giansalvo exin cirrincione unité #2 les deux problèmes fondamentaux résolution dun système...

Giansalvo EXIN CirrincioneGiansalvo EXIN Cirrincione

unité #2unité #2

Les deux problèmes fondamentaux Les deux problèmes fondamentaux

Résolution d’un système linéaireRésolution d’un système linéaireA uA u = = bb

Calcul des valeurs propres et des Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matricevecteurs propres d’une matrice

erreur de troncatureerreur de troncature

erreurs d’arrondierreurs d’arrondiRésolution d’un système linéaireRésolution d’un système linéaire

A uA u = = bb

Méthodes directes

Méthodes itératives

Méthodes itératives !

Calcul des valeurs propres et des Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matricevecteurs propres d’une matrice

Compagne du polynôme

Théorème de Abel

Conditionnement d’un système linéaire


1u bA A

u b

Au b

A u u b b

1 bu uA Ab

Au b

A A u u b

1u A A u u

1u AA A

u u A


1u bA A

u b

1u AA A

u u A

1cond A A A A 1cond A A A A

Soit une matrice inversible et soit et les solutions de

On suppose 0. Alors l'inégalité

est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on peu

Au b

A u u b b

u bA

u b

A u u u

b

A

t

trouver des vecteurs 0 et 0 tels qu'elle devienne une égalité.b b



est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on peu

Au b

A u u b b

u bA

u b

A u u u

b

A

t

trouver des vecteurs 0 et 0 tels qu'elle devienne une égalité.b b


1u bA A

u b

1u AA A

u u A




est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on

Au b

A A u u b

u A

A u

A

u u

b

A

Au u

peut

trouver un vecteur 0 et un matrice 0 tels qu'elle devienne une égalité.

On a par ailleurs l'inégali é

1

t

u AA O A

u A

b A



est satisfaite et c'est la meilleure possible. Pour une matrice donnée, on

Au b

A A u u b

u A

A u

A

u u

b

A

Au u

peut

trouver un vecteur 0 et un matrice 0 tels qu'elle devienne une égalité.

On a par ailleurs l'inégali é

1

t

u AA O A

u A

b A


1u bA A

u b

1u AA A

u u A


1

1Si alors :

1

u b AA

A

u b AA

A

A

A

1

1Si alors :

1

u b AA

A

u b AA

A

A

A


1u bA A

u b

1u AA A

u u A


x1

min : singulièren nA BB

A A

x1min : singulièren nA B

BA A

1cond pour 1, 2,p p p pA A A A p 1cond pour 1, 2,p p p pA A A A p

Un système linéaire Un système linéaire Au Au = = b b est autant est autant mieux conditionnémieux conditionné que le nombre que le nombre cond (cond (AA)) est est voisin de 1voisin de 1..



10" lose dilog gits "A


Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution

r b Ax

1 1 1

1

rx x A b A b r A r A

A

x x rA r A

x A x b

r

x x

1 1 1

1

rx x A b A b r A r A

A

x x rA r A

x A x b

r

x x


Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution

1.2969 0.8648 0.8642 2

0.2161 0.1441 0.1440 2A b x

8

8

0.9911 10

0.4870 10x r b Ax

1 8

1 8

0.1441 0.864810

0.2161 1.2969

3.3 10

A

A A A


1 1min , ii

A p max , n i ni

A p A normale

2 21 1 2

2 2

n

u bb p b p A

u b

n nn n n n

n n

p pAp p A p u

nb p

n

n

pu


1 1min , ii

A p max , n i ni

A p A normale

2 21 1 2

2 2

n

u bb p b p A

u b

n

n

pu

2 212 2

12 2

nu bu p

u b

1u p

u u

nb p

1 1b p b b

Matrice de HilbertMatrice de Hilbert


Conditionnement d’un problème de valeurs propres


Théorème de Bauer-Fike

Soit Soit AA une matrice diagonalisable, une matrice diagonalisable, PP une matrice telle que une matrice telle que

1 diag iP AP

et et || • || une norme matricielle telle que|| • || une norme matricielle telle que

diag maxi ii

d

pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute matrice pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute matrice A,A,

1

sp

;

n

ii

i i

A A D

D z z P A

1 2e.g. , ,

C’est le conditionnement de la C’est le conditionnement de la matrice de passage à une matrice matrice de passage à une matrice diagonale qui intervient !diagonale qui intervient !

