Algèbre vectorielle

1 Notions générales sur les vecteurs

1.1 Qu’est-ce qu’un vecteur ?Un vecteur permet de caractériser un déplacement :

A

BC

D

vu

droite (AB)

Il n’est en aucun cas lié à un point de départ ou d’arrivée. Ici :

�−−→AB = −−→CD = u = v

Un vecteur est défini par :

� une direction : dans l’exemple, la droite (AB)

� un sens : dans l’exemple, de A vers B

� une longueur : dans l’exemple, la distance de A à B

� Rem. : au lieu de parler de la "longueur" d’un vecteur u, on préfère parler de sa norme, que l’on note ‖u‖.

� Exemple de vecteurs : un déplacement, ou une force ...Vecteur u “Faire 1 km vers le nord puis 5 kms vers l’est“

N

S

EO

A

uB

uC

u D

u

E

u

F

uA

u

G

u

H

u 1 km1 km

Partant d’un point différent ... on arrive à un point différent !Force : l’intensité d’une force est exprimée par la longueur du vecteur-force. Exemple : un mistral venant du nord

à 50 km/h. Le même à 100 km/h = même direction, même sens mais longueur double.

� Vecteur nul : il existe un déplacement particulier : celui qui permet d’aller d’un point à lui-même (de A à A,de B à B). Il est difficile de parler de direction et de sens pour ce déplacement très particulier, mais la “longueur“ quile caractérise est égale à 0.

Un tel vecteur sera appelé vecteur nul et noté −→0 ou plus simplement 0.

1

� Convention : tracer un vecteur étant impossible, on trace un de ses représentants. Le plus souvent, depuisl’origine d’un repère affine.

0

u

v

w

x

y

� Egalité de vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, sens et norme.

A

B

C

D

� Sur l’exemple ci-dessus −−→AB = −−→CD .

ce qui est équivalent à ... : ABDC est un parallélogramme

1.2 Opérations sur les vecteursUn vecteur est compris comme un déplacement. On en déduit les résultats suivants :

1.2.1 Somme de vecteurs

La somme de deux vecteurs est comprise comme la succession de deux déplacements :

A

BC1

2

3

Mouvements 1 puis 2

=

Mouvement 3

+

� Relation de Chasles−→AC = −−→AB +−−→BC

2

Problème : appliquer Chasles plus généralement ...� Tracer u+ v ...

u

vu

v

A

Depuis un point donné ... Avec la même origine ...

1.2.2 Opposé d’un vecteur

� L’opposé d’un vecteur est le déplacement de même direction, même norme et de sens inverse.

� Le vecteur opposé à u est noté −u. Tracer −u et −v ...

uv

� rem. : u+ (−u) = 0

1.2.3 Différence de vecteurs

La différence de deux vecteurs est la somme du premier avec l’opposé du second :

u− v = u+ (−v)

� Tracer u− v ...

u

vu

v

A

Depuis un point donné ... Avec la même origine ...et de deux manières ...

� rem. : dans l’exemple ci-dessus, v + (u− v) = v + u− v = u ...

3

1.2.4 Produit d’un vecteur par un réel

� Pour tout réel α et vecteur u, le vecteur αu a :

- même direction que u,

- même sens que u si α > 0, sens opposé sinon

- une longueur égale à |α| fois celle de u ‖αu‖ = |α| ‖u‖

� Tracer 2u, 4v, −3w ...

uv

w

1.3 Propriétés� Pour tous réels α, β et pour tous vecteurs u, v, on a :

α (u+ v) = αu+ αv

(α+ β)u = αu+ βu

α (βu) = (αβ)u

αu = 0⇐⇒ (α = 0 ou u = 0)

Rem. : on acceptera la notation 1αu = u

α mais pas uv si v = αu !

1.4 Définition vectorielle du milieu d’un segment

A

I

B

� I est milieu de [AB] si(−→AI = −→IB

)⇔(−−→AB = 2−→AI

)⇔(−−→BA = 2−→BI

)⇔(−→AI = 1

2−−→AB)

4

1.5 Coordonnées d’un vecteurUn vecteur, correspondant à un déplacement, peut être exprimé par les valeurs des déplacements suivant chaque

axe.� Ci-dessous, u

( ), v

( ), w

( ), x

( ), y

( )

1

1u

v

w

x

y

A tout vecteur peut être ainsi associé un jeu de coordonnées. Mais ces coordonnées dépendent des axes choisis, etde l’origine. Elles seront donc exprimées suivant un repère.

