un transfert thermique

€

qe . On raisonnera sur un système fermé convenablement défini. On se place dans l'hypothèse du régime permanent et on néglige les variations d'énergie potentielle et d'énergie cinétique. Montrer que la variation d'enthalpie massique entre l'entrée et la sortie vaut :

€

Δh = wu + qe .


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2) Le cycle de Rankine (figure 6) est le cycle de base des centrales nucléaires. La pompe d'alimentation porte l'eau liquide saturante (état 0) de la basse pression

€

P0 du condenseur à la pression

€

P1 du générateur de vapeur (GV) de façon adiabatique réversible (état 1). L'eau liquide comprimée entre ensuite dans le générateur de vapeur, isobare, où elle est chauffée jusqu'à la température

€

T2 du changement d'état (état 1’), puis totalement vaporisée (état 2). La vapeur saturante produite subit ensuite une détente adiabatique réversible (2-3) dans une turbine. Le fluide pénètre ensuite dans le condenseur isobare pour y être totalement condensé (état 0) à la température

€

T1. On appelle

€

Tcritique la température critique de l'eau. On négligera le travail consommé par la pompe devant les autres termes énergétiques de l'installation. On donne

€

T1 = 30°C :

€

T2 = 300°C ; et

€

Tcritique = 374°C . a)

€

v désignant le volume massique du fluide, représenter dans le diagramme

€

P,v( ) la courbe de saturation ainsi que les isothermes

€

T1,

€

T2 et

€

Tcritique . Comment s'appelle le diagramme

€

P,v( ) ? Préciser les domaines du liquide et de la vapeur. Donner le nom des différentes courbes. Définir et situer le point critique. b) Représenter l'allure du cycle décrit par le fluide dans le diagramme

€

P,v( ) . 3) Calcul de l'efficacité avec des tables incomplètes On supposera dans cette question l'eau liquide incompressible de capacité thermique

€

cl massique constante. On note

€

lv T2( ) la chaleur latente massique de vaporisation à la température

€

T2. On donne :

€

cl = 4,18kJ .K−1.kg−1 et

€

lv T2( ) = 1404kJ.kg−1 . a) Exprimer l'efficacité du cycle en fonction des transferts thermiques massiques

€

qcond et

€

qGV échangés respectivement dans le condenseur et le générateur de vapeur. b) Exprimer

€

qGV en fonction de

€

lv T2( ) ,

€

cl ,

€

T1 et

€

T2. c)

i) Exprimer

€

qcond en fonction de

€

T1 et

€

s0 − s3 . ii) Montrer que

€

s0 = s1 et

€

s3 = s2 . iii) En déduire

€

qcond en fonction de

€

T1,

€

T2,

€

cl et

€

lv T2( ) . d) Exprimer l'efficacité de Rankine

€

η en fonction de

€

T1,

€

T2,

€

cl et

€

lv T2( ) . Calculer numériquement

€

η. e) Comparer à l'efficacité de Carnot.

4) Calcul de l'efficacité avec des tables complètes On donne ci-dessous des extraits de tables thermodynamiques pour l'eau :

€

s est exprimé en

€

kJ.K−1.kg−1;

€

h est exprimé en

€

kJ.kg−1 .

€

Psat désigne la pression de vapeur saturante exprimée en bar. On admet que

€

h1 = h0 .

Liquide saturant

Vapeur saturante Psat en bar

Température en °C

s h s h 85,9 300 3,24 1345,0 5,57 2749 0,04 30 0,44 126,0 8,46 2566,0

a) Déterminer le titre massique et l'enthalpie massique de la vapeur à la sortie de la turbine. b) Calculer l’efficacité du cycle. Conclure sur les deux valeurs de l’efficacité calculées. c) Dans quel état se trouve le fluide à la fin de la détente dans la turbine ? Pourquoi est-ce un inconvénient pour les parties mobiles de la machine ?


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Partie C - Étude du cycle de Hirn

1) Par rapport au cycle de Rankine, on ajoute un surchauffeur (2 - 2') qui fonctionne lui aussi de façon isobare. On donne

€

T1 = 30°C :

€

T2 = 300°C ; et

€

T2' = 500°C .

a) Représenter l'allure du cycle de Hirn (figure 7) décrit par le fluide dans le diagramme

€

P,v( ) . On supposera que l'eau à la sortie de la turbine est sur le palier d'équilibre liquide-vapeur à

€

T1. b) Expliquer qualitativement l'effet du surchauffeur sur les parties mobiles de la machine.

2) Calcul de l'efficacité avec des tables complètes On donne ci-dessous des extraits de tables thermodynamiques pour l'eau :

€

s est exprimé en

€

kJ.K−1.kg−1;

€

h est exprimé en

€

kJ.kg−1 .

