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  • Universite de Nice SL2SF2012-13 Algebre 2

    Vecteurs propres et valeurs propres.

    On travaille sur le corps R des reels.On pourrait egalement utiliser le corps des complexes C. La plupart des resultats sont en faitvalables sur un corps quelconque.Un resultat essentiel du cours de premiere annee est le suivant : on considere un systeme lineairehomogene (i.e. sans second membre) de p equations a n inconnues

    a1,1x1 + . . .+ a1,nxn = 0

    ...

    ap,1x1 + . . .+ ap,nxn = 0.

    La matrice p n de coefficients ai,j pour i de 1 a p et j de 1 a n est la matrice du systeme. On ladesigne par A.On echelonne les lignes de la matrice A. Le rang des lignes de A est le nombre de pivots obtenu dansla procedure dechelonnage. Il ne depend pas du procede choisi. Cest le nombre de variablesliees du systeme. On lappelle le rang du systeme (ou rang des lignes de A). Lespace des solutionsdu systeme a pour dimension le nombre de variables libres et, bien sur, le nombre de variablesest egal a la somme du nombre de variables liees et du nombre de variables libres. Cest la premiereforme du theoreme du rang.

    1. Applications lineaires

    Dans tout ce paragraphe, on considere deux espaces vectoriels E et F sur R et une applicationf : E F .Pour les definitions aller au paragraphe 10.

    1.1. Matrice dune application lineaire. On suppose ici que E et F sont de dimension finie.On note n la dimension de E et p la dimension de F . On se donne des bases B = (~e1, . . . , ~en) deE et C = (~1, . . . ,~p) de F .On considere une application lineaire f : E F . La matrice de f dans les bases (B, C) estun tableau a p lignes et n colonnes. Sur la j-eme colonne on dispose les coordonnees dans la baseC de limage par f du j-eme vecteur de B, de sorte que le coefficient ai,j de la matrice, situe surla ligne de numero i et la colonne de numero j est la i-eme coordonnee du vecteur f(~ej). On noteMp,n(R) lensemble des matrices a p lignes et n colonnes.Aux operations sur les applications lineaires, correspondent les operations sur les matrices : produitpar un scalaire, somme, produit de matrices.Noter que le produit AB de deux matrices na de sens que si le nombre de lignes de B est egalau nombre de colonnes de A. La matrice AB a alors le nombre de lignes de A et le nombre decolonnes de B. En particulier, si A est dans Mp,n(R) et X une matrice colonne de Mn,1(R), alorsle produit AX est une matrice colonne de Mp,1(R).

  • 2

    Comment disposer le produit de deux matrices : ci-dessous le calcul du coefficient ci,j du produitAB. Il ne fait intervenir que la i-eme ligne de A et la j-eme colonne de B.

    b1,jb2,j...bn,j

    ai,1 ai,2 . . . ai,n

    .... . . ci,j

    ci,j = ai,1b1,j + ai,2b2,j + . . .+ ai,nbn,j= n`=1

    ai,`b`,j.

    1.1.1. Exercice. . On considere un entier n, n 2, deux entiers i et j, 1 i 6= j n, unematrice carree Li,j() de taille n n dont les coefficients diagonaux sont tous egaux a 1, dont lecoefficient `i,j vaut et dont tous les autres coefficients sont nuls.On considere egalement une matrice A a n lignes et p colonnes. On designe par Li la ligne denumero i, pour i de 1 a n. Montrer que le produit Li,j()A est une matrice A

    qui a les memeslignes que A sauf la ligne de numero i qui vaut Li + Lj. /

    1.1.2. Exercice. . Montrer que Mp,n(R) est un espace vectoriel sur R. En donner une base.Quelle est sa dimension ? Montrer que Mn,n(R), que lon notera desormais Mn(R), est stable parla multiplication des matrices. Montrer que ce produit nest pas commutatif si n > 1. /

    Comment calculer avec la matrice de f ? Notons A la matrice de f dans les bases (B, C).Un vecteur ~x de E est un element de ker f si f(~x) = ~0. Ses coordonnees (x1, . . . , xn) dans B sontsolutions du systeme lineaire homogene de matrice A. Ce systeme a p equations a n inconnues. Il apour rang le rang de A (nombre de variables liees) et lensemble de ses solutions est de dimensiond rg(A) (nombre de variables libres). On a donc dim ker f = dimE rg(A). Comme le sous-espace ker f est independant de la base choisie, le rang de la matrice de f dans une base B nedepend pas du choix de cette base.Un vecteur ~y de F est un element de Im(f) sil existe un vecteur ~x de E tel que f(~x) = ~y. Lesous-espace vectoriel Imf est engendre par les images des vecteurs de B. Sa dimension est le rangdes colonnes de A. On demontre que le rang des colonnes de A est egal au rang des lignes de A.

    1.2. Theoreme (du rang). On considere une application lineaire f : E F entre deux espacesvectoriels de dimension finie sur R. Le rang de f est egal a la dimension de Im(f) et on a laformule

    dim ker f = dimE dim Im(f).

    2. Vecteurs propres et valeurs propres dune application lineaire

    Dans tout ce paragraphe, on considere un entier d, un espace vectoriel E de dimension d sur R etune application lineaire f : E E.

    2.1. Definition. On dit quun vecteur ~v de E est un vecteur propre de f si ~v nest pas nul f(~v) est un vecteur proportionnel a ~v.Lorsque ~v est un vecteur propre de f , le coefficient de proportionnalite de f(~v) sur ~v est la valeurpropre associee a ~v.

