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Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Algèbre matricielleAlgèbre matricielle

IntroductionCette présentation va vous permettre de revoir les différentes notions présentées dans la partie sur l’algèbre matricielle. Il n’y a pas d’exemples ni d’exercices, seulement des éléments théoriques.

Il faut être conscient que les exemples et les exercices sont des interventions dans des cas particuliers à partir d’un cadre général, la théorie. Les exercices peuvent parfois sembler difficiles ou déroutants sans une bonne compréhension de la théorie et de ses éléments clés, les définitions et les théorèmes. Il faut :

Penser globalement pour agir localement de façon efficace

L’action locale, c’est la résolution de problèmes dans les exercices. Cette action est guidée par la pensée globale, c’est-à-dire la connaissance que l’on a de la théorie. L’efficacité des interventions locales dépend de la qualité des connaissances théoriques. Sans une bonne compréhension du cadre théorique, les procédures de résolution ne sont que des recettes vite oubliées ou mal appliquées.

Matrices et opérations

Dans cette première section, nous reverrons la notion

de matrice et les opérations sur celles-ci.

Matrice

On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme :

où les aij sont les éléments de la matrice.

L’indice i indique la ligne de l’élément et l’indice j, sa colonne. Ces indices donnent l’adresse de l’élément.

On dit qu’une matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une matrice de dimension mxn (ce qui se lit m par n).

a12 est l’élément «a un deux» et non pas «a douze».

DÉFINITION

.

.

a11

a21

am1

.

.

a12

a22

am2

.

.

a1n

a2n

amn mn

aij

...

...

...

DÉFINITION

DÉFINITION

Opérations sur les matrices

Soit A = (aij) et B = (bij), deux matrices de même dimension mn. La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimen-sion mn définie par :

A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

Soit A = (aij), une matrice de dimension m n et k, un scalaire (nombre réel). La multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice notée kA et définie par l’égalité :

kA = k(aij) = (kaij)

DÉFINITION

DÉFINITION

Transposition et produit

Soit A = (aij), une matrice de dimension m n. On appelle matrice transposée de A, notée At, la matrice de dimension n m dont la ie colonne est la ie ligne de la matrice A pour i = 1, 2, ..., m.

Soit A = (aik)m p et B = (bkj)p n, deux matrices. Le produit de ces matrices, noté A • B (ou AB), est une matrice C = (cij)m n dont les éléments cij sont définis par :

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj ,

pour tout i et pour tout j.

Applications des matrices

Dans le cours, on a utilisé les matrices et les opérations sur celles-ci dans les situations suivantes :

• pour décrire des problèmes de production;• pour représenter les systèmes d’équations;

• pour résoudre des systèmes d’équations selon différents contextes;

- problème de production; - chaînes de Markov;

- combinaisons linéaires; - indépendance linéaire;

- positions relatives et intersections de droites et de plans.

Systèmes d’équations et matrices

Dans cette deuxième section, nous reverrons les notions

présentées sur les systèmes d’équations linéaires, homogènes et

non homogènes, et l’information que donne la matrice échelon-

née sur le type de solution du système.

Représentation matricielle

Matrice des coefficients Matrice des variables

Matrice des constantes

=

.

.

a11

a21

am1

.

.

a12

a22

am2

.

.

a1n

a2n

amn

aij

...

...

...

.

.

x1

x2

xn

.

.

b1

b2

bm

On peut décrire tout système d’équations linéaires par un produit de matrices.

L’équation matricielle doit être sous cette forme pour que l’on puisse appliquer les procédures de résolution présentées dans le cours.

Problème de production

Matrice des coefficients Matrice des variables

Matrice des constantes

=

.

.

a11

a21

am1

.

.

a12

a22

am2

.

.

a1n

a2n

amn

aij

...

...

...

.

.

x1

x2

xn

.

.

b1

b2

bm

Quantité de chacun

des matériaux par

unité de chacun des

articles à produire

Nombre

d’unités

à

produire

Quantité

totale des

matériaux

Plusieurs problèmes de production peuvent se représenter par une équation matricielle.

