cours de mathematique

Table des matières

1 Ensembles 41 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Logique 191 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Tautologie ou loi logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Quantificateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Réciproque et contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Théorèmes et méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


3 Géométrie et mesure 331 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1 Théorème de Thalès et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3 Polygônes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6 Périmètre et aire de surfaces élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.7 Volume de solides élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.8 Mesures et grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


4 Calcul algébrique 701 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.1 Priorité des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.2 Règle des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.5 Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.6 Puissances n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.7 Racine n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1

1.8 Valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Egalités 871 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.1 Propriétés des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.2 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


6 Inégalités 951 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.1 Propriétés des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.2 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


7 Systèmes 1041 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.1 Système de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.2 Système de plus de deux équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


8 Droites 1121 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.1 Equations du premier degré – droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.2 Position relative de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


9 Paraboles 1221 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10 Polynômes 1281 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.3 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


11 Repères et vecteurs 1391 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1.1 Le plan R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.2 L’espace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441.3 La notion de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481.4 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.5 Vecteurs et points particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2


12 Trigonométrie 1681 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

1.1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691.2 Nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721.3 Règle des sinus et Règle des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781.4 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


13 Fonctions 1961 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.4 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2041.5 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211


Bibliographie 224

3

Chapitre 1

Ensembles

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

(a) Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

(b) Opérations entre ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

(a) Des entiers naturels aux réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

(b) Les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

(c) Infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

(d) Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

(e) Valeur approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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1 Théorie

1.1 Théorie des ensembles

(a) Définitions et propriétés

Définition 1.1 Un ensemble est une collection d’objets qui sont ses éléments.

On adopte souvent (mais pas obligatoirement) des lettres majuscules pour désigner les ensembles etdes lettres minuscules pour désigner les éléments.

Définition 1.2 (Relation d’appartenance) Si a est un élément de l’ensemble A, on dit que aappartient à A et on écrit

a ∈ A.

Si b n’est pas un élément de A, on dit que b n’appartient pas à A et on écrit

b /∈ A.

La théorie des ensembles est en fait une théorie de cette relation d’appartenance. D’où l’importancede décrire avec précision un ensemble, de sorte qu’il n’y ait aucune ambiguïté sur l’appartenance ou lanon appartenance d’un objet à cet ensemble.

Description d’un ensemble – Il y a essentiellement deux manières de décrire un ensemble : enextension et en compréhension.• en extension : la manière la plus simple de décrire un ensemble est de citer ses éléments. Ceux-cisont écrits entre deux accolades et séparés les uns des autres par des virgules. L’ordre dans lequel ilsfigurent n’a pas d’importance.

⋆ Par exemple, l’ensemble A constitué des lettres a, b, c et d s’écrit

A = {a, b, c, d}.

• en compréhension : si un ensemble comporte un grand nombre d’éléments, il est impossible deles énumérer et il faut dès lors recourir à une description sous forme de critère d’appartenance. Dansune telle situation, il est important de spécifier quel est l’ensemble initial, dit ensemble universel ouensemble de référence, d’où proviennent les éléments.

⋆ Par exemple, l’ensemble des nombres x qui vérifient le critère x > 5 est différent selon que l’on admetpour x d’être entier ou rationnel :

A = {x : x entier et x > 5},

B = {x : x rationnel et x > 5},ainsi, 26

5 est un élément de B et n’est pas un élément de A.

Ensembles particuliers• l’ensemble vide qui, par définition, ne contient aucun élément. On le note ∅. Ainsi, un ensembledéfini par une proposition contradictoire est égal à l’ensemble vide.

⋆ Par exempleA =

{x : x ∈ R et x2 + 1 = 0

}= ∅.

• un ensemble qui n’a qu’un élément s’appelle un singleton. C’est le cas de l’ensemble

A = {a}

5

car il n’y a qu’un objet, à savoir a, pour lequel on puisse écrire a ∈ A.

Définition 1.3 (Relation d’inclusion) Si tous les éléments d’un ensemble A sont aussi les élé-ments d’un ensemble B (supposé non vide), on dit que A est inclus dans B et on écrit

A ⊆ B.

On dit aussi que A est un sous-ensemble de B ou que A est une partie de B.

Par définition, on peut écrire

A ⊆ B ⇐⇒ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

⋆ Par exemple, si A est l’ensemble des chiffres du système décimal et si B est l’ensemble des nombrespairs compris entre 2 et 8, on a

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}

et la relation B ⊆ A.

On vérifie sans peine que tout ensemble est inclus dans lui-même. Quel que soit l’ensemble A, on peutécrire

A ⊆ A.

Une partie B de A qui serait distincte de A est appelée un sous-ensemble propre de A et on écritune relation d’inclusion stricte

B ⊂ A.

L’égalité entre deux ensembles A = B est réalisée s’ils ont exactement les mêmes éléments. Cettepropriété est établie dès lors que l’on a vérifié qu’à la fois A ⊆ B et B ⊆ A. C’est ainsi que démontrerl’égalité entre deux ensembles requiert souvent la démonstration de ces deux inclusions séparément.

√Remarque : Il est important de bien saisir ce que représente la négation de l’inclusion : dès qu’au moinsun élément de A n’est pas élément de B alors A n’est pas inclus dans B, ou de manière équivalente

A 6⊆ B ⇐⇒ (∃x) (x ∈ A et x 6∈ B).

⋆ Par exemple, l’ensemble A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} n’est pas un sous-ensemble de l’ensemble B desnombres pairs car A contient au moins un élément, par exemple 7, tel que 7 ∈ A et 7 /∈ B.

√Remarque : La relation d’appartenance est une relation qui lie un ensemble à ses éléments. La relationd’inclusion est une relation qui lie deux ensembles. Ainsi, il n’y a pas de sens à écrire 3 ⊂ A ou encoreA ∈ B si A et B sont des ensembles.

Définition 1.4 (Complément d’un ensemble) Si d’un ensemble de référence U , on extraitcertains éléments pour former l’ensemble A, on détermine en même temps l’ensemble complé-mentaire de A par rapport à U , noté A. Cet ensemble A est constitué des éléments de U qui n’ontpas été repris dans A,

A = {x : x ∈ U et x 6∈ A}.

En particulier, ∅ = U, U = ∅ et A = A.

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(b) Opérations entre ensembles

Effectuer des opérations sur deux ou plusieurs ensembles donnés permet d’en obtenir d’autres. Lesprincipales opérations sont l’union, l’intersection et la différence.

Union et intersection d’ensembles

Définition 1.5 L’union de deux ensembles A et B, notée A ∪B, est l’ensemble des éléments quiappartiennent à au moins l’un de ces ensembles

A ∪B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}.

⋆ Par exemple{1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4},

{1, 2, } ∪ ∅ = {1, 2}.

Définition 1.6 L’intersection de deux ensembles A et B, notée A∩B, est l’ensemble des élémentsqui appartiennent à la fois à A et à B

A ∩B = {x : x ∈ A et x ∈ B}.

⋆ Par exemple{1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3},

{1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅.

Définition 1.7 Si deux ensembles n’ont aucun élément en commun, on dit qu’ils sont disjoints

A ∩B = ∅.

⋆ Par exemple

{1, 2} ∩ {3, 4, 5} = ∅.Les lois de Morgan nous disent que le complément d’une intersection est la réunion des compléments

et le complément d’une union est l’intersection des compléments :

Lois de Morgan : A ∩B = A ∪B,

A ∪B = A ∩B.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

7

Différence d’ensembles

Définition 1.8 On emploie la notation A \ B pour désigner l’ensemble des éléments de A quin’appartiennent pas à B

A \B = {x : x ∈ A et x /∈ B}.

Il est clair que A \B = A ∩B.


Produit cartésien

Définition 1.9 Le produit cartésien de deux ensembles A et B est défini par

A×B = {(x, y) : x ∈ A et y ∈ B}.

C’est l’ensemble des couples ordonnés (x, y) que l’on peut former en prenant x dans A et y dans B. Lanotation × provient de ce que si A a 3 éléments et si B en a 2, l’ensemble A×B en aura 3× 2 = 6.

⋆ Par exemple, si A = {1, 2, 3} et B = {c, d}, alors

A×B = {(1, c), (1, d), (2, c), (2, d), (3, c), (3, d)} .

Lorsque A = B = R, le produit cartésien de A par B est

A×B = R× R = R2 = {(x, y) : x ∈ R et y ∈ R}.

Vocabulaire et notations :• {a1, a2, · · · , an} représente l’ensemble constitué des n éléments a1, a2 · · · an. Tous ces éléments sontdistincts. L’ordre dans lequel ils sont cités n’est pas important.Dans le cas particulier où l’ensemble contient deux éléments, on parlera de paire {a, b}. Si l’ensemblene contient qu’un seul élément, on parlera de singleton {a}.• (a1, a2, · · · , an) représente le n-uple formé des n éléments a1, a2 · · · an. Ces éléments ne sont pasnécessairement distincts et sont considérés dans l’ordre indiqué.Dans le cas particulier où le n-uple contient deux éléments, on parlera de couple (a, b). Le couple (a, b)est différent du couple (b, a) (pour a différent de b). Si le n-uple contient trois éléments, on parlera detriple (a, b, c).• a1, a2, · · · représente la suite (an)n. Cette suite est constituée d’une infinité d’éléments, pas néces-sairement distincts et considérés dans l’ordre indiqué.

1.2 Ensembles de nombres

(a) Des entiers naturels aux réels

Les nombres les plus familiers sont ceux qui servent à compter : 0, 1, 2, 3, . . . (cette suite de nombresne s’arrête jamais). Ils s’appellent entiers naturels. Ils sont entiers et positifs et leur ensemble estreprésenté par N

N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

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Définition 1.10 Un nombre premier est un nombre entier naturel qui n’est divisible que par 1et par lui-même.

⋆ Par exemple, les nombres 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . sont des nombres premiers.

Il existe aussi des nombres entiers négatifs comme −1,−2,−3, . . .. L’ensemble des nombres en-tiers, désigné par Z, se compose des entiers positifs, des entiers négatifs et de l’entier nul 0

Z = {. . . ,−2,−3,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

La somme et le produit de deux nombres entiers sont des nombres entiers.

A côté des entiers, il y a aussi les nombres rationnels tels que 12 ,

34 ,

227 ,−2

3 , . . ., qui peuvent s’écrirecomme le quotient p

q de deux entiers p et q où q 6= 0. Cet ensemble des nombres rationnels est noté Q.Un nombre rationnel admet une infinité de représentations car

1

3=

2

6=

4

12=

33

99= . . .

Cependant, un nombre rationnel est généralement noté sous la forme pq dite irréductible, c’est-à-dire

que p et q sont premiers entre eux (n’ont pas de facteur commun autre que 1). La division de p par qdonne du nombre rationnel p

q son expression décimale. Cette expression comporte un nombre finide décimales comme

1

8= 0, 125

(c’est le cas lorsque le dénominateur de la fraction ne renferme pas d’autres facteurs premiers que 2 et5) ou un nombre infini mais périodique de décimales comme

91

110= 0, 8 27 27 27 . . .

Inversément, on peut montrer qu’un nombre décimal périodique (dont tous les chiffres décimaux nesont pas des 9 à partir d’un certain rang) est engendré par la division de deux entiers, il est donc unnombre rationnel.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Il est clair qu’un nombre entier est un nombre rationnel car il peut être mis sous forme d’une fraction(par exemple 4 = 4

1 = 82) ou sous forme décimale périodique (par exemple 1 = 0, 999999 . . .).

Enfin, les nombres dont la suite des chiffres décimaux est illimitée et non périodique sont appelésirrationnels : on entend par là qu’ils n’appartiennent pas à l’ensemble Q car il est démontré qu’ils nepeuvent s’écrire comme le quotient de deux entiers. Tels sont par exemple

√2 = 1, 41421356 . . . ,

√3 =

1, 73205080 . . . ,√5 = 2, 23606797 . . . , π = 3, 14159265 . . . , e = 2, 7182818285 . . .. Cet ensemble de

nombres (qui n’est pas désigné par un symbole particulier) joint à l’ensemble des rationnels constituel’ensemble des nombres réels, noté R.

Ces quatre ensembles de nombres sont liés par les inclusions

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

(b) Les nombres réels

Il est habituel de représenter un nombre réel par un point de la droite, appelée droite réelle. Surcette droite, les nombres positifs figurent à droite du point associé à 0, appelé origine, et les négatifsà gauche de ce point.

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Addition et multiplication

L’ensemble R est doté de deux lois, l’addition “+” et la multiplication “.” qui le munissent d’unestructure de corps commutatif. Cela signifie que les propriétes suivantes sont satisfaites.

• Associativité. Pour tout x1, x2, x3 ∈ R, on peut écrire

x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3,x1 · (x2 · x3) = (x1 · x2) · x3.

Lorsque l’on écrit par exemple x1 + x2 + x3, la notation est a priori ambigüe car on ne sait pas sielle signifie x1 + (x2 + x3) ou (x1 + x2) + x3. Mais pour une loi associative, cette ambiguïté n’a pasd’importance car, dans les deux cas, le résultat est le même.

• Éléments neutres. Pour tout x ∈ R, on a

x+ 0 = 0 + x = x,x.1 = 1.x = x.

• Inverses. Pour tout x ∈ R, il existe y ∈ R tel que x+ y = y + x = 0, on note y = −x ;pour tout x ∈ R \ {0}, il existe y ∈ R tel que x.y = y.x = 1, on note y = 1/x.

• Commutativité. Pour tout x1, x2 ∈ R, on a

x1 + x2 = x2 + x1,x1 · x2 = x2 · x1.

• Distributivité. Pour tout x1, x2, x3 ∈ R, on a

x1 · (x2 + x3) = (x1 · x2) + (x1 · x3),(x1 + x2) · x3 = (x1 · x3) + (x2 · x3).

L’ordre

L’ensemble R est muni d’une relation x ≤ y qui vérifie les propriétés suivantes.

• Structure d’ordre. La relation est réflexive : pour tout x ∈ R, x ≤ x ;elle est transitive : pour tout x, y et z ∈ R, (x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z ;elle est antisymétrique : si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y.

• L’ordre est total. Pour tout x et y ∈ R, on a x ≤ y ou y ≤ x.

• L’ordre est compatible avec l’addition et la multiplication.Pour tout x, y et z ∈ R, x ≤ y implique x+ z ≤ y + z ;pour tout x, y, z ∈ R, si x ≤ y et 0 ≤ z alors x.z ≤ y.z.

√Remarque : On notera indifféremment x ≤ y ou y ≥ x. De même, on utilise les notations x < y poursignifier x ≤ y et x 6= y et x > y pour signifier x ≥ y et x 6= y.

Notations

Nous utiliserons les notations suivantes :R0 est l’ensemble des réels non nuls ;R+0 est l’ensemble des réels positifs, non nuls ;

R+ est l’ensemble des réels positifs ou nuls ;R−0 est l’ensemble des réels négatifs, non nuls ;

R− est l’ensemble des réels négatifs ou nuls ;N0 est l’ensemble des entiers positifs, non nuls.

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(c) Infinis

Un des actes des plus familiers est celui de compter. Considérons l’ensemble {a, b, c, d} constituédes lettres a, b, c et d. Compter, c’est établir une correspondance entre ces éléments et le début de lasuite des entiers. Par exemple, on associe a à 1, b à 2, c à 3 et d à 4, et on dit que l’ensemble contient4 éléments.

Il y a plus simple que le comptage : la comparaison, la mise en correspondance des éléments dedeux ensembles. Considérons deux ensembles {a, b, c, d} et {x, y, z, w}. On peut faire se correspondre leséléments de ces deux ensembles “un à un”. Par exemple, on associe a à w, b à x, c à z et d à y. De cettemanière, chaque élément du premier ensemble a un et un seul correspondant dans le second ensemble,et réciproquement. On dit de cette correspondance qu’elle est bijective. On dit que deux ensembles Aet B sont les “mêmes arithmétiquement” (c’est-à-dire qu’ils ont le même nombre d’éléments) s’il existeune correspondance bijective entre ces deux ensembles. Pour des ensembles finis, on peut toujourscompter le nombre d’éléments de chaque ensemble (compter c’est créer une correspondance bijectiveavec une partie des entiers naturels). Pour des ensembles infinis, on n’a plus qu’un seul moyen de savoirsi deux ensembles ont le même nombre d’éléments : établir une correspondance bijective entre eux.Par exemple, il y a le même nombre d’entiers naturels pairs que d’entiers naturels : à chaque naturels,on peut faire correspondre son double et à chaque naturel pair on peut faire correspondre sa moitié.On obtient ainsi la correspondance bijective voulue. Il y a autant de nombre pairs que de naturels etil y a autant de nombres impairs que de nombres pairs, et donc que d’entiers...

Un ensemble qui est en correspondance avec l’ensemble des entiers naturels est dit dénombrable.On peut voir qu’il y a le même nombre de fractions que de nombres entiers naturels.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Cependant, tous les ensembles infinis ne sont pas dénombrables. Par exemple, l’ensemble [0; 1] detous les nombres réels entre 0 et 1 est infini, mais il n’est pas dénombrable.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

(d) Intervalles

L’ensemble des nombres réels situés entre deux nombres a et b donnés, avec a < b, constitue unintervalle . On distingue trois types d’intervalles :• l’intervalle ouvert ] a, b [ auquel les points a et b, appelés extrémités, n’appartiennent pas. Il estdéfini par

] a, b [= {x : x ∈ R tels que a < x < b}.• l’intervalle fermé [ a, b ] auquel les points a et b appartiennent. Il est défini par

[ a, b ] = {x : x ∈ R tels que a ≤ x ≤ b}.

• l’intervalle semi-ouvert à droite [ a, b [ ou l’intervalle semi-ouvert à gauche ] a, b ] définis par

[ a, b [= {x : x ∈ R tels que a ≤ x < b},

] a, b ] = {x : x ∈ R tels que a < x ≤ b}.La longueur de ces intervalles est b− a.

Les intervalles peuvent être infinis et on adopte alors les notations

[ a,+∞[ = {x : x ∈ R tels que a ≤ x},

] a,+∞[ = {x : x ∈ R tels que a < x},

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]−∞, a] = {x : x ∈ R tels que x ≤ a},]−∞, a[ = {x : x ∈ R tels que x < a},

]−∞,+∞[ = {x : x ∈ R} = R.

Les symboles +∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels et ne satisfont donc pas les règles habituellesdu calcul algébrique. Ils sont introduits essentiellement pour faciliter les notations.

(e) Valeur approchée

Soit a, b et x ∈ R. Les nombres a et b encadrent x si a < x < b. La précision de cet encadrementest donnée par un nombre réel positif.

Définition 1.11 Soit a, b, x ∈ R et ε > 0. Si a < x < b et b− a = ε, on dit que a est une valeurapprochée par défaut de x à ε près et que b est une valeur approchée par excès de x à εprès.

Autrement dit, le nombre a est une valeur approchée par défaut de x à ε près si a < x < a + ε,c’est-à-dire que x ∈ ]a, a+ ε[ . De même le nombre b est une valeur approchée par excès de x à ε prèssi b− ε < x < b, c’est-à-dire que x ∈ ]b− ε, b[ .

12

2 Exemples détaillés

1. Soit A = {x : 2x = 6} et soit b = 3. Est-ce que A = b ?

Solution détaillée : Non car A = {3} est un ensemble, tandis que b = 3 est un nombre réel.

2. Démontrer que l’ensemble A = {2, 3, 4, 5} n’est pas un sous-ensemble de l’ensemble B = {x : xest un nombre impair}.

Solution détaillée : Ecrivons A et B en extension. On obtient A = {2, 3, 4, 5} et B ={1, 3, 5, 7, 9, . . .}. Donc A 6⊂ B car il existe x tel que x ∈ A et x 6∈ B. Par exemple 2 ∈ A et2 6∈ B.

3. Démontrer que (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).

Solution détaillée : On peut écrire

(A ∪B) \ C = {x : (x ∈ A ou x ∈ B) et x 6∈ C},= {x : (x ∈ A et x 6∈ C) ou (x ∈ B et x 6∈ C)},= {x : x ∈ A et x 6∈ C} ∪ {x : x ∈ B et x 6∈ C},= (A \ C) ∪ (B \ C).

4. Soient les ensembles A = {1, 2, 3} et B = {0, 5}. Ecrire en extension A×B.

Solution détaillée : L’ensemble A×B est formé de tous les couples dont le premier élémentest dans A et le deuxième élément est dans B. On a donc

A×B = {(1, 0), (1, 5), (2, 0), (2, 5), (3, 0), (3, 5)}.

5. Ecrire la fraction 54 sous forme décimale.

Solution détaillée : On a 54 = 1 + 1

4 = 1 + 25100 = 1, 25.

6. Ecrire la fraction −29 sous forme décimale.

Solution détaillée : En faisant la division euclidienne, on obtient − 29 = −0, 22222 . . .

7. Ecrire le nombre 3, 21 sous forme de fraction.

Solution détaillée : On peut écrire 3, 21 = 321100 et cette fraction est irréductible.

8. Ecrire le nombre 2, 21134134134 . . . sous forme de fraction.

Solution détaillée : Soit x = 2, 21134134134 . . .On a 100x = 221, 134134134 . . . et 100000x = 221134, 134134 . . . En soustrayant ces deuxquantités, on obtient (100000 − 100)x = 220913, c’est-à-dire 99900x = 220913 et donc x =22091399900 .

9. Encadrer π au millième près.

Solution détaillée : On a π = 3, 1415 . . . Le millième correspond au troisième chiffre aprèsla virgule.On prend donc a = 3, 141 et b = 3, 142 et on obtient bien a < π < b avec b−a = 0, 001 = 10−3.

10. Donner une valeur approchée par défaut de 227 au centième près.

Solution détaillée : Par division euclidienne, on a 227 = 3, 1428 . . . Le centième correspond

au deuxième chiffre après la virgule.On prend donc a = 3, 14 et b = 3, 15 et on obtient bien a < 22

7 < b avec b − a = 0, 01 = 10−2.Une valeur approchée par défaut de 22

7 est donc a = 3, 14.

13

11. A l’université sont organisés des cours libres d’anglais, d’économie et de statistique. Sachantque 122 étudiants suivent le cours d’anglais, 81 celui d’économie, 14 celui de statistique, 10ceux d’anglais et d’économie, 6 ceux d’anglais et de statistique, 11 ceux de statistique etd’économie et enfin, 4 étudiants suivent les 3 cours, combien d’étudiants suivent le seul coursde statistique ?

Solution détaillée : Soit A l’ensemble des étudiants du cours d’anglais, E celui des étudiantsdu cours d’économie et S celui des étudiants de statistique. A partir de l’énoncé, on peutconstruire le diagramme suivant :

14

122 81

A

E

S

6

4

2 7

On en déduit que 14− 2− 4− 7 = 1 seul étudiant suit seulement le cours de statistique.

14

3 Preuves

Preuve 1

Lois de Morgan : A ∩B = A ∪B,

A ∪B = A ∩B.

On aA ∩B = {x : x ∈ A et x ∈ B}

et doncA ∩B = {x : x ∈ U et x 6∈ (A ∩B)},

= {x : x ∈ U et (x 6∈ A ou x 6∈ B)}.D’autre part,

A ∪B = {x : x ∈ U et x 6∈ A} ∪ {x : x ∈ U et x 6∈ B},= {x : x ∈ U et (x 6∈ A ou x 6∈ B)},= A ∩B.

De même, on aA ∪B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}

et doncA ∪B = {x : x ∈ U et x 6∈ (A ∪B)},

= {x : x ∈ U et (x 6∈ A et x 6∈ B)}.D’autre part,

A ∩B = {x : x ∈ U et x 6∈ A} ∩ {x : x ∈ U et x 6∈ B},= {x : x ∈ U et (x 6∈ A et x 6∈ B)},= A ∪B.

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Preuve 2

A \B = A ∩B

Par définition, on aA \B = {x : x ∈ A et x 6∈ B}.

Par ailleurs, on a aussiA ∩B = {x : x ∈ A et x 6∈ B}

et donc A \B = A ∩B.

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Preuve 3

Un nombre décimal périodique (dont tous les chiffres décimaux ne sont pas des 9 à partir d’uncertain rang) est engendré par la division de deux entiers, il est donc un nombre rationnel.

La démonstration consiste à observer qu’un nombre décimal périodique simple (sa période commenceimmédiatement après la virgule) dont la partie entière est nulle est engendré par une fraction dontle numérateur est la période et dont le dénominateur est formé d’autant de 9 qu’il y a de chiffresdans la période. Par exemple, 0, 375 375 375 . . . est engendré par la fraction 375

999 . En effet : si x =0, 375 375 375 . . ., alors

1000x = 375, 375 375 375 . . . = 375 + 0, 375 375 375 . . . = 375 + x

d’où999x = 375.

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Preuve 4

L’ensemble Q est dénombrable, c’est-à-dire qu’il y a le même nombre de fractions que de nombresentiers naturels.

Considérons le schéma suivant qui suggère un rangement des fractions en un tableau comportant uneinfinité de lignes et une infinité de colonnes :

1/1 1/2 1/3 1/4 . . .

2/1 2/2 2/3 2/4 . . .

3/1 3/2 3/3 3/4 . . .

4/1 4/2 4/3 4/4 . . .

......

......

L’idée d’une correspondance bijective entre l’ensemble des fractions et l’ensemble des naturels est desuivre le tableau des fractions “en diagonale” en prenant la suite :

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, . . .

On a bien une numérotation des fractions par les entiers naturels. On peut voir ainsi que les nombresrationnels peuvent être numérotés, qu’il y en a donc une infinité dénombrable.

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Preuve 5

L’ensemble [0, 1] de tous les nombres réels entre 0 et 1 n’est pas dénombrable.

Considérons l’ensemble [0, 1] de tous les nombres (rationnels ou irrationnels) entre 0 et 1 écrits ennotation décimale illimitée. Par exemple 1/3 s’écrit 0, 33333 . . ., 1/4 s’écrit 0, 250000 . . ., π − 3 s’écrit0, 14159 . . .. Montrons que cet ensemble n’est pas dénombrable. On va raisonner par l’absurde : prenonsune soi-disant bijection entre l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble [0, 1] et montrons qu’on arriveà une contradiction.Supposons donc qu’il y ait une telle bijection. Il y aurait un premier nombre que l’on va écrire sousforme décimale :

x1 = 0, a11a21a

31a

41 . . .

(a11 est la première décimale du premier nombre, a21 la deuxième décimale ; la ne décimale est notéean1 ). Le deuxième nombre s’écrit :

x2 = 0, a12a22a

32a

42 . . .

Le ke nombre s’écrit :xk = 0, a1ka

2ka

3ka

4k . . .

Et on continue indéfiniment. Cette soi-disant bijection doit reprendre tous les nombres de [0, 1]. Mon-trons que ce n’est pas le cas.En effet, on peut construire très facilement un nombre y de [0, 1] qui n’est pas repris dans l’énumérationde la soi-disant bijection. Prenons le nombre y = 0, b1b2b3b4 . . . dont :

1. la première décimale b1 n’est pas la première décimale a11 de x1 (on est donc sûr que y n’est pasx1) ;

2. la deuxième décimale b2 n’est pas la deuxième décimale a22 de x2 (on est donc sûr que y n’est pasx2) ;

3. la troisième décimale b3 n’est pas la troisième décimale a33 de x3 (on est donc sûr que y n’est pasx3)

4. et ainsi de suite . . .

5. la ke décimale bk n’est pas la ke décimale akk de xk (on est donc sûr que y n’est pas xk)

6. . . .

Donc y n’est pas dans notre liste car pour tout k il diffère du ke nombre de la liste au moins par sa ke

décimale. Quelle que soit la liste, énumérée par les entiers, il y a beaucoup de nombres qui ne sont pasdans la liste. L’ensemble [0, 1] n’est pas dénombrable.

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Chapitre 2

Logique

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

(a) Négation d’une proposition : ¬p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

(b) Conjonction de deux propositions : p ∧ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

(c) Disjonction de deux propositions : p ∨ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

(d) Proposition conditionnelle : p ⇒ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

(e) Proposition biconditionnelle : p ⇔ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Tautologie ou loi logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Quantificateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

(a) Quantificateurs universel et existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

(b) Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

(c) Négation des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Réciproque et contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Théorèmes et méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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1 Théorie

1.1 Propositions

Définition 2.1 Une proposition est un énoncé simple susceptible d’être vrai ou faux.

Sont exclus des énoncés agrammaticaux, ainsi que les énoncés dénués de sens. Le sont également lesénoncés exclamatifs comme “Ciel mon mari !”, les énoncés interrogatifs comme “Quelle heure est-il ?”,impératifs comme “Donne-moi la main.”, de même que les énoncés auto-référentiels comme “Je mens.”.Pour les premiers, la question qu’ils soient vrais ou faux n’a pas de sens, pour les derniers la questionconduit à des paradoxes. C’est ainsi que “Cette phrase a cinq mots.” est un énoncé vrai, mais l’énoncécontraire “Cette phrase n’a pas cinq mots.” est également vrai.

Des énoncés affirmatifs comme “2+3 = 5”, “Il pleut”, “16 est le carré de 3”,. . . ont la propriété d’êtresoit vrais, soit faux mais jamais les deux à la fois. On les appelle des propositions. La valeur, vraie(V) ou fausse (F), d’une proposition sera appelée valeur de vérité de la proposition. On se permettral’abus de langage de dire qu’une proposition est vraie pour “la valeur de vérité de la proposition estvraie”.

Le caractère simple d’un énoncé tient à ce qu’il ne puisse pas se décomposer en plusieurs énoncés.

⋆ Par exemple la proposition “Pierre est philosophe et mathématicien” est composée des deux propositions“Pierre est philosophe”, “Pierre est mathématicien” reliées par un “et”.

Définition 2.2 Une proposition composée est une proposition construite à partir de propositionssimples reliées par des connecteurs logiques.

⋆ Par exemple, les propositions “Il fait beau et 4 + 1 = 5”, “S’il pleut alors je prendrai mon parapluie” et“Pierre est philosophe et mathématicien” sont des propositions composées.

Dans la suite on sera souvent amené a faire référence à des propositions sans les préciser. On lesdésignera alors par des symboles comme p, q, r, . . .

1.2 Connecteurs logiques

L’opération qui consiste à relier les propositions “Pierre est philosophe” et “Pierre est mathéma-ticien” par la conjonction “et” pour obtenir la proposition composée “Pierre est philosophe et mathé-maticien” est une opération logique binaire dont l’opérateur logique est la conjonction “et”. On parled’opération binaire parce qu’elle porte sur deux opérandes. On considère également une opérationlogique unaire qui porte sur un opérande. On utilisera une notation des opérations logiques semblableà la notation habituelle des opérations algébriques sur des nombres. D’autres notations sont possibles.

Chaque opération est décrite complètement si on donne la valeur de vérité du résultat pourtoutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité des opérandes. Une table reprenant les différentescombinaisons de valeurs de vérité des opérandes, à raison d’une par ligne, et dans une colonne le résultatcorrespondant est une présentation commode de l’opération. C’est la table de vérité de l’opération.Elle présente deux lignes dans le cas d’une opération unaire, 4 dans le cas d’une opération binaire.

(a) Négation d’une proposition : ¬pLa négation d’une proposition p est une proposition prenant la valeur de vérité opposée à celle

de p. On dira “non p” et on écrira ¬p. Si p représente la proposition “vous savez”, ¬p représente “non(vous savez)”, ou encore “vous ne savez pas” ou “vous ignorez”.

20

Les valeurs de vérité de ¬p en fonction de celles de p sont représentées dans la table de vérité ci-dessous.

p ¬pV FF V

On vérifie que la négation de la négation d’une proposition est cette proposition elle-même. On enretiendra que dans le langage courant, un nombre impair de négations équivaut à une négation.

(b) Conjonction de deux propositions : p ∧ q

Deux propositions reliées par le mot “et” forment une proposition composée appelée la conjonctiondes deux propositions. On dira “p et q” et on écrira p ∧ q.

Les valeurs de vérité de p ∧ q en fonction de celles de p et q sont données dans la table de véritéci-dessous.

p q p ∧ q

V V VV F FF V FF F F

On observe que p ∧ q n’est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies, autrement dit il suffitque l’une des deux propositions soit fausse pour que leur conjonction soit fausse. Cette opération estcommutative.

√Remarque : La forme du symbole ∧ rappelle celle du symbole ∩ qui désigne l’intersection. Ceci n’estpas un hasard : x ∈ A ∩B signifique que x ∈ A et x ∈ B.

(c) Disjonction de deux propositions : p ∨ q

Deux propositions reliées par le mot “ou” (au sens non exclusif du langage courant, c’est-à-dire ausens et/ou), forment une proposition composée appelée la disjonction des deux propositions. On dira“p ou q” et on écrira p ∨ q.

Les valeurs de vérité de p ∨ q sont données dans la table ci-dessous.

p q p ∨ q

V V VV F VF V VF F F

On observe que p ∨ q n’est fausse que lorsque les deux propositions le sont, autrement dit il suffitque l’une des deux propositions soit vraie pour que leur disjonction soit vraie. La disjonction est uneopération commutative.

√Remarque : Le “ou” des mathématicien est un “ou” inclusif : p∨ q sera vraie lorsque p et q sont vraiestoutes les deux. Dans le langage courant le “ou” est ambigu. Quand on dit “Pierre boit un coca ouregarde la télévision”, on n’exclut pas la situation où “Pierre boit un coca et regarde la télévision”. Parcontre quand on lit “fromage ou dessert” dans le menu d’un restaurant, on sait que c’est soit l’un, soitl’autre, mais pas les deux. Pour éviter toute ambiguïté on devrait dire “soit. . ., soit. . .”.

√Remarque : La forme du symbole ∨ rappelle celle du symbole ∪ qui désigne l’union. Ceci n’est pasun hasard : x ∈ A ∪B signifique que x ∈ A ou x ∈ B.

21

(d) Proposition conditionnelle : p ⇒ q

La proposition p ⇒ q se lit “si p alors q”, ou “p implique q”, ou “il suffit que p pour que q”, ou “p estune condition suffisante pour q”. Dans p ⇒ q, p est l’antécédent de l’implication et q le conséquentde l’implication.

On peut envisager une série de situations correspondant à un énoncé “si . . . alors . . . ” :• pour indiquer une relation logique où le conséquent découle logiquement de l’antécédent :

“Si ¬(¬p) a la même valeur de vérité que p alors p peut remplacer ¬(¬p)”,

• pour indiquer une relation causale :“Si Pierre lache ce caillou alors il va tomber sur mon pied”,

• pour indiquer qu’une certaine décision est prise par celui qui prononce la phrase si l’antécédent estvrai :

“Si Pierre lache le caillou alors je lui flanque mon poing à la figure”,

• pour signifier une implication définitionnelle. Le conséquent résulte de l’antécédent de par la défini-tion de ce dernier (résulte d’une relation définitionnelle entre antécédent et conséquent) :

“Si Pierre conduit une Golf, alors Pierre conduit une voiture”,

• pour signifier l’implication purement matérielle sans qu’il y ait relation logique, causale ou défini-tionnelle entre antécédent et conséquent ; on utilise une telle expression pour manifester son point devue de manière sarcastique :

“Si Pierre a 20/20 au test de mathématiques alors je chante comme la Callas”.Le conséquent est manifestement faux, l’orateur veut ainsi insister sur le caractère faux de l’antécédent.

Les valeurs de vérité de p ⇒ q sont données dans la table de vérité ci-dessous.

p q p ⇒ q

V V VV F FF V VF F V

On observe que p ⇒ q est fausse seulement dans le cas où p est vraie et q fausse. Pour vérifier quep ⇒ q est vraie, il suffira donc d’envisager le cas où p est vraie et de vérifier que q l’est aussi.

(e) Proposition biconditionnelle : p ⇔ q

La proposition p ⇔ q, obtenue par l’opération logique appelée équivalence ou bi-implication,peut se formuler comme : “p si et seulement si q”, ou “q si et seulement si p”, ou “p est équivalent à q”,ou “p est une condition nécessaire et suffisante pour q”, ou “si p alors q et réciproquement”.

En écrivant p ⇔ q on met p et q mutuellement sous condition. Les valeurs de vérité de cette propositionsont données dans la table de vérité ci-dessous.

p q p ⇔ q

V V VV F FF V FF F V

On observe que p ⇔ q est vraie seulement dans le cas où p et q ont la même valeur de vérité.

22

1.3 Tautologie ou loi logique

Définition 2.3 Une tautologie (ou loi logique) est une proposition composée qui est vraie quellesque soient les valeurs de vérité des propostions simples qui la composent.

⋆ Par exemple, les propositions¬(¬p) ⇔ p¬(p ∧ ¬p)

(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

sont des tautologies.

Pour démontrer qu’une proposition composée est une tautologie, on construit sa table de vérité eton constate que la dernière colonne est formée uniquement de V .Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve que les propositions ci-dessus sont des tautologies.

1.4 Quantificateurs logiques

Les connecteurs logiques ne sont pas les seuls “petits mots” importants dans les textes mathémati-ques : il ne faut pas oublier les quantificateurs “∀” et “∃”.

(a) Quantificateurs universel et existentiel

“∀” est le quantificateur universel qui signifie “pour tout”, tandis que “∃” est le quantificateurexistentiel qui signifie “il existe (au moins un)”.

⋆ Par exemple, la formule∀x : x+ 1 > 0

signifie que pour tout objet x, on a x+1 > 0, ou encore que quelle que soit la valeur prise par x, on ax+ 1 > 0. D’autre part, la formule

∃x : x+ 30 < 15

signifie qu’il existe au moins une valeur de x telle que x+ 30 < 15.

Pour pouvoir déterminer si ces formules sont vraies ou fausses, il faut fixer l’univers du discours,c’est-à-dire préciser quel est l’ensemble des valeurs possibles de la variable quantifiée. Ainsi, la formule

∃x : x+ 30 < 15

est vraie si l’ensemble des valeurs permises pour x est R ou Z, mais elle est fausse si cet ensemble estN.

(b) Ordre des quantificateurs

Lorsqu’on manipule des affirmations avec quantificateurs, il importe de veiller à ne pas permuterl’ordre des quantificateurs.

⋆ Par exemple, l’affirmation suivante signifie que tout nombre réel a un opposé :

∀x ∈ R, ∃ y ∈ R : x+ y = 0.

23

Cette affirmation est bien vraie dans R (il suffit que y = −x ; ces y diffèrent donc suivant x). Par contrel’affirmation

∃ y ∈ R, ∀x ∈ R : x+ y = 0

est fausse. Elle signifie en effet qu’il existerait un nombre réel y qui serait un absorbant pour l’addition :ajouté à n’importe quel nombre réel x, il donnerait toujours une somme égale à zéro. Un tel nombreréel y n’existe pas.

