syllabus analyse vectorielle

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SYLLABUS DU COURS ANALYSE VECTORIELLE FMT 2132

Nombre de crdits du cours 3 crdits

Nombre de sances par semestre 26 sances

Etudiants concerns Premire anne, Semestre 2

Enseignant

Coordonnes Branche

Fares Fares [email protected]

www.facebook.com/upa.actualites Baabda

1- Description du cours

1. Fonctions de deux ou de plusieurs variables 1.1.Norme euclidienne

1.2.Fonctions numriques

1.3.Limite et continuit

1.4.Composes de fonctions continues

1.5.Drives partielles

1.6.Diffrentielle

1.7.Drives partielles dordre suprieur (thorme de Schwartz)

2. Champs scalaires et champs vectoriels ; Oprateurs vectoriels

2.1. Dfinitions : champs scalaires et champs vectoriels

2.2. Gradient dun champ scalaire

2.3. Divergence dun champ vectoriel

2.4. Rotationnel dun champ vectoriel

2.5. Laplacien scalaire

2.6. Laplacien vectoriel

2.7. Loprateur nabla, reprsentation des oprateurs vectoriels avec loprateur nabla

2.8. Potentiel scalaire

3. Intgrales curvilignes

3.1. Dfinition

3.2. Proprits

3.3. Intgrale curviligne dun champ drivant dun potentiel

3.4. Drive directionnelle

3.5 Drive en chane

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4. Intgrales doubles 4.1. Dfinition ; thorme de Fubini

4.2. Proprits

4.3. Calcul de surfaces et de volumes

4.4. Moyenne dune fonction

4.5. Masse, centre de gravit, moments dinertie

4.6. Changement de variables

4.7. Thorme de Green

5. Intgrales triples 5.1. Dfinition

5.2. Proprits

5.3. Moyenne dune fonction

5.4. Masse, moments dinertie, centre de gravit

5.5. Changement de variables :

5.5.1. Coordonnes cylindriques

5.5.2. Coordonnes sphriques

6. Intgrales de surfaces

6.1. Dfinition dune surface

6.2. Surfaces particulires (sphre, ellipsode, parabolode, hyperbolode, cne, )

6.3. Surface paramtre

6.4. Plan tangent, vecteur normal

6.5. Aire dune surface paramtre

6.6. Aire dune surface de rvolution

6.7. Intgrale de surface :

6.7.1. Dfinition

6.7.2. Masse, centre de gravit

6.7.3. Flux dun champ de vecteurs travers une surface

6.8. Thorme dOstrogradski

6.9. Thorme de Stokes

2- But / Objectifs gnraux

Lobjectif principal dans ltude de ce cours est d'acqurir une solide connaissance des mthodes

de calcul infinitsimal d'une fonction de deux ou plusieurs variables et les bases de l'intgrale

multiple. Lessentiel est consacr au calcul dintgrales sur les chemins et les surfaces ainsi

qu'aux thormes dOstrogradsky, Green-Riemann dans le plan et son extension l'espace,

appel ici formule de Stokes. Limportance de ce cours provient de son utilisation en ingnierie

et en physique.

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3- Objectifs spcifiques / Acquis dapprentissage

Notions du cours Comptence acquise

Chapitre 1 : Limites, continuits, drives,

fonction de plusieurs variables.

Ltudiant devra tre capable de

Se familiariser avec les fonctions de

deux et trois variables.

Dterminer les courbes de niveau

dune fonction de deux variables et les

surfaces de niveau dune fonction de

trois variables.

Saisir intuitivement et valuer les

limites.

Calculer les drives dordre

suprieur.

Chapitre 2 : Produit scalaire, produit vectoriel

et produit mixte.


Dfinir les champs vectoriels et les

champs scalaires.

Appliquer les oprateurs gradient,

rotationnel, divergence, laplacien et

nabla sur un champ scalaire ou

vectoriel.

Calculer la drive dune fonction

scalaire.

Interpreter gomtriquement le

gradient.

Chapitre 3 : Courbe, intgrale curviligne,

potentiel scalaire, drive directionnelle et

drive en chane.


Interprter physiquement la

circulation dun champ de vecteurs le

long dune courbe.

Calculer la drive dune fonction

scalaire suivant un vecteur unitaire.

4- Activits dEnseignement et dApprentissage

13 sances de travaux dirigs sont prvues pour ce cours.

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5- Programme et calendrier des activits

Sances1 Date Cours

Sance 1

Dbut du chapitre 1 : Fonctions de

plusieurs variables

1.1- 1.4

Sance 2

Suite et fin du chapitre 1

Dbut du chapitre 2 : Oprateurs vectoriels

2.1- 2.2

Sance 3

Suite du chapitre 2 :

2.3- 2.6

Sance 4


Dbut du chapitre 3 : Intgrales curvilignes

3.1-3.2

Sance 5 Suite et fin du chapitre 3

Sance 6

Dbut du chapitre 4 : Intgrales doubles

4.1- 4.3

Sance 7 Suite du chapitre 4 : 4.4- 4.6

Sance 8


Dbut du chapitre 5 : Intgrale triple

5.1- 5.2

Sance 9


5.3-5.4


Sance 11

Dbut du chapitre 6 : Intgrale de surfaces

6.1-6.4

Sance 12


6.5-6.7


1 La rpartition des sances doit correspondre au nombre de crdits du cours (1 crdit = 9, 10 sances, 2 crdits = 18

sances, 3 crdits = 26 sances)

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6- Critres dvaluation :

Critres dvaluation

Connatre les mthodes de recherche de limites des fonctions plusieurs variables.

Appliquer les mthodes de drivations des fonctions plusieurs variables.

Distinguer un champ scalaire dun champ vectoriel.

Interprter gomtriquement les intgrales curvilignes, doubles, triples et les intgrales de

surfaces.

Effectuer un changement de variables et dterminer le jacobien de ce changement pour

calculer une intgrale double et triple.

Connatre les quations des surfaces particulires : sphre, ellipsode, parabolode,

hyperbolode, cne,

7- Modalits dvaluation :

La note finale du cours est note sur 100% et sera rpartie comme suit :

Sance Date

Prvue Pourcentage Commentaire

Quiz(s) 220% - Dure : 15 20 minutes par Quiz

Examen

Partiel 35%

- Dure : 1 h

- Documents : Interdits ou bien Permis

- Calculatrice non programmable :

Interdite Permise

Examen

Final

45%

- Dure max. : 1h30

- Documents : Interdits ou bien Permis

- Calculatrice non programmable :

Interdite Permise

7- Matriels et Rfrences du cours [1] Georges B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel D. Hass, Frank R. Giordano, Thomas Calculus

(11th Edition) de Fourier.

[2] M.R. Spiegel, Analyse vectorielle : cours et problmes, McGraw-Hill.

[3] James Stewart, Analyse, concepts et contextes, Volume 2 : Fonctions de plusieurs variables, De

Boeck, 2e dition, 2005.