Lorsque le nombre d’unités à produire est connu, on doit effectuer le produit des matrices pour déterminer la quantité de matériaux.

Lorsque la quantité totale des matériaux disponibles est connue, on doit résoudre un système d’équations linéaires pour déterminer le nombre d’unités que l’on peut produire.

Opérations élémentairesPour résoudre par la méthode de Gauss, ou par la méthode de Gauss-Jordan, on échelonne en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes.

Soit A, une matrice. On appelle opérations élémentaires sur les lignes de A les opérations suivantes :

1. Interchanger la ligne i et la ligne j. Cette opération est notée par :Li Lj

2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul. Cette opération est notée par :

Li aLi , où a R\{0}

3. Substituer à la ligne i la somme d’un multiple non nul de la ligne i et d’un multiple de la ligne j. Cette opération est notée par :

Li aLi + bLj , où a R\{0} et b R

Opérations élémentaires sur les lignes

Matrice échelonnée

On utilise les opérations élémentaires pour déterminer la matrice échelonnée (par la méthode de Gauss) ou la matrice échelonnée ré-duite (par la méthode de Gauss-Jordan).

DÉFINITION

Une matrice échelonnée réduite est une matrice dont :• le pivot de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1;• le pivot est le seul élément non nul de la colonne où il se trouve.

DÉFINITION

Une matrice échelonnée est une matrice dont le nombre de zéros précédant le premier élément non nul de chaque ligne augmente de ligne en ligne jusqu’à n’avoir éventuellement que des zéros.Dans une matrice échelonnée, le premier élément non nul de chaque ligne est appelé le pivot de cette ligne.

2000

1000

3–2

00

8450

712

50

1000

0000

0100

0010

9–3

40

Variables liées et variables libresDÉFINITION

Dans un système d’équations linéaires, une variable liée est une variable dont la valeur est constante ou dépend d’une autre variable. Dans la matrice échelonnée d’un système d’équations, les variables liées sont les variables associées au pivot de chaque ligne. Les autres variables sont des variables libres.

1 –2 3 –5 3

0 0 0 0 00 0 –1 13 13

x zy u x est une variable liée.

z est une variable liée.

y est une variable libre.

u est une variable libre.

Système d’équations non homogène

Un système d’équations linéaires non homogène est un système dont au moins une des constantes est non nulle. Nous avons eu à résoudre des systèmes d’équations linéaires non homogènes dans les situations suivantes :

• pour déterminer si un vecteur donné est combinaison linéaire ou est engendré par un ensemble de vecteurs;

• pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov;

• pour déterminer la position relative de droites et de plans dans l’espace.

• pour établir un plan de production, connaissant les quantités de matériaux disponibles;

Système d’équations non homogèneOn rencontre également des systèmes d’équations linéaires non homogènes dont les constantes sont des paramètres. Il faut alors déterminer la condition ou les conditions auxquelles doivent satisfaire les paramètres a, b et c pour que le système ait des solutions. Par exemple :

On rencontre ces situations lorsqu’il faut décrire le sous-espace engendré par un ensemble donné de vecteurs.

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

=

a

b

c

x

y

z

Systèmes non homogènes à deux inconnuesDans un système non homogène de deux équations à deux inconnues,

on peut rencontrer trois situations après avoir échelonné la matrice.


a b c

0 d eSolution unique

Types de solution Types de graphique

a b c

0 0 e

a b c

0 0 0

, où a ≠ 0 et d ≠ 0.

Aucune solution, où e ≠ 0.

Infinité de solutions

autant d’équations que d’inconnues

moins d’équations que d’inconnues

message d’impossibilité

0 = e ≠ 0

Droites

concourantes

Droites

parallèles

Droites

confondues

Systèmes non homogènes à deux inconnuesUn système d’équations non homogène peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et le nombre d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution de ce système.


Solution unique


, où a ≠ 0 et e ≠ 0.