On peut cependant permuter l’ordre des quantificateurs si ceux-ci sont identiques et l’un à côté del’autre.

⋆ Par exemple, l’affirmation∀n ∈ N, ∀m ∈ N : n 6= 0 ⇒ n+m > m

est équivalente à l’affirmation

∀m ∈ N, ∀n ∈ N : n 6= 0 ⇒ n+m > m.

(c) Négation des quantificateurs

La négation du quantificateur universel est le quantificateur existentiel et la négation du quan-tificateur existentiel est le quantificateur universel. Ainsi, pour nier une proposition contenant desquantificateurs, on nie les quantificateurs et on nie l’affirmation qui les suit :

la négation de “∃x : P (x)” est “∀x : ¬P (x)”la négation de “∀x : P (x)” est “∃x : ¬P (x)”

1.5 Réciproque et contraposée

Dans les ouvrages mathématiques, on rencontre souvent les mots “réciproque” et “contraposée”, quisont en rapport avec l’implication.

La réciproque de (p ⇒ q) est (q ⇒ p). On renverse donc le sens de l’implication pour obtenir laréciproque. Un énoncé n’est pas équivalent à sa réciproque.

⋆ Par exemple l’implicationx ∈ N ⇒ x ∈ R

est vraie, mais sa réciproquex ∈ R ⇒ x ∈ N

est fausse.

La réciproque de p ⇒ q n’est pas non plus équivalente à la négation de p ⇒ q. Il suffit de comparer lestables de vérité de q ⇒ p et ¬(p ⇒ q) pour s’en convaincre.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder les tables de vérité ici.

La contraposée de (p ⇒ q) est (¬q ⇒ ¬p). On nie les affirmations p et q et on renverse le sensde l’implication pour obtenir la contraposée. Un énoncé est équivalent à sa contraposée.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder les tables de vérité ici.

⋆ Par exemple, l’affirmation

“S’il pleut alors je prends mon parapluie”

est équivalente à sa contraposée

“Si je ne prends pas mon parapluie, c’est qu’il ne pleut pas”.

24

1.6 Théorèmes et méthodes de démonstration

Nous allons ici expliquer ce qu’est une démonstration ainsi que donner différents types de démon-stration.

Démontrer consiste à déduire la vérité d’une affirmation mathématique, appelée la thèse, à partird’un ensemble d’affirmations mathématiques que l’on suppose être vraies le temps de la démonstration(les hypothèses) et à partir d’un ensemble d’affirmations mathématiques qui sont vraies (des axiomesou des théorèmes qui ont déjà été démontrés auparavant). Notons que les hypothèses sont en généralécrites explicitement dans l’énoncé que l’on cherche à démontrer, ce qui n’est pas le cas des axiomeset des théorèmes que l’on aura à utiliser au cours de la démonstration.

Il est important de bien comprendre que la démonstration d’un théorème sert uniquement à prouverque sa thèse est vraie lorsque ses hypothèses sont vraies. Lorsqu’on voudra utiliser un théorème, il faudradonc toujours commencer par vérifier que ses hypothèses sont bien satisfaites.

√Remarque : Puisque l’énoncé “¬(∀x : P (x))” est équivalent à l’énoncé “∃x : ¬P (x)”, pour prouverqu’une propriété n’est pas vraie pour toutes les valeurs de x, il suffit de trouver une valeur de x pourlaquelle la propriété n’est pas satisfaite. Une telle valeur est appelée un contre-exemple.

Les hypothèses et thèse d’un théorème sont en général composées de plusieurs propositions p, q,r, . . .. Pour simplifier la présentation, nous écrirons P et Q au lieu de P (p, q, r, . . .) et Q(p, q, r, . . .).

Méthodes de démonstration de P ⇒ Q

Si on appelle théorème l’affirmation P ⇒ Q, où P sont les hypothèses et Q les conclusions, démontrerle théorème P ⇒ Q revient à tester la validité de l’affirmation. Voici différentes manières de procéder.

• Démonstration directe (modus ponens) :Il faut montrer que P ⇒ Q est une tautologie donc, d’après la définition de l’opérateur logique ⇒, ilconvient de montrer que si P est vraie, alors Q est aussi vraie.

⋆ Par exemple, voyons que tout nombre naturel qui est un carré a un nombre impair de diviseurs. SoitP : x est un nombre naturel qui est un carré.Q : x a un nombre impair de diviseurs.

Preuve directe :Le nombre x admet trivialement comme diviseurs 1 et lui-même x. Comme x = y2 il admet y commediviseur. Ce qui en fait déjà trois 1, y et x. Pour tout autre nombre a (différent de 1, y et x), diviseurde x, il doit y avoir un nombre b tel que x = a · b. Le nombre b est également diviseur de x et doitégalement être différent de 1, y, x et a. Donc s’il y a d’autres diviseurs que 1, y et x, ils doivent êtredifférents et exister par paires. Le nombre total de diviseurs est dès lors impair.

• Démonstration par l’absurde (par contradiction) :Le principe de démonstration par l’absurde s’énonce de la manière suivante :

Principe de démonstration par l’absurde

Pour démontrer une affirmation P par l’absurde,on suppose que ¬P est vraie (c’est-à-dire que P est fausse)et on en déduit une absurdité.

Intuitivement, on comprend que si l’on déduit une absurdité de l’hypothèse ¬P , c’est que cette hypo-thèse est fausse, ce qui revient à dire que P est vraie.

25

⋆ Reprenons l’exemple précédent. On va supposer que P est vraie et que Q est fausse et montrer quecela ne peut pas se produire.Preuve par l’absurde :Supposons que le nombre x est un carré et x possède 2k diviseurs. Soit y tel que x = y · y. Enlevons1, x et y. Il reste un nombre impair de diviseurs. Formons parmi ceux-ci les couples z1, z2 de nombresdifférents tels que x = z1 · z2. Cela en fait un nombre pair, il doit donc en rester un. Soit a ce nombre,comme il n’est pas 1, y ou x, il doit alors vérifier x = a · a, ce qui est absurde car a 6= y.

• Démonstration par contraposée :Grâce à l’équivalence entre un énoncé et sa contraposée, démontrer P ⇒ Q revient à démontrer¬Q ⇒ ¬P .

Principe de démonstration par contraposée

Pour démontrer une affirmation de la forme P ⇒ Q par contraposition,on démontre la contraposée ¬Q ⇒ ¬P ,c’est-à-dire : on suppose que Q est fausse et on en déduit que P est fausse.

⋆ Dans l’exemple ci-dessus, ¬Q ⇒ ¬P revient à “x possède un nombre pair de diviseurs ⇒ x n’est pasun carré”.Preuve par contraposition :On doit pouvoir regrouper les diviseurs par paires de nombres différents y, z tels que x = y · z. Il nepeut donc pas rester un nombre unique a, tel que x = a · a. Le nombre x n’est donc pas un carré.

Méthode de démonstration de P ⇔ Q

Une affirmation de la forme P ⇔ Q est équivalente à (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ). Pour prouver P ⇔ Q, ilsuffit donc de prouver P ⇒ Q et de prouver Q ⇒ P .

Méthode de démonstration par récurrence (ou par induction)

On utilise le principe de démonstration par récurrence lorsqu’on veut prouver qu’une propriété estvraie pour tous les nombres naturels. Le principe est le suivant :

Principe de démonstration par récurrence

Pour prouver qu’une affirmation de la forme “∀n ∈ N : P (n)” estvraie, il suffit de prouver que• “P (0)” est vraie,• “∀k ∈ N : P (k) ⇒ P (k + 1)” est vraie.

⋆ Par exemple, on veut prouver que pour tout n ∈ N, on a

03 + 13 + 23 + · · · + n3 =n2(n+ 1)2

4.

Preuve par récurrence :• P (0) est l’affirmation

03 =02(0 + 1)2

4.

26

Cette affirmation est clairement vraie.• Supposons que P (k) soit vraie pour un certain k ∈ N, c’est-à-dire supposons que

03 + 13 + 23 + · · ·+ k3 =k2(k + 1)2

4

(ceci est l’hypothèse de récurrence) et voyons que P (k + 1) est encore vraie.On a par hypothèse de récurrence

03 + 13 + 23 + · · ·+ k3 + (k + 1)3 =k2(k + 1)2

4+ (k + 1)3.

De plus,k2(k + 1)2

4+ (k + 1)3 =

k2(k + 1)2

4+

4

4(k + 1)(k + 1)2,

=(k + 1)2

4(k2 + 4(k + 1)),

=(k + 1)2

4(k + 2)2

et on obtient

03 + 13 + 23 + · · ·+ k3 + (k + 1)3 =(k + 1)2((k + 1) + 1)2

4,

ce qui est exactement P (k + 1). Puisque l’affirmation est vraie pour le premier entier et que si elle estvraie pour un entier quelconque, elle l’est aussi pour le suivant, on peut donc en conclure qu’elle estvraie pour tous les entiers.

√Remarque : Si l’on veut prouver que l’énoncé “∀n ≥ c : P (n)” est vrai, il suffit de prouver que “P (c)”est vraie et que “∀k ≥ c : P (k) ⇒ P (k+1)” est vraie. De même, si l’on veut prouver qu’une propriétéP est satisfaite par tous les nombres naturels pairs, il suffit de montrer que “P (0)” est vraie et que“∀k ∈ N : P (k) ⇒ P (k + 2)” est vraie.

27


1. Traduire en mathématique l’énoncé “Tout nombre réel est majoré par un entier”.

Solution détaillée : Cela signifie que pour chaque nombre réel, on peut rouver un entier quiest plus grand que lui. Mathématiquement, on écrira

∀x ∈ R, ∃ z ∈ Z : x ≤ z.

2. Traduire en français l’énoncé ∀x,∀A,∀B : x ∈ (A ∩B) ⇒ x ∈ (A ∪B).

Solution détaillée : Quels que soient les ensembles A et B que l’on considère, tout élémentx qui se trouve dans A∩B se trouve aussi dans A∪B. Tout élément de l’intersection de deuxensembles se trouve donc aussi dans leur union. On peut encore dire “l’intersection de deuxensembles est contenue dans leur union”.

3. Niez la phrase suivante “Dans tout pays, il y a une ville où les maisons qui sont à moins de100 mètres du centre ont au moins un étage”.

Solution détaillée : La négation de “dans tout pays” est “il existe au moins un pays”, lanégation de “il y a une ville où les maisons qui sont à moins de 100 mètres du centre ont aumoins un étage” est “toutes les villes où il y a au moins une maison qui est à moins de 100mètres du centre et n’a pas au moins un étage”. La négation demandée est donc “Il existe unpays où toutes les villes ont au moins une maison de plein-pied à moins de 100 mètres ducentre”.

4. Montrez que pour tout n ∈ N0,

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n + 1)

6.

Solution détaillée : On va prouver cette affirmation par récurrence. Il faut montrer que pourtout n ∈ N0, on a

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

Puisqu’il faut prouver l’affirmation pour tout n ∈ N0, on va commencer par la prouver pourn = 1.•P (1) est l’affirmation

12 =1 · 2 · 3

6.

Cette affirmation est clairement vraie.• Soit k ∈ N0, un entier quelconque et supposons que P (k) est vraie, c’est-à-dire supposonsque

12 + 22 + 32 + · · ·+ k2 =k(k + 1)(2k + 1)

6.

Voyons que P (k + 1) est vraie. On a

12 + 22 + 32 + · · ·+ (k + 1)2 = (12 + 22 + 32 + · · ·+ k2) + (k + 1)2

et par hypothèse de récurrence, on peut écrire

(12 + 22 + 32 + · · ·+ k2) + (k + 1)2 =k(k + 1)(2k + 1)

6+ (k + 1)2.

De plus,k(k + 1)(2k + 1)

6+ (k + 1)2 =

k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2

6,

=(k + 1)(2k2 + k + 6k + 6)

6,

=(k + 1)(2k2 + 7k + 6)

6,

=(k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6.

28

On obtient ainsi

(12 + 22 + 32 + · · ·+ k2) + (k + 1)2 =(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)

6,

ce qui est exactement P (k + 1).Par le principe de récurrence, on a bien prouvé l’affirmation pour tout n ∈ N0.

5. Démontrez que√2 6∈ Q.

Solution détaillée : On va faire une démonstration par l’absurde.Supposons que

√2 ∈ Q. Il existe donc p ∈ Z et q ∈ Z0 tels que p

q =√2 avec p et q premiers

entre eux.En élevant les deux membres au carré, on obtient p2

q2 = 2, c’est-à-dire p2 = 2q2. On en déduit

que p2 est pair et donc p est pair. Puisque p et q sont premiers entre eux, cela signifie que qest impair.De plus, si p est pair, alors p2 est multiple de 4 et, q étant impair, il est impossible que 2q2

soit un multiple de 4. On ne peut donc pas avoir p2 = 2q2, c’est-à-dire qu’il est impossible que√2 s’écrive sous la forme d’une fraction. Donc

√2 6∈ Q.

6.(a) Montrez, en utilisant les tables de vérité, que les deux propositions ¬(¬p∨ q) et (p∧¬q)

sont logiquement équivalentes.

(b) Formez la négation de la phrase “Les étudiants ne guindaillent pas ou ratent” en latransformant d’abord sous forme de propositions, ensuite appliquez les règles de lanégation et la traduire à nouveau en phrase ordinaire.

Solution détaillée :

(a) Les propositions ¬(¬p ∨ q) et (p ∧ ¬q) sont logiquement équivalentes.

p q ¬p ¬q ¬p ∨ q ¬(¬p ∨ q) p ∧ ¬qV V F F V F FV F F V F V VF V V F V F FF F V V V F F

Les deux dernières colonnes sont identiques, ce qui signifie que les deux propositions sontlogiquement équivalentes.

(b) La phrase “Les étudiants ne guindaillent pas ou ratent” est constituée des propositionsp : Les étudiants guindaillent.q : Les étudiants ratent.En utilisant p et q, la phrase peut s’écrire sous forme ¬p ∨ q.On a vu au point ci-dessus que la négation de (¬p ∨ q) est (p ∧ ¬q). La négation de laphrase est donc “Les étudiants guindaillent et ne ratent pas”.

29

7.(a) Montrez, en utilisant les tables de vérité, que les deux propositions (p ⇒ ¬q) et ¬(p∧ q)

sont logiquement équivalentes.

(b) Formez la négation de la phrase “Il y a des contraintes en architecture et de la libertéen mathématiques” en la transformant d’abord sous forme de propositions, ensuite ap-pliquez les règles de la négation et la traduire à nouveau en phrase ordinaire.


(a) Les propositions (p ⇒ ¬q) et ¬(p ∧ q) sont logiquement équivalentes.

p q ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) p ⇒ ¬qV V F V F FV F V F V VF V F F V VF F V F V V

Les deux dernières colonnes sont identiques, ce qui signifie que les deux propositions sontlogiquement équivalentes.

(b) La phrase “Il y a des contraintes en architecture et de la liberté en mathématiques” estconstituée des propositionsp : Il y a des contraintes en architecture.q : Il y a de la liberté en mathématiques.En utilisant p et q, la phrase peut s’écrire sous forme p ∧ q.On a vu au point ci-dessus que la négation de (p ∧ q) est (p ⇒ ¬q). La négation de laphrase est donc “S’il y a des contraintes en architecture alors il n’y a pas de liberté enmathématiques”.

8. La proposition ((p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q)) ⇒ q est-elle une tautologie ?

Solution détaillée : Oui car quand on regarde les tables de vérité, on remarque que la der-nière colonne est composée uniquement de V. Cette affirmation est donc toujours vraie, quellesque soient les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.

p q ¬p p ⇒ q ¬p ⇒ q (p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q) ((p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q)) ⇒ qV V F V V V VV F F F V F VF V V V V V VF F V V F F V

9. Donnez la réciproque et la contraposée de la proposition “x ∈ N ⇒ x ≥ 0”.

Solution détaillée : Pour trouver la réciproque d’une implication, on renverse le sens de laflèche. La réciproque est donc

x ≥ 0 ⇒ x ∈ N.

Pour trouver la contraposée d’une implication, on nie les deux propositions qui la composent,puis on renverse le sens de la flèche. La négation de “x ∈ N ” est “x 6∈ N” et la négation de“x ≥ 0” est “x < 0”. La contraposée demandée est donc

x < 0 ⇒ x 6∈ N.

30

3 Preuves

Preuve 6

Les propositions¬(¬p) ⇔ p¬(p ∧ ¬p)

(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

sont des tautologies.

On remarque que la colonne correspondante dans les tables de vérité est constituée uniquement de V :

p ¬p ¬(¬p) ¬(¬p) ⇔ p p ∧ ¬p ¬(p ∧ ¬p)V F V V F VF V F V F V

p q p ∧ q q ∧ p (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

V V V V VV F F F VF V F F VF F F F V

p q p ∨ q q ∨ p (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

V V V V VV F V V VF V V V VF F F F V

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31

Preuve 7

La proposition (q ⇒ p) n’est pas équivalente à (p ⇒ q) ni à la négation de (p ⇒ q).

On remarque que les colonnes correspondantes dans les tables de vérité n’ont pas les mêmes valeurs devérité :

p q p ⇒ q q ⇒ p ¬(p ⇒ q)

V V V V FV F F V VF V V F FF F V V F

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Preuve 8

Un énoncé est équivalent à sa contraposée.

Soit p ⇒ q un énoncé et ¬q ⇒ ¬p sa contraposée. On remarque que les colonnes correspondantes dansles tables de vérité sont identiques :

p q p ⇒ q ¬p ¬q ¬q ⇒ ¬pV V V F F VV F F F V FF V V V F VF F V V V V

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32

Chapitre 3

Géométrie et mesure

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1 Théorème de Thalès et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

(a) Rapports et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

(b) Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3 Polygônes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

(a) Triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

(b) Triangles isocèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

(c) Triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

(d) Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

(a) Trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

(b) Parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

(c) Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

(d) Losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

(e) Carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6 Périmètre et aire de surfaces élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

(a) Disque et secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

(b) Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

(c) Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

(d) Parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

(e) Losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

(f) Trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.7 Volume de solides élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

(a) Parallélipipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

(b) Cylindre circulaire droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

(c) Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.8 Mesures et grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

(a) Longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

(b) Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

(c) Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

(d) Capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

(e) Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

(f) Temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

33


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

34

1 Théorie

1.1 Théorème de Thalès et proportions

(a) Rapports et proportions

Si a, b ∈ R et b 6= 0 alors le nombre réel ab est appelé rapport des nombres a et b. Une proportion

est une égalité entre deux rapports non nuls. Si a, b, c, d ∈ R0 alors ab = c

d est une proportion où a etd sont les extrèmes et b et c sont les moyens. On dit que les nombres a et b sont proportionnelsaux nombres c et d si a

b = cd .

Proposition 3.1 Dans toute proportion, le produit des moyens est égal au produit des extrèmes,c’est-à-dire ∀a, b, c, d ∈ R0, on a

a

b=

c

d⇔ ad = bc.

Dans une proportion on peut donc permuter les moyens et permuter les extrèmes.

(b) Théorème de Thalès

La propriété dite “petite propriété de Thalès” concerne un triangle coupé par une droite parallèleà l’un de ses côtés.

••

•

•

•A

BC

D E

Cette propriété est généralisée avec deux triangles partageant un même sommet, ayant chacun deuxcôtés dans le prolongement l’un de l’autre et leur troisième côté parallèle.

35

•

• •

• •

A

B C

DE

Pour résumer, lorsque nous sommes dans une situation telle que nous avons• deux droites sécantes,• deux points supplémentaires sur chacune des deux droites,• deux droites parallèles passant par ces points,nous pouvons appliquer le Théorème de Thalès qui énonce que le rapport de la plus petite mesure surla plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes et le rapport de la plus petitemesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux. Dansles deux cas ci-dessus, les droites DE et BC sont parallèles et nous avons les égalités

|AD||AB| =

|AE||AC| =

|DE||BC| .

En réalité, le Théorème de Thalès concerne une propriété plus générale.

Théorème 3.2 (Théorème de Thalès) Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantesdes segments homologues proportionnels. Autrement dit, si trois droites parallèles rencontrent deuxdroites d et d′, respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A′, B′, C ′, alors

|A′B′||AB| =

|B′C ′||BC| =

|A′C ′||AC| .

•

•

•

•

•

•

A

B

C

A′

B′

C′

36

En permutant les termes moyens des fractions, on peut faire naître d’autres égalités de rapports :

|A′B′||B′C ′| =

|AB||BC| ,

|B′C ′||A′C ′| =

|BC||AC| ,

|A′B′||A′C ′| =

|AB||AC| .

Ces rapports traduisent la propriété suivante : la projection d’une droite sur une autre, suivant unedirection donnée, conserve les proportions.

1.2 Cercles

Soit C un point du plan et r > 0. Le cercle de centre C et de rayon r est l’ensemble des pointsdu plan situés à distance r du point C. On dira que des cercles sont concentriques s’ils ont le mêmecentre. Le diamètre d’un cercle est un segment qui passe par son centre et a pour extrémités deuxpoints du cercle.

b

C

r

Cercle

b

Cercles concentriques

b d

Diamètre

Soit P et Q deux points d’un cercle. L’arc de cercle PQ est la partie du cercle délimitée par lespoints P et Q. La corde [PQ] est le segment joignant P à Q.

b

b

b

P

Q

Arc de cercle

b

P

Q

Corde

Le disque de centre C et de rayon r est l’ensemble des points du plan situés à distance inférieureou égale à r du point C. On appelle secteur circulaire la portion de disque comprise entre un arc etles 2 rayons qui aboutissent à ses extrémités.

37

b

C

Disque

b

C

Secteur circulaire

1.3 Polygônes

Un polygône est une figure plane délimitée par une ligne fermée constituée de segments de droite.Ces segments sont les côtés (c) du polygône et le point d’intersection de deux côtés est appelé sommet(S) du polygône. Une diagonale (d) d’un polygône est un segment de droite qui joint deux sommetsnon consécutifs. Un polygône est convexe si tout segment ayant ses extrémités sur le polygône y estinclus tout entier. Dans la suite, on ne considérera que des polygônes convexes.

b

b

bS

c

d

Un polygône est régulier si tous ses côtés ont même longueur et tous ses angles intérieurs ontmême amplitude. Voici un tableau reprenant les principaux polygônes réguliers, avec leur nombre decôtés et l’amplitude de leurs angles intérieurs :

Polygône Nombre de côtés Amplitude des anglestriangle 3 60◦

carré 4 90◦

pentagone 5 108◦

hexagone 6 120◦

heptagone 7 128, 57◦

octogone 8 135◦

décagone 10 144◦

dodécagone 12 150◦

38

Les polygônes réguliers possèdent les propriétés suivantes :

Proposition 3.3

1. Tout polygône régulier admet un axe de symétrie.

2. Tout polygône régulier peut être inscrit dans un cercle.

En effet, si le polygône a un nombre impair de côtés, toute droite joignant un sommet au milieudu côté opposé est un axe de symétrie. Si le polygône a un nombre pair de côtés, toute droite joignantun sommet au sommet opposé est un axe de symétrie et toute droite joignant le milieu de deux côtésopposés est aussi un axe de symétrie.

Tous les axes de symétrie d’un polygône se coupent en un point qui est le centre d’un cercle danslequel on peut inscrire le polygône. Le cercle circonscrit au polygône est le cercle centré en ce pointet passant par tous les sommets du polygône.

Théorème 3.4 La somme des mesures des angles d’un polygône à n côtés vaut (n− 2)× 180◦.

1.4 Triangles

Un triangle est un polygône à trois côtés. Il a également trois sommets et trois angles. Un trianglequi a 3 côtés égaux est dit équilatéral. Un triangle isocèle a 2 côtés de même longueur et un trianglescalène est un triangle ayant ses 3 côtés de longueur différente.

(a) Triangles quelconques

Un triangle quelconque est un triangle qui ne contient aucun angle droit. On utilise les lettresA,B,C pour les sommets du triangle, les lettres a, b, c pour les longueurs des côtés opposés à cessommets, et α, β, γ pour les angles en chacun des sommets.

bA b B

b

C

c

ba

α β

γ

Théorème 3.5 La somme des mesures des angles dans un triangle vaut toujours 180◦ = π radians,c’est-à-dire α+ β + γ = 180◦.

39

On déduit du Théorème de Thalès le résultat suivant.

Proposition 3.6 Dans tout triangle, la droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à unautre côté coupe le troisième côté en son milieu.Réciproquement, dans tout triangle, le segment joignant les milieux de deux des côtés est parallèleau troisième côté et sa longueur vaut la moitié de celle de ce troisième côté.

Médiatrices d’un triangle

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au milieu de ce segment. Tous lespoints de cette droite sont à même distance des extrémités du segment. Réciproquement, tout pointéquidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment.Cliquez sur le lien pour la construction de la médiatrice d’un segment.

Une médiatrice d’un triangle est une droite perpendiculaire au milieu d’un de ses côtés. Untriangle a donc 3 médiatrices. On peut démontrer la propriété suivante.

Théorème 3.7 Les trois médiatrice d’un triangle se coupent en un même point.


Le point d’intersection des trois médiatrices d’un triangle se trouve à égale distance des troissommets du triangle. Ce point est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Par trois pointsnon alignés, on peut donc faire passer un et un seul cercle.

b

Ab

B

b

C

b

b b

b O

Bissectrices d’un triangle

La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe cet angle en deux angles de même amplitude.Tous les points de cette droite sont à même distance des côtés de l’angle. Réciproquement, tout point

40

équidistant des côtés d’un angle appartient à la bissectrice de cet angle.Cliquez sur le lien pour la construction de la bissectrice d’un angle.

Une bissectrice d’un triangle est une droite qui coupe un de ses angles en deux angles de mêmeamplitude. Un triangle a donc 3 bissectrices. On peut démontrer la propriété suivante.

Théorème 3.8 Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un même point.


Le point d’intersection des trois bissectrices d’un triangle se trouve à égale distance des trois côtésdu triangle. Ce point est donc le centre du cercle inscrit au triangle. Ce cercle est tangent à chaquecôté du triangle.

b

A

b

B

b

C

b O

Médianes d’un triangle

Une médiane d’un triangle est une droite qui relie un des sommets au milieu du côté opposé.Un triangle a donc 3 médianes. On peut démontrer la propriété suivante.

Théorème 3.9 Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point.


Le point d’intersection des trois médianes est le centre de gravité du triangle. Il est situé surchaque médiane aux 2/3 de chacune d’elle à partir du sommet.

41

b

A

b

B

b

C

b O

Hauteurs d’un triangle

Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côtéopposé (ou à son prolongement). Un triangle a donc 3 hauteurs. On peut démontrer la propriétésuivante.

Théorème 3.10 Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point.


Le point d’intersection des trois hauteurs est l’orthocentre du triangle.

b O

b

A

b

B

b

C

42

(b) Triangles isocèles

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le troisième côté estappelé base du triangle. On peut montrer les propriétés suivantes.

Proposition 3.11 Dans un triangle isocèle,

1. les angles à la base ont même amplitude ;

2. la médiatrice de la base est égale à la bissectrice de l’angle opposé ;

3. la médiatrice de la base est aussi médiane ;

4. la médiatrice de la base est aussi hauteur.

(c) Triangles rectangles

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit estappelé hypoténuse du triangle rectangle. Le théorème principal dans les triangles rectangles est leThéorème de Pythagore.

Théorème 3.12 (Théorème de Pythagore) Dans un triangle rectangle, le carré de la longueurde l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit,si le triangle ABC est rectangle en C, alors

a2 + b2 = c2.

b

A

b

Bb

C a

b c


43

Les triangles rectangles possèdent les propriétés suivantes.

Proposition 3.13

1. Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.

2. On peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre est l’hypoténusedu triangle.

3. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse vaut la moitiéde la longueur de l’hypoténuse.

4. Dans un triangle rectangle, la carré de la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse estégal au produit des longueurs des segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

5. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d’un côté de l’angle droit est égal au produitde la longueur de l’hypoténuse par la longueur de sa projection orthogonale sur l’hypoténuse.

(d) Triangles semblables

Deux triangles sont semblables s’ils leurs angles ont deux à deux la même amplitude.

b b

b

A B

C

ab

c

b b

b

A’ B’

C’

a’b’

c’

Théorème 3.14 Dans les triangles semblables, les côtés correspondants sont proportionnels, c’est-à-dire

a

a′=

b

b′=

c

c′.

√Remarque : Ces égalités impliquent par exemple que a

c = a′

c′ ; ces valeurs sont donc égales pour tousles triangles semblables.

44

Les critères suivants permettent de voir si deux triangles sont semblables :

Proposition 3.15

1. Deux triangles sont semblables s’ils ont un angle de même amplitude dont les côtés corres-pondants sont proportionnels.

2. Deux triangles sont semblables s’ils ont deux angles correspondants de même amplitude.

3. Deux triangles sont semblables si leurs côtés correspondants sont proportionnels.

⋆ Par exemple, supposons qu’une personne de 1,80 m souhaite déterminer la hauteur d’un pont au dessusd’une rivière. Commençons par représenter la situation

•

•

• •

•

A

C

P

T

B

La personne se tient en A à un bout du pont et regarde le point T de la rivière en dessous de B.Il note P l’endroit où sa vision rencontre le pont. Ce point P permet de former deux triangles : lestriangles APC et BPT . Ces deux triangles sont semblables car ils ont deux angles égaux : un angledroit (respectivement en A et en B) et les deux angles en P . On peut maintenant calculer la hauteurdu pont en utilisant les relations dans les triangles semblables : si |AP | vaut 3 m et si |PB| vaut 12 m,alors

|AC||BT | =

|AP ||PB| =

3

12.

Donc |BT | = |AC|.123 = (1, 8).4 = 7, 2 m.

1.5 Quadrilatères

Un quadrilatère est un polygône à quatre côtés. Une diagonale d’un quadrilatère est un segmentde droite qui relie deux sommets opposés. Une médiane d’un quadrilatère est un segment de droitequi relie les milieux de deux côtés opposés.

Théorème 3.16 La somme des mesures des angles dans un quadrilatère vaut toujours 360◦.

(a) Trapèze

Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles. Ces côtés parallèles sont appelésles bases du trapèze. Un trapèze qui possède un angle droit est un trapèze rectangle. Un trapèzedont les deux côtés non parallèles ont même longueur est un trapèze isocèle.

45

Trapèze Trapèze rectangle Trapèze isocèle

Proposition 3.17 Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des deux côtés non parallèles estparallèle aux bases.

(b) Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Les côtés opposésd’un parallélogramme ont même longueur et ses angles opposés ont même amplitude.

Proposition 3.18 Dans un parallélogramme,

1. les diagonales se coupent en leur milieu ;

2. les médianes se coupent en leur milieu ;

3. les médianes sont parallèles aux côtés ;

4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point.

b

46

(c) Rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Proposition 3.19 Dans un rectangle,

1. les diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu ;

2. les médianes sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ;


4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit aurectangle.

b

(d) Losange

Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur.

47

Proposition 3.20 Dans un losange,

1. les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ;

2. les médianes ont mème longueur et se coupent en leur milieu ;



b

(e) Carré

Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Proposition 3.21 Dans un carré,

1. les diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont même longueur ;

2. les médianes sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont même longueur ;



48

b

1.6 Périmètre et aire de surfaces élémentaires

Voici les formules permettant de calculer le périmètre et la surface de quelques formes géométriquesde base.

(a) Disque et secteur

La longueur du cercle de rayon r a est le nombre l = 2πr.La surface du disque de rayon r est le nombre S = π r2.

r

La longueur de l’arc intercepté par un angle α sur un cercle de rayon r est donnée par L = rα,où α est mesuré en radians.

La surface du secteur circulaire de rayon r et d’angle α est le nombre S =r2α

2, où α est mesuré en

radians.

r

αL

49

(b) Triangle

Le périmètre du triangle de côtés a, b, c est le nombre P = a+ b+ c.

La surface du triangle de base B et de hauteur h est le nombre S =Bh

2.

B

h

S1

S′1

S2

S′2

En effet, les surfaces S1 et S′1 ainsi que S2 et S′

2 sont égales. La surface du triangle est donc la moitiéde celle du rectangle dans lequel il est inscrit.

(c) Rectangle

Le rectangle de longueur L et de largeur l a pour périmètre le nombre P = 2(L+ l) et sa surfaceest le nombre S = Ll.

L

l

En particulier, le carré de côté c a pour périmètre le nombre P = 4c et sa surface est le nombreS = c2.

(d) Parallélogramme

Le périmètre d’un parallélogramme de côtés non parallèles B et b est le nombre P = 2(B + b).La surface du parallélogramme de base B et de hauteur h est le nombre S = Bh.

B

hb

En effet, si on découpe le triangle hachuré à gauche et qu’on le colle à droite, on retrouve l’aire durectangle.

50

(e) Losange

Le losange de grande diagonale D et de petite diagonale d a pour périmètre le nombre P =

2√D2 + d2 et sa surface est le nombre S =

Dd

2.

D

d

En effet, la surface du losange est la moitié de celle du rectangle dans lequel il est inscrit.Son périmètre vaut 4c où c est la longueur du côté. Comme les diagonales sont perpendiculaires entreelles et se coupent en leur milieu, on déduit du Théorème de Pythagore que

c2 =

(D

2

)2

+

(d

2

)2

d’où c =

√D2

4+

d2

4=

1

2

√D2 + d2.

Le périmètre vaut donc P = 4c = 2√D2 + d2.

(f) Trapèze

Le trapèze de grande base B, de petite base b et de hauteur h a pour surface le nombreS = 1

2(B + b)h.

h

B

b

En effet, l’aire du trapèze est donnée par bh+ 12(B − b)h = 1

2(B + b)h.

1.7 Volume de solides élémentaires

On appelle polyèdre un solide limité de toutes parts par des portions de plans.

b

S

a

51

Les faces d’un polyèdre sont les polygones plans qui composent la surface du polyèdre. Les arêtes(a) d’un polyèdre sont les côtés des polygones qui forment les faces du polyèdre. Les sommets (S) dupolyèdre sont les extrémités des arêtes. Le développement d’un polyèdre est la figure plane obtenuepar la mise à plat de sa surface.

Un prisme est un polyèdre ayant pour base deux polygones égaux et parallèles et dont les faceslatérales sont des parallélogrammes.

h

La hauteur d’un prisme est la distance entre les plans des bases. C’est la hauteur de la perpendiculairecommune aux deux bases. Un prisme est droit lorsque les arêtes latérales sont perpendiculaires à labase, sinon on dit qu’il est oblique.

Un cylindre droit est un solide borné par une région plane B1, appelée la base et une régionidentique B2 dans un plan parallèle. Le cylindre est constitué de tous les points des segments perpen-diculaires à la base qui relient B1 à B2.

B1

B2

h

B1

B2

h

En général, si B désigne l’aire de la base et h la hauteur d’un solide, alors le volume V du solideest défini par la formule

V = Bh.

Voici les formules permettant de calculer le volume de quelques solides simples.

(a) Parallélipipède rectangle

Le parallélipipède rectangle dont la base est un rectangle de longueur L et de largeur l et dontla hauteur est h a pour volume le nombre V = Llh.

52

h

l

L

En particulier, le cube d’arête c a pour volume le nombre V = c3.

(b) Cylindre circulaire droit

Le cylindre circulaire droit dont la base est un disque de rayon r et dont la hauteur est h apour volume le nombre V = π r2 h.

h

r

(c) Sphère

La sphère de rayon r a pour volume le nombre V =4π r3

3.

53

r

1.8 Mesures et grandeurs

Les mesures et grandeurs que nous allons considérer ici sont : longueur, surface, volume, capacité,masse et durée. Dans chaque cas, nous donnons un tableau des unités de mesures ainsi que la manièrede les convertir.

(a) Longueur

Les unités de longueur sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L’unité de référence pour les unités de longueur est le mètre (m). Voici untableau d’équivalence concernant les unités de longueur.

Unités Abréviations Equivalenceskilomètre km 1 km = 1000 × 1 m

hectomètre hm 1 hm = 100 × 1 m

décamètre dam 1 dam = 10 × 1 m

mètre m 1 m = 1 m

décimètre dm 1 dm = 0,1 × 1 m

centimètre cm 1 cm = 0,01 × 1 m

millimètre mm 1 mm = 0,001 × 1 m

Pour passer d’une unité de longueur à une autre unité de longueur, il est utile d’utiliser le tableau deconversion des unités de longueur.

km hm dam m dm cm mm

⋆ Par exemple, combien font 25 cm en mm et en m? On construit le tableau suivant :

km hm dam m dm cm mm2 5

2 5 0

0, 2 5

On en conclut que 25 cm=250 mm=0,25 m.

54

(b) Surface

Les unités de surface sont des unités de mesure à 2 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 2 chiffres. L’unité de référence pour les unités de surface est le mètre carré (m2). Voiciun tableau d’équivalence concernant les unités de surface.

Unités Abréviations Equivalenceskilomètre carré km2 1 km2 = 1000000 × 1 m2

hectomètre carré hm2 1 hm2 = 10000× 1 m2

décamètre carré dam2 1 dam2 = 100 × 1 m2

mètre carré m2 1 m2 = 1 m2

décimètre carré dm2 1 dm2 = 0,01 × 1 m2

centimètre carré cm2 1 cm2 = 0,0001 × 1 m2

millimètre carré mm2 1 mm2 = 0,000001 × 1 m2

Pour passer d’une unité de surface à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unitésde surface.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

⋆ Par exemple, combien font 25 cm2 en mm2 et en m2 ? On construit le tableau suivant :


2 5

2 5 0 0

0, 0 0 2 5

On en conclut que 25 cm2=2500 mm2=0,0025 m2.

√Remarque : Pour mesurer les surfaces, on utilise aussi les ares (a) et les hectares (ha).

1 a = 100 m2

1 ha = 100 a = 10000 m2

(c) Volume

Les unités de volume sont des unités de mesure à 3 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 3 chiffres. L’unité de référence pour les unités de volume est le mètre cube (m3). Voiciun tableau d’équivalence concernant les unités de volume.

Unités Abréviations Equivalenceskilomètre cube km3 1 km3 = 1 000 000 000 × 1 m3

hectomètre cube hm3 1 hm3 = 1 000 000× 1 m3

décamètre cube dam3 1 dam3 = 1000 × 1 m3

mètre cube m3 1 m3 = 1 m3

décimètre cube dm3 1 dm3 = 0,001 × 1 m3

centimètre cube cm3 1 cm3 = 0,000001 × 1 m3

millimètre cube mm3 1 mm3 = 0,000000001 × 1 m3

Pour passer d’une unité de volume à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unitésde volume.

