t. masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddl
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Notions de vibrations
Vibration : Un corps est dit en vibration lorsqu'il est animé d'un mouvement oscillatoire autour d'une position de référence.
Le nombre de cycles complets du mouvement dans une période de temps d'une seconde est appelé fréquence et est mesuré en hertz (Hz).
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Système masse ressort - mise en équation-
Le système constitué d’une masse, d’un ressort et d’un amortisseur est le plus simple des systèmes, pourtant il permet d’expliquer l’essentiel des phénomènes qu’on a traité:
L’équilibre des forces : M X’’ = F1 + F2 + Fe sin (w t) (Inertie) (ressort) (amortisseur) (extérieure)
M
M
M
Position d’équilibre Position maximale Déplacement maximal
Position minimale Déplacement minimal
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Système masse ressort - mise en équation-
l’équilibre des forces intérieures et extérieures :
M X’’ = F1
(force Inertie) (ressort)
L’équation qui décrit le mouvement est:
M X’’ + K X = 0
Le but est de connaître la position x de la masse M à chaque instant, si on résout l’équation précédente on trouve:
X = a sin (2 π f t) = a sin (w t)
avec f = ( K/ M) fréquence propre (en rad/s)
x
M
MF1= - K X
M X’’
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Reconstitution de la vibration
Le mouvement de la masse M autour de sa position d’équilibre, engendre avec le temps une vibration qui est une fonction du temps
Temps
AmplitudeSignal vibratoire
M M M MMM M
MM
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Notions de vibrations - Grandeurs caractéristiques -
Cette fonction de temps ou signal vibratoire X = a sin (2 π f t) est caractérisée par un ensemble de paramètres.
T: période
x
t
a : AmplitudeC'est la plus grande valeur que la variable x(t) peut prendre
T: période C'est l'intervalle de temps au bout duquel la variable x(t) reprend la même valeur dans la même direction
f = 1/ T : C'est le nombre de périodes par unité de temps, s’exprime en Hz ou cycle / seconde
w = 2 π f : appelée vitesse angulaire, ou pulsation naturelle exprimée en
radian/seconde [rad/s]
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Notions de vibrations - Grandeurs caractéristiques -
x1, x2
w t
a1a2
Déphasage φ
Si les amplitudes des deux vibrations x1 et x2 ne sont pas atteintes en même temps, x2 est décalé par rapport à x1 de la grandeur ϕ qui représente le temps qui s’écoule entre la vibration x1 et x2. Elle est exprimée en unités d'angle.
On écrit : x1 = a1 sin (w t)
x2 = a2 sin (w t - φ)
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Système masse ressort avec force d’excitation- mise en équation-
Si on écrit l’équilibre des forces intérieures et extérieures du système masse M, ressort K on trouve l’équation suivante:
M X’’ = F1 + Fe sin (w t)
(Inertie) (ressort) (extérieure)
L’équation qui décrit le mouvement est:
M X’’ + K X = Fe sin (w t)
Le but est de connaître la position x de la masse M à chaque instant, si on résout l’équation précédente on trouve:
X = a sin (w t + φ)
x
M
M
Fe sin wt
F1= - K X
M X’’
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Notion de résonance
Si on excite la masse M avec une force dont la fréquence de répétition est proche de la fréquence naturelle du système (masse ressort) l’amplitude augmente ce phénomène est appelé résonance.
Amplitude a
Fréquence d’excitation fe
F0 = (K/M)
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Système masse ressort amorti
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Oscillation libre amortie : Mise en équation
Soit l'oscillateur harmonique amorti par effet visqueux (proportionnel à la vitesse)
L'équation de son mouvement est :
En supposant une dépendance en temps de la forme ert, on peut
écrire l'équation caractéristique associée à cette équation du
mouvement :
Les solutions de l'équation caractéristique sont :
M
ck
XX
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En introduisant les termes :
On peut alors réécrire l'équation du mouvement sous la forme :
La solution générale de cette équation différentielle linéaire est :
où A et B sont des constantes arbitraires déterminées d'après les conditions initiales.
Oscillation libre amortie : Oscillateur sur amorti
3 cas sont observés suivant le signe de Δ = c²- 4km :
l'oscillateur est dit sur amorti. Si
Amplitude
t
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Oscillation libre amortie : Oscillateurs critique et sous amorti
l'amortissement est critique. Si
l'oscillateur est dit sous amorti. Si
C'est le cas de la plupart des oscillateurs mécaniques courants.
