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Mathmatlques et philosophie:Jeall CavalsAlhert LautIIlan

Ce numro est consacr quelques aspects marquants de ldPhilosophie des math6matiques en France dans ies anntes qui ontprc6dl la seconde guerre lnondiale. Deuxoms s'imposent,ceuxde Jean Cavaills et d'ibert Lalltman,tous deux 61ves de L6onBrunschvicg,tous dcux form6s par un double apprentissage de laphilosophie et des IIathmatiques,tous deux initiateurs d'un efrortpour trOuver une alternative au n6okantisme par une philosophiede la structure. Nous avons choisi de runir ici des articles depr6sentatio ou d'interprtation, ainsi que certains documentsindits Nous esP6rons contribuer dinsi une meilleure connaissanc6 de c6s deux philosophies`

Michel BLAY.

= Les articles Publi18 danS Ce llunlro ont rait liObiet initialement de communications prsenttes le 10 janvier 1985 a laournte surLa phio80phie latmatiqucen Frace dans ies annles 1930 , organisOe par le groupe de travail sur la physiquccontempOraine : Au pscheur d'Eddington ,(Laboratoire de pllysique cOTPusculairedtL COlige de France)

RaP, ri, scf., 1987, XL1

Structwe ct c()ilCCl)tdans l'Pistmologie

demathnlati(111(Jcan Cavaills'

RttSUML__Lc texte ciaprs proPOse une interprOtation de l'ide Fameusede Jcan Cavaills exhOrtarit la philosOphie de la scicnce d devenir une((PhilosO_phie du concept".Cette interPFOtatiOn conjugue deux sources t l)Les lcrits deCav1ls,y cOmpris los fragments de lettres publils Par Oabrielle Ferrires dansson livre2p",PsPcs, gttcrrc,et les lettres indites A AIbertLautman,dont nous publiOns les plus signiflcatives,selon nous,dans ce numlrode la rtc'7ccsc,czccs.2)Dans la lnesure od nous avons Pu le reconstituer, le contexte mathmatique de ces Ocrits Cette illterprtatiOn dOnlle leurPortOe maxinlale h deux notions cls de l'IPismologie de Cava111s : celles deconcept ))et destructure), en observant qu'elles furentgalement au centredu dveloPpement de la math6matique dite((moderne))Ce Paral161isme misnuinduit un rappOrt, naturel IIlais I)eu relarqu,entre la lnath6matique des struc

]tii| _kantisme,la ph6nomOnologie husserlienne et l'lcoute heideggerienne de l'tre

7`!C:t"r: Nous remercions trs vivement Bartel Leender Van der Vaerden pOur avOi

bieri voulu lire les Parties du texte relatives aux faits dOnt il rut acteur Ou t`moin,Cerains passages doivent tt sesemarques une meilleure formulation qu'ils n'avalent al'origineNous remercions chaleureusement Suzanlle Lautman dOIlt noIIs avons malheu

reuserllent appris le dcs alors que nous corrigions cot article, de nous avoir aima_blcllent communiqu lcs dOcuments en sa possession, ctaprs d6signOs par S, L.Nous ia remerciolls lgalemell uinsi que Gabricile Ferrires d'avoir autorisla publidtiorl dc ces doclIIlentS

Ro rrist sc:,,1987,XL/1

6 ro,ry Bc,sS,r

tjrc 3rtccs ttrar)"t,r,o, retttts"b 2 e c"ttcs Ss, l17 "r CFrr22att a` ! Ca"s ttctt[erc a"o'r: ,y rlrott PcrttCLI!a),7LcPsoPy or CccP,,C:ccll,PccCr`areo'g),O sg,oas,, , C 0 C O ! s 1 7 2 , S

' s P 7 7 2 0 g y , g g 2 r ' s(ess o,g)

Il y a chez Jean Cavaills une sohdarittroite entre l'tudede l'activitl IIlathmatique et ulle philosophie d'ordre plus g6nralqu'il qualifie luiIn6lc de (th6orie de la raiso)Selon nrtaomarttu.pr,.s,c,ra rflexiOn sur(1'essence du travdilmath6matiquc )conduit le philosoPhe crcllser alldel dumath6matique propremerit dit,dans le sol coHllnun de toutes icsactivits rationnelles (1), et l'autorisc ainsi se faire une id6edu processtls de la conlxaissancc rationnellc cn g6n6ral. PourCavaills les Iathmatiques,plus prcisment la 1louvelle math_matiqlle abstraite qu'il voit 1'Qllvre dans les travaux, encorerlcents d sonpoque, de CaIItor, de DedekiId et de IIilbert, la((IIlathIIlatique des algblistes))colnlne il l'aI)pelle dalls,'!:o77Lq?r'"!Jso,est ie modle par cxcellellce de l'activitde la raison ( La conndissalicc nlathmatiquc es centrale poursavoir ce qu'est ia connaissance(2).En eet,de toutes les disciplines de l'csprit,la math6matique est ce119 od la raisoll l'emportesi totalement sur ies conditions de culturc, 1'cssellce sur les ciIconstances,la structure suIl'v6nement,qu'on attend riell moinsde son ttllde qll'ulle doctrille de la penste eHcmOnle, La science,et,nlicux quc to(ltes les sciences,lanath6matique,rsulte(de cecaractre de id Penste de se dvelopper selon sOn essence ), criCavaills enine formule suggestivc(3).Expression d'une fermeconvictiOn,qu'il va bient6t illustrer par une ttuvre vou6e d comprendre lem6canisme des crtationsmath6matiques(4).La for"IIlation du savoir mathlmatique dans son procs efFectif laissevoir itl raison en exercice dans sOn activit6 1a plus abstraie,la plus

(1)roc oo,lf?c Cr prmarmc(PariS t rlermallI, 1981), 21 Les Page3auxquelles renvoient rlos citatiolls apPartienncnt h cette deuxime ldition La premireditlon, 6galemenl chez lteralann (=tcr12Fts scFrlrq122S Cr !trsrrr, noa 6086 610), date de 1938(2)La penste math6matique),cOnipte rendu de la s6ano du4 fvrior 1931),1 la

Socitto Frangise de Phllosophie,dans l!i de la sOcittti(L (1946),1-3t,,ici!4(3)Lettre d sOn pre dt1 6 jaIIvier 1928,dans C Ferribres,JcarO:rtts(Paris:

PU, 1950, rld 982), 45(4)Iettre du 22 avril 1928, Fbi,48-47

pso9ic ttarar:?!t!! `ar'rrrll

pure),celle dont les d6ments externcolll j1lm1|.11dans une exttriorit6 absolue ljarce qu'ils 11'ont I)JS(1'ilti(1(l11(`t11son dploiement interne(s'ilS en Ont une sur soli llitttoirc)

1. LENOUVEAU MONDE)

La mathlmatique qui suscite la r6flexlon de Cavaillls, luiinspire les formulations ies Plus lnarquantes d'une doctrinc attentive autantla mobilitl du savoir qu'son essence,est la th6orieabstraite des ensembles et la ( mathmatique des alg6bristes .Si l'une vieIIt de trttverser, 3u mOment o Cavaills se met autravail aprs son a6gation de philosophie(1927), une grandecrise,elle n'en a pas rnoins suscit6 une activit6 intense,aussi bienmath6matique que logique ou m6tamathmatiquc, sans parlerdes retOInb6es pistmologicoPhi10SOphiques, 9uant 1'autre,clle se trollve iuStement dans sa p6riode de plein 6panouissement etde bellc assilrance, Nous sommes en eflet dans les an6es 20-30,qtli ont vu GOttingen devenir le(ientre mathmatique du monde.Le souvenir de Felix Klein (mOrt en 1925)est enCOre vivacc.Hilbert est ia f18ure la plus imposante,talldis quc Emlny Noether,et bient6 EInil Artin d Hambourg constituent galement despersonnalits hautement attractives.9uand j'arrivaiG6ttingenen 1924, uri nouvcau monde s'ouvrit devant mol ), 6crit parexclnple B.L Van derVaerden(5),(Iui n'allait pas tarderretransmettre, de faOon magistrale,le fruit de cette r6v61ationtCeIlollveau lnonde, Cavaillsie dcouvre dussisa fa9on.