55


⋆ Par exemple, combien font 25 cm3 en mm3 et en m3 ? On construit le tableau suivant :


2 5

2 5 0 0 0

0, 0 0 0 0 2 5

On en conclut que 25 cm3=25000 mm3=0,000025 m3.

(d) Capacité

Les unités de capacité sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L’unité de référence pour les unités de capacité est le litre (l). Voici un tableaud’équivalence concernant les unités de capacité.

Unités Abréviations Equivalenceskilolitre kl 1 kl = 1000 × 1 l

hectolitre hl 1 hl = 100 × 1 l

décalitre dal 1 dal = 10 × 1 l

litre l 1 l = 1 l

décilitre dl 1 dl = 0,1 × 1 l

centilitre cl 1 cl = 0,01 × 1 l

millilitre ml 1 ml = 0,001 × 1 l

Pour passer d’une unité de capacité à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unitésde capacité.

kl hl dal l dl cl ml

⋆ Par exemple, combien font 25 dl en ml et en l ? On construit le tableau suivant :

kl hl dal l dl cl ml2 5

2 5 0 0

2, 5

On en conclut que 25 dl=2500 ml=2,5 l.

√Remarque : Un litre d’eau occupe un volume de 1 dm3. On peu donc utiliser le tableau suivant pourpasser d’une capacité à un volume et réciproquement.

kl hl dal l dl cl mlkm3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

⋆ Par exemple, combien font 25 dl d’eau en m3 et en mm3 ? Combien font 3 cm3 d’eau en l et en ml ?On construit le tableau suivant :

56

kl hl dal l dl cl mlkm3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

2 5

0, 0 0 2 5

2 5 0 0 0 0 0

3

0, 0 0 3

On en conclut que 25 dl=0,0025 m3=2500000 mm3 et 3 cm3=0,003 l=3 ml.

(e) Masse

Les unités de masse sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L’unité de référence pour les unités de masse est le gramme (g). Voici untableau d’équivalence concernant les unités de masse.

Unités Abréviations Equivalenceskilogramme kg 1 kg = 1000 × 1 g

hectogramme hg 1 hg = 100 × 1 g

décagramme dag 1 dag = 10 × 1 g

gramme g 1 g = 1 g

décigramme dg 1 dg = 0,1 × 1 g

centigramme cg 1 cg = 0,01 × 1 g

milligramme mg 1 mg = 0,001 × 1 g

Pour passer d’une unité de masse à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unitésde masse.

kg hg dag g dg cg mg

⋆ Par exemple, combien font 25 g en mg et en kg ? On construit le tableau suivant :

kg hg dag g dg cg mg2 5

2 5 0 0 0

0, 0 2 5

On en conclut que 25 g=25000 mg=0,025 kg.

(f) Temps

Les unités de durée sont des unités de mesure particulières. Contrairement aux autres unités demesure, il n’existe pas de coefficient de passage unique. L’unité de référence pour les unités de duréeest la seconde (s). Voici un tableau d’équivalence concernant les unités de temps.

Unités Abréviations Equivalencesjour j 1 j = 24 h

heure h 1 h = 60 min=3600 s

minute min 1 min = 60 s

seconde s 1 s = 1 s

Passer d’une unité de durée à une autre est plus difficile que dans les autres cas. Il faut pour celautiliser la dernière colonne du tableau ci-dessus.

57

⋆ Par exemple, combien font 3h25 en secondes ?On a 3 h 25 = 3 · 3600 + 25 · 60 = 10800 + 1500 = 12300 s.

⋆ Combien font 1000000 secondes en heures ?On a

1000000 = 360000 · 2 + 36000 · 7 + 3600 · 7 + 60 · 46 + 40= 200 · 3600 + 70 · 3600 + 7 · 3600 + 46 · 60 + 40= 277 · 3600 + 46 · 60 + 40= 277 h 46 min 40 s= 1 j 13 h 46 min 40 s

58


1. Combien font 25 dam en km?

Solution détaillée : On construit le tableau suivant :

km hm dam m dm cm mm

2 50, 2 5

On en conclut que 25 dam=0,25 km.

2. Combien font 250 cm2 en m2 ?



2 5 00, 0 2 5

On en conclut que 250 cm2=0,025 m2.

3. Combien font 0,5 m3 en cm3 ?



0, 55 0 0 0 0 0

On en conclut que 0,5 m3=500000 cm3.

4. Combien d’eau font 3 l en cm3 ?


kl hl dal l dl cl ml

dam3 m3 dm3 cm3 mm3

33 0 0 0

On en conclut que 3 l=3 dm3=3000 cm3.

5. Combien font 100 km/h en m/s ?

Solution détaillée : On a100 km −→ 1 h100000 m −→ 3600 s100000

3600m −→ 1 s

La vitesse est donc100000

3600=

250

9mètres par seconde.

6. Combien font 2 m/s en km/h ?

Solution détaillée :2 m −→ 1 s

2 · 3600 m −→ 3600 s7200 m −→ 1 h

La vitesse est donc 7200 m/h, c’est-à-dire 7,2 km/h.

59

7. Une personne se déplaçant à une vitesse constante parcourt 2 km en 30 minutes.

(a) Quelle est sa vitesse ?

(b) Quelle distance parcourra-t-elle en 45 min ? en 75 min ?


(a) Parcourir 2 km en 30 minutes, revient à faire 4 km en une heure.Sa vitesse est donc 4 km/h.

(b) Parcourir 2 km en 30 minutes, revient à faire 1 km en 15 minutes et donc 3 km en 45minutes et 5 km en 75 minutes.

8. Calculer la longueur de la diagonale du cube d’arête c.


•

•

•

•

A

C

•

•

•

• B

D

E

FG

H

d

c

c

c

La diagonale du cube d’arête c est la diagonale du rectangle ACFE et est telle que

d2 = |AC|2 + |CF |2 = |AC|2 + c2.

• •

••A C

FE

d

D’autre part, AC est la diagonale du carré ABCD et donc

|AC|2 = c2 + c2 = 2c2.

• •

••A B

CD

60

Finalement on obtient d2 = 2c2 + c2 = 3c2 et donc la longueur de la diagonale du cube estd =

√3 c.

9. Pour mesurer la hauteur d’un arbre, on place un bâton de 1 m de haut à 10 m de son tronc.En visant le sommet du bâton à 2 m de ce bâton, on constate qu’il est aligné avec le sommetde l’arbre. Déterminer la hauteur de cet arbre.

Solution détaillée : Nous pouvons représenter la situation par deux triangles rectanglesemboîtés.

a′

b′

b

a

où a′ représente la hauteur de l’arbre et b′ celle du bâton. On a b = 2 m, b′ = 1 m, a = 2+ 10m et par Thalès

a′

a=

b′

b

d’où a′ = b′

b · a = 12 · 12 = 6 m.

10. Un pendule oscille au bout d’une corde de 50 cm. Sachant que l’angle décrit est de 60◦, trouverla longueur de l’arc décrit.


b

50

60◦

On a r = 50 cm, θ = 60◦ = π3 radians. Donc L = rθ = 50 · π

3 cm.

11. Que faire pour doubler le volume d’un parallélipipède rectangle ? Que devient son aire latérale ?

Solution détaillée : Pour doubler le volume d’un parallélipipède rectangle, il faut doublerune de ses dimensions, par exemple sa hauteur.Si L représente la longueur de la base, l sa largeur et h la hauteur, l’aire latérale du paralléli-pipède de départ est donné par A = 2(Ll+ lh+ Lh).Si on double sa hauteur, cette aire latérale devient A′ = 2(Ll + 2lh+ 2Lh).

61

12. Etes-vous capable de porter un rouleau de fil de cuivre mesurant 100 m de long et 3 mm dediamètre, si 1 dm3 de cuivre pèse 8,9 kg ?

Solution détaillée : On a l = 100 m=100000 mm, d = 3 mm et donc r = 1, 5 mm. Le volumedu rouleau est donné par

V = π r2 l = π · (1, 5)2 · 100000 = 706858, 3 mm3 = 706, 86 cm3 ≈ 0, 71 dm3.

Puisque 1 dm3 pèse 8, 9 kg, on en déduit que 0, 71 dm3 pèsent 0, 71 · 8, 9 = 6, 3 kg.On peut donc le porter.

62

3 Preuves

Preuve 9

Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit m1 médiatrice du côté AB, m2 médiatrice du côtéAC et m3 médiatrice du côté BC. Soit X le point d’intersection de m1 et m2. Voyons que m1, m2 etm3 se coupent au point X.Puisque X ∈ m1, on a que les segments XA et XB sont de même longueur. De même, puisque X ∈ m2,on a que les segments XA et XC sont de même longueur. On endéduit que les segments XB et XCsont de même longueur et donc que X est un point de la médiatrice m3.

b

b b

b

A B

C

X

m1

m2

m3

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63

Preuve 10

Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit b1 bissectrice de l’angle BAC, b2 bissectrice de l’angleABC et b3 bissectrice de l’angle BCA. Soit X le point d’intersection de b1 et b2. Voyons que b1, b2 etb3 se coupent au point X.Tous les points de la droite b1 sont à même distance des côtés AB et AC et tous les points de la droiteb2 sont à même distance des côtés BA et BC. Puisque X ∈ b1 et X ∈ b2, on a que X est à mêmedistance des côtés AC et BC. On en déduit que X est un point de la bissectrice b3.

b

b b

b

A B

C

X

b3

b2 b1

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64

Preuve 11

Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit A′ le milieu du segment BC, B′ le milieu du segmentAC et C ′ le milieu du segment AB.

On déduit de la Proposition 3.6 que C ′B′ ‖ BC et que la longueur du segment BC est le doublede celle du segment B′C ′.

De même, la longueur du segment AB est le double de celle du segment A′B′ et la longueur dusegment AC est le double de celle du segment A′C ′.

Les triangles ABC et A′B′C ′ sont donc semblables et le triangle A′B′C ′ est l’image du triangleABC par une homothétie. Les droites AA′, BB′ et CC ′ sont donc concourantes.

b

b b

A

B CA′

B′C ′

b

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65

Preuve 12

Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit h1 hauteur passant par A, h2 hauteur passant par Bet h3 hauteur passant par C.Traçons la droite a passant par A et parallèle au côté BC, la droite b passant par B et parallèle aucôté AC et la droite c passant par C et parallèle au côté AB. Soit A′ le point d’intersection de b et c,B′ le point d’intersection de a et c et C ′ le point d’intersection de a et b.

Puisque b ‖ AC et a ‖ BC, on en déduit que ACBC ′ est un parallélogramme et donc les segmentsC ′A et BC ont même longueur. De même, puisque c ‖ AB et a ‖ BC, on en déduit que AB′CB est unparallélogramme et donc les segments AB′ et BC ont même longueur. Cela implique que les segmentsC ′A et AB′ ont même longueur et donc A est au milieu du segment B′C ′.De plus, h1 ⊥ BC et BC ‖ B′C ′ donc h1 ⊥ B′C ′.On en déduit que h1 est la médiatrice du segment B′C ′.

De la même façon, on montre que h2 est la médiatrice du segment A′C ′ et h3 est la médiatrice dusegment A′B′.Puisque les trois médiatrices du triangle A′B′C ′ se coupent en un même point, on en déduit que h1,h2 et h3 se coupent en un même point.

b

bbA

B C

A′

B′C ′

h2

h1 h3

b

b b

a

b

c

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66

Preuve 13

Théorème de Pythagore – Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse estégal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle ABC estrectangle en C, alors

a2 + b2 = c2.

Construisons un carré de côté a+ b et décomposons-le de deux manières différentes :

b a

a b

a

b

b

a

c

cc

c

c2

ab2

ab2

ab2

ab2

b a

b a

a

b

a

b

ab2

ab2

ab2

ab2

b2

a2

L’aire du premier carré est égale à

c2 + 4ab

2= c2 + 2ab.

Celle du deuxième carré est égale à

a2 + b2 + 4ab

2= a2 + b2 + 2ab.

Puisque les deux aires sont égales, on obtient a2 + b2 = c2.

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67

Construction de la médiatrice d’un segment

Soit A et B deux points du plan. Pour construire la médiatrice du segment joignant A à B :• choisir un nombre réel r > 0 supérieur à la moitié de la distance entre A et B ;• tracer un arc de cercle de centre A et de rayon r ;• tracer un arc de cercle de centre B et de rayon r ;• ces deux arcs de cercle se coupent aux points P et Q ;• la droite PQ est la médiatrice du segment reliant A et B.

A B

r

A B

rr

A B

P

Q

rr

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68

Construction de la bissectrice d’un angle

Soit O, A et B trois points du plan. Pour construire la bissectrice de l’angle AOB :• choisir un nombre réel r > 0 ;• tracer un arc de cercle de centre O et de rayon r ;• cet arc coupe les côtés de l’angle aux points P et Q ;• tracer un arc de cercle de centre P et de rayon r ;• tracer un arc de cercle de centre Q et de rayon r ;• ces deux arcs se coupent au point C ;• la droite OC est la bissectrice de l’angle AOB.

QP

B

O

A

r

QP

rB

O

A

r

C

QP

rB

O

A

r

rC

QP

rB

O

A

r

r

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69

Chapitre 4

Calcul algébrique

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.1 Priorité des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.2 Règle des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.4 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

(a) Opérations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

(b) Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple . . . . . . . . . . 73

1.5 Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.6 Puissances n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

(a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

(b) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.7 Racine n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

(a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

(b) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

(c) Calcul avec des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

(d) Remarque importante sur la racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.8 Valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

(a) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

(b) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

70

1 Théorie

1.1 Priorité des opérations

Pour effectuer le calcul d’une expression algébrique, il faut procéder dans l’ordre suivant :

• calculer les expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses intérieures,• calculer les numérateurs et dénominateurs de fractions,• calculer les expressions sous un radical,• calculer les puissances et les racines,• effectuer les produits et les quotients,• effectuer les sommes et les différences.

1.2 Règle des parenthèses

Lors du calcul de sommes ou de différences où interviennent des parenthèses :

• on peut supprimer les parenthèses précédées du signe + sans changer les signes des opérations situéesdans la parenthèse,• on peut supprimer les parenthèses précédées du signe − à condition de changer les signes desopérations situées dans la parenthèse.On a donc

a+ (b+ c) = a+ b+ ca+ (b− c) = a+ b− ca− (b+ c) = a− b− ca− (b− c) = a− b+ c

1.3 Produit

Le produit de deux nombres réels de même signe est un nombre réel positif. Le produit de deuxnombres réels de signes différents est un nombre réel négatif. Pour a, b, c ∈ R, on a

a · (−b) = (−a) · b = −ab et (−a) · (−b) = ab.

Dans l’ensemble des nombres réels, on peut distribuer la multiplication par rapport à l’addition.Pour a, b, c ∈ R, on a

a(b+ c) = ab+ ac et (a+ b)c = ac+ bc.

Ces propriétés sont utilisées pour effectuer des produits particuliers. On obtient ainsi les produitsremarquables suivants : pour a, b ∈ R, on a

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (a− b)(a+ b) = a2 − b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

⋆ Par exemple,

(2x+ 3)2 = 4x2 + 12x+ 9 (x− 2)(x + 2) = x2 − 4(x− 1)2 = x2 − 2x+ 1 (x− 2)(x2 + 2x+ 4) = x3 − 8(x+ 2)3 = x3 + 6x2 + 12x+ 8 (x+ 3)(x2 − 3x+ 9) = x3 + 27(x− 1)3 = x3 − 3x2 + 3x− 1

71

1.4 Fractions

Définition 4.1 Une fraction ab est le quotient de deux nombres entiers a et b. Le nombre a est

appelé le numérateur et le nombre b est le dénominateur (b 6= 0).

(a) Opérations sur les fractions

Simplification de fractions

On peut toujours écrire

a

a= 1,

a

1= a,

a

−1= −a,

0

a= 0.

Pour simplifier une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur. On simplifie alors lestermes communs aux numérateur et dénominateur.

a · db · d =

a

b, où b, d 6= 0.

⋆ Par exemple,25

35=

5 · 57 · 5 =

5

7et

8a3b5c2

12a2b7c=

4a2b5c(2ac)

4a2b5c(3b2)=

2ac

3b2.

Pour revoir la factorisation, cliquez ici.

Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseurdes numérateur et dénominateur.

⋆ Par exemple,24

160=

23 · 325 · 5 =

23 · 323 · 22 · 5 =

3

20. En effet, le P.G.C.D. des nombres 24 et 160 est 23 = 8.

Pour revoir le calcul du P.G.C.D., cliquez ici.

Somme et différence de deux fractions

Pour additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on additionne les numé-rateurs entre eux. Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on soustraitles numérateurs.

a

b+

c

d=

a · db · d +

b · cb · d =

ad+ bc

bd, où b, d 6= 0

eta

b+ c =

a

b+

c

1=

a

b+

b · cb

=a+ bc

b, où b 6= 0.

⋆ Par exemple,1

2+

2

5=

1 · 5 + 2 · 22 · 5 =

9

10et

11

12− 2

6=

11− 2 · 22 · 6 =

7

12.

Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoircalculer leur plus petit commun multiple.

Pour revoir le calcul du P.P.C.M., cliquez ici.

72

Multiplication de deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entreeux.

a

b· cd=

ac

bd, où b, d 6= 0.

⋆ Par exemple,2

3· 57=

2 · 53 · 7 =

10

21.

Division de deux fractions

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la seconde.

a

b/c

d=

a

b· dc=

ad

bc, où b, c, d 6= 0,

a

b/c =

a

b· 1c=

a

bc, où b, c, d 6= 0,

a/c

d=

a

1· dc=

ad

c, où b, c, d 6= 0.

⋆ Par exemple,25

32/35

64=

25

32· 6435

=5 · 5 · 32 · 232 · 7 · 5 =

5 · 27

=10

7.

(b) Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseur(P.G.C.D.) des numérateur et dénominateur.

Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoircalculer leur plus petit commun multiple (P.P.C.M.).

Recherche du P.P.C.M. et P.G.C.D. de deux ou plusieurs nombres entiers

1. Décomposer chaque nombre en facteurs premiers, c.à.d. en un produit de nombres premiers.

2. - Le P.P.C.M. (plus petit commun multiple) est le produit de tous les facteurs premiers, chacunétant pris avec son plus grand exposant.- Le P.G.C.D. (plus grand commun diviseur) est le produit des facteurs premiers communs,chacun étant pris avec son plus petit exposant.

⋆ Par exemple, calculons le P.P.C.M. et le P.G.C.D. des nombres 360 , 500 , 300 . On a

360 2 500 2 300 2180 2 250 2 150 290 2 125 5 75 345 3 25 5 25 515 3 5 5 5 55 5 1 11

et donc 360 = 23 · 32 · 5, 500 = 22 · 53 et 300 = 22 · 3 · 52.Le P.P.C.M. de ces 3 nombres est 23 · 32 · 53 = 9000.Le P.G.C.D. de ces 3 nombres est 22 · 5 = 20.

73

1.5 Proportions

Définition 4.2 Soit a, c ∈ R et b, d ∈ R0. L’expressiona

b=

c

dest une proportion.

Dans cette expression, les termes a et d sont appelés les extrêmes et les termes b et c sont lesmoyens.

Dans une proportion, le produit des moyens est toujours égal au produit des extrêmes.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

En particulier, xy = 3

2 ne signifie pas nécessairement que x = 3 et y = 2 mais que 2x = 3y. Donc,x = 6 et y = 4 conviennent aussi par exemple.

1.6 Puissances n-ième

(a) Définition

Lorsqu’on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, comme 2 · 2 · 2 · · · · · 2, n fois (où n estentier positif), on définit la puissance nième de 2. On notera ce nombre 2n qu’on peut aussi lire comme“2 exposant n”.

Définition 4.3 Soit a ∈ R0, n ∈ N0. La puissance n-ième de a est le nombre réel obtenu enmultipliant a n fois par lui-même

an = a · a · . . . · a, (n facteurs, n > 1).

Pour tout a ∈ R0, n ∈ N0, on a

a0 = 1,

a1 = a,

a−n =1

an,

0n = 0.

⋆ Par exemple, on a 100 = 20 = 80 = 1, 121 = 12, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, π2 = π · π,

3−4 =1

34=

1

81, 03 = 010 = 0.

√Remarque :• 00 n’est pas défini.• Toute puissance d’un réel positif est positive.• Toute puissance d’un réel négatif est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant estimpair.

74

(b) Propriétés

Les puissances entières vérifient les propriétés suivantes : pour tout a, b ∈ R0 , m, n ∈ Z, on a

(a · b)m = am · bm,(ab

)m=

am

bm,

(am)n = am·n,

am · an = am+n,

am

an= am · a−n = am−n.

⋆ Par exemple (2 · 3)3 = 23 · 33,(4

7

)2

=16

49, (102)3 = 106, 23 · 22 = 25,

23

24=

1

2.

On peut étendre la notion de puissance à des exposants fractionnaires.

1.7 Racine n-ième

(a) Définition

Définition 4.4 Soit a ∈ R0, n ∈ N0. La racine n-ième de a est le nombre réel b tel que bn = a.On la note b = n

√a = a1/n. Le naturel n est l’indice de la racine et le réel a est le radicand.

⋆ Par exemple, 23 = 8 ⇒ 2 = 3√8 = 81/3.

√Remarque :• Si n est pair alors a doit être positif (ceci est la condition d’existence de la racine n-ième).• Si n est impair et a < 0 , on pose n

√a = − n

√−a.

⋆ Par exemple, 3√−8 = − 3

√8 = −2.

De manière plus générale, on peut définir les puissances rationnelles de a :

am/n = n√am,

a−m/n =1

n√am

, où a 6= 0.

⋆ Par exemple, 23/4 =4√23, 3−2/3 =

13√32

.

75

(b) Propriétés

Les puissances rationnelles d’un nombre positif vérifient les propriétés suivantes : si a, b ∈ R+,m,n ∈ N0, on a

n√an = ( n

√a)n = a,

n√ab = n

√a · n

√b,

n

√a

b=

n√a

n√b, où b 6= 0

n√am = ( n

√a)m,

n

√m√a = n·m

√a.

⋆ Par exemple, 3√14 = 3

√7 · 3

√2,√

32 =

√3√2, 3√49 = ( 3

√7)2,

3√√

3 = 6√3.

√Remarque :• 0−n (n ∈ N) n’est pas défini dans R.• ∀a, b ∈ R+

0 , n ∈ N : n√a+ b 6= n

√a+ n

√b.

⋆ Par exemple,√13 6=

√4 +

√9.

•√

(−2)(−8) 6=√

(−2)√

(−8)

•√

(−5)2 6= (−5)2/2

• 3√2 =

6√22 mais 3

√−8 6= 6

√(−8)2

(c) Calcul avec des racines

On ne peut aditionner ou soustraire que des racines semblables, c’est-à-dire de même indice etmême radicand.

√Remarque : Attention : n

√a+ n

√b 6= n

√a+ b.

⋆ Par exemple, 4√a+ 3 4

√a− 2 4

√a = 2 4

√a et

3√24 + 5 3

√3− 3

√81 = 2 3

√3 + 5 3

√3− 3 3

√3 = 4 3

√3.

Pour multiplier et diviser des racines, on les réduit au même indice et on applique les propriétés.Afin de simplifier les calculs de sommes et produits de radicaux d’indices différents, on est amené àcalculer le plus petit commun multiple des indices.

⋆ Par exemple, 6√a · 4

√a =

12√a2 · 12

√a3 =

12√a2 · a3 = 12

√a5 (a ∈ R+).

3√256 =

3√28 =

3√23 · 23 · 22 = 2 · 2 · 3

√22 = 4

3√4.

Il est bien souvent utile de pouvoir rendre rationnel le dénominateur d’une fraction. Pour cela, onse rappelle que √

a · √a = a

et(√a+

√b)(

√a−

√b) = a− b.

Par conséquent,• si le dénominateur est de la forme a

√b , on multiplie le numérateur et le dénominateur par

√b.

76

⋆ Par exemple, 1+√8

3√2

= (1+√8)√2

3√2√2

=√2+

√8·√2

6 =√2+46 .

• si le dénominateur est de la forme (√a+

√b) , on multiplie le numérateur et le dénominateur par

(√a−

√b) qu’on appelle binôme conjugué.

⋆ Par exemple, 1√5+

√2=

√5−

√2

(√5+

√2)(

√5−

√2)

=√5−

√2

5−2 =√5−

√2

3 .

(d) Remarque importante sur la racine carrée

La racine carrée est définie pour les nombres réels positifs. Son résultat est un nombre réel positif.Pour plus de détails concernant la fonction “racine carrée”, cliquez ici.Par conséquent, on a √

9 = 3 (et pas√9 = −3!)

Par contre, il existe deux nombres réels dont le carré est égal à un nombre donné.On a donc x2 = 9 si et seulement si x = 3 ou x = −3. Cela est dû au fait que

√x2 = |x| = ±x et donc

x2 = 9 ⇔√x2 =

√9 ⇔ ±x = 3 ⇔ x = ±3.

Pour plus de détails concernant la valeur absolue, cliquez ici.

Voici où peut mener une mauvaise utilisation des racines :

4− 10 = 9− 15

donc

22 − 2.2.5

2= 32 − 2.3.

5

2

donc

22 − 2.2.5

2+ (

5

2)2 = 32 − 2.3.

5

2+ (

5

2)2

donc

(2− 5

2)2 = (3− 5

2)2

donc ( ! ! ! !)

2− 5

2= 3− 5

2

donc2 = 3

1.8 Valeur absolue et distance

(a) Définitions

Définition 4.5 A partir du point de la droite réelle qui est associé à chaque nombre réel, on définitla valeur absolue d’un nombre a comme la distance de ce nombre à 0 et on l’écrit |a|.

77

⋆ Par exemple, puisque le point 2 est à deux unités du point 0, la valeur absolue de 2 est 2. Puisque −3est à trois unités du point 0, la valeur absolue de −3 est 3, soit −(−3). De façon générale,

|a| ={

a si a ≥ 0,−a si a < 0.

⋆ Par exemple, on a

|3x− 2| ={

3x− 2 si x ≥ 2/3,2− 3x si x < 2/3.

De la définition, il ressort directement que la valeur absolue d’un nombre est toujours un nombrepositif ou nul, qu’un nombre est toujours inférieur ou égal à sa valeur absolue et que les nombresopposés ont même valeur absolue.

⋆ Par exemple,| −

√2| = |

√2| =

√2,

ou pour un nombre a quelconque,|a| = | − a|.

La proposition suivante donne le lien entre la valeur absolue et la racine carrée.

Si a est un nombre réel, alors|a|2 = a2,

d’où, en prenant la racine carrée positive :

|a| =√a2.


Définition 4.6 Si a et b sont des nombres réels quelconques, la distance entre a et b est la valeurabsolue de la différence, à savoir |a− b|, qui est aussi égale à |b− a|.

(b) Propriétés

On suppose que a et b sont des nombres réels et que n est un entier. On a

1. |ab| = |a||b|,

2.∣∣∣ab

∣∣∣ = |a||b| , (b 6= 0)

3. |an| = |a|n,

4. |a+ b| ≤ |a|+ |b| (inégalité triangulaire),

5. |a− b| ≥ |a| − |b|.

78

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.

Pour résoudre des équations ou des inéquations qui contiennent des valeurs absolues, il est souventutile de faire appel aux énoncés suivants. Supposons a > 0, on a

6. |x| = a si et seulement si x = a ou x = −a,

7. |x| < a si et seulement si −a < x < a,

8. |x| > a si et seulement si x > a ou x < −a.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.

79


1. Simplifier l’expression2/3 + 3/4

5/6− 7/8.

Solution détaillée : Commençons par calculer le numérateur.

2

3+

3

4=

2 · 4 + 3 · 33 · 4 =

8 + 9

12=

17

12.

Calculons ensuite le dénominateur. Le P.P.C.M. entre 6 et 8 est 24, donc

5

6− 7

8=

5 · 46 · 4 − 7 · 3

8 · 3 =20

24− 21

24= − 1

24.

On peut finalement écrire

2/3 + 3/4

5/6− 7/8=

17/12

−1/24=

17

12·(−24

1

)= −34.

2. Simplifier l’expression

(a2b3c−2

a3b2c

)−1

.

Solution détaillée : On calcule

a2b3c−2

a3b2c= a2−3b3−2c−2−1 = a−1b1c−3 =

b

ac3.

Donc (a2b3c−2

a3b2c

)−1

=

(b

ac3

)−1

=ac3

b.

3. Simplifier l’expressionn

√3√a2nb3n.

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire

n

√3√a2nb3n = (

3√a2nb3n)1/n = ((a2nb3n)1/3)1/n.

Par les propriétés, on a

((a2nb3n)1/3)1/n = (a2nb3n)1/3n = a2n/3nb3n/3n = a2/3b =3√a2b.

4. Calculer 26√a2 − 3

√27a+ 3

√a.

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire

26√a2 − 3

√27a+ 3

√a = 2a2/6 − 271/3a1/3 + a1/3 = 2a1/3 − 3a1/3 + a1/3 = 0.

5. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction3√2 +

√3√

6.

Solution détaillée : En multipliant haut et bas par√6, on obtient

3√2 +

√3√

6=

(3√2 +

√3)√6

6=

3√12 +

√18

6.

Comme√12 =

√4 · 3 =

√4√3 = 2

√3 et

√18 =

√9 · 2 =

√9√2 = 3

√2, on obtient finalement

3√2 +

√3√

6=

3√12 +

√18

6=

6√3 + 3

√2

6=

√3 +

√2

2.

80

6. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction

√14 +

√15√

7−√5

.

Solution détaillée : En multipliant haut et bas par le binôme conjugué du dénominateur√7 +

√5, on obtient

√14 +

√15√

7−√5

=(√14 +

√15)(

√7 +

√5)

(√7−

√5)(

√7 +

√5)

=

√14√7 +

√14√5 +

√15√7 +

√15√5

7− 5

=

√2 · 7 · 7 +

√2 · 7 · 5 +

√3 · 5 · 7 +

√3 · 5 · 5

2

=7√2 +

√70 +

√105 + 5

√3

2.

7. Résoudre |2x− 5| = 3.

Solution détaillée : En vertu de la Propriété 6 des valeurs absolues, |2x−5| = 3 est équivalentà

2x− 5 = 3 ou 2x− 5 = −3.

Aussi, 2x = 8 ou 2x = 2. D’où x = 4 ou x = 1. La solution est l’ensemble à deux élémentsS = {1, 4}.

√Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d’équations, allez voir la sectionEquations.

8. Résoudre l’inéquation |3x+ 2| ≥ 4.

Solution détaillée : Eu égard aux Propriétés 6 et 8, |3x+ 2| ≥ 4 est équivalent à

3x+ 2 ≥ 4 ou 3x+ 2 ≤ −4.

Dans le premier cas, 3x ≥ 2 ou x ≥ 23 . Dans le second cas, 3x ≤ −6, qui donne x ≤ −2. La

solution est donc

{x ∈ R : x ≤ −2 ou x ≥ 23} =]−∞,−2] ∪ [ 23 ,∞[.

√Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d’inéquations, allez voir la sectionInéquations.

9. Résoudre l’équation |x+ 3| = |2x+ 1|.Solution détaillée : On a

|x+ 3| ={

x+ 3 si x ≥ −3,−x− 3 si x < −3.

|2x+ 1| ={

2x+ 1 si x ≥ − 12 ,

−2x− 1 si x < − 12 .

Ceci nous détermine trois régions de la droite réelle :Si x < −3, l’équation devient −x−3 = −2x−1, c’est-à-dire x = 2. Ceci est impossible puisquex < −3.Si −3 ≤ x < − 1

2 , l’équation devient x+ 3 = −2x− 1, c’est-à-dire x = − 43 .

Si x ≥ − 12 , l’équation devient x+ 3 = 2x+ 1, c’est-à-dire x = 2.

On obtient ainsi la solution de l’équation S = {− 43 , 2}.

81

√Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d’équations, allez voir la sectionEquations.

10. Ecrire avec des valeurs absolues l’intervalle [−3,+7 ].

Solution détaillée : L’intervalle [−3,+7 ] est de longueur 10. Il faut donc que la valeurabsolue soit inférieure ou égale à 5. On obtient

[−3, 7] = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 7}= {x ∈ R : −5 ≤ x− 2 ≤ 5}= {x ∈ R : |x− 2| ≤ 5}

82

3 Preuves

Preuve 14

Si a est un nombre réel, alors|a|2 = a2,

d’où, en prenant la racine carrée positive :

|a| =√a2.

Si a ≥ 0, alors |a| = a et la proposition est clairement vérifiée.

Si a < 0, alors |a| = −a et donc

|a|2 = (−a)2 = a2.

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83

Preuve 15

1. |ab| = |a||b|,

2.∣∣∣ab

∣∣∣ = |a||b| , (b 6= 0)

3. |an| = |a|n,

4. |a+ b| ≤ |a|+ |b| (inégalité triangulaire),

5. |a− b| ≥ |a| − |b|.

Les propriétés 1 et 2 sont évidentes par définition de la valeur absolue.

3. En utilisant la Propriété 1, on obtient

|an| = |a · a · · · a| = |a| · |a| · · · |a| = |a|n.

4. Comme ab ≤ |ab| = |a||b|, on a aussi2ab ≤ 2|a||b|.

Alors,

(|a+ b|)2 = (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

≤ a2 + 2|a||b| + b2

≤ |a|2 + 2|a||b| + |b|2≤ (|a|+ |b|)2

Puisque les deux nombres élevés au carré sont positifs, la même inégalité subsiste entre leurs racinescarrées.

5. On peut écrire successivement

|a| = |(a− b) + b| ≤ |a− b|+ |b|.

L’ingalité attendue s’obtient en faisant passer |b| dans l’autre membre.

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84

Preuve 16

6. |x| = a si et seulement si x = a ou x = −a,

7. |x| < a si et seulement si −a < x < a,

8. |x| > a si et seulement si x > a ou x < −a.

On va à chaque fois considérer séparément les cas x > 0 et x < 0.

6. Si x > 0, on a |x| = x et donc |x| = a ⇔ x = a.Si x < 0, on a |x| = −x et donc |x| = a ⇔ −x = a ⇔ x = −a.

7. Si x > 0, on a |x| = x et donc |x| < a ⇔ x < a. De plus, −a < 0 et on a aussi −a < x.D’où |x| < a ⇔ −a < x < a.Si x < 0, on a |x| = −x et donc |x| < a ⇔ −x < a ⇔ x > −a. De plus, a > 0 et on a aussi x < a.D’où |x| < a ⇔ −a < x < a.

8. Si x > 0, on a |x| = x et donc |x| > a ⇔ x > a.Si x < 0, on a |x| = −x et donc |x| > a ⇔ −x > a ⇔ x < −a.

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85

Preuve 17

Dans une proportion, le produit des moyens est toujours égal au produit des extrêmes.

On considère la proportiona

b=

c

d.

Cette proportion peut encore s’écrire

a · 1b= c · 1

d.

En multipliant les deux membres par bd, on obtient

a · 1b· b · d = c · 1

d· b · d

et doncad = bc.

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86

Chapitre 5

Egalités

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.1 Propriétés des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.2 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

(a) Equation du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

(b) Equation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

87

1 Théorie

1.1 Propriétés des égalités

Soit a, b, c, d des nombres réels. Une égalité vérifie les propriétés suivantes :

1. a = a.Si a = b, alors b = a.Si a = b et b = c, alors a = c.

2. Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelleégalité : si a = b, alors a+ c = b+ c.Lorsqu’on retranche un même nombre des deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelleégalité : si a = b, alors a− c = b− c.

3. Lorsqu’on multiplie par un même nombre les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelleégalité : si a = b, alors a · c = b · c.Lorsqu’on divise par un même nombre les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle

égalité : si a = b, alorsa

c=

b

coù c 6= 0.

4. Lorsqu’on additionne membre à membre deux égalités, on obtient un nouvelle égalité : si a = bet c = d, alors a+ c = b+ d.

1.2 Equations

Définition 5.1 Une équation est une égalité qui n’est vérifiée que pour certaines valeurs donnéesaux variables qu’elle contient. Ces variables sont les inconnues de l’équation et les valeurs quivérifient l’équation sont appelées les solutions de l’équation. On dira que deux équations sontéquivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement.

⋆ Par exemple, 2x − 10 = −3x est une équation où x est l’inconnue. Le nombre x = 2 est solution del’équation car si on remplace x par 2 on obtient l’égalité −6 = −6.

On déduit des propriétés des égalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudredes équations, c’est-à-dire en trouver les solutions.Si A, B, C sont des expressions contenant ou non des inconnues et m est un nombre réel, alors

1. Lorsqu’on rajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d’une équation, on obtientune équation équivalente à la première :

(a) les équations A = B et A+ C = B + C sont équivalentes ;

(b) les équations A = B et A− C = B − C sont équivalentes.

Ceci revient à déplacer une quantité dans l’autre membre en changeant son signe.

⋆ Par exemple, les équations 2x− 7 = 3 et 2x = 10 sont équivalentes et les équations 3x+ 6 = 10et 3x = 4 sont équivalentes.

2. Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par une même quantité différentede 0, on obtient une équation équivalente à la première :

(a) les équations A = B et A ·m = B ·m avec m 6= 0 sont équivalentes ;

(b) les équations A = B et Am = B

m avec m 6= 0 sont équivalentes.

88

⋆ Par exemple, les équations 12x+6 = 3

2 +2x et x+12 = 3+ 4x sont équivalentes et les équations2x = 10 et x = 5 sont équivalentes.

3. Les solutions de l’équation A ·B = 0 sont les solutions de l’équation A = 0 ainsi que de celles del’équation B = 0 : l’équation A ·B = 0 se dissocie donc en (A = 0 ou B = 0).

⋆ Par exemple, pour que (x− 3)(x+ 2) = 0, il suffit que x− 3 = 0 ou que x+ 2 = 0.

4. Les solutions de l’équationA

B= 0 sont les solutions de l’équation A = 0 et qui ne sont pas

solution de l’équation B = 0 : l’équationA

B= 0 se dissocie donc en (A = 0 et B 6= 0).

⋆ Par exemple, pour que (x−4)(x2−1)x−1 = 0 il suffit que (x− 4)(x2 − 1) = 0 mais avec x− 1 6= 0.

√Remarque : Pour obtenir une expression du type A ·B = 0, il est parfois nécessaire de factoriser lesexpressions apparaissant dans les deux membres de l’égalité.

