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Collège Voltaire /Mathématiques /3ème/ 2015-2016 AIDE-MÉMOIRE Géométrie vectorielle http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/cours-ma3-geometrie.pdf TABLE DES MATIERES 2.A. Introduction............................................................................ 2 2.B. Rappel en dimension 2.............................................................. 2 2.C. Bases, opérations sur les composantes dans l'espace.................... 4 2.D. Droite dans l'espace................................................................. 5 2.E. Intersections d'une droite avec les plans xOy, xOz et yOz...............6 2.F. Positions relatives de deux droites............................................... 7 2.G. Produit scalaire dans l'espace.................................................... 9 2.H. Plans et positions relatives dans l'espace................................... 12 Site : www.dcpe.net/ login : eleve/ mot de passe : volt1234

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Collège Voltaire /Mathématiques /3ème/ 2015-2016

AIDE-MÉMOIRE

Géométrievectorielle

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/cours-ma3-geometrie.pdf

TABLE DES MATIERES

2.A. Introduction............................................................................22.B. Rappel en dimension 2..............................................................22.C. Bases, opérations sur les composantes dans l'espace....................42.D. Droite dans l'espace.................................................................52.E. Intersections d'une droite avec les plans xOy, xOz et yOz...............62.F. Positions relatives de deux droites...............................................72.G. Produit scalaire dans l'espace....................................................92.H. Plans et positions relatives dans l'espace...................................12

Site : www.dcpe.net/ login : eleve/ mot de passe : volt1234

Aide-mémoire

2.A. Introduction

L'étude de la géométrie fit un grand pas en avant lorsqu'on constata que les points du plan ou de l'espace peuvent être représentés par des couples ou des triplets de nombreset que les figures géométriques peuvent être représentées par des équations algébriques. On peut dire pour simplifier que c'est de la géométrie sans dessin ! Cette idée fut initiée par le mathématicien français René Descartes (1596-1650) en 1637 dans l'appendice de son livre: Discours de la méthode. Puisque ce chapitre est au programme de 2ème année en dimension 2 (dans le plan), nous allons passer à la dimension 3 (dans l'espace).

Livre CRM de référence: CRM n°24, Fundamentum de mathématiques Géométrie Vectorielle et Analytique

de l'Espace (pour références de ce cours, exercices supplémentaires)

Source : http://www.crm-diffusion.ch/produits/livres-crm/

2.B. Rappel en dimension 2Source :https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_vectoriel_en_g%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne#Somme_de_deux_vecteurs

Addition d vecteur

p.2

Aide-mémoireRelation de Chasles

A⃗B = O⃗B - O⃗A

Multiplication par un scalaire (un nombre réel)

Combinaison linéaire

Une combinaison linéaire de a⃗ et b⃗ peut s'écrire de la manière suivante :α⋅⃗a + β⋅⃗b où α et β sont des scalaires

Colinéaire, linéairement dépendant, indépendant et base

Deux vecteurs sont dits colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un nombre réel, autrement dit:

a⃗ et b⃗ sont colinéaires ⇔ il existe un nombreλ tel que λ ∙ a⃗=b⃗

Illustration : Les vecteurs a⃗ et b⃗ sont linéairement dépendants car2 a⃗=b⃗

Les vecteurs a⃗ et b⃗ sont linéairement indépendants car0 a⃗+0 b⃗=0⃗ (seule manière d'obtenir le vecteur nul)

Remarques :  1) Deux vecteurs colinéaires non nuls sont de même direction.2) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.3) Deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont colinéaires.Notation: L'ensemble des vecteurs du plan est appelé plan vectoriel et est noté V 2 .Définition: Une base de V 2 est un couple de vecteurs linéairement indépendants.

