partie vi modelisation mathematique de l operation de sechage

Modlisation mathmatique de lopration de schage.

Contribution loptimisation du schage en lit fluidis.

VI.1

Partie VI. Modlisation mathmatique de lopration de

schage.

Le dispositif de schage en lit fluidis construit au laboratoire (cf. Partie III) est pourvu de sondes qui permettent de suivre lvolution de la temprature et de lhumidit durant toute lopration de schage, aussi bien lentre du lit fluidis qu sa sortie. La matire sche de solide et la viabilit sont galement suivies pendant le schage grce des prlvements effectus dans le scheur en cours dopration. La dure de traitement1 de ces prlvements est non ngligeable par rapport celle dun essai de schage (de lordre de 8%), ce qui limite le nombre de mesures de matire sche et de viabilit. Le dveloppement dun modle mathmatique reliant paramtres opratoires et rsultats permettra doptimiser les conditions de schage sans effectuer de nombreuses expriences et de complter les mesures off-line (viabilit et matire sche).

Deux modles mathmatiques distincts ont t dvelopps. Ils ont pour objectif de prdire lvolution temporelle de la temprature et de lhumidit de lair de schage ainsi que lhumidit du solide durant toute lopration de schage.

Le premier modle repose dune part sur les bilans de matire (eau) en phase gazeuse et en phase solide et dautre part sur le bilan enthalpique du systme. Le second modle tente de dcrire le phnomne dvaporation lintrieur dun grain de levures poreux. Ce modle repose sur les bilans enthalpique et massique (eau) linterface entre leau et la phase gazeuse considre lquilibre thermodynamique, les bilans enthalpique et massique (eau) sur la phase gazeuse ainsi que sur le bilan massique (eau) sur le solide. Le modle prend en compte les changes au niveau de linterface liquide-gaz, considre lquilibre thermodynamique, ce qui permet de relier la temprature et le titre massique en vapeur deau cette interface. Ce modle a la particularit de tenir compte des diffrents types deau (type C et D) prsents dans la levure hydrate et mis en vidence dans la partie prcdente de ce travail. Dans ces modles simples, le lit fluidis est considr homogne, cest--dire que la prsence des bulles de gaz qui traversent la phase mulsion nest pas prise en compte. La phase mulsion est considre parfaitement mlange. La taille des grains est considre invariante pendant le schage.

1 Pese pour la dtermination de la matire sche ainsi que pese et dissolution de la levure dans de leau peptone pour la dtermination de la viabilit.



VI.2

VI.1. Premier modle.

Le modle est constitu des quations de bilan de matire en phase gazeuse et phase solide et du bilan enthalpique du systme en considrant les hypothses suivantes.

VI.1.1. Hypothses.

H1. Le scheur est assimil un racteur parfaitement mlang, du point de vue de chacune des phases (solide et gaz). La temprature et lhumidit de lair lintrieur et la sortie du scheur sont donc identiques. Cette hypothse est justifie par les essais de mlange raliss partir de deux couches de sable de diffrentes couleurs montrant que les deux couches de sable taient indiscernables aprs quelques secondes de mlange (cf. III.4.1), et par les mesures de temprature lintrieur du lit fluidis2.

H2. Le lit fluidis est considr comme homogne, cest--dire quil nexiste quune seule phase mulsion. Par opposition, la prsence de bulles de gaz est prise en compte lorsque lon considre le lit fluidis htrogne. Le lit fluidis est qualifi dhtrogne lorsque des grosses bulles dair se forment et clatent projetant des particules de solide au-dessus de la surface du lit de particules en fluidisation, typiquement lorsque la vitesse de lair de schage est suprieure 10 umf [Kunii, et al. ,1991].

H3. Le scheur est considr adiabatique. Les changes de chaleur avec lextrieur, autres que ceux associs aux dbits dair dentre et de sortie, sont ngligeables. Cette hypothse est raliste pour nos conditions de schage puisque la temprature de lair de schage est trs proche de la temprature ambiante durant les essais, ce qui limite les changes de chaleur avec le milieu environnant.

H4. La temprature dans les grains de levures est uniforme. Toute modification de temprature en surface du grain se rpercute instantanment dans lentiret du grain. Le temps ncessaire pour que la temprature du grain soit uniforme peut tre valu en posant le nombre de Fourier gal 1. En effet, le nombre de Fourier compare le temps physique t au temps que mettrait une perturbation thermique pour se propager dans la demi-paisseur du matriau :

2

1tho

sol psol gr

F tc r

= (VI.1)

o th : conductivit thermique (W m-1 K-1) ( 0,78 W m-1 K-1) [Lyde ,1997] sol : masse volumique du solide (kg m-3) ( 1080 kg m-3) [CWBI] cpsol : chaleur spcifique du solide (J kg-1 K-1) ( 4000 J kg-1 K-1) [Perry ,1984] rgr : rayon du grain de levures (m) ( 0,001 m)

2 Un thermocouple plac lintrieur du lit fluidis permet de mesurer la temprature dans le lit fluidis pendant les essais de schage. Les tempratures mesures dans le lit fluidis ne diffrent pas des tempratures mesures en sortie du lit fluidis, aux erreurs de mesures prs.



VI.3

Le temps t ncessaire pour quun grain de levures soit uniforme en temprature est donc valu 5 secondes. Ce temps est compar au temps caractristique de modification de la temprature du gaz entourant le grain. Ce dernier est estim exprimentalement par le rapport de la temprature du gaz par la vitesse de variation de cette temprature pendant les essais. Lordre de grandeur de ce rapport est la dizaine de minutes (cf. Partie IV).

H5. Les grains sont assimils des sphres, toutes de diamtre identique et invariant durant le schage. La levure avant dtre sche est mise sous forme soit de petites sphres de 1 ou 1,5 mm de diamtre par extrusion et sphronisation, soit de petits cylindres par tamisage de filaments de levures de 0,5 mm de diamtre (cf. III.3.1). Lhypothse de linvariance du diamtre des grains de levures est peu raliste au vu de la Figure VI.1 mais elle permet dans une premire approche de simplifier lcriture des quations mathmatique du modle .

(a) (b)

Figure VI.1 : Photographies prises au microscope lectronique (a) de grains de levures humides et (b) de grains de levures aprs schage (92 % de matire

sche) .

H6. Le transfert de leau des grains de levures vers lair se fait sous forme vapeur et non sous forme liquide. Le flux de matire est un flux de vapeur deau qui quitte le solide pour se diriger vers le gaz. En effet, le modle de diffusion liquide, propos par Sherwood [Sherwood ,1931] et exprim par une loi de Fick, na permis aucun auteur dobtenir des volutions dhumidit de lair de schage exprimentales et thoriques concordantes pour le schage de solide (cf. II.4.1.2). Le modle de diffusion de vapeur pour le schage de produits alimentaires a dabord t propos par King [King ,1971] et a ensuite t retenu par de nombreux chercheurs comme moyen de transfert dhumidit interne [Fortes, et al. ,1980] [Chen, et al. ,1989].

H7. La diffusion de la vapeur deau dans le grain nest pas limitante, le temps mis par la vapeur deau prsente lintrieur des grains pour arriver en surface est suppos extrmement court par rapport au temps ncessaire la vapeur deau pour passer de la surface du grain au gaz de schage. Ce dernier est estim partir du temps caractristique dvolution de lhumidit de lair de schage, valu exprimentalement par le rapport de la masse deau transfre au gaz de schage par la vitesse dvaporation. Ce temps caractristique est de lordre de la dizaine de minutes.



VI.4

Quant au temps caractristique de diffusion de la vapeur deau dans les grains, il peut tre valu par le rapport du carr du rayon du grain rgr2 au coefficient de diffusion de la vapeur deau dans les pores du grain. Le coefficient de diffusion considrer est celui de la vapeur deau dans lair, soit 2,5 10-5 m2 s-1, puisque la diffusion molculaire est dapplication et non celle de Knudsen3.

Le libre parcours moyen des particules de vapeur deau est obtenu par la relation (VI.2) :

2

2 42

B

T

k T

P

=

(VI.2)

o : libre parcours moyen (m) kB : constante de Boltzmann (=1,38 10-23 J K-1) [Perry ,1984]

T : temprature (K) PT : pression totale du gaz (Pa) : diamtre molculaire (m) ( 3 10-10 m) [Wen, et al. ,1966] Le temps caractristique obtenu pour la diffusion dans le grain est donc de 10-2s pour un rayon des grains de levures de 5 10-4 m. Cette valeur est largement infrieure au temps caractristique de lvolution de lhumidit de lair de schage, la diffusion de la vapeur deau dans les grains de levures est donc considre comme non limitante.

VI.1.2. Equations.

Les quations du modle sont constitues des bilans de matire (eau) sur le gaz et le solide et du bilan enthalpique sur le scheur (la temprature du solide est gale la temprature du gaz tout instant (H4)). La forme mathmatique des bilans est dicte par le type de racteur auquel est assimil le lit fluidis : un racteur parfaitement mlang (H1). Cela implique que les caractristiques de lair de schage (temprature et humidit) sont identiques lintrieur et la sortie du racteur.

VI.1.2.1. Bilan de matire sur la phase gazeuse.

Le bilan de matire sur la vapeur deau dans le gaz de schage (air) scrit :

Dbit deau dans lair lentre

= Dbit deau dans lair la sortie

+ Masse deau accumule par unit de temps dans lair

- Dbit deau transfre de la levures vers lair

(GYe) (GY) 2( )l fl fl airdY r Hdt

2( (1 ) )l fl fl va r H J

3 Le diamtre des pores des grains ( 2 10-5 m) est suprieur au libre parcours moyen des particules de vapeur deau ( 10-7 m).



