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Modes propres : cas généralOrthogonalité

Projection modaleConclusion

ENSTA - COURSMS 204DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES:

ONDES ET VIBRATIONS

Amphi 3

ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – cours 3



RAPPELS

Milieu fini : analyse globale.Le problème est constitué d’une EDP assortie de conditions auxlimites.

Formalisme des ondes propagatives n’est plus adapté. méthode :

1. Séparation des variables temps et espace.2. Résolution du problème spatial concept de mode propre.

Dans ce cours : Modes propres : cas général Orthogonalité Projection modale Méthode générale de résolution




DéfinitionsExemples

DÉFINITIONS

Milieu Ω, de frontière ∂Ω. Soit w(x, t) le déplacement recherché.

∀ x ∈ Ω, ∀ t :∂2w

∂t2+ L(w(x, t)) = 0.

∀ x ∈ ∂Ω, ∀ t : Bi(w(x, t)) = 0, i = 1... p.

L : opérateur spatial d’ordre p exprimant les diverses forces.Exemples :–Corde de tension uniforme T : L ≡ −c2 ∂2

∂x2 .

–Poutre en flexion : L ≡ EIρS

∂4

∂x4 .





NOTIONS DE THÉORIE SPECTRALE

Recherche d’une solution à variables séparées :

w(x, t) = q(t)φ(x).

Problème de Sturm-Liouville :

∀ x ∈ Ω, L(φ(x)) = ω2φ(x)

∀ x ∈ ∂Ω, Bi(φ(x)) = 0, i = 1... p.

Problème aux valeurs propres. Modes propres ⇔ fonctions diagonalisant l’opérateur L. cadre mathématique : théorie spectrale. Solution : infinité dénombrable de modes propres

φ1, φ2, ... et de pulsations propres ω1, ω2, ... .





CALCUL DES MODES PROPRES :EXEMPLES





EXEMPLE 1 : POUTRE EN FLEXION

équation locale (modèle d’Euler-Bernoulli) :

∂2w

∂t2= −

EI

ρS

∂4w

∂x4.

Description des conditions aux limites :obtenues comme limites des deux cas suivants :

x=0 x

w(x,t)

K f

x=0 x

w(x,t)

Kr





POUTRE EN FLEXION : CONDITIONS AUX LIMITES

Description des conditions aux limites :

x=0 x

w(x,t)

K f

x=0 x

w(x,t)

Kr

EI

[

∂3w

∂x3

]

x=0,t

+Kfw(0, t) = 0 EI

[

∂2w

∂x2

]

x=0,t

+Kr

[

∂w

∂x

]

x=0,t

= 0

En faisant tendre les raideurs vers 0 et ∞, on obtient quatreconditions aux limites standards.





POUTRE EN FLEXION : CONDITIONS AUX LIMITES encastré :

w(0, t) =∂w

∂x= 0.

libre :∂2w

∂x2=

∂3w

∂x3= 0.

rotulé :w(0, t) =

∂2w

∂x2= 0.

glissant :∂w

∂x=

∂3w

∂x3= 0.

appui glissantrotulé

encastrélibre

(a) (b)





POUTRE EN FLEXION : MODES PROPRES

Problème de Sturm-Liouville : équation aux valeurs propres :

∂4φ

∂x4=ρS

EIω2φ.

Solution générale :

φ(x) = a1 cos(kx) + a2 sin(kx) + a3ch(kx) + a4sh(kx),

équation de dispersion :

k4 =ρS

EIω2.





POUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ-LIBRE

cas de la poutre encastrée en x = 0, libre en x = L :

φ(x = 0) =

(

∂φ

∂x

)

x=0

= 0,

(

∂2φ

∂x2

)

x=L

=

(

∂3φ

∂x3

)

x=L

= 0.

condition en x = 0 =⇒ a3 = −a1, et a4 = −a2. condition en x = L :

(cos kL+ chkL) a1+(sin kL+ shkL) a2 = 0,

(sin kL− shkL) a1−(cos kL+ chkL) a2 = 0.

=⇒ cos kL = −1/chkL





POUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ-LIBRE

Résolution graphique et fréquences propres :

0 2 4 6 8 10 12 14 16

−1

0

1

Lk

ωn =

√

EI

ρSk2n

Application numérique : Poutre en aluminium,épaisseur 1 cm, longueur 30 cm.

n 1 2 3 4kn L 1.8751 4.6941 7.8547 10.9955

(3π/2 = 4.7124) (5π/2 = 7.8540) (7π/2 = 10.9956)fn (Hz) 90.7 568.6 1592 3120





POUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ-LIBRE Déformées modales :

φn(x) = a1

[

cos knx− chknx+sin knL− shknL

cos knL+ chknL(sinknx− shknx)

]

0





POUTRE EN FLEXION : CAS GLISSANT-ROTULÉ Pulsations propres et modes propres :

ωn =

√

EI

ρS

(2n+ 1)2π2

4, φn(x) =

√

2

[

cos knx+cos knL

chknLchknx

]

.

