Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Algèbre vectorielleAlgèbre vectorielle

IntroductionDans la partie algèbre vectorielle, nous avons fait l’étude des vecteurs et des opérations sur ceux-ci. Cette étude a débuté par les vecteurs géométriques. Nous avons vu qu’à l’aide de vecteurs linéairement indépendants, on peut décrire différents lieux géométriques.

En effectuant des opérations sur des vecteurs, on constate que, lorsque ceux-ci sont exprimés comme combinaison linéaire d’une base, les opérations ne portent que sur les scalaires des combinaisons linéaires.

Cette constatation nous amène à introduire la notion de vecteur algébrique qui est un couple (R2) ou un triplet (R2) composé des scalaires exprimant le vecteur dans la base orthonormée usuelle du plan cartésien ou de l’espace cartésien. De plus, la définition de vecteur algébrique est généralisable pour obtenir Rn.

Vecteurs géométriques

Dans cette première section, nous reverrons quelques

notions sur les vecteurs géométriques.

Vecteur géométriqueDÉFINITION

Vecteur géométrique

Il possède les caractéristiques suivantes :

• une direction, définie par la droite ∆s, qui lui sert de support, ou par toute droite qui lui est parallèle, par exem-ple ∆d;

• un sens, indiqué par une pointe de flèche à l’extrémité du segment de droite.

• une longueur, appelée le module du vecteur, et notée AB ;

Un vecteur géométrique est un segment de droite orienté, noté , où A est l’origine et B l’extrémité du vecteur.

AB

AdditionDÉFINITION

Addition de vecteurs géométriques

Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider leurs origines. Le vecteur somme est alors donné par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs en partant de l’origine commune.

Méthode du parallélogramme

, deux vecteurs géométriques libres. Le vecteur somme ou vecteur résultant, noté

Soit u et v

, peut être obtenu par deux méthodes, que l’on appelle méthode du parallélogramme et méthode du trian-gle.

u + v

Méthode du triangle

S

Les vecteurs étant libres, on peut faire coïncider l’origine de l’un avec l’extrémité de l’autre. Le vecteur somme a alors la même origine que le premier et même extrémité que le second.

De plus, u – v = u + (– v)

Multiplication par un scalaireDÉFINITION

Multiplication d’un vecteur géométrique par un scalaire

dont les caractéristiques sont :

, un vecteur géométrique non nul et p, un scalaire non nul. La multiplication du vecteur par le scalaire p donne un nouveau vecteur, noté p

Soit u

u,

• sa direction est la même que u;

soit le produit de la valeur absolue de p et du module du vecteur u;

p• son module est p u = u

• son sens est : – le même que , si p > 0;u

– opposé à celui de , si p < 0;u

pour toutDe plus, p 0 = 0 pour tout p , et 0 u = 0 u.

Combinaison linéaireDÉFINITION

Combinaison linéaire de vecteurs

On appelle combinaison linéaire des vecteurs toute expression de la forme :Soit v1 , v2 , v3 , …,vn , des vecteurs.

v1 , v2 , v3 , …,vn

a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an

On dit également que

w est engendré par les vecteurs

v1 , v2 , v3 , ... vn

w = a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an

si et seulement s’il existe des scalaires a1, a2, a3, …

an tels que :

est une combinaison linéaire des vecteurs On dit qu’un vecteur w

v1 , v2 , v3 , …,vn

Vecteurs engendrésEn considérant un vecteur et un point comme origine, on peut, par combi-naison linéaire, engendrer tous les vecteurs ayant la même droite support.

En considérant deux vecteurs non colinéaires (linéairement indépen-dants) ayant une origine commune, on peut, par combinaison linéaire, engendrer tous les vecteurs du plan de ces vecteurs.

En considérant trois vecteurs non coplanaires (linéairement indépendants) ayant une origine commune, on peut, par combinaison linéaire, engendrer tous les vecteurs de l’espace.

S

Dépendance et indépendance linéaire

DÉFINITION

Dépendance linéaire

On dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants si et seulement si il existe des scalaires a1, a2, a3, … an non tous nuls tels

que :

Soit V = { v1 , v2 , v3 , …,vn}, un ensemble de vecteurs.

a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an = 0

DÉFINITION

Indépendance linéaire

On dit que les vecteurs de V sont linéairement indépendants si et seulement si l’égalité :

Soit V = { v1 , v2 , v3 , …,vn}, un ensemble de vecteurs.

a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an = 0est vérifiée uniquement lorsque : a1 = a2 = a3 = … = an = 0.

