syst mes de coordonn es

Mécanique

Claude Pasquier

[email protected]

01 69 15 53 00

1

mailto:[email protected]



Mécanique

Organisation générale : • 20h de cours (C.Pasquier) • 36h de Travaux Dirigés ( 5 groupes de TD) • 16h de TPs au Bâtiment 333 (10 groupes de TP)

Site web : http://users.lps.u-psud.fr/pasquier/enseignement/mecaS2/meca.html

• Polycopié de cours (en pdf) • Quelques formulaires de cours (en pdf) • Polycopié textes TDs (en pdf) • Polycopié TP (en pdf) • Annales avec corrigés (en pdf). Attention : le programme change !! • Liens vers d’autres sites très bien faits …

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http://users.lps.u-psud.fr/pasquier/enseignement/mecaS2/meca.html



Mécanique

Un cours de Mécanique ? Pourquoi faire ??? Le cours est un cours de Physique classique qui introduit des notions importantes pour toute la physique étudiée les années suivantes. La mécanique est la meilleure façon d’illustrer ces concepts …

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Chapitre 1: Systèmes de coordonnées

Se repérer dans le plan ou l’espace :

x y

r

q s

4


1) Coordonnées cartésiennes

2) Coordonnées polaires

3) Coordonnées cylindriques

4) Coordonnées sphériques

5) Coordonnées intrinsèques

6) Résumé

7) Produit scalaire et produit vectoriel 5



jyixOM

OM

(t) (t) (t)

temps

M(x,y)

O

6



kzjyixOM

OMM(x,y,z)

(t) (t) (t) (t)

temps

Un point quelconque de l’espace

7







6) Résumé




Plus adapté pour repérer un point sur un cercle

Les coordonnées de M sont mieux définies

par la donnée de r et q (et non x et y)

r = Cste

q(t)

Axe fixe

x

y

9



Plus adapté pour repérer un point sur un cercle

q

q

sin.

cos.

rjOMy

riOMx

M

X

Y

O

Y

X i

j

x

y

yxr

qtan

22

Les coordonnées de M sont définies

par la donnée de r et q (et non x et y)

ru

qu

q(t)

10



q

q

sin.

cos.

rjOMy

riOMx

M

X

Y

O

Y

X i

j

x

y

yxr

qtan

22

jiur

qq sincos

jyixOM

rurOM

(t) (t) (t) (t) (t) (t)

11



q

q

sin.

cos.

rjOMy

riOMx

M

X

Y

O

Y

X i

j

x

y

yxr

qtan

22

jiur

qq sincos

qu

est un vecteur tel que 2

,

q uur

jiu

2sin

2cos

q

qq

jiu

qqq cossin 12







6) Résumé




Plus adapté pour repérer un point sur un cylindre

r

q(t)

z(t)

14



q

q

sin.

cos.

rjOMy

riOMx

x

y

yxr

qtan

22

kzjyixOM

jiur

qq sincos (t) (t) (t) kzurOM r

(t) (t) (t) (t)

Plus adapté pour repérer un point sur un cylindre

15







6) Résumé




q

q

q

cos.

sinsin.

cossin.

rkOMz

rjOmy

riOmx

Plus adapté pour repérer un point sur une sphère

Les coordonnées de M sont définies

par la donnée de r, q et (et non x, y et z)

q ,0

2,0

17




Coordonnées GPS :

90°-q

r = rayon de la Terre = 6400km

18



q

q

q

cos.

sinsin.

cossin.

rkOMz

rjOmy

riOmx

222

222

cos

tan

zyx

z

x

y

zyxr

q

kzjyixOM

rurOM

(t) (t) (t)


19







6) Résumé




Ce que mesure le compteur kilométrique d’une voiture…

Bat 333

Gare RER Bures/Yvette

Longueur du chemin entre et M :

s = abscisse curviligne=

M X nu

tu

?OM(t)

M

tu

Vecteur tangent à la trajectoire

nu

Vecteur normal à la trajectoire

2

,

nt uu

21







6) Résumé



6) Résumé

Dans un plan :

jyixOM

rurOM

cartésiennes

polaires

Dans l’espace :

kzjyixOM

kzurOM r

cartésiennes

cylindriques

rurOM

sphériques

! : vecteurs non identiques

plan

espace

jiu

qqq cossin

jiur

qq sincos

On peut aussi repérer la position d’un point par son abscisse curviligne, s (cf compteur kilométrique de voiture). 23







6) Résumé



7) Produit scalaire et produit vectoriel

En mécanique, on modélise les mouvements et leurs causes, les forces, par des

vecteurs.

Afin de résoudre les problèmes de mécanique (d’électromagnétisme aux S3, S4, S5 …),

on a besoin de projeter les vecteurs sur des directions particulières en utilisant les

produits scalaires.

En présence de rotations, on utilise également le produit vectoriel ce qui sera un cas

rencontré souvent ce semestre et pour l’électromagnétisme en S3 et S4

25



Produit scalaire de deux vecteurs A et B

Le produit scalaire de deux vecteurs mesure l’intensité de la projection d’un vecteur sur l’autre. C’est un nombre positif ou négatif

AB

AB.A

B,AcosBAB.A

C

AC.A

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Produit vectoriel de deux vecteurs A et B

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Il mesure la surface du parallélogramme basé sur les deux vecteurs.

AB

B,AsinBA

BABA

Notation

anglo-saxonne

A

B

Règle des 3 doigts

Main droite 27



Propriétés du produit scalaire et du produit vectoriel

Propriétés Produit scalaire Produit vectoriel

Notation

Nature Scalaire (nombre) Vecteur

Valeur

Commutation

Associativité

Produit avec lui-même

B.A

BA

B,AcosBAB.A

B,AsinBA

B.AA.B

BAAB

! C.AB.ACB.A

CABACBA

2

AA.A

0AA

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Propriétés du produit scalaire et du produit vectoriel

Propriétés Produit scalaire Produit vectoriel

Notation

Produit nul (les deux vecteurs

sont non nuls)

‘Valeur’ maximale

Valeur en fonction des coordonnées

B.A

BA

BAssi0B.A

B//Assi0BA

BAB.A,B//Asi

BABA,BAsi

zyx A,A,AA

zyx B,B,BB

zzyyxx BABABA B.A

xyyx

zxxz

yzzy

BABA

BABA

BABA

BA

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Chapitre 1: Systèmes de coordonnées 7) Produit scalaire et produit vectoriel

Applications du produit vectoriel : coordonnées cartésiennes

ikj

kji

jik

30


jiu

qqq cossin

jiur

qq sincos


Applications du produit vectoriel aux coordonnées cylindriques

r

r

uku

kuu

uuk

r

q

q

q

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syst mes de coordonn es

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