Boursier Rockefeller en 1929-1930, il sjourne successivement Tubingen,Berlin, Hambourg,oil retrouve Hcrbrand,et G6ttingeno L'ane suiv3te, il est de nouvedu Halnbourg, WI unich, FribOur8 o il prend contact avec Husserl. L'autonlne 19341e voit S Berlin et a G6ttingen il'dutoIIIne 1935G6ttingen encorelllle fois i l'3utOmne 1936 Hambourg et Gbttingen oS il atoujours PlaiSir a revenir.Ces incllrsions gographiques et intellectuelles sont dterHli

nantes aussi bien pour ses PositiOIIs philosophiques, qui passent

par une explication serre avec la ph6nomologie, quc Pour sarflex10n sur ies rntithmatiques, d'abord form6c dans un climat

(5)0,l thO Sourcst)i ny book brror,Pc Arttabr,rrfsFcogrrlr'cc,2(1975),3140

rroarJa sS'c"r

brunschvicgien. A la Staatsbibliothek de Hambourg, Cavaillstombc sur lli article de Adolph Fraenkel qui le remplit(d'uneardeur nouvelle )en lui rvlant l'existcIIce des correspondancesde Ceorg Cantor(lettre du 17 novembre 1930)(6).1l tOrme alorsie projet de dpouiller ces corrcspondances,car il espre non seulement y saisir l'apparition des difrlcultts de la th6orie des ensembles,trnais y vrifler allssi(le r61e d6termillaIIt et dOterlllin des autresbranches des mathHlatiques))de(ceschanges Ilciproques qui,SOn]avisi dOiVentsuSire exPliquer le dveloppement de la

pensCe mathmatittue nllne un tout, sans l'intewention de lacontingence historiquc)(7)On3,dS le d6Part,1'id6e fondaIentalede Cavaills i l'tude historique d'ull problme ou d'un ensemblede problmes mathmatiques aboutit vacuer l'histoire de laformation dessolutions ou del'mergence de nollveaux problmcs(8).Cavaills ne dit rien sur le s6minaire IIlathlmatique de l'Univer

sitde Hambourg,dont Otto Schreier(mortipr6matur6menten 1929)et Emil Artin faisalentcette tpoque un p61e d'attractioll. 11 llesemble pas avoir participl'cttervescence quc tr6ait Artin autourde lui)ni su(colbau charme de ses leolls qttti eurellt tine grandeinlluence sur PluS d'un nlathllnaticien. G6ttingen, au cotraire,est tr6s pr6scIIte dalls les lettres A ses ParentS Otl lbert Lautman(9)Par SCS institutions d'abord.L'institut de math6matiques,en etFet,6tait un t)ndroituniquc))(10),auX ressources relnarquablemellt abondalites et accessiblesII In'a rallu une seconde pourtrouver le livrc dont j'avais envie),crira Cavail16s a ses Parents,aprs leur dvoir dcrit l'(al16gresse )avec laquelle il retrouve les

(6)1l s'agit dc l'articlc de A raenkl intitull GeorH Cantor, daIIs attres bcrc'LJr DcLISChci nran tIrlrrrcF:tr,9, 39(1930), 189-266 (iavaillds va le citer dans

son avertisse1llent l l'dition de la corresPondancc CantorDcdekind Ceiteci,publilcl1 1937 chez HerIIlann,est traduitc ell franOais dans le Y01umC PscP: ttarrr!:qt!`(PariS : llerIIlann, 1962)qui reprtSnd, par a!leurs les Rel1larqlls sllr iaforniation du la th4orie abstraite des ensembles , parues une prerlllrc rois e,1 193(7)l`ettre du 17 novembre 1930,dans C Ferriros,op ,6465(8)CettC idle,Cavaillsl'd exprimlmaintes lois Citons ce passage de la lcttr!

in6ditcA Lauinian du 5 1ntti 1937:(Ricn n'est Plus ennllveux qll(11'llisto irc,surtolltquand il faut la nicr )locuIIlents S L(9)En 1930, G6ttingcn ttait rl son dPog6C ( Ptus quc j(111laiS, tlil edt tlit quln

ti()IIttrS iliternntional dcldhtlnatiCitris sc tnaipcrPltuollCmfnt dJrls i3 tralltluiJlcit),lcrit C Reidrrfrcrr(Berlil i SpriI!gurVerlag,1,70),191(10)C'CSt B lJ Van dor!rderquile dit_Tll!IIlathnaticallibrary OF G6tti11rl

was llniqllt, Everyhin3 ollC FCtdt,d was there,aId ont,could tak(,tile books trom tiltsileives oncsci'l I1l Ansterdaln etin TIosi cOntillerlt31 ullivtrsititl!Is was illlPossib)art cit n 5, 33?

??

'pFsIo!o"c r4!771?,c2 Capafr's

(petites rues de 13 Ville),(souriantes dans ia verdure)),ct le(3ralldinstitut de lnath6matiques (11)- 1'6dirlce, inallgllr6 en 1929,avait pu voir ie iour grae1'action de Richard Courant,5uCCeSseur dc Felix lein dans toutes les tSches d'organisation et depromotioll des mathmatiques, et la gOntrosit6 des Rockefellcr(qui On dOit3alement,la mOmePoquc)la construction del'11lstitut H enriPoiIIcar6Paris)(12) G6ttingen lui laisserades(( souvenirs de bon travail )t il y Oudie la coFeSpOndanceCantor_Dedekindvec l'aide ct la collaboratioll de Elmy Noether.Celleci l'a cRccueilli bras ouverts , CavtxlllOs voquera, dansl'avertissement1'6dition des iettres Cantorpedekind)EmmyNoether et(ces joues de G6ttingen,od il[luil avaittO don6dPrS bien d'autres de connaitre la bont6 joveuSO de son accueil,1'1nse rayonnement de son esprit(13).En 1930, lors du preIIlier sjour de Cavaills Gbttillgen,

Emmy Nocthcr a d6jatteint ia pleine maturitde son g6niemath6matique.Les grands l6moires s(1la th6orie des idtaux etlastructure dcs anneaux (14)sont publils Ell 1921, rd`orc

(1)Lctre du8 septembre 1934, dans G Fcrrilrcs, oP ctr, 97(12)1,'1iStOire du sminaire niathmatique de Ottingell peut Otre Fdite,pour is

PremiOres dOcennies du xxe siScic,a partir de deux livres dc Constance Reid,Hfrbc`(BerliIX: S pringerVeriag, 1970),et CFr1 60rfP19RVCrt or(:, 1976),et du livre Odit`Par Ja1esV Brcwer ct Martlla l( S1th,P2Nocr2il rrr?rO,:rtNew YorkBaSel:Marcel Dckker,1981)Vl)ir cll PartiCulier l'articleae saundcrs M3LallclMathematics attle Univeity or Gbttingen,10311033),85_78Pour Courunt,Constancc Reid 80uligne lG r61c Follda,nental des anndes de fornlaon

co nlIle 11vc,Puis assistaIIt,dc Hllbert,et l'ilnpact de l'exerlPle de Felix l(lein doni18ut COntiluer t'action de prolnocur d'tine ttande tradition scientitiqucEmigraux EtatsUnis en 1934,Courdllt crOeraj A l'(jllivcrsitde New York, ttn

nouveI Institut dc MathInatiques qut pOre auj(jurduison norn A la derlire pagede son livre,Consance Rcid sc souvient des dernires pa,oles rlllc llli dit C(urant dansson burcall d 1'Institut de Nv Yok, tandis qu'ell le corllplirrlentai sur ltespritquli1 3Vait Su y crer:(Ya)ya lt is G6ttingeB GOttingen is iler)1(13)Deuxine dition dans Jean Cavaills, Prk,soPhi la:?c(Paris,

rfermann:1962),185(14)0 appelle 71rlcall la structurc a186brique cOnstitu6c par ia donnl d'u1

ensemble A et dc dcux lois dc(,mPositiOn appeles resPectiVement addition cmultiplicatiOl et satisraisant les axlomos s(livants:I Pourl'addition,A ost ui grollpc conlmut3if(C l'additi)rl est associntive,coI11-m12tative,p,ssde un 11In cnlleutrcr et ot tllinent d! A p()ssdul oppOsd)

II I3 multiplicatiOn ,st ass,ci3 tiv)ct PosSdC ur1111nt llctltr(|II1 13 militiplicatiOn es distributiv(l ptir rapP(rt 1'1ldditionSi la lllultiplicatlon cst colnrnutativt,oll dit1lle A est coI1lIIluiatif ou 3bliCIOn

dit qu'unc partie l c A cst un id6al si l ost lin s(usgrr)ul)e du HIOuPc additif de At si les relations a c A, 4 c l cIItrainent al c I (pOur sitllplillI on a suppt3sA commutatiF)

11) rr,rJ BrlsSjttaccur

il riingberttc1(lascArl,83)dnnit ies anneaux( nocthriens ))par ia condition de chaine ascendante (15)etgnralise d ces anneaux le ti!orme que Lasker avait prouvPOur les id6aux de polyn6mes i dans ull anlleau noethrien tOutid6al cst intersection d'idtaux Prilllaires. 1influence de ce travailscra si grandc et si profonde qu)1l apparaitra aprs coup,et encoreen 1970, comle une vraie t rlvolu'on ))dans ia th6orie desid6aux(16).En 1926,bsra?r AFb"rrar17Lr ttbrasccrl Z! F!o?rper(. Arl`, 96)dflnitpar cinq dx10mes ies anlleaux 8ppds aujourd'huianneaux deDedekind)),dans lesqueis totlt idOal est prodllit d'id6aux preHlierset auxquels se g66ralise la th6orie des id63ux d'uri corps de1lonibres algbriques et d'ull(iorps de fonctions alg6briques d'unevariable(17)L'inauence de EInmy Noether est grandc dalls cesannte5 30(}rSce au cours que fait B L. Van der Vaerden, Gbttirlgell en 1927,sur la thol'ie des idaux et qui cut uII succsfornlidable,ses idtes sont tomes daris le doHlaine pllblic et OntrtIPidement 3agnt les grands(lentres math6matiques d'Europe,Bicnt6t, 3u ('Ongrs iliternational dc Ztlrich(1932), elle obient