C’est le conditionnement de la C’est le conditionnement de la matrice de passage à une matrice matrice de passage à une matrice diagonale qui intervient !diagonale qui intervient !


Si Si AA est une matrice diagonalisable, est une matrice diagonalisable,

1

1

inf ; d

p

ia

;

g

sn

i

i

i

A P

A z z A A

P AP

A

conditionnement de A relativement au

calcul de ses valeurs propres


Si Si AA est une matrice diagonalisable, est une matrice diagonalisable,

1

1

inf ; d

p

ia

;

g

sn

i

i

i

A P

A z z A A

P AP

A

* * 12 2inf ; diag 1iAA A A A P P AP

Les Les matrices normalesmatrices normales sont très bien conditionnées sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.pour le problème des valeurs propres.

* *

21

sp ;n

ii

AA A A A A z z A


* * 12 2inf ; diag 1iAA A A A P P AP

Les Les matrices normalesmatrices normales sont très bien conditionnées sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.pour le problème des valeurs propres.

* *

21

sp ;n

ii

AA A A A A z z A

Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemplesOrigine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples

Approximation par les moindres carrées

, , 1i ix c i m

regression



moon fit



regression linéare regression non linéare



regression linéare


Soit wj , 1 j n (n < m) un ensemble de n fonctions réelles linéairement indépendantes, définies sur un ensemble contenant les points xj . Le problème consiste à déterminer une fonction

1

n

j jj

U u w

telle que les égalités U(xi) , 1 i n , soient approchées « au mieux ».


1

n

j jj

U u w

ordinary least squares

data least squares

total least squares


1

n

j jj

U u w

On cherche une fonction U qui rend minimum le nombre :

2

1 1

lorsque le vecteur décrit m n

nj j i i j j

i j

v w x c u w v

2 2trouver / inf

n

n

vu Bu c Bv c

1

mxnj iij

m mi i

B b

c

w x

c

2 2 2

2 222 ,T T

nB u w c Bu c B Bu B c w Bw

T TB Bu B cT TB Bu B cÉquations normalesÉquations normales


système mécanique à deux degrés de liberté

1

1

1

1

1

: variable d'état

: position du ressort

: position du ressort au repos

: masse au bout du ressort

: constante de raideur du ressort

: force agissant u

niquement sur la

sec

o e ) n( d

u t

x t

L

m

k

f t masse

m1 m2 f(t)k1 k2

x1(t)x2(t)

Seconde loide Newton

)(221222

2

2

2212121

2

1

tfukukdt

udm

ukukkdt

udm

222

111

Ltxtu

Ltxtu

11 2 2

1 1

2 22

2

2

2

22

0( )

, , , ( )

( )

k k k

mu t

u bf t

u tm

mK

k k

m m

d uKu b

dt

Écriture matricielle



m1 m2 f(t)k1 k2

x1(t)x2(t)

2

2

d uKu b

dt

1

2

1

2

2

0si telle que : ,

0

on pose

P P

d vDv Pb

d

KP D

v ut

P

21

1 1 12

22

2 2 22

( )

( )

d vv g t

dt

d vv g t

dt

Le comportement des deux ressorts Le comportement des deux ressorts est découpléest découplé - si l’on admet que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système.

fréquences de fréquences de résonancerésonance



fréquences de fréquences de résonancerésonance

2 2

2

22 2 2 2

solution : ( )

1avec

1

i t

i t

x t ke

k

x x x e

k

i

2 2

2

22 2 2 2

solution : ( )

1avec

1

i t

i t

x t ke

k

x x x e

k

i

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

10

fréquence excitatrice

Mod

ule

de l'

ampl

itude

de

la r

épon

se

Amplitude de la réponse Amplitude de la réponse d’un système oscillantd’un système oscillant

FINEFINE

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