Autrement dit:On appelle base du plan, n'importe quel couple de vecteurs non colinéaires.

p.3

Aide-mémoire

2.C. Bases, opérations sur les composantes dans l'espace

Prenons l'espace muni d'un repère orthonormé (O;i⃗ ; j⃗ ; k⃗ )

Soient trois points A (a1 ;a2 ;a3 ) ; B (b1 ;b2; b3 ) et C (c1 ;c2;c3 )Rappel des opérations sur les composantes:

Un vecteur a⃗=(a1

a2

a3) et un vecteur b⃗=(

b1

b2

b3)

λ ∙ a⃗= λ(a1

a2

a3)=(

λa1

λa2

λa3) , λϵℝ a⃗+b⃗=(

a1

a2

a3)+(

b1

b2

b3)=(

a1+b1

a2+b2

a3+b3)

Définitions:

- Les définitions de base, de combinaison linéaire, de colinéaire, de linéairement dépendant et indépendant sont les mêmes en dimension 3 et 2 (cf.rappel en dimension 2)

-On dit que trois points A ,B et C sont alignés si et seulement si les vecteursA⃗B et A⃗C sont colinéaires: A⃗C=λ ∙ A⃗B , où λϵℝ

-On dit que quatre points distincts A ,B ,C et D sont coplanaires et si seulement si les vecteurs A⃗B , A⃗C et A⃗D sont coplanaires: Il existe (α ; β ;γ )≠ (0 ;0 ;0 ) tels que α A⃗B+β A⃗C+γ A⃗ D= 0⃗ .

p.4

Aide-mémoireC'est-à-dire que trois vecteurs sont coplanaires si l'un d'eux au moins est une combinaison linéaire des deux autres. Remarques:

1) Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement s'ils sont linéairement dépendants.2) Le vecteur nul et deux vecteurs quelconques sont toujours coplanaires3) Trois vecteurs sont coplanaires s'ils sont dans un même plan.

- La norme du vecteur P⃗1 P2 correspond à la distance entre le point P1 et le pointP2 .Il s'agit d'une double application du théorème de Pythagore:

‖⃗P1P2‖=√‖⃗P1 A‖2+‖⃗A P2‖

2=√(x2−x1 )

2+( y2− y1)2+( z2−z1 )

2

2.D. Droite dans l'espace

Soit d la droite dans l'espace passant par le point A (a1 , a2a3 ) et de vecteur

directeur d⃗=d1 i⃗+d2 j⃗+d3 k⃗=(d1

d2

d3)

Pour tout point M ( x ; y ; z ) de la droite, il existe un nombre tϵℝ , tel que O⃗M = O⃗A +t d⃗

Ce qui donne la représentation paramétrique: (xyz )=(

a1

a2

a3)+t(

d1

d2

d3)

Cette équation s'écrit aussi sous la forme d'un système d'équations,

appelées équations paramétriques de d : {x=a1+ t d1

y=a2+t d2

z=a3+t d3

où t∈ℝ

Si l'on isole t de chacune de ces équations et que l'on égale les expressions obtenues,cela donne le système d'équations, appelées équations cartésiennes de d :

x−a1

d1

=y−a2

d2

=z−a3

d3

p.5

Aide-mémoireRemarque: Dans le cas où l'un des nombres d1 ,d2 et d3 est nul on ne peut pas écrire les équations cartésiennes de d .

Mais si par exemple, d3=0 , la troisième équation est alors z=a3 et on écrira:x−a1

d1

=y−a2

d2

et z=a3

Cela signifie que le vecteur directeur de la droite est d⃗=(d1

d2

0 )Cette droite est donc parallèle au plan xOy ; tous ses points ont la même cotez=a3 .

2.E. Intersections d'une droite avec les plans xOy, xOz et yOz

Définition: On appelle traces d'une droite d (sur les plans de coordonnées) les points d'intersection de d avec les plans xOy , xOz et yOz . Méthode pour calculer ces intersections:On peut utiliser les équations paramétriques.Intersection avec yOz , point I : poser x=0 , calculer t , puis y et zIntersection avec xOz , point J : poser y=0 , calculer t , puis x et zIntersection avec xOy , point K : poser z=0 , calculer t , puis x et y

p.6

Aide-mémoire2.F. Positions relatives de deux droites

Positions relatives de deux droites d1 et d2

CoplanairesNon coplanaires

(gauches)

Parallèles (vecteurs directeurs colinéaires)

Sécantes

Confondues(tous les points en

commun)

Strictementparallèles

(aucun point commun)

Un point commun(les vecteurs

directeurs ne sontpas colinéaires)

Pas de pointcommun, pas de

vecteurs directeurscolinéaires

-les vecteurs directeurs des 2 droitessont colinéaires

-il y a une infinité de points d'intersection

-les vecteurs directeurs des 2 droitessont colinéaires

-il y aucun point d'intersection

-les vecteurs directeurs des 2 droitesne sont pas colinéaires

-il y a un point d'intersection

-les vecteurs directeurs des 2 droitesne sont pas colinéaires

-il y a aucun point d'intersection

p.7

Aide-mémoire

Démarche pour connaître les postions relatives des droites d1 et d2 :

Indication :- la droite d1 : vecteur directeur d⃗1 et le point D1 appartient à la droite d1

- la droite d2 : vecteur directeur d⃗2 et le point D2 appartient à la droite d2

Étape 1Les vecteurs directeurs sont-ils colinéaires ?

