sommaire es -...

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1/214 Coefficient de corrélation simple Le cas bidimensionnel Le cas général (n 2) Corrélation multiple Corrélation partielle Association de variables quantitatives Cas paramétrique gaussien Frédéric Bertrand 1 1 IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, France Master 1 2017 1 / 214 Frédéric Bertrand Association de variables quantitatives 2/214 Coefficient de corrélation simple Le cas bidimensionnel Le cas général (n 2) Corrélation multiple Corrélation partielle Sommaire 1 Coefficient de corrélation simple Introduction 2 Le cas bidimensionnel Loi normale bidimensionnelle Estimation des paramètres Procédure de test Remarques sur les liaisons 2 / 214 Frédéric Bertrand Association de variables quantitatives 3/214 Coefficient de corrélation simple Le cas bidimensionnel Le cas général (n 2) Corrélation multiple Corrélation partielle Sommaire 3 Le cas général (n 2) Loi multinormale Estimation Test de l’hypothèse ρ ij = 0 Test de l’hypothèse ρ ij = ρ 0 , ρ 0 = 0 3 / 214 Frédéric Bertrand Association de variables quantitatives 4/214 Coefficient de corrélation simple Le cas bidimensionnel Le cas général (n 2) Corrélation multiple Corrélation partielle Sommaire 4 Corrélation multiple Définition Estimation Asymptotique Test de l’hypothèse R(X 1 , X 2 )= 0 Test de l’hypothèse R(X 1 , X 2 )= R 0 , R 0 = 0 4 / 214 Frédéric Bertrand Association de variables quantitatives

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othè

seρ

i,j|q+

1,...,

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l’hyp

othè

seρ

i,j|q+

1,...,

m=ρ

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duct

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Intro

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ors

que

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2.

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)=

Cor

(X,Y

)=

Cov

[X,Y

]

(Var

[X]×

Var

[Y])

1 2=

E[ (X−

0)(X

2−

1)]

(1×

2)1 2

=1 √2E[ X

3−

X] =

1 √2

( E[ X

3] −

E[X

])=

0−

0=

0,

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loin

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ale

cent

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Pour

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Y=

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etY

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roug

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ison

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nca

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ons

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les

sect

ions

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outil

sut

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sque

l’on

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l’ass

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tion

n’es

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néce

ssai

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entl

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Lors

que|ρ

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)|=

1al

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prob

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1,Y

=aX

+b

pour

des

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esré

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sa,

dum

ême

sign

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b.

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duct

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ient

deco

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nes

tinv

aria

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nsfo

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ion

linéa

ire.S

iCor

(X,Y

)=ρ

(X,Y

)et

que

l’on

pose

:

X′

=aX

+b,

Y′

=cY

+d,

alor

sC

or(X′ ,

Y′ )

=C

or(X,Y

)=ρ

(X,Y

).

Cec

iaun

eco

nséq

uenc

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trêm

emen

tim

port

ante

:on

peut

auss

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ntra

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erav

ecle

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riabl

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qu’a

vec

les

varia

bles

cent

rées

rédu

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pour

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rrél

atio

n.

13/2

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men

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des

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mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Som

mai

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2Le

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Loin

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Est

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des

para

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res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

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res

Pro

cédu

rede

test

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arqu

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rles

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ons

Sup

poso

nsqu

el’o

ndi

spos

ed’

unve

cteu

ralé

atoi

re(X,Y

)ga

ussi

en.

Nou

sve

rron

sda

nsla

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entd

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ster

cette

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thès

e,qu

’un

vect

eura

léat

oire

(X,Y

)n’

estp

asné

céss

aire

men

tgau

ssie

nsi

Xet

Ysu

iven

tdes

lois

norm

ales

a .

a.Vo

irl’o

uvra

gede

J.-Y

.O

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rd[5

],ex

erci

ce13

.1pa

ge27

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urun

cont

re-e

xem

ple.