Méthode de résolution – Pour résoudre une équation :• Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à 0.• Utiliser les propriétés ci-dessus pour isoler l’inconnue.La solution est un ensemble de nombres réels. Cet ensemble peut être vide.

(a) Equation du premier degré

L’équation ax+ b = 0 (a 6= 0) est une équation du premier degré. Cette équation a une seulesolution x = − b

a . L’ensemble des solutions de cette équation sera donc noté S = {− ba}. Le nombre

x = − ba est aussi appelé racine de l’expression ax+ b.

⋆ Par exemple, l’équation 2x− 4 = 0 a une seule solution x = 2. On notera S = {2}.

(b) Equation du second degré

L’équation ax2 + bx+ c = 0 (a 6= 0) est une équation du second degré. Cette équation a zéro,une ou deux solutions dans R. Ces solutions sont données par

•S =

{−b+

√b2 − 4ac

2a,−b−

√b2 − 4ac

2a

}si b2 − 4ac > 0 ;

•S =

{−b

2a

}si b2 − 4ac = 0 ;

•S = ∅ si b2 − 4ac < 0.


⋆ Par exemple, l’équation 3x2 − 3x − 18 = 0 a deux solutions x1 = 3+√225

6 = 3 et x2 = 3−√225

6 = −2.On notera S = {−2, 3}.

⋆ L’équation 4x2 − 8x+ 4 = 0 a une solution x = 8+√0

8 = 1. On notera S = {1}.⋆ L’équation x2 − 2x+ 6 = 0 n’a pas de solution car b2 − 4ac = −20 < 0. On notera S = ∅.

89

√Remarque : Toute équation ax2 + bx + c = 0 avec b2 − 4ac > 0 admet deux solutions distinctes x1et x2 telles que x1 + x2 = − b

a et x1 · x2 = ca .


⋆ Par exemple, l’équation 2x2 + 8x + 6 = 0 a deux solutions x1 = −8+√16

4 = −1 et x2 = −8−√16

4 = −3.Ces solutions sont telles que x1 + x2 = −4 = −8

2 et x1 · x2 = 3 = 62 . Pour trouver les solutions de cette

équation, on aurait donc pu se poser la question suivante : trouver deux nombres dont la somme vaut− b

a = −4 et le produit vaut ca = 3. Ces deux nombres sont −1 et −3.

90


1. Résoudre l’équation 5x− 3 = 0.


5x− 3 + 3 = 0 + 3

5x = 35x

5=

3

5

x =3

5

La solution est donc le nombre réel x = 35 et l’on notera S = { 3

5}.

2. Résoudre l’équationx(x− 3)

x− 2= 0.

Solution détaillée :x(x − 3)

x− 2= 0

x(x− 3) = 0 et x− 2 6= 0

(x = 0 ou x− 3 = 0) et x 6= 2

(x = 0 ou x = 3) et x 6= 2

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = 0 et x = 3. On notera S = {0, 3}.

3. Résoudre l’équation x(x− 2) = 3(x2 − 4).


x(x − 2) = 3(x2 − 4)

x(x − 2) = 3(x− 2)(x+ 2)

x(x− 2)− 3(x− 2)(x+ 2) = 0

(x− 2)(x− 3x− 6) = 0

(x− 2)(−2x− 6) = 0

x− 2 = 0 ou − 2x− 6 = 0

x = 2 ou − 2x− 6 + 6 = 0 + 6

x = 2 ou − 2x = 6

x = 2 ou−2x

−2=

6

−2

x = 2 ou x = −3

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = 2 et x = −3. On notera S ={−3, 2}.

√Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s’obtient en factorisant l’expres-sion x2 − 4.

4. Résoudre l’équation x2 − 5x+ 6 = 0.


x2 − 5x+ 6 = 0

(x− 2)(x− 3) = 0

x− 2 = 0 ou x− 3 = 0

x = 2 ou x = 3

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = 2 et x = 3. On notera S = {2, 3}.

91

√Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s’obtient en factorisant l’expres-sion x2 − 5x+ 6.

5. Résoudre l’équationx2 − 4x+ 3

x− 1= 0.


x2 − 4x+ 3 = 0 et x− 1 6= 0

(x− 1)(x− 3) = 0 et x 6= 1

((x− 1 = 0) ou (x− 3) = 0) et x 6= 1

(x = 1 ou x = 3) et x 6= 1

La solution x = 1 est donc à rejeter. Cette équation a une seule solution, le nombre réel x = 3.On notera S = {3}.

√Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne s’obtient en factorisant l’expressionx2 − 4x+ 3.

6. Résoudre l’équationx

x− 3= 2.

Solution détaillée :x

x− 3= 2

x

x− 3− 2 = 0

x− 2(x− 3)

x− 3= 0

−x+ 6

x− 3= 0

6− x = 0 et x− 3 6= 0

x = 6 et x 6= 3

Cette équation a donc une solution, le nombre réel x = 6. On notera S = {6}.

7. Résoudre l’équation | 2x+ 3 |= 1.


| 2x+ 3 |= 1

2x+ 3 = 1 ou 2x+ 3 = −1

2x+ 3− 3 = 1− 3 ou 2x+ 3− 3 = −1− 3

2x = −2 ou 2x = −4

2x

2=

−2

2ou

2x

2=

−4

2x = −1 ou x = −2

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = −1 et x = −2. On noteraS = {−2,−1}.

√Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne découle des propriétés de la valeur absolue.

8. Le triple d’un nombre, diminué de 4, est égal à son double augmenté de 7. Quel est ce nombre ?


• Choix de l’inconnue : x = le nombre cherché ;• Mise en équation : 3x− 4 = 2x+ 7 ;• Résolution de l’équation : 3x− 2x = 7 + 4 d’où x = 11 ;• Solution du problème : le nombre est 11 ;• Vérification de la solution : on a bien 3 · 11− 4 = 2 · 11 + 7 c’est-à-dire 29 = 29.

92

3 Preuves

Preuve 18

L’équation ax2 + bx+ c = 0 a zéro, une ou deux solutions dans R.

Cette équation peut successivement s’écrire

ax2 + bx+ c = 0

x2 +b

ax+

c

a= 0

x2 + 2b

2ax+

b2

4a2− b2

4a2+

c

a= 0

(x+

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

1er cas : b2 − 4ac > 0. On obtient

x+b

2a= ±

√b2 − 4ac

4a2

d’où

x = − b

2a±

√b2 − 4ac

2a.

L’équation a donc deux solutions :

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2aet x2 =

−b−√b2 − 4ac

2a.

On notera S =

{−b+

√b2 − 4ac

2a,−b−

√b2 − 4ac

2a

}.

2ème cas : b2 − 4ac = 0. On obtient

x+b

2a= 0

d’où

x = − b

2a.

L’équation a une seule solution : x = − b2a . On notera S =

{−b

2a

}.

3ème cas : b2 − 4ac < 0. On obtient (x+

b

2a

)2

< 0

ce qui est impossible. L’équation n’a pas de solution. On notera S = ∅.Retour au texte

93

Preuve 19

Les solutions x1 et x2 de l’équation ax2 + bx+ c = 0 avec b2 − 4ac > 0 sont telles que

x1 + x2 = − b

aet x1 · x2 =

c

a.

On a vu que

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2aet x2 =

−b−√b2 − 4ac

2a.

On calcule alors

x1 + x2 =−b+

√b2 − 4ac

2a+

−b−√b2 − 4ac

2a=

−2b

2a=

−b

a

et

x1 · x2 =−b+

√b2 − 4ac

2a· −b−

√b2 − 4ac

2a

=−(

√b2 − 4ac+ b)(

√b2 − 4ac− b)

4a2

=−(b2 − 4ac− b2)

4a2=

4ac

4a2=

c

a.

Retour au texte

94

Chapitre 6

Inégalités

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.1 Propriétés des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.2 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

95

1 Théorie

1.1 Propriétés des inégalités

Dans R, nous avons une relation d’ordre. Quand on travaille avec des inégalités, il faut connaîtreles règles suivantes : soit a, b, c, d des nombres réels. On a

1. Si a > b et b > c, alors a > c.

2. Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on obtient une inégalitéde même sens : si a > b, alors a+ c > b+ c.Lorsqu’on retranche un même nombre des deux membres d’une inégalité, on obtient une inégalitéde même sens : si a > b, alors a− c > b− c.

3. Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inégalité

(a) par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :si a > b et c > 0, alors a · c > b · c ;

(b) par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire :si a > b et c < 0, alors a · c < b · c.

4. Lorsqu’on divise les deux membres d’une inégalité

(a) par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :

si a > b et c > 0, alorsa

c>

b

coù c 6= 0 ;

(b) par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire :

si a > b et c < 0, alorsa

c<

b

coù c 6= 0.

5. Lorsqu’on additionne membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalitéde même sens que les précédentes :si a > b et c > d, alors a+ c > b+ d.

6. Lorsqu’on soustrait membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une inégalitédont le sens est celui de la première inégalité :si a > b et c < d, alors a− c > b− d.

7. Lorsqu’on passe à l’inverse, on change le sens de l’inégalité :si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b.

1.2 Inéquations

Définition 6.1 Une inéquation est une inégalité qui n’est vérifiée que pour certaines valeursdonnées aux variables qu’elle contient. Ces variables sont les inconnues de l’inéquation et lesvaleurs qui vérifient l’inéquation sont appelées les solutions de l’inéquation. Deux inéquations sontéquivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement.

⋆ Par exemple, 2x+1 ≥ 5 est une inéquation où x est l’inconnue. N’importe quel nombre réel supérieurou égal à 2 satisfait cette inégalité. Les solutions sont donc tous les nombres réels x ≥ 2.

On déduit des propriétés des inégalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudredes inéquations, c’est-à-dire en trouver les solutions.Si A, B, C sont des expressions contenant ou non des inconnues et m est un nombre réel, alors

1. Lorsqu’on ajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d’une inéquation, on obtientune inéquation équivalente à la première :

96

(a) les inéquations A > B et A+ C > B + C sont équivalentes ;

(b) les inéquations A > B et A− C > B − C sont équivalentes.

Ceci revient à déplacer une quantité dans l’autre membre en changeant son signe.

⋆ Par exemple, les inéquations 2x − 3 > x − 6 et 2x > x − 3 sont équivalentes. Les inéquations2x+ 10 > x− 2 et x+ 10 > −2 sont équivalentes.

2. Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre positif,on obtient une inéquation de même sens équivalente à la première :

(a) les inéquations A > B et A ·m > B ·m avec m > 0 sont équivalentes ;

(b) les inéquations A > B et Am > B

m avec m > 0 sont équivalentes.

⋆ Par exemple, les inéquations x3 > 6 et x > 18 sont équivalentes. Les inéquations 2x < 4 et x < 2

sont équivalentes.

3. Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif,on obtient une inéquation de sens contraire équivalente à la première :

(a) les inéquations A > B et A ·m < B ·m avec m < 0 sont équivalentes ;

(b) les inéquations A > B et Am < B

m avec m < 0 sont équivalentes.

⋆ Par exemple, les inéquations −x2 > 4 et x < −8 sont équivalentes. Les inéquations −4x < 12 et

x > −3 sont équivalentes.

4. Les solutions de l’inéquation A ·B > 0 (ouA

B> 0) sont les valeurs qui vérifient simultanément

A > 0 et B > 0, ainsi que celles qui vérifient simultanément A < 0 et B < 0 : l’inéquation

A ·B > 0 (ouA

B> 0) se dissocie donc en (A > 0 et B > 0) ou (A < 0 et B < 0).

⋆ Par exemple, l’expression (x−3)(x+2) > 0 si x− 3 > 0 et x+ 2 > 0 ou x− 3 < 0 et x+ 2 < 0x > 3 et x > −2 ou x < 3 et x < −2

x > 3 ou x < −2

√Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant :

−2 3x− 3 − − − 0 +x+ 2 − 0 + + +

(x− 3)(x+ 2) + 0 − 0 +

La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l’expression (x − 3)(x + 2). Si x < −2 alorsl’expression est positive, si x = −2 alors l’expression est nulle, si −2 < x < 3 alors l’expressionest négative et ainsi de suite.

5. Les solutions de l’inéquation A ·B < 0 (ouA

B< 0) sont les valeurs qui vérifient simultanément

A > 0 et B < 0, ainsi que celles qui vérifient simultanément A < 0 et B > 0 : l’inéquation

A ·B < 0 (ouA

B< 0) se dissocie donc en (A > 0 et B < 0) ou (A < 0 et B > 0).

⋆ L’expressionx+ 1

x− 2< 0 si x+ 1 < 0 et x− 2 > 0 ou x+ 1 > 0 et x− 2 < 0

x < −1 et x > 2 ou x > −1 et x < 2impossible ou x ∈ ]− 1, 2[

97

√Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant :

−1 2x+ 1 − 0 + + +x− 2 − − − 0 +x+1x−2 + 0 − | +

La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l’expression x+1x−2 . Cette expression n’est pas

définie pour x = 2.

√Remarque : Rappel sur les tableaux de signes :

L’équation ax+ b = 0 a comme solution le nombre x = − ba . L’expression ax+ b a le signe de x à

droite de la racine et le signe contraire à gauche.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

L’équation ax2 + bx+ c = 0 a zéro, une ou deux solutions. L’expression ax2 + bx+ c a le signe dex2 partout sauf entre les racines lorsqu’il y en a deux.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Méthode de résolution – Pour résoudre une inéquation :• Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à 0.• Ecrire le premier membre sous la forme d’une seule expression et faire le tableau de signes de cetteexpression.• En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation.La solution est un intervalle ou l’union de plusieurs intervalles de R.

√Remarque : Ne jamais supprimer le dénominateur dans une inéquation car celui-ci a un signe quiinterviendra dans le signe de l’expression.

98


1. Résoudre l’inéquation −2x+ 1 < −1

2.


−2x < −1

2− 1

−2x < −3

2

x >

(−1

2

)·(−3

2

)

x >3

4

et donc la solution est S =]34 ; +∞

[.

2. Résoudre l’inéquationx

x− 3< 2.

Solution détaillée :x

x− 3− 2 < 0

x− 2(x− 3)

x− 3< 0

−x+ 6

x− 3< 0

On effectue un tableau de signes de l’expression :3 6

−x+ 6 + + + 0 −x− 3 − 0 + + +−x+6x−3 − | + 0 −

et donc la solution est S =]−∞; 3[∪ ]6; +∞[.√

Remarque : Pour un rappel concernant la construction d’un tableau de signes, cliquez ici.

3. Résoudre l’inégalité x2 − 5x+ 6 ≤ 0.

Solution détaillée : On factorise d’abord le membre de gauche

(x− 2)(x− 3) 6 0.

On sait que l’équation correspondante (x − 2)(x − 3) = 0 a comme solution x = 2 et x = 3.On effectue un tableau de signes de l’expression :

2 3x− 2 − 0 + + +x− 3 − − − 0 +

x2 − 5x+ 6 + 0 − 0 +

et donc la solution est S = [2, 3].√

Remarque : La première étape consiste à factoriser l’expression x2 − 5x + 6. Il faut ensuiteconstruire un tableau de signes en utilisant les deux racines.

4. Résoudre l’inéquation x3 + 3x2 > 4x.

Solution détaillée : On commence par mettre tous les termes non nuls d’un côté du signed’inégalité et on factorise

x3 + 3x2 − 4x > 0 ou x(x − 1)(x+ 4) > 0.

De la même façon qu’à l’exemple précédent, on résoud l’équation correspondante x(x− 1)(x+4) = 0 et on se sert des solutions x = −4, x = 0 et x = 1 pour construire un tableau de signes :

99

−4 0 1x − − − 0 + + +

x− 1 − − − − − 0 +x+ 4 − 0 + + + + +

x3 + 3x2 − 4x − 0 + 0 − 0 +

et donc S = ]− 4, 0[∪ ]1; +∞[.√

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la factorisation et les tableaux de signes.

5. Déterminez le domaine de définition de la fonction

√x2 − x

x2 − 5x+ 6.

Solution détaillée : Cette fonction existe à condition que

x2 − x

x2 − 5x+ 6≥ 0 ou

x(x − 1)

(x − 2)(x− 3)≥ 0.

On effectue un tableau de signes de l’expression :

0 1 2 3x − 0 + + + + + + +

x− 1 − − − 0 + + + + +x− 2 − − − − − 0 + + +x− 3 − − − − − − − 0 +x(x−1)

(x−2)(x−3) + 0 − 0 + | − | +

et donc la solution est S =]−∞; 0] ∪ [1, 2[∪ ]3; +∞[.√

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la racine carrée, la factorisationet les tableaux de signes.

6. Résoudre l’inéquation | x− 12 |< 1

2 .


−1

2< x− 1

2<

1

2

x− 1

2> −1

2et x− 1

2<

1

2

x > 0 et x < 1

La solution est donc S = ]0, 1[ .√

Remarque : La première ligne s’obtient en utilisant une propriété de la valeur absolue.

7. Résoudre l’inéquation | x− 1 |≤| x− 2 |.Solution détaillée : Par définition de la valeur absolue, on a

| x− 1 |={

x− 1 si x ≥ 11− x si x < 1

et

| x− 2 |={

x− 2 si x ≥ 22− x si x < 2

Il y a donc trois cas possibles :Si x < 1 alors l’inéquation devient

1− x ≤ 2− x

1 ≤ 2

ce qui est vérifié pour tout x ∈ R. On a donc une première solution

S1 = R∩ ]−∞; 1[ = ]−∞; 1[ .

100

Si 1 ≤ x < 2 alors l’inéquation devient

x− 1 ≤ 2− x

2x ≤ 3

x ≤ 3

2

Une deuxième solution est donc

S2 =]−∞; 3

2

]∩ [1, 2[=

[1, 32].

Si x ≥ 2 alors l’inéquation devient

x− 1 ≤ x− 2

−1 ≤ −2

ce qui est impossible. On a donc une troisième solution

S3 = ∅ ∩ [2; +∞[ = ∅.

Finalement la solution de l’inéquation est donnée par

S = S1 ∪ S2 ∪ S3 =]−∞; 3

2

].

√Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la valeur absolue etl’union et l’intersection d’ensembles.

101

3 Preuves

Preuve 20

L’expression ax+ b a le signe de x à droite de la racine et le signe contraire à gauche.

L’expression ax+ b peut encore s’écrire a(x+ ba).

Si x = − ba alors ax+ b = 0.

Si x > − ba , c’est-à-dire si x est à droite de la racine, on a (x + b

a) > 0 et donc l’expression a lemême signe que a (et donc que x).

Si x < − ba , c’est-à-dire si x est à gauche de la racine, on a (x + b

a) < 0 et donc l’expression a lesigne contraire de a (et donc de x).

Retour au texte

102

Preuve 21

L’expression f(x) = ax2 + bx+ c a le signe de x2 partout sauf entre les racines lorsqu’il y en a deux.

1er cas : b2 − 4ac < 0. Dans ce cas, f(x) n’a pas de racine. L’expression peut s’écrire

f(x) = a

((x+

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

)

où(x+ b

2a

)2> 0 et b2 − 4ac < 0. On en déduit que

(x+

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2> 0

et donc f(x) a le même signe que a (et donc que x2).

2ème cas : b2 − 4ac = 0. Dans ce cas, f(x) a une seule racine. L’expression peut s’écrire

f(x) = a

(x+

b

2a

)2

où(x+ b

2a

)2> 0. Donc f(x) a le même signe que a (et donc que x2).

3ème cas : b2 − 4ac > 0. Dans ce cas, f(x) a deux racines distinctes x1 et x2 (supposons x1 < x2).L’expression peut s’écrire

f(x) = a(x− x1)(x− x2)

où (x− x1)(x− x2) > 0 si x < x1 ou x > x2(x− x1)(x− x2) < 0 si x1 < x < x2

On en déduit que f(x) a le même signe que a partout sauf entre les deux racines x1 et x2.

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103

Chapitre 7

Systèmes

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.1 Système de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

(a) Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

(b) Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

(c) Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

1.2 Système de plus de deux équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

104

1 Théorie

1.1 Système de deux équations à deux inconnues

Toute équation du premier degré à deux inconnues possède une infinité de solutions. En effet, sareprésentation graphique est une droite qui comporte une infinité de points dont les coordonnées sontdes solutions de cette équation. Si l’on considère un système de deux équations à deux inconnues, sessolutions seront les couples de réels (x, y) vérifiant à la fois la première et la seconde équation.

(a) Interprétation géométrique

Considérons le système formé de 2 équations linéaires dans R2.

y = ax+ b

y = cx+ d(1.1)

Notons S l’ensemble des points de R2 vérifiant le système. Autrement dit

S ={(x, y) ∈ R2 : (1.1) est vérifié

}.

L’ensemble S comprend les points de l’intersection des 2 droites. Plusieurs cas sont possibles en fonctiondes paramètres des 2 droites.

• Les deux droites sont sécantes – Si a 6= c, les deux droites sont sécantes et ont alors un seulpoint commun, le point (x0, y0). Le système aura une solution unique notée S = {(x0, y0)}.

X

Y

O

•

x0

y0

• Les deux droites sont parallèles distinctes – Si a = c et b 6= d, les deux droites sont parallèleset distinctes. Elles n’ont donc aucun point en commun. Le système n’aura aucune solution. Ondit qu’il est impossible et on note S = ∅.

X

Y

O

105

• Les deux droites sont parallèles confondues – Si a = c et b = d, les deux droites sontconfondues. Elles ont tous leurs points en commun. Le système a une infinité de solutions. Ondit qu’il est indéterminé et on note S = {(x, y) | y = ax+ b}.

X

Y

O

(b) Méthodes de résolution

Voyons à présent trois méthodes pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Méthode de combinaison

Cette méthode repose sur les deux principes suivants :

Premier principe – On peut multiplier n’importe quelle équation du système par une constante k 6= 0et on obtient un système équivalent.

Ce premier principe est clair au vu de l’interprétation géométrique. En effet, multiplier tous les co-efficients d’une droite par une constante k 6= 0 conduit à la même droite et donc ne modifie pas lesystème.

Second principe – On peut additionner à n’importe quelle équation du système une autre équation dusystème et on obtient un système équivalent.

En effet, tout point (x, y) vérifiant l’équation de la première droite et l’équation de la deuxième droitevérifie également l’équation obtenue en additionnant les deux équations et réciproquement.

Méthode de combinaison

– Aligner les inconnues et le terme indépendant.– Multiplier les équations par un réel de telle manière qu’en faisant la somme des équations, une

des inconnues disparaisse.– Isoler l’inconnue restante.– Remplacer cette inconnue par sa valeur dans l’équation restante.

⋆ Résolvons par exemple le système

{3x+ 2y = 94x = y + 1

On a successivement{3x+ 2y = 94x = y + 1

{3x+ 2y = 94x− y = 1

{12x+ 8y = 36−12x+ 3y = −3

{12x+ 8y = 3611y = 33

{12x+ 8y = 36y = 3

{12x+ 24 = 36y = 3

{12x = 12y = 3

{x = 1y = 3

106

et donc S = {(1, 3)}.

Méthode de substitution

Méthode de substitution

– Isoler une des inconnues dans une des équations.– Remplacer l’inconnue isolée par sa valeur dans l’autre équation.– Isoler l’inconnue restante.– Remplacer cette inconnue par sa valeur dans l’équation restante.

⋆ Résolvons le même système que ci-dessus par cette méthode. On a successivement{3x+ 2y = 94x = y + 1

{x = 3− 2

3y4x− y = 1

{x = 3− 2

3y4(3− 2

3y)− y = 1

{x = 3− 2

3y−11

3 y = −11

{x = 3− 2

3yy = 3

{x = 1y = 3

et donc S = {(1, 3)}.

Méthode des déterminants

On veut résoudre le système

{ax+ by = ca′x+ b′y = c′

Appelons

(a b′

a′ b′

)la matrice du système et son déterminant

D =

∣∣∣∣a ba′ b′

∣∣∣∣ = ab′ − a′b.

Méthode des déterminants

– Calculer D = ab′ − a′b.– Si D = 0 et ac′ − a′c 6= 0, alors le système est impossible.– Si D = 0 et ac′ − a′c = 0, alors le système est indéterminé.– Si D 6= 0, alors le système a une seule solution S = {( cb′−c′b

D , ac′−a′cD )}.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette dernière affirmation.

⋆ Résolvons le même système que ci-dessus par cette méthode. On a

{3x+ 2y = 94x− y = 1

et donc D = 3·(−1)−2·4 = −11. Puisque D 6= 0, le système aura une seule solution (9·(−1)−1·2−11 , 3·1−9·4

−11 ) =(1, 3). On obtient donc aussi S = {(1, 3)}.

107

(c) Cas particuliers

• Système impossible {3x− 2y = 56x− 4y = 2

On a S = ∅. En effet, les coefficients de x et y sont proportionnels mais pas les termes indépen-dants. Il s’agit de deux droites parallèles distinctes.

• Système simplement indéterminé {3x− 2y = 56x− 4y = 10

On a S = {(x, y) ∈ R2|3x− 2y = 5}. En effet, les deux équations ont des coefficients proportion-nels. La deuxième équation est la multiplication de la première par un facteur 2. Il s’agit doncde la même droite.

• Système doublement indéterminé

{6x− 2y = 2(3x− y)−x− 4y + 4 = 4(1 − y)− x

On a S = R2. En effet, les deux équations de ce système sont équivalentes à l’équation 0 = 0 quiest toujours satisfaite quelles que soient les valeurs de x et de y.

1.2 Système de plus de deux équations

Qu’en est-il maintenant si on a plus de deux équations dans R2 ? Considérons un système de méquations à deux inconnues

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2...

amx + bmy = cm

(1.2)

Définissons S l’ensemble des solutions du système (1.2) :

S ={(x, y) ∈ R2 : (x, y) satisfait (1.2)

}

Géométriquement, pour appartenir à S, il faut appartenir à chacune des droites qui correspon-dent aux différentes équations du système (1.2). A nouveau, plusieurs cas sont possibles concernantl’intersection des droites.

• Les droites sont sécantes pas toutes au même point – Dans ce cas, il n’y a pas d’intersectioncommune aux m droites.

• Les droites sont toutes sécantes au même point – Dans ce cas, l’intersection se réduit àun point unique, le seul commun aux m droites.

• Il y a deux droites parallèles disjointes – Dans ce cas, comme il n’y a pas d’intersection entreles deux droites parallèles disjointes, il n’y a donc pas d’intersection commune aux m droites.

En pratique, il suffit de considérer deux droites et de prendre leur intersection en résolvant le systèmeconstitué de leurs seules deux équations. Si ce système a une solution, on regarde si elle satisfait lesautres équations. S’il n’a pas de solution alors le système complet n’aura pas de solution.

108


1. Résoudre le système

{2x+ 3y + 4 = 04x− 5y + 30 = 0

Solution détaillée : Nous allons le résoudre par les trois méthodes.

Méthode de combinaison : On a successivement{2x+ 3y = −44x− 5y = −30

{4x+ 6y = −84x− 5y = −30

{11y = 224x− 5y = −30

{y = 24x− 5y = −30

{y = 24x− 10 = −30

{y = 24x = −20

{y = 2x = −5

et donc S = {(−5, 2)}.Méthode de substitution : On a successivement{2x+ 3y + 4 = 04x− 5y + 30 = 0

{2x+ 3y + 4 = 05y = 4x+ 30

{2x+ 3y + 4 = 0y = 4

5x+ 6

{2x+ 3(45x+ 6) + 4 = 0y = 4

5x+ 6

{225 x+ 22 = 0y = 4

5x+ 6

{x = −5y = 4

5x+ 6

{x = −5y = 4

5 (−5) + 6

{x = −5y = 2

et donc S = {(−5, 2)}.

Méthode des déterminants : On a

{2x+ 3y = −44x− 5y = −30

et donc D = 2 · (−5) − 3 · 4 = −22. Puisque D 6= 0, le système aura une seule solution

(−4·(−5)−3·(−30)−22 , 2·(−30)−4·(−4)

−22 ) = (−5, 2). On obtient donc aussi S = {(−5, 2)}.

2. Résoudre le système

{(2x− 1 + y)(y + 1) = 0xy − x2 + 3y + 9 = 0

Solution détaillée : On a successivement{(2x− 1 + y)(y + 1) = 0y(x+ 3)− (x2 − 9) = 0

{(2x− 1 + y)(y + 1) = 0y(x+ 3)− (x− 3)(x+ 3) = 0

{(2x− 1 + y)(y + 1) = 0(x+ 3)(y − x+ 3) = 0

Ce système se décompose en 4 systèmes plus simples :

•{2x− 1 + y = 0x+ 3 = 0

{2x− 1 + y = 0x = −3

{−6− 1 + y = 0x = −3

{y = 7x = −3

•{y + 1 = 0x+ 3 = 0

{y = −1x = −3

•{2x− 1 + y = 0y − x+ 3 = 0

{2x+ y = 1−x+ y = −3

{2x+ y = 13x = 4

{2x+ y = 1x = 4

3

{83 + y = 1x = 4

3

{y = −5

3x = 4

3

•{y + 1 = 0y − x+ 3 = 0

{y = −1y − x+ 3 = 0

{y = −1−1− x+ 3 = 0

{y = −1x = 2

Finalement, on obtient quatre solutions : S = {(−3, 7), (−3,−1), (43 ,−53 ), (2,−1)}.

109

√Remarque : Cliquez sur les liens pour plus de détails concernant la factorisation et larésolution d’équations.

3. Trouver un nombre à deux chiffres tel que la différence entre 4 fois le chiffre des unités et troisfois le chiffre des dizaines soit égale à 1, et que renversé, le nombre diminue de 9.

Solution détaillée : Appelons x le chiffre des dizaines et y le chiffre des unités. Le nombrecherché est 10x+ y. Il faut résoudre le système

{4y − 3x = 110y + x = 10x+ y − 9

On a{−3x+ 4y = 1−9x+ 9y = −9

{9x− 12y = −3−9x+ 9y = −9

{−3y = −12−9x+ 9y = −9

{y = 4−9x+ 9y = −9

{y = 4−9x+ 36 = −9

{y = 49x = 45

{y = 4x = 5

Le nombre cherché est donc 54.

4. Un bateau à moteur, fonctionnant à plein régime, parcourt 4 km en remontant la rivière(contre un courant constant) en 15 minutes (= 1/4 heure). Le retour (avec le même courantet à plein régime) prend 12 minutes (=1/5 heure). Trouver la vitesse du courant et la vitessepropre du bateau en eau calme.

Solution détaillée : Définissons les inconnues de notre système : soit x la vitesse du bateau(en km/h), y la vitesse du courant (en km/h). Lors de la remontée, le courant ralentit lebateau ; la vitesse à la remontée est donc de x− y (en km/h). Lors de la descente, le courantaugmente la vitesse du bateau ; la vitesse à la descente est donc de x+ y (en km/h).Rappelons que la distance s parcourue à une vitesse v pendant un temps t vaut s = vt.

Ici, nous obtenons le système {4 = 1

4 (x− y)4 = 1

5 (x+ y)

c’est-à-dire

x − y = 16

x + y = 20

On a{2x = 36x+ y = 20

{x = 18x+ y = 20

{x = 1818 + y = 20

{x = 18y = 2

La vitesse du courrant est de 2 km/h et celle du bateau est de 18 km/h.

110

3 Preuves

Preuve 22

Si D 6= 0, alors le système


a une seule solution S = {( cb′−c′bD , ac

′−a′cD )},

où D =

∣∣∣∣a ba′ b′

∣∣∣∣ = ab′ − a′b.

On considère le système


.

En multipliant la première équation par b′ et la seconde par b, puis en soustrayant la deuxièmeéquation de la première, on obtient

(ab′ − a′b)x = b′c− bc′,

x =b′c− bc′

ab′ − a′b=

b′c− bc′

D,

à condition que D 6= 0.

De même, en multipliant la première équation par a′ et la seconde par a, puis en soustrayant lapremière équation de la deuxième, on obtient

(ab′ − a′b)y = ac′ − a′c,

y =ac′ − a′c

ab′ − a′b=

ac′ − a′c

D,

à condition que D 6= 0.

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111

Chapitre 8

Droites

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.1 Equations du premier degré – droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

(a) Equation vectorielle de la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

(b) Equation cartésienne de la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.2 Position relative de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

112

1 Théorie

1.1 Equations du premier degré – droites

Une équation du premier degré à deux inconnues ax+by+c = 0 est représentée dans le plan cartésienpar une droite. Un point appartient à cette droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équationde la droite.

⋆ Par exemple, considérons la droite D : y = 2x − 1. On a (2, 3) ∈ D car 3 = 2 · 2 − 1 mais (3, 1) 6∈ Dpuisque 1 6= 2 · 3− 1.

En pratique, pour représenter une droite, il suffit de choisir deux points de cette droite et de lesrelier. Par facilité, on choisit souvent les intersections de la droite avec les deux axes de coordonnées.

(a) Equation vectorielle de la droite

Soient A et B deux points distincts du plan. Le point P appartient à la droite AB

– si et seulement si le vecteur−→AP est un multiple du vecteur

−−→AB,

– si et seulement si il existe un réel k 6= 0 tel que−→AP = k

−−→AB.

L’équation vectorielle de la droite AB est donnée par−→AP = k

−−→AB où k 6= 0.

Soient A = (xa, ya), B = (xb, yb) et P = (x, y). Comme−−→AB = (xb−xa, yb−ya) et

−→AP = (x−xa, y−ya),

on a {x− xa = k(xb − xa)y − ya = k(yb − ya)

Pour des rappels concernant les vecteurs, cliquez ici.

(b) Equation cartésienne de la droite

L’équation cartésienne d’une droite (non verticale) peut s’écrire :

y = mx+ p (1.1)

où• p est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire que p est l’ordonnée du point d’intersection de la droiteavec l’axe OY . Le point (0, p) appartient donc à la droite.

• m est la pente de la droite. Il s’agit de l’augmentation de l’ordonnée pour une augmentation unitairedes abscisses et ceci quel que soit l’endroit où l’augmentation de x est considérée. Par exemple, entre 0et P1, l’augmentation des ordonnées est de m−0 = m, et entre P1 et P2, l’augmentation des ordonnéesest de 2m−m = m.

113

•

•

∆

P1

P2m2m

X

Y

Equation d’une droite passant par deux points donnés

Une droite est entièrement déterminée par deux points distincts du plan. Soit P1 = (x1, y1) etP2 = (x2, y2) deux points par lesquels passe la droite.

∆

X

Y

•

•

x1

y1

y2

x2

P1

P2

L’équation de la droite y = mx + p doit être satisfaite par les deux points (x1, y1) et (x2, y2). On adonc {

y1 = mx1 + p,y2 = mx2 + p.

En soustrayant les deux équations, on élimine le paramètre (inconnu) p. On obtient alors

y2 − y1 = m(x2 − x1),

ou encore

m =y2 − y1x2 − x1

.

En remplaçant m dans la première équation, on trouve

p = y1 −y2 − y1x2 − x1

x1.

L’équation cartésienne de la droite passant par les points P1 = (x1, y1) et P2 = (x2, y2) estdonnée par

y − y1 =y2 − y1x2 − x1

(x− x1).

114

⋆ Par exemple la droite passant par les points (−1,−1) et (1, 3) a pour équation y = 2x + 1. En effet,on a

y − (−1) = 3−(−1)1−(−1)(x− (−1)),

y + 1 = 2(x+ 1),y = 2x+ 2− 1,y = 2x+ 1.

Cas particuliers :

• Si y1 = y2, la pente est nulle et la droite est parallèle à l’axe des x (droite horizontale). Dans ce cas,la droite a pour équation y = y1.

⋆ Ainsi, l’équation de l’axe des abscisses est donnée par : y = 0.

• Si x1 = x2, la pente est infinie et la droite est parallèle à l’axe des y (droite verticale). Dans ce cas,la droite a pour équation x = x1.

⋆ Ainsi, l’équation de l’axe des ordonnées est donnée par : x = 0.

En pratique, pour représenter une droite dont on connaît deux points, il suffit de placer ces deuxpoints dans un repère et de les relier.

Equation d’une droite de pente donnée et passant par un point donné

Si une droite est parfaitement définie par la donnée de deux de ses points, elle l’est aussi par ladonnée d’un de ses points (par exemple le point d’intersection de cette droite avec l’axe des ordonnées)et de sa pente.

Soit m la pente de la droite et P1 = (x1, y1) un point par lequel passe cette droite.

∆

X

Y

1

m

•

x1

y1P1

Vu que la pente est connue, il reste à déterminer le paramètre p dans l’équation y = mx+ p. Puisque(x1, y1) vérifie l’équation de la droite, on a

y1 = mx1 + p,

d’où la valeur du paramètre p :p = y1 −mx1.

115

L’équation devient alors y = mx+ y1 −mx1.

L’équation cartésienne de la droite de pente m passant par le point P1 = (x1, y1) est donnéepar

y − y1 = m(x− x1).

⋆ Par exemple la droite de pente 4 et passant par le point (1, 3) a pour équation y = 4x− 1. En effet, ona

y − 3 = 4(x− 1),y = 4x− 4 + 3,y = 4x− 1.

En pratique, pour représenter la droite y = mx+p, on place le point (0, p). Partant de ce point, onavance d’une unité vers la droite, puis on monte (si m > 0) ou on descend (si m < 0) d’une longueurm. On obtient ainsi un deuxième point. Il ne reste plus qu’à joindre ces deux points.

√Remarque :

1. Considérons la droite y = mx + p. On remarque que, pour p fixé, la pente de la droite varieavec m. Par contre, si on fixe m, on obtient en faisant varier p des droites parallèles entre elles.L’ajout du terme p a pour seul effet de déplacer la droite vers le haut (ou le bas) d’une distanceégale à p.

2. Si m > 0 alors la droite est croissante, si m < 0 alors la droite est décroissante.

3. Si en déplaçant un point sur la droite on augmente son abscisse de 1, son ordonnée augmenterade m (positif ou négatif).

4. Si en déplaçant un point sur la droite on augmente son abscisse de ∆x, son ordonnée augmentera

de ∆y = m ·∆x. Donc m =∆y

∆x.

∆

X

Y

p1

m∆x

∆y

5. Ayant choisi un système d’axes perpendiculaires avec des unités de même longueur, on a

m = tgα,

où α est l’angle entre l’axe des x positif et la droite, dans le sens trigonométrique.

116

∆

X

Y

p 1m = tgαα

Dans ce cas, la pente est aussi appelée coefficient angulaire de la droite.