Étape 2 Oui, y a-t-il un point appartenant aux deux droites ?

Prendre un point d'une des droites et vérifier si le point appartient aussi à l'autre droite

Non, y a-t-il un point d' intersection I(x;y;z) entre les deux droites ?

Poser : O⃗D1 + α⋅d⃗1 = O⃗D2 + λ d⃗2 = O⃗IRésoudre le système de 3 équations et 2 inconnues. Chercher α et λ (deux nombres réels, mais pas forcément les mêmes )

Étape 3 Oui, le point appartient aux deux droites.

Les droites sont confondues

d1∩d2=d1=d2

Non, le point n'appartient pas aux deux droites.

Les droites sont strictement parallèles

d1∩d2=∅

Oui, α et λ existent . Ces deux nombres permettent d'obtenir un point d'intersection I(x;y;z).

Les droites sont sécantes .

d1∩d2={( x ; y ; z ) }

Non,α et λ

n'existent pas.

Les droites sont gauches

d1∩d2=∅

p.8

Aide-mémoire

2.G. Produit scalaire dans l'espace

OrthogonalitéLe but est de trouver un critère algébrique d'orthogonalité de deux vecteurs.

Considérons a⃗=(a1

a2

a3) et b⃗=(

b1

b2

b3) deux vecteurs dans une base orthonormée du plan.

a⃗⊥ b⃗ ⇔ Le triangle OAB est rectangle en O. cf. croquis ci-contre

⇔ OAB vérifie la réciproque du théorème de Pythagore.

⇔ ‖A⃗B‖2=‖⃗OA‖2

+‖O⃗B‖2

En utilisant la formule de la norme, cette égalité devient :

⇔ (b1 – a1)2 + (b2 – a2)2 +(b3 – a3)2 = a12 + a2

2 + a32 + b1

2 + b22 + b3

2

⇔ – 2a1b1 – 2a2b2 – 2a3b3 = 0

⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs a⃗=(a1

a2

a3) et b⃗=(

b1

b2

b3) , noté a⃗⋅⃗b , est le

nombre réel : a⃗⋅⃗b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Interprétation géométrique du produit scalaire

Nous savons que, si le produit scalaire est égal à 0, alors les vecteurs sont orthogonaux.Dans le cas contraire, à quoi correspond ce nombre réel ?La réponse se trouve dans la formule suivante. On définit le produit scalaire de ces deux vecteurs par:

a⃗ ∙ b⃗=‖a⃗‖∙‖b⃗‖∙cos (φ )

p.9

En résumé, a⃗⊥ b⃗ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Aide-mémoireIndications :

-deux vecteurs a⃗=(a1

a2

a3) et b⃗=(

b1

b2

b3) de l'espace R3 .

- Notons φ l'angle entre ces deux vecteurs.

Démonstration de la formule :Théorème du cosinus (2ème) :

‖A⃗B‖2 = ‖a⃗‖

2+‖b⃗‖

2 −2 ∙‖a⃗‖∙‖b⃗‖∙ cos (φ )

(b1−a1 )

2+(b2−a2)

2+(b3−a3 )

2 = a12+a2

2+a32+b1

2+b22+b3

2 −2 ∙‖a⃗‖∙‖b⃗‖∙cos (φ )

−2a1b1−2a2b2−2a3b3 = −2 ∙‖a⃗‖∙‖b⃗‖∙cos (φ )

a⃗ ∙ b⃗=‖a⃗‖∙‖b⃗‖∙cos (φ )

Propriétés:

1) Le résultat de ce produit est un scalaire, c'est-à-dire un nombre réel. D'où son nom !