(15)Ii siagid'uI c()1lditiOrl dt, rinitudc i outc cilainc ascendan dllddux estinie Autreinen dit, si l r72 | SS unc 1le cllaille, alors ilexisto un entier rL tel rruc "==j+2(16)Irving I(aPldnsky, C9:r'c rrngs(BOst011 3 Allyn & Bacon, 1970), 5(17)Un idaH d'un anneau Ast prrmicr si tcs rclati(ns acl ct aFl enraf_

neItbcl uidlalest prinldiIsi lelattons ab c l et l Crtrinen1'cxisntr trun nornbre cnticr rl > 1 ,l quF ,cI (1n i(11al preinterst ttvidemllientprin3irl, nais ia rtciproquc()st rtussc)(les d11lii,ls Pcrlnettent dsch11lntiscr ia suite d(s6tapes qui onabolJti S la

d1ltrtii,n abstrait ()t rlIrale d)ll ll StruCur( udi Par Dodckind dans I cn8d(s corps dta nolnbrcs abriquesDdkindtablit(Supp16ment X l atlx Lc,S de Dirichict,1894)quc,dals un corps

de l10mbros alg61)riqucs, 8out idd31 Stl dscOmPosc en prfrfr d'id6aux prcmiers Lianalogie cst Parfaite avc la dOcompOsition diui nolnbre naturl en produit dc nombrespremleIsEn 1905, Laskcr illontr quc Pctir les rtr, c PJgr16m es, on a sculerrlcnt ia

dcOIIlp,sitiOn orI PPcM tintCrsectio11)d)idlaux prJlres(cicSt lui qlli d6flnit la notion

d'idfal prirrdirt)En 1921, Enlny Noethet tablit l thor6Hl de dc()IIIPOSitiOn d'un idOal c:

PPcrd'irltaux Prinlaircs dalls tout alinPau vlrirlant la corlditioll de chainc aseildantc(1)Prf5SiO1 dllncdu noetillicn est dll s Claudc Chev01ley, On tile Th!Ory()rica l ttti nrrs,4,l rt /1,44(1943),6,1)-71))

Lll l,26,P ll'IIlet c11vidtIlcs dxiIIcs qui PtrIIICttcnt d'ab)u tih itl dtcl),lPt)Si

tilj11 9it pr,rr d'idcaux Pirs,(|d(l retroliver l'311910`it tXttCt tllVl)1liI))Siti,Il(11,s it(,Hl bi13tureis(,1(IIdlinissclll lcs A Fin!luX d t(11(inll,

'Pisro!gC rrtal771a?uc2J Caurrs||

i6:1:SietltclL||suscite,le solnmet de sa Carrire scientiflquc.

2. LE NOUVEAU STYLE MATHtMAT19UE

disonsle, ulle vritable doctrine qul ilnPrilne sa marque d larecherche non seulement en algbre proprement dite, mais auSsien th6orie dcs nombres ou en thlorie des formes quadratiqucs

,elf|FeeFir!c'eStdire de la p611tration des ides et des lthodes a186britlllesdans les th6ories mathHlatiques les PluS diVerses)(20)

i:!;JamesV Brewer,Martha K Smith,Marcl Dekker,1981),167-173(19)Jeall Dicudonnt,The wok of Nicho!as Bourbaki,lCr 'rah oni't,77

,|::tb:l::|:Emmy Noier, et a ses lves), 1'algbre avai comlne1lc6 d changer d'une Fa,oIIesscnticlle ouc la bce des mathlmatiques ,, rb: a r7ic 'ctrrtg nfactt:r.,Arbcitsgeineinschaffllr Foschung des Landes Nordrhein-1estfalen, Ht 76(Kolnund `)Pladcn : VestdeutscherVerlag, 1959) VOir aussi l'article plus rOcen dcS31ltlcrsIuIt,IIistory of abstract algebra:Origin,Rise,311d Decliiic of a move111.d ins 1lF ra crirac(TeXas Tech UIlivcrsity,M athematics series,n13,1 l| !1il'

1 Fror2rJ BttfsStrlaccur

Elllil Arin, ttui prOnta d'une occasion ultrieure(21)PourXPOSer exPliCitement son point de vuc, voyait t8dlenlent cIIl'algbre l'((instrument))des autres disciplines math6matiques,instrument dc lormulation ou de r6solution dc Problmes N'eII3-til pas, du restei donn6 une brillante illustration en 1926-1927dans ia thorie a131briqlle des corps rels(22),dOnt Ce n'tait pasie moindre m6rite que de rendre d la fois Possible et(th6oriquement)triviale la solution du dixseptime prOblme de Hilbert siria d6composition des fOnctions d6nnies?(23)Cette idte de la suprInatie heuristique de l'algbrc est restte

vivante longtemps aprs quc G6ttillgen et ilambourg ollt perdu10 priVilge del'enseignclnent de E1lny Noetllcr et de EIIlil Artinrespectivement.Elle fut notaHlnlent dFelldue Par un des plus lnarquants disciPles de Artin i Claude Chevtllley. Partellatre intelic(tuel de Cavaills et proche de lui, son t6moigllage llolis inPortePour tre de vingt aIIs post6rieur aux anntes de travail de Cavaillls,ii n'en est pas moins frdppant Par ia nettet de soll exPressi01l iet il nous moIItre silnulta116ment ia viva)it6 dllle tradition doIItnous venons de situer lc lieu ct ia date de n3iSSance En Pr6facea sOn livre, Far0 Co,cPs oF Ag?br(1956), ClaudeChevalleycrit en effet i

( Algebrd is not Only a part of mathematics, it alsO plays withinmathenlatics the role vhich 13thenatics iseif played for a long tilnevith respect to physics hat does the algebraist ofFer to other lnathe=maticians? Occasionally, the sOlution Of a sPecific Problenl i but mostlya language in which to cxpress lnathematical facts and a variety of

(11)COntelts and Methods oF an Agebra(,o urse,,Tata institute(1960);reprOduit dans rc C!tr Pap2rs'!Arl:(Reading,Mass i AddisOnVesiey,1965),539-546(22)OIl appelle1'l el"un corps danslequel(-1)ne peus tcrire sous ta forme d'une

somle dc carrd8 d'11 111ens de ce cOrPs Ciest i un cridrct purcElellt algbriquc,cardcterisant ultype de structure pOrtcur, par alllurs, de prop1tls tOpologiqucsLu thOrie des corps rteis Fut llabo6 au 86111inaire dc Arti1l A IramhOuIg, avec lacollaboratioIdc O Schreicr, et la participatiOri de B L Van derVerdcn,ainsi queceluici nous l'a rdpport 3u COurs d'un entrctien personlel(8 dlCenibre ll)83)S ulIliiIBPortanCe et ia FCconditde cette thOoric,voir Hourya llenisSinaceur,La colstitutlon de llalgbrc roelle dans ie mlmoire diArtirlSchreicr, Pa:alrc daIIs les Acres2rrrrsirccs ttrarr,?cs,rsc,2t!,14!rF'83(23)On aPPellein une fonction de variables rOelles qui nia de valeur ngative

pOur aucttn systme de valcurs dc ses variablcs En 19oo, Hllbert avait demando siOutc Fonction ratiOnnelle,dCnni, est somm de currs do Fonctlolls ratioDneHeS deslnCmes variablcs

pFsro9:2 mr71ar:? c Ja Ccajr 1 1

irl{ Rit3 g u|)|

mtRherllatics )

2 2. En 1930, un hOrnIIle, Bartel Lcenderall der Vaerdcll,

l'une des Plus hrillantes dcouverte de l'cole d'Enamy Noe

ther))(24),et un liVre,larA!gbra,ont tt la fois reprtseni|

! abstraite, y colnPris dans ieurs(dont les auditeus des cours de EInil Artin ou de Enitlny NOether

pOuV3ient avoir connaissance`Ce liVre lllet d 13 diSpOsitiOn de tous,

:illji1t:!ie113Sil;i|:&:

Par Artin h Hambourg au printenlps 1926, et dontr id Hlatire tte

i::attr1'Stt:eil

le stHlinaire sur la th6orie des idtaux fait, 1'hiver 1926-1927.par Lrtin, Otto Schreier, Vilheinl Blaschke et B. IJ

aII dcl

WVacrden luimOme; le sHlinaire o la thorie des corps rteiS,

la fameusethOOrie de ArtinSchreier)vit le iOur i le courS dCEHliny Noether sur ia(th6orie des groupes et des nombres hypercomplexes)(1924-1925)dont le thme apparaitgalement lors desdiscussions de Wan der aerden dve(,Artin et Schreier(26)

(24)Ciest P S AlexandiOlf qui est l'auteur de Ce trait.(25)B L Vdl derVaerden d COIISign

de facOn prOcise les 301lrCes de sOn liVrC

dans l'article citdans ia ncte 3 11ICrit t Artin t had promised 10 Write a book On

1 !r

onc chaPter after another Hc waS perFectly saisFictt and said``hy do11'you write

thc wi101C bo)k?''"(26)1

ltude des SystIIleS de n,mbres hypercomplcXes tient RIrle bonilC placd

les traVaux de Emmy Noether et dc Emil Artill.)n appeloit(SystlleS dC r10rnl)(,s

hyPttCOmJeX quc nous appdOns i

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rl

anneau A com11lutatif E est une 81gbr

l E cst u1l Amodule,II E est mulli d'une multiplicatiorl irlterne diStributiVe a gauche et 4d drOitc Par rapportraddiiOn ot vlrinant ia01

