morphologie mathØmatique - .morphologie mathØmatique erosions et dilations luc brun (d’apres˚

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  • Morphologie mathmatiqueErosions et Dilations

    Luc Brun (dapres le cours de M. Coster)

    Morphologie mathematique p.1/65

  • Plan (1/2)

    lment StructurantDfinition,Exemple,Transpos

    rosions et dilatations ensemblistesTransformation en tout ou rienLrosionLrosion exemplesTransformation bi colorerosion et soustraction deMinkowskiDilatationDilatation : ExemplesDilatation et addition deMinkowski

    Proprits de lrosion et ladilatation ensemblistes.

    Dualit,ExtensivitCroissance,CompositionUnion, IntersectionCompositionContinuit suprieure de lrosion

    Calculs de DistancesDistance dun point un ensemble,Distance et courone,Distance par rosion : AlgorithmeExemplesDistance ExterneExtension la distance de deux ensembles

    Morphologie mathematique p.2/65

  • Plan (2/2)

    rosion et dilatation de fonctionsNature de llment structurant,Exemple dlment structurant,Erosion dune fonctionrosion avec lment structurantvolumiqueExemples drosionDilatation dune fonctionDilatation avec lmentstructurant volumiqueExemple de dilatationRsidus morphologiques

    Gradients morphologiquesGradients morphologiquesensemblistesGradient morphologiqueinterne fonctionnelGradient morphologiqueexterne fonctionnelGradient morphologiquesymtrique fonctionnelLaplacien MorphologiqueLaplacien Morphologique :Exemple

    Morphologie mathematique p.3/65

  • Lide de la morphologie mathmatique

    Rappel :Lide de base de la morphologie mathmatique est de comparer l ensemble analyser avec un ensemble de gomtrie connue appel lment structurant.

    Morphologie mathematique p.4/65

  • lment structurant : DfinitionUn lment structurant

    est un ensemble qui possde les caractristiquessuivantes :

    Il possde une forme (gomtrie connue),Cette forme une taille

    ,Cet lment est repr par son origine . Lorigine appartientgnralement llment structurant mais ce nest pas une obligation.

    Morphologie mathematique p.5/65

  • lment structurant : Exemples

    Carr Cercle Segment

    Paire de points

    Morphologie mathematique p.6/65

  • lment structurant transposDfinition :Le transpos dun lment structurant

    (not

    ou ) est llementstructurant symtrique de

    par rapport lorigine

    .

    Morphologie mathematique p.7/65

  • rosions et dilatations ensemblistes

    lment Structurant p. 5Dfinition,Exemple,Transpos

    rosions et dilatations ensemblistesTransformation en tout ou rienLrosionLrosion exemplesTransformation bi colorerosion et soustraction deMinkowskiDilatationDilatation : ExemplesDilatation et addition deMinkowski

    Proprits de lrosion et ladilatation ensemblistes.

    Dualit,ExtensivitCroissance,CompositionUnion, IntersectionCompositionContinuit suprieure de lrosion

    Calculs de DistancesDistance dun point un ensemble,Distance et courone,Distance par rosion : AlgorithmeExemplesDistance ExterneExtension la distance de deux ensembles

    Morphologie mathematique p.8/65

  • Transformations en tout ou rien

    Une transformation en tout ou rien de

    par

    dans

    ,est dfinie endplaant

    sur lensemble des points . Pour chaque position, on poseune question relative lunion, lintersection ou linclusion de B avec X .Chaque rponse positive fournit un nouvel ensemble qui donne limagetransforme.Les transformations en tout ou rien les plus simples sont :

    Lrosion qui est une transformation, en tout ou rien, relative linclusion.La dilatation qui est relative un test dintersection.

    Il existe des transformations en tout ou rien plus complexes utilisant deslments structurants bi-colors.

    x3

    x2

    x1

    r Morphologie mathematique p.9/65

  • Lrosion

    Dfinition :Llment structurant B, repr par son centre, est dplac pour occupersuccessivement toutes les positions de lespace E. Pour chaque position, onpose la question : B est-il compltement inclus dans X ?Les rponses positives forment l ensemble rod.

    reponse positive

    reponse negative

    Morphologie mathematique p.10/65

  • Erosion : Exemple (1)

    (rayon 3)

    ( + ) et

    ( )

    Proprits qualitativeLa taille des objets dcrotUn objet avec des concavits ou des trous peut tre diviss en plusieursLes petits objets et les dtails disparaissent

    Morphologie mathematique p.11/65

  • Erosion : Exemple (2)

    (rayon 5)

    ( + ) et

    ( )

    Morphologie mathematique p.12/65

  • rosion avec des lments de taille croissante

    Morphologie mathematique p.13/65

  • rosion et lements structurantsQuid de

    ?B

    Erosion avec diffrents lments

    Morphologie mathematique p.14/65

  • Transformation bi colore (Hit-and-Miss )

    Llment structurant est dcompos en deux ensembles correspondant deux labels :

    .On dira que appartient la Hit and Miss transform de par ssi :

    et Une transformation bi-color peut sexprimer comme lintersection de deuxrosions sur

    et

    .