Base de l’espaceDÉFINITION

Base de l’espace

} est une base de l’espace si et seulement si les vecteurs

Un ensemble B = { e1

sont linéairement indépendants.

e2,e1 e2, e3et

e3,

Tous les vecteurs de l’espace peuvent s’exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs d’une base. On est donc en mesure d’effectuer les opérations sur les vecteurs en les exprimant dans la base.Considérons les vecteurs u et v.

e1 e2 e3+ – 2 u = e1 e3+ et v =

u + v = ( e1 + e3 ) + ( e1 e2 e3+ – 2 )

= ( e1 + e1 ) + e2 e3 e3+ (

– 2 ) = (1 + 1) e1 + e2 + (1 – 2) e3

= 2 e1 + e2 – e3

On constate que l’on peut effectuer les opérations en ne considérant que les scalaires. On note alors :u = (1; 0; 1) et v = (1; 1; –2), d’où :u + v = (1; 0; 1) + (1; 1; –2) = (2; 1; –1) C’est cette constatation qui nous amè-nera à introduire la notion de vecteur algébrique qui dans R3 est le triplet exprimant le vecteur dans la base naturelle. Cette notion de vecteur algébrique peut alors être généralisée.

–

Base et repère d’une droiteDÉFINITION

Base d’une droite

Un ensemble B = { } est une base de la droite ∆ si et seulement si :e1

• le vecteur• tout vecteur de ∆ est une combinaison linéaire de

est non nul;ee1.

Repère d’une droite

Un ensemble {P, } est un repère de la droite ∆ si et seulement si :e

• B = {On dit que {P,

} est une base de ∆.ee } est un repère d’origine P et de base

• P est un point de la droite ∆;

e.

Un vecteur non nul forme une base de plusieurs droites. Pour décrire une droite particulière, il faut, en plus de la base, en donner un point.

On peut alors décrire tout point Q de cette droite dans son repère.

Dans cet exemple, on a :

OQ = OP PQ+ = OP + a e1

, où a est un scalaire.= ( ) + a e1e1 + 2 e3

La base de la droite n’est pas nécessai-rement un sous-ensemble de la base de l’espace. Il faut avoir un vecteur non nul définissant la direction de cette droite.

On peut encore décrire tout point de la droite dans le repère de celle-ci et dans la base de l’espace.

OQ = OP PQ+

= OP + a u

= (e1 + e2 ) + a(e1 – e2 ) + e3

où a est un scalaire.

Base et repère d’un plan

} est une base d’un plan si et seulement si les vecteurs

Base d’un plan

Un ensemble B = { e1

sont linéairement indépendants.e2,

e1 e2et

Deux vecteurs linéairement indépen-dants forment une base de plusieurs plans. Pour décrire un plan parti-culier, il faut, en plus de la base, en donner un point.On peut alors décrire tout point Q de ce plan dans son repère.

Dans cet exemple, on a :

OQ = OP PQ+= OP + a + be1 e2

où a et b sont des scalaires (nombres réels).

Repère d’un plan

Un ensemble {P, } est un repère d’un plan si et seulement si :

• B = { } est une base ordonnée du plan. • P est un point de l’espace;

e1 e2,

e1 e2,

La base d’un plan n’est pas nécessai-rement un sous-ensemble de la base de l’espace. Il faut avoir deux vecteurs linéairement indépendants parallèles à ce plan.

où a et b sont des scalaires.

On peut encore décrire tout vecteur du plan dans le repère de celui-ci ou dans la base de l’espace.

OQ = OP PQ+

= OP + a + bu v

= (e1 + e2 ) + a(e1 +e3 ) + b(– ) e1 + e3

DÉFINITION

Vecteurs algébriquesNotre étude des vecteurs géométriques nous a permis de constater que les opérations sur ceux-ci ne portent que sur les scalaires exprimant ces vecteurs comme combinaisons linéaires de la base considérée.

Cela permet de redéfinir les opérations en ne considérant que les scalaires exprimant les vecteurs dans cette base.

Parmi toutes les bases possibles, il est avantageux de considérer une base constituée de vecteurs unitaires, perpendiculaires deux à deux. On peut alors représenter un vecteur de R2 en donnant le couple des scalaires exprimant le vecteur comme combinaison linéaire de cette base. De la même façon, on caractérise un vecteur de R3 par un triplet et, on peut alors généraliser et définir des vecteurs dans Rn.