Liquide saturant

Vapeur saturante Psat en bar

Température en °C

s h s h 85,9 300 3,24 1345,0 5,57 2749 0,04 30 0,44 126,0 8,46 2566,0

Vapeur sèche à

€

500°C et

€

85,9bar :

€

h = 3480kJ .kg−1 ;

€

s = 6,75kJ .K−1.kg−1. On admet que

€

h1 = h0 . a) Déterminer le titre massique et l'enthalpie massique de la vapeur à la sortie de la turbine. b) Calculer l'efficacité du cycle. Conclure sur les deux valeurs de l'efficacité calculées. c) Donner deux avantages du cycle de Hirn par rapport au cycle de Rankine.

Réponse :

€

ηC = 1− TFTC

= 47% ;

€

η = 1+qcondqGV

;

€

qGV = cl T2 −T1( ) + lv T2( ) ;

€

qcond =T1 so − s3( ) ;

€

qcond = −T1lv T2( )T2

+ clLnT2T1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ;

€

η = 38,8% < ηC ;

€

x3 = 64% ;

€

h3 = 1687kJ /kg ;

€

η = 40,5% ;

€

x'3 = 79% ;

€

h'3 = 2046kJ /kg ;

€

η'= 42,8%.

VII Réfrigérateur

Partie A : questions de cours de thermodynamique

Les questions de cours devront être rédigées avec le maximum de précision pour obtenir les points attribués à la question. Le correcteur ne se contentera pas d’une simple formule mais attend des définitions précises et des explications claires.

1) Définir l’enthalpie d’un système thermodynamique soumis uniquement de la part de l’extérieur à des forces de pression. On précisera bien la signification de tous les termes de la définition. 2) Montrer qu’au cours d’une transformation isobare quasi-statique, la variation d’enthalpie d’un système thermodynamique fermé, soumis uniquement de la part de l’extérieur à des forces de pression, s’identifie à la chaleur échangée par le système avec le milieu extérieur. 3) Montrer qu’une transformation adiabatique réversible est aussi une transformation isentropique. On définira au préalable les termes « adiabatique », « réversible » et « isentropique ». 4) Tracer l’allure du diagramme (P, V) d’un corps pur (appelé aussi diagramme de Clapeyron) en définissant les divers domaines


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du diagramme ainsi que le nom des courbes. On se limitera aux zones correspondant au liquide et à la vapeur puis on placera des isothermes et le point critique.

Partie B : exercice d’application

Cet exercice utilise certains résultats des questions de cours précédentes. Le candidat pourra donc dans sa rédaction faire référence aux questions précédentes par exemple sous la forme : « d’après 1), on a … ». Un réfrigérateur fonctionne en utilisant la chaleur échangée par un fluide (fréon) avec le milieu extérieur lors de changements d’état. Le cycle du fluide est représenté de façon schématique dans le diagramme (P, h) de la figure ci-dessous.

Dans ce diagramme, l’ordonnée P représente la pression du fluide et l’abscisse

€

h son enthalpie massique. Attention : ce schéma est là uniquement pour aider à la compréhension du problème et ne respecte ni la forme exacte des courbes ni les échelles numériques. Il ne sera donc pas utilisé pour les calculs qui seront faits à l’aide des données du tableau. Aucune connaissance préalable de ce type de diagramme n’est nécessaire pour résoudre le problème, il suffit de faire l’analogie avec le diagramme de Clapeyron de la question de cours 4) de la partie précédente. Données numériques concernant les phases liquide et vapeur du fréon aux deux températures et pressions d’équilibre intervenant dans le cycle :

Pression (en bar) et Température (en K)

d’équilibre

Enthalpie massique du fréon

liquide (J.g-1)

Enthalpie massique du fréon

vapeur (J.g-1)

Entropie massique du fréon liquide

(J.K-1.g-1)

Entropie massique du fréon vapeur

(J.K-1.g-1) P1 = 2,50 T1 = 260

hL1 = 100 hV1 = 1,40.103 sL1 = 0,50 sV1 = 5,50

P2 = 10,0 T2 = 300

hL2 = 300 hV2 = 1,50.103 sL2 = 1,00 sV2 = 5,00

Capacité thermique massique du fréon liquide (supposée indépendante de la température et du type de transformation) :

€

Cl = 5,00 J .K−1.g−1. Remarque : les données ont été grossièrement arrondies de manière à permettre au candidat de faire les calculs à la main. Au point A, le fluide se trouve sous forme de vapeur saturée à

€

PA = P2 = 10,0bar et

€

TA =T2 = 300K . On raisonnera sur le système thermodynamique constitué d’une masse d’un gramme de fluide. Les diverses transformations sont les suivantes :

• Transformation AB supposé quasi-statique : partant du point A, on effectue une condensation à pression constante (jusqu’au point A’) suivie d’un refroidissement jusqu’à la température

€

TB = 290K au contact de la source chaude : le fluide est alors au point B, sous forme entièrement liquide.