1.5.1 Propriétés

Soient u

...ui...

, v

...vi...

deux vecteurs d’un espace de dimension p.

Les coordonnées de u et v dans un repère de cet espace sont donc notées u1, ..., up et v1, ..., vp.

� (u = v)⇐⇒ pour tout i de 1 à p, ui = vi

� Coordonnées de u+ v : u+ v

...ui + vi...

� Coordonnées de −u : −u

...−ui...

� Coordonnées de u− v : u− v

...ui − vi...

� Pour tout réel α, coordonnées de αu : αu

...αui...

1.5.2 Colinéarité

� Deux vecteurs u et v sont colinéaires si : ils ont même direction.

u et v sont donc colinéaires s’il existe un réel α tel que v = αu

� On en déduit que u et v sont colinéaires s’il existe un réel α tel que, pour tout i, vi = αui

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2 Centres de gravité - Barycentres2.1 Centre de gravité d’une famille de vecteurs

On appelle centre de gravité d’un système de vecteurs {x1, ...} le vecteur g d’équilibre du système. Depuis cepoint, les "forces" exercées par les vecteurs s’annulent.

� Nommer les vecteurs reliant g aux vecteurs xi ...

x1

x3

x2

g

x1

x3

x2

g

� Dans l’exemple ci-dessus, on obtient : (x1 − g) + (x2 − g) + (x3 − g) = 0

� On en déduit que : (x1 + x2 + x3)− 3g = 0 =⇒ g = 13 (x1 + x2 + x3)

Plus généralement ...� le centre de gravité d’un système de n vecteurs {xi}i=1,...,n est le vecteur g vérifiant :

n∑i=1

(xi − g) = 0

On en déduit que :

g = 1n

n∑i=1

xi

� Les coordonnées de G sont les moyennes des coordonnées des vecteurs du système.

2.2 BarycentreCette fois, un "poids" est affecté à chaque vecteur.Le barycentre g de n vecteurs {xi}i=1,...,n affectés des poids pi (où les pi sont des réels) vérifie :

g =n∑i=1

pi

p xi où p =n∑i=1

pi

Ses coordonnées sont les moyennes pondérées des coordonnées par dimension.

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3 Produit scalaire3.1 Définition

Vecteurs : Addition, soustraction, multiplication par un réel ...

u

v

u-vu-v

u+v

-v 2u

w 2w 3w-3w -2w -w

Et la multiplication ?Il existe une forme de multiplication entre vecteurs, mais son résultat est un réel, et non un vecteur.On l’appelle produit scalaire et on note u.v le produit scalaire entre deux vecteurs u et v.

Dans toute la suite, nous nous limitons à l’étude des espaces euclidiens munis du produit scalaire induit par lamétrique euclidienne :

� Le produit scalaire entre deux vecteurs u et v est ... la somme des produits de leurs coordonnées deuxà deux.

Soient u

...ui...

, v

...vi...

deux vecteurs d’un espace de dimension p.

� u.v =∑pi=1 (ui × vi) = u1v1 + u2v2 + ...upvp

On dit du produit scalaire qu’il est une multiplication externe.

� Le résultat du produit scalaire entre deux vecteurs est ... un réel

3.2 Propriétés3.2.1 Symétrie

� Pour tous vecteurs u, v u.v = v.u

3.2.2 Bilinéarité

Pour tout réel α et vecteurs u, v, w :

� (αu) .v = u. (αv) = α(u.v)

Dém. : (αu) .v =p∑i=1

(αui) vi =p∑i=1

αuivi = αp∑i=1

uivi = α(u.v)

� u. (v + w) = u.v + u.w

Dém. : u. (v + w) =p∑i=1

ui (vi + wi) =p∑i=1

(uivi + uiwi) =p∑i=1

uivi +p∑i=1

uiwi = u.v + u.w

� (u+ v) .w = (u.v) + (u.w)

Dém. : (u+ v) .w =p∑i=1

(ui + vi)wi =p∑i=1

(uiwi + viwi) =p∑i=1

uiwi +p∑i=1

viwi

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3.2.3 Définie-positivité

� si u 6= 0 u.u > 0 et 0.0 = 0Dém. : u.u =

p∑i=1

uiui =p∑i=1

u2i > 0 (et égal à 0 seulement si toutes les coordonnées ui sont nulles).