  • 3

    Si ~v est un vecteur propre de f , il existe un scalaire tel que

    f(~v) = ~v.

    On dit que ~v est un vecteur propre de f de valeur propre .

    2.1.1. Exemple. On considere lapplication g : R2 R2 dont la matrice dans la base canoniquede R2 est la suivante

    A :=

    (1 65 2

    )et les deux vecteurs

    ~u :=

    (32

    )et ~v :=

    (65

    )On verifie que

    g(~u) =

    (911

    )et g(~v) :=

    (24

    20

    ).

    On en deduit que ~u nest pas un vecteur propre de g, tandis que ~v est un vecteur propre de valeurpropre 4.

    2.1.2. Exemple. [plus general : on ne suppose pas que E est de dimension finie] On considerelespace vectoriel des polynomes dune variable a coefficients reels note R[X] et lapplicationderivation

    D : R[X] R[X]P 7 P .

    Un vecteur propre de P est un polynome non nul P dont la derivee P lui est proportionnelle.Si le degre de P est au moins 1, alors la derivee P est de degre strictement inferieur et ne peutdonc pas etre proportionnelle a P . Si P est de degre 0, cest une constante non nulle et sa deriveeest nulle. On voit donc que les seuls vecteurs propres de D sont les constantes non nulles, tousassocies a la seule valeur propre 0.Noter quune base de R[X] est la famille des monomes (1, X,X2, . . .) qui est infinie denombrable.Lespace vectoriel R[X] nest donc pas de dimension finie.

    2.2. Definition. On considere une valeur propre de lapplication f . Le sous-espace proprede f associe a est lensemble des vecteurs de E solutions du systeme lineaire f(~v) = ~v. Cestun sous-espace vectoriel de E. On le note E(f).

    Comme est une valeur propre de f , le sous-espace E(f) contient au moins un vecteur non nul. Ilest donc de dimension strictement positive. Lensemble des vecteurs propres de f de valeur propre est lensemble des vecteurs non nuls de E(f).On remarque que le systeme lineaire f(~v) = ~v secrit

    (f Id)(~v) = ~0.

    2.2.1. Exemple. On considere lapplication g : R3 R3 dont la matrice dans la base canoniquede R3 est la suivante

    A :=

    4 1 62 1 62 1 8

    .

  • 4

    Le scalaire 2 est une valeur propre de g. En effet, lapplication g 2Id a pour matrice

    A 2I3 =

    2 1 62 1 62 1 6

    qui est de rang 1. Le systeme lineaire g(~v)2~v = ~0 se reduit a la seule equation 2v1v2 +6v3 = 0.Ses solutions forment un sous-espace vectoriel E2(g) de dimension 2 dans R

    3 dont une base est 120

    , 30

    1

    .2.3. Theoreme. On considere un scalaire . Les assertions suivantes sont equivalentes

    (1) est une valeur propre de f .

    (2) Il existe un vecteur propre de f de valeur propre .

    (3) Le systeme lineaire (f Id)(~v) = ~0 a au moins une solution non nulle (on dit aussi nontriviale, puisque le vecteur nul est toujours solution).

    (4) Le noyau de f Id nest pas reduit au seul vecteur nul.(5) Le rang de f Id nest pas maximum (autrement dit strictement inferieur a la dimension

    d de E.

    La seule chose qui ne decoule pas des definitions est lequivalence de (3) et (4). Cest le theoremedu rang, applique a f Id qui fournit la reponse, puisque

    dim ker(f Id) + rg(f Id) = d.

    2.3.1. Exemple. Cherchons a determiner toutes les valeurs propres de lapplication g etudieedans lexemple 2.1.1. On considere la matrice de g Id

    A I2 :=(

    1 65 2

    ).

    Elle nest pas de rang maximum si et seulement si les deux lignes sont proportionnelles, autrementdit si (1 )(2 ) = 30. Les valeurs convenables de sont les solutions de lequation du seconddegre

    2 3 28 = 0.Ces solutions sont 4 et 7.Calculons le sous-espace propre E4(g). Cest lensemble des solutions du systeme de matriceA (4)I2. Cette matrice est de rang 1, donc E4(g) est une droite vectorielle engendree par unde ses vecteurs non nul, par exemple ~v trouve en 2.1.1.Pour le calcul de E7(g), on resout le systeme de matrice A 7I2 qui est egalement de rang 1. Lesous-espace propre E7(g) est une droite vectorielle engendree par un de ses vecteurs non nul, parexemple ~w de coordonnees (1, 1).On constate que la famille (~v, ~w) est une base de R2 formee de vecteurs propres de g.

    Dans le cas general le calcul du determinant fournit un critere pour decider quune matrice carreeest de rang maximum ou pas.

  • 5

    2.4. Systemes dynamiques lineaires discrets.

    2.4.1. Exemple. (Voir D. Lay, Algebre lineaire et applications). On fait des statistiques sur unepopulation de chouettes : lannee n, les populations des femelles poussins, jeunes et adultes, sontdesignees respectivement par xn, yn et zn. On etablit experimentalement les relations suivantes :xn+1 = 0, 33zn (taux de fertilite des adultes), yn+1 = 0, 18xn (capacite a nicher) et zn+1 = 0, 71yn+0, 99zn (les ad