0

0





APPLICATION : ACCORD DES BARRES DE VIBRAPHONE barre de vibraphone : poutre libre-libre. vibration de flexion dispersive : fréquences propres non-harmoniques. On peut calculer le profil adapté afin que les premières fréquences

propres aient un rapport harmonique. Exemple ci-dessous (Henrique etAntunes, 2002).





EXEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

x

y

z

H

l

L






x

y

z

H

l

L

Équation locale : ∆φ = 0.

condition aux limites :–bords immobiles :∂φ∂x

∣

∣

∣

x=0

= ∂φ∂x

∣

∣

∣

x=L= ∂φ

∂y

∣

∣

∣

y=0

= ∂φ∂y

∣

∣

∣

y=l= ∂φ

∂z

∣

∣

∣

z=0

= 0.

–surface libre : ∂2φ∂t2 + g ∂φ

∂z

∣

∣

∣

z=H= 0.






Solution à variables séparées :φ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)eiωt = A(x)B(y)C(z)eiωt.

L’équation locale montre que : A′′

A + B′′

B + C′′

C = 0, soit :

A′′

A= −

(

B′′

B+C′′

C

)

= −α2

Soit, avec les conditions aux limites en x :

An(x) = a1 cosnπx

L






Idem pour B :B′′

B= α2

−

C′′

C= −β2

Avec les CL en y :

Bm(y) = b1 cosmπy

l

Pour C :C′′

C= α2 + β2 = γ2

La condition au fond en z = 0 impose :

C(z) = c chγz






la condition de surface libre donne les pulsations propres :

ωn,m =√

gγn,mtanh(γn,mH)

Avec :

γn,m =

√

n2π2

L2+m2π2

l2.

Déformées modales :

ψn,m(x, y, z) = cosnπx

Lcos

mπy

lchγn,mz






Déformations de la surface libre :

0

1

2 0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

0

1

2 0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

2 0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

00.5

11.5

2 0

0.5

1−1

0

1

x y xy

x y xy

mode (2,1)mode (1,0)

mode (2,2) mode (4,2)





MODES PROPRES: CALCUL NUMÉRIQUE

Lorsque le problème de Sturm-Liouville n’est pas solubleanalytiquement : Résolution numérique.(méthodes des éléments finis, des différences finies, ...)

Exemple 1 : modes propres de la table d’harmonie d’uneguitare :

181 Hz 289 Hz 309 Hz 448 Hz 532 Hz 586 Hz






Exemple 2 : modes propres d’un moteur Vulcain de fusée Ariane :






Exemple 2 : modes propres d’un moteur Vulcain de fusée Ariane :





Exemple 3 : modes propres d’un modèle de cœur humain :

maillage du coeur humain mode 1

mode 2 mode 3





MODES PROPRES: MESURE EXPÉRIMENTALE

Fort contenu physique de la notion de mode propre :Ils sont facilement mesurables ! Analyse modale (Amphi 5).

A chaque déformée modale est associée une pulsation propre.Si l’on excite le système à cette fréquence : Phénomène de résonance. Seul le mode excité va répondre. Mesure aisée de la déformée modale.





MODES PROPRES: MESURE EXPÉRIMENTALE

Exemple 1 : Poutre encastrée-libre, mode 2:

0 0.5 1

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

47 48 49

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

x

t [adim]

disp

lace

men

t w

X1 X2

Numerical simulation, model composed of two NNMs

Experimental measurement (Pai & Lee, JSV, 2003)






Illustration expérimentale :





EXEMPLE 3 : GUITARE

Mesure expérimentale par interférométrie holographique,comparée au calcul numérique :

181 Hz 289 Hz 309 Hz 448 Hz 532 Hz 586 Hz





EXEMPLE 4 : PLAQUE CIRCULAIRE À BORD LIBRE

Comparaison théorie/expérience, mesure réalisée à l’UME parvibrométrie laser à balayage.





EXEMPLE 5 : ARCHE

Modes propres d’une arche :

R

α

EI, Sρ

(symétrique)mode 1

(antisymétrique)mode 2

“Mesure” expérimentale sur un pont en construction...




DéfinitionsOrthogonalitéModes normaux

ORTHOGONALITÉ





FORMULATION

Réécriture de la dynamique sous la forme :

∀x ∈ Ω,∂2

∂t2[M(w(x, t))] +K(w(x, t)) = 0

Exemple : Poutre en flexion, section non-uniforme :

∂2

∂t2[ρS(x)w(x, t)] = −

∂2

∂x2

(

EI(x)∂2w

∂x2

)

M : opérateur de masse. K : opérateur de raideur.