(g)= (2)y=(y) quelS que soient c C A et r c E, vCE

Rappelons qu'un Anlotlule esun cngemble inuni:

1)d'une addition qui fait de E un groupe COmmutatiF;

oury Bc,sSnaccr

::!)d'une multiplicatiOn externtP vttriflant :

E_

Psttmo!ogte ma!:?oe JCan Caas ir

',s scs77L!?"2satts"r'!Pptten!acrucr(!1))Sa r6f6rence,comme en de multiples autres occasions,est le traittde B.L,Van derVaerden,Partant de la pr6face de HermannVeylun de ses livres les plus c61bres(30),Lautman commente l'opposition de la math6matique nouvelle,celle de la thorie des groupeset des algbres abstraites),1'analyse du xlxe sicic ouanalysede l'inflniment petit).(Eopposant les ln6thodes de la mathOmatique moderne d celles de la mathmatique classique, lcritil,Weyl pense,et les indications qu'il donne le prouvent,3uX th6oriesde l'algbre rnoderne,telles qu'on les trouve expos6es par exempledansles deux tomes de l'ourrage de hrl.van derVaerden i nfrne!gcbra(Berlin springer,1930).Et Lautlan se propose de fairevoir cOmment ce ttonnit de mothodesse disslpe atI PrOnt del'algbre .

Bien entendu, Cavaills connaissait(31)les travaux de Lautman(et rciproquement)(32).La lettre du 9 d6cembre 1937illdique qu'il a lu les thses de son ali avant lel11 publicatioIUne fois Publies,il en d 6crit un compte rendu pour ia rtcD,rt'l!aPttys'9uc J2 7730ra(33).De la deuxibme thse)

'EssaF sur

r': s sccrtccs mt?ucs, il rOsume atilsi la tcneur i

l Lautinan montre avec rigueur que cet esprit de la math6nlatiqutlroderne env3hit nOn seulement l'algbre et ia toPologie, mais aussi

(29)Clltait su thse complmentaire Pour ie doCtorat s lettres Soutenuc ell 1937,lle rupublite,ainsi que sa thse princiPaleet comme leS thlses de Cavaills,dansla collection dc leur maitre cOmmun,L6oll Brunschvicg,Lc Prog3del'Esprit,aux ditions IIermanll, 1938, s6rie de8 Cru[:s scr:?2s c :,22srr, n 589591.ROldition rcerHte dans AlberLautman,EssstF['un ,s nar:??crcrcr,s(Parls t Uni9n gnlrale d'Editions,1977)(30)it siagissait de CrrrPPerlrCeoL2r?2267(eipz.iS irzeVlag,

1928)(31)'oir les iettres A A Laumall du 3 scPtcmbre 1936,du l,dcembre 1936,

du 9 docembre 1937, du 7ovembre 1938(ciaprs,p 123-194),du 6 novembre lt)4;Documents S L(32)Voir,par exemple,la lcttre tt A Lautman du 13 juin 1936,ciaprs p 120-121(33)T 45(1938). Supplttment all nurnro de juillet, 9-1l Ce conpte rendu 11est

pas signt J'attributiori S Cavaills, dont nous sommes responsables, est permisPar leS iettres inditesI,autman du 15 mai1938 et du 17 mai1938(ciaprs,P 121)Docunents S L15 mai 1938:Mon cher ami,voici le compte rendll de ta th8equoique rd peine

mOdiFl je te l'c1lvote puisque c)taiconvenu,Inaie rexPedie le Par retOur du courrier9ue ParOdi tS9Cretaire de rdaction dc la Reo c ,aPgsi?Lr Cr f rr9rarC1'aitau dbut de la scmaine ,

17 mai 1938: R Il ressort de ttx lettre que tu as transmis directelnent rd Parodi'1COmPtC rendu de rcs thses tsoulignpar Cavaills]SinOn avisenl'cn aussiOt ici

!s

intderuvtt de cardlltts ttatt apttsvarttitte:!:afttar

qtteat&t;i:|:3:11:leisrtti8ti:e6:ti

3. DEUX MANIFESTAT10NS DU RECNE DE L'ALGEBRE ABSTRAITE

Iitnombr(,de lnati16maticiens de prelier plan,parIIlilcsqucis B L.Van

lplattebra sdt Cans,rsbcr"r Dc2M

'PFso!o,: ttj?Lr Jcan Ca:s l

deraerden, Andr6Veil Claude Chevalley Jacques llerbrilll|Max ZorII(35),Elic Cartan,etc,A.reil,par exemple,racontc(36)

que,dans les ann6es 30,tout ieune lathmaticien dsireux de seformer aux id6es nouvelles effectuait le ptterinage de formatioque repr6sentaient un sjourHambourg et la fr6quentation dus6linaire de Artin,S'il lle semble pas qu'il ait stlivi l'enseiementde Artin,Cavail]s a fait le plerinage de Hambourg.B.L.Van derVaerden)de son c6t,rappelle(37)qu'en dehOrs

de D3Vid Hilbert,Felix Bernstein)Edmund Landau,Carl Runge,Richard Courant, Enlly Noether)qui en constituaient l'6quipepermanente, en dchors des Prozerl! collne AlexanderOstrowski,Hellnut ttneser,Paul Bernays ou Otto Neugebauer,1'Institut de ttrath6matiques de G6ttingen recevait des h6tes du mondeentier i IIcrmanlleyl,John O. Neumann, Cari Siegel, RichardBrauer)Pavel S. AlexandrolT, Kazilnierz I(uratovski, ThoralfSkolem,Nieis et Harald Bohr)Rolt Nevanlinna,Garett D Birkholl,NorbertVieller et l)ien d'autres Liste toutfait impressioIInante,surtout si oll y d50ute encore les noms dc Pavel S. Urysohn,deL.S.Pontryagin,de Alexander O.Gelfond,de Andrei N. Kollno

30roll,de Heinz Hopf,de Laslo K61111r,de Oswald Veblen et deSolomon Lefschetz, tolis prsellts G6ttingen d ull moment odun autre entre 1923 et 1928(38)A Hambourg et d G6ttingen,

(35)C'est A Hambourg et a cettePOque que vit le 30ur le fameux(lemme deZornDa1ls tllle lettre A Paul J CamPbell,Zorn 6crit:I did lly work on the MaximalPriIIciple in llarnburg, around 1933 1 ProPOSed it as a working PrinciPle asspecial case in algebra-lt was wellreceived and became afolkdfla i'' Artin wouldusc it and Chevalley would take it uP>,(P J Campbe1,The origin oF(Zor11's lem rna,,rrisr9rF!'ca,5:1(1978),7789)(36)EntretiCn personllcl,f`vrier 198, De son c6t,S MacIanc conlirmc qu'1l11

StiOur c1l Allelnaglle,d Gottingcll dc prlftrcncc, tait chosc IItccssairc h i For11lati)ilde tout mathmaticieII amlricain de ccttc 6Poque Sur l14 1nathmaticiells arnricai1lsqui arerit le(lr thse ri l'6tranger, 34 1a nrent tt Gbttingc11(CO1lStancc Icid, lt76,OP C', I1 12, 129)(37)Art cit n 5(38)Cette liStc montre videmment que l'algbre nltait pas l'unique disciplinc

nOriss.nte aux sOnlinaires dc GOttingen ou de Hambourg,entrc 1920 et 1933 Mais ellene prOuve PaS que lialgbrc n'ait PaSt6 alors une disciPline dominante ct souventmotltlce Nous avons djd rllentionIIcidessus(s2)la Part quelle cut dans le dveloPpemcIt de la thtorie des 1loml)Ies,dla tlltorie des fonlcs quadratiques ou de la topologie algbriquc Nous avons citt les tOmoignages de P S Alexarldoll,dc II Cartanet de S Mac Lane(CF n 0) Se1011 11 Veyl, le ccrcle dcs albristes dutour deEmmy Noether constitua en 1930 1a partie la plus active de l'Institut dc G6ttingerltcf n FDO) caVaills 6tarit proche de certains membes fondateurs dc Bourbaki

t8 ura 2oSccr

a(lr6oles dtl prestige de math6maticieris si brillants, Cavaills(,herche donc sa propre voie.Le deuxime ph6nonllle,c'est l'(,losiollde Nicolas Bourbaki

pour rePrendre un mOt d'Henri Cartan(39)Elle a lieu ds l'an116c1934-1935(40)et CaVaills,salettre du 7 avri1 19361e prouve(41),cst bien au tait de l'cxistence de l'entreprise dutrdit6 collectifd'analbrse).II saique Claudc Chew311ey,avec qul il discute dudernier article 10gique dc 3acques Hcrbrand, cst charg de lar6dactioII dfascicule de logiquc(42)A StrasbOurg,cn 1938,il c6toie anlicalenlent IIcIIri Cartall et Andr Weil, avec qui ildiscute de la cOHectiOn d'((Essais phi10sophiquestlu'il VCut tonder.Se10n ulle divisiOn 310rS domillante cn Allcmagne(43),letrait6

colloctif danalyse )donne ia premiOre p13Ce ttux tttrulres algbriqucs et aux structilres toPologiques. Il est aussi fidle1'espritd'abstraction de Artin et de EHinly Noether Et,d'ailleurs, HenriCartan crOit bien pouvoir aFIirmer )que, Par l'innuence qu'ileXerOa sur les jeunes chercheurs franOais des anntes 30,sur CiaudeChevalley et Andr Veil eII Particllier, Artin a contribt16(sarlsie savoir h 1'closion de Bourbaki ),

