Exercice 2Corrigé

Spécialité

Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigéfreemaths.fr

Liban • SPÉCIALITÉ

B A C C A L A U R É AT G É N É R A L

SESSION 2018

ÉPREUVE DU MARDI 29 MAI 2018

MATHÉMATIQUES– Série S –

Enseignement Spécialité Coefficient : 9

Durée de l’épreuve : 4 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

18MASSLI1 1Liban 201 8Bac - Maths - 201 8 - Série Sfreemaths . fr freemaths . fr

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pagesnumérotées de 1 à 5.

EXERCICE 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+ i et 1− i.

2. Pour tout entier naturel n, on pose Sn = (1+ i)n + (1− i)n .

a) Déterminer la forme trigonométrique de Sn .

b) Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant laréponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’estpas pénalisée.

Affirmation A : Pour tout entier naturel n, le nombre complexe Sn est un nombre réel.

Affirmation B : Il existe une infinité d’entiers naturels n tels que Sn = 0.

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1. a. Donnons les formes exponentielle et trigonométrique de 1 + i:

• Le module de 1 + i est: 1 + i = 1 2 + 1 2 => 1 + i = 2 .

• Soit ݂, l’argument de 1 + i:

1 + i = 2 cos ݂ + i sin ݂

= 2 22

+ i 22

.

Par identification:

cos ݂ = 22

=> ݂ = 4 + 2 k , k ı . sin ݂ = 2

2

Au total: • Sous forme trigonométrique 1 + i s’écrit:

1 + i = 2 cos 4 + i sin 4 .

• Sous forme exponentielle 1 + i s’écrit: 1 + i = 2 x e i 4 .

1. b. Donnons les formes exponentielle et trigonométrique 1 - i:

• Le module de 1 - i est: 1 - i = 1 2 + 1 2 => 1 - i = 2 .

EXERCICE 2

[ Liban 2018 ]

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• Soit ݂, l’argument de 1 - i:

1 - i = 2 cos ݂ + i sin ݂

= 2 22

- i 22

.

Par identification:

cos ݂ = 22

=> ݂ = - 4 + 2 k , k ı . sin ݂ = - 2

2

Au total: • Sous forme trigonométrique 1 - i s’écrit:

1 - i = 2 cos - 4 + i sin - 4 .

• Sous forme exponentielle 1 - i s’écrit: 1 - i = 2 x e i - 4 .

2. a.. Déterminons la forme trigonométrique de Sn:

D’après Moivre, nous pouvons écrire:

• ( 1 + i ) n = ( √2 ) n x cos n 4

+ i sin n 4

;

• ( 1 - i ) n = ( √2 ) n x cos - n 4 + i sin - n 4

.

Or: cos ( - x ) = x et sin ( - x ) = - sin x .

D’où: Sn = ( 1 + i ) n + ( 1 - i ) n

= ( √2 ) n cos n 4 + i sin n

4 + cos n 4

- i sin n 4

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= ( √2 ) n 2 cos n 4

= 2 x ( √2 ) n cos n 4 ou: ( √2 ) ( n - 2 ) cos n 4

.

Au total, la forme trigonométrique de Sn est: Sn = ( √2 ) ( n - 2 ) cos n 4 .

2. b. • AFFIRMATION A: Vraie .

En effet: pour tout n ı –, ( √2 ) ( n - 2 ) cos n 4 est toujours un réel .

( Sn ne contient pas de " i " )

• AFFIRMATION B: Vraie .

En effet: à chaque fois que n 4 = ( 2 + 4 k ) 4

, cos n 4

= cos 2

+ k

et pour tout entier naturel k, cos 2 + k = 0 .