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el’o

nfa

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surl

eco

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etes

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cefa

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usdé

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test

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ttes

terl

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rmal

itéde

l’éch

antil

lon

xis

sude

Xet

celle

del’é

chan

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deY

.

Com

men

çons

parr

appe

lerc

equ

el’o

nen

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parl

alo

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nve

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ralé

atoi

rega

ussi

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deux

dim

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ons.

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Loin

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Lade

nsité

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loin

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ale

àde

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men

sion

ses

t:

f(x,

y)=

Kex

p[ −

1 2P

(x,y

)]

où:

K=

12πσ

Y√

1−ρ

(X,Y

)2,

P(x,y

)=

11−ρ

(X,Y

)2×

[ (x−

mX

)2

σ2 X

−2ρ

(X,Y

)(x−

mX

)(y−

mY

)

σXσ

Y+

(y−

mY

)2

σ2 Y

] .

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cas

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néra

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Loin

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men

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para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

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essu

rles

liais

ons

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tion

Loin

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ale

bidi

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sion

nelle

Cet

telo

idép

end

donc

des

cinq

para

mèt

res

:mX

,mY

,σX

,σY

etρ

(X,Y

).

Les

quat

repr

emie

rsso

ntle

sm

oyen

nes

etle

séc

arts

type

sde

sde

uxlo

ism

argi

nale

s,la

loid

eX

etce

llede

Y,q

uiso

ntde

slo

isno

rmal

es,X∼N( m

X,σ

2 X) et

Y∼N( m

Y,σ

2 Y) .

18/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

19/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Les

lois

liées

,c’e

st-à

-dire

lapr

obab

ilité

d’ob

teni

rune

vale

urY

=y

sach

antq

uel’o

na

obte

nuX

=x

oud’

obte

niru

neva

leur

X=

xsa

chan

tque

l’on

aob

tenu

une

vale

urY

=y

sont

égal

emen

tdes

lois

norm

ales

dont

les

para

mèt

res

resp

ectif

s( m

Y|X

=x,σ

2 Y|X

=x

)et( m

X|Y

=y,σ

2 X|Y

=y

)s’

expr

imen

tain

si:

19/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

20/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

mY|X

=x

=m

Y+ρ

(X,Y

)σY

σX

(x−

mX

),

σ2 Y|X

=x

2 Y

( 1−ρ

(X,Y

)2).

mX|Y

=y

=m

X+ρ

(X,Y

)σX

σY

(y−

mY

),

σ2 X|Y

=y

2 X

( 1−ρ

(X,Y

)2).

20/2

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édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

On

rem

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equ

e:

•La

varia

nce

dech

acun

ede

slo

islié

eses

tcon

stan

te:e

llene

dépe

ndpa

sde

lava

leur

deX

oude

Ypr

ise

enco

mpt

epo

urla

calc

uler

,c’e

st-à

-dire

duno

mbr

ex,

quii

nter

vien

tda

nsσ

Y|X

=x,r

espe

ctiv

emen

ty,q

uiin

terv

ient

dans

σX|Y

=y,

pour

lequ

elel

lees

tcal

culé

e.

21/2

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iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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atio

nsi

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

•La

moy

enne

dech

acun

ede

slo

islié

esva

rielin

éaire

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tav

ecla

varia

ble

liée.

On

peut

donc

parle

rde

deux

droi

tes

deré

gres

sion

:

DY

X:

y−

mY

(X,Y

)σY

σX

(x−

mX

),

DX

Y:

x−

mX

(X,Y

)σX

σY

(y−

mY

).

22/2

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édér

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nde

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titat

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

•ρ

(X,Y

)es

tle

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

linéa

ire:

ρ(X,Y

)=

Cov

[X,Y

]

(Var

[X]×

Var

[Y])

1 2

=E

[(X−

mX

(Y−

mY

)][ E[ (X−

mX

)2]×

E[ (Y−

mY

)2]]1 2

.

