Printemps 2014-2015 !Jeudi 10h15-12h00, auditoire CE5 !Description générale et objectifs du cours Les équations physiques régissant les processus sont souvent temporelles et mettent en jeu des variables internes. De surcroît, elles exhibent des non-linéarités, elles sont couplées et les conditions initiales ne sont pas forcément nulles. On peut dès lors légitimement se poser la question suivante : ne serait-il pas judicieux de préserver dans les modèles le caractère temporel inhérent aux lois physiques et les variables internes, de même que les non-linéarités, les couplages et d’éventuelles conditions initiales ? La réponse à cette question requiert la notion fondamentale d’état d’un système. Elle mène à de performantes méthodologies non seulement d’analyse, mais aussi de synthèse de lois de commande et d’estimation. Au surplus, des descriptions dans l’espace d’état se révèlent particulièrement bien adaptées aux calculs numériques, entre autres la simulation. La première partie du cours est entièrement dévolue au problème de l’analyse dans l’espace d’état et la seconde à celui de la synthèse de régulateurs d’état par placement des valeurs propres en boucle fermée et par optimisation quadratique. L’estimation de l’état d’un système à partir de sa sortie mesurée et de son entrée est en outre explorée. Des exemples d’application, issus de plusieurs domaines, illustrent les aspects pratiques et la portée des résultats. Préalables pour cet enseignement: algèbre linéaire, équations différentielles et automatique. !Contenu Analyse des systèmes dans l’espace d’état. Etat d’un système. Modèle d’état analogique. Modèle d’état discret. Linéarisation. Solution de l’équation d’état analogique linéaire. Solution de l’équation d’état discrète linéaire. Echantillonnage d’un système analogique. Forme canonique de Jordan. Gouvernabilité et observabilité. Formes canoniques de gouvernabilité et d’observabilité. ❑Synthèse des régulateurs dans l’espace d’état. Problème de base. Commande par placement des valeurs propres. Observateur d’état. Commande par optimisation quadratique.

Dr. Philippe Müllhaupt

Systèmes multivariables

Décomposition modale

Documents Le cours se fonde sur les chapitres 13 et 14 de l’ouvrage Commande numérique de systèmes dynamiques - Cours d’automatique: Volume 2, Méthodes avancées, R. Longchamp, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2010. Ce livre est en vente, avec le rabais étudiant, à la librairie La Fontaine. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Déroulement du cours Des démonstrations, une étude de cas et des exercices sont intégrés au cours. Des corrigés de tous les problèmes des chapitres 13 et 14 sont disponibles, de même que divers supports, sur le Web à l’adresse http://la.epfl.ch, en choisissant «  Teaching  », «  List of Courses  » et ensuite «Systèmes multivariables». Par ailleurs, il est possible de reproduire et d’approfondir de nombreux exemples présentés pendant le cours à l’aide d’applications interactives contenues dans le CD-ROM fourni avec le volume 1. Ces applications se révèlent en outre précieuses pour résoudre des exercices ou pour en vérifier les solutions. Un guide d’utilisation succinct se trouve dans l’annexe III. Les paragraphes apparaissant ci-dessous sont inclus dans le livre constituant le support du cours. Les paragraphes effleurés ou omis pendant les séances ex cathedra font partie intégrante du cours et forment des lectures personnelles. Au surplus, chaque séance débute par un résumé du cours précédent. Un ou plusieurs anciens problèmes d’examens sont discutés en classe.

Modèle d’état

Commande LQR

Rétroaction d’état

Leçon

1 Etat d’un système, modèle d’état analogique 13.1, 13.2, 13.3.1

2 Modèle d’état analogique, modèle d’état discret 13.3.2, 13.4

3 Linéarisation 13.5

4 Solution de l’équation d’état 13.6

5 Solution de l’équation d’état, échantillonnage 13.7, 13.8

6 Décomposition modale 13.9

7 Gouvernabilité et observabilité 13.10

10 Commande par placement des valeurs propres 14.3.2, 14.3.3

9 Commande par placement des valeurs propres 14.1, 14.2, 14.3.1

11 Observateur d’état 14.4.1, 14.4.2

8 Formes canoniques 13.11

Thèmes

12 Equation de Riccati 14.5.1

Sections et paragraphes traités

13 Extensions du problème LQR 14.5.2, 14.5.3, 14.5.4

!Etude de cas L’étude de cas intégrée au cours traite de la commande d’une sustentation magnétique. Elle illustre des aspects couverts dans le cours: modélisation d’état, linéarisation, synthèse par placement des valeurs propres, synthèse par optimisation quadratique, etc. Quant à la programmation des algorithmes de commande, elle est détaillée dans un autre enseignement.

Contrôle des études Un examen écrit est organisé à la fin du semestre de printemps. S’agissant d’un cours au contenu dense et conséquent, il importe, en vue de l’examen, de l’assimiler continûment au fil de son déroulement. !Directives concernant l’examen Matière. L’examen Systèmes multivariables porte sur les chapitres 13 et 14 du livre exploité comme support du cours. La matière examinée comprend aussi les problèmes proposés en classe, de même que l’étude de cas illustrant le cours. Forme. Examen écrit, cinq problèmes à un point chacun. Ils incluent des calculs (simples) et des points de compréhension. Date et salle. Selon l’horaire officiel. Durée. 3 heures dès que chaque candidat est installé à sa place assignée. Documents autorisés. Une feuille A4 manuscrite (recto-verso). Formulaires et tables. Par ailleurs, une calculatrice de poche personnelle est vivement recommandée. Elle ne doit pas être transmise à un autre candidat. Les ordinateurs, téléphones portables et autres appareils permettant une connexion sans fil ne sont pas autorisés. Aspects pratiques. Les solutions, en français ou en anglais, sont à reporter sur les feuilles de données. Seules ces feuilles sont reprises à la fin de l’examen. Ne pas utiliser la couleur rouge. La première feuilles de données doit être signée au début de l’examen. Un seul candidat occupe une table, assis sur le siège de droite. Chaque candidat place devant lui sa carte d’étudiant valable. Aucune sortie de la salle d’examen n’est autorisée. Un silence absolu est requis pendant toute la durée de l’examen. Toute fraude ou tentative de fraude entraîne l’exclusion de l’examen (entre autres). ❑Debriefing. Les épreuves de l’examen peuvent être consultées sur demande à philippe.muellhaupt@epfl.ch.

Etude de cas: commande d’une sustentation

magnétique