3.3 Orthogonalité

� Si deux vecteurs u, v sont orthogonaux (ce que l’on note u⊥v) alors leur produit scalaire est nul

� u⊥v ⇐⇒ u.v = 0

3.4 NormeLa norme d’un vecteur u induite par le produit scalaire est sa longueur, calculable par la formule :

� ‖u‖ =√u.u =

√u2

1 + ...+ u2p

� Un vecteur de norme 1 est dit unitaire (ou normé)

� Rappel : un repère orthonormé est un repère engendré par des vecteurs orthogonaux et unitaires.

1

1

1e1e3

e2

Ici ‖e1‖ = ‖e2‖ = ‖e3‖ = 1 et e1⊥e2, e1⊥e3, e2⊥e3

� Un résultat utile : pour tout vecteur u, le vecteur 1‖u‖u (souvent noté u

‖u‖ ) est unitaire (de norme 1)

Dém. :∥∥∥ 1

‖u‖u∥∥∥ = 1

‖u‖ ‖u‖ = ‖u‖‖u‖ = 1

3.5 Distance euclidienne entre deux vecteurs (ou points)Cette notion est fondamentale

u

vO

A

B

distance de A à B

Sur ce schéma, la distance entre A à B est la longueur du vecteur reliant v à u, c’est à dire u− v

� La distance euclidienne d (u, v) entre deux vecteurs u et v est la norme de leur différence.

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� d (u, v) = ‖u− v‖ = ‖v − u‖

� Cette distance se calcule donc par la formule d (u, v) =√

(u1 − v1)2 + ...+ (up − vp)2

� Exemple : u

−34−1

, v

210

d (u, v) =√

(−3− 2)2 + (4− 1)2 + (−1− 0)2 =√

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3.6 Identités remarquablesPour tous vecteurs u, v

� (u+ v) . (u+ v) = u.u+ 2u.v + v.v

� (u− v) . (u− v) = u.u− 2u.v + v.v

� (u+ v) . (u− v) = u.u− v.v

En utilisant les normes, on en déduit que :

� ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + 2u.v + ‖v‖2

� ‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2u.v + ‖v‖2

� (u+ v) . (u− v) = ‖u‖2 − ‖v‖2

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3.7 Angles entre vecteursIl est souvent intéressant de connaître l’angle entre deux vecteurs. Celui-ci est habituellement mesuré par son

cosinus.

Comment déterminer le cosinus entre deux vecteurs ?

O 1-1 A

B

u

v

Sur le schéma ci-dessus, le cosinus du triangle rectangle OAB est le rapport entre son côté adjacent et sonhypoténuse.

Le cosinus de l’angle u, v entre les vecteurs u et v est donc égal à :

� cos (u, v) = OA

OB= OA car la longueur OB vaut 1.

� On démontre que : cos (u, v) = u.v

‖u‖ ‖v‖Dém. : en TD

Le cosinus varie entre −1 et 1. En effet :

30°

60°

90°

0°

120°

135°

150°

180°

45°

10-1

angle

cosinus

� Le produit scalaire peut donc s’exprimer sous la forme : u.v = ‖u‖ ‖v‖ cos (u, v)

� Si u et v sont colinéaires de même sens, alors cos (u, v) = 1

� Si u et v sont colinéaires de sens opposé, alors cos (u, v) = −1

� Si u et v sont orthogonaux, alors cos (u, v) = 0

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4 BaseDéfinition : on appelle base d’un espace vectoriel de dimension p toute famille de p vecteurs de cet espace tels que

tout vecteur puisse être exprimé comme combinaison linéaire de cette famille.Rem. : on parle aussi de "repère".

1

1e1

e21

1f1f2

u u

Dans l’exemple ci-dessus, (e1, e2) est une base de l’espace vectoriel de dimension 2 (i.e. le plan). En effet, le vecteuru peut être exprimé dans la base (e1, e2) :

u = 2e1 + 3e2

Les coordonnées de u dans cette base sont donc u(

32

)Mais dans la base (f1, f2), on a u ≈ 6, 1f1 + 3, 9f2

Les coordonnées (approximatives) de u dans cette base sont donc u(

6, 13, 9

)Le produit scalaire dépendant des coordonnées, la question se pose de savoir si sa valeur change suivant la base.

4.1 Une propriété fondamentale du produit scalaireLe produit scalaire de deux vecteurs est invariant par changement de base orthonormée (i.e. sa valeur ne change

pas lorsqu’on exprime les coordonnées des vecteurs dans une nouvelle base orthonormée).Dém. : admis.

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