2) Le produit scalaire est commutatif: a⃗ ∙ b⃗= b⃗∙ a⃗

car: a⃗ ∙ b⃗=(a1

a2

a3) ∙(

b1

b2

b3)=a1 ∙ b1+a2 ∙ b2+a3 ∙ b3=b1 ∙ a1+b2 ∙ a2+b3 ∙ a3=(

b1

b2

b3) ∙(

a1

a2

a3)= b⃗ ∙a⃗

3) a⃗ ∙ b⃗=0⇔cos (φ )=0⇔φ=90°Autrement dit: si a⃗ ≠ 0⃗ et b⃗ ≠ 0⃗ alors les vecteurs a⃗ et b⃗ sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

4) Le produit scalaire se comporte comme une opération distributive: a⃗ ∙ ( b⃗+c⃗ )= a⃗ ∙b⃗+ a⃗ ∙ c⃗

Remarque: dans la partie gauche, l'addition est vectorielle alors que dans la partie dedroite, elle est entre deux nombres.

5) Les parenthèses peuvent être déplacées: ( λ ∙ a⃗ ) ∙b⃗=λ ∙ ( a⃗ ∙ b⃗ )

6) La norme d'un vecteur se calcule facilement à l'aide du produit scalaire:‖a⃗‖=√a1

2+a2

2+a3

2=√ a⃗ ∙a⃗

7) Le vecteur nul, 0⃗=(000) , est considéré comme orthogonal à tous les vecteurs de

l'espace.

p.10

Aide-mémoireLien avec les droites:

-Deux droites vectorielles de vecteurs directeurs respectifs d⃗1 et d⃗2 sont orthogonales si les vecteurs d⃗1 et d⃗2 sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire d⃗1 ∙ d⃗2 est nul.

-Les deux droites sont dites perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes.

Interprétation géométrique

Projetons orthogonalement b⃗ sur la ligne directrice du vecteur a⃗ , pour obtenirb⃗ '=O⃗B' :

Nous obtenons un triangle rectangle et nous pouvons donc appliquer des formulesde trigonométrie:

cos (φ )=‖b⃗ '‖‖b⃗‖

( si φ≤90 ° ) et cos (φ )=−‖b⃗ '‖‖b⃗‖

( si φ>90° )

Donc: ‖b⃗ '‖=±‖b⃗‖∙cos (φ ) où le signe ± est le même que celui de cos (φ ) .

On peut donc substituer cette dernière expression dans la définition du produit scalaire: a⃗ ∙ b⃗=‖a⃗‖∙‖b⃗‖∙cos (φ)=±‖a⃗‖∙‖b⃗ '‖

p.11

Aide-mémoire2.H. Plans et positions relatives dans l'espace

Pour construire un plan π dans l'espace R3 , il faut connaître 2 types de données: l'orientation du plan π , donnée par deux vecteurs directeurs d⃗ et e⃗ ,

non nuls et non colinéaires.

la position du plan π , donnée par un vecteur position: p⃗=(p1

p2

p3)

Notons les coordonnées d'un point M ( x ; y ; z ) quelconque du plan π . ( M pour "mobile"). Et notons v⃗=O⃗M

Le vecteur P⃗M est contenu dans le plan π donc il est une combinaison linéaire des deux vecteurs directeurs d⃗ et e⃗ : P⃗M = λ ∙ d⃗+μ∙ e⃗ , pour λ , μϵℝ . (Lesvecteurs P⃗M , d⃗ et e⃗ sont coplanaires) A l'aide de la relation de Chasles, on peut écrire: P⃗M=O⃗M−O⃗P

On peut donc écrire: O⃗M−O⃗P=λ ∙ d⃗+μ ∙e⃗ , pour λ , μϵℝ

Ou encore: O⃗M=O⃗P+λ ∙ d⃗+μ ∙e⃗ , pour λ , μϵℝ Ce qui donne l'équation vectorielle : v⃗= p⃗+λ ∙ d⃗+μ ∙e⃗ λ , μϵℝ

Lorsque les coefficients λ et μ parcourent l'ensemble des nombres réels ℝ , on obtient tous les points du plan π .