Forme générale de l’équation d’une droite

Plus généralement, l’équation d’une droite sera donnée par une relation linéaire du type

ax+ by = c. (1.2)

Cette formulation (1.2) est plus générale que la précédente car elle peut admettre b = 0, ce qui n’étaitpas le cas avec la formulation précédente.

• Si b = 0 et a 6= 0, l’équation (1.2) se réduit à x = ca . Cette équation signifie que, quelle que soit la

valeur de y, x est une constante. Graphiquement, on a donc une droite verticale.

X

Y

x = ca

En particulier, l’équation de l’axe des ordonnées est donnée par x = 0.

• Si b 6= 0 et a 6= 0, on peut réécrire (1.2) comme

y = −a

bx+

c

b.

On s’est donc ramené à l’équation du type (1.1) avec m = −ab et p = c

b .

• Si b 6= 0 et a = 0, on a une équation du type y = cb qui dit que quelle que soit la valeur de x, la

valeur de y est constante. Il s’agit d’une droite horizontale.

117

X

Y

y = cb

En particulier, l’équation de l’axe des abscisses est donnée par y = 0.

1.2 Position relative de deux droites

• Deux droites sont parallèles distinctes si et seulement si elles ont la même pente (m) et desordonnées à l’origine (p) différentes.

⋆ Par exemple, les droites y = 3x+ 2 et y = 3x− 1 sont parallèles.

• Deux droites sont sécantes si et seulement si elles ont des pentes différentes.

⋆ Par exemple, les droites y = 3x+ 2 et y = 5x− 1 sont sécantes.

• Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur pente vaut −1 (ou si unedes droites est verticale et l’autre horizontale).

⋆ Par exemple, les droites y = 3x+ 1 et y = −13x− 1 sont perpendiculaires.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette dernière affirmation.

Les coordonnées du point d’intersection de deux droites sont obtenues en résolvant le systèmeformé par leurs équations.Pour plus de détails concernant les systèmes, cliquez ici.

118


1. Les points (2, 5), (0,−4) et (4, 8) appartiennent-ils à la droite D : y = 3x− 4 ?

Solution détaillée : On a• (2, 5) 6∈ D. En effet, quand on remplace x par 2 et y par 5 dans l’équation de D, celle-ci n’estpas vérifiée puisque 5 6= 3 · 2− 4 ;• (0,−4) ∈ D car −4 = 3 · 0− 4 ;• (4, 8) ∈ D car 8 = 3 · 4− 4.

2. Déterminer l’équation de la droite passant par les points (1, 2) et (−3, 6).

Solution détaillée : On obtient

y − 2 =6− 2

−3− 1(x− 1)

c’est-à-dire y = −x+ 3.

3. Déterminer l’équation de la droite passant par les points (−1, 3) et (7, 3).

Solution détaillée : On a y1 = y2 = 3. Il s’agit donc d’une droite horizontale qui a pouréquation y = 3.

4. Déterminer l’équation de la droite passant par les points (−1, 3) et (−1,−5).

Solution détaillée : On a x1 = x2 = −1. Il s’agit donc d’une droite verticale qui a pouréquation x = −1.

5. Les points (0,−3), (−2, 7) et (32 , 0) appartiennent-ils à la même droite ?

Solution détaillée : Ces trois points n’appartiennent pas à la même droite. En effet, la droiteD passant par (0,−3) et (−2, 7) a pour équation

y − (−3) =7− (−3)

−2− 0(x− 0)

c’est-à-dire y = −5x+ 3 et le point (32 , 0) 6∈ D.

6. Ecrire l’équation cartésienne de la droite D définie par m = −2 et (1, 0) ∈ D.

Solution détaillée : Cette droite a pour équation y− 0 = −2(x− 1) ou encore y = −2x+2.

7. Déterminer la pente de la droite 3x− 2y + 4 = 0.

Solution détaillée : En isolant y dans l’équation 3x − 2y + 4 = 0, on trouve y = 32x + 2 et

donc la pente (qui est le coefficient de x quand on a isolé y) vaut 32 .

8. Déterminer l’équation de la droite passant par P = (5,−7) qui est parallèle à la droite6x+ 3y = 4.

Solution détaillée : La pente de la droite donnée est −2 car on peut écrire y = −2x+ 43 .

On recherche une droite d’équation y = −2x+ p passant par P = (5,−7).– Première résolution : p vérifie −7 = −2 · 5 + p ; d’où p = 3. L’équation de la droite

cherchée est y = −2x+ 3– Deuxième résolution : l’équation de la droite cherchée est y−y1 = −2(x−x1), c’est-à-dire

y − (−7) = −2(x− 5) ou encore y = −2x+ 3.

119

9. Déterminer l’équation de la droite passant par P = (5,−7) qui est perpendiculaire à la droite6x+ 3y = 4.

Solution détaillée : La pente de la droite 6x + 3y = 4 est −2. La pente m de la droitecherchée vérifie l’égalité m.(−2) = −1. Donc m vaut 1

2 .L’équation de la droite cherchée est : y − y1 = 1

2 (x− x1), c’est-à-dire y − (−7) = 12 (x − 5) ou

encore y = 12x− 19

2 .

10. Donner l’équation cartésienne de la droite D parallèle à D′ et passant par (2,−3), avec(5, 4) ∈ D′ et (6, 2) ∈ D′.

Solution détaillée : Cherchons d’abord l’équation de la droite D′. Cette droite contient les

points (5, 4) et (6, 2). Elle a donc pour équation y− 4 =2− 4

6− 5(x− 5) ou encore y = −2x+14.

La pente de D′ vaut donc −2 et comme D est parallèle à D′, la pente de D vaut aussi −2. Onrecherche alors une droite de pente −2 passant par le point (2,−3).Cette droite a pour équation y − (−3) = −2(x− 2) ou encore y = −2x+ 1.

120

3 Preuves

Preuve 23

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur pente vaut −1.

Considérons les droites AB et AC où A = (xa, ya), B = (xb, yb) et C = (xc, yc), avec xa 6= xb etxa 6= xc. On a

AB ⊥ AC ⇐⇒ −−→AB ⊙−→

AC = 0⇐⇒ (xb − xa, yb − ya)⊙ (xc − xa, yc − ya) = 0⇐⇒ (xb − xa)(xc − xa) + (yb − ya)(yc − ya) = 0⇐⇒ (yb − ya)(yc − ya) = −(xb − xa)(xc − xa)

⇐⇒ (yb − ya)

(xb − xa)· (yc − ya)

(xc − xa)= −1

⇐⇒ m1 ·m2 = −1

où m1 est la pente de la droite AB et m2 est la pente de la droite AC.

√Remarque : Les deux premières équivalences sont des propriétés du produit scalaire.Cliquez sur les liens pour des rappels sur les vecteurs et le produit scalaire.

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121

Chapitre 9

Paraboles

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


122

1 Théorie

Une équation du second degré à deux inconnues y = ax2 + bx + c (a 6= 0) est représentée dans leplan cartésien par une parabole. Un point appartient à cette parabole si et seulement si ses coordonnéesvérifient l’équation de la parabole.

⋆ Par exemple, considérons la parabole P : y = 2x2 + x− 1. On a (2, 9) ∈ P car 9 = 2 · 22 + 2− 1 mais(3, 1) 6∈ P puisque 1 6= 2 · 32 + 3− 1.

En pratique, pour représenter une parabole, il faut rechercher

• le signe de a qui détermine si la parabole a un maximum (a < 0) ou un minimum (a > 0) ;

• l’axe de symétrie de la parabole qui est une droite ayant pour équation

y =−b

2a;

• le sommet de la parabole qui a pour coordonnées

S =

(−b

2a,−(b2 − 4ac)

4a

);

x

y y = − b2a

•

S

• les intersections avec l’axe OX. Elles s’obtiennent en résolvant l’équation ax2 + bx+ c = 0.

(a) Si b2 − 4ac > 0, la parabole a 2 intersections avec OX :

les points x1 = (−b−√b2−4ac2a , 0) et x2 = (−b+

√b2−4ac2a , 0).

x

y

•

x1•

x2

123

(b) Si b2 − 4ac = 0, elle a une intersection double avec l’axe OX : le point x1 = (− b2a , 0).

Dans ce cas, la parabole est tangente à l’axe OX au point x1.

x

y

•

x1

(c) Si b2 − 4ac < 0, elle n’a pas d’intersection avec l’axe OX.

x

y

• l’intersection avec l’axe OY qui est le point de coordonnées (0, c).

x

y

•c

Pour plus de détail concernant la résolution d’une équation du second degré, vous pouvez consulter lasection Equations.

124

⋆ Par exemple, la parabole d’équation y = x2 + x + 1 possède un minimum. Son axe de symétrie estla droite x = −1

2 et son sommet est S = (−12 ,

34). Elle n’a pas d’intersection avec l’axe OX et son

intersection avec l’axe OY est (0, 1).

x

y

••

S

− 12

34

1

125


1. Les points (2, 5), (0,−4) et (4, 8) appartiennent-ils à la parabole P : y = 3x2 − 5x− 4 ?

Solution détaillée : On a• (2, 5) 6∈ P . En effet, quand on remplace x par 2 et y par 5 dans l’équation de P , celle-ci n’estpas vérifiée puisque 5 6= 3 · 22 − 5 · 2− 4 ;• (0,−4) ∈ P car −4 = 3 · 02 − 5 · 0− 4 ;• (−1, 4) ∈ P car 4 = 3 · (−1)2 − 5(−1)− 4.

2. Déterminer les intersections avec OX de la parabole y = 6x2 + 7x− 3.

Solution détaillée : Pour trouver les intersections de la parabole avec OX , il faut résoudrel’équation 6x2 + 7x − 3 = 0. On calcule b2 − 4ac = 121 = 112 et donc la parabole a deuxintersections avec OX : x1 = −7+11

12 = 13 et x2 = −7−11

12 = − 32 .

Pour plus de détails sur la résolution des équations du second degré, vous pouvez consulter lasection Equations.

3. On considère la parabole d’équation y = x2 − 4x + 7. Donner les coordonnées du sommet,celles de l’axe de symétrie ainsi que ses intersections avec les axes OX et OY .

Solution détaillée : On a a = 1, b = −4 et c = 7.Cette parabole a sa concavité tournée vers le haut puisque a > 0.

Son sommet a pour coordonnées S =(

−b2a ;

−(b2−4ac)4a

)= (2, 3).

Son axe de symétrie a pour équation x = − b2a et donc x = 2.

Ses intersections avec l’axe OX s’obtiennent en résolvant l’équation x2 − 4x+ 7 = 0. Vu queb2 − 4ac = −12 < 0, cette parabole n’a pas d’intersection avec l’axe OX .L’intersection avec l’axe OY s’obtient en remplaçant x par 0 dans l’équation de la parabole.On trouve y = 7 et donc l’intersection de la parabole avec OY est le point (0, 7).

4. Parmi les paraboles d’équation y = 2x2 + mx + p, déterminer celle qui contient les points(2,−1) et (3, 2).

Solution détaillée : Soit P la parabole d’équation y = 2x2 +mx+ p.Le point (2,−1) ∈ P si −1 = 2 · 22 + 2m+ p, c’est-à-dire si p = −9− 2m.Le point (3, 2) ∈ P si 2 = 2 · 32 + 3m+ p, c’est-à-dire si p = −16− 3m.Pour que les deux points soient sur la parabole, il faut donc que −9− 2m = −16− 3m, c’est-à-dire que m = −7. On en déduit que p = 5. La parabole recherchée a donc pour équationy = 2x2 − 7x+ 5.

5. Parmi les paraboles d’équation y = x2 +mx+ p, déterminer celle dont le sommet est (−2, 5).

Solution détaillée : Le sommet est (−2, 5) si −m2 = −2 donc si m = 4.

De plus, ce sommet appartient à la parabole et donc 5 = (−2)2 + 4 · (−2) + p, d’où p = 9.La parabole recherchée a donc pour équation y = x2 + 4x+ 9.

6. Déterminer m pour que la parabole d’équation y = x2 + (m+ 1)x+m

(a) soit tangente à OX ;

(b) passe par l’origine ;

(c) ait l’axe OY comme axe de symétrie ;

(d) ait pour sommet un point d’ordonnée −4.

Solution détaillée : On a a = 1, b = m+ 1 et c = m.

126

(a) Pour que la parabole soit tangente à l’axe OX , il faut que b2 − 4ac = 0. On calcule

b2 − 4ac = (m+ 1)2 − 4m = m2 − 2m+ 1 = (m− 1)2.

On en déduit que m = 1 et la parabole recherchée est y = x2 + 2x+ 1.

(b) Pour que la parabole passe par l’origine, il faut que (0, 0) satisfasse son équation. Enremplaçant x par 0 et y par 0 dans l’équation, on trouve m = 0. La parabole recherchéeest donc y = x2 + x.

(c) L’axe OY est axe de symétrie de la parabole si − b2a = 0, c’est-à-dire si − (m+1)

2 = 0. Onen déduit que m = −1 et la parabole recherchée est y = x2 − 1.

(d) Le sommet a pour ordonnée −4 si −(b2−4ac)4a = −4. Dans ce cas, −(m−1)2

4 = −4, donc(m − 1)2 = 16 et m = 5 ou m = −3. Il y a donc deux paraboles répondant à cettecondition : y = x2 + 6x+ 5 et y = x2 − 2x− 3.

127

Chapitre 10

Polynômes

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

(a) Somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

(b) Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

(c) Division de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

1.3 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

(a) Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

(b) Emploi des identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

(c) Groupement de termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

(d) Factorisation du trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

(e) Artifices de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

(f) Méthode des diviseurs binômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

128

1 Théorie

1.1 Définitions

Définition 10.1 Un polynôme en la variable x est une somme dont les termes sont les produitsde puissances entières positives ou nulles de la variable x par des nombres réels. Les facteurs réelsde ces produits sont appelés les coefficients du polynôme. Le degré du polynôme est le degré duterme de plus haute puissance de la variable dont le coefficient est non nul. Le terme indépendantdu polynôme est le terme de puissance nulle.

Un polynôme en x de degré n est donc une expression algébrique de la forme :

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

où an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R et n ∈ N.

⋆ Par exemple, 3x2 − 5x+ 6 est un polynôme de degré 2, son terme indeépendant est 6.

Deux polynômes sont égaux si les termes de même puissance ont les mêmes coefficients.

⋆ Par exemple, −5x+ 3x2 + 6 = ax2 + bx+ c ssi a = 3, b = −5, c = 6.

Définition 10.2 L’évaluation du polynôme P en x = a est la valeur numérique de ce polynômeen x = a, c’est-à-dire P (a).

⋆ Par exemple si P (x) = x3 + 2x− 1, on a P (0) = 03 + 2 · 0− 1 = −1 et P (2) = 23 + 2 · 2− 1 = 11.

Définition 10.3 Le nombre réel a est une racine du polynôme P si P (a) = 0.

⋆ Par exemple, le polynôme P (x) = x2 − 5x + 6 possède deux racines x = 2 et x = 3 car P (2) = 0 etP (3) = 0.

1.2 Opérations sur les polynômes

(a) Somme de polynômes

La somme de deux polynômes est le polynôme obtenu en additionnant entre eux les termes demême puissance.

⋆ Par exemple, (3x2 − 5x+ 6) + (x3 − x+ 2) = x3 + 3x2 − 6x+ 8.

(b) Produit de polynômes

Le produit de deux polynômes est le polynôme obtenu en multipliant chaque terme de l’un parchaque terme de l’autre.

⋆ Par exemple, (−x3+2x2+1)(3x− 2) = −3x4 +6x3+3x+2x3− 4x2− 2 = −3x4+8x3− 4x2+3x− 2.

√Remarque : Vous trouverez les règles de calcul des puissances en cliquant ici.

129

(c) Division de polynômes

La division d’un polynôme P (x) (dividende) par un polynôme D(x) (diviseur) donne un polynômeQ(x) (quotient) et un polynôme R(x) (reste) liés par les relations :

P (x) = D(x) ·Q(x) +R(x)

où degré de R(x) < degré de D(x)

et degré de Q(x) = degré de P (x)− degré de D(x)

Division euclidienne

Pour faire une division euclidienne, on réalise un tableau comme pour une division de nombres réels :

P (x) D(x)... Q(x)

R(x)

Cette division s’arrête lorsque le degré de R est strictement inférieur au degré de D.

⋆ Par exemple, divisons le polynôme 6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x− 2 par le polynôme x2 + 2.

6x4 −2x3 +9x2 −2x −2 x2 + 2(1) −6x4 −12x2 6x2 − 2x− 3

−2x3 −3x2 −2x −22x3 +4x

−3x2 +2x −23x2 +6

2x +4

Le premier terme du quotient (6x2) est obtenu en divisant le premier terme du dividende (6x4) par lepremier terme du diviseur (x2).

On obtient alors la première ligne (1) en multipliant le diviseur (x2 + 2) par le premier terme duquotient (6x2). On poursuit ensuite en appliquant les règles usuelles de la division.

Le dernier terme (2x+4), étant de degré inférieur à celui du diviseur, représente le reste de la division.

On a donc :6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x− 2

x2 + 2= 6x2 − 2x− 3 +

2x+ 4

x2 + 2,

ou encore6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x− 2 = (x2 + 2)(6x2 − 2x− 3) + (2x+ 4).

Loi du reste

Si le diviseur D(x) est un polynôme du premier degré de la forme (x− a), on a

P (x) = (x− a) ·Q(x) +R(x)

où le degré de R est strictement inférieur au degré de (x− a). Donc R(x) est une constante et on peutécrire

P (x) = (x− a) ·Q(x) +R.

130

En prenant x = a, on obtient :

P (a) = (a− a) ·Q(a) +R = R.

On a donc le résultat suivant :

Proposition 10.1 Le reste de la division d’un polynôme par (x−a) est égal à la valeur numériquede ce polynôme en x = a, où a ∈ R.

On peut donc déterminer le reste d’une division d’un polynôme en x par (x − a) sans déterminer lequotient et par là même vérifier si la division est exacte, c’est-à-dire si R = 0.

⋆ Par exemple, déterminons le reste de la division de P (x) = x3 − 2x2 + x− 1 par x− 4. Ici, a = 4 et onobtient R = P (4) = 43 − 2 · 42 + 4− 1 = 35.

Division d’un polynôme par (x− a) : Règle de Horner

La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré.

⋆ Par exemple, divisons 2x4 − 18x2 + 2x+ 5 par x+ 3.

2 0 −18 2 5−3 −6 18 0 −6

2 −6 0 2 −1

On dispose dans la première ligne du tableau les coefficients des puissances successives de x du dividendeà commencer par la puissance la plus élevée ; ainsi, 2 est le coefficient de x4, 0 celui de x3, -18 celui dex2, 2 celui de x et 5 est le terme indépendant.

Dans la première colonne de la deuxième ligne, on met le nombre a du polynôme diviseur lorsqu’il estmis sous la forme (x− a) (ici a = −3 puisque le polynôme diviseur est x+ 3 = x− (−3)).

La troisième ligne est alors construite de gauche à droite de la manière suivante :- le premier élément est le coefficient de x4 ;- le deuxième élément (−6) est la somme du coefficient de x3 (0) et du produit de −3 par l’élément

précédement trouvé de la troisième ligne (2) ; ainsi, −6 = 0 + (−3) · 2 ;- le troisième élément (0) est la somme du coefficient de x2 (−18) et du produit de −3 par l’élément

précédement trouvé de la troisième ligne (−6) ; ainsi, 0 = −18 + (−3) · (−6) ;- ainsi de suite jusqu’au dernier élément de la ligne ; ainsi, −1 = 5 + (−3) · 2.

On peut maintenant interpréter ce tableau : les éléments de la troisième ligne représentent les co-efficients des puissances successives de x du quotient à commencer par la puissance la plus élevée.Comme P est de degré 4 et D est de degré 1, le polynôme Q est de degré 4 − 1 = 3 et doncQ(x) = 2 · x3 + (−6)x2 + 0 · x+ 2.Le dernier élément de cette ligne est le reste de la division, ici −1.

On obtient finalement :

2x4 − 18x2 + 2x+ 5

x+ 3= 2x3 − 6x2 + 2− 1

x+ 3

ou encore2x4 − 18x2 + 2x+ 5 = (x+ 3)(2x3 − 6x2 + 2)− 1.

Pour voir le lien entre la division euclidienne et la Règle de Horner, vous pouvez cliquer ici.

131

1.3 Factorisation de polynômes

Définition 10.4 Factoriser un polynôme consiste à le transformer en produits de polynômes dedegré plus petit.

Voici différentes méthodes pour décomposer en facteurs.

(a) Mise en évidence

Lorsque tous les termes d’une expression ont des facteurs communs, il faut toujours commencerpar mettre ces facteurs en évidence.

⋆ Par exemple, 17ax− 34bx = 17x(a − 2b)3a2b− 3ab = 3ab(a− 1)

(b) Emploi des identités remarquables

Si l’expression est le développement d’une identité remarquable, la factorisation est immédiate.Voici les produits remarquables les plus utilisés : pour a, b ∈ R, on a

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

⋆ Par exemple,

4x2 + 12x + 9 = (2x+ 3)2 x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2)x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2 x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x+ 4)x3 + 6x2 + 12x+ 8 = (x+ 2)3 x3 + 27 = (x+ 3)(x2 − 3x+ 9)x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3

(c) Groupement de termes

Un groupement peut faire apparaître un facteur commun ou une identité remarquable.

⋆ Par exemple,ax+ bx+ ay + by = a(x+ y) + b(x+ y)

= (x+ y)(a+ b)

eta2 − b2 − c2 + 2bc = a2 − (b2 + c2 − 2bc)

= a2 − (b− c)2

= [a− (b− c)][a+ (b− c)]= (a− b+ c)(a+ b− c)

(d) Factorisation du trinôme du second degré

Le polynôme ax2 + bx+ c se décompose sous la forme

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2),

avec x1 =−b+

√b2 − 4ac

2aet x2 =

−b−√b2 − 4ac

2asi b2 − 4ac ≥ 0.

132

√Remarque : Pour plus de détails, vous pouvez aller voir le chapitre sur les équations.

⋆ Par exemple, factorisons le polynôme 2x2 + 5x+ 2. On a

2x2 + 5x+ 2 = 2(x+ 12)(x+ 2) = (2x+ 1)(x+ 2)

car

x1 =−5 +

√52 − 4 · 2 · 22 · 2 =

−5 +√9

4=

−2

4= −1

2,

x2 =−5−

√52 − 4 · 2 · 22 · 2 =

−5−√9

4=

−8

4= −2.

(e) Artifices de calculs

Voici quelques “trucs” qui permettent de se ramener à une des situations ci-dessus.

1. Ajouter et retrancher un même terme, puis grouper.

⋆ Par exemple, a4 + 4 =a4 + 4 + 4a2 − 4a2

= (a2 + 2)2 − (2a)2

= (a2 + 2 + 2a)(a2 + 2− 2a)

2. Dédoubler un terme, puis grouper.

⋆ Par exemple, x3 + 5x+ 6 = x3 − x+ 6x+ 6= x(x2 − 1) + 6(x+ 1)= x(x+ 1)(x− 1) + 6(x+ 1)= (x+ 1)(x2 − x+ 6)

3. Effectuer, puis grouper.

⋆ Par exemple, a(a+ c)− b(b− c) = a2 + ac− b2 + bc= (a2 − b2) + c(a+ b)= (a+ b)(a− b) + c(a+ b)= (a+ b)(a− b+ c)

(f) Méthode des diviseurs binômes

Pour déterminer un diviseur binôme (x−a) d’un polynôme, on cherche parmi les diviseurs du termeindépendant, un nombre a (positif ou négatif) qui annule ce polynôme.Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder preuve de cette affirmation.

⋆ Par exemple, factorisons le polynôme x3 + x+ 2. Les diviseurs de 2 sont +1, −1, +2, −2. On calcule

P (1) = 13 + 1 + 2 6= 0,

P (−1) = (−1)3 + (−1) + 2 = 0.

Le polynôme est donc divisible par (x− (−1)) = (x+1). On calcule ensuite le quotient par la méthodede Horner :

1 0 1 2−1 −1 1 −2

1 −1 2 0

Le quotient est x2 − x+ 2 et donc x3 + x+ 2 = (x+ 1)(x2 − x+ 2).

133


1. Donner le degré du polynôme P (x) = 2x2 + 4x + 2, l’évaluer en x = 3 et trouver les racinesde ce polynôme.

Solution détaillée : Le polynôme P est de degré 2 et on a P (3) = 2·32+4·3+2 = 18+12+2 =32. Pour trouver les racines de P , on va le factoriser. On a P (x) = 2(x2 +2x+1) = 2(x+1)2,ce polynôme s’annule donc en x = −1. On a P (−1) = 0 et x = −1 est la seule racine de P .

2. Effectuer la somme et le produit des polynômes P (x) = 3x3 − 2x + 1 et Q(x) = x4 − 2x3 −x2 + 4x− 2.

Solution détaillée : On obtient

P (x) +Q(x) = 3x3 − 2x+ 1 + x4 − 2x3 − x2 + 4x− 2= x4 + x3 − x2 + 2x− 1

et

P (x) ·Q(x) = (3x3 − 2x+ 1)(x4 − 2x3 − x2 + 4x− 2)= 3x7 − 6x6 − 3x5 + 12x4 − 6x3 − 2x5 + 4x4 + 2x3 − 8x2 + 4x+ x4 − 2x3 − x2 + 4x− 2= 3x7 − 6x6 − 5x5 + 17x4 − 6x3 − 9x2 + 8x− 2

3. Effectuer la division de P (x) = x5 + x4 − 3x3 + 3x− 2 par D(x) = x3 − x+ 1.

Solution détaillée : On fait le tableau suivant :

x5 +x4 −3x3 +0x2 +3x −2 x3 − x+ 1−x5 +x3 −x2 x2 + x− 2

x4 −2x3 −x2 +3x −2−x4 +x2 −x

−2x3 +2x −2+2x3 −2x +2

0

On obtient Q(x) = x2 + x− 2 et R(x) = 0, la division est donc exacte. On peut écrire

x5 + x4 − 3x3 + 3x− 2

x3 − x+ 1= x2 + x− 2

ou encorex5 + x4 − 3x3 + 3x− 2 = (x3 − x+ 1)(x2 + x− 2).

4. Effectuer la division de P (x) = 2x4 − 18x2 + 2x+ 5 par D(x) = x+ 3.

Solution détaillée : On fait le tableau suivant :

2x4 +0x3 −18x2 +2x +5 x+ 3−2x4 −6x3 2x3 − 6x2 + 2

−6x3 −18x2 +2x +56x3 +18x2

2x +5−2x −6

−1

On obtient Q(x) = 2x3 − 6x2 + 2 et R(x) = −1. On peut écrire

2x4 − 18x2 + 2x+ 5

x+ 3= 2x3 − 6x2 + 2− 1

x+ 3

ou encore2x4 − 18x2 + 2x+ 5 = (x+ 3)(2x3 − 6x2 + 2)− 1.

Vu que le diviseur est un polynôme du premier degré, on peut également utiliser la règlede Horner pour effectuer cette division. On obtient

134

2 0 −18 2 5−3 −6 18 0 −6

2 −6 0 2 −1

Le degré du quotient est 4 − 1 = 3 et ses coefficients se trouvent dans la dernière ligne dutableau. On trouve bien comme ci-dessus : Q(x) = 2x3 − 6x2 + 2 et R(x) = −1.

5. Utiliser la règle de Horner pour diviser 3x3 − 6x2 + 5x− 3 par 2x− 4.

Solution détaillée : On ne peut pas utiliser directement la règle de Horner puisque le poly-nôme diviseur 2x− 4 n’est pas de la forme x− a.

On remarque cependant que :

3x3 − 6x2 + 5x− 3

2x− 4=

3x3 − 6x2 + 5x− 3

2(x− 2)=

1

2· 3x

3 − 6x2 + 5x− 3

x− 2.

On peut donc maintenant utiliser la règle de Horner pour diviser 3x3 − 6x2+5x− 3 par x− 2.

3 −6 5 −32 6 0 10

3 0 5 7

On obtient3x3 − 6x2 + 5x− 3

x− 2= 3x2 + 5+

7

x− 2

et donc3x3 − 6x2 + 5x− 3

2x− 4=

1

2· 3x

3 − 6x2 + 5x− 3

x− 2

=1

2

(3x2 + 5 +

7

x− 2

)

=3x2 + 5

2+

7

2x− 4.

6. Factoriser l’expression x5 − 8x3 + 16x.

Solution détaillée : On commence par mettre x en évidence : x(x4 − 8x2 + 16).On utilise alors le produit remarquable (a− b)2 pour factoriser la parenthèse :((x2)2 − 2 · 4(x2) + 42) = (x2 − 4)2.Cette dernière parenthèse est du type (a2 − b2). On a donc x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2).On obtient finalement x5 − 8x3 + 16x = x(x2 − 4)2 = x[(x − 2)(x+ 2)]2 = x(x− 2)2(x + 2)2.

7. Factoriser l’expression (x− y)3 − y3.

Solution détaillée : En utilisant le produit remarquable (a3 − b3), on obtient

(x− y)3 − y3 = ((x − y)− y)((x − y)2 + (x − y)y + y2).

On effectue ensuite le produit remarquable dans la parenthèse : (x− y)2 = x2 − 2xy + y2,ainsi que la distributivité : (x− y)y = xy − y2.On obtient finalement

(x− y)3 − y3 = (x− 2y)(x2 − 2xy + y2 + xy − y2 + y2)= (x− 2y)(x2 − xy + y2).

8. Factoriser l’expression x7 − 3x5 + 3x3 − x.

135

Solution détaillée : En groupant les premier et quatrième termes, ainsi que les deux termesdu milieu, on obtient

(x7 − x)− (3x5 − 3x3) = x(x6 − 1)− 3x3(x2 − 1).

Pour pouvoir mettre x(x2 − 1) en évidence, il faut faire apparaître (x2 − 1) dans le premierterme. Ce premier terme est du type (a3 − b3). On a donc

(x6 − 1) = ((x2)3 − 13) = (x2 − 1)((x2)2 + x2 · 1 + 12) = (x2 − 1)(x4 + x2 + 1).

On obtient alors

x7 − 3x5 + 3x3 − x = x(x6 − 1)− 3x3(x2 − 1)= x(x2 − 1)(x4 + x2 + 1)− 3x3(x2 − 1)= x(x2 − 1)(x4 + x2 + 1− 3x2)= x(x2 − 1)(x4 − 2x2 + 1).

Le facteur x4 − 2x2 + 1 est un produit remarquable du type (a− b)2. On obtient

x7 − 3x5 + 3x3 − x = x(x2 − 1)(x4 − 2x2 + 1)= x(x2 − 1)((x2)2 − 2 · x2 · 1 + 12)= x(x2 − 1)(x2 − 1)2

= x(x2 − 1)3.

La dernière parenthèse est du type (a2 − b2) : x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1).Finalement, on a

x7 − 3x5 + 3x3 − x = x[(x − 1)(x+ 1)]3 = x(x − 1)3(x+ 1)3.

9. Factoriser l’expression x8 + 9.

Solution détaillée : En ajoutant et retirant la quantité 6x4, on fait apparaître un produitremarquable du type (a+ b)2 :

x8 + 9 = x8 + 9+ 6x4 − 6x4

= ((x4)2 + 2 · 3 · x4 + 32)− 6x4

= (x4 + 3)2 − 6x4.

On a alors un produit remarquable du type a2 − b2 :

(x4 + 3)2 − 6x4 = (x4 + 3)2 − (√6x2)2

= (x4 + 3−√6x2)(x4 + 3 +

√6x2)

= (x4 −√6x2 + 3)(x4 +

√6x2 + 3).

136

3 Preuves

Preuve 24

La Règle de Horner est une disposition pratique de la division euclidienne par (x− a).

Pour simplifier l’écriture, considérons un polynôme de degré 3, P (x) = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0, etdivisions-le par un polynôme du premier degré (x− a). La division euclidienne s’effecue de la manièresuivante

a3x3 +a2x

2 +a1x +a0 x− a−a3x

3 +a · a3x2 a3x2 + b1x+ b0

b1x2 +a1x +a0

−b1x2 +a · b1x

b0x +a0−b0x +a · b0

r

où b1 = a2 + a · a3, b0 = a1 + a · b1 et r = a0 + a · b0.On remarque que• Le coefficient du premier terme du quotient (a3) est le coefficient du premier terme du dividende(a3) ;• Le coefficient du deuxième terme du quotient (b1) s’obtient en ajoutant au coefficient du deuxièmeterme du dividende (a2) le produit du coefficient du premier terme du quotient (a3) par a ;• Le coefficient du troisième terme du quotient (b0) s’obtient en ajoutant au coefficient du troisièmeterme du dividende (a1) le produit du coefficient du deuxième terme du quotient (b1) par a ;• Le reste (r) s’obtient en ajoutant au terme indépendant du dividende (a0) le produit du termeindépendant du quotient (b0) par a.

Ceci peut également être écrit dans un tableau de Horner de la façon suivante

a3 a2 a1 a0a +a · a3 +a · b1 +a · b0

a3 b1 b0 r

Ce résultat se généralise pour des polynômes de degré n.

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137

Preuve 25

Pour déterminer un diviseur binôme (x− a) d’un polynôme, on cherche parmi les diviseurs duterme indépendant, un nombre a (positif ou négatif) qui annule ce polynôme.

Soit P (x) = bnxn + bn−1x

n−1 + · · ·+ b1x+ b0. On a

P (a) = 0 ⇔ bnan + bn−1a

n−1 + · · ·+ b1a+ b0 = 0⇔ b0 = −(bna

n + bn−1an−1 + · · ·+ b1a)

⇔ b0 = −a(bnan−1 + bn−1a

n−2 + · · ·+ b1)

Donc a est racine de P si et seulement si a est un diviseur de b0. On peut alors écrire

P est divisible par (x− a) ⇔ P (a) = 0⇔ a est un diviseur du terme indépendant de P

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138

Chapitre 11

Repères et vecteurs

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1.1 Le plan R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

(a) Repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

(b) Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

(c) Notion de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

(d) Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

1.2 L’espace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

(a) Repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

(b) Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

(c) Notion de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

(d) Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

(e) Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.3 La notion de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

(a) Vecteurs du plan R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

(b) Vecteurs de l’espace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1.4 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

(a) L’addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

(b) La soustraction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

(c) Multiplication d’un vecteur par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

(d) Le produit scalaire de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

(e) Le produit vectoriel de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

(f) Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

1.5 Vecteurs et points particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

(a) Vecteur normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

(b) Vecteurs colinéaires et orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

(c) Milieu d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

(d) Vecteurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

139

1 Théorie

1.1 Le plan R2

(a) Repère

De même que l’on a identifié les points de la droite réelle (munie d’un repère : une origine et unelongueur unité) aux nombres réels, on peut identifier les points du plan aux couples de nombres réels.Pour cela, il convient de se donner dans le plan un repère, constitué de deux droites sécantes, chacunemunie d’une unité de longueur et qui se coupent en leur point origine. L’une des droites est appeléel’axe des x ou axe des abscisses, noté OX, et l’autre est l’axe des y ou axe des ordonnées, notéOY . En général, on utilise deux droites perpendiculaires, munies de la même unité de longueur. Onparle alors de repère cartésien orthonormé. Le plan est ainsi divisé en quatre quadrants, le premierd’entre eux étant délimité par la partie positive des deux axes.

O

Iy > 0

x > 0II

IVIII

y > 0

x < 0

x < 0

y < 0

x > 0

y < 0

X

Y

•

(b) Coordonnées cartésiennes

D’un point P quelconque du plan, on mène des parallèles aux axes qui coupent ceux-ci en a pourl’axe des x et en b pour l’axe des y. Le point P est ainsi associé au couple de nombres réels (a, b).Inversément, à tout couple de nombres réels (a, b), en menant des parallèles aux axes passant par aporté sur l’axe des x et par b porté sur l’axe des y, on fait correspondre l’unique point d’intersectionde ces deux droites. Le couple (a, b) est appelé coordonnées cartésiennes du point P . Le nombre aest l’abscisse de P et le nombre b est son ordonnée.

140

X

Y

•P = (a, b)

a

b

(c) Notion de distance

Définition 11.1 La distance entre deux points P = (xp, yp) et Q = (xq, yq) de R2 est donnée parla formule

d(P,Q) =√

(xq − xp)2 + (yq − yp)2.

Cette formule est une application immédiate du Théorème de Pythagore au triangle rectangle PQR.

•

•

•

X

Y

Q

P R

O xp xq

yp

yq

En particulier, la distance d’un point P = (x, y) à l’origine est donnée par√

x2 + y2 qui est lalongueur de l’hypoténuse du triangle rectangle OPR.

141

•

•

•

X

Y

P

R

O x

y

Application : Equation du cercle

Dans un plan fixé, on se donne un point C et un nombre r > 0.

Définition 11.2 On appelle cercle de centre C et de rayon r, l’ensemble des points du planqui sont à une distance r du point C. C’est donc l’ensemble des points P du plan qui vérifient lacondition

d(P,C) = r.

Pour établir l’équation cartésienne du cercle, on se place dans un repère. Les coordonnées du point Cdans ce repère sont (xc, yc). Soit P = (x, y), un point du cercle. Puisque d(P,C) = r, on a

√(x− xc)2 + (y − yc)2 = r.

L’équation du cercle centré en (xc, yc) et de rayon r est donc

(x− xc)2 + (y − yc)

2 = r2.

En particulier, l’équation du cercle centré en (0, 0) et de rayon r est

x2 + y2 = r2.

(d) Coordonnées polaires

Pour préciser la position d’un point P , au lieu de ses coordonnées cartésiennes (x, y), on peutdonner les informations suivantes :• la distance de P à l’origine, notée r (r > 0),• l’angle entre l’axe OX et OP , noté θ. Par convention, θ ∈ [0, 2π[ .Ce sont les coordonnées polaires du point P .

142

X

Y

O

θ

r

P (x, y)•

On observe immédiatement que {x = r cos θy = r sin θ

Le lien dans l’autre sens demande un peu plus d’attention. Vu que r est la distance de P à l’origine,on a

r =√

x2 + y2.

Pour θ, on note que si x = 0 alors θ = π2 ou 3π

2 , selon que y > 0 ou y < 0. Si x 6= 0, on a

tg θ =y

x,

ce qui nous permet de trouver θ, en y ajoutant au besoin π selon les signes de x et y.

⋆ Par exemple, pour P = (−√32 ,−1

2 ) on trouve

r =

√3

4+

1

4= 1

et

arctgy

x= arctg

√3

3=

π

6

et on doit prendre θ = π6 +π = 7π

6 car les coordonnées cartésiennes de P sont toutes les deux négatives.