• Transformation BC : détente adiabatique et isenthalpique jusqu’à

€

PC = P1 = 2,50bar et

€

TC =T1 = 260K .Le fluide est alors sous forme d’un mélange liquide-vapeur. Le fluide comprend alors

€

xv gramme de vapeur et

€

1− xv gramme de liquide.

• Transformation CD : évaporation partielle à température et pression constantes au contact de la source froide jusqu’à obtenir un mélange liquide-vapeur toujours à

€

PC = P1 = 2,50bar et

€

TC =T1 = 260K . Le fluide comprend alors

€

yv gramme de vapeur et

€

1− yv gramme de liquide. • Transformation DA : compression adiabatique réversible ramenant au point A.


2012 – 2013 8/9

5) Dans le cas d’un réfrigérateur domestique, qu’utilise-t-on en pratique comme source chaude ? Comme source froide ? 6) En utilisant les propriétés de la transformation DA et les valeurs du tableau, déterminer la valeur de

€

yv : a) En fonction de

€

sL1,

€

sV1,

€

sV 2 . b) Numériquement.

7) En déduire l’enthalpie massique

€

hD du système au point D : a) En fonction de

€

yv ,

€

hL1et

€

hV1 . b) Numériquement.

8) Montrer que l’enthalpie massique

€

hB au point B vaut

€

250 J .g−1 . On supposera le liquide incompressible. Le candidat qui n’arrivera pas à démontrer cette valeur pourra l’admettre pour la suite du problème. 9) En déduire la valeur de

€

xv : a) En fonction de

€

hB ,

€

hL1 et

€

hV1 . b) Numériquement.

10) Déterminer littéralement puis numériquement les quantités de chaleur suivantes échangées par le système avec l’extérieur : a)

€

QBC et

€

QDA , pour les transformations BC et DA. b)

€

QAB pour la transformation AB. c)

€

QCD pour la transformation CD. 11) En déduire le travail total W mis en jeu au cours du cycle :

a) En fonction des chaleurs calculées à la question 10). b) Numériquement c) Discuter du signe de ce travail. En pratique quel est le dispositif technologique d’un réfrigérateur qui apporte ce travail ?

12) Justifier la définition de l’efficacité du cycle :

€

e =QCDW

.

13) Calculer numériquement cette efficacité pour le cycle étudié. 14) En pratique dans un réfrigérateur quel est le dispositif technologique qui permet au fluide de faire la transformation BC ?

Réponse : :

€

yv = 0,9g ;

€

hD = 1270 J /g ;

€

xV = 0,12 g ;

€

QBC =QDA = 0 ;

€

QAB = −1250 J /g ;

€

QCD = 1020 J /g ;

€

W = 230 J /g ;

€

e = 4,4 . VIII Le refroidissement en thermodynamique Au travers de trois sous-parties indépendantes, on s’intéresse à divers procédés de refroidissement. On rappelle, pour un gaz diatomique, les expressions des capacités thermiques molaires respectivement à volume et pression constante

:

€

Cvm =52R et

€

Cpm =72R avec

€

R = 8,3J .mol −1.K −1 constante du gaz parfait.

1) Détente d’un gaz dans l’atmosphère Une mole de dioxygène, considéré comme un gaz parfait diatomique, se trouve à la pression

€

P = 2,0bar et à la température T = 280 K. On lui fait subir une brusque détente dans l’atmosphère de pression supposée constante

€

Po = 1,0bar . 1.1) Par quel(s) qualificatif(s), parmi les suivants, peut-on qualifier la transformation que subit la mole de dioxygène ? On justifiera sa réponse. - réversible ; - irréversible ; - isotherme ; - adiabatique ; - isobare ; - isochore. 1.2) Par application du premier principe de la thermodynamique, déterminer la valeur de la température T’ atteinte par le gaz à la fin de la détente. On remarquera que

€

P = 2Po. 1.3) Exprimer la variation d’entropie du gaz lors de cette transformation.

2) Climatisation d’un local Un cycle de Brayton inversé réalise un effet frigorifique. Lors de ce cycle, un gaz est comprimé, refroidi puis détendu. La température de fin de détente étant basse, ce gaz peut être utilisé pour refroidir une enceinte, soit par contact direct (notamment s’il s’agit d’air), soit par l’intermédiaire d’un échangeur. Ce type de dispositif a été jusqu’à récemment très utilisé dans les avions pour assurer la climatisation des cabines en vol. Il est également utilisé pour climatiser les très grosses installations qui nécessitent de grandes quantités de fluide caloporteur. Un cycle de Brayton inversé est formé de deux adiabatiques et de deux isobares. Il est supposé réversible et décrit par de l’air (assimilé à un gaz parfait diatomique). Dans cet exercice on considérera une mole d’air parcourant le cycle. On appelle

€

γ le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants.