23/2

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nde

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titat

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atio

nsi

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eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

ρ(X,Y

)=

0es

tune

cond

ition

néce

ssai

reet

suffi

sant

epo

urqu

ele

sde

uxva

riabl

esal

éato

ires

Xet

Yso

ient

indé

pend

ante

sca

rici

ona

une

hypo

thès

ede

norm

alité

bidi

men

sion

nelle

supp

lém

enta

ire,

voir

page

7po

urla

situ

atio

ngé

néra

le.

24/2

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ndA

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iatio

nde

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bles

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Coe

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cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Siρ

(X,Y

)=±

1,le

sde

uxdr

oite

sso

ntco

nfon

dues

etil

ya

une

rela

tion

fonc

tionn

elle

entre

Xet

Y.P

lus

préc

isem

ent,

(X−

mX

)et

(Y−

mY

)so

ntco

linéa

ires,

c’es

t-à-d

irequ

’ilex

isteλ

etµ

deux

nom

bres

réel

ste

lsqu

(X−

mX

)+µ

(Y−

mY

)=

0.O

nre

conn

aîtd

ans

lafo

rmul

epr

écéd

ente

l’équ

atio

nd’

une

droi

te.A

insi

siρ

(X,Y

)=±

1,le

sde

uxva

riabl

esX

etY

sont

liées

paru

nere

latio

nfo

nctio

nnel

lelin

éaire

.

25/2

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nde

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bles

quan

titat

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26/2

14

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entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Lava

leur

abso

lue

deρ

(X,Y

)es

ttou

jour

sin

férie

ure

ouég

ale

à1.

Plu

(X,Y

)es

tpro

che

dece

tteva

leur

,plu

sla

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onen

treX

etY

ests

erré

e.S

il’o

nco

nsid

ère

unéc

hant

illon

((x 1,y

1),...,(

x n,y

n))

deré

alis

atio

nsdu

coup

le(X,Y

),la

disp

ersi

onde

sco

uple

sde

poin

ts(x

i,y i

)au

tour

des

droi

tes

estd

’aut

antp

lus

faib

lequ

ele

sde

uxdr

oite

sso

ntpl

uspr

oche

sl’u

nede

l’aut

re.

•ρ

(X,Y

)2es

téga

lau

coef

ficie

ntde

déte

rmin

atio

nR

2qu

el’o

ntro

uve

dans

leco

ntex

tede

laré

gres

sion

linéa

iresi

mpl

e.

26/2

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ndA

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iatio

nde

varia

bles

quan

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27/2

14

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entd

eco

rrél

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nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

On

cons

idèr

eun

n−éc

hant

illon

(X1,

Y1),...,(

Xn,Y

n)

indé

pend

ante

tide

ntiq

uem

entd

istr

ibué

suiv

antl

alo

ide

(X,Y

),qu

iest

une

loin

orm

ale

bidi

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sion

nelle

.

Les

estim

ateu

rsde

sm

oyen

nes

mX

etm

Yet

des

écar

tsty

pes

σX

etσ

Yqu

eno

usal

lons

utili

sers

ont:

27/2

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nde

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nsi

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eLe

cas

bidi

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nel

Leca

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néra

l(n>

2)C

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nm

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leC

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rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

mX

=X

=1 n

n ∑ i=1

Xi,

mY

=Y

=1 n

n ∑ i=1

Yi,

σ2 X

=1

n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X) 2,

28/2

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ndA

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iatio

nde

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bles

quan

titat

ives

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

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2)C

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nm

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leC

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lle

Loin

orm

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men

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nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

σ2 Y

=1

n−

1

n ∑ i=1

( Yi−

Y) 2,

σX

=

√ √ √ √1

n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X) 2

=

√σ

2 X,

σY

=

√ √ √ √1

n−

1

n ∑ i=1

( Yi−

Y) 2

=

√σ

2 Y.

29/2

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

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2)C

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latio

nm

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leC

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latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Par

conv

entio

net

pars

ouci

sd’

allé

gerl

esno

tatio

ns,o

nno

teX

àla

plac

ede

mX

.Le

squ

atre

prem

iers

estim

ateu

rsci

-des

sus

sont

des

estim

ateu

rssa

nsbi

ais

etco

nver

gent

s:

E[ m

X]

=m

XV

ar[ m

X] =

σ2 X n,

E[ m

Y]

=m

YV

ar[ m

Y] =

σ2 Y n,

30/2

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

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2)C

orré

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nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

E[ σ

2 X

]=

σ2 X

Var[ σ

2 X

] =2σ

4 Xn−

1,

E[ σ

2 Y

]=

σ2 Y

Var[ σ

2 Y

] =2σ

4 Yn−

1.

31/2

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cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Les

deux

dern

iers

sont

biai

sés

etco

nver

gent

s:

E[σ

X]

=

√2

n−

1

Γ( n 2

)

Γ

(n−

12

X=

( 1−

3 4n+

o(

1 n

))σ

X,

Var

[σX

]=

1n−

1

n−

1−

2Γ( n 2

) 2

Γ

(n−

12

) 2

σ

2 X,

32/2

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bidi

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nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

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res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

E[σ

Y]

=

√2

n−

1

Γ( n 2

)

Γ

(n−

12

Y=

( 1−

3 4n+

o(

1 n

))σ

Y,

Var

[σY

]=

1n−

1

n−

1−

2Γ( n 2

) 2

Γ

(n−

12

) 2

σ

2 Y,

33/2

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nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

oùo

(1/n)

estu

nefo

nctio

nqu

iten

dve

rs0

plus

vite

que

1/n

etΓ

(x)

estu

nefo

nctio

nm

athé

mat

ique

défin

ieà

l’aid

ed’

une

inté

gral

e!

Ilse

rait

poss

ible

deco

rrig

erle

biai

sde

l’est

imat

eurσ

X,e

n

posa

nt:σ

Xco

rrig

é=

√n−

12

Γ

(n−

12

)

Γ( n 2

X.

34/2

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cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Néa

nmoi

nsl’o

bten

tion

d’un

inte

rval

lede

confi

ance

rest

edé

licat

epu

isqu

ela

loid

ece

test

imat

eurn

’est

pas

clas

siqu

e.

P.C

hapo

uille

,dan

sso

nliv

re[2

],pr

opos

ela

form

ule

appr

oxim

ativ

e:

σX

corr

igé≈σ

X

√2n−

22n−

3≈σ

X

( 1+

14n−

6

).

35/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

36/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Lasi

tuat

ion

estb

eauc

oup

plus

com

pliq

uée

que

pour

les

estim

ateu

rsci

-des

sus.

On

com

pren

dai

nsip

ourq

uoio

npr

éfèr

ees

timer

lava

rianc

ed’

une

loin

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ale

àla

plac

ede

son

écar

ttyp

e.«

Heu

reus

emen

t»,l

esde

uxpa

ram

ètre

squ

iont

été

choi

sis

pour

défin

irun

elo

inor

mal

eso

ntsa

moy

enne

etsa

varia

nce.

36/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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37/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Au

pass

age

onre

mar

que

que

lara

cine

carr

éed’

unes

timat

eur

sans

biai

sn’

estp

asné

cess

aire

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tsan

sbi

ais.

Leco

effic

ient

deco

rrél

atio

nlin

éaire

ρ(X,Y

)es

tun

rapp

ort.

Pour

estim

erce

rapp

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ous

allo

nses

timer

lenu

mér

ateu

rC

ov[X,Y

]et

ledé

nom

inat

eur(

Var

[X]×

Var

[Y])

1 2.

37/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

38/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

En

cequ

icon

cern

ele

déno

min

ateu

r,no

usve

rron

squ

’ilsu

ffit

d’ut

ilise

rles

estim

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rsσ

Xetσ

Yci

-des

sus.