Al'exemple de Artin et de Noether, Bourbaki donlle le beaur61e d la mtthode axiOmatique et met en avant l'id6e detructure.

nous pOuvons souligner une fois lle plus 13 Va10ris3tiori toute particulire do l'alglbredans ce grouric En],75,Laurent Schwartz pouvaitconner dudith FriedmannMiller it Bourbaki I11la beaticoup algObrist ddIIs ia mcsurt oti F30urbati est beducoup plusalgobrirluqu)allalytiqu ,(N,colas Bourbtaki,lmoire de l'EHESS,Paris,1977)Enan, n'01|)hons Pas quC('3Vai11s a disinttul la matlllln8iuB1s alglbristes "comme unc tendance proprcsOn OPoquc et digne de ses r11lexlolls(39)Emil Artin,Ab 4scrtt rrbr,28(1,65),1-6(40)1l Cartan,drcit,112()(41)Dans G Ferrires,oP cir, lo7:(Lc grOupe Bourbaki(Vell,Ehresmann,

Henri cartan,etc)coninuc s nllenvoyer la dactylographic dc leur trattt dtanalyse,jele lis en ce r1lolell t); lettre du tti ddcembre lu38, 11, 125(4?)Ce faSCiCule de 10gique verra lc jour el1 195ri commprelier cllapitre du l ivre

Penier((ThOrie des Ensembles))de la PrcmiOre PArtle tLes structurcs fondamentales de l'Analysc,)Il eSt illtitull:)scrlPo'lrrrri?"?rttCrr(43)II eyl lcrit en lo39 11n article dorlt lc titrc est siglliflcatif : ToPologie et

algbre abstraitc, deux vOies Pour COnlPrelldrc lcs mathlniatiqtles, UarcrrFcsDrarrer, rl?Vr!s,38(1)32),177-188 FReprodtit dIs Ccsa A brt,III(BCrlin iSPrilgeVertag, 1968), 348,35 Voir dussi A hlf,ceritt]rY o Mathematics, A,lcrnar Fo1,,53-55il,duts C4:77! 1t, Iv,464-411l jcs dux P61cs:algbrc,top10gic, rosteront majeurs pcridant au moins deux dcnniPs sl,Pp611lentairesAll preierlonttS internatiOndi dcs Matltma tici9Is post11.iur a le secOnde guerrernondialc tCambridgc, Mass,195(,), rolS COInmunications sur qllatre portent sur des1lIs erl lapp01.t tlvec ralg1)rt, abstrdic Ou le t)pologic

'psrogiC Ftattqttcc J2Cp`!F!|

Et ccla ds le dbut, c'estdire dans ces aIII, 111111 '11

Cavaillstait si proche de certains de ses lnelbrt tit titil

a tOuiOurs guid6s,raconte J.I)ieudonn(44),c'cSt ilid,(!|( |11!

ture. c'cst tXbSolumcnt fondamental dans l'esPrit de ()uri,ti R ds le d6but. )(45).

4. STRUCTURE ET CONCEPTDANS LA MATHttMAT19UEMODERNE D

ma s : f nairePanouiSSemeFt danS l'colc de Hilbert(Gttingen et aussiHambourg)et dOIIt Bourbaki nt son cred,Gomme on sait,la

pense structuraliste a d6bord, de loin, le champ mathmatique.Mais, pour en rester aux math6matiques ellcsmOmes, attirosl'attention sllr un corollaire interne etilnmdiat del)option structuraliste,Ce coIollaire qui saute dux yeux dans les textes de Hilbertsur l'axiomatique,et peut-6tre davantage dans l'cuvre de EInI1lyNoether ou de EInil Artin,fut quelquc Peu OmOussdans l'hOritagetranOais bourbakisteo Mais Cavaills eut iln accs direct aux sourcesallelnandes. II sut que la math6matique structurale institu6c ParHilbert est silnultanlment une math6matique conceptuelle.Ernil Artin ct Ellny NOether,colnlne le gralld maitre IItilbert,

voient dans toute construction axiomatique une ( constructionde coIIcepts,ullc 2grsbFrgn cll ull sens,qui semble ne rienconserver cependant de son origine philosophiqlle l(anticIIneConstrlire di3l)riquement la th6orie des corps r6els,Par exemple,c'est ainsi cosr"jre2s cttc2pJs,la tcondit6 de pareille cntreprisetallt dlmolltre par la solution du dixseptinle problIIie deHilbert.ll est significatifn quand on sait le rapport de Van derVacrden

1)enseignemellt de Artin et de Noether)quc ce terme de ?9

(44)Entretien accord J udith FriedmarlnMiller,cPrOduit dans son Tlmoirccitnotc 38, P llI(45)Surl'ilnPoancc du conccpt dc structure dansles mathmatiques des alincs 80,

on peut encorc citcr,s'il en Ctait besoiil,le tmoignage dt Ourett Birklloll Prtscnt atiCongrds de TopoiOgie do Mosco(1, cl lUf15, 1l rcIIlarqut : La foi de certains jeuncscongressistes duns lapproche abstrditc.mOderne''tait lvidellte Ktlrosh,Par exemplc,m'assura plus d'une Fois avec insistance que``les Structures ltalent trs imPortancs Citation extraite de r rlis F A0Crr A9cbr :o rpJ, Graduate Studies,TexasTech University, 13(october lo76), 61

2() FrJa 'SSfttaccr

bttr19cn aitt6celui qui servit a caracttriser la m6thode de la'2r !4!9bra. In diese sanze Besrittswelt den Leser einzufuhre11,soll daS Hauptziel dieses Buches seill.,IntrOduire le lecteurdtlns ce monde du(lollcept te1 6tai le but essentiel dean derWVaerden.C'est quc ces constructions de concepts solit t propres d devellir

le support )de th6ories mathnlatiques 1louvelles coIIme l'6critVan der aerden, en faisant l'61oge de Emmy NOcther. Celleciayant du reste partagavec J. Herbrand et Claude Chevalley leprivilge d'avoir compt6 dans la vie intellectuelle de Cavaillsil est int6ressant de rapporter ici le portrait que nous en a donnV8n derderden:

(lJa lnaxi11le qui a(,o1lstamment guidEmy Noether pourrait OtrefOrnlulte de la inanire suivante t toutes les relations elltre nolbreSifonctions et Oplrntions ne deviennent absolulllent claires, caPables degnralisation et vraiment fcondes que lorsqu'elles sOnt libr6es de leursobjets particuliers et r6duitesdcs rapports gnraux de concepts Cettethse()conStituait un principe fondanlental de sa pens6e Elle ne pouvaits'assimiler et retravailler aucu11 nonc ni aucune dmonstration avantde les avoir saisis abstraitelnent et rendus absolument ciairs 1'o3ilde l'esPrit Elle ne pouvait penser que par concepts, IIon Par fOrmulesiet en cela r6sidait sa force, Car elle ttait dinsi contrainte par sa pToprefacon d'tre d'11lvcnter les constructions de concepts propres devenir lesupport des6ories mati16matiques)(46)

La bcrfcJj,comme l'a baptiseP.S Alexandro, dont on peut faire remonter ia tradition en Allemagne Bernhard Bolzano, HermaIIn Grass]nann etIRichard Dedckindque Cavaills a lus ct comments(47)apparalt donc vers 1930(,OHlme ulle v6ritable doctrine math6matique, sotlrce de lunlire,(,ertcs, sur l'organisation et l'unit6 du savoir, mais source ausside progrs,Aprs les travdux)alors tollt rcents,de Ernst Steinitz,de Emil Artin et de EInlny Noether, lorce ttait de reconnaitrel'extraordilldire tcondit de la m6thodc(,onceptuelle dc Hilbert.