• 1 à 2 : compression adiabatique réversible faisant passer le gaz de la pression

€

P1 à la pression

€

P2 ; • 2 à 3 : compression isobare ; • 3 à 4 : détente adiabatique réversible redonnant la pression

€

P1 au gaz ;


2012 – 2013 9/9

• 4 à 1 : retour isobare au point 1. 2.1) Tracer dans un diagramme de Clapeyron (ou diagramme P, V) le cycle de Brayton inversé. Justifier le fait qu’il soit adapté pour décrire un climatiseur. 2.2) Justifier sans calcul lourd le fait que la transformation 2 à 3 s’accompagne d’un refroidissement. 2.3) Pour les quatre transformations du gaz envisagées, exprimer le transfert thermique associé en fonction de R (constante du gaz parfait) et des températures

€

Ti (i = 1, 2, 3 ou 4) nécessaires. 2.4) Soit

€

η l’efficacité du climatiseur. Définir

€

η puis l’exprimer en fonction des transferts thermiques des différentes transformations du cycle.

2.5) On pose

€

a =P2P1

, appelé rapport de compression du cycle. Exprimer de nouveau

€

η uniquement en fonction de a et de

€

γ .

3) Utilisation des transitions de phase de l’eau On met de l’eau chauffée à la température

€

T1 = 300K dans une bouteille de volume

€

Vo , en ne remplissant la bouteille qu’au quart de sa capacité. La bouteille est ensuite fermée. On suppose que l’air enfermé avec l’eau dans la bouteille est parfaitement sec à l’instant initial et qu’il n’y aura pas de transfert thermique avec l’extérieur. On donne :

€

Psat = 70,0.102Pa la pression de vapeur saturante de l’eau, supposée constante dans l’intervalle de température étudié ;

€

Lv = 3,00.106J .kg−1 la chaleur massique de vaporisation de l’eau ;

€

cp = 4,20.103J .K −1.kg−1 la chaleur massique de l’eau liquide ;

€

Meau = 18g.mol −1 la masse molaire de l’eau ;

€

ρ = 1000 kg.m−3 la masse volumique de l’eau liquide. 3.1) Qualitativement, que va-t-il se passer dans la bouteille ? Que peut-on prévoir quant à la température finale du système ? 3.2) Au vu de la valeur numérique de

€

T1, que pouvez-vous dire de la quantité de matière de l’eau liquide qui va s’évaporer ? Que peut-on en déduire sur le volume de ce liquide restant à l’équilibre ?

On considèrera dans ce problème comme négligeables les chaleurs massiques de l’eau vapeur et de l’air vis-à-vis de celle de l’eau liquide. On admettra aussi que la transformation a lieu approximativement à P et V constants. On appelle

€

Teq la température à l’équilibre.

3.3) Exprimer en fonction de

€

Vo ,

€

R ,

€

Teq ,

€

Psat et

€

Meau la masse d’eau

€

me,v qui a été vaporisée à l’équilibre. 3.4) À l’aide d’un bilan énergétique et en négligeant tout transfert thermique avec l’extérieur, en déduire une expression de la variation de température

€

ΔT =Teq −T1 . L’évaluer numériquement en supposant que

€

ΔT = Teq −T1 <<Teq . Dans un laboratoire, pour obtenir un effet de refroidissement accru, on place dans un récipient aux parois athermanes (interdisant les transferts thermiques) une masse

€

mo d’eau liquide, à la température

€

To. La vapeur formée est éliminée par une pompe qui l’aspire lentement.

3.5) Expliquer qualitativement ce qui va se passer. 3.6) On cherche à évaluer les variations de masse de l’eau liquide. L’évaporation d’une masse

€

dm d’eau provoque une variation de température

€

dT à l’intérieur du récipient. Écrire l’équation différentielle liant

€

m(T ) ,

€

dm et

€

dT . 3.7) Pour le domaine de température considérée,

€

LV est une fonction affine de la température :

€

LV = a − bT , avec a et b des coefficients positifs. En déduire l’expression de la masse d’eau

€

m(T ) présente à la température T.

Réponse :

€

T '= 240K et

€

ΔS = 1,28J .K −1.mol −1 ;

€

T3 =T2V2V3

<T2 ;

€

Q12 =Q34 = 0 ;

€

Q23 =72R T3 −T2( ) ;

€

Q41 =72R T1 −T4( ) ;

€

η =Q41W

= −Q41

Q23 +Q41=

1

aγ −1γ −1

;

€

me,v =3MeauPsatVo4RTeq

;

€

ΔT ≈ −3MeauPsatLvρRcpT1

≈ −0,11K ;

€

mcpdT + dmLv = 0 ;

€

m(T ) = mobT − abTo − a⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

c pb

.

machines (ex).pdf

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