Plan cartésien

DÉFINITION

Plan cartésien

Le plan cartésien (ou plan réel) est un plan de repère orthonormé {O, i j, }, où

est vertical et orienté vers le haut.

ihorizontal et orienté vers la droite et

est

j

Tout vecteur du plan peut alors s’écrire sous la forme :

v i= v1 j+ v2ou sous la forme : v = (v1; v2).

En particulier : i i= 1 j+ 0 = (1; 0) et j i= 0 j+ 1 = (0; 1)

Dans un repère, on peut exprimer tout vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Les opérations peuvent alors être définies sur les scalaires de ces combinaisons linéaires. Dans le plan, on utilise le repère orthonormé suivant.

DÉFINITION

Espace cartésien

L’espace cartésien est un espace de repère orthonormé {O,

Espace cartésien

i j, }. Les vecteurs du repère sont orientés comme dans l’illustration ci-contre. Tout vecteur de l’espace peut alors s’écrire sous l’une des formes suivantes :

ou u = (u1; u2 ; u3).

En particulier :

, k

ku i= u1 j+ u2 + u3

et

i i= 1 j+ 0 = (1; 0; 0)k+ 0

j i= 0 j+ 1 = (0; 1; 0)k+ 0

k i= 0 j+ 0 = (0; 0; 1)k+ 1

Dans l’espace, on utilise le repère orthonormé suivant.

Espace R3

On désigne par R3 l’espace tridi-mensionnel dans lequel chaque point est caractérisé par trois coordonnées qui forment un triplet. Les axes sont désignés par x, y et z et représentés comme dans l’illustration ci-contre. Pour représenter un triplet dans cet espace, on procède comme dans R2, en reportant perpendiculairement les coordonnées sur les axes.

Représentons les triplets (3; –4; 4) et (–4; 3; 4).

On peut, par la relation de Chasles, considérer un vecteur dont l’origine est un point A et l’extrémité un point B, et déterminer un vecteur algébrique égal dont l’origine est au point (0; 0; 0).

Dans R3, un vecteur algébrique est un triplet de la forme :

u = (u1; u2; u3)Il est caractérisé par les coordonnées du point à son extrémité.

Vecteur algébrique dans Rn

DÉFINITION

Vecteur algébrique dans Rn

Un vecteur algébrique de Rn est une suite (u1; u2; …; un), où les composantes sont toutes des nombres réels, ce que l’on note ui

Rpour tout i.

u

Le module ( ou la norme) du vecteur algébrique de Rn est :

=  u12 +  u2

2 + … +  un2

La notion de vecteur algébrique est généralisable à des suites de n composantes. Nous ne rappelons ici que les définitions des opérations sur de telles suites. Pour les opérations dans R2 ou R3, il suffit de considérer n = 2 ou n = 3. On ne peut donner de repré-sentation géométrique d’un vecteur algébrique de Rn. Cependant, tout phénomène comportant n variables se traite avec des vecteurs de Rn.

Égalité de vecteurs algébriques de Rn

DÉFINITION

Égalité de vecteurs algébriques dans Rn

sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement :

Deux vecteurs de Rn, u = (u1; u2 ; ….; un) et v = (v1; v2 ; …; vn)

u = v u1 = v1, u2 = v2, … et un = vn

Pour définir des opérations sur les objets d’un ensemble, il faut

préalablement donner un sens à l’égalité entre deux éléments de cet

ensemble.

Opérations dans Rn

Addition de vecteurs algébriques dans Rn

Le vecteur somme est défini par l’égalité suivante :

deux vecteurs algé-briques dans Rn.Soit u = (u1; u2; …; un) et v = (v1; v2; …; vn),

= (u1; u2; …; un) + (v1; v2; …; vn)u v+

= (u1; u2;…; un) un vecteur algébrique dans Rn et k un scalaire.Soit u

Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans Rn

La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par l’égalité suivante :

u = k(u1; u2; …; un) = (ku1; ku2; …; kun) k

DÉFINITION

DÉFINITION

= (u1+ v1; u2+ v2 ; …; un+ vn)

Vecteurs algébriques et systèmes d’équations

Dans Rn, comme dans R2 et R3, c’est à l’aide d’un système d’équations linéaires non homogène que l’on exprime un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs d’une base. En effet, il faut alors déterminer la valeur des scalaires de cette combinaison linéaire. Il faut chaque fois, après avoir échelonné la matrice, interpréter le résultat : aucune solution, infinité de solutions, solution unique.