VI.5

Ce bilan peut sexprimer sous la forme :

2

2

( ) (1 )e l fl fl vl fl fl air

G Y Y a r H JdYdt r H

+ = (VI.3)

o t : temps (s) G : dbit dair humide (kg s-1), suppos comme constant car la fraction

deau capte par le gaz de schage est faible ( 1 %) Ye : humidit de lair de schage lentre (kg de vapeur deau kg-1 dair

humide) Y (t) : humidit de lair de schage linstant t (kg de vapeur deau kg-1 dair

humide) rl : rayon du racteur (m)

Hfl : hauteur du lit fluidis (m) fl : porosit du lit fluidis (fraction volumique du gaz) (-)

air : masse volumique de lair (kg m-3) a : surface dchange solide-gaz dans le scheur (m2 m-3)

Jv : flux de vapeur deau (kg deau m-2 s-1)

VI.1.2.2. Bilan de matire sur la phase solide.

Le bilan de matire deau sur le solide traduit lvolution temporelle de lhumidit du solide contenue dans le lit fluidis :

Dbit deau transfre de la levure vers lair

+ Masse deau accumule par unit de temps dans le solide

= 0

2( (1 ) )l fl fl va r H J ( )soldX mdt

2

2

(1 )(1 )

l fl fl v

sol l fl fl

a r H JdXdt r H

= (VI.4)

o a : surface dchange (m2 m-3) rl : rayon du racteur (m) Hfl : hauteur du lit fluidis (m) fl : porosit du lit fluidis (fraction volumique du gaz) (-)

Jv : flux de vapeur deau (kg deau m-2 s-1) X (t) : eau contenue dans le solide linstant t (kg deau kg-1 de solide sec)

t : temps (s) msol : masse de solide sec (kg )



VI.6

VI.1.2.3. Bilan enthalpique sur le scheur.

Aucun change nest considr entre le scheur et le milieu extrieur par pertes travers les parois du lit fluidis (H3), le bilan enthalpique scrit donc :

Enthalpie du gaz (air/vapeur deau) lentre

- Enthalpie du gaz (air/vapeur deau) la sortie

= Variation au cours du temps de la quantit denthalpie totale dans le scheur

eGH sGH dHdt

, ,

, ,

, ,

(1 ) ( ) ( )

(1 ) ( ) ( )

( )

rf rf

rf rf

rf

T Te f air pair e rf e f vap pvap e rf

T Tf air pair rf f vap pvap rf

Tsol f sol psol rf sol f eauliq

G Y H c T T GY H c T T

G Y H c T T GY H c T T

m H c T T m X Hddt

+ + + + + +

+ + =, ,

( )

(1 ) ( ) ( )

rf

rf rf

Tpl rf

T Tair f air pair rf air f vap pvap rf

c T T

Y m H c T T m Y H c T T

+ + + + +

(VI.5)

o G : dbit dair humide (kg s-1) Ye : humidit de lair de schage lentre du lit fluidis (kg de vapeur

deau kg-1 dair humide) Hf : enthalpie de formation (J kg-1)

cp : chaleur spcifique (J kg-1 K-1) Te : temprature de lair lentre du lit fluidis (K)

Y : humidit de lair de schage dans et la sortie du lit fluidis (kg de vapeur deau kg-1 dair humide)

T : temprature dans et la sortie du lit fluidis (K) Trf : temprature de rfrence (K) msol : masse de solide sec dans le scheur (kg) X : teneur en eau de la matire sche (kg deau kg-1 de solide sec)

mair : masse dair humide dans le scheur (kg) Les indices sol, air et vap sont respectivement relatifs la phase solide, la phase air sec et la phase vapeur deau.

Lexpression peut tre simplifie :

- en ngligeant les deux derniers termes du membre de droite par rapport aux deux premiers termes. En effet, la masse dair dans le scheur (mair 3 10-3 kg) est faible par rapport la masse de solide (msol 0,15 kg). La diffrence entre les masses dair dans le scheur et de solide est accentue par leurs termes multiplicatifs. En effet, la teneur en eau du solide est plus leve que celle de lair de schage (X 2,5 et Y 1 10-2 ) alors que lenthalpie de formation de leau ltat liquide est du mme ordre de grandeur que celle ltat vapeur (HTrff,eauliq 1,5 107 J kg-1, HTrff,vap 1,3 107 J kg-1 (4)) et que les chaleurs spcifiques considres sont du mme ordre de grandeur.

4 Enthalpie de formation 25C [McQuarrier, et al. ,2000].



VI.7

Lenthalpie de formation du solide est de HTrff,sol 3 105 J kg-1 et celle de lair5 HTrff,sol 5 103 J kg-1. Le membre de droite de lquation (VI.5) se rduit donc :

, ,( ) ( )rf rfT T

sol f sol psol rf sol f eauliq pl rfd m H c T T m X H c T Tdt

+ + + - en ngligeant lhumidit de lair de schage devant 1 aussi bien lentre Ye qu

lintrieur et la sortie du lit fluidis Y. En effet, lordre de grandeur de Ye et Y est de 1 10-2 (



VI.8

VI.1.2.4. Expression de lisotherme de dsorption.

Les bilans de matire sur le solide et le gaz sont relis par le flux de matire Jv qui est exprim par la relation (VI.7) ci-dessous :

( )v g RJ k Y Y= (VI.7) o k : coefficient de transfert de matire (m s-1) YR : humidit de lair la surface humide du grain (kg deau kg-1 dair sec) Lhumidit de lair la surface du grain YR est obtenue par la relation (VI.8). Cette dernire exprime lhumidit relative de lair HR par le rapport de lhumidit de lair la surface du grain YR par lhumidit de lair saturation Ysat :

R

sat

YHRY

= (VI.8)

La relation entre la quantit deau absolue du solide X et lhumidit relative de lair peut sexprimer par une isotherme de dsorption. Pour la levure tudie, une isotherme de dsorption a t obtenue 25C (cf. Figure V.6, Partie V.2.4) et a t modlise par la relation GAB6 (V.4).

Lexpression (VI.9) de lhumidit de lair la surface du grain YR en fonction de la masse deau prsente dans le solide X sobtient partir de la relation (VI.8) dans laquelle lhumidit relative est remplace par son expression en fonction de lactivit en eau (II.4, Partie II.2.1.1) qui est elle-mme obtenue par la relation GAB (V.4) :

( ) ( )( )

2 2 2

2

((2 ) ( )) ( 2 ) ( ) 4 12 1

G G G G G mc G G G G G mc G GR sat

G G

k k c X k c X k c k X k c X k X cY Y

k c X

+ = (VI.9) Lhumidit de lair saturation Ysat est fonction de la temprature. Son expression7 (IV.5) dcoule de la loi de Clapeyron, elle permet une trs bonne corrlation (TableauVI.1) entre les valeurs calcules laide de cette relation et celles releves sur le diagramme de lair humide (Diagramme de Mollier [Goenaga ,1965]) pour la gamme des tempratures parcourues exprimentalement.

0,06493,9332 airTsatY e= (IV.5) Temprature

(C) Ysat par la relation

IV.5 Ysat par le

diagramme de Mollier

10 7,53 7,6 15 10,42 10,8 20 14,40 14,8 25 19,93 20,0 30 27,56 27,4

Tableau VI.1 : Humidit de lair saturation en fonction de la temprature suivant la relation IV.5 et le diagramme de Mollier.

6 Les paramtres de la relation GAB introduits dans le modle sont Xmc=0,06 kg deau kg-1 de MS, kG=0,97 et cG=32, paramtres obtenus par Bossart 25C (cf. V.2.4). 7 La temprature est exprime en C et lhumidit de lair saturation en gramme deau par kilogramme dair.



VI.9

VI.1.3. Conditions initiales et aux limites.

Ce modle mathmatique est donc compos de trois quations de bilan, le bilan de matire sur le gaz (VI.3), le bilan de matire sur le solide (VI.4) et le bilan enthalpique sur le scheur (VI.6). Ces quations sont exprimes sous forme dquations diffrentielles faisant intervenir les drives par rapport aux temps des trois grandeurs X (humidit du solide), Y (humidit de lair la sortie et donc dans le lit fluidis) et T (temprature de lair la sortie et dans le lit fluidis) dont les conditions initiales sont , au temps t = 0 :

- X=Xe - Y=Ye(t) - T=Te(t)

Les caractristiques (temprature, humidit) de lair de schage lentre ne sont en effet pas ncessairement maintenues constantes pendant tout le schage. A chaque pas de temps, de nouvelles valeurs dhumidit et de temprature de lair dentre, mesures exprimentalement, sont insres dans le modle mathmatique.

VI.1.4. Paramtres du modle.

Les paramtres du modle sont de trois types :

les paramtres mesurs : - les caractristiques de lair de schage lentre du lit fluidis : dbit G, humidit

Ye et temprature Te , - les caractristiques initiales du solide scher : rayon des grains rgr, humidit des

grains en dbut de schage Xe, - la hauteur du lit fluidis Hfl, - la surface volumique de contact du solide a, dfinie comme le rapport entre la

surface du grain et son volume, - le rayon du racteur rl, - les paramtres de lisotherme de dsorption Xmc, kG et cG.

les paramtres estims :

- la porosit du lit dpos 0 obtenue partir du graphique de la Figure III.6 qui relie la sphricit des particules sches la porosit du lit fixe (cf..III.3.2.3).

- la porosit du lit fluidis fl est calcule partir de la porosit du lit dpos 0 et des hauteurs mesures de lit au repos H0 et en fluidisation Hfl (cf..III.3.2.3) :

0 01 (1 )flfl

HH

= (III.9)

le paramtre qui a t choisi ajustable dans ce modle : le coefficient de transfert de masse k.



VI.10

VI.1.5. Rsultats obtenus par le modle mathmatique.