    "! # $ # &% '

    Morphologie mathematique p.15/65

  • Illustration

    ( (( ( (

    )

    *,+.- /0,1 /2 3 3*4+.5 /2 3

    6 + /2 3

    Morphologie mathematique p.16/65

  • Exemple dapplications

    Dtecteurs de coins

    ( ( (( (( ( ( ( (( (

    bas gauche bas droite haut droite haut gauche

    Morphologie mathematique p.17/65

  • rosion et soustraction de MinkowskiLrosion ensembliste est identique la soustraction de Minkowski parllment transpos.

    87 9 : ; 9

    Dmonstration : Soit < 9 : ; 9 . . .(a faire)

    Morphologie mathematique p.18/65

  • Dilatation morphologique pour les ensembles

    La dilatation est une transformation en tout ou rien base sur lintersection.Dfinition :Llment structurant B, repr par son centre, est dplac pour occupersuccessivement toutes les positions de lespace E. Pour chaque position, onpose la question : B intersecte t il X ?Les rponses positives forment lensemble dilat.= % > ?

    reponse negative

    reponse positive

    Morphologie mathematique p.19/65

  • Dilatation : Exemple (1)

    (rayon 3)

    = ( + ) et ( ) =

    Proprits qualitativeLa taille des objets augmenteLes trous et les concavits peuvent tre bouchsLes objets voisins peuvent se connecterDes petits dtails disparaissent

    Morphologie mathematique p.20/65

  • Dilatation : Exemple (2)

    (rayon 5)

    = ( + ) et ( ) =

    Morphologie mathematique p.21/65

  • Dilatation avec des lments de taille croissante

    = = =

    Morphologie mathematique p.22/65

  • Dilatation et addition de Minkowski

    Laddition ensembliste est identique laddition de Minkowski par llmenttranspos. = 8@ 9 :

    ; 9Dmonstration : Soit < 9 : ; 9 . . .(a faire)

    Morphologie mathematique p.23/65

  • Proprits de lrosion et la dilatation ensemblistes.

    lment Structurant p. 5Dfinition,Exemple,Transpos

    rosions et dilatations ensemblistesTransformation en tout ou rienLrosionLrosion exemplesTransformation bi colorerosion et soustraction deMinkowskiDilatationDilatation : ExemplesDilatation et addition deMinkowski

    Proprits de lrosion et la dilatation ensemblistesDualit,ExtensivitCroissance,CompositionUnion, IntersectionCompositionContinuit suprieure de lrosion

    Calculs de DistancesDistance dun point un ensemble,Distance et courone,Distance par rosion : AlgorithmeExemplesDistance ExterneExtension la distance de deux ensembles

    Morphologie mathematique p.24/65

  • Dualit

    Les 2 transformations ne sont pas indpendantes. On obtient le mme rsultat enrodant X ou en dilatant le complmentaire de X et en prenant lecomplmentaire du rsultat.On dit que Lrosion et la dilatation sont 2 oprations duales vis--vis de lacomplmentation :

    A = A =

    =

    Morphologie mathematique p.25/65

  • Extensivit

    La dilatation est une transformation extensive alors que lrosion est antiextensive. =

    B BDC= BDC +

    Morphologie mathematique p.26/65

  • Croissance

    La dilatation et lrosion sont des oprateurs croissants

    E F = = E E F E Lrosion est dcroissante par rapport llment structurant. G F AH A

    = = Morphologie mathematique p.27/65

  • Composition

    La dilatation avec un lment structurant de taille n est gale n dilatationsavec un lment structurant de taille 1 (idem pour l rosion)=JI = (LK K K ( = M NO PI QSR T.U

    V homothtie de dun facteur V.W Utile pour limplmentation hardware lorsque la taille du voisinage est fixe(processeur voisinage 3*3) : un plus grand voisinage peut tre obtenu parcascade des oprations

    Morphologie mathematique p.28/65

  • Union, Intersection

    La dilatation commute avec lunion := E = = E Lrosion commute avec lintersection : % E A &% A E

    De plus : = # X ' = # = ' A # X ' = # % A '

    Mais : YZZ\[

    = # ) ' = # % = ' # ) ' ] # ' E ]

    Morphologie mathematique p.29/65

  • Composition

    Soit

    et _^ deux lments symtriques par rapport lorigine. On a :

    = = # `^ = # = ' # `^ # ' Dmonstration (pour la dilatation) :

    = = # `^ 8@ @ `^ 8@ @ `^ 8@ @ _^ 8@ @ `^ W : point cl 8@ @ _^ = # = '

    Morphologie mathematique p.30/65

  • Composition : Illustration

    :`^ := # `^ :Passage dune complexit en

    a V ^ une complexit en a

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