FORMULATION

Le problème de Sturm-Liouville se réécrit :

∀ x ∈ Ω, K(φ(x)) = ω2M(φ(x)),

∀ x ∈ ∂Ω, Bi(φ(x)) = 0, i = 1... p.

K et M : opérateurs d’ordre au plus p.





DÉFINITION D’ UN PRODUIT SCALAIRE

Soit :

< f |g >=

∫

Ω

fgdΩ.

agissant sur l’ensemble des fonctions admissibles. bilinéaire symétrique défini positif c’est un produit scalaire.





DÉFINITION : OPÉRATEURS AUTO-ADJOINT

Les opérateurs K et M sont auto-adjoints ssi :

< f |K(g) > =< K(f)|g >,

< f |M(g) > =<M(f)|g > .

Les opérateurs K et M sont définis positifs ssi :

< f | K(f) > ≥ 0, et < f |M(f) > ≥ 0.

< f | K(f) > = 0 =⇒ f = 0.

Si K et M sont définis positifs, on peut définir :

< f |g >K =

∫

Ω

fK(g)dΩ,

< f |g >M =

∫

Ω

fM(g)dΩ.





MODES PROPRES: ORTHOGONALITÉ Soient deux fonctions propres φp et φq ,

de valeurs propres ω2p et ω2

q :

K(φp) = ω2pM(φp),

K(φq) = ω2qM(φq).

Si le problème est auto-adjoint, il vient :

(

ω2p − ω2

q

)

∫

Ω

φqM(φp)dΩ = 0.

Pour des valeurs propres différentes :Les fonctions propres φp et φq sont orthogonales au sens del’opérateur de masse M :

< φp|φq >M = 0





MODES PROPRES: ORTHOGONALITÉ

En reportant dans les équations de départ, il vient :∫

Ω

φqK(φp)dΩ = 0

Les fonctions propres φp et φq sont orthogonales au sens del’opérateur de raideur K.

< φp|φq >K= 0





MODES PROPRES: ORTHOGONALITÉ

Quand p = q :

< φp |φp >M = mp,

< φp |φp >K = kp,

On appelle :–mp la masse modale du mode p.–kp la raideur modale .





MODES PROPRES: NORMALISATION

Normalisation des fonctions propres par rapport à M :

∀ p,

∫

Ω

φpM(φp)dΩ = 1,

fixe la valeurs des constantes multiplicatives. base orthonormée. modes normaux du système .

Soit finalement :

∀ (p, q), < φp |φq >M = δp,q< φp |φq >K = ω2

pδp,q(1)

avec ω2p =

kp

mp.




Expansion modaleProblème temporelMéthode générale

ESPACE MODAL

Résultats précédents :La famille des modes propres forme une base de projection.

Idée générale : projeter l’EDP sur la base des modes normauxdu système.(Le problème est résolu en espace).

Expansion modale : solution cherchée sous la forme :

w(x, t) =

+∞∑

p=1

Xp(t)φp(x).

Xp(t) : amplitude modale du mode p.





MÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION

EDP gouvernant la dynamique :

∀x ∈ Ω,∂2

∂t2[M(w(x, t))] +K(w(x, t)) = p(x, t)

avec p(x, t) : efforts extérieurs. On insère le développement :

w(x, t) =

+∞∑

p=1

Xp(t)φp(x).






Dans le cas non-normé, il reste :

∀n ≥ 1, mnXn + knXn = Fn(t)

avec Fn(t) la force modale :

Fn(t) =

∫

Ω

p(x, t)φn(x)dΩ.

On est passé d’une EDP à une infinité d’oscillateurs linéairesdécouplés.

Il ne reste plus qu’un problème aux valeurs initiales, simple àrésoudre.





ESPACEPHYSIQUE

Inconnue : déplacement w(x, t). Dynamique : régie par une EDP

(équation locale).

+ conditions aux limites

+ conditions initiales





ESPACEMODAL

Inconnues : déplacements modaux (généralisés) : Xn(t). Dynamique : infinité d’oscillateurs linéaires découplés :

m1X1+k1X1 = F1(t)

m2X2+k2X2 = F2(t)

....

mnXn+knXn = Fn(t)

....

+ conditions initiales






ESPACE MODALESPACE PHYSIQUE

problème :EDP sur w(x,t)+ conditions aux limites+ conditions initiales

PROJECTIONForces généralisées :

n Φn(x)F (t) = < p(x,t) | >

déplacements généralisésX n

Résolutiondu problèmeaux valeurs initiales

X (t)n

MODALERECOMBINAISON

w(x,t)= Σ X (t)n Φn (x)

SOLUTION




CONCLUSION




CONCLUSION

Milieu fini Formalisme des modes propres. cadre général : problème de Sturm-Liouville. Exemples et généralité du concept. Propriété d’orthogonalité des modes propres. Méthode générale de résolution

Prochain cours : résolution de la dynamique :

Xn + µXn + ω2nXn = Fn(t)

Systèmes discrets.


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