La rsolution des quations de bilan est ralise par le solveur dquations diffrentielles ODE23s du logiciel de calcul Matlab, version 6.1.0.450., avec un algorithme bas sur la formule modifie de Rosenbrock dordre 2.

Le paramtre k, coefficient de transfert de matire, est ajust sur les points exprimentaux en utilisant lquation (VI.3) dans la phase de schage vitesse constante. Ce coefficient de transfert de matire est alors introduit dans le modle et les volutions en fonction du temps de lhumidit de lair Y, lhumidit du solide X et la temprature de lair T sont calcules.

VI.1.5.1. Comparaison entre les courbes obtenues par le modle et les courbes exprimentales.

Trois essais de schage (Sclf20, Sclf21 et Sclf210) ont t modliss par ce modle mathmatique. Deux de ces essais (Sclf20, Sclf21) prsentent la particularit davoir un taux dhumidit et une temprature de lair de schage constants lentre du lit fluidis pendant toute la dure des tests, quant au troisime essai (Sclf210), lhumidit et la temprature de lair de schage lentre du lit fluidis voluent avec le temps (Tableau VI.2).

Nom de lessai Sclf20 Sclf 21 Sclf 210 Masse de levures avant schage (g)

602 445 453

Taille des grains (mm) 1 1 1,5 Humidit du solide avant schage (%)

71 71 71

Dbit dair (kg s-1) 0,048 0,06 0,038 Vitesse de lair (umf8) 6 8 3 Humidit de lair de schage lentre du lit fluidis Ye (g deau kg-1 dair)

9 9,8 variable

Temprature de lair de schage lentre du lit fluidis Te (C)

28 25 variable

Tableau VI.2 : Donnes exprimentales des essais Sclf20, Sclf21 et Sclf210.

Le coefficient de transfert k ajust vaut 0,15 m s-1 pour les trois essais prsents. Les Figures VI.2, VI.3 et VI.4 prsentent les courbes exprimentales et modlises des trois variables Y, T et X en fonction du temps respectivement pour les expriences Sclf20, Sclf21 et Sclf210.

8 Vitesse minimale de fluidisation.



VI.11

Figure VI.2 : Courbes modlises (rouge) et points exprimentaux (points bleus) pour lessai Sclf20.




VI.12


On constate que le modle mathmatique permet de simuler lvolution de la temprature T et de lhumidit Y de lair de schage de la phase de schage vitesse constante (phase 2). Par contre lvolution observe de lhumidit du solide dans cette phase est systmatiquement plus lente que celle simule par le modle, ce qui a pour consquence, un temps de schage prdit par le modle beaucoup plus court quexprimentalement (de lordre de la moiti, Figures VI.2, VI.3 et VI .4).

VI.1.5.2. Etude de la valeur du coefficient de transfert de masse k.

De manire obtenir une volution de lhumidit du solide X dans la phase de schage vitesse constante plus proche des points exprimentaux, la valeur du coefficient de transfert de masse k devrait tre plus faible k = 0,01 m s-1 (Figure VI.5). Dans ce cas, la deuxime phase de schage serait plus longue que prcdemment, lhumidit de lair de schage y serait plus faible et sa temprature plus leve puisque lvaporation est un phnomne endothermique.



VI.13

Figure VI.5 : Courbes modlises (rouge) et points exprimentaux (points bleus) pour lessai Sclf20 pour k=0,01.

La valeur du coefficient de transfert de masse k prdite par la relation de Froessling (IV.1, Partie IV.1.2), respectivement pour les essais Sclf20, Sclf21 et Sclf210, est 0,3 m s-1, 0,31 m s-1 et 0,19 m s-1, soit le double de la valeur estime par le modle pour les essais Sclf20 et Sclf21.

Nous avons vrifi quune valeur du coefficient de transfert de masse k suprieure 0,15 m s-1 nengendre que peu de modifications des courbes modlises. Cette observation peut sexpliquer partir de la formulation mathmatique de lvolution de lhumidit de lair de schage en fonction du temps, relation (VI.3) :

2

2

( ) (1 )e l fl fl vl fl fl g

G Y Y a r H JdYdt r H

+ = (VI.3)

dans laquelle le le flux de matire Jv est remplac par son expression (relation (VI.7)).

( )v g RJ k Y Y= (VI.7) La relation (VI.3) peut se mettre sous la forme :

dY AY Bdt

+ = (VI.10)

o ( )

2

1 fll fl fl g fl

GA kar H

= +

( )2

1 fle R

l fl fl g fl

GB Y ka Yr H

= +

qui est une quation diffrentielle du premier ordre avec second membre non nul et dont la solution est :



VI.14

C At BY eA

= + (VI.11) La valeur de la constante C est obtenue connaissant la valeur de Y au temps t=0, qui est Y= Ye :

eBC YA

= (VI.12) La relation (VI.11) devient alors :

AteB BY Y eA A

= + (VI.13)

Le premier terme de la somme de la relation (VI.13) devient rapidement ngligeable devant le second terme de cette relation. En effet, lexponentielle tend rapidement vers 0 (e-At 10-308 t=5s) et lordre de grandeur de son facteur multiplicatif est 10-3. Ce facteur multiplicatif est

compos du rapport BA

qui varie pour un essai en phase de schage vitesse constante

(YR=Ysat) uniquement en fonction de k, les autres paramtres constitutifs de A et B tant des constantes de lessai (Figure VI.6). De plus, lordre de grandeur de Ye est 10-3.

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6k (m/s)

B/A

Figure VI.6 : Rapport B /A en fonction de k en phase 2 de schage pour lessai Sclf20.

La relation (VI.13) se rduit donc BYA

= .

Lorsque k > 0,15 m s-1, le rapport BA

tend vers YR. Or, en phase de schage vitesse

constante, lhumidit de lair en surface des grains YR est gale lhumidit de lair saturation Ysat (Figure VI.6).

La valeur du coefficient de transfert de masse k permettant de simuler au mieux les courbes de schage exprimentales pour les 3 grandeurs X, Y et T est 0,15 m s-1.

Dautres chercheurs [Groenewold, et al. ,1997] [Thonglimp, et al. ,1984] ont dj observ une telle diffrence entre la valeur du coefficient de transfert de masse prdite par la relation de Froessling et celle mesure exprimentalement.



VI.15

Lexplication donne cette observation est la prsence de bulles dair dans le lit fluidis qui diminuerait la quantit de gaz susceptible de participer lchange de matire. La quantit dair participant au schage serait donc survalue entranant la survaluation du coefficient de transfert de masse dans la relation de Froessling.

Afin de crditer cette hypothse, les essais Sclf20 et Sclf219 (dont la vitesse de lair est respectivement de 6 et 8 umf) vont tre nouveau simuls mais le paramtre ajuster ne sera plus le coefficient de matire k (fix 0,15 m s-1 comme obtenu lors des simulations prcdentes) mais bien le dbit dair G.

Figure VI.7 : Courbes modlises (rouge) et points exprimentaux (points bleus) pour les essais Sclf20 et Sclf21 (k=0,15 m s-1, G=0,04 kg s-1).

La valeur ajuste du dbit dair G pour les simulations prsentes en Figure VI.7 est de 0,04 kg s-1 pour les 2 essais prsents (les dbits dair mesurs exprimentalement pour ces 2 essais sont 0,048 kg s-1 pour Sclf20 et 0,060 kg s-1 pour Sclf21). Un dbit dair de 0,04 kg s-1 correspond une vitesse de lair de 5 umf pour des particules de 1 mm de diamtre. La temprature T et lhumidit de lair Y ainsi que lhumidit du solide X obtenues par ces simulations sont similaires celles obtenues exprimentalement en phase 2 de schage. Mais la dure de cette deuxime phase de schage est plus longue lors des simulations quobserv exprimentalement.

Les courbes simules avec un dbit dair correspondant 5 umf semblent donc mieux dcrire lvolution en fonction du temps des trois grandeurs X, Y et T que lors des simulations avec le dbit dair mesur exprimentalement pour les essais Sclf20 et Sclf21. Les courbes dvolution en fonction du temps de lhumidit et de temprature de lair de schage et de lhumidit du solide ont galement t simules pour les essais Sclf15, Sclf18et Sglf04 en fixant le dbit dair G 0,04 kg s-1 et le coefficient de transfert de matire k 0,15 m s-1 (Figure VI.8a et VI.8b). Ces essais ont t choisis car ils sont les seuls ayant un dbit dair mesur exprimentalement correspondant une vitesse de lair suprieure 5 umf et durant lesquels de la matire a t prleve de manire suivre lvolution de lhumidit du solide pendant le schage (cf. Tableaux IV.5 et IV.6).

9 La vitesse de lair lors de lessai Sclf210 est de 3 umf, soit proche de la vitesse minimale de lair pour que la fluidisation soit considre comme tablie (cf. III.3.2.1). Cet essai ne sera donc pas simul avec comme paramtre ajuster le dbit dair G.

Sclf20 Sclf21



VI.16

Figure VI.8a : Courbes modlises (rouge) et points exprimentaux (points bleus) pour les essais Sclf15 et Sclf18 (k=0,15 m s-1, G=0,04 kg s-1).

Figure VI.8b : Courbes modlises (rouge) et points exprimentaux (points bleus) pour lessai Sglf04

(k=0,15 m s-1, G=0,04 kg s-1).

Lorsque le dbit dair mesur exprimentalement est infrieur 0,04 kg s-1, les valeurs simules (G correspondant la valeur mesure et k=0,15 m s-1) des 3 grandeurs X, Y et T en phase 2 de schage correspondent celles observes exprimentalement (Figure VI.9).