L’intérêt des coordonnées polaires est qu’elles permettent de décrire certaines figures géométriquesà l’aide d’équations particulièrement simples. Voici quelques exemples :

⋆ Le cercle de centre O et de rayon R sera décrit par l’équation r = R.

⋆ Une demi-droite issue de O et formant un angle α avec l’axe OX sera décrite par θ = α.

⋆ L’équation d’une ellipse en coordonnées polaires est

r =a− c2/a

1 + e cos θ.

Cette description est utilisée en astronomie car la terre (ou une autre planète) décrit une ellipse dontun foyer est occupé par le soleil.

⋆ L’équation de la feuille de trèfle est donnée par r = cos 3θ.

143

X

Y

π6

π3

7π6

4π3

11π6

5π3

5π6

2π3

0π

π2

3π2

Si on essayait d’obtenir l’équation cartésienne correspondante, on pourrait utiliser le fait que cos 3θ =cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ = cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ et en tirer la relation

r4 = r3 cos3 θ − 3(r2 sin2 θ)(r cos θ)

ou encore(x2 + y2)2 = x3 − 3xy2.

Il n’est pas évident de voir l’allure de la courbe à partir de cette équation ! En coordonnées polaires,les choses sont plus simples.

1.2 L’espace R3

(a) Repère

Dans les sections précédentes, nous avons travaillé dans le plan. Si l’on veut travailler dans l’espaceà trois dimensions, il faut considérer 3 axes. Un repère dans l’espace est constitué de trois droitessécantes, chacune munie d’une unité de longueur, et qui se coupent en leur point origine. Ces troisdoites sont l’axe des x, l’axe des y et l’axe des z. Lorsque les trois droites dont perpendiculaires deuxà deux et munies de la même unité de longueur, on parle de repère cartésien orthonormé. Engénéral, les axes des y et des z se trouvent dans le plan de la feuille et celui des x se projette versl’avant.

Y

Z

X

b

O

144

Ainsi placés, ces 3 axes déterminent un système de coordonnées droit ou d’orientation directe.On dit que le repère formé par les axes OX, OY et OZ est d’orientation directe si un spectateur“debout” sur le plan OXY , les pieds en O et la tête en Z, observe que pour amener la droite OXsur la droite OY , il doit faire une rotation dans le sens antihorlogique (on regarde le plus petit anglepossible). Dans le cas contraire, le repère est dit d’orientation rétrograde.

O X

Z

Y

√Remarque : Notons que pour savoir si un repère est direct ou rétrograde, l’ordre dans lequel on placeles axes est important. Si on permute 2 axes, on change l’orientation du repère. On la change aussiquand on change la direction des axes. Par exemple le repère de la Figure (a) est d’orientation directetandis que le repère de la Figure (b) est d’orientation rétrograde.

X

Y

Z

b

O

Figure (a)

X

Z

Y

b

O

Figure (b)

(b) Coordonnées cartésiennes

D’un point P quelconque de l’espace, on mène des parallèles aux axes qui coupent ceux-ci en apour l’axe des x, en b pour l’axe des y et en c pour l’axe des z. Le point P est ainsi associé au triplede nombres réels (a, b, c) qui sont les coordonnées cartésiennes du point P .

145

Y

Z

X

b P = (a, b, c)

a

b

c

O

(c) Notion de distance

Définition 11.3 Dans R3, la distance entre deux points P = (xp, yp, zp) et Q = (xq, yq, zq) estdonnée par la formule

d(P,Q) =√

(xq − xp)2 + (yq − yp)2 + (zq − zp)2.

Cette formule provient d’une double application du Théorème de Pythagore. Si vous êtes intéressé,vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

En particulier, la distance d’un point P = (x, y, z) à l’origine est donnée par√

x2 + y2 + z2.

Application : Equation de la sphère

Dans l’espace, on se donne un point C et un nombre r > 0.

Définition 11.4 On appelle sphère de centre C et de rayon r, l’ensemble des points qui sontà une distance r du point C. C’est donc l’ensemble des points P qui vérifient la condition

d(P,C) = r.

Pour établir l’équation cartésienne de la sphère, on se place dans un repère. Les coordonnées du pointC dans ce repère sont (xc, yc, zc). Soit P = (x, y, z), un point de la sphère. Puisque d(P,C) = r, on a

√(x− xc)2 + (y − yc)2 + (z − zc)2 = r.

146

L’équation de la sphère centré en (xc, yc, zc) et de rayon r est donc

(x− xc)2 + (y − yc)

2 + (z − zc)2 = r2.

En particulier, l’équation de la sphère centré en (0, 0, 0) et de rayon r est

x2 + y2 + z2 = r2.

(d) Coordonnées cylindriques

Pour obtenir les coordonnées cylindriques, on garde une des coordonnées cartésiennes, parexemple z, et, dans le plan de coordonnées correspondant aux 2 autres on passe aux coordonnées polaires.Un point P se trouvera ainsi repéré par• la cote z,• les coordonnées polaires r et θ de sa projection orthogonale dans le plan OXY .

Ce type de coordonnées est indiqué pour une surface dont les coupes horizontales sont des cerclescentrés sur l’axe OZ. Voici quelques exemples :

⋆ Un cylindre circulaire droit d’axe OZ et de rayon R sera décrit par l’équation r = R.

⋆ Une surface de révolution engendrée par la rotation autour de OZ du graphe d’une fonction f :

I → R+ ; z → f(z) sera décrite par r = f(z) simplement. Par exemple, le paraboloïde z = x2

a2+ y2

a2sera

décrit par r = a√z.

Ces coordonnées sont souvent utilisées en physique pour l’étude de mouvements de rotation parexemple.

(e) Coordonnées sphériques

Pour préciser la position d’un point sur la surface terrestre, on donne la longitude et la latitude.Les coordonnées sphériques vont dans ce sens.

Y

Z

X

P

Q

Oϕ

θr

Pour préciser la position d’un point P dans l’espace, on peut donner les trois quantités suivantes :• la distance du point P à l’origine, notée r (r > 0),• l’angle que fait le demi-plan comprenant OZ et P avec le demi-plan OXZ, appelé longitude etnoté ϕ,• l’angle que fait OP avec OZ, appelé co-latitude et noté θ (la latitude se compte à partir del’équateur).

147

Le lien avec les coordonnées cartésiennes est donné par les équations

x = r sin θ cosϕy = r sin θ sinϕz = r cos θ

Voici quelques exemples :

⋆ La sphère de centre O et de rayon R est décrite par l’équation r = R.

⋆ Un demi-plan issu de OZ sera décrit par ϕ = α (α donné).

⋆ Un cône de révolution d’axe OZ sera décrit par θ = α (α donné).

1.3 La notion de vecteur

Nous présentons cette notion dans le plan (R2) et dans l’espace (R3). Des quantités comme l’aire,le volume, la longueur, la température et le temps n’ont qu’une intensité et peuvent être entièrementreprésentées par un nombre réel (accompagné de l’unité de mesure adéquate). Une grandeur de cetype est une grandeur scalaire et le nombre correspondant est un scalaire. Des concepts tels quela vitesse ou la force ont à la fois une intensité, un sens et une direction. En physique, on appellevecteur une quantité caractérisée par une longueur (ou intensité ou grandeur), par une directionet par un sens dans cette direction. Citons comme illustrations, l’effet d’un champ magnétique dansl’espace avec son intensité et sa direction ; l’effet d’une force appliquée en un point caractérisée parune intensité et une direction ; un avion qui se déplace avec une certaine vitesse dans une certainedirection ; un déplacement dans le plan caractérisé par une longueur ou distance et une direction.

Supposons que l’on déplace un objet d’une position A à une position B. On peut représenter cedéplacement par un segment fléché, la pointe de la flèche étant placée au point B et l’origine en A,

pour indiquer que le mouvement s’est effectué de A vers B. On utilise alors−−→AB comme notation pour

le vecteur. Il est important de réaliser qu’un vecteur est entièrement caractérisé par sa longueur etsa direction. L’endroit où l’on place dans le plan, ou dans l’espace, l’origine d’un vecteur est sansimportance, seules comptent sa longueur et sa direction.

•

•

•

•

•

•

A

B

O

V ~v

Dans la figure ci-dessus,−−→AB et

−−→OV définissent le même vecteur que l’on pourrait représenter par le

symbole ~v. En d’autres termes, un vecteur est défini indépendamment de la position où on le place dansle plan ou dans l’espace. Mathématiquement, tous les segments fléchés de même longueur et de mêmedirection sont équivalents (on dit qu’ils forment une classe d’équivalence) et peuvent être représentéspar n’importe lequel d’entre eux.

148

(a) Vecteurs du plan R2

Considérons un repère cartésien orthonormé. En plaçant l’origine du vecteur ~v à l’origine du repère,

on obtient le point V qui est l’extrémité de ~v. On a donc ~v =−−→OV . Le point V est un point du plan et

a donc des coordonnées : V = (vx, vy). Les composantes du vecteur ~v sont les coordonnées du pointV . On écrira ~v = (vx, vy).

vx

vy

O

~v

V•

Si (xa, ya) et (xb, yb) sont respectivement les coordonnées des points A et B, le vecteur−−→AB ou ~u

qu’ils définissent, a pour composantes (ux, uy) = (xb − xa, yb − ya). En effet, le vecteur−−→AB peut être

identifié au vecteur−−→OU .

•

•

O

B

A

~u

xa xb

ya

yb

•

•

O

U

~u

ux

uy

Définition 11.5 La longueur (ou encore norme ou module) du vecteur ~v de composantes(vx, vy), représenté dans le plan par

−−→OV , est notée ‖~v‖ et est le nombre réel positif donné par

‖~v‖ =√

v2x + v2y .

Si ~u =−−→AB = (xb − xa, yb − ya) alors

‖~u‖ = ‖−−→AB‖ =√

(xb − xa)2 + (yb − ya)2.

Il ne s’agit de rien d’autre que de l’application du Théorème de Pythagore.

Dans le plan, si un vecteur ~v est connu par sa longueur ‖~v‖ et par l’angle θ (mesuré dans le senscontraire des aiguilles d’une montre) qu’il forme avec l’axe horizontal, on en détermine aisément les

149

composantes (vx, vy) parvx = ‖~v‖ cos θ, vy = ‖~v‖ sin θ.

vx

vy

O

θ

‖~v‖

V•

Inversément, on détermine la longueur ‖~v‖ d’un vecteur ~v, ainsi que l’angle θ qu’il forme avec l’axehorizontal par

‖~v‖ =√

v2x + v2y , tg θ = vy/vx,

pour vx 6= 0, ce qui nous permet de trouver θ, en y ajoutant au besoin π selon les signes de vx et vy.Pour plus de détails, vous pouvez consulter le chapitre de trigonométrie.

⋆ Par exemple, si le vent souffle à 12km/h dans la direction N40◦W, on peut exprimer sa vitesse par unvecteur ~v. La direction N40◦W correspond à un angle de 130◦. On a donc

~v = (vx, vy) = (‖~v‖ cos 130◦, ‖~v‖ sin 130◦) = (−7, 7; 9, 2).

(b) Vecteurs de l’espace R3

Dans le cas de vecteurs dans l’espace, on parlera de triplets ordonnés de nombres réels. Par exemple,

le vecteur ~v =−−→OV = (vx, vy, vz).

Si (xa, ya, za) et (xb, yb, zb) sont respectivement les coordonnées des points A et B, le vecteur−−→AB

ou ~u qu’ils définissent, a pour composantes (ux, uy) = (xb − xa, yb − ya, zb − za).

b V

vx

vy

vz

O

150

La définition de norme s’étend sans difficulté aux cas du vecteur dans l’espace.

Définition 11.6 La norme du vecteur ~v de composantes (vx, vy, vz) est le nombre réel positifdonné par

‖~v‖ =√

v2x + v2y + v2z .

Si ~u =−−→AB = (bx − ax, by − ay, bz − az) alors

‖~u‖ = ‖−−→AB‖ =√

(bx − ax)2 + (by − ay)2 + (bz − az)2.

⋆ Par exemple, considérons le vecteur ~u =−−→AB où A = (3, 1,−2) et B = (−2, 7,−4).

Les composantes du vecteur ~u se calculent par la différence entre les coordonnées du point B et cellesdu point A :

~u = (−2− 3, 7− 1,−4 + 2) = (−5, 6,−2).

La norme du vecteur ~u se calcule par la formule

‖~u‖ =√

(−5)2 + 62 + (−2)2 =√65.

1.4 Opérations sur les vecteurs

Dans les applications, on distingue les grandeurs scalaires par opposition aux grandeurs vec-torielles, c’est-à-dire aux vecteurs. Une grandeur scalaire est caractérisée par un seul nombre réel,alors qu’une grandeur vectorielle est caractérisée par deux ou trois nombres réels suivant que l’on setrouve dans le plan ou l’espace. Les opérations que l’on peut effectuer sur des grandeurs scalaires nesont rien d’autre que celles que l’on peut effectuer sur les nombres réels. Par contre, on définit desopérations spécifiques aux vecteurs.

(a) L’addition vectorielle

On définit l’addition ou somme de deux vecteurs ~u et ~v, comme le vecteur dont les composantessont obtenues par addition des composantes correspondantes des deux vecteurs ~u et ~v. On note

−−−→u+ v

le vecteur somme.

Définition 11.7 Dans le plan, si ~u est le vecteur (ux, uy) et ~v le vecteur (vx, vy) alors le vecteursomme est le vecteur −−−→

u+ v = (ux + vx, uy + vy).

~u

~v

~u+ ~v

On peut donner une interprétation géométrique de cette opération. On considère le vecteur ~u placéen n’importe quel point du plan. On place le vecteur ~v à l’extrémité du vecteur ~u. Les deux vecteursforment alors les côtés d’un parallélogramme dont la diagonale partant de l’origine de ~u et arrivant àl’extrémité de ~v est le vecteur somme

−−−→u+ v.

151

Définition 11.8 Dans l’espace, si ~u est le vecteur (ux, uy, uz) et ~v le vecteur (vx, vy, vz) alors levecteur somme est le vecteur

−−−→u+ v = (ux + vx, uy + vy, uz + vz).

⋆ Par exemple, la somme des deux vecteurs ~a = (3, 1, 4) et ~b = (1,−2, 3) est le vecteur−−−→a+ b = (3+1, 1+

(−2), 4 + 3) = (4,−1, 7).

Propriétés de l’addition vectorielle

1. L’addition vectorielle est commutative : ~u+ ~v = ~v + ~u.On constate que le vecteur

−−−→v + u que l’on forme en additionnant ~v et ~u coïncide avec le vecteur−−−→

u+ v.

~u

~v

~u+ ~v

~u

~v~v + ~u

• •

••

2. L’addition vectorielle est associative : ~u+ (~v + ~w) = (~u+ ~v) + ~w.

On constate que si l’on additionne−−→OB =

−−−→u+ v à ~w on obtient le vecteur

−−→OC = (

−−−→u+ v) + ~w. On

obtient ce même vecteur en additionnant au vecteur ~u, le vecteur−→AC =

−−−→v + w. D’où ~u+(~v+ ~w) =

(~u+ ~v) + ~w.

~u

~v

~u+ ~v

~w

~v + ~w

• •

•

•

O

C

B

A

On remarquera que pour additionner n vecteurs, il suffit en partant d’une position arbitraire dupremier vecteur, de placer successivement l’origine de chaque vecteur à l’extrémité du précédent.

152

~v1

~v2

~v3~v4

~v5

~v1 + ~v2 + ~v3 + ~v4 + ~v5

•

•

•

•

•

•

•

Le vecteur somme des n vecteurs est alors le vecteur dont l’origine est celle du premier et l’ex-trémité, celle du dernier. Dans cette opération, l’ordre des vecteurs dans la somme n’a pas d’im-portance. Cette opération peut se faire aussi bien dans l’espace que dans le plan.

3. L’addition vectorielle admet un élément neutre : ~v + ~o = ~v.L’élément neutre est le vecteur nul ou zéro, noté ~o et défini comme le vecteur dont toutes lescomposantes sont égales à zéro. Dans le plan, on a ~o = (0, 0) et dans l’espace ~o = (0, 0, 0). Cesvecteurs ont une longueur nulle et par convention leur direction n’est pas définie.

4. L’addition vectorielle admet un opposé : ~v + (−~v) = ~o.Le vecteur noté −~v et appelé vecteur opposé de ~v, dont les composantes sont les composantesdu vecteur ~v, changées de signe. Dans le plan, si ~v = (vx, vy) alors −~v = (−vx,−vy) et dansl’espace, si ~v = (vx, vy, vz) alors −~v = (−vx,−vy,−vz). Le vecteur −~v a la même longueur que~v, la même direction, mais est de sens opposé.

(b) La soustraction vectorielle

La soustraction vectorielle revient à une addition vectorielle : lorsqu’on veut soustraire le vecteur~v du vecteur ~u, on ajoute à ~u l’opposé de ~v, c’est-à-dire

−−−→u− v = ~u+ (−~v).

Définition 11.9 Dans le plan, si ~u est le vecteur (ux, uy) et ~v le vecteur (vx, vy) alors le vecteur−−−→u− v est donné par −−−→

u− v = (ux − vx, uy − vy).

~u− ~v

~v

~u

~u− ~v

−~v

• •

••

On constate que pour soustraire ~v de ~u, il suffit de placer sur le même point les origines des deuxvecteurs et de prendre comme origine et extrémité du vecteur

−−−→u− v respectivement l’extrémité de ~v et

l’extrémité de ~u.

153

Définition 11.10 Dans l’espace, si ~u est le vecteur (ux, uy, uz) et ~v le vecteur (vx, vy, vz) alors levecteur

−−−→u− v est donné par

−−−→u− v = (ux − vx, uy − vy, uz − vz).

⋆ Par exemple, la différence des deux vecteurs ~a = (3, 1, 4) et ~b = (1,−2, 3) est le vecteur−−−→a− b =

(3− 1, 1− (−2), 4 − 3) = (2, 3, 1).

(c) Multiplication d’un vecteur par un scalaire

La multiplication d’un vecteur ~v par un scalaire α, notée α~v, est le vecteur dont les composantessont celles de ~v multipliées par α.

Définition 11.11 Dans le plan si ~v = (vx, vy) et α ∈ R alors α~v = (αvx, αvy).

~v −2~v

12~v

Géométriquement, cette opération revient à effectuer une contraction ou une dilatation du vecteur ~v,avec éventuellement un renversement de sens si le scalaire α est négatif.

Définition 11.12 Dans l’espace, si ~v = (vx, vy, vz) et α ∈ R alors α~v = (αvx, αvy , αvz).

⋆ Par exemple, si ~v = (1, 2, 3) et α = 4 alors α~v = (4, 8, 12).

Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire

1. Distributivité par rapport à l’addition dans R : (α+ β)~v = α~v + β~v.

2. Distributivité par rapport à l’addition vectorielle : α(~u+ ~v) = α~u+ α~v.

3. Associativité mixte : α(β~v) = (αβ)~v.

4. Elément neutre : 1 · ~v = ~v.

On dira que deux vecteurs ~u et ~v du plan ou de l’espace :

1. ont la même direction et sont de même sens si ~u = α~v, pour un certain α > 0,

2. ont la même direction et sont de sens contraire si ~u = α~v, pour un certain α < 0.

Définition 11.13 Deux vecteurs sont colinéaires ou parallèles s’ils ont la même direction, c’est-à-dire s’il existe α ∈ R tel que ~u = α~v.

154

⋆ Par exemple, les vecteurs ~u = (4, 8, 12) et ~v = (1, 2, 3) sont parallèles car ~u = 4~v.

(d) Le produit scalaire de deux vecteurs

Il s’agit d’une opération de multiplication entre deux vecteurs donnant comme résultat un scalaire,c’est-à-dire un nombre. Il est noté en général avec un point ~u ·~v. Pour le distinguer de la multiplicationusuelle, nous le noterons ~u⊙~v. Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produitsde leurs composantes correspondantes.

Définition 11.14 Dans le plan, si ~u = (ux, uy) et ~v = (vx, vy) alors

~u⊙ ~v = uxvx + uyvy.

Dans l’espace, si ~u = (ux, uy, uz) et ~v = (vx, vy, vz) alors

~u⊙ ~v = uxvx + uyvy + uzvz.

On appelle ce produit “scalaire” parce que son résultat est un nombre.

⋆ Par exemple, le produit scalaire des vecteurs ~u = (2, 3, 4) et ~v = (1,−2, 2) est le nombre réel

~u⊙ ~v = 2 · 1 + 3 · (−2) + 4 · 2 = 4.

Propriétés du produit scalaire

1. Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa longueur ou norme :~v ⊙ ~v = ‖~v‖2.

2. Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif : ~u⊙ ~v = ~v ⊙ ~u.

3. Il y a distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs :~u⊙ (~v + ~w) = ~u⊙ ~v + ~u⊙ ~w.

4. Il y a associativité mixte : (α~u)⊙ ~v = α(~u⊙ ~v) = ~u⊙ (α~v).

5. Le vecteur nul est absorbant pour le produit scalaire : ~o⊙ ~u = 0.

On peut définir le produit scalaire d’un point de vue géométrique.

Proposition 11.1 Si θ désigne l’angle entre les deux vecteurs non nuls ~u et ~v, alors

~u⊙ ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos θ.

En d’autres termes, le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes des vecteurspar le cosinus de l’angle entre ceux-ci.


De la proposition, on peut déduire la formule suivante pour le cosinus de l’angle θ que formentdeux vecteurs ~u et ~v.

Si θ désigne l’angle entre les deux vecteurs non nuls ~u et ~v, alors cos θ =~u⊙ ~v

‖~u‖‖~v‖

155

⋆ Par exemple, l’angle entre les vecteurs ~a = (4,−3) et ~b = (1, 2) est donné par

cos θ =~a⊙~b

‖~a‖‖~b‖=

−2

5√5,

et donc

θ = arccos−2

5√5≈ 100, 3◦.

Définition 11.15 Deux vecteurs sont orthogonaux s’ils forment un angle droit.

Dans ce cas, le cosinus de l’angle vaut 0 et on déduit de la proposition que le produit scalaire est nul.

~u ⊥ ~v ⇔ ~u⊙ ~v = 0.

⋆ Par exemple, les vecteurs ~a = (12 ,−3) et ~b = (−2, 12) sont parallèles. En effet, on a

cos θ =~a⊙~b

‖~a‖‖~b‖=

−37

37= −1,

et doncθ = arccos(−1) = π.

L’angle entre les deux vecteurs étant π, ces deux vecteurs sont parallèles. De plus, on remarque que~b = −4~a.

⋆ Par contre, les vecteurs ~a = (2, 3) et ~b = (6,−4) sont orthogonaux car ~a⊙~b = 2.6 + 3.(−4) = 0.

On peut démontrer les deux résultats suivants, relatifs à la longueur des vecteurs :

Proposition 11.2 Soit ~u et ~v deux vecteurs.

(1) Inégalité de Cauchy-Schwartz : |~u⊙ ~v| ≤ ‖~u‖‖~v‖.

(2) Inégalité triangulaire : ‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.Cette inégalité spécifie que dans un triangle, la longueur d’un côté ne peut dépasser la somme deslongueurs des deux autres côtés.


(e) Le produit vectoriel de deux vecteurs

A la différence du produit scalaire, qui est un nombre réel, le produit vectoriel de deux vecteur est unvecteur, noté ~u×~v (ou encore ~u∧~v). Pour le définir, on a besoin de la notion d’orientation d’un repère.

Définition 11.16 Le produit vectoriel de deux vecteurs ~u et ~v est le vecteur ~u× ~v qui satisfaitles propriétés suivantes :• ~u× ~v est perpendiculaire à ~u et à ~v ;• ‖~u× ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖ | sin θ| ;• les vecteurs ~u, ~v et ~u× ~v pris dans cet ordre forment un repère d’orientation directe.

√Remarque : La longueur ‖~u× ~v‖ est l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs ~u et ~v.


156

Propriétés du produit vectoriel

1. Le produit vectoriel de deux vecteurs est anti-commutatif : ~u× ~v = −(~v × ~u).

2. Le produit vectoriel est linéaire à gauche : ~u× (α~v + β ~w) = α(~u× ~v) + β(~u× ~w).

3. Le produit vectoriel est linéaire à droite : (α~u+ β~v)× ~w = α(~u× ~w) + β(~v × ~w).

Proposition 11.3 Soit ~u = (ux, uy, uz) et ~v = (vx, vy, vz). Les composantes du vecteur ~u× ~v sontdonnées par

~u× ~v = (uyvz − uzvy, uzvx − uxvz, uxvy − uyvx).

⋆ Par exemple, si ~a = (1, 2, 3) et~b = (6, 5, 4) alors le vecteur ~v = ~a×~b = (2·4−3·5, 3·6−1·4, 1·5−2·6) =(−7, 14,−7) est perpendiculaire aux vecteurs ~a et ~b. L’aire du parallélogramme construit sur ~a et ~b. est

‖~a×~b‖ = ‖~v‖ =√49 + 196 + 49 =

√294 = 7

√6.

Dans le cas où les deux vecteurs sont parallèles, le sinus de l’angle vaut 0 et on en déduit que leproduit vectoriel est nul.

~u ‖ ~v ⇔ ~u× ~v = ~o.

⋆ Par exemple, les vecteurs ~u = (1,−2, 3) et ~v = (−2, 4,−6) sont parallèles car

~u× ~v = (−2 · (−6)− 3 · 4, 3 · (−2)− (−6) · 1, 1 · 4− (−2) · (−2)) = (0, 0, 0) = ~o.

On a ~v = −2~u.

(f) Produit mixte

Si on dispose de 3 vecteurs donnés ~u,~v et ~w, on peut considérer l’expression

(~u× ~v)⊙ ~w

qui désigne un nombre réel, appelé produit mixte des 3 vecteurs .

Dans un repère cartésien orthonormé, on peut donner une signification géométrique intéressante à|(~u×~v)⊙ ~w|. En effet, ce nombre revient à ‖~u×~v‖‖~w‖| cos(~u×~v, ~w)|. Si nous regardons le parallélipipèdeconstruit sur les 3 vecteurs, nous observons que ‖~u×~v‖ donne l’aire de la base (construite sur ~u et ~v) etque ‖~w‖| cos(~u×~v, ~w)| donne la longueur de la projection orthogonale de ~w sur la droite qui porte ~u×~v,c’est-à-dire la hauteur du parallélipipède. Donc |(~u× ~v)⊙ ~w| donne le volume du parallélipipède.

~u× ~v

~u

~v

~w

157

1.5 Vecteurs et points particuliers

(a) Vecteur normé

Etant donné un vecteur ~v, on est parfois amené à considérer un vecteur de longueur un, dans lamême direction et dans le même sens que ~v. Notons ~1v ce vecteur. Pour l’obtenir, il suffit de diviser levecteur ~v par sa longueur. On dit d’un vecteur dont la norme est égale à un qu’il est normé.

Le vecteur normé correspondant à ~v est ~1v =~v

‖~v‖ .

⋆ Par exemple, le vecteur normé de même direction et de même sens que le vecteur ~v = (−5, 6,−2) estle vecteur

~1v =~v

‖~v‖ =(−5, 6,−2)√

65=

(− 5√

65,

6√65

,− 2√65

).

On a bien

‖~1v‖ =

∥∥∥∥(− 5√

65,

6√65

,− 2√65

)∥∥∥∥ =

√25

65+

36

65+

4

65= 1.

(b) Vecteurs colinéaires et orthogonaux

Rappelons que deux vecteurs ~u et ~v sont colinéaires s’ils ont même direction, et donc s’il existeα ∈ R tel que ~u = α~v.

~u et ~v sont colinéaires ⇔ ~u ‖ ~v ⇔ ∃α ∈ R : ~u = α~v

Deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux s’ils forment un angle droit et donc si ~u⊙ ~v = 0.

~u et ~v sont orthogonaux ⇔ ~u ⊥ ~v ⇔ ~u⊙ ~v = 0

(c) Milieu d’un vecteur

Pour trouver le milieu d’un vecteur, on additionne les composantes de son origine et de son extrémitéet on les divise par deux.

Définition 11.17 Dans le plan, si P = (xp, yp) et Q = (xq, yq) alors les coordonnées du point

M , milieu du vecteur−−→PQ sont données par

(xm, ym) =

(1

2(xp + xq),

1

2(yp + yq)

).

Dans l’espace, si P = (xp, yp, zp) et Q = (xq, yq, zq) alors les coordonnées du point M , milieu

du vecteur−−→PQ sont données par

(xm, ym, zm) =

(1

2(xp + xq),

1

2(yp + yq),

1

2(zp + zq)

).

158

(d) Vecteurs de base

Dans le cas du plan, les vecteurs (1, 0) et (0, 1) jouent un rôle particulier. Il s’agit des vecteursunitaires parallèles aux axes. On peut exprimer tout vecteur ~v de composantes (vx, vy) comme combi-naison linaire de ces deux vecteurs avec les composantes (vx, vy) comme coefficients de la combinaisonlinéaire : ~v = (vx, vy) = vx(1, 0) + vy(0, 1).

Définition 11.18 Le repère [(0, 0); (1, 0), (0, 1)] est appelé repère canonique de R2. Si ~v =(vx, vy) alors

~v = (vx, vy) = vx(1, 0) + vy(0, 1).

Les vecteurs (1, 0) et (0, 1) sont appelés vecteurs de base. Le nombre vx est appelé composantehorizontale de ~v et vy est appelé composante verticale de ~v.

Il en est de même des vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) dans l’espace R3.

Définition 11.19 Le repère [(0, 0, 0); (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] est appelé repère canonique deR3. Si ~v = (vx, vy, vz) alors

~v = (vx, vy, vz) = vx(1, 0, 0) + vy(0, 1, 0) + vz(0, 0, 1).

159


1. Déterminer les coordonnées polaires du point P = (−√24 ,

√24 ).

Solution détaillée : On a

r =

√√√√(−√2

4

)2

+

(√2

4

)2

=

√2

16+

2

16=

√1

4=

1

2

et

tg θ =

√24

−√24

= −1

donc θ = 3π4 ou θ = 7π

4 . Les coordonnées cartésiennes indiquent que le point P se trouve dansle deuxième quadrant et donc θ = 3π

4 .Le point P en coordonnées polaires s’écrit donc P = (12 cos (

3π4 ), 1

2 sin (3π4 )).

2. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point P si r = 2 et θ = 7π6 .

Solution détaillée : On a

x = r cos θ = 2 cos

(7π

6

)= 2 ·

(−√3

2

)= −

√3

et

y = r sin θ = 2 sin

(7π

6

)= 2 ·

(−1

2

)= −1.

Le point P a donc pour coordonnées cartésiennes P = (−√3,−1).

3. Déterminer la distance entre les points (3, 1) et (2, 4).

Solution détaillée : On calcule d =√(2 − 3)2 + (4− 1)2 =

√1 + 9 =

√10.

4. Donner l’équation du cercle de centre (1, 2) et passant par le point (6,−1).

Solution détaillée : Le rayon de ce cercle est donné par la distance entre les points (1, 2) et(6,−1). Ce rayon vaut donc r =

√(6 − 1)2 + (−1− 2)2 =

√25 + 9 =

√34.

Le cercle centré en (1, 2) et de rayon√34 a pour équation

(x − 1)2 + (y − 2)2 = 34

ou encorex2 − 2x+ y2 − 4y = 29.

5. Déterminer le centre et le rayon de la sphère d’équation x2+ y2+ z2−12x+14y−8z+1 = 0.

Solution détaillée : On a successivement

x2 − 12x+ y2 + 14y + z2 − 8z = −1x2 − 2 · 6 · x+ 36 + y2 + 2 · 7 · y + 49 + z2 − 2 · 4 · z + 16 = −1 + 36 + 49 + 16(x− 6)2 + (y + 7)2 + (z − 4)2 = 100

Il s’agit donc d’une sphère de centre (6,−7, 4) et de rayon 10.

6. Déterminer ~a+~b, ~a−~b et (~a− 4~b) pour ~a = (−2, 6, 1), ~b = (3,−3,−1).

Solution détaillée : On a~a+~b = (−2 + 3, 6− 3, 1− 1) = (1, 3, 0),

~a−~b = (−2− 3, 6− (−3), 1− (−1)) = (−5, 9, 2),

(~a− 4~b) = (−2, 6, 1)− 4(3,−3,−1) = (−2, 6, 1)− (12,−12,−4) = (−14, 18, 5).

160

7. Etant donné ~a = (−2, 3, 1), ~b = (7, 4, 5) et ~c = (1,−5, 2), calculer les nombres ~a⊙~b, ~a⊙ (~b+~c)et ~a⊙~b+ ~a⊙ ~c.

Solution détaillée : On a~a⊙~b = −2 · 7 + 3 · 4 + 1 · 5 = −14 + 12 + 5 = 3,~a⊙ (~b+ ~c) = (−2, 3, 1)⊙ (8,−1, 7) = −2 · 8 + 3 · (−1) + 1 · 7 = −12,

~a⊙~b+ ~a⊙ ~c = −2 · 7 + 3 · 4 + 1 · 5 + (−2) · 1 + 3 · (−5) + 1 · 2 = −12.

Remarquons que ~a⊙ (~b+ ~c) = ~a⊙~b+ ~a⊙ ~c.

8. Etant donné ~a = (1, 0, 2), ~b = (−1, 2, 1) et ~c = (0, 1,−1), calculer les vecteurs (~a ×~b) × ~c et~a× (~b× ~c).

Solution détaillée : On a~a×~b = (0 · 1− 2 · 2, 2 · (−1)− 1 · 1, 1 · 2− 0 · (−1)) = (−4,−3, 2),

(~a×~b)× ~c = (−3 · (−1)− 2 · 1, 2 · 0− (−4) · (−1),−4 · 1− (−3) · 0) = (1,−4,−4).D’autre part,~b× ~c = (2 · (−1)− 1 · 1, 1 · 0− (−1) · (−1), (−1) · 1− 0 · 2) = (−3,−1,−1),

~a× (~b× ~c) = (0 · (−1)− 2 · (−1), 2 · (−3)− 1 · (−1), 1 · (−1)− 0 · (−3)) = (2,−5,−1).

Remarquons que (~a×~b)× ~c 6= ~a× (~b× ~c).

9. Déterminer si ~a = (4,−1,−2) et ~b = (2,−2, 5) sont orthogonaux.

Solution détaillée : On sait que ~a ⊥ ~b ⇔ ~a⊙~b = 0.On calcule ~a⊙~b = 4 · 2+ (−1) · (−2)+ (−2) · 5 = 0, donc les vecteurs ~a et ~b sont orthogonaux.

10. Déterminer les valeurs de c pour que les vecteurs ~a = (c,−2, 3) et ~b = (c, c,−5) soientorthogonaux.

Solution détaillée : On sait que ~a ⊥ ~b ⇔ ~a⊙~b = 0.Or ~a⊙~b = c2 − 2c− 15 et donc

~a⊙~b = 0 ⇔ c2 − 2c− 15 = 0,⇔ (c− 5)(c+ 3) = 0,⇔ c = 5 ou c = −3.

Pour plus de détails sur la factorisation, cliquez ici.

11. Soit P1 = (−1, 2, 3) et P2 = (2,−2, 8). Donner les composantes du vecteur−−−→P1P2, sa longueur

et les coordonnées du point M , milieu de−−−→P1P2. Déterminer aussi les coordonnées de P3 tel

que−−−→P1P3 = 3

−−−→P1P2.

Solution détaillée : On a−−−→P1P2 = (2− (−1),−2− 2, 8− 3) = (3,−4, 5),

‖−−−→P1P2‖ =√32 + (−4)2 + 52 =

√9 + 16 + 25 =

√50 = 5

√2,

M = P1+P2

2 = 12 (−1 + 2, 2− 2, 3 + 8) = (12 , 0,

112 ).

Soit P3 = (a, b, c). On a−−−→P1P3 = P3 − P1 = (a + 1, b − 2, c − 3) et

−−−→P1P2 = P2 − P1 =

(2 + 1,−2− 2, 8− 3) = (3,−4, 5). Il faut donc que a+ 1 = 3 · 3 = 9, b− 2 = 3 · (−4) = −12 etc− 3 = 3 · 5 = 15. Donc a = 8, b = −10, c = 18 et P3 = (8,−10, 18).

12. Le point P est soumis à deux forces−−→PQ et

−→PR d’intensités respectives de 5N et 8N (le Newton

est l’unité de force). La direction de−−→PQ est N20◦E et la direction de

−→PR est N65◦O. Donner

les composantes horizontales et verticales de−−→PQ et

−→PR.

Solution détaillée : On peut repésenter la situation à l’aide du schéma suivant :

161

•

•

•

P

Q

R

a

b

c

d

20◦

65◦

On a ‖−−→PQ‖ = 5 et ‖−→PR‖ = 8. Soit (a, b) les composantes de−−→PQ et (c, d), les composantes de−→

PR.On calcule a = ‖−−→PQ‖ cos (90◦ − 20◦) = 5 cos 70◦ et b = ‖−−→PQ‖ sin (90◦ − 20◦) = 5 sin 70◦.

La composante horizontale de−−→PQ est a = 5 cos 70◦ et la composante verticale de

−−→PQ est

b = 5 sin 70◦.De même, c = −‖−→PR‖ cos (90◦ − 65◦) = −8 cos 25◦ et d = ‖−→PR‖ sin (90◦ − 65◦) = 8 sin 25◦.

La composante horizontale de−→PR est c = −8 cos 25◦ et la composante verticale de

−→PR est

d = 8 sin 25◦.

13. Deux forces ~F1 et ~F2 qui agissent simultanément sur un point matériel P ont une actionéquivalente à une force unique appelée résultante ~R. Cette résultante est obtenue en traçantla diagonale du parallélogramme construit sur les vecteurs ~F1 et ~F2.

•

~F1

~F2~R

P

Dans la construction de la résultante, il suffit de tracer la moitié du parallélogramme où l’onplace bout à bout les vecteurs ~F1 et ~F2. On a ~R = ~F1 + ~F2.

•

~F1

~F2

~R

P

14. L’intensité et la direction d’une force constante sont données par −→a = (2, 5). Calculer letravail effectué si le point d’application de la force se déplace de l’origine au point P = (4, 1).

Solution détaillée : Si ~F est une force constante et ~d représente le déplacement, on a W =~F ⊙ ~d. Ici, ~F = ~a = (2, 5), ~d =

−−→OP = (4, 1) et donc W = ~F ⊙ ~d = 2 · 4 + 5 · 1 = 13 Joules.