(availlsa,du reste,particulirement rtllcili sur cette II16thodede IIilber. Il a lu dans 4r,o,JFsctts D?Crl qu'une th6orie

(46)Nachrur aur Emmy Noether,AracarcA,ta r,2, 111(1985),4694761cprOduidarls lc livre de A D ick,r71ttJ FV9crCr,r382-r93513asel:Birkhu8erVer18g,1970),ct dans celui detI Brewer et M.Smith cit6 dans ia note 12(47)13,i!?lr!rr)ras,r,465

L'Pts771!Oo rna!mar?uc J CaDs

n'est rien d'autre que(1'6tablissement d'une certaiII( 1 1ltil l,11de collcepts)perlnettant une mise en ordre des faits(1l irl sait les derniers succs de telles mises en ordre et dc t(Htj ftt il,|cations de concepts. Comme il l'critic'est l'essor de l t,h,1)11,des corps en algbre la suite des travaux de Dedcltill(1 | 11Steinitz. C'est cn analyse la lib6ration de ce `style dc c'', )|

Parle Chev311ey(),C'CSt la th6orie des espaces abstraits( )))(111)Il est vrai que Cavail16s a 6t6 trs sduit par la prob16111ati(111(

du fondemellt des lnathmatiques,Et que celleci est 6trallgrt,dllalg6bristes de 1930, qui sont des or9 m!cr7t:0:arls au sclstrict,et qui)en tanque tels,ont totalement ignorle r61e fondateur quc ltilbert a c,un moment,pouvoir colifOrer1'3X10Hldtiq ut_Dansla mathmatique des alg6bristes),1'axiomatique d exluivelnent uII r61e hcuristique, Iutatioll dont rlerman.wey1 3 priSclairemellt acte encrivant ds 1935 quc ia lnOthodc Pour(ciairerou approfondir les fondements ))s'tait transformte en t illstrument de la recherche mathmatique coIIcrte(50).MaiS Cavaills,attentif par ailleurs a la pOSition intuitionniste au point d'6tre allRotterdam montrer sa thse principale d Brouwer et a Heyting(51)n'a PaS Inanqu6 de r6serves visvis d'une position trop dogmatiqucPOur reconnaitre la souPlesse des processus eFecits de dcouvcrtclet pOur raqucile( axlomatisation et tormalisation ne sont Plusmoments d'ulle dialectique cr6atrice mais des uniformes oblig3-toires(52)Ii va memejusqu'relldre ce dogmatisnle responsablede l'exag6ration))dans les diIIicultls de la th6orie des enscmbles irellemellt,il il'ya,ditil,que celles qui proviennent du m61angeentre sPculation philosophique et raionnements math6matiqueset celles,1lorlllales,que provoquent les insuFIisances techilique)).loment d'une dialectique cr6atrice)),instrument de rechcrche

concrte), 1'amrmation dc Cavaills fait 6cho d celle de Veylctla position dernire dc Cavail10s sur l'axlomatique n'csi pas loi11de conveilirla Pratique de son 6poque telle qu'1l pouv3itC1l rairel)exP6rieIIcc auprs de EInlny Noether

(48)rbFd, 77(49)r llid, 78(5())Emlny Noetlicr, c Memorial Adress h Bryn Mawr tiollege,26 avri1 1935

Reproduit dll1ls ll Wyl, Ccsa,L A,III,,3444(51)G Ferrires,op c",116152)ArrF a41jttarFq?"FOrw!,182

o,rya=ensStccur

5. LA PHILOSOPHIE DE L'ALGEBRE ABSTRAITE

5 1 11 est difncite de mesurer de faOon pr6cise la rsonancesur la r61lexion tpist6mologique de Cavaills de la math6matiquedes algbristes,laqueile il s'est initiPar ia lecture de Dedekind.Dans ies crits de Cavailis, les rOf6reliccs rcc2s aux travauxlnath6matiques sont rares.Lc mattri3u n'amcure jamaisnumais d6jlaboret cOmpltement refondtl dans les interrogationsproprement philosOphiques qui encadrent ou orientent la r6nexionsans l'enfermer dans des cat6gories prtal)lics.Si On exalnine ses sources d'une ra911bjective et extrieure)

os'aperOoit qu'il cOnnatt et utilise les cuvres de Dedekind et deHilber Outre les opucules sur ies nOmbres entiers et les nombresr6eis de Dedekind,il cite(53)ics cuVres compltesditOes de 19301982 par Oyste11 9rc, Robert Fricke et Emmy Nocther,DeHilbert,outre les C[?'Ccorrtttrfc,br ttzrb9rjFF etia fameuse conflre1lce au lle Congrs interllational des Nathmaticiclls(Paris, 190o), il Cite tous les articles dc16tarnathmatiqucqui d6battell d'url POint dc vuc autre que celui de la stricteettcacitmathmatiqlle,du r61e de l'axiondtique,des Fondementde la logiquc et de l'arit,hmtiquc Ou des nath6111atiques en gntral,de l)inflni,ctc.A la sance du 4 fvrier 1939 de la SocitfranOaisede Philosophic, Cavaills reconnait avoir dcrit, dans sa thsesur ia mtthode axiOmatique, quelquesun des procod6s math6latiques cn s'inspir31ltla fois de Hill)ert et de Dedekilld(54)]renvoie la leGoll dllabilitation prononce par Dedeindi(,30 juin 1854,en prsence de Causs et,p(lblic Pour la preliOrefois en 1932 par Emmy Noether(55)La peIIste de Cavaillsentretient un rapport esseIItiel avec ies id6es dvelopp6es danscet,te tecon.Oy trotlvei en elFet,aFrlrmte ct illustre la(ncessitlinterle qui lnodle avec ulle force contraignaIIe )rf12re,zttl7,7r N1, le dlveloppement des lna116matiques(et de tOutes les autres sciences).En ce qui concerne ies(( algbristes ))plus rcents ou mme

colitelIIPOraiIIs,onc Peut attrincr ttu'il ait une connaissance directede leurs travaux. Il est inforln, ccPendant, du d6veloppement

(53)Bib110grsphiOs dc ttcs dcux thses(54)2,F,2 rr' a sprF rrrlar de r)rFr,s,Prli, (lJ(1046), 10(1 1 Dedckilld,C,W!l tjarrtaFscrcr2,lII(BraullSChweig,1030-1932),

2-43

L'P:sr/20!gt? larf?lr r, `Jl r |,1! |

de la th6orie des corPs. NOus tiv()1111 |)| , ||l li l IdeJ77 rornaFOr,",lr(111l illxlt ll H|,||ull autre(P, 86)qui laiSSe peser quc (| 1)tti itit,!1 it

qlle Cavaills a entendu parler de Steillitz ctd tl[1111(1111 1tt l1 11, 1des corps algtbriquement clos(caraCtOristique noll l,rl('i1:)tt(11lJ|t une inflnitd)interpr6tations non isomorPhes )(56). 11(1 111

semblable, par dilleurs, quc Cavaills a lu l)article de llt,lllltllHasse,(Die lnoderne algebraische Methode)(1980),qui fait paI'titldu meme volume 39 du Jrs bcr'c der D"scerP ncr71!:rT/creFrl,gltr39 0d il a trouv, tandis qu'i1 6tai IIambourg, leCcr9 Car de A. Fraenkel,si voluHlilleux qtl'il a craint d'v voiIsa thse dttlore,sPrcieux Par llndiCation de la(,orresPorldanindite Dedekind,Cantor Ce volume 39 du Jrsbric'! |3it,au moment ou cavaillle lit,ladernire livraisonde la revtle,Sa lettre laissc comprelldre qu'il estomb dessus tout h rait parhasard et, coIIIme souvendans ces caslA, il a l)ien dd Parcotlriri'cIIsemble du volume.Or IIeinlut hasse insiste,dans son arti(lle,sur ie caractre du formalislne de l'algbre qtli est,non pas uriseude forlIules videsi niaisulle d61illlitation P3r fOrmules logiqesou mathmaiques prcises de son co,co7CP)(57)Etcontenu coIIceptuel est illustr Par les exclllples essentiels dc laconstruction alg6brique des corps de Steinitz que IIasst ardit en fascicule spar, prtcis6ment cette nlie 1930 -, paria construction algbrique des(lorPS relS de Artin et Schreier,et Par ia th6oric abstrditc des idaux de EHllny Noethel, Si l'onajoute les travaux de Alexander Ostrowski et deVolfgang Krulldont il rtsume 6galement l'essentiel,oII Peut'dire que rlasse faisaitun panorarn3 deS priIIcipatlx acquis de l'algSbre abstraite vers1930 (58).

(56)(,3Vuills i:lvoquc iexcIIlpte d,s A COrtS atbril ll.iltHt ftI111 3b 'lus(1

Steinitz 1)arni d'autrcs excnll)les illtlstr311 i(J` (111t, 1l()Fi F :,! r,rrI!est-6-dire il'3y31lt pas url I1lotlllt urli(111iSomorphisnl(PrlS AtlPPCi((11l ri: 11)!11ThoralF Skolem avait monrl quc irl hOrie de l)aritllinltitluc dCS eritit,r(1l rl)Icatgoriqlle Cavdillss'irltressc A la notion de catlgoicitt,ailiSi qutcllcs d'in(1`,),I

~

dance et dc saturatiol dans ie cadrc diunc tlldlysc dc l:l rIltliodc axlomttti1111(1llioccupe le chaPitre II de sollivre(57)Soulignd Par iauteur(58)Signa10ns l=alclent ld PubliCation, tll 1036, dtln rascicult sur AlObre

ab8trdite dans tl sric icFu!s scicn[frigc ntFarsrri?!!rs des Editiolls lternlnn,avec lesquelics t,3vaills nociCra la directiOri d'une col19ction d' (Essais philo80phi_

ques Ce Fascicul(n6t,dd Oysen Ore,prtsentc u113blcau synthtiquc!| 11

menairc dcs princiPduX rlsuitats dG l'ibre abstrtlitc

Frorya 2.:sSccur

54 LA PHILOSOPHIE DE L'ALGEBRE ABSTRAITE

5 1 11 es difrlcile de mesurer de facFon pr6cise la rtsonancesur la r1lex10npistmologique de Cavaills de la math6matiquedes algbristes,laquelle il s'est initit par ia lecture de Dedekind.Dans les 6crits de Cavaills, les rf6rellccs jrecJ2s atlx travauxmathmatiques sont rares.Le matOriau n'allleure samaisnumais djlabor6 et compltement refondil dalls ies interrogationsproprement philosophiqucs qui ellcadrerit ou orientent la rflexiOnsans l'elifernler dans des cat63ories pr6tablies,Si On exanline ses sources d'une FaOon obiectiVe et ext6ricure,