Sclf15 Sclf18

Sglf04



VI.17

Figure VI.9 : Courbes modlises (rouge) et points exprimentaux (points bleus) pour les essais Sclf210 et Sclf215 (k=0,15 m s-1, GSclf210=0,038 kg s-1, GSclf215=0,027 kg s-1).

VI.1.5.3. Etude de lisotherme de dsorption.

Le passage de la phase 2 la phase 3 de schage est provoqu dans le modle mathmatique par une diminution du flux de matire Jv tant elle-mme une consquence de la diminution de lhumidit du solide X. La relation entre lhumidit relative de lair et lhumidit du solide est exprime par une isotherme de dsorption. Lhumidit relative de lair est exprime par la relation VI.8 dans laquelle la temprature de lair intervient au travers de lhumidit de lair saturation Ysat (IVI.5). La relation VI.9 peut donc tre source derreurs lors de la simulation des courbes de schage.

Lexpression mathmatique de lisotherme de dsorption utilise dans ce modle est la relation GAB ajuste aux points exprimentaux obtenus pour la levure tudie. Dautres relations empiriques permettant dexprimer mathmatiquement lisotherme de dsorption peuvent tre trouves dans la littrature (Tableau VI.3).

Auteurs Equations

Harkins-Jura (1944) 2

1 2expKHR KX

= GAB (1946)

(Guggenheim, Anderson, de Boer) ( ) ( )1 1G G mcG G G Gc k HRXX

k HR k HR k c HR= +

Henderson (1952) ( ) 211 exp KHR K TX = Chung and Pfost (1967)

21ln K XKHR eRT

= Iglesias and Chirife (1981)

1 21HRX K K

HR = +

Taeymans (1983) 211KK XHR e=

o HR : humidit relative, HR=YR/Ysat K1 et K2 : paramtres ajusts

Tableau VI.3 : Equations disothermes de dsorption.

Sclf210 Sclf215



VI.18

Les paramtres des quations des isothermes de dsorption prsentes au Tableau VI.3 ont t obtenus par ajustement de ces modles aux points exprimentaux obtenus 25C au laboratoire par la mthode des sels (cf. III.9.4) sur la levure fournie par Gelka International. Les six isothermes ainsi obtenues ainsi que les points exprimentaux sont reprsentes la Figure VI .10.

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1aw

X (k

g d'

eau/

kg M

.S.)

Harkins-Jura(1944)

GAB(1946)

Henderson(1952)

Chung andPfost(1967)Iglesias andChirife(1981)Taeymans(1983)

Pointsexprimentaux

Figure VI.10 : Isothermes de dsorption.

Les isothermes obtenues par les relations de Chung and Pfost, dHenderson et de Taeymans se confondent et tendent vers une activit en eau gale 1 pour une humidit du solide X > 0,7kg deau/kg de MS. Lutilisation de la relation de Taeymans (Figure VI.11, courbes bleues en pointills) ou de Chung and Pfost (Figure VI.11, courbes brunes) au lieu de la relation GAB (Figure VI.11, courbes vertes) dans le modle mathmatique conduit une augmentation de la dure de la phase de schage vitesse constante10 ainsi qu une diminution de la phase de schage vitesse dcroissante pour les courbes simules par rapport aux volutions exprimentales. Lintroduction dans le modle mathmatique de lisotherme de Harkins-Jura (Figure VI.11, courbes roses) ou de lisotherme de Iglesias et Chirife (Figure VI.11, courbes grises en pointills) au lieu de lisotherme GAB induit galement une augmentation de la phase de schage vitesse constante et une diminution de la phase de schage vitesse dcroissante. Ces isothermes induisent galement une diminution de lhumidit de lair de schage en sortie du lit fluidis durant la phase de schage vitesse constante et une lgre augmentation de la temprature de lair de schage. Ces observations sexpliquent par le fait que les isothermes de Harkins-Jura et de Iglesias et Chirife tendent de faon asymptotique respectivement vers une activit en eau de 0,94 et 0,98 et non de 1.

10 La diminution de lhumidit et laugmentation de la temprature de lair de schage en sortie du lit fluidis marque la fin de la phase de schage vitesse constante.



VI.19

Figure VI.11 : Points exprimentaux (points bleus) et courbes modlises pour lessai Sclf20 en utilisant lisotherme de Iglesias and Chirife courbes grises en pointills), lisotherme de Harkins-Jura (courbes roses), lisotherme de Taeymans (courbes bleues en pointills), lisotherme de Chung and Pfost (courbes brunes) et lisotherme de GAB (courbes vertes).

(G = 0,04 kg s-1, k = 0,15 m s-1)

Lisotherme choisie, provenant de lajustement de la relation GAB, semble tre la plus apte modliser la relation existant entre lhumidit du solide et lair entourant les grains de levures, ce qui peut tre observ par lvaluation de lerreur relative entre les valeurs de lhumidit du solide mesures exprimentalement et celles obtenues par chacune des expressions de lisotherme de dsorption (Tableau VI.4). Lerreur relative (relation V.6, paragraphe V.2.4) obtenue lors de lutilisation de la relation de Harkins-Jura na pas t value car cette relation estime lhumidit du solide infinie pour une activit en eau gale 0,97 (valeur faisant partie des mesures exprimentales).

Erreur relative (%)

GAB 5 Taeymans 18 Iglesias and Chirife 27 Chung and Pfost 18 Tableau VI.4 : Erreurs relatives entre les valeurs de

lhumidit su solide mesures exprimentalement et celles obtenues par diffrentes isothermes de dsorption..

Bien que les paramtres des isothermes de dsorption testes ont t ajusts partir des couples de points exprimentaux, aucune des isothermes testes na permis de simuler la phase de schage vitesse dcroissante.



VI.20

VI.1.6. Conclusions.

Le premier modle mathmatique dvelopp permet de reproduire les courbes dhumidit et de temprature de lair en sortie du lit fluidis pendant la phase de schage vitesse constante mais par contre ne permet pas de reproduire lvolution de lhumidit du solide pendant le schage. Ce modle sous-estime la dure totale de schage et il ne permet pas de simuler les courbes exprimentales dhumidit et de temprature du gaz en sortie du lit fluidis en phase de schage vitesse dcroissante. Par contre, les courbes obtenues par le modle mathmatique reproduisent lvolution des points exprimentaux pour lhumidit et la temprature de lair de schage et pour lvolution de lhumidit du solide de la phase de schage vitesse constante si la valeur du dbit dair introduit dans le modle correspond une vitesse de lair, dans le lit fluidis, infrieure ou gale 5 umf. Autrement dit, si le dbit dair mesur exprimentalement est suprieur celui correspondant une vitesse de 5 umf, le dbit dair considrer lors de la simulation est celui correspondant 5 umf. En effet, lorsque le dbit dair correspond une vitesse de lair suprieure 5 umf, une partie de cet air ne participerait pas lchange de matire et ne doit donc pas tre pris en compte dans le modle. Une vitesse de lair suprieure 5 umf naugmenterait donc pas la vitesse de schage. Quant au coefficient de transfert de masse k, il a t ajust une valeur de 0,15 m s-1. Cette valeur permet dobtenir les mmes valeurs dhumidit et de temprature de lair que celles mesures lors des essais pendant la phase de schage vitesse constante.

Par contre, cette deuxime phase de schage a une dure plus longue lors des simulations que celle observe exprimentalement. Le passage de la phase de schage vitesse constante (phase 2) la phase de schage vitesse dcroissante (phase 3) est induit dans le modle par lisotherme de dsorption. Lisotherme de dsorption employe ne permet pas de reproduire lvolution de la phase de schage vitesse dcroissante comme observ exprimentalement et induit un dbut de troisime phase de schage tardif par rapport lexprience. Aucune des autres isothermes de dsorption trouves dans la littrature et testes dans le modle na permis de simuler la phase de schage vitesse dcroissante.

Le modle mathmatique sous-estime la valeur de lhumidit critique Xcr. En effet, le dbut de la phase de schage vitesse dcroissante correspond dans le modle une humidit du solide X de 0,45, alors quexprimentalement Xcr a t estime 1,2-1,4.

Ce modle mathmatique ne permet donc pas de reproduire les courbes exprimentales de schage dans leur entiret. Limpossibilit de reproduire les courbes de schage remet donc en question les hypothses la base de ce modle :

Lhypothse dhomognit du lit fluidis (H2) nest acceptable que si la vitesse de lair dans le lit fluidis est infrieure 5 umf. Au-del de cette valeur, le lit fluidis est considr htrogne (prsence de bulles dair). En effet, seule une partie de lair participe alors lvaporation de leau puisque les bulles dair pigent une partie de lair. Lair emprisonn dans les bulles dair ne participe pas lchange de matire. La quantit dair pig est dautant plus grande que la taille des bulles dair est grande, cest--dire que la vitesse de lair arrivant sur la plaque perfore est grande. Bien que le lit fluidis ne soit considr comme htrogne qu partir dune vitesse de schage de lordre de 10 umf [Kunii, et al. ,1991], il semble qu partir dune vitesse de lair de 5 umf les bulles dair formes pigent une partie non ngligeable de lair de schage.



VI.21

Lhypothse dinvariance des dimensions des grains de levures (H5) semble peu justifie au vu de la Figure VI.1.

Lhypothse 7 : les grains de levures sont supposs composs de pores de grandes tailles (macropores) et non tortueux puisque la diffusion de la vapeur deau dans le grain est considre comme non limitante, or les mesures de porosimtrie (Figure IV.8) au mercure ont montr la prsence de macropores et de msopores dans les grains de levures.

Lemploi dune isotherme de dsorption pour relier lhumidit du gaz lhumidit du solide suppose qu tout moment pendant le schage, lair et le solide sont en quilibre. Cette supposition est fausse puisque lors du schage en lit fluidis, lquilibre entre lair et le solide ne peut avoir le temps de stablir.