162

15. Sur un plan incliné dont la pente fait un angle de 30◦ avec l’horizontale, on pousse vers lehaut un petit wagonnet pesant 500 N. Calculer le travail effectué pour compenser la force degravitation si l’on pousse le wagonnet sur une distance de 24 m.

Solution détaillée : Représentons schématiquement le problème dans un système de coordonnées :

•

~F1

~F2

Pa

b

30◦

Le vecteur ~F1 = (0,−500) représente la force de gravitation orientée vers le bas d’une intensité

de 500 N. Le point d’application de cette force se déplace le long du vecteur ~F2 de norme 24.

Les composantes de ce vecteur sont a = ‖ ~F2‖ cos 30◦ = 24 ·√32 = 12

√3 et b = ‖ ~F2‖ sin 30◦ =

24 · 12 = 12. Donc ~F2 = (12

√3, 12) et W = ~F1 ⊙ ~F2 = (0,−500) ⊙ (12

√3, 12) = −6000. Le

travail effectué pour compenser la force de gravitation est donc de 6000 Joules.

163

3 Preuves

Preuve 26

Si θ désigne l’angle entre les deux vecteurs non nuls ~u et ~v, alors

~u⊙ ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos θ.

Travaillons dans l’espace. Soit ~u = (ux, uy, uz) et ~v = (vx, vy, vz).

Cas 1 : Les vecteurs ~u et ~v ne sont pas colinéaires.

Y

Z

X

b V = (vx, vy, vz)

b

bU = (ux, uy, uz)θ

La Règle des cosinus permet d’écrire

‖−−→UV ‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 − 2‖~u‖‖~v‖ cos θ.

D’où

(vx − ux)2 + (vy − uy)

2 + (vz − uz)2 = (u2x + u2y + u2z) + (v2x + v2y + v2z)− 2‖~u‖‖~v‖ cos θ.

On peut simplifier cette dernière expression en

−2uxvx − 2uyvy − 2uzvz = −2‖~u‖‖~v‖ cos θ,

ce qui par division des deux membres par −2 donne le résultat recherché.

Cas 2 : Les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires, c’est-à-dire il existe α ∈ R tel que ~v = α~u. On a en vertudes propriétés du produit scalaire,

~u⊙ ~v = ~u⊙ (α~u) = α(~u⊙ ~u) = α‖~u‖2.

De même, on a‖~u‖‖~v‖ cos θ = ‖~u‖‖α~u‖ cos θ = |α|‖~u‖2 cos θ.

Si α > 0, alors |α| = α, θ = 0 et |α|‖~u‖2 cos θ = α‖~u‖2 = ~u⊙ ~v.Si α < 0, alors |α| = −α, θ = π et |α|‖~u‖2 cos θ = −α‖~u‖2 · (−1) = α‖~u‖2 = ~u⊙ ~v.

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164

Preuve 27

Soit ~u et ~v deux vecteurs.

(1) Inégalité de Cauchy-Schwartz : |~u⊙ ~v| ≤ ‖~u‖‖~v‖.

(2) Inégalité triangulaire : ‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.Cette inégalité spécifie que dans un triangle, la longueur d’un côté ne peut dépasser la somme deslongueurs des deux autres côtés.

(1) En utilisant la Proposition 11.1, on obtient

|~u⊙ ~v| = | ‖~u‖‖~v‖ cos θ|= ‖~u‖‖~v‖| cos θ|≤ ‖~u‖‖~v‖.

(2) En utilisant l’inégalité ci-dessus et les propriétés du produit scalaire, on obtient

‖~u+ ~v‖2 = (~u+ ~v)⊙ (~u+ ~v)= ~u⊙ ~u+ ~u⊙ ~v + ~v ⊙ ~u+ ~v ⊙ ~v= ‖~u‖2 + 2~u⊙ ~v + ‖~v‖2≤ ‖~u‖2 + 2 ‖~u‖ ‖~v‖+ ‖~v‖2= (‖~u‖+ ‖~v‖)2.

En prenant la racine carrée des deux membres (qui sont positifs), on trouve

‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.Retour au texte

165

Preuve 28

La longueur ‖~u× ~v‖ est l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs ~u et ~v.

Construisons la figure suivante :

O θ

~v

~uQ

V

U•

•

••

Soit Q la projection orthogonale de V sur ~u.

La longueur ‖−−→QV ‖ représente la hauteur du parallélogramme construit sur ~u et ~v. L’aire de ce paral-

lélogramme est donc donnée par ‖~u‖ · ‖−−→QV ‖ et comme

| sin θ| = ‖−−→QV ‖‖−−→OV ‖

=‖−−→QV ‖‖~v‖ ,

on obtientAire = ‖~u‖ ‖~v‖ | sin θ| = ‖~u× ~v‖.

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166

Preuve 29

Dans R3, la distance entre deux points P = (xp, yp, zp) et Q = (xq, yq, zq) est donnée par la formule

d(P,Q) =√

(xq − xp)2 + (yq − yp)2 + (zq − zp)2.

Construisons la figure suivante :

b

b

Q = (xq, yq, zq)

(xq, yp, zp) = S b R = (xq, yq, zp)

(xp, yp, zp) = P b

b

t

d

Si P = (xp, yp, zp) et Q = (xq, yq, zq) alors on a R = (xq, yq, zp) et S = (xq, yp, zp).Dans le plan PSR, le triangle PSR est rectangle en S et par le Théorème de Pythagore, on obtient

t2 = (xq − xp)2 + (yq − yp)

2.

Dans le plan PQR, le triangle PQR est rectangle en R et par le Théorème de Pythagore, on obtient

d2 = t2 + (zq − zp)2.

Finalement, on ad2 = (xq − xp)

2 + (yq − yp)2 + (zq − zp)

2.

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167

Chapitre 12

Trigonométrie

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

1.1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

(a) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

(b) Positions relatives de deux angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

(c) Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

1.2 Nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

(a) Définition des nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

(b) Propriétés des nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

(c) Formules trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

1.3 Règle des sinus et Règle des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

1.4 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

(a) Equations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

(b) Equations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

(c) Equations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

168

1 Théorie

1.1 Angles

(a) Définitions

Définition 12.1 Un angle est une portion du plan comprise entre deux demi-droites. Il est com-posé de deux côtés ayant un même sommet. Si O est le sommet et A, B sont deux points sur lescôtés, on parlera de l’angle AOB.

b

b

b

O

A

B

α

Un angle est souvent désigné par une lettre grecque minuscule telle α, β, γ ou θ.La mesure d’un angle s’exprime soit en degrés, soit en radians. Un angle de 1 degré correspond à

1360 d’une rotation d’un tour complet dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. La mesure d’unangle α, ou amplitude de l’angle, est la mesure de longueur s de l’arc AB (où A et B se trouventsur le cercle unité centré en O).

b

b

b

O

A

B

α s

1

Lorsque s = 1, on dira que α mesure 1 radian. Puisque la longueur du cercle unité est 2π, on obtientla correspondance suivante entre degrés et radians :

360◦ = 2π radians

1 radian =360◦

2π= 57◦17′45′′ . . .

1 degré =2π

360radians = 0, 01745 radians

169

Un angle est aigu si son amplitude est inférieure à 90◦. Un angle droit est un angle dont l’amplitudeest 90◦. Un angle est obtu si son amplitude est entre 90◦ et 180◦. Un angle plat est un angle dontl’amplitude est 180◦.

Deux angles ayant même amplitude sont dits congruents. Deux angles sont équivalents si ladifférence d’amplitude de ces angles est un multiple de 360◦ = 2π radians.

Des angles sont complémentaires si la somme de leurs amplitudes vaut 90◦. Des angles sontsuplémentaires si la somme de leurs amplitudes vaut 180◦. Deux angles dont la différence des am-plitudes vaut 180◦ sont dits anti-supplémentaires. Deux angles sont opposés si la somme de leursamplitudes vaut 0◦.

⋆ Par exemple, si l’angle α = 30◦ alors l’angle 60◦ est le complémentaire de α, l’angle 150◦ est lesupplémentaire de α, l’angle 210◦ est l’anti-supplémentaire de α. L’angle −30◦ est l’opposé de α etl’angle 750◦ est équivalent à α.

(b) Positions relatives de deux angles

Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet et un côté commun. Dans la figure ci-dessous,les angles AOB et BOC sont adjacents.

b b

b

b

O A

B

C

Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont même sommet et si leurs côtés sont lesprolongements respectifs l’un de l’autre. Dans la figure ci-dessous, les angles AOB et DOC sont opposéspar le sommet, ainsi que les angles AOD et BOC.

b

O

b

A

b

B

bC

b

D

Proposition 12.1 Deux angles opposés par le sommet ont même amplitude.

Considérons deux droites parallèles d1 et d2 coupées par une droite d3. Soit A le point d’intersectionde d1 et d3 et B le point d’intersection de d2 et d3.

170

b

A

b

B

d2

d3

d1

A1

A2

A3

A4

B1

B2

B3

B4

Deux angles sont correspondants s’ils n’ont pas le même sommet et se trouvent du même côtéde la droite d3 et du même côté respectivement de la droite d1 et de la droite d2.

⋆ Par exemple, les angles A1 et B1 sont correspondants, les angles A2 et B2 sont correspondants, lesangles A3 et B3 sont correspondants et les angles A4 et B4 sont correspondants.

Deux angles sont alternes internes s’ils n’ont pas le même sommet et se trouvent de part etd’autre de la droite d3 et entre les droites d1 et d2.

⋆ Par exemple, les angles A4 et B2 sont alternes internes. Et les angles A3 et B1 sont alternes internes.

Deux angles sont alternes externes s’ils n’ont pas le même sommet et se trouvent de part etd’autre de la droite d3 et à l’extérieur des droites d1 et d2.

⋆ Par exemple, les angles A1 et B3 sont alternes externes. Et les angles A2 et B4 sont alternes externes.

Proposition 12.2Deux angles correspondants ont même amplitude.Deux angles alternes internes ont même amplitude.Deux angles alternes externes ont même amplitude.

(c) Angles et cercles

On considère un cercle de centre O et A, B, C trois points de ce cercle.

b

O

b A

b

B

bC

171

Un angle est inscrit dans un cercle si son sommet est un point du cercle et si ses deux côtés coupentle cercle en un deuxième point.

⋆ Par exemple, dans la figure ci-dessus, l’angle ACB est inscrit dans le cercle. Cet angle intercepte l’arcAB.

Proposition 12.3 Dans un cercle, des angles inscrits interceptant le même arc ont même ampli-tude.


Dans le cas particulier où l’angle inscrit dans un cercle intercepte un diamètre, on a le résultat suivant.

Proposition 12.4 Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle.Réciproquement, on peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre estl’hypoténuse du triangle.


Un angle au centre d’un cercle a le centre de ce cercle comme sommet.

⋆ Par exemple, dans la figure ci-dessus, l’angle AOB est un angle au centre. Cet angle intercepte l’arcAB.

Proposition 12.5 Dans un cercle, l’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitudede l’angle inscrit qui intercepte le même arc.


⋆ Par exemple, dans la figure ci-dessus, l’amplitude de l’angle AOB vaut le double de l’amplitude del’angle ACB.

1.2 Nombres trigonométriques

(a) Définition des nombres trigonométriques

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine. On mesure l’angle α àpartir de l’axe horizontal ; α est positif dans le sens anti-horlogique et négatif dans le sens des aiguillesd’une montre. Les angles sont définis à 2π près ; ainsi l’angle α est le même que les angles α + 2π,α+ 4π, α− 2π, . . . , α+ 2kπ, k ∈ Z.

Les nombres trigonométriques sinus et cosinus, tangente et cotangente sont définis pour un angleα donné comme le montre la figure suivante.

172

b

O

b

P

b

bb

tg α

cotg αb

αsinα

cosα 1

1

Définition 12.2 Soit P un point du cercle trigonométrique faisant un angle α avec l’axe horizontal.L’abscisse de P est appelée cosinus α et l’ordonnée de P est appelée sinus α.L’ordonnée du point d’abscisse 1 de la droite OP est appelée tangente α et l’abscisse du pointd’ordonnée 1 de la droite OP est appelée cotangente α.

Les coordonnées du point P sont donc (cosα, sinα) et on a toujours

−1 ≤ cosα ≤ 1 et − 1 ≤ sinα ≤ 1

On déduit du Théorème de Pythagore la formule fondamentale suivante :

sin2 α+ cos2 α = 1

Considérons les triangles rectangles OAB et OA′B′.

bO b

b

A′

B

b

A

b

B′

α

1

cosα

tgαsinα

Ces deux triangles sont semblables et par les propriétés des triangles semblables, on a donc

tgα =sinα

cosα.

173

Remarquons que le nombre tgα n’est défini que pour α 6= π2 + kπ, k ∈ Z. De même, on a

cotg α =cosα

sinα=

1

tgα,

où α 6= kπ, k ∈ Z.

Toujours en utilisant les propriétés des triangles semblables, on a

|AB||OB| =

|AB|1

= sinα,

d’où

sinα =côté opposé à α

hypoténuse

De même, on a|OA||OB| =

|OA|1

= cosα,

d’où

cosα =côté adjacent à α

hypoténuse

On en déduit que

tgα =sinα

cosα=

côté opposé à α

côté adjacent à α

⋆ Par exemple, si α est un angle aigu et cosα = 34 , on peut calculer les valeurs des nombres trigonomé-

triques de α. Commençons par dessiner un triangle rectangle ayant un angle aigu α avec “côté adjacent”=3 et “hypoténuse” =4.

α

x

3

4

174

Soit x le côté opposé à α. Par le Théorème de Pythagore, on a

32 + x2 = 42,

d’où x =√16− 9 =

√7. On en déduit

sinα =opposé

hypoténuse =

√7

4, tg α =

opposéadjacent =

√7

3,

cosα =adjacent

hypoténuse =3

4, cotg α =

adjacentopposé =

3√7=

3√7

7.

Voici quelques valeurs remarquables des nombres trigonométriques.

α 0π

6

π

4

π

3

π

2π

sinα 01

2

√2

2

√3

21 0

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20 −1

tgα 0

√3

31

√3 / 0

(b) Propriétés des nombres trigonométriques

Le calcul d’un nombre trigonométrique d’un angle donné peut se ramener au calcul d’un nombretrigonométrique d’un angle du premier quadrant. A partir des valeurs données dans la table ci-dessus,on peut déduire les valeurs d’autres nombres trigonométriques grâce aux formules ci-dessous.

Pour des angles opposés α et −α

Dans un cercle trigonométrique, deux angles opposés sont représentés par deux points du cercle symé-triques par rapport à l’axe OX.

b

O

b

b

α−α

Pour des angles opposés α et −α :

sin(−α) = − sinα tg (−α) = −tg αcos(−α) = cosα cotg (−α) = −cotg α

175

Pour des angles complémentaires α et π2 − α

Dans un cercle trigonométrique, deux angles complémentaires sont représentés par deux points ducercle symétriques par rapport à la droite y = x.

bO

b

b

απ2 − α

Pour des angles complémentaires α et π2 − α :

sin(π2 − α) = cosα tg (π2 − α) = cotg αcos(π2 − α) = sinα cotg (π2 − α) = tg α

Pour des angles supplémentaires α et π − α

Dans un cercle trigonométrique, deux angles supplémentaires sont représentés par deux points du cerclesymétriques par rapport à l’axe OY .

b

O

bb

α π − α

Pour des angles supplémentaires α et π − α :

sin(π − α) = sinα tg (π − α) = −tg αcos(π − α) = − cosα cotg (π − α) = −cotg α

176

Pour des angles anti-supplémentaires α et π + α

Dans un cercle trigonométrique, deux angles anti-supplémentaires sont représentés par deux points ducercle symétriques par rapport à l’origine O.

bO

b

b

α π + α

Pour des angles anti-supplémentaires α et π + α :

sin(π + α) = − sinα tg (π + α) = tg αcos(π + α) = − cosα cotg (π + α) = cotg α

(c) Formules trigonométriques

Les formules suivantes relient les différents nombres trigonométriques.

Formule fondamentale

sin2 α+ cos2 α = 1

Formules de duplication

sin(2α) = 2 sinα cosαcos(2α) = cos2 α− sin2 α = 1− 2 sin2 α = 2cos2 α− 1

tg (2α) =2 tgα

1− tg2 α

Formules d’addition

sin(α+ β) = sinα cosβ + sin β cosα sin(α− β) = sinα cos β − sin β cosαcos(α+ β) = cosα cos β − sin β sinα cos(α− β) = cosα cos β + sinβ sinα

tg (α+ β) =tg α+ tg β

1− tg α · tg β tg (α− β) =tg α− tg β

1 + tg α · tg β

Formules de Carnot

sin2 α =1− cos(2α)

21 + tg2α =

1

cos2 α

cos2 α =1 + cos(2α)

21 + cotg2α =

1

sin2 α

177

Formules de Simpson

sinα+ sin β = 2 sin (α+β2 ) cos (α−β

2 )

sinα− sin β = 2 sin (α−β2 ) cos (α+β

2 )

cosα+ cos β = 2cos (α+β2 ) cos (α−β

2 )

cosα− cos β = −2 sin (α−β2 ) sin (α+β

2 )

1.3 Règle des sinus et Règle des cosinus

Le résultat suivant permet de trouver la longueur d’un côté d’un triangle quelconque si on connaîtla longueur d’un autre côté et les deux angles opposés. Il permet également de déterminer un angle sion en connaît un autre et la longueur de leurs côtés opposés.

Théorème 12.6 (Règle des sinus) Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportion-nelles aux sinus des angles opposés, c’est-à-dire si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangleet α, β et γ sont les angles opposés respectivement à ces côtés, on a

sinα

a=

sin β

b=

sin γ

c.

bA b B

b

C

c

ba

α β

γ


⋆ Voici un exemple d’application de ce résultat. Lorsque l’angle d’élévation du soleil est de 64◦, un poteautéléphonique qui penche d’un angle de 9◦ par rapport à une ligne formée par le pied du poteau et lesoleil projette une ombre de 6,3 mètres sur le sol. On cherche la hauteur du poteau.

178

b b

b

A B

C

b

S

64◦ β

γ

9◦

c = 6, 3

Le triangle ABC (avec α = 64◦, β = 90◦ − 9◦ = 81◦ et γ = 180◦ − 64◦ − 81◦ = 35◦) représente lesfaits. Pour calculer la hauteur du poteau, c’est-à-dire le côté a = BC du triangle ABC, on utilise laRègle des sinus :

sinα

a=

sin γ

c,

c’est-à-diresin 64◦

a=

sin 35◦

6, 3,

d’où a = 6, 3 · sin 64◦

sin 35◦ = 9, 87 mètres.

Le résultat suivant est une généralisation du Théorème de Pythagore. Il permet de trouver lalongueur d’un des côtés à partir de celle des deux autres et de l’angle compris entre ces deux autrescôtés. Il porte le nom de règle des cosinus ou encore règle de Pythagore généralisée.

Théorème 12.7 (Règle des cosinus) Dans tout triangle, le carré de la longueur d’un côté estégal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés diminuée du double produit deslongueurs de ces deux côtés par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés, c’est-à-dire si a, b etc sont les longueurs des côtés d’un triangle et α, β et γ sont les angles opposés respectivement àces côtés, on a

a2 = b2 + c2 − 2bc cosαb2 = a2 + c2 − 2ac cos βc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

179

bA b B

b

C

c

ba

α β

γ


⋆ Voici un exemple d’application de ce résultat. Sur le flanc d’une montagne se trouve une tour. Unobservateur se trouvant à 320 mètres de la tour la voit sous un angle de 6◦. Il monte alors dans ladirection de la tour et, après avoir parcouru 220 mètres, il la voit sous un angle de 13◦. On cherche lahauteur de cette tour. Schématisons la situation.

b

b

b

b

A

BD

C

6◦

β 13◦

α

220

320

On déduit des données que l’angle β = 180◦ − 13◦ = 167◦, donc l’angle α = 180◦ − 167◦ − 6◦ = 7◦.On déduit la longueur du côté AC de la Règle des sinus :

220

sin 7◦=

|AC|sin 167◦

et donc |AC| = 220 · sin 167◦

sin 7◦= 406, 1 mètres.

Finalement, par la Règle des cosinus, on obtient

h2 = |CD|2 = |AD|2 + |AC|2 − 2|AD| |AC| cos 6◦

= 3202 +

(220 · sin 167

◦

sin 7◦

)2

− 2 · 320 ·(220 · sin 167

◦

sin 7◦

)· cos 6◦

= 8836, 99

et donc h =√h2 ≈ 94 mètres.

180

1.4 Equations trigonométriques

Définition 12.3 Une équation trigonométrique est une équation où l’inconnue intervient dansl’expression d’un sinus, d’un cosinus, d’une tangente ou d’une cotangente.

(a) Equations fondamentales

Cherchons tous les angles x tels que sinx = m où m ∈ [−1, 1].

Soit α une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux anglessupplémentaires ont même sinus. Donc, si α est une solution, alors l’ensemble des solutions est

S = {x : x = α+ 2kπ ou x = (π − α) + 2kπ; k ∈ Z}.

Cherchons tous les angles x tels que cos x = m où m ∈ [−1, 1].

Soit α une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux anglesopposés ont même cosinus. Donc, si α est une solution, alors l’ensemble des solutions est

S = {x : x = α+ 2kπ ou x = −α+ 2kπ; k ∈ Z}.

Cherchons tous les angles x tels que tg x = m où m ∈ R.

Soit α une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux anglesanti-supplémentaires ont même tangente. Donc, si α est une solution, alors l’ensemble des solutions est

S = {x : x = α+ 2kπ ou x = (π + α) + 2kπ; k ∈ Z}

ou encoreS = {x : x = α+ kπ; k ∈ Z}.

⋆ Par exemple, on cherche tous les angles x tels que sinx = 12 . Une solution est x = π

6 .L’ensemble des solutions est

S = {π6 + 2kπ, 5π

6 + 2kπ; k ∈ Z}.⋆ Cherchons tous les angles x tels que tg x = −1. Une solution est x = −π

4 .L’ensemble des solutions est

S = {−π4 + kπ; k ∈ Z}.

(b) Equations élémentaires

Cherchons tous les angles x tels que sinx = sinα.

Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même sinus s’ils sontégaux (à 2kπ-près) ou s’ils sont supplémentaires (à 2kπ-près). L’ensemble des solutions est donc

S = {x : x = α+ 2kπ ou x = (π − α) + 2kπ; k ∈ Z}.

Cherchons tous les angles x tels que cos x = cosα.

Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même cosinus s’ils sontégaux (à 2kπ-près) ou s’ils sont opposés (à 2kπ-près). L’ensemble des solutions est donc

S = {x : x = α+ 2kπ ou x = −α+ 2kπ; k ∈ Z}.

181

Cherchons tous les angles x tels que tg x = tgα.

Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont la même tangente s’ilssont égaux (à 2kπ-près) ou s’ils sont anti-supplémentaires (à 2kπ-près). L’ensemble des solutions estdonc

S = {x : x = α+ 2kπ ou x = (π + α) + 2kπ; k ∈ Z}c’est-à-dire

S = {x : x = α+ kπ; k ∈ Z}.⋆ Par exemple, résolvons l’équation sin (3x+ 20◦) = sin (x+ 50◦). Il faut que

3x+ 20◦ = x+ 50◦ + k · 360◦ ou 3x+ 20◦ = 180◦ − (x+ 50◦) + k · 360◦2x = 30◦ + k · 360◦ ou 4x = 110◦ + k · 360◦x = 15◦ + k · 180◦ ou x = 27◦30′ + k · 90◦

L’ensemble des solutions est donc

S = {15◦ + k · 180◦, 27◦30′ + k · 90◦; k ∈ Z}.

⋆ Résolvons l’équation cos (x+ π2 ) = cos (3x). Il faut que

x+ π2 = 3x+ 2kπ ou x+ π

2 = −3x+ 2kπ−2x = −π

2 + 2kπ ou 4x = −π2 + 2kπ

x = π4 + kπ ou x = −π

8 + k π2


S = {π4 + kπ, −π

8 + k π2 ; k ∈ Z}.

(c) Equations générales

Si l’équation est plus générale, on utilise les propriétés des nombres trigonométriques pour se ramenerà une équation fondamentale ou élémentaire.

⋆ Par exemple, cherchons tous les angles x tels que sin (x+ π3 ) = cos (2x). On peut récrire cette équation

cos (π2 − (x+ π3 )) = cos (2x)

ou encorecos (π6 − x) = cos (2x).

Il faut donc queπ6 − x = 2x+ 2kπ ou π

6 − x = −2x+ 2kπ−3x = −π

6 + 2kπ ou x = −π6 + 2kπ

x = π18 + 2k π

3 ou x = −π6 + 2kπ


S = { π18 + k 2π

3 , −π6 + 2kπ; k ∈ Z}.

Dans le cas d’une équation du second degré, on commencera par faire un changement de variablepour se ramener à une équation du second degré classique que l’on résoud. On est alors ramené à uneéquation fondamentale ou élémentaire.Pour plus de détails concernant la résolution des équations du second degré, cliquez ici.

182

⋆ Par exemple, cherchons tous les angles x tels que 2 sin2 x− sinx = 1.Posons t = sinx. L’équation peut se récrire 2t2 − t− 1 = 0. Les racines de cette équation sont t = 1 ett = −1

2 .•Si t = sinx = 1 alors x = π

2 + 2kπ, k ∈ Z.•Si t = sinx = −1

2 alors x = 7π6 + 2kπ ou x = 11π

6 + 2kπ, k ∈ Z.Les solutions de cette équation sont donc

S = {π2 + 2kπ, 7π

6 + 2kπ, 11π6 + 2kπ; k ∈ Z}.

183


1. Convertir les angles 150◦, −135◦ et 390◦ en radians.

Solution détaillée : La formule permettant de passer de degrés en radians est

1 degré =2π

360radians =

π

180radians.

On obtient donc

150◦ = 150 · π180 radians = 5π

6 radians ;

−135◦ = −135 · π180 radians = − 3π

4 radians = 5π4 radians ;

390◦ = 30◦ = 30 · π180 radians = π

6 radians.

2. Convertir en degrés les angles π12 ,

2π3 et −π

4 .

Solution détaillée : La formule permettant de passer de radians en degrés est

1 radian =360◦

2π=

180◦

π.

On obtient donc

π12 = 180π

12π

◦= 180

12

◦= 15◦ ;

2π3 = 180·2π

3π

◦= 360

3

◦= 120◦ ;

−π4 = 7π

4 = 180·7π4π

◦= 1260

4

◦= 315◦.

3. Si sin θ = 35 alors déterminer les autres nombres trigonométriques.

Solution détaillée : On peut représenter la situation à l’aide du triangle rectangle suivant.

b b

b

A B

C

θ

35

x

On déduit du Théorème de Pythagore que 9 + x2 = 25, donc x2 = 16 et x = 4. On obtientalors

cos θ =adjacent

hypoténuse= x

5 = 45 ;

tg θ = opposéadjacent

= 3x = 3

4 ;

cotg θ =adjacentopposé = x

3 = 43 .

184

4. Sans utiliser de calculatrice, donner la valeur de cos 5π6 et sin 315◦.

Solution détaillée : On a 5π6 = π − π

6 et cos (π − x) = − cosx. On en déduit que

cos 5π6 = cos (π − π

6 ) = − cos π6 = −

√32 .

On a 315◦ = 7π4 = 2π − π

4 et sin (2π − x) = − sinx. On en déduit que sin 7π4 = sin (2π − π

4 ) =

− sin π4 = −

√22 .

5. Résoudre l’équation cos (3x+ π) = cosx.

Solution détaillée : Pour que deux angles aient le même cosinus, ils doivent être égaux ouopposés (à 2kπ près). On a donc

3x+ π = x+ 2kπ ou 3x+ π = −x+ 2kπ2x = −π + 2kπ ou 4x = −π + 2kπx = −π

2 + kπ ou x = −π4 + k π

2

La solution est donc donnée par S = {−π2 + kπ, −π

4 + k π2 ; k ∈ Z}.

b

b

b

b

bb

b

π4

6. Résoudre l’équation sin (x2 ) + cos x = 1.

Solution détaillée : En utilisant les formules de duplication, l’équation peut s’écrire

sin(x2

)+ 1− 2 sin2

(x2

)= 1

ou encoresin(x2

)(1− 2 sin

(x2

))= 0.

On en déduit que sin (x2 ) = 0 ou 1− 2 sin (x2 ) = 0.D’une part, sin (x2 ) = 0 implique x

2 = kπ et donc x = 2kπ.D’autre part, 1− 2 sin (x2 ) = 0 implique sin (x2 ) =

12 . On en déduit

x2 = π

6 + 2kπ ou x2 = 5π

6 + 2kπx = π

3 + 4kπ ou x = 5π3 + 4kπ

La solution est donc donnée par S = {2kπ, π3 + 4kπ, 5π

3 + 4kπ; k ∈ Z}.

185

b b

b

b

π3

5π3

7. Résoudre l’équation cos x+ cos 2x = 0.

Solution détaillée : En utilisant les formules de duplication, l’équation peut s’écrire

2 cos2 x+ cosx− 1 = 0.

Posons t = cosx. L’équation s’écrit alors 2t2 + t− 1 = 0. Les solutions de cette équations sontt = 1

2 et t = −1 (pour plus de détails concernant la résolution des équations du second degré,cliquez ici).On en déduit que t = cosx = 1

2 ou t = cosx = −1.D’une part, cosx = 1

2 implique x = π3 + 2kπ ou x = 5π

3 + 2kπ.D’autre part, cosx = −1 implique x = π + 2kπ.La solution est donc donnée par S = {π

3 + 2kπ, 5π3 + 2kπ, π + 2kπ; k ∈ Z}.

bb

b

b

π3

5π3

186

8. Résoudre l’équation cos x+ sinx = 1.

Solution détaillée : Puisque sinx = cos (π2 − x), cette équation peut encore s’écrirecosx+ cos (π2 − x) = 1. En utilisant les formules de Simpson, on obtient

2 cos

(x+ (π2 − x)

2

)cos

(x− (π2 − x)

2

)= 1

ou encore2 cos

π

4cos(x− π

4

)= 1

et comme cos π4 =

√22 , l’équation devient

√2 cos (x− π

4 ) = 1 d’où cos (x− π4 ) =

√22 . On en

déduit quex− π

4 = π4 + 2kπ ou x− π

4 = −π4 + 2kπ

x = π2 + 2kπ ou x = 2kπ

La solution est donc donnée par S = {2kπ, π2 + 2kπ; k ∈ Z}.

9. A l’aide des formules, calculer sin 5π12 et cos π

12 .

Solution détaillée : Remarquons que 5π12 = π

4+π6 et π

12 = π3−π

4 . En utilisant les formules d’addition,

on obtient sin 5π12 = sin (π4 + π

6 ) = sin π4 cos π

6 + sin π6 cos π

4 =√22 ·

√32 + 1

2 ·√22 =

√6+

√2

4 .

De même, cos π12 = cos (π3 − π

4 ) = cos π3 cos π

4 + sin π3 sin π

4 = 12 ·

√22 +

√32 ·

√22 =

√2+

√6

4 .

10. A partir d’un point A situé 8 mètres au-dessus du sol, l’angle d’élévation du sommet d’unbâtiment est de 30◦ et l’angle de dépression de la base du bâtiment est de 15◦. Calculer lahauteur du bâtiment.

Solution détaillée : Le problème est représenté par le schéma suivant

b

b b

b

b

A

B C

D

E

h

y

x

8α

15◦30◦

γ

β

Données : Les angles 30◦ et 15◦ et la longueur du côté AB (=8 mètres).Inconnue : La hauteur h = x+ 8.Commençons par rechercher les angles : α = 90◦ − 15◦ = 75◦ (angles complémentaires),β = 90◦ − 30◦ = 60◦ (somme des angles intérieurs d’un triangle) et γ = 15◦ (angles alternes-internes).

Déterminons y dans le triangle rectangle ABC. On a tgα = opposéadjacent

et donc tg 75◦ = y8 . On

en déduit y = 8 tg 75◦.

187

Déterminons x dans le triangle rectangle ADE. On a tg 30◦ = xy . On en déduit x = y tg 30◦

et donc x = 8 tg 75◦ tg 30◦.Finalement, en utilisant les formules d’addition, on a

tg 75◦ = tg (45◦ + 30◦) =tg 45◦ + tg 30◦

1− tg 45◦ tg 30◦=

1 +√33

1−√33

=3+

√3

3−√3.

On en déduit que x = 8 · 3+√3

3−√3·√33 = 17, 24 et donc la hauteur du bâtiment est h = x + 8 =

17, 24 + 8 = 25, 24 mètres.

11. A l’origine, la Tour de Pise était perpendiculaire à la surface du sol et mesurait 54 mètres dehaut. Comme elle s’enfonce dans le sol, elle penche maintenant d’un angle α par rapport à laperpendiculaire. Lorsque le sommet de la tour est observé à partir d’un point distant de 45mètres du centre de sa base, l’angle d’élévation est de 53◦. Calculer l’angle α et la distance dqui exprime de combien le centre du sommet de la tour s’est éloigné de la perpendiculaire.


b b

bb

A B

CE

γ

β

53◦

α

54

45

d

Données : L’angle 53◦ et les longueurs des côtés AC (=54 mètres) et AB (=45 mètres).Inconnue : L’angle α et la distance d.Commençons par déterminer l’angle α. En utilisant la Règle des sinus dans le triangle ABC,on obtient

sinβ

45=

sin 53◦

54

et donc sinβ = 4554 sin 53◦. On en déduit que β ≃ 41, 72◦, γ = 180◦ − 53◦ − β ≃ 85, 28◦ et

α = 90◦ − γ ≃ 4, 72◦.Finalement, on trouve d dans le triangle rectangle ACE : sinα = d

54 et donc

d = 54 sinα ≃ 4, 44 mètres.

12. Un poteau haut de 12 mètres est planté sur le flanc d’une colline qui forme un angle de 17◦

avec l’horizontale. Calculez la longueur minimale d’un câble tendu entre le sommet du poteauet un point en contrebas distant de 21,6 mètres de la base du poteau.


188

b

b

b

17◦

α β

γ

12

l

A

B

C

21, 6

Données : L’angle 17◦, les longueurs des côtés AB (=21, 6 mètres) et BC (=12 mètres).Inconnue : La longueur l.Commençons par déterminer les angles : α = 17◦ (angles correspondants), β = 90◦−17◦ = 73◦

(somme des angles intérieurs d’un triangle), γ = 180◦ − β = 107◦ (angles supplémentaires).Déterminons l en utilisant la Règle des cosinus dans le triangle ABC. On a

l2 = (21, 6)2 + 122 − 2 · 21, 6 · 12 · cos 107◦ ≃ 762, 125

et l ≃ 27, 607 mètres.

189

3 Preuves

Preuve 30

Règle des sinus : Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus desangles opposés, c’est-à-dire si a, b et c sont les côtés d’un triangle et α, β et γ sont les angles opposésrespectivement à ces côtés, on a

sinα

a=

sin β

b=

sin γ

c.

Pour un triangle quelconque ABC, plaçons A en l’origine et B sur la partie positive de l’axe OX. Lepoint C est donc au-dessus de l’axe OX. Traçons la hauteur h perpendiculaire à c. Elle coupe le côtéc au point D.

X

Y

b b

b

A B

C

b

D

ab

c

α β

γ

h

Par la définition des nombres trigonométriques, on a dans le triangle ADC

h = b. sinα

et dans le triangle BDCh = a. sin β,

d’où,sinα

a=

sin β

b.

Par un argument similaire (en plaçant A en l’origine et C sur la partie positive de l’axe OX), on obtientque

sinα

a=

sin γ

c.

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190

Preuve 31

Règle des cosinus : Dans tout triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme descarrés des longueurs des deux autres côtés diminuée du double produit des longueurs de ces deux côtéspar le cosinus de l’angle compris entre ces côtés, c’est-à-dire si a, b et c sont les longueurs des côtésd’un triangle et α, β et γ sont les angles opposés respectivement à ces côtés, on a

a2 = b2 + c2 − 2bc cosαb2 = a2 + c2 − 2ac cos βc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Pour un triangle quelconque ABC, plaçons A en l’origine et B sur la partie positive de l’axe OX. Lepoint C est donc au-dessus de l’axe OX. Traçons la hauteur h perpendiculaire à c. Elle coupe le côtéc au point D.

X

Y

b b

b

A B

C

b

D

ab

c

α β

γ

h

Dans le triangle rectangle BCD, on déduit du Théorème de Pythagore que

|BC|2 = |BD|2 + |DC|2= (|AB| − |DA|)2 + |DC|2= |AB|2 + |DA|2 − 2|AB| · |DA|+ |DC|2= |AB|2 + (|DA|2 + |DC|2)− 2|AB| · |DA|

Dans le triangle rectangle ACD, on a par le Théorème de Pythagore

|DA|2 + |DC|2 = |AC|2

et aussi|DA| = |AC| cosα.

On en déduit|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 − 2|AB| · |AC| cosα

ou encorea2 = c2 + b2 − 2bc cosα.

Les deux autres égalités s’obtiennent de façon analogue.

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191

Preuve 32

Dans un cercle, des angles inscrits interceptant le même arc ont même amplitude.

Soit ACB et ADB deux angles inscrits dans un cercle et qui interceptent le même arc AB. Soit AOBl’angle au centre interceptant le même arc AB.

b

b

b

b

b

O

A

B

C

D

On déduit de la Proposition 12.5 que AOB = 2ACB et AOB = 2ADB. Donc ACB = ADB.

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192

Preuve 33

Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle.Réciproquement, on peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre estl’hypoténuse du triangle.

Soit ABC le triangle inscrit dans le demi-cercle de centre O et de diamètre BC.

b

b

b b

O

A

B C

L’angle inscrit BAC et l’angle au centre BOC interceptent le même arc BC. On déduit de la Proposition 12.5que BOC = 2BAC. Comme BOC = 180◦, on a BAC = 90◦ et le triangle ABC est rectangle en A.

Réciproquement, soit ABC un triangle rectangle en A et O le point milieu du segment BC.

b

b

b

b

b

O

A

B

C

D

Traçons le cercle de centre O et de diamètre BC ainsi que le rectangle ABDC. Dans un rectangle, lesdiagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu. On en déduit que |AO| = |OD| = |BO| =|OC|. Donc A appartient au cercle de centre O et de diamètre BC.

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193

Preuve 34

Dans un cercle, l’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle inscrit quiintercepte le même arc.

Soit O le centre du cercle, AOB l’angle au centre interceptant l’arc AB et BCA l’angle inscrit inter-ceptant l’arc AB.