On peut aussi obtenir : (xyz )=(

p1

p2

p3)+λ ∙(

d1

d2

d3)+μ ∙(

e1

e2

e3) , λ , μϵℝ

Et on parle d'équations paramétriques lorsque l'on écrit sous forme de composantes:

π :{x=p1+ λ ∙d1+μ ∙ e1

y=p2+λ ∙d2+μ ∙ e2

z=p3+λ ∙ d3+μ ∙e3

, λ ,μϵ R

p.12

Aide-mémoireRemarque:La connaissance de trois points non alignés du plan est suffisante. En effet, si un plan contient les points A ,B et C , alors les vecteurs A⃗B et A⃗C peuvent jouerle rôle de vecteurs directeurs, tandis que le vecteur position peut être à choix O⃗A

O⃗B ou O⃗C .Il est possible de faire disparaître les paramètres λ et μ de ce système, pour n'obtenir plus qu'une seule équation en x , y et z . C'est l'équation cartésienne du plan π .

Exemple: Soient les points A (1;2 ;1 ) ,B(−1 ;1;3) et C (3 ;−4 ;−5 )

1) Déterminer une équation vectorielle de ce plan:

(xyz )=(

121)+ λ(

−2−12 )+μ (

2−6−6), λ , μϵ R

2) Déterminer les équations paramétriques de ce plan:

{x=1−2 λ+2 μy=2−λ−6 μz=1+2 λ−6μ

, λ , μϵ R

3) Déterminer l'équation cartésienne de ce plan: idée: isoler un paramètre dans deux équations pour les égaliser (et faire disparaître ce paramètre)

{x−1+2 λ

2=μ

y−2+ λ−6

z=1+2λ−6 ∙ μ

on obtient: x−1+2λ

2=

y−2+ λ−6

donc: −6 (x−1+2λ )=2 ( y−2+λ )⇔−3 ( x−1+2 λ )= y−2+ λ⇔−3x+3− y+2=7 λ

⇔ λ=−3 x− y+5

7

On peut alors injecter cette dernière expression dans la dernière équation:

z=1+2 ∙−3 x− y+5

7−6 ∙

y−2+λ−6

=1+2∙−3 x− y+5

7+ y−2+ λ =

1+2∙−3 x− y+5

7+ y−2+

−3 x− y+57

Donc: z=1+2 ∙−3 x− y+5

7+ y−2+

−3 x− y+57

=−1+−6 x−2 y+10−3 x− y+5

7+ y

Donc: z− y+1=−9 x−3 y+15

7⇔7 z−7 y+7=−9 x−3 y+15⇔9 x−4 y+7 z=8

p.13

Aide-mémoire

Représentation graphique précise d'un plan:

Soit le plan π : v⃗=(20

−2)+λ (−130 )+μ(

03

−2) , λ , μϵ R

ou encore, mis sous forme cartésienne: 6 x+2 y+3 z=6Calculons les points d'intersection du plan π avec chacun des trois axes du repère:

Sur l'axe x : on a y=0 et z=0 : 6x=6 donc x=1 donc: (1; 0;0 )

Sur l'axe y : on a x=0 et z=0 : 2 y=6 donc y=3 donc (0 ;3 ;0 )

Sur l'axe z : on a x=0 et y=0 : 3 z=6 donc z=2 donc (0 ;0 ;2)

On peut ensuite représenter le plan à l'aide de ses traces:

Positions relatives d'une droite et d'un plan

On considère la droite d=( A;d⃗ ) et le plan P=(B;u⃗ ; v⃗ ) dans l'espaceDéfinition:Si les vecteurs d⃗ ,u⃗ et v⃗ sont linéairement dépendants, la droite d et le planP sont parallèles; sinon, ils sont sécants.

Résumé des situations possibles:

Positions relatives d'une droite d et d'un plan P

Parallèles Sécantsd est incluse dans le planP

d et P n'ont aucun point en commun

d et P ont un seul pointen commun

p.14

Aide-mémoire

Position relatives de deux plans de l'espace:

Soit les plans α 1=( A1 ; u⃗1; v⃗1 ) et α 2=( A2 ; u⃗2; v⃗2 ) de l'espaceDéfinition: Si chacun des triplets (u⃗1 ; v⃗1; u⃗2 ) et (u⃗1 ; v⃗1; v⃗2 ) est un triplet de vecteurs linéairement dépendant, les plans α 1 et α 2 sont parallèles; sinon ils sont sécants.

Il y a trois cas possibles résumés dans ce tableau:

Positions relatives de deux plansParallèles Sécants

Strictementparallèles ou

disjoints

confondus

Leur intersection estvide

Leur intersection est un plan Leur intersection est la droited

p.15