Un second modle a t dvelopp, en tentant de tenir compte des faiblesses de ce premier modle. Ce second modle est prsent ci-aprs.



VI.22

VI.2. Second modle.

La comparaison des courbes dvolution temporelle obtenues par le premier modle mathmatique et de celles obtenues exprimentalement pour les variables Y (humidit de lair), X (lhumidit du solide) et T (temprature de lair) a men la remise en question de ce modle et notamment de lemploi dune isotherme de dsorption pour exprimer lhumidit de lair entourant le grain dans lexpression du flux de matire. En consquence, le second modle imagin se base galement sur lcriture des bilans massiques et enthalpiques dans la phase gazeuse et solide dans lesquels le flux dvaporation est exprim linterface liquide-gaz (Figure VI.12). Cette interface est considre par hypothse lquilibre thermodynamique, ce qui permet dtablir une relation liant la fraction massique deau dans le gaz linterface Yinter la temprature de linterface Tinter (par lintermdiaire de la loi de Clapeyron).

En dbut de schage, les grains de levures sont fortement hydrats, leau de type D (cf. V.2.4) est modlise par une couche deau fictive entourant le grain. Linterface liquide-gaz spare cette couche deau dpaisseur ceau dune couche stagnante de gaz dpaisseur dg (Figure VI.12). Dans la couche stagnante de gaz dg, les transferts sont unidirectionnels. Les transferts de matire se font par diffusion et les transferts de chaleur par conduction [Chen, et al. ,1989].

Les paramtres des quations mathmatiques de ce modle voluent suivant la phase de schage considre. En effet, la phase de schage vitesse constante est reprsente par la disparition progressive de la couche deau ceau (eau de type D). La masse deau composant cette couche deau fictive est estime partir des rsultats exprimentaux. En effet, connaissant lhumidit du solide en dbut de schage et en fin de schage vitesse constante, la quantit deau vapore durant cette phase de schage est dtermine et est traduite en une paisseur deau entourant les grains de levures. Lordre de grandeur de cette couche deau est de 10-5 m.

0

dg

z

ceau

Figure VI.12 : Schma dun grain de levures en dbut de schage.

Surface du grain

Interface

grain

Couche deau ceau

Couche stagnantegaz +vapeur deau (dg)

grain rg r



VI.23

En fin de priode de schage vitesse constante, la couche deau ceau entourant les grains est totalement vapore et lvaporation de leau (eau de type C (cf. V.2.4)) dans les pores du grain dbute, ce qui se traduit mathmatiquement par une augmentation de lpaisseur de la couche stagnante de gaz, appele alors dgn (Figure VI.13) et par la diminution du rayon de linterface rinter entre le liquide et le gaz (rinter < rgr). La surface dvaporation diminue, leau nest plus prsente qu lintrieur des pores.

dgndg

Figure VI.13 : Reprsentation de la couche de gaz entourant les grains de levures.

Le ralentissement de la vitesse de schage est suppos provoqu, en phase de schage vitesse dcroissante, par une diminution de la surface dvaporation et par lallongement du trajet dgn parcourir par la vapeur deau, en tenant compte de la tortuosit des pores.

Lintroduction dans ce modle de la diminution de la surface dvaporation permet de contourner deux des problmes rencontrs dans le premier modle que sont linvariance du diamtre des grains de levures et la non-limitation de la diffusion de vapeur deau dans le grain.

VI.2.1. Hypothses du modle.

Le modle mathmatique repose sur les hypothses suivantes dont les quatre premires ont t explicites prcdemment (cf. VI.1.1 Hypothses du premier modle) :

H1. Le scheur est assimil un racteur parfaitement mlang, lexception des fines couches au contact des interfaces.

H2. Le lit fluidis est considr homogne, si la vitesse de lair dans le lit fluidis est infrieure 5 umf. Au-del de cette valeur, le lit fluidis est considr htrogne (prsence de bulles dair) (cf. VI.1.6).

H3. Le scheur est considr adiabatique.

H4. La temprature dans les grains de levures est uniforme.

H5. La phase de schage vitesse constante correspond lvaporation de leau de type D (aw 1) [Rozis ,1995] [McQuarrier, et al. ,2000] [Davidson, et al. ,2001]. Ce type deau est reprsent dans ce modle par une couche deau dpaisseur ceau entourant le grain (Figure VI.12). Linterface gaz-liquide est lquilibre thermodynamique ce qui implique lgalit des potentiels chimiques de la phase liquide et de la phase gazeuse [Haut ,2000].

grain eau pore



VI.24

H6. Linterface gaz-liquide est considre en rgime quasi-stationnaire. En effet, bien que linterface se dplace de manire continue, les profils de concentration et de temprature retournent de manire instantane lexpression quils auraient en rgime permanent si la position de linterface ne variait pas [Buchlin ,2001]

H7. Dans le cas du schage de levures en lit fluidis, la phase de schage vitesse dcroissante dbute lorsque lhumidit du solide atteint la valeur critique de 1,2-1,4 (= Xcr), valeurs dtermines exprimentalement pour la levure tudie et dans les conditions de schage explores (cf. Partie IV.1.2). Cette phase de schage se caractrise par lvaporation de leau prsente dans les pores des grains de levures (Figure VI.13).

VI.2.2. Equations du modle.

Les quations du modle sont constitues des bilans enthalpique et massique linterface, des bilans enthalpique et massique dans la phase gazeuse, du bilan massique sur le solide et des bilans enthalpique et massique au niveau de la couche stagnante de gaz. Comme pour le premier modle, le bilan enthalpique sur le solide nest pas considr isolment. Quant la forme des expressions mathmatiques des bilans, elle est nouveau fixe par le type de racteur envisag.

VI.2.2.1. Bilan enthalpique linterface.

Linterface spare leau liquide qui imprgne le solide de la couche de gaz (gaz + vapeur deau) entourant le solide humide. Le bilan enthalpique sur linterface scrit :

Energie ncessaire lvaporation de leau liquide

= Chaleur transfre par conduction dans le gaz linterface

- Variation denthalpie du mlange (solide-liquide)

24v ev gr grL m r N 24eau

thair gr grc

T r Nz

mdH

dt

o Lv : chaleur latente de vaporisation (J kg-1) mev : flux dvaporation (kg m-2 s-1) rgr : rayon du grain (m) Ngr : nombre de grains (-) thair : conductivit thermique de lair (W m-1 K-1) dHm : variation denthalpie du mlange solide-liquide (J)

La variation denthalpie du mlange est gale la somme de la variation denthalpie du solide et de celle du liquide, la variation denthalpie dun constituant tant gale, pression constante, lnergie calorifique reue par celui-ci.

( )lm inter intersol psol sol f sol pl inter e sol pldH dT dX dX dTm c m H m c T T Xm cdt dt dt dt dt= + + +



VI.25

msol : matire sche de solide (kg) cpsol : chaleur spcifique du solide (J kg-1 K-1) Tinter : temprature linterface (K) Hfl : enthalpie de formation de leau liquide Te (J kg-1) X : teneur en eau de la matire sche (kg deau/ kg de solide sec) Te : temprature de lair lentre du lit fluidis (K) cpl : chaleur spcifique de leau liquide (J kg-1 K-1)

La combinaison des deux quations prcdentes permet dexprimer lvolution en fonction du temps de la temprature linterface :

( )

2 24 41 v ev gr gr thair gr grinter h

sol psol sol pl lsol f pl sol inter e

TL m r N r NdT z

dt m c Xm c dX dXm H c m T Tdt dt

+ = + (VI.14)

VI.2.2.2. Bilan massique linterface.

Lvaporation de la vapeur deau a lieu linterface liquide-gaz. Le flux dvaporation mev, peut sexprimer comme le produit de la masse volumique de leau par la vitesse des molcules deau quittant linterface .

( )ev eau eau eau mm v v e = = + [Buchlin ,2001] (VI.15) o eau : masse volumique de leau (kg m-3)

veau : vitesse moyenne des molcules de vapeur deau linterface (m s-1) vm : vitesse barycentrique moyenne des molcules du mlange vapeur

deau-air linterface (m s-1) e : dviation moyenne de la vitesse des molcules de vapeur deau par

rapport la vitesse moyenne des molcules du mlange (m s-1)

eau eau air mairmm

v vv +=

m : masse volumique du mlange vapeur deau-air linterface (kg m-3)

air : masse volumique de lair linterface (kg m-3) vmair : vitesse moyenne des molcules dair linterface (m s-1) airvmair: est nul car les molcules dair ne traversent pas linterface

eaueau e D z

= , le transfert est exprim par la loi de Fick (le mlange air-vapeur deau tant considr incompressible)

eau eau eauev eau

m

vm Dz

=



VI.26

Cette expression peut tre simplifie car :

- le rapport des masses volumiques de leau et du mlange air-vapeur deau eaum

est

gal la fraction massique deau dans le gaz linterface Yinter,

- eau eau evv m = - la masse volumique du mlange peut tre considre gale la masse volumique

de lair en raison de la faible teneur en vapeur deau de lair de schage ( 1 %). Lexpression du flux dvaporation finalement obtenue est (VI.16) :

( )1 air interev interD Ym

Y z = (VI.16)

VI.2.2.3. Bilan massique sur le gaz dans le lit fluidis.