Cas 1 : Le centre appartient à un côté de l’angle inscrit.

b

b

b

b

O

A

B

C

On a AOB + COB = 180◦ mais aussi OBC + BCO + COB = 180◦. On en déduit que AOB =OBC + BCO.Puisque |OB| = |OC| est le rayon du cercle, le triangle COB est isocèle et donc OBC = BCO.Finalement, on a

AOB = OBC + BCO = 2BCO = 2BCA.

Cas 2 : Le centre est intérieur à l’angle inscrit.

b

b

b

b

b

O

AB

C

D

Traçons le diamètre CD. On déduit du Cas 1 que BOD = 2BCD et DOA = 2DCA. Donc

BOA = BOD + DOA = 2BCD + 2DCA = 2(BCD + DCA) = 2BCA.

194

Cas 3 : Le centre est extérieur à l’angle inscrit.

b

b

b

b b

O

AB

C D

Traçons le diamètre CD. On déduit du Cas 1 que BOD = 2BCD et AOD = 2ACD. Donc

BOA = BOD − AOD = 2BCD − 2ACD = 2(BCD − ACD) = 2BCA.

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195

Chapitre 13

Fonctions

Contents

1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

(a) Fonctions croissantes/décroissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

(b) Fonctions paires/impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

(c) Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

1.4 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

(a) Fonction constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

(b) Fonction identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

(c) Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

(d) Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

(e) Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

(f) Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

(g) Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

1.5 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

(a) Opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

(b) Transformations de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

(c) Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215


3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

196

1 Théorie

1.1 Définitions

Les fonctions sont les objets de base traités en calcul différentiel et intégral. Ce chapitre est uneintroduction à cette matière en ce qu’il examine les premiers éléments qui regardent les fonctions, leurreprésentation graphique, des façons de les transformer et de les composer.

Il y a fonction dès qu’une quantité dépend d’une autre.

⋆ Voici quatre situations.

1. L’aire A d’un cercle dépend du rayon r de ce cercle. C’est l’équation A = πr2 qui exprime larègle qui lie r et A. A chaque valeur positive de r est associée une valeur de A, on dit que A estune fonction de r.

2. La population mondiale P dépend du temps t. La table ci-contre donne une estimation de cettepopulation mondiale P (t) au temps t, pour quelques années. Par exemple,

P (1950) ≈ 2 520 000 000.

Année Population(en millions)

1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 25201960 30201970 37001980 44501990 53001996 5770

Mais à chaque valeur de la variable t correspond une valeur de P et on dit que P est une fonctionde t.

3. Le coût C d’affranchissement d’une lettre dépend de son poids p. Bien qu’il n’existe pas deformule simple qui lie C et p, le bureau postal dispose d’un tarif qui lui permet de déterminer Cdès que p est connu.

4. L’accélération verticale a du sol telle qu’elle est mesurée par un séismographe durant un trem-blement de terre est une fonction du temps. On peut y lire la valeur de a correspondant à uncertain moment t choisi.

Chacun de ces exemples décrit une règle selon laquelle, à un nombre (r, t, p ou t), est associé unautre nombre (A,P,C ou a). Dans chaque cas, on dit que le deuxième nombre est une fonction dupremier.

Définition 13.1 Une fonction f est une règle qui assigne à chaque élément x d’un ensemble Aexactement un élément, noté f(x), d’un ensemble B.

Les ensembles A et B envisagés pour des fonctions sont habituellement des ensembles de nombres.L’ensemble A est appelé le domaine de définition de la fonction. Le nombre f(x) est la valeur de

197

f en x et se lit “f de x”. L’ensemble de toutes les valeurs f(x) possibles lorsque x parcourt tout ledomaine de définition s’appelle l’ensemble image. On appelle variable indépendante un symbolequi peut prendre une valeur quelconque du domaine de définition de la fonction f . On appelle variabledépendante un symbole qui prend une valeur de l’ensemble image de f .

⋆ Reprenons les 4 situations précédentes.

1. Le rayon r est la variable indépendante et l’aire du disque de rayon r, A(r), est la variabledépendante.

2. Le temps t est la variable indépendante et la population mondiale P (t) est la variable dépendante.

3. Le poids p est la variable indépendante et le coût C(p) est la variable dépendante.

4. Le temps t est la variable indépendante et l’accélération a(t) est la variable dépendante.√

Remarque : On écrira aussi bien f(x) = x2 ou f(t) = t2 ou f(r) = r2 pour exprimer la fonction quiconsiste à élever un nombre réel au carré.

Il est instructif de comparer une fonction à une espèce de machine. Lorsque x est une valeur dudomaine de définition de la fonction f , alors la machine l’accepte comme entrée et produit à la sortief(x), selon la règle qui définit la fonction. Dès lors, le domaine de définition peut être vu commel’ensemble de toutes les entrées possibles de la machine et l’ensemble image, comme l’ensemble dessorties possibles.

x(entr�e)

Ä (sortie)

f

FIGURE 2Une fonction Ä vue comme une machine

Les fonctions préprogrammées des calculatrices illustrent fort bien la notion de fonction regardéecomme une machine. Prenons l’exemple de la fonction activée par la touche

√x de votre calculatrice.

D’abord, vous entrez x. Ensuite, vous pressez la touche√x. Si x < 0, il n’appartient pas au domaine

de définition de la fonction et, de ce fait, ne sera pas accepté par la calculatrice, qui du reste vousenverra un message d’erreur. Par contre, si x ≥ 0, la calculatrice affichera une valeur approximativede

√x. La touche

√x de votre calculatrice n’est donc pas tout à fait la même chose que la fonction

mathématique définie par f(x) =√x.

1.2 Représentation graphique

En général, les représentations graphiques de fonctions sont réalisées dans un repère cartésien ortho-normé. On représente la variable indépendante sur l’axe horizontal (appelé axe OX) et la variabledépendante sur l’axe vertical (appelé axe OY ).

Définition 13.2 Si f est une fonction définie sur A, son graphique est l’ensemble des couples

Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A}

(il s’agit des couples entrée/sortie).

Autrement dit, le graphique de f est constitué de l’ensemble des points (x, y) du plan de coordonnéestels que y = f(x) et x appartient au domaine de définition de f . La représentation graphique d’unefonction f nous donne une image intéressante du comportement d’une fonction. Comme, en chaquepoint (x, y) de la courbe, l’ordonnée y est égale à la valeur de f(x), elle peut être lue comme la hauteurde la courbe au point x. Pour trouver les points d’ordonnée c, il suffit donc de tracer la droite y = c etde regarder ses intersections avec le graphe de la fonction.

198

X

Y

O 21 x

f(x)f(2)f(1)

La représentation graphique de f nous permet aussi de visualiser le domaine de définition et l’ensembleimage de f sur les axes OX et OY respectivement.

X

Y

O•

•

•

••

••

y = f(x)

Dom f

Im f

⋆ Dessinons la courbe représentative de la fonction f(x) = 2x−1. L’équation de la courbe est y = 2x−1et nous y reconnaissons celle d’une droite de pente 2 et d’ordonnée à l’origine −1. Comme l’expression2x− 1 est définie pour toutes les valeurs réelles de x, le domaine de définition de f est tout l’ensembledes nombres réels, noté R. Le graphique montre que l’ensemble image est aussi R.

12 X

y = 2x− 1Y

O

−1

199

⋆ Cherchons le domaine de définition de la fonction f(x) =√x+ 2. Comme la racine carrée d’un nombre

négatif n’est pas définie (en tant que nombre réel), le domaine de définition de f ne comprend que lesvaleurs de x pour lesquelles x + 2 ≥ 0. Ce qui est équivalent à x ≥ −2. Le domaine de définition estdonc l’intervalle [−2;+∞[.

La représentation graphique d’une fonction est une courbe du plan OXY . Pour déterminer lescourbes du plan qui sont le graphe d’une fonction, nous pouvons utiliser le test suivant.

Test de la verticale – Une courbe du plan OXY est la représentation graphique d’une fonctionsi et seulement si aucune droite verticale ne la coupe plus d’une fois.

En effet, si une droite verticale quelconque x = a ne coupe une courbe qu’une fois, en (a, b), alors uneseule image b est associée à a par f . Si au contraire, une droite x = a coupe une courbe deux fois, en(a, b) et en (a, c), alors cette courbe ne peut être la représentation d’une fonction car une fonction nepeut attribuer deux valeurs différentes à a.

X

Y

O

•

x = a

(a, b)

a

une fonction

X

Y

O

x = a

a

•

•

(a, b)

(a, c)

pas une fonction

Dans un graphique, on remarque quelques points particuliers.

Définition 13.3 On appelle racine d’une fonction f un nombre x′ appartenant au domaine de ftel que f(x′) = 0.

Une racine est l’abscisse du point d’intersection du graphe avec l’axe OX. Pour trouver les racines, ilfaut donc résoudre l’équation f(x) = 0.

Définition 13.4 On appelle ordonnée à l’origine d’une fonction f le nombre f(0) (pour autantque la fonction soit définie en x = 0).

L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection du graphe avec l’axe OY . Pour la trouver,

200

on remplace x par 0 dans la formule de f , c’est-à-dire on calcule f(0).

Définition 13.5 On dira que la fonction f est positive si son graphe se trouve au-dessus de l’axeOX. Elle est négative si son graphe se trouve en-dessous de l’axe OX.

Pour déterminer le signe d’une fonction, il faut résoudre les inéquations f(x) < 0 et f(x) > 0.Pour un rappel concernant les tableaux de signes, cliquez ici.

⋆ Regardons la fonction f(x) = sinx sur l’intervalle [−2π, 2π].

O

X

Y

0

y = sinx

−2π −π π 2π

Cette fonction possède 5 racines : x = −2π, x = −π, x = 0, x = π et x = 2π. Son ordonnée à l’origineest y = 0. Elle est positive pour x ∈ ] − 2π, 2π[ et x ∈ ]0, π[ et elle est négative pour x ∈ ] − π, 0[ etx ∈ ]π, 2π[ .

Définition 13.6 La valeur f(M) est le maximum (ou valeur maximale) de la fonction f surl’intervalle I si pour tout x ∈ I, on a f(x) ≤ f(M).La valeur f(m) est le minimum (ou valeur minimale) de la fonction f sur l’intervalle I si pourtout x ∈ I, on a f(x) ≥ f(m).

Graphiquement, le maximum correspont à la plus grande valeur d’une fonction et le minimum corres-pond à la plus petite valeur.

⋆ La fonction f(x) = sinx sur l’intervalle [−2π, 2π], représentée ci-dessus, a un maximum y = 1 et unminimum y = −1. Les valeurs maximales sont atteintes pour x = −3π

2 et x = π2 et les valeurs minimales

sont atteintes pour x = −π2 et x = 3π

2 .

1.3 Propriétés

(a) Fonctions croissantes/décroissantes

On dit que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle [a, b] si la courbe représentant lafonction monte sur cet intervalle ; elle est strictement décroissante sur l’intervalle [a, b] si la courbe

201

descend sur cet intervalle.

Définition 13.7 Une fonction f est dite strictement croissante sur un intervalle I si pour toutx1, x2 ∈ I, on a

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Une fonction f est dite strictement décroissante sur un intervalle I si pour tout x1, x2 ∈ I, ona

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Une fonction f est dite monotone sur un intervalle I si elle est soit croissante, soit décroissantesur I.

L’élément important dans cette définition est que l’inégalité f(x1) < f(x2) doit être satisfaite pourtoute paire de points x1 et x2 de I qui sont tels que x1 < x2.

⋆ La fonction f(x) = 2x+1 est une fonction strictement croissante. En effet, si x1, x2 ∈ R avec x1 < x2,on a 2x1 < 2x2 et 2x1 + 1 < 2x2 + 1. Donc f(x1) < f(x2).

f(x1)

X

Y

f(x2)

x1

y = 2x+ 1

x2

⋆ La fonction f(x) = −x est une fonction strictement décroissante. En effet, si x1, x2 ∈ R avec x1 < x2,on a −x1 > −x2, donc f(x1) > f(x2).

202

X

y = −x Y

x2

f(x1)

x1

f(x2)

⋆ La fonction f(x) = sinx n’est ni croissante, ni décroissante sur [−2π, 2π]. En effet, on remarque sur legraphe que la courbe monte sur certains intervalles et descend sur d’autres.

O

X

Y

0

y = sinx

−2π −π π 2π

(b) Fonctions paires/impaires

Définition 13.8 Soit f , une fonction définie sur un intervalle I.La fonction f est paire si pour tout x ∈ I, on a

−x ∈ I et f(−x) = f(x).

La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I, on a

−x ∈ I et f(−x) = −f(x).

⋆ La fonction f(x) = x2 est une fonction paire car elle est définie sur R tout entier et pour tout x, on a

f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).

⋆ La fonction f(x) = x3 est impaire car elle est définie sur R tout entier et pour tout x, on a

f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x).

203

Graphiquement, on reconnaît une fonction paire par une symétrie de son graphique par rapportà l’axe OY . En effet, les ordonnées de 2 points du graphe d’abscisses opposées sont égales. Ce quisignifie qu’ayant déjà dessiné le graphique de f pour x ≥ 0, nous l’obtenons tout entier en lui ajoutantsimplement l’image symétrique par rapport à l’axe OY .

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. En effet, les ordonnéesde 2 points du graphe d’abscisses opposées sont également opposés. Si nous avons déjà dessiné legraphique de f pour x ≥ 0, nous l’obtenons tout entier en lui adjoignant simplement l’image obtenueaprès une rotation de 180◦ autour de l’origine.

X

Y

O

••

x−x

f(x)f(−x)

fonction paire

X

Y

O

•

•

x

−x

fonction impaire

⋆ La fonction f(x) = x5 + x est impaire. En effet, pour tout x ∈ R, on a −x ∈ R et

f(−x) = (−x)5 + (−x) = (−1)5x5 + (−x)= −x5 − x = −(x5 + x)= −f(x).

(c) Fonctions périodiques

Définition 13.9 Soit f , une fonction définie sur une partie D ⊆ R.La fonction f est périodique de période p si pour tout x ∈ D, on a

f(x+ p) = f(x).

⋆ La fonction f(x) = sinx est périodique de période 2π. La fonction f(x) = tg x est périodique depériode π.

1.4 Fonctions élémentaires

(a) Fonction constante

La fonction constante f(x) = c est définie sur R et son ensemble image est réduit au seul nombrec. Son graphique est une droite horizontale.

204

X

Y

O

c y = c

(b) Fonction identité

La fonction identité f(x) = x est définie sur R et son ensemble image est R. Son graphe estconstitué de l’ensemble des couples (x, y) où y = x. Comme ces points sont à égale distance des deuxaxes, ils appartiennent à la bissectrice des axes.

X

Y

O

y = x

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est positive pour les valeursde x positives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle est impaire et strictement croissante surR. Elle n’a ni minimum, ni maximum.

(c) Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue f(x) = |x| est définie sur R et son ensemble image est R+. Songraphe est constitué de l’ensemble des couples (x, y) où y = |x|.

X

Y

O

y = |x|

205

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est toujours positive etnulle en 0. Elle est paire et strictement croissante sur R+, strictement décroissante sur R−. Elle a unminimum en x = 0 et pas de maximum.Cliquez sur le lien pour un rappel des propriétés de la valeur absolue.

(d) Fonctions puissances

Une fonction de la forme f(x) = xa, où a est une constante, est appelée une fonction puissance.Nous envisageons plusieurs cas.

1. a = 0.On retrouve la fonction constante f(x) = x0 = 1.

2. a = 1.On retrouve la fonction identité f(x) = x.

3. a = 2.La fonction du second degré f(x) = x2 est définie sur R et son ensemble image est R+. Songraphe est l’ensemble des couples (x, y) où y = x2.

X

Y

O

y = x2

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est toujours positiveet nulle en 0. Elle est paire et strictement croissante sur R+, strictement décroissante sur R−.Elle a un minimum en x = 0 et pas de maximum.

4. a = 3.La fonction du troisième degré f(x) = x3 est définie sur R et son ensemble image est R. Songraphe est l’ensemble des couples (x, y) où y = x3.

206

X

Y

O

y = x3

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est positive pour lesvaleurs de x positives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle est impaire et strictementcroissante sur R. Elle n’a ni minimum, ni maximum.

5. a = n, n ∈ N0.L’allure générale du graphique de f(x) = xn change selon que n est un nombre pair ou impair.Lorsque n est pair, la fonction f(x) = xn est paire et son graphique ressemble à la paraboley = x2. Lorsque n est impair, f(x) = xn est une fonction impaire et son graphique a la mêmeallure que y = x3.

X

Y

O

•• (1, 1)(−1, 1)

y = x2y = x4y = x6

X

Y

O

•

•

(1, 1)

(−1,−1)

y = x3y = x5y = x7

Cliquez sur le lien pour un rappel concernant les propriétés des puissances.

6. a = −1La fonction inverse f(x) = 1

x est définie sur R0 et son ensemble image est R0 . Son graphe estune hyperbole équilatère dont les axes de coordonnées sont les asymptotes.

207

X

Y

O•

•

•

1

1

y =|x

Cette fonction n’a pas de racine ni d’ordonnée à l’origine. Elle est positive pour les valeurs de xpositives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle est impaire et strictement croissantesur R+

0 , strictement décroissante sur R−0 . Elle n’a ni minimum, ni maximum.

7. a = 1/n, n ∈ N0

La fonction f(x) = x1/n = n√x est une fonction racine. Lorsque n = 2, il s’agit de la fonction

racine carrée définie sur [0;+∞[ et dont la courbe représentative est la moitié supérieure de laparabole x = y2. Lorsque n est un autre nombre pair, le graphique de y = n

√x est semblable à

celui de y =√x. A la valeur impaire n = 3 correspond la fonction racine cubique f(x) = 3

√x

définie sur R. Le graphique de y = n√x pour n impair (n > 3) ressemble à celui de y = 3

√x.

X

Y

O

•(1, 1)

y =√x

X

Y

O

•

•

(1, 1)

y = 3√x

(−1,−1)

Pour n pair, la fonction n√x a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est

toujours positive et nulle en 0. Elle n’est ni paire, ni impaire. Elle est strictement croissante surR+ et a un minimum en x = 0.Pour n impair, la fonction n

√x a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle

est positive pour les valeurs de x positives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle estimpaire et strictement croissante sur R. Elle n’a ni minimum, ni maximum.

208

Cliquez sur le lien pour un rappel concernant les propriétés des racines.

(e) Fonctions polynomiales

Une fonction polynomiale est une fonction du type

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0

où n est un entier positif et a0, a1, a2, . . . , an sont des constantes, appelées les coefficients du polynôme.Le domaine de définition de n’importe quel polynôme est R. L’indice n du premier coefficient an nonnul donne le degré du polynôme.Cliquez sur le lien pour plus de détails concernant les polynômes.

1. n = 1.Une fonction polynomiale de degré 1 est de la forme P (x) = ax+ b et est appelée une fonctionaffine. Son graphique est la droite y = ax+ b de pente a et d’ordonnée à l’origine b.

X

Y

O

y = ax+ b

− ba

b

Elle possède une racine x = − ba et son ordonnée à l’origine est y = b. Elle est strictement

croissante si a > 0 et strictement décroissante si a < 0.Cliquez sur le lien pour un rappel sur les droites.

2. Une fonction polynomiale de degré 2 est de la forme P (x) = ax2 + bx + c et est appelée unefonction quadratique. La courbe représentative de P est une parabole obtenue par déplacementde la parabole y = ax2. Voici la preuve de cette affirmation.Cliquez sur le lien pour un rappel sur les paraboles.

(f) Fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle f est un rapport de deux polynômes

f(x) =P (x)

Q(x)

où P et Q sont des polynômes. Le domaine de définition comprend toutes les valeurs de x qui n’annulentpas Q(x).

209

⋆ Par exemple, la fonction

f(x) =2x4 − x2 + 1

x2 − 4

est une fonction rationnelle dont le domaine de définition est {x | x 6= ±2} = R \ {−2, 2}.

(g) Fonctions trigonométriques

Tant pour la fonction sinus que pour la fonction cosinus, le domaine de définition est R etl’ensemble image est l’intervalle fermé [−1, 1]. En effet, quel que soit x, on a

−1 ≤ sinx ≤ 1 et − 1 ≤ cos x ≤ 1.

De plus, la fonction sinus s’annule pour chaque valeur de x égale à un multiple entier de π. Autrementdit

sinx = 0 quand x = kπ avec k entier.

Une importante propriété des fonctions sinus et cosinus est leur caractère périodique, de période 2π.Cela signifie que, quel que soit x,

sin(x+ 2π) = sinx et cos(x+ 2π) = cos x.

Le caractère périodique de ces fonctions les rend particulièrement aptes à modéliser des phénomènesrépétitifs comme les marées, les ressorts animés de vibrations ou les ondes sonores.

X

Y

O 5π2

2π

3π2

ππ2

− 5π2

−2π − 3π2

−π

−π2

y = sinx1

−1

X

Y

O 5π2

2π3π2

ππ2− 5π

2

−2π− 3π

2

−π−π

2

y = cosx1

−1

La fonction tangente est liée aux fonctions sinus et cosinus par l’équation

tg x =sinx

cos x.

Elle n’est pas définie lorsque cos x = 0, c’est-à-dire lorsque x = ±π/2,±3π/2, . . .. Son ensemble imageest R. Il est à noter que la fonction tangente est aussi périodique, mais de période π :

tg(x+ π) = tg x.

Cliquez sur le lien pour des rappels concernant la trigonométrie.

210

1.5 Opérations sur les fonctions

(a) Opérations arithmétiques

Tout comme on associe deux nombres réels dans l’addition, la soustraction, la multiplication ou ladivision, on peut assembler deux fonctions f et g pour former de nouvelles fonctions, f + g, f − g, fget f/g.

Algèbre des fonctions – Soit f et g deux fonctions définies sur A et B respectivement. Alors, lesfonctions f + g, f − g, fg et f/g sont définies comme suit :

(f + g)(x) = f(x) + g(x) domaine de définition = A ∩B(f − g)(x) = f(x)− g(x) domaine de définition = A ∩B(fg)(x) = f(x)g(x) domaine de définition = A ∩B(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)domaine de définition = {x ∈ A ∩B|g(x) 6= 0}

Par exemple, la fonction somme f + g est définie par

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

Le membre de droite n’a du sens que si f(x) et g(x) sont définies, autrement dit, si x appartient à lafois au domaine de définition de f et de g. Si le domaine de définition de f est A et celui de g est B,alors le domaine de f + g est leur intersection A ∩ B. Le signe + du membre de gauche désigne uneaddition de fonctions tandis que le signe + du membre de droite désigne une simple addition entre lesnombres réels f(x) et g(x). Nous pouvons définir de la même manière la fonction différence f − g et lafonction produit fg et leur domaine de définition est aussi A ∩ B. Au moment de définir la fonctionquotient f/g, nous devons nous souvenir de ne pas diviser par 0.

⋆ On considère les fonctions f(x) =√x et g(x) =

√4− x2. Le domaine de définition de f(x) =

√x

est [0;+∞[. Le domaine de définition de g(x) =√4− x2 comprend toutes les valeurs de x telles que

4 − x2 ≥ 0, c’est-à-dire −2 ≤ x ≤ 2. Le domaine de définition de g est donc l’intervalle [−2, 2].L’intersection des domaines de définition de f et g est

[0;+∞[∩ [−2,+2] = [0, 2].

De là, suivant les définitions, nous avons

(f + g)(x) =√x+

√4− x2 pour 0 ≤ x ≤ 2

(f − g)(x) =√x−

√4− x2 pour 0 ≤ x ≤ 2

(fg)(x) =√x√4− x2 =

√4x− x3 pour 0 ≤ x ≤ 2(

f

g

)(x) =

√x√

4− x2=

√x

4− x2pour 0 ≤ x < 2

Vous aurez remarqué que le domaine de définition de f/g est l’intervalle [0, 2[ car il a fallu exclure lesvaleurs de x en lesquelles g(x) = 0, à savoir x = ±2.

Le graphique de la fonction f + g s’obtient par addition graphique. Cela signifie que, pour chaquevaleur de x, nous additionnons les ordonnées correspondantes.

211

X

Y

O

f(a)g(a)

f(a) + g(a)

(b) Transformations de fonctions

En appliquant certaines transformations au graphique d’une fonction donnée, on obtient les gra-phiques de fonctions apparentées et on réduit ainsi fortement le travail nécessaire à la recherche de leurgraphique.

Déplacements verticaux et horizontaux

Considérons en premier lieu les translations. Si c est un nombre strictement positif, le graphiquede y = f(x) + c est le même que celui de y = f(x) déplacé vers le haut de c unités (puisque chaqueordonnée y est augmentée de la même quantité c). De même, si g(x) = f(x−c) avec c > 0, la valeur deg en x est la même que la valeur de f en x− c (point situé c unités à gauche de x). De là, le graphiquede y = f(x− c) est le même que celui de y = f(x) déplacé de c unités vers la droite.

Déplacements verticaux et horizontaux – Supposons c > 0. Pour obtenir le graphique de

y = f(x) + c, déplacez le graphique de y = f(x) de c unités vers le hauty = f(x)− c, déplacez le graphique de y = f(x) de c unités vers le basy = f(x− c), déplacez le graphique de y = f(x) de c unités vers la droitey = f(x+ c), déplacez le graphique de y = f(x) de c unités vers la gauche

212

X

Y

O

y = f(x)

y = f(x) + c

y = f(x) − c

y = f(x− c)y = f(x+ c)

c

•

•

•

• •

Etirements, compressions et réflexions

Si c > 0, alors le graphique de y = cf(x) est le graphique de y = f(x) étiré ou comprimé verticale-ment d’un facteur c (parce que chaque ordonnée y est multipliée par le même nombre c). Le graphiquede y = −f(x) est le graphique de y = f(x) réfléchi par rapport à l’axe OX parce que le point (x, y)est remplacé par le point (x,−y).

Etirements et réflexions verticaux et horizontaux – Supposons c > 1. Pour obtenir le gra-phique dey = cf(x), étirez verticalement le graphique de y = f(x) d’un facteur cy = (1/c)f(x), comprimez verticalement le graphique de y = f(x) d’un facteur cy = f(cx), comprimez horizontalement le graphique de y = f(x) d’un facteur cy = f(x/c), étirez horizontalement le graphique de y = f(x) d’un facteur cy = −f(x), prenez l’image symétrique du graphique de y = f(x) par rapport à

l’axe OXy = f(−x), prenez l’image symétrique du graphique de y = f(x) par rapport à

l’axe OY

213

X

Y

O

y = f(x)

y = f(x)/c

y = cf(x)

y = −f(x)

y = f(cx)y = f(−x)

⋆ Dessinons la courbe représentative de la fonction f(x) = x2 +6x+10. Le domaine de définition est R.En complétant le carré, nous écrivons l’équation de la courbe cherchée sous la forme

y = x2 + 6x+ 10 = (x+ 3)2 + 1.

Dès lors, la courbe s’obtient en déplaçant la parabole y = x2 de 3 unités vers la gauche et de 1 unitévers le haut.

y = x2 + 6x+ 10

X

Y

1

O−3

214

⋆ Dessinons la courbe représentative de y = |x2 − 1|. D’abord, nous traçons la parabole y = x2 − 1 entranslatant d’une unité vers la bas la parabole y = x2. Nous pouvons voir qu’entre −1 et 1 la courbeest sous l’axe OX. Nous prenons l’image symétrique de cette partie par rapport à l’axe OX et laissonstelle quelle le reste de la courbe. C’est le graphique de y = |x2 − 1|.

X

Yy = |x2 − 1|

−1

1

(c) Composition de fonctions

Une autre façon de créer de nouvelles fonctions est de les “composer” entre elles. L’idée est d’appli-quer des fonctions connues “en cascade”, pour autant que les expressions ainsi obtenues aient toujoursun sens.

⋆ Supposons, par exemple, que y = f(u) =√u et u = g(x) = x2 + 1. Comme y est une fonction de u et

comme u est, à son tour, une fonction de x, il s’ensuit que y est finalement une fonction de x. Cetterelation entre y et x se calcule par composition

y = f(u) = f(g(x)) = f(x2 + 1) =√

x2 + 1.

Cette opération s’appelle composition parce que la nouvelle fonction est composée des deux fonctionsinitiales f et g.

De façon générale, étant données deux fonctions f et g, nous partons d’une valeur de x dans ledomaine de définition de g, nous calculons son image g(x). Si le nombre g(x) appartient au domainede définition de f , nous pouvons calculer la valeur f(g(x)). Le résultat est une nouvelle fonctionh(x) = f(g(x)) obtenue en introduisant g dans f . Elle s’appelle la “composée” de f et g et est notéef ◦ g (f rond g).

Définition 13.10 Etant données deux fonctions f et g, la composée de f et g est la fonctionf ◦ g définie par

(f ◦ g)(x) = f(g(x)).

Le domaine de définition de f ◦ g est l’ensemble de toutes les valeurs de x du domaine de définition deg qui sont telles que g(x) appartient au domaine de définition de f . Autrement dit, f ◦ g est définielà où à la fois g(x) et f(g(x)) sont définies. La meilleure image que l’on puisse donner de f ◦ g est lediagramme suivant.

215

Dom g ⊆ R Dom f ⊆ R Rx g(x) f(g(x))

f ◦ g

g f

⋆ Si f(x) = x2 et g(x) = x− 3 alors on a

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x− 3) = (x− 3)2.

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 − 3.√

Remarque : En général, f ◦ g 6= g ◦ f . Souvenez-vous que la notation f ◦ g signifie que la premièrefonction appliquée est g et la seconde f . Ce qui, à l’exemple précédent, fait que pour appliquer f ◦g, onsoustrait d’abord 3, puis on élève au carré ; alors que, pour appliquer g ◦ f , on devrait d’abord éleverau carré, puis soustraire 3.

√Remarque : L’opération de composition s’applique aussi à trois fonctions ou davantage. Par exemple,la fonction composée f ◦ g ◦ h consiste à appliquer d’abord h, ensuite g et finalement f :

(f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))).

Jusqu’à présent, par composition, nous avons construit des fonctions compliquées à partir de fonc-tions plus simples. Mais en analyse il est souvent utile ou nécessaire de décomposer une fonctioncompliquée en des fonctions plus simples.

⋆ Etant donnée la fonction F (x) = cos2(x+9), cherchons des fonctions f , g et h telles que F = f ◦ g ◦h.La formule qui définit F dit : d’abord ajouter 9, puis prendre le cosinus du résultat, enfin, élever aucarré. Ce qui fait que nous posons

h(x) = x+ 9, g(x) = cosx, f(x) = x2.

Effectivement(f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+ 9)) = f(cos(x+ 9))

= [cos(x+ 9)]2 = F (x).

216

x x+ 9 cos (x+ 9) cos2 (x+ 9)

f ◦ g ◦ h

h g f

217


1. On considère la fonction f(x) = −2x+ 2. Déterminer les racines et l’ordonnée à l’origine decette fonction.

Solution détaillée : Les racines sont les solutions de l’équation f(x) = 0. On trouve −2x+2 =0 et donc x = 1. L’ordonnée à l’origine est la valeur f(0). On a f(0) = 2.

2. On considère la fonction f(x) = −2x + 2. Les couples (0, 0), (1, 0), (3, 1) et (2,−2)appartiennent-ils au graphe de f ?

Solution détaillée : Les points (1, 0) et (2,−2) appartiennent au graphe de f . En effet, ona f(1) = −2 + 2 = 0 et f(2) = −4 + 2 = −2.Les points (0, 0) et (3, 1) n’appartiennent pas au graphe de f car f(0) = 2 6= 0 et f(3) =−6 + 2 = −4 6= 1.

3. Pour la fonction f(x) = −2x+ 2, calculer f(3), f(−1) et f(0).

Solution détaillée : En remplçant x par 3 dans la formule de la fonction, on obtient f(3) =−6 + 2 = −4. De même, on a f(−1) = 2 + 2 = 4 et f(0) = 0 + 2 = 2.

4. Déterminer les points d’abscisse 2 sur le graphe suivant.

0 1 2 3 4−1−2−3−4−501

2

3

4

5

6

−1

−2 x = 2

Solution détaillée : On trace la droite x = 2. Elle coupe le graphe en y = 5. Le point cherchéest donc (2, 5).

5. Déterminer les points où f vaut 2.

0 1 2 3 4 5 6−1−201

2

3

4

−1

−2

y = 2

Solution détaillée : On trace la droite y = 2. Elle coupe le graphe en x = 5. Le point cherchéest donc (5, 2).

218

6. Chercher le domaine de définition de la fonction g(x) =1

x2 − x.

Solution détaillée : Etant donné que

g(x) =1

x2 − x=

1

x(x − 1),

et que la division par 0 n’est pas licite, nous constatons que g(x) n’est pas définie lorsque x = 0ou x = 1. Dès lors, le domaine de définition de g est

{x : x 6= 0, x 6= 1} = R \ {0, 1}

qui, en termes d’intervalles, s’écrit aussi

]−∞; 0 [∪ ] 0, 1 [∪ ] 1; +∞[.

7. Etant donné la représentation graphique de y =√x (domaine R+), appliquer les transforma-

tions adéquates pour obtenir le graphique de y =√x− 2, y =

√x− 2, y = −√

x, y = 2√x et

y =√−x.

Solution détaillée : Nous traçons• y =

√x− 2 (domaine R+) en déplaçant la courbe y =

√x de 2 unités vers le bas,

• y =√x− 2 (domaine [2; +∞[) en translatant la courbe y =

√x de 2 unités vers la droite,

X

y =√x− 2

Y

y =√x− 2

y =√x

−2

O 2

• y = −√x (domaine R+) en prenant l’image symétrique de la courbe y =

√x par rapport à

l’axe OX ,• y = 2

√x (domaine R+) en étirant verticalement la courbe y =

√x d’un facteur 2 et enfin,

• y =√−x (domaine R−) en prenant l’image symétrique de la courbe y =

√x par rapport à

l’axe OY .

219

X

Y

y = −√x

y =√x

y = 2√x

y =√−x

8. Faites le graphique de la fonction y = sin 2x.

Solution détaillée : Nous obtenons le graphique de y = sin 2x en comprimant horizontale-ment d’un facteur 2 le graphique de y = sinx.

X

Y

y = sin 2x

9. Faites le graphique de la fonction y = 1− sinx.

Solution détaillée : Pour obtenir le graphique de y = 1− sinx, nous prenons à nouveau celuide y = sinx que nous réfléchissons autour de l’axe des x pour produire celui de y = − sinx etensuite nous le portons 1 unité plus haut.

220

X

Y

y = 1− sinx

y = − sinx

10. Si f(x) =√2− x et g(x) =

√x, définir f ◦ g et son domaine de définition.


(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(√x) =

√2−√

x.

Pour que√x soit défini, il faut x ≥ 0. Pour que

√2−√

x soit défini, il faut 2 − √x ≥ 0, ce

qui revient à√x ≤ 2, ou encore à 0 ≤ x ≤ 4. Finalement, le domaine de définition de f ◦ g est

l’intervalle fermé [0, 4].

11. Un conteneur rectangulaire sans couvercle offre un volume de 10 m3. Un côté de sa base estdeux fois plus long que l’autre. Le matériau pour la fabriquer revient à 10 euros le mètre carrétandis que celui des flancs revient à 6 euros le mètre carré. Exprimer le coût de fabricationen fonction du plus petit des côtés de la base.

Solution détaillée : Nous commençons par faire un croquis du conteneur en y indiquant lesnotations w et 2w pour les côtés de la base et h pour la hauteur. Comme l’aire de la basemesure (2w)w = 2w2, son coût de fabrication est 10(2w2). Quant aux faces latérales, deuxd’entre elles mesurent wh et les deux autres, 2wh. Leur coût, dans le matériau ad hoc, estdonc 6[2(wh) + 2(2wh)]. Le coût total s’élève à

C = 10(2w2) + 6[2(wh) + 2(2wh)] = 20w2 + 36wh.

Afin d’exprimer C comme fonction de la seule variable w, nous devons éliminer h et pour celanous utilisons le fait que le volume est de 10 m3. De

w(2w)h = 10,

nous extrayons

h =10

2w2=

5

w2.

Par substitution de cette expression de h dans celle de C, nous obtenons

C = 20w2 + 36w

(5

w2

)= 20w2 +

180

w.

Finalement,

C(w) = 20w2 +180

w, w > 0

est l’expression de C en fonction de w.

221

12. Trouver f ◦ g ◦ h pour f(x) = xx+1 , g(x) = x10 et h(x) = x+ 3.

Solution détaillée : Domaines de définition : les domaines de g et de h sont R ; celuide f est R \ {−1}. Le domaine de définition de f ◦ g ◦ h est {x ∈ dom h tel que h(x) ∈dom g et tel que g(h(x)) ∈ dom f}, c’est-à-dire {x ∈ R tel que (x + 3)10 6= −1}. Comme(x+ 3)10 ≥ 0 pour tout x, le domaine de f ◦ g ◦ h est R et

(f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+ 3))

= f((x+ 3)10) =(x+ 3)10

(x+ 3)10 + 1.

13. Décomposer la fonction F (x) = sin3 (x− 4) en trois fonctions f , g et h telles que F = f ◦g◦h.

Solution détaillée : La formule qui définit F dit : d’abord retirer 4, puis prendre le sinus durésultat, enfin, élever au cube. Ce qui fait que nous posons

h(x) = x− 4, g(x) = sinx, f(x) = x3.

Effectivement

(f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x− 4)) = f(sin(x− 4))= [sin(x− 4)]3 = F (x).

x x− 4 sin (x − 4) sin3 (x− 4)

f ◦ g ◦ h

h g f

222

3 Preuves

Preuve 35

La parabole y = ax2 + bx+ c est obtenue par deux translations successives de la parabole y = ax2.

On peut écrire

ax2 + bx+ c = ax2 + a · bax+ a · c

a

= a(x2 +b

ax+

c

a)

= a

(x2 +

2b

2ax+

c

a

)

= a

(x2 + 2 · b

2a· x+

b2

4a2− b2

4a2+

c

a

)

= a

(x+

b

2a

)2

− a

(b2

4a2− c

a

)

= a

(x+

b

2a

)2

−(b2

4a− c

)

= a

(x+

b

2a

)2

−(b2 − 4ac

4a

)

La parabole y = ax2 + bx + c est donc de la forme y = a(x + k)2 − l. Elle est donc obtenue par unetranslation horizontale suivie d’une translation verticale de la parabole y = ax2.

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223

Bibliographie

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224

cours de mathematique

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