OII S'aperooit q u'1l cOnllait et utilislcs tPuvres de Dedekind et deHilbert. Outre les Opllsctllcs sur ies nombres entiers et lesombresrtels de Dedelind,il cite(53)les cuVres compltes 6dit6es de 1930 1932 Par Oyste11 0re, RObert Fricke et Emmtt Noether.Dellilbert,outre les C3,2trler2r CcOr:,br?Zttrb29rjF etia fameuse collflre11(ic au 1le congrds inter113tiOnal des ttlathlmaticiens(PariS,190o),il Cite tOus les articles dc I116tamathOmatiquequi d6klattent, d'un poiIIt de vue autre quc celui de la stricteelcacitl nlathmatiq(lc,du r61e de l'axlomatique)des folldement8de la logique et de l'arit,hmtiquc ou dcs mathinatiques en gntral,de rinflni)etc.A la s6ance du 4 f6vrier 1939 de la SocitfranOaisede philosophic, Cavaills rec01lnait avoir dOcrit, dans sa thOsesur ia mthode ax10matique, quelques,uns des proc6d6s math6-latiques en s'inspirallt la fois de Hilbcrt ct de Dedekilld (54).Ii renvol la leGoII d'1abilitation prO110nc6e par Dedeilldic 30 juin 1854,cn prscnce dc Causs et public Pour id Prernitrefois en 1932 par EEIInv Noet,her(55). La peIIste de CavaillsentretieIIt un ralPort esselltiel avec les id6es d6velopp6es dans(iette leOon.On y trOtivel ell elTet,afrlrme ct illustrte lancessitilltelnc ))qui lnod61e avec une forcc(( cOntraigllallte rj2rc,zttlf,c` VltD7292r lc dveloppement des lnath6matiqucs(ede tOutes les autrcs sciences).

En ce qui ,oncerne lcs alglbristes plus r6cents Oll m6meco1ltemI)orains,on ne peut ti mrIIler clu'il ait une cOnndissance directede leurs travdux. Il est inforI116 cependant, du dveloppemeIIt

t5RI Bib10grdPliCS dC es deu thlses(54)B"F,! 5ocr'2cr PosOPrtn,XI(11)46),10151 Fi Dedckind,Csa7P2c!!ar!ris'2C''cr,III(BrauriSChweig,1930-1932),

41!-411

'PFsJo9 amf?tr2 e Jcrrrl Caj!rtts 23

de la thOrie des corps Nous avons cit plus haut un des Passagesdc!3oJc o77Lae Crr'Squi invoque Steinitz.Il y cn 3un autrc(p.86)qui laiSSe penser quc c'est par Emmy Noetilerquc Cavaills a entendu parler de Steillitz et du fait qtle la th60riedcs corps alg6briquele11cios(caractOristique noll pr6cisc)3dnlett une inflnitd'interprtations non isomorphes )(56). Il eSt Vraisemblable, par ailleurs, quc Cavaills a ltl l'article dc HelmutHasse,(Dic moderne algebraische Methode)(1930),qui tait particdu mOme volume 39 du Jarcsbric[2r D41sc A/rttcryrj:129 od it a trouv, tandis tltl)i1 6tait a llambOtlrg, leC2961r de A Fraellkelsi vollimineux qu'il a craint d'y voiIsa thse dtllore,s!prcieux Par rindicatiorl de la()orrespolldant,in6dite DedekindCantor. Ce volume 39 du Jrsbrc taitau mornent ou Cavdillle lit)1Adernire livraisonde 13 reVueSa lcttre laisse corIIPrendre qu'il est tomb6 dessus tout 3it parhasard et, coHlle SOtlvent dans,es casl)il a l)ien dd parcouriri'cnsemble du voluHle.Or IIellnut nasse insiste,dans soII article,sur le caractOre du formalisme de l'31gbre qui esti non pas un ieude fornlules vides, IllaiS t uIIe d61inlitation PaI fOrmules logit1llesou lnathmatiques PrCiSes dc son cC,71CPer)(57) Et cccontenu coIIceptuel est illllstr6 Par ieS exelllples essentieis dc laconstruction algbriquc des corPs de Steillitz que F13SSC arditO en fascicule spar, prcislent cette dnilte 1930 -, Parla construction algbriquc des corps rleis de Artin et Schreier,Ct Par ia th6orie abstrdite des id6aux de EInHly Noethel, Si l'onajoute les travaux dc Alexander Ostrowski et deVolfgang Krulldont il r6sume 6galement l'essentiel,on peut dire que rlasse faisaituII panoraln3 deS prillcipaux 3cquis de l'algbre abstraite vers

1930(58).

(56)Cavai111S illvoquc l'exclnPle deS( COrps alglbriquerilcll fermOs absolus dcSteinitz parrni d'1lutres exemples illustrant iddc diRllle thlorie rlo r`[,c'estdirc ll'3yarit pds un1loddlu nt(lue d iSOmorptlisR19 PrOs Rdppelons qll'crt 1934ThoralF Skolem avait montrl que ltl thlorie dc liarithmttique des eniers osi noncat6gorique Cavaills s'intressc d la notion de catgOricitt,ainsi qu'd celles d'ind6pendance edc saturatiol dans le cadrc diune allalysc de la mthodC axloinatiqu qllioccupe lc chapire II dc so11 livrt(57)Souligrl Par l'au tetr(58)Signa10ns tgalomeit la publication, c11 11)36, d'tin fascicul stlr LiAlgbre

abstraitc dans la sOrie rlrtt,s sci2F?r!CS!:,s:rs des Editiols Hermann,avec lesquelles Cavaills ndgocicrd ta direCtion d'une collectiorl d'( Essais PhiloSOphiques b Cc Fasciculc,n3Gt,dd d Oysen ore,prsentc url tableau syntildtiqur1 1tlInentairc des prillciPaux rsuitats dc l'albre absrtitc

24 r"rJa BrlsS:6ur

En tOut tat de catlse, c'cst au dveloppement de l'algbreabstraite,tRutant qu'IIusserl,qtle Cavaills emprunte les procd6sdistingul1)uII cOmlneth61natisatioII)(59),1'3utle commeid6alisatiOIl)(60),ct(ui dCViCIldrollt,dans St4r!j?,cCrj2 rascFrlcc,des(propriOt6s constituives del'csscncc dela peIIste))(p.27).Les pages surleparadigme),dans cet Ouvrage(Paris,PuF,1960,

p. 27-30), demeureraiont rort difnciles si On ll'y re()oIInaissait lesettets de l'adjOnction d'61Inents idaux:1lppression de siIIgularit,dissociat,101l entro Objet particulier de la premitre intuition et ohiet86n6ral,dissociation libtratrice de sens)),sO tlr(je dc pitlralitdansl'unit fOrmelle et Origine de(ces promotiOIIs math6matiques)successives auxquelle lus devons chaque fois dc 110uveaux objets.C'est le vertigc de la cfrlqu'atcste la I)olymorphie fusant d'un( unique eIIchainemell ratio1lllel )), cse donn311ti sur un autreregistre,(,oII1 111fuite indfillie vers ie sells qui, dgag grace audcor intelligiblc et de lui fabriqut,s'(!happe aussit6t(cOmme dansull rOve''et par i1OIne posc so11 0rittillalit" L'idtalisation c'est lepassage,116cessdirelllclit I)rogressiLtalul.ulle certtiille(10ngueurd',IIchaSnement) de l'd(ltc additioIIIler deS 1lombres elltiers,par

excmpleall seIIsadditionner saIIs sttcincation d'individusde la linisOIIac la ( liaison_tyPc ) D'ou sOn autrc nom(ParadiglllLa(thmatisabion),ellc,pre11(l potlr d6part l'enchainement

saisi cette fois dans son v01, trajectOtre qui se muc en scIIs. LapeIIslc lle va plus vers l terme crt mais part dc la FaGon decrler pour en dOnner ie pri1lcipe par ulle abstractiOn dc lnmc naturequc l'autre, Indis dirige transvcrsalelnent)(P,30)Ce dCuximeprocessus est01lditiO111lt ptir ie prelicr. Car, dalls le passage del'acte au sells appardt ulle dualit :entre le seris dune oprationell tant qu'clle est Oret s01l senS Cn tant ctil'OPr,1C,Ce n'cst

(50)Dans i3 1ignC d1l usserl,(invail13s aPPcllC(thCIIlatistltiOn,le rdit quc(10sgestcs accclnplis sur url modlc ou ull champ d'individus Peuvellt, leur tOur, Otreconsidr6s colnnc des iridividus sur ls1luelS iC nlathntiticlen travdillc ell les consid6-rallt com1un nouvedu ciamp)lcOInpte rendu dc id sdace du 4 Fvrier 1039 de laSocit Francaise dc Phi10soPlliC, 10)Nocr erPasSarit l'enlprunt du termechamp,3 1a tlllsc d IIerbrJ1(1(6())'idlisatioll"(cOsistc sinll)lcrnelti cIgcr(111)une op6rdtion,qui se trou,

vatt d'urlc mariire accidencllc lintitdc s certais ci()1lstu!lccs Ctririsdques1'ccOmPliSSemerit rl1011lc tle Cetc()1)IIrlilorii sOit lillrle d(cette limitatioll extrinsbqte)etceci I)Jr la positiOn d'uIsysttiI11(1ol)j(,ts(1lli ll)C011lCid!PitiS avcc lcs Objets de l'illtuitloll(rcst par cxcmple dinsi11J('SOrit Faites les dil16rentos gran`ralisations de la notiOn(le norill)rc (r , I1 59, )