Le bilan massique sur le gaz ne comprend pas de terme daccumulation car le temps mis par le gaz pour atteindre lquilibre dans le lit fluidis est trs court par rapport la dure dun essai de schage (de lordre de 90 minutes). Ce temps tq peut tre estim par le rapport de la masse de gaz dans le lit fluidis par le dbit massique de gaz (cf. VI.1.2.1. Bilan de matire sur la phase gazeuse) :

2air l fl fl

q

r Ht

G =

Le temps ncessaire au gaz pour atteindre lquilibre est ainsi de lordre de 0,02 s pour un dbit dair G de 0,04 kg s-1, une masse volumique de lair air 20 C de 1,17 kg m-3, une hauteur du lit en fluidisation Hfl de 0,05 m et une porosit du lit fluidis fl gale 0,6. Lexpression du bilan massique sur le gaz devient donc :

Dbit deau lentre = Dbit deau la sortie - Dbit deau transfre du solide au gaz de schage

eGY sGY 24 gr gr evr N m

Lhumidit de lair de schage dans et la sortie du lit fluidis est alors dtermine par la relation (VI.17) :

24e gr gr evs

GY r N mY

G+= (VI.17)

o Ye : humidit de lair de schage lentre du lit fluidis (kg deau kg-1 dair humide)

Ys : humidit de lair de schage la sortie du lit fluidis (idem)



VI.27

VI.2.2.4. Bilan enthalpique sur le gaz dans le lit fluidis.

De la mme manire que pour le bilan massique, le bilan enthalpique sur le gaz sexprime par lgalit entre lenthalpie du gaz lentre du scheur et la somme de lenthalpie du gaz la sortie et le terme associ au transfert de chaleur.

Enthalpie du gaz lentre

= Enthalpie du gaz la sortie

+ Transfert de chaleur

pair eGc T pair sGc T 24eau

thair gr grc dg

T r Nz

+

Lexpression de la temprature de lair dans et la sortie du lit fluidis est alors obtenue :

24eau

pair e gr gr thairc dg

spair

TGc T r Nz

TGc

+

= (VI.18)

o G : dbit dair (kg s-1) cpair : chaleur spcifique de lair (J kg-1 K-1)

VI.2.2.5. Bilan massique sur le solide.

Le solide ne quittant pas le scheur pendant lexprience ( batch ), le bilan massique sur le solide se rduit donc lgalit du transfert et de laccumulation de leau dans le solide.

Dbit deau transfre + Masse deau accumule par unit de temps

= 0

24 gr gr evr N m sol

dX mdt

La variation temporelle de lhumidit du solide est obtenue par lexpression (VI. 19) :

24 gr gr ev

sol

r N mdXdt m

= (VI.19)



VI.28

VI.2.2.6. Rtrcissement de la surface dchange.

Par hypothse, lvaporation de leau dans la phase de schage vitesse constante a lieu sur toute la surface des grains (H5). Par contre, en phase de schage vitesse dcroissante, leau liquide est prsente uniquement dans les pores. La diminution du volume deau dans les grains de levures est exprime par la diminution de la surface dchange et traduite dans ce modle par la diminution du rayon de linterphase eau-air rinter.

24 33

interinter gr eau sol

dr dXr mdt dt

=

24inter sol

inter gr eau

dr m dXdt r dt = (VI.20)

o rinter(t) : rayon de linterface au temps t (m) gr : porosit des grains de levures (-) En phase de schage vitesse constante : inter grr r= , la couche deau ceau entourant les grains diminue durant cette phase de schage.

VI.2.2.7. Equations supplmentaires.

Dans la couche stagnante de gaz entourant le grain, la quantit deau varie suivant la position z (Figure VI.12) mais une mthode quasi-stationnaire est dapplication. En effet, bien que linterface se dplace de manire continue, les profils de concentration et de temprature retournent de manire instantane lexpression quils auraient en rgime permanent si la position de linterface ne variait pas [Aguilera, et al. ,1999]. On peut donc tablir le bilan de matire suivant sur une tranche dpaisseur z de la couche stagnante dpaisseur dg :

2

2 0eauY v Y

z D z =

o eveaueau

mv = (cf. (VI.15)) Aprs rsolution de lquation diffrentielle en posant comme conditions limites que lhumidit de lair linterface (z = ceau) est gale Yinter et que lhumidit du gaz en ceau+dg est gale lhumidit de lair en sortie du scheur Ys, on obtient lexpression suivante pour lvolution spatiale de lhumidit du gaz dans la couche stagnante dpaisseur dg :

( ) ( ) ( ) 11

eveau

air

ev

air

m z cDs inter

inter m dgD

Y YY z Y e

e

= +

(VI.21)



VI.29

De la mme manire que pour le bilan de matire, la temprature varie suivant la position z et la mthode de quasi-stationnarit est dapplication, on peut donc tablir un bilan enthalpique sur une tranche dpaisseur z de la couche stagnante dpaisseur dg :

2

2 0thair eau air pairT Tv cz z

= C.L. : en z = ceau; T = Tinter z = ceau + dg; T = Ts

( ) ( ) ( ) 11

ev paireau

thair

ev pair

thair

m cz c

s interinter m c dg

T TT z T e

e

= +

(VI.22)

Lhypothse dquilibre thermodynamique linterface permet de relier le titre massique du constituant volatil et sa pression de vapeur linterface :

( )inter eau as TP y P= o Ps(Tinter) : pression de vapeur de leau saturation la temprature Tinter (Pa) yeau : titre molaire en eau du gaz (-)

Pa : pression dans le lit fluidis (= pression atmosphrique) (Pa)

Le titre molaire en eau y du gaz peut tre reli au titre massique en eau Y du gaz par la relation :

eauYy

rc Y= + si on nglige la masse deau meau devant la masse dair mair

eau eau

eau air air

m mYm m m

= + o rc : rapport des masses molaires de leau et de lair (-)

On obtient alors lexpression suivante pour le titre massique en eau du gaz linterface Yinter :

( )1

inter

inter

a

s T

rcYP

P

=



VI.30

La loi de Clapeyron permet dexprimer la pression de vapeur saturante dun liquide en contact avec sa vapeur en fonction de sa temprature :

( ) ( )1 1exp

inter rf

vvsat T vsat T

rf inter

Lp pR T T

=

o pvsat(Trf) : pression de vapeur de leau saturation la temprature Trf (Pa) R : constante des gaz parfaits (J mol-1 K-1)

On obtient finalement lexpression (VI.23) qui relie le titre massique de lair de schage sa temprature linterface :

( )

11 1exp

rf

inter

a

vvsat T

rf inter

rcY

PLpR T T

=

(VI.23)

Si la surface de contact liquide-vapeur nest pas plane mais sphrique, comme cest le cas dans les pores (phase de schage vitesse dcroissante), il est ncessaire dintroduire dans la relation de Clapeyron un terme correctif, bas sur la relation de Kelvin qui tient compte de la tension superficielle de linterface gaz-liquide [Buchlin ,2001]. Lquation de Clapeyron devient donc, pour lvaporation de leau dans les pores (phase de schage vitesse dcroissante) :

( ) ( ) exp 21 1exp

inter rf

vvsat T vsat T

rf inter

w

p inter

L Vr RT

p pR T T

=

o : tension superficielle de leau (N m-1) Vw : volume molaire du liquide (m3 mol-1) rp : rayon des pores (m)

Quant lexpression du titre massique de lair de schage, elle devient :

( )

11 1exp exp 2

rf

inter

a

v wvsat T

rf inter p inter

rcY

PL VpR T T r RT

=

(VI.23 bis)



VI.31

VI.2.3. Conditions initiales.

Les relations VI.14 VI.23bis forment le modle mathmatique dcrivant en premire partie la phase de schage vitesse constante et en seconde partie celle vitesse dcroissante. Par hypothse, le passage dune phase lautre se droule lorsque X = Xcr (H7).

Phase de schage vitesse constante.

Le systme dquations, compos des quations VI.14 VI.19 et des quations VI.21 VI.23, se rduit aux deux quations diffrentielles faisant intervenir les drives par rapport au temps de la temprature linterface Tinter et de lhumidit du solide X dont les conditions initiales (t = 0) sont :

- Tinter = Te, temprature de lair de schage lentre du lit fluidis au temps t=0, - X = Xe, humidit du solide en dbut de schage.

( )2 21 4 4 linter v ev gr gr thair gr gr sol f pl sol inter ehsol psol sol pl

dT T dX dXL m r N r N m H c m T Tdt m c Xm c z dt dt

= + +

(VI.18) 24 gr gr ev

sol

r N mdXdt m

= (VI.19)

( )1eau

air interev

cinter

D YmY z = (VI.16)

24 gr gr evsol

r N mdXdt m

= (VI.19)

Le rayon du grain est considr constant par hypothse durant toute la phase de schage vitesse constante et est gal rgr.

(VI.21)

(VI.17)

(VI.22)

mev = f(Yinter) Yinter = f(Tinter) par (VI.23)

(VI.14)



VI.32

Phase de schage vitesse dcroissante.

Le systme dquations se compose des deux quations prcdentes (drives par rapport au temps de la temprature linterface Tinter et de lhumidit du solide X) compltes dune quation dcrivant lvolution en fonction du temps du rayon de linterface gaz-liquide rinter.

Dans cette phase de schage, il ny a plus deau de type D vaporer (ceau = 0), lvaporation se droule lintrieur des pores, ce qui a pour consquence le rtrcissement de la surface dchange (quation VI.20), laccroissement de sa courbure (quation VI.23bis) et laugmentation de la couche stagnante dpaisseur dg (qui devient alors dgn). Lpaisseur de cette couche stagnante tient compte des htrognits du milieu solide par lintroduction du paramtre de tortuosit des pores qui est le rapport entre la longueur relle du pore et la longueur dun pore rectiligne. Lpaisseur de la couche stagnante de gaz dans la phase de schage vitesse dcroissante est appele dgn (Figure VI.13), dont lexpression est :

int( ( ))gr erdgn dg r r t = + (VI.24) o : tortuosit (-) rgr : rayon des grains (m) rinter : rayon de linterface gaz-liquide

Lvolution de la surface dchange par lintroduction de lvolution temporelle du rayon de linterphase et de la couche stagnante de gaz ninterviendra que dans les bilans massiques. En effet, la chaleur se propage par conduction dans la levure depuis la surface externe des grains et la conductibilit thermique du solide est beaucoup plus importante que celle de leau ou du gaz. Donc dans les bilans enthalpiques, la surface dchange reste pendant tout le schage (schage vitesse constante et schage vitesse dcroissante) la surface du grain.