Amplitude
t
Amplitude
t
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Ce dernier résultat est celui d'un régime pseudo-périodique dont on remarque que la pseudo pulsation ωp = ω0√(1 –ξ²) diffère de la pulsation naturelle non amortie ω0 par le terme √(1 –ξ²) lui même fonction de l'amortissement ξ ; ωp << ω0
Oscillation libre amortie : Oscillateur sous amorti
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L'équation du mouvement pour un oscillateur harmonique amorti soumis a une force extérieure F(t) s'écrit :
Oscillation amortie avec excitation harmonique
Le cas le plus simple est celui d'une force harmonique,(par exemple F(t) = F cos(ωt + θ). La solution générale de l'équation du mouvement est alors une combinaison linéaire de la solution générale de l'équation sans second membre (régime des oscillations libres), et d'une solution particulière de l'équation avec second membre. On peut re-écrire l’équation comme :
et passer en notation complexe soit en notation complexeOn considère une solution particulière sous la forme :
soit en notation complexe
L'équation du mouvement s‘écrit alors en notation complexe :
A partir de cette dernière notation, l'amplitude complexe X de la solution particulière s'obtient facilement :
On peut exprimer le module et la phase du déplacement x(t) comme :
On peut exprimer la fonction de transfert H(ω)
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Oscillation amortie avec excitation harmoniqueRésonance
L’amplitude X est maximum pour 2210
Dans ce cas on a la résonance d’amplitude où 212
X stX r
221
tg
kF
X st
Et pour et ,10
tg 2
2X stX
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Théorème de superposition
Si x1(t) est solution de l’équation du mouvement et si x2(t) l'est également, alors x(t) = x1(t) +x2(t) est aussi solution de cette équation.
Le théorème de superposition tient au fait que l‘équation différentielle de l'oscillateur harmonique est linéaire.Dans le cas d'une équation différentielle non linéaire, il ne s'applique plus.
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Oscillation amortie avec excitation périodique quelconque
Lorsque la force extérieure est quelconque mais périodique, de période T, elle peut s‘écrire sous la forme d'une série de Fourier :
La solution à cette excitation est alors déterminée en faisant usage du théorème de superposition et les résultats à une excitation harmonique (voir TD).
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Oscillation amortie avec excitation quelconque
Avant de déterminer la réponse à une excitation quelconque, il faut déterminer la réponse à une impulsion : h(t). L'excitation, infiniment brève communique au système une certaine quantité de mouvement initiale p0 sans que le système n'ait encore le temps de se déplacer. L'oscillateur continue sur un mouvement de vibrations libres.
En prenant le cas d'un oscillateur sous amorti pour lequel :
les conditions initiales précédentes se traduisent comme :
La réponse impulsionnelle h(t) est donc
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En reportant l'expression de h(t), on aboutit à l'intégrale de Duhamel (décomposition de la force en échelons élémentaires):
Oscillation amortie avec excitation quelconque
Pour un système très faiblement amorti,
Voir TD
Nous pouvons maintenant déterminer la réponse q(t) à une excitation quelconque Q(t) causale Cette solution s‘écrit sous la forme d'un produit de convolution2
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Plan de phase
Généralement, on représente un mouvement par la variation de l’un de ses paramètres en fonction du temps. Pour certaines applications, il peut être intéressant de considérer la variation de la vitesse en fonction de l’amplitude. On obtient alors le plan de phase (en ordonnées la vitesse et en abscisses l’amplitude).Système conservatif Le mouvement d’un système mécanique en translation est représenté par
Si l’on pose, on obtient et
D’où, en intégrant :
C’est une intégrale première de l’équation du mouvement qui se représente par une ellipse que l’on peut encore écrire sous la forme :
Avec X0 amplitude initiale, v=0 pour t=0. Cette relation est l’équation d’un cercle
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Le premier membre de cette équation représente la pente de la courbe donnant v/ω0
en fonction de x, en chaque point (x, v/ω0 ) de la courbe, il est possible de calculer le second membre, ce qui permet de tracer ainsi, en chaque point du plan de phase, des tangentes aux courbes intégrales. Il est plus commode de considérerLes isoclines ] sur lesquelles la tangente en chaque point de la courbe a pour équation :
Si l’isocline coïncide avec la tangente à la courbe au point
(x,v/ω0) ce qui correspond à l’équation :
Plan de phase
Système dissipatif
La relation s’écrit :
En faisant intervenir la vitesse, on a :
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Équation du second degré en (v/ω0)/x dont les racines sont :
Posons
Plan de phase
le système est pseudo-périodique, il n’y a pas d’isocline réelle ayant les mêmes directions que les tangentes aux courbes du plan de phase
le système est apériodique et il existe deux isoclines coïncidant avec les courbes qui leur sont tangentes
les deux isoclines précédentes sont confondues.
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Intérêt de la méthode plan de phase
Cette méthode permet, par une deuxième intégration, de calculer la période d’un système conservatif linéaire.
Son principal intérêt est qu’elle peut être étendue à des systèmes conservatifs non linéaires.
puisque
Alors
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Plan de phase : Exemple
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Plan de phase : Exemple