Aucune solution, où f ≠ 0.




message d’impossibilité

0 = e ≠ 0

a b c

d e f

g h i

Matrice initiale d’un système non homogène de trois équations à deux inconnues

a b c0 e f0 0 0

a b c0 0 f0 0 0

a b c0 0 00 0 0

Types de solution, systèmes à trois inconnues

Solution unique

SS

Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une solution unique.

Les trois plans se rencontrent alors en un même point.

a b c d

0 e f g

0 0 h i

, où h ≠ 0.


Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une infinité de solutions.

Les trois plans peuvent être confondus ou avoir une droite comme intersection.

a b c d

0 e f g

0 0 0 0

a b c d

0 e f g

0 0 0 i

Aucune solutionLorsque la matrice échelonnée com-porte une équation impossible, le système n’a aucune solution.

, où a ≠ 0 et i ≠ 0.

Deux des plans peuvent être parallèles distincts.

Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes.

La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues.

Un système d’équations linéaires à trois inconnues peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues ou moins d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution du système.

Système d’équations homogène

Un système d’équations linéaires homogène est un système dont toutes

les constantes sont nulles. Un tel système peut avoir une solution

unique ou une infinité de solutions. Lorsque les équations du système

ont deux inconnues, ils décrivent des droites passant à l’origine. Ces

droites peuvent être concourantes ou confondues. Lorsque les équa-

tions du système ont trois inconnues, ils décrivent des plans passant à

l’origine.

Nous avons eu à résoudre des systèmes d’équations linéaires

homogènes pour déterminer si les vecteurs d’un ensemble sont

linéairement dépendants ou linéairement indépendants.

Systèmes homogènes à deux inconnuesDans un système homogène de deux équations à deux inconnues, les équations décrivent des droites passant à l’origine. On peut ren-contrer deux situations après avoir échelonné la matrice.


a b 0

0 d 0 Solution unique


a b 0

0 0 0

, où a ≠ 0 et d ≠ 0.




Cette solution est (0; 0), on l’appelle la solution triviale.

On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

Systèmes homogènes à deux inconnuesUn système d’équations homogène peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et le nombre d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution de ce système.

Matrice échelonnée Types de solution Types de graphique

, où a ≠ 0 et d ≠ 0.

a b 0

0 d 0

0 0 0

a b 0

0 0 0

0 0 0

a b 0

c d 0

e f 0

Matrice initiale d’un système homogène de trois équations à deux inconnues

Solution unique




Cette solution est (0; 0), on l’appelle la solution triviale.

On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

Systèmes homogènes à trois inconnuesDans un système homogène à trois inconnues, les équations décrivent

des plans passant à l’origine, (0; 0; 0), qui est toujours une solution.

Lorsque le système homogène échelonné comporte autant d’équa-

tions que d’inconnues, c’est la seule solution. On l’appelle la solution

triviale.

Lorsque le système homogène échelonné comporte moins d’équa-

tions que d’inconnues, il y a infinité de solutions qu’il faut décrire en

représentant les variables libres par des paramètres et en exprimant

les variables liées en fonction de ces paramètres.

Déterminant

Dans cette troisième section, nous reverrons la notion de

déterminant et les différentes utilisations qui en ont été faites

dans le cours.

Développement de LaplaceDÉFINITION

Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est défini symbo-liquement de la façon suivante :

Pour un développement selon une ligne p quelconque :

det A = ap1Cp1 + ap2Cp2 + ... + apnCpn

Pour un développement selon une colonne r quelconque :

det A = a1rC1r + a2rC2r + ... + anrCnr

RemarqueLe déterminant d’une matrice carrée d’ordre n est obtenu en effectuant la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) quelconque par son cofacteur.

Procédure

Calcul et propriétés

pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés

1. Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros.

2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) :

Ci Ci + kCj , où k R ou Li Li + kLj , où k R

3. Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) conte-nant les zéros.

4. Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre n – 1.