( )22int0

1 4 4 linter v ev gr thair gr gr sol f pl sol inter esol psol sol pl

er grdT T dX dXL m N r N m H c m T T

dt m c Xm c z dr

t dt = + +

2

int4 gr evsol

er gr N mdXd

rt m

= (VI.19)

( ) 01air inter

evinter

D YmY z = (VI.16)

2int4 gr ev

sol

er gr N mdXd

rt m

= (VI.19)

int2

int4er sol

er gr eau

dr m dXdt r dt = (VI.20)

(VI.22)

(VI.17)

mev = f(Yinter) Yinter = f(Tinter) par (VI.23bis)

(VI.18)

(VI.25)

(VI.14)



VI.33

VI.2.4. Paramtres du modle.

Les paramtres sont de trois types :

Les paramtres mesurs : - les caractristiques de lair de schage : dbit G, temprature Te et humidit Ye

lentre du lit fluidis. Les valeurs de dbit dair mesur exprimentalement correspondant une vitesse de lair suprieure 5 umf sont remplaces dans le modle mathmatique par la valeur du dbit dair correspondant une vitesse de lair gale 5 umf (cf. VI.1.5). Lorsque le dbit dair mesur correspond une vitesse de lair infrieur 5 umf, le dbit dair mesur est introduit dans le modle.

- les caractristiques du solide : rayon des grains rgr, matire sche du solide msol et humidit du solide en dbut de schage Xe

- la hauteur du lit fluidis Hfl - les caractristiques du racteur : rayon rl

Les paramtres estims : - Epaisseur ceau de la couche deau entourant les grains en dbut de schage. Elle est

estime partir des rsultats exprimentaux. En effet, connaissant lhumidit du solide en dbut et en fin de schage vitesse constante, la quantit deau vapore pendant cette phase est dtermine. Cette quantit deau est traduite en une paisseur deau entourant les grains de levures en surface. La valeur estime pour lessai Sclf20 par exemple (Xe = 2,48, rgr = 5 10-4 m) est :

ceau = 3 10-5m, soit environ 6% du rayon du grain.

- nombre de grains Ngr : exprim par le rapport du volume du lit occup par le solide par le volume dun grain :

( )2 0 03

143

lgr

gr

r HN

r

= (VI.25)

- la porosit gr : la porosit des grains de levures est value en considrant quen dbut de phase de schage vitesse dcroissante, toute leau de surface a t vapore, ce moment lhumidit du solide est de 54-58% (rsultat exprimental, cf. IV.1.2) (H7). Leau restant dans le solide occupe les pores de la levure. Connaissant le nombre de grains et le volume dun grain, la masse volumique de leau tant connue, il est possible dvaluer le volume occup par leau dans un grain de levures, le rapport de ces deux volumes tant la porosit dun grain de levures :

gr 0,3 La levure est compose dun empilement de cellules de levures de forme ovode (Figure VI.14).



VI.34

Figure VI.14 : Photographie de cellules de levures au microscope lectronique

(agrandissement 4000X).

Une porosit de 0,3 semble probable compare celle obtenue avec un empilement de particules sphriques. Dans ce cas, la valeur de la porosit peut se situer entre 0,25 (arrangement ordonn cubique) et 0,4 (arrangement alatoire) [Buchlin ,2001].

- le rayon des pores rp : le rayon des pores des grains de levures a t valu par une mthode dintrusion de mercure sous pression dans les pores du solide (cf. IV.1.4). La levure est constitue de macropores et de msopores. Le rayon moyen (moyenne pondre) obtenu par cette mthode pour la levure tudie est :

rp 7 m. - le coefficient de diffusion de la vapeur deau dans lair D : il est estim par

lexpression de Schirmer, valable pour lair et la vapeur deau [Perry ,1984]

1,812,26273a

TDP

= pour T = 293 K et Pa = 101325 Pa, (VI.26) D = 2,54 10-5 m2/s

- la porosit 0 du lit fixe (cf. VI.1.4. Paramtres du premier modle mathmatique)

- la porosit fl du lit fluidis (cf. VI.1.4. Paramtres du premier modle mathmatique)



VI.35

Les paramtres ajustables :

- dg : reprsente lpaisseur de la couche stagnante de gaz prsente autour du grain humide.

Lestimation de lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg est obtenue en galant lexpression du flux de matire Jv (VI.7) au flux de matire diffusif au travers de la couche stagnante dg (au niveau de la surface du solide, lhumidit de lair est YR et la distance dg de la surface du solide, lhumidit de lair est Y) :

( )v g RJ k Y Y=

( )gv RDJ Y Ydg=

Lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg est estime 1,7 10-4 m, D tant le coefficient de diffusion de la vapeur deau dans lair (D=2,54 10-5 m2 s-1 25C) et k, coefficient de transfert de masse, gal 0,15 m s-1 (valeur obtenue par ajustement par le premier modle).

- tortuosit : la levure est considre comme un matriau poreux cest--dire que la matrice solide est constitue de cavits appeles pores partiellement ou totalement relis entre eux. Ces htrognits dans le solide allongent le trajet que doit parcourir la phase liquide jusqu linterface et le temps de sjour de la vapeur gnre dans le solide. Lintroduction du paramtre de tortuosit permet de tenir compte de ces phnomnes. La tortuosit dpend de la matrice, sa valeur peut varier de 2 65 selon le solide considr11 [Perry ,1984]. La tortuosit peut tre approxime par lquation (VI.28) , pour gr=0,3 :

( )2210gr

gr

= (VI.28)

11 Aguilera [Aguilera, et al. ,1999] a mesur pour des matriaux tels que des adsorbants et des catalyseurs poreux des tortuosits comprises entre 2 et 6. Quant Zoulalian [Zoulalian ,1989], il a mesur des valeurs de tortuosit comprise entre 2,1 et 7,5 dans les particules de catalyseurs.

Ddgk

= (VI.27)



VI.36

VI.2.5. Rsultats obtenus par le modle mathmatique.

La rsolution des quations de bilan est ralise par le solveur dquations diffrentielles ODE23s du logiciel de calcul Matlab version 6.1.0.450. La rsolution des quations ncessite lintroduction des caractristiques de lair (chaleur spcifique cpair, conductivit thermique thair, masse volumique air), et de la chaleur de vaporisation de leau Lv, ces grandeurs sont dpendantes de la temprature (T en K) et sont donc recalcules par les quations VI.29 VI.32 chaque variation de temprature :

3 7 20,9774 0,1124 10 0,19035 10pairc T T = + + (J kg-1 K-1) (VI.29)

54 10 0,0246thair T = + (W m-1 K-1) (VI.30) 341,25

air T = (kg m-3) (VI.31)

3173 2, 48vL T= (kJ kg-1) (VI.32) Les Figures VI.15 VI.17 prsentent les courbes modlises (traits pleins rouges) et exprimentales (points bleus) des trois variables X (humidit du solide), Y (humidit de lair de schage) et T (temprature de lair de schage) en fonction du temps respectivement pour les expriences Sclf20, Sclf21 et Sclf21012 dont les paramtres opratoires sont repris dans le Tableau VI.5 :

Nom de lessai Sclf20 Sclf 21 Sclf 210 Masse de levures avant schage (g)

602 416 453

Taille des grains (mm) 1 1 1,5 Humidit du solide avant schage (%)

71 71 71

Dbit dair (kg s-1) exprimental 0,048 0,06 0,038 Dbit dair (kg s-1) utilis dans le modle

0,04 0,04 0,038

Humidit de lair de schage lentre du lit fluidis Ye (g deau/kg dair)

9 9,7 variable

Temprature de lair de schage lentre du lit fluidis Te (K)

301 298 variable

Tableau VI.5 : Donnes exprimentales et utilises dans le modle mathmatique pour les essais Sclf20, Sclf21 et Sclf210.

Lors des essais Sclf20 et Sclf21, les caractristiques dentre de lair de schage sont maintenues constantes pendant tout lessai. Par contre lessai Sclf210 se caractrise par une humidit et une temprature de lair de schage lentre du lit fluidis variant dans le temps. Cet essai se rapproche des conditions industrielles de schage. En effet, en dbut de schage lair de schage est trs chaud et pas totalement sec (pr-schage), ensuite lair de schage est refroidi et son humidit relative est nulle (schage final) (cf. Partie VII. Optimisation).

12 Ces essais ont t modliss prcdemment par le premier modle dvelopp.



VI.37

Les valeurs des paramtres ajusts, lors des simulations prsentes en Figures VI.15 VI.17, sont 1,7 10-4 m pour lpaisseur de la couche de gaz stagnante dg et 10 pour la tortuosit . Lhumidit critique Xcr est prise gale 1,2 (H7).

Figure VI.15 : Evolution de lhumidit absolue et de la temprature de lair la sortie du lit fluidis ainsi que de lhumidit

absolue de la levure en fonction du temps. Courbes modlises (courbes rouges) par le second modle et points exprimentaux (points bleus) pour lessai Sclf20.



VI.38


absolue de la levure en fonction du temps. Courbes modlises (courbes rouges) par le second modle et points exprimentaux (points bleus) pour lessai .Sclf21.


absolue de la levure en fonction du temps. Courbes modlises (courbes rouges) par le second modle et points exprimentaux (points bleus) pour lessai Sclf210.