L'P:s!o9 tt!:?2 JaCaaF[s 25

plus seulement ce passage de l'acte atl seIIs qui retient l'int6rOt,mais le co,r722rlr de ce passage; non plus le r6sultat en tallt qucr6sultat,si gnral soit-1l devenu,mais ies lodes de sa gntration.Et Pour reprendre un exemple silnple,non plus l'addition indirente aux noHlbres,1'addition abstraite livre par le procs longitudinal d'idalisatio11, mais ies lois d'associativit et de colnmutativit6. Ou, poul invoquer l'histoire de la logiquc, Ixon pluscrire le systme de tous ies formalismes possiblesSOlution queCavaills attribue aussi bien Frege qu Dedekind (P 33),ais dresser l'ensemble des wntaxes de tousles systmes formels

prOtet COmlllun,selon Cavaills,Carnap etTarski.Il y aurait enco3 bien d'autreslnesses a relever dans l'enche

v6trement de ces deux processlls de l'algbre ou de la pense,Nous voulions surtout assigner le champ particulier par rOf6ren()cauquel Gavaills en a forgla d6finition et 3morc1386n6ralisation.

5.2, La visioll gnOrale qu'avait Cavaills des lnath6matiquesCOHlle tOtalit6 organique et doue de spontanit11'est assurnlent

pas saIIs rapport ave(, la conccPtiOIl illlposte par l'axlomatiqued'une science vi3oureusement charPclit6e et unitaire dans 13(prolif6ration exub6rante))de ses rsultats.Si on se souvient que IIilbertcrivait ds 1900(61)que la(science lnathmatique est un entierindivisible,u1l organisme(62)dont ia Force vitale a pour conditiolll'indissolubilitO de ses Partieset qle( plus une th6orie math

matique se d6veloppe.o,plus on dOcouvre des relations entre cettethorie et dcs branches qui lui 6taient 6trangOres iuSque-1 ,on comprelld Hlieux Pourquoi Cavaills avait tellement c ur,ds le dPart, d'expliqucIle dveloppement de la pens6e math

matiquc((de fa9on strictement intririsquc Par les 6changes r6ciproques)dcs diverses disciphlles mathmatiques,sans l'intervention de la contingcnce historique et sans le bra1lle d'une impuisionextricure En deveilant abstraite l'axlomatique renforcc encorecette inpressioll d'un dyllanlislne autonome et uninctateur.Catla2sa Pcr'cProPrer72m"rer'absraciet qu'en sch6matisaIIt ce sont de nouvclles dpelldances qu'eile rtvle,des liens parfoisinattendlls,une solidarit6 ramifle mais plus forte de l'ensemble

(Gl)ConfOrence au IIC t'ongrts international des Mathmaticiens(62)Cette motaphore blologique est ttaleme1lt prscnte dans lo leOon de Dedekinti

cite par Cavaillds, Ccsa i VcrA,III,430

26 rrOurya B.rlsSfaccar

Bierl avant que les lnathomaticiens du groupe Bourbaki n'aientell lc ternps de rendre ces idcs familires au public franOais,CavailiSs en avait tir6 1a leGoll quant aux r6quisits d'unepistrnologie travai116e de l'int6rieur par le contenu et le mouvementelFectif de la science d laquelle elle s'3pplique. Aussi n'estce pasun hasard qu'y 6mergent les 1lotions dOrit elle fait une doublepierre arlgulaire,dc structure et de cOncept,

1; TRUCTURE ET CONCEPT DANS LA PHlLOsOPHIE

DE L'ALGEBRE ABSTRAITE

6.1. La notion de structure a une place considrable dans

lfe?er::::sci!lII116diaire entrc l'esprit humain et l'6tre en soi, dPelldant autant

t1

,3 Gle ,:

nlouvement)(63)D'01'int6rOt pour ia dmonstration,carla

li8: :ac8i:1:i:i:iir1e::er=e|:fe:iiifl1S

& e

(66)r, 25

'Pisttm!o9rtar?CCa,l Capat!s 27

attfli31:

361elrlT

]1lis1!sS:

&it:||'im:

`hallle desCendtlntc"ollSidtc paF Emmy Noether dans SOn mOnloire de 1921

(69)Ciaprls, p 120,121

2 Frttry (!rl isS,71aCC

!i

Si=naturel que, POur relldre possible une thorie de la sciente fldle

ii)lt

,i1!i;lt|!lit!|::l:i|!lit

(P)1ransflni ct cOntinu,PSP,,1:?I PariS: Hermanil, 1982),273

'P,s!Fto!o9jc mara?acaCattat!!s

de processus d'abstrtxction de dilIrents ordres et s'exerOant selondiverses directions(73)sur deS COntenus Plus ou mOins complexes,sorit des jalons dans ic mouvement indIni qui se ressource eneux pour un nouveau d6paFt,Vers de nouveaux enchainements.La dialectique des concepts nous semble donc s'identifier

1'(exprience)mathlmatittue ellemOme(74)telle que cavaills

POuVait en rfaire l'6preuve dans ces annes 30 : marque pardessus tout par une irr6sistible monte vers l'abstractionPar un efFet dc redoublement ou de refletdont nous avons dit

ia raison d'6tre en collInengant,Cavaills propose une philosophieadapt6e au dveloppement efFectif des math6matiques des structures et des colicep,(75).Le modlle lnath6matique de la philoSOPhie du conccPt C'est ia dialectique objective 4es COntenus ltnathmatiqucs qui agisselt et ragissent les uns sur ies autres spontan

ment, dans un mouvernent dont ia consciencc mathmaticienllen'est qu'une dterlination extrinsque, au mOme titre que lesdonntes de culture ou de soci6t, NIouvement de r6vision Perp

tuelle od chaqlleollveliC(id6alisation)force l'intuitionarracherde nouvelles(illres tandis que le concepest sa uvPar ia lnobilitde la structure iLcs ProCdS exigOs Par la SOlutiori d'un problme

provoquent, dans l'actualisation mOme qui leur donne un sens,un telchangement d'6clairage qu'1l faut d6jtt abandonner les notionsqui forment leur structuISe,(76)Rien n'cst l1loins synonyme d'arrStou dc nxit quc la structure lNon Pas(( uniforint ))rigide lrnaismonlent d'ulle dialectique cr6atricc)Lc ProceSSus de((thmatisationsuperpose j2les formesprincipes aux formesOPOratiOns, les structuresconcepts aux proc6dures id6alistes.NIobilitdes structures o(l dialectique des concepts, ce sont id

deux Points de vue qui se correspondent. Pour la math6matique

(73)Coinm nO(ls ii3VOnS Vu en 5 1 , des PrOceSSus longitudinaux ttag68 81CIIChe

vOtrent avec des processus transvorstux`glementtagts(74)ean Hyppolite l'avait bien reconnu dans ses objectlons 1'utilisation pluri

vOque,fort dilllrente de celle dc Cavaills,du termedialectique"par LautmaII oirle compte rendu de la s6allcc du 4 fvrier 1939 de la SociCtfranOaise de Philo80Phie,nscussiOn, oP c, n 2, 28 Voir galeIIlellt la lettre de Cavaills A son Pre du28 avri1 1938,da118 G Ferrires,oP cF_,19(75)1l raudrait relire le compte rendu des deux hses de Cavallis,tuo Charics

Ehre3manII Iit en 1941,dans ra4Jc PfrosoP:qttC Ehresmanll soulige que lcs idesde Cavaillls rlPoridaient t au selltimcnt intimc de la pluPart dos mathmaticierls dcscri temps){76)Tra1lSrli et cOntillu, )p c,r, 11 72, 273-74

29

30 FrO"rJ B,sS,cur

des structures quelle phi10sOphie proposer sinOn prOcislment unephilosOphie du cOncept?

desi:!'P11ii8si1titi3if::

s:iteh&ell3se tSb)8ieFttittp1:tl::alen:3mtt cePendan

|

|

CFVRS. 1lourya BENISSINACEUR.

1

La Posi10n de Cavaillsdans le problme des fondementsen IIlathttatiques,et sa diSrence

avec celle de Lautman

RttSUM Un examen rltrospectif de la disPute phi10Sophique sur lesfondements des lnathmatiques aux alentours de 1939 1nontre un dOncit de l'intuitlon du c6td'un fOrmalisme strict et une sousestimation du langage du c6td4un intuitionnisme mental(Sl)Cav1ls Chercheunifler ces deux aspects nBligls par un formisIIle dialet

I1formels soient accompagns d'une transformation corr61ative de l'intuitioninitiale,c'estdire des schOmes d)actiOn constituant les objets primitits Une

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R.Frlsr,scF,,1987,XL1