Déterminant et systèmes d’équationsLorsqu’un système d’équations linéaires comporte autant d’équa-tions que d’inconnues, on peut calculer le déterminant de la matrice des coefficients du système, puisque cette matrice est carrée. Pour un système de trois équations à trois inconnues, on a alors :

Si det A ≠ 0

Système

(0; 0; 0)

non homogène

homogène

Solution

unique

Si det A = 0

Système

non homogène

homogène Infinité de

solutions

Infinité de

solutions

Aucune

solutionou

Un triplet (a; b; c)

Méthode de CramerThéorème

Soit un système de trois équations à trois inconnues :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a12x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Ce système admet une solution unique (x1; x2; x3) = (k1; k2; k3) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est :

b1

b2

b3

a12

a22

a32

a13

a23

a33 k1 = a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

b1

b2

b3

a13

a23

a33 , k2 = a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

b1

b2

b3et k3 = a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

Méthode de CramerProcédure

pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer

1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0.

2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det Ai , où i est la colonne associée à la ie

inconnue (i = 1, ..., n).

3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A).

4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.

Applications du déterminantDans le cours, on a calculé un déterminant dans les situations suivantes :• pour déterminer si un système d’équations linéaires comportant

autant d’équations que d’inconnues a une solution unique ou non;

• pour résoudre un système d’équations par la méthode de Cramer;

• pour déterminer si trois vecteurs de R3 sont linéairement indépen-dants ou linéairement dépendants;

• pour déterminer si trois vecteurs de R3 sont coplanaires ou non;

• pour déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans R3;

• pour déterminer le produit mixte de trois vecteurs dans R3;

• pour calculer le volume d’un parallélépipède;

• pour trouver l’équation d’un plan passant par trois points connus;

• pour calculer des distances dans R3.

Matrice inverse

Dans cette quatrième section, nous reverrons les procédures

pour déterminer une matrice inverse et l’utilisation que l’on

peut en faire pour résoudre un système d’équations linéaires

ou pour déterminer une transformation linéaire inverse.

Matrice inverse

DÉFINITION

Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de A, si elle existe, la matrice A–1 telle que :

A • A–1 = A–1 • A = I

où I est la matrice identité d’ordre n.

Procédure de Gauss-JordanProcédurepour construire la matrice inverse

1. Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du même ordre.

2. Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice augmentée.

3. Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe.

4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I.

Procédure de la matrice adjointeProcédurepour construire la matrice inverse

1. Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est inversible.

2. Construire la matrice des cofacteurs (cof A).

3. Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice adjointe (adj A = (cof A)t) et multiplier cette matrice par le scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse.

4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A • A–1 = I ou encore en vérifiant que A • (adjA) = (det A)I.

Matrice inversible

Théorème

Théorème

Critère d’inversibilité d’une matrice

Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si :

det A ≠ 0

Unicité de la matrice inverse

Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors l’inverse de A est unique.

Matrice inverse et système d’équations linéaires

Soit un système d’équations linéaires représenté sous forme matricielle par A • X = B, où A est une matrice carrée d’ordre n inversible.

On peut alors multiplier des deux côtés de l’égalité par la matrice inverse A–1. Cela donne :

A–1 • A • X = A–1 • B

Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A–1, la matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne la solution du système d’équations linéaires.

d’où : I • X = A–1 • B , puisque A–1 • A = I

et : X = A–1 • B , car I • X = X

Applications de la matrice inverse

Dans le cours, on a utilisé la matrice inverse dans les situations

suivantes :

• pour résoudre un système d’équations linéaires comportant autant

d’équations que d’inconnues et dont le déterminant de la matrice

des coefficients est non nul;

• pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov;

• pour décoder un message qui a été codé par une matrice;

Conclusion

Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments

importants de la partie sur l’algèbre matricielle et des applications

qui ont été faites de ces notions dans l’ensemble du cours.

Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation,

les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important

pour votre préparation à l’examen synthèse que vous preniez le

temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et

applications que vous ne maîtrisez pas.

Exercices de synthèse

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Chapitre 13.

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