Pour déterminer si des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants, il faut résoudre un système d’équations homogène. Il faut chaque fois, après avoir échelonné la matrice, interpréter le résultat : infinité de solutions, solution unique.

Espace vectorielet sous-espace vectoriel

Lorsqu’un ensemble est muni d’opérations et que celles-ci

satisfont à certaines propriétés, on dit que l’ensemble est doté

d’une structure. La structure que l’on étudie en algèbre

linéaire est celle d’espace vectoriel.

Nous avons déjà rencontré plusieurs ensembles qui possèdent

une structure d’espace vectoriel. C’est le cas de l’ensemble des

matrices de même dimension, des vecteurs géométriques et de

vecteurs algébriques.

Structure d’espace vectorielUn ensemble V

Addition, • Fermée sur V,

K, un corps de scalaires

Addition, • Fermée sur K,

Multiplication, • Fermée sur K,

Multiplication par un scalaire,

V a une structure de groupe abélien.

• Fermée sur V,• associative,

• possède un neutre,

• chaque élément a un opposé,

• commutative.

• associative,• possède un neutre,• chaque élément a

un opposé,• commutative.

• distributive sur +,• associative,• possède un neutre,

• chaque élément, sauf 0, a un inverse.

• distributive sur +,

• distributive sur ,• associative avec

• Le neutre de est neutre pour .

Les éléments de V sont appelés

vecteurs.

Les éléments de K sont appelés

scalaires.

Sous-espace vectoriel

THÉORÈMESous-espace vectoriel

Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V. Le sous-ensemble U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :1. U est non vide.2. L’opération d’addition de vecteurs est fermée sur U :

3. L’opération de multiplication d’un vecteur par un scalaire est fermée sur U :

u vPour tout U,et u v U

UuPour tout et pour tout k K, (k u)U

Pour déterminer si un sous-ensemble d’un espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel (si le sous-ensemble a la même structure), on applique le théorème suivant. Il est important de relire les exemples de l’ouvrage illustrant cette procédure.

Base et dimension d’un espace vectoriel

DéfinitionBase d’un espace vectoriel

Soit V, un espace vectoriel sur K, et B, un ensemble de n vecteurs de V. L’ensemble B forme une base de V si :1. les vecteurs de B sont linéairement indépendants;2. tout vecteur de V peut s’écrire comme combinaison linéaire des

vecteurs de B (tous les vecteurs de V sont engendrés par les vecteurs de B).

DéfinitionDimension d’un espace vectoriel

Soit V, un espace vectoriel sur K. La dimension de V, notée dim V, est définie comme suit :

dim V =n si une base de V contient n vecteurs.

0 si le seul élément de V est le vecteur nul.

Sous-espace engendréTHÉORÈMESous-espace engendré

}, un ensemble non vide de vecteurs d’un espace vectoriel V sur un corps K. Soit U = { v1 v2 v3 vn, , , …,

Pour décrire le sous-espace engendré par un ensemble de vecteurs de R3, il faut déterminer à quelles conditions un vecteur (a; b; c) est engendré par combinaison linéaire des vecteurs donnés. On doit alors appliquer la méthode de Gauss. La ou les conditions sont alors des équations à partir desquelles on peut déterminer la forme générale des vecteurs engendrés et en déterminer une base plus simple à visualiser, puisque les vecteurs sont alors dans les plans du système d’axes. La dimension du sous-espace est alors donnée par le nombre de vecteurs dans cette base.

Alors, l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous-espace vectoriel de V.

Lieux géométriquesOn peut décrire des sous-ensembles d’un espace vectoriel comme combinaison linéaire de vecteurs en imposant des contraintes au domaine de variation des scalaires.

Les points du parallélépipède construit sur ces vecteurs sont décrits par :

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

(x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2),

v1 v2= (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3 = (–2; 1; 2)

La description paramétrique des points du parallélépipède est :

où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1.

x = 2r + s – 2ty = 4s + t

z = 4r + 2s

, où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1.

Considérons les vecteurs :

Conclusion

Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments

importants de la partie sur l’algèbre vectorielle et les applications qui

ont été faites de ces notions dans l’ensemble du cours.

Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation,

les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important

pour votre préparation à l’examen synthèse que vous preniez le

temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et

applications que vous ne maîtrisez pas.

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Chapitres 5 à 7 et 13.