VI.39

Le temps de schage (temps ncessaire pour atteindre une valeur dtermine de lhumidit du solide X) prdit par le modle est de lordre de grandeur de celui observ exprimentalement. Ce modle permet de simuler lvolution de lhumidit du solide sur lentiret de la dure de schage. Il permet galement de simuler lvolution de lhumidit et de la temprature de lair de schage de la phase de schage vitesse constante13. Le passage de la phase de schage vitesse constante (phase 2) la phase de schage vitesse dcroissante (phase 3) intervient lorsque lhumidit du solide atteint lhumidit critique Xcr. Au dbut de la phase 3 de schage, la vitesse de schage simule ralentit plus fortement compar celle observe exprimentalement provoquant une diminution plus rapide de lhumidit de lair de schage et une augmentation galement plus rapide de la temprature de lair de schage simule. Ensuite, les volutions en fonction du temps de lhumidit et de la temprature de lair de schage simules et exprimentales sont similaires.

Une modification du coefficient de transfert de masse k est produite par une modification de lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg, daprs la relation (VI.27) . Une diminution du coefficient de transfert de masse k et donc une augmentation de lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg provoque une diminution du flux dvaporation qui se traduit par un ralentissement de la vitesse de schage en phase de schage vitesse constante (Figure VI.18b). Une augmentation du coefficient de transfert de masse k et donc une diminution de lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg a peu de rpercussions sur les courbes dvolution de lhumidit et de la temprature de lair de schage ainsi que sur lvolution de lhumidit de la levure (Figure VI.18a).

13 Les premires minutes de schage correspondent la premire phase de schage, phase de mise temprature de linstallation. Cette phase nest pas prise en compte dans le modle mathmatique, il ne peut donc pas simuler la temprature observe.

(a) (b)

Figure VI.18 : Courbes modlises par le second modle (dg = 5 10-5 m (a) et dg = 1,7 10-3 m (b), = 10 (a et b)) et points exprimentaux pour lessai Sclf20.



VI.40

Lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg et donc le coefficient de transfert de masse k modifie le flux dvaporation mev, dont lexpression finale, obtenue partir des relations VI.16, VI.17, VI.21, est :

( ) ( )24 airev inter egr gr airDGm Y

d G r N DgY = + (VI.33)

Le dnominateur de la relation (VI.33) est la somme de deux termes dont le premier est compos du produit de lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg et du dbit dair G dont lordre de grandeur est 10-2 kg s-1, le second terme est un produit de 5 termes dont lordre de grandeur est 10-4. Le second terme de la somme masquera donc linfluence du produit de lpaisseur de la couche stagnante de gaz dg par le dbit dair G lorsque lpaisseur dg sera infrieure 10-4 m.

Une augmentation de la tortuosit (Figure VI.19a) provoque un ralentissement de la vitesse de schage en phase 3, en allongeant la distance parcourir par leau sous forme vapeur (Figure VI.13). La dure de schage simule ncessaire pour obtenir de la levure de mme matire sche quexprimentalement est donc plus grande. Une diminution de la tortuosit (Figure VI.19b) va augmenter la vitesse de schage en phase 3, ce qui engendre une diminution plus rapide de lhumidit de la levure et donc une diminution galement plus rapide de la surface dchange puisque lvolution de la surface dchange est fonction de lvolution de lhumidit de la levure (relation VI.20).

(a) (b) Figure VI.19 : Courbes modlises par le second modle = 20 (a) et = 5 (b), dg = 1,7 10-4 m (a et b) et points

exprimentaux pour lessai Sclf20.



VI.41

VI.2.6. Conclusions.

Lallure gnrale des courbes de schage pour X (humidit du solide), Y (humidit du gaz de schage) T (temprature de lair de schage), simules par ce second modle, reproduit lvolution des points exprimentaux pour une tortuosit de 10 et une couche stagnante de gaz dg de 1,7 10-4 m.

La phase de schage vitesse constante est particulirement bien simule, peu de diffrences existent entre les valeurs des trois variables tudies obtenues par le modle 2 et leurs valeurs exprimentales. Seul le dbut de cette phase prsente des diffrences entre la simulation et lexprience en raison de limpossibilit de modliser la mise temprature de linstallation qui a lieu en dbut dopration de schage et qui constitue la phase 1 de schage, la phase de mise en rgime.

Le passage de la phase de schage vitesse constante (phase 2) la phase de schage vitesse dcroissante (phase 3) est provoqu lorsque lhumidit du solide atteint lhumidit appele critique Xcr. Lhumidit critique dpend du solide sch (nature et forme) et de la vitesse de schage en phase 2, sa valeur est value exprimentalement (peu de mesures de lhumidit du solide en cours de schage).

Quant la phase de schage vitesse dcroissante, lvolution de la simulation suit lvolution des points exprimentaux mais avec un lger dcalage (de lordre de 1C pour la temprature de lair de schage, 0,0007 pour lhumidit de lair de schage et 0,05 pour lhumidit du solide).

Les diffrences entre la modlisation de la phase de schage vitesse constante et la modlisation de la phase de schage vitesse dcroissante sont laugmentation du chemin que doit parcourir la vapeur deau pour quitter les grains de levures et la diminution de la surface dvaporation. La modlisation de la troisime phase de schage tient compte galement de la courbure de linterface eau-gaz dans les pores des grains de levures.



VI.42

VI.3. Conclusions.

Les hypothses la base du premier modle mathmatique dvelopp concernent : - le scheur : racteur parfaitement mlang, adiabatique et homogne, - la levure : les grains de levures sont des sphres de mmes dimensions et dont les

dimensions ne varient pas pendant le schage, ils sont uniformes en temprature, - lair de schage : la phase gazeuse est uniforme, - le transfert de matire : le transfert de leau se fait sous forme vapeur et sa

diffusion dans les grains nest pas limitante.

Ce modle contient un paramtre ajustable k et utilise une isotherme de dsorption. Les courbes dvolution en fonction du temps de lhumidit Y et de la temprature T de lair de schage et de lhumidit de la levure X simules par ce modle sont similaires aux courbes exprimentales en ce qui concerne la phase de schage vitesse constante. Seule la dure de cette phase diffre. Elle est plus longue lors des simulations. En ce qui concerne la phase de schage vitesse dcroissante, les courbes simules nvoluent pas de la mme manire que les courbes exprimentales. En effet, lors de la simulation, la troisime phase de schage dbute lorsque lhumidit du solide atteint la valeur de 0,45. Or exprimentalement cette valeur appele humidit critique Xcr a t value environ 1,2. De plus, la dure de la troisime phase de schage obtenue par simulation laide du premier modle est beaucoup plus courte en regard de lexprimentation. La troisime phase de schage est provoque par la diminution du flux de matire qui lui-mme est induit par lisotherme de dsorption introduite dans le modle.

Ce premier modle permet de reproduire la phase 2 de schage et semble mettre en vidence la prsence de bulles dair dans le lit fluidis lorsque le dbit dair lentre du lit fluidis est trop lev. Lair emprisonn dans ces bulles ne participe pas lchange de matire entre le solide et lair de schage. Une augmentation de la vitesse de lair lentre du lit fluidis suprieure 5 umf naugmente plus la vitesse de schage, une partie de cet air ne participera pas lvaporation de leau prsente dans la levure.

Les courbes obtenues laide du premier modle ont montr la ncessit de se librer de lemploi des isothermes de dsorption, qui suppose ltablissement de lquilibre entre lair et le solide et dont il est difficile de trouver une expression mathmatique reprenant lensemble des conditions opratoires. De plus, lhypothse de linvariance de la taille des grains de levures savre tre reconsidrer en regard des photos prises au microscope lectronique (Figure VI.1).

Lobjectif du second modle est de tenter de contrecarrer les faiblesses rencontres par le premier modle et donc dobtenir des courbes simules voluant paralllement aux courbes exprimentales. Ce second modle se base sur les hypothses suivantes :

- le scheur est considr comme un racteur parfaitement mlang, adiabatique et homogne,

- les grains de levures sont uniformes en temprature, - lvaporation prend place linterface gaz-liquide qui est considre lquilibre

thermodynamique et en rgime quasi-stationnaire, - le passage de la phase de schage vitesse constante la phase de schage

vitesse dcroissante dbute lorsque lhumidit du solide atteint lhumidit critique Xcr qui est dtermine exprimentalement.



VI.43

Lhypothse de lquilibre thermodynamique de linterface gaz-liquide permet lemploi de la loi de Clapeyron dans lexpression du flux de matire linterface gaz-liquide, ce qui a permis dviter lemploi dune isotherme de dsorption pour relier lhumidit de lair de schage lhumidit du solide

La variation du diamtre des grains de levures na pas t pris en compte en tant que telle mais le lieu de lvaporation (front dvaporation) volue en fonction de lvolution de lhumidit du solide pendant la troisime phase de schage. La porosit des grains de levures et leur tortuosit sont galement considres. En phase de schage vitesse constante, lhumidit de la levure est modlise par une couche deau fictive entourant les grains (la levure est fortement hydrate) dont lpaisseur a t estime 10-5m.

Le second modle dvelopp permet de simuler aussi bien la phase de schage vitesse constante que la phase de schage vitesse dcroissante.

Lintrt de la modlisation mathmatique de lopration de schage est de complter les donnes exprimentales plus difficilement mesurables (comme lvolution de lhumidit du solide) mais surtout de pouvoir observer, sans ncessiter de nouvelles expriences, limpact de modifications des paramtres opratoires sur le temps de schage, lvolution de la matire sche de la levure et la temprature dans le lit fluidis14 .

14 Il a t montr lors de ltude exprimentale du schage de la levure (Partie IV) que celle-ci tait sensible la temprature ainsi quaux changements brusques de temprature, il donc important dvaluer limpact de changements des conditions opratoires sur la temprature dans le lit fluidis.

partie vi modelisation mathematique de l operation de sechage

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