Un

estim

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rdu

num

érat

eurp

eutê

tredé

finip

arla

quan

tité

:

C

ov[X,Y

]=

1n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X)(

Yi−

Y)

=1

n−

1

n ∑ i=1

(Xi×

Yi)−

nn−

1X×

Y.

38/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

39/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

C’e

stun

estim

ateu

rsan

sbi

ais

etco

nver

gent

deC

ov[X,Y

]:

E[

C

ov[X,Y

]] =C

ov[X,Y

].

Not

ezla

sim

ilitu

deav

ecl’e

stim

ateu

rcor

rigé

dela

varia

nce.

Ici

auss

iapp

araî

tau

déno

min

ateu

rle

nom

bre

n−

1.

39/2

14Fr

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icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

40/2

14

Coe

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entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

L’est

imat

eurd

uco

effic

ient

deco

rrél

atio

(X,Y

),qu

eno

usal

lons

utili

ser,

est

ρ

(X,Y

)dé

finip

ar:

ρ

(X,Y

)=

1n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X) ×

( Yi−

Y)

( σ2 X×σ

2 Y

)1 2

=

1n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X) ×

( Yi−

Y)

σX×σ

Y

40/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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41/2

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rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

41/2

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

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42/2

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Coe

ffici

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eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

=

1n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X) ×

( Yi−

Y)

(1

n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X) 2×

1n−

1

n ∑ i=1

( Yi−

Y) 2)

1 2

=

1n−

1

n ∑ i=1

( Xi−

X) ×

( Yi−

Y)

1n−

1

(n ∑ i=

1

( Xi−

X) 2×

n ∑ i=1

( Yi−

Y) 2)

1 2

42/2

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ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

43/2

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Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

43/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

44/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

=

n ∑ i=1

( Xi−

X) ×

( Yi−

Y)

(n ∑ i=

1

( Xi−

X) 2×

n ∑ i=1

( Yi−

Y) 2)

1 2

=

n ∑ i=1

(Xi×

Yi)−

Y

(n ∑ i=

1

X2 i−

X2)

1 2(

n ∑ i=1

Y2 i−

Y2)

1 2

.

44/2

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icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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45/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

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ons

L’étu

dede

spr

oprié

tés

dece

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imat

eure

stpl

usco

mpl

exe

puis

qu’il

s’ag

itd’

unra

ppor

tde

varia

bles

aléa

toire

squ

ine

sont

pas

indé

pend

ante

s.Il

s’ag

itd’

unes

timat

eurb

iais

éet

conv

erge

ntde

ρ(X,Y

):

E[ρ

(X,Y

)]=

ρ(X,Y

)−ρ

(X,Y

)(1−ρ

(X,Y

)2 )

2n

Var[ρ

(X,Y

)]=

(1−ρ

(X,Y

)2 )2

n+

o(

1 n

),

oùo

(1/n)

estu

nefo

nctio

nqu

iten

dve

rs0

lors

que

nte

ndve

rs+∞

plus

vite

que

1/n.

45/2

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édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

46/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Ladi

strib

utio

nas

ympt

otiq

uede

ρ(X,Y

)es

t:

√n(

ρ

(X,Y

)−ρ

(X,Y

))≈N( 0,

( 1−ρ

(X,Y

)2)2)

.

Ce

résu

ltatn

’est

pas

asse

zpr

écis

pour

perm

ettre

deré

soud

rele

spr

oblè

mes

quin

ous

inté

ress

entg

énér

alem

ent.

On

l’util

iser

aun

ique

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tsil

’on

nepe

utpa

sfa

ireau

trem

ente

tsin

>30

.

46/2

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ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

47/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Ain

silo

rsqu

el’o

ndi

spos

ed’

unéc

hant

illon

(x1,

y 1),...,

(xn,y

n)

deré

alis

atio

nsdu

coup

le(X,Y

)on

obtie

ntle

ses

timat

ions

des

para

mèt

res

dela

loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

suiv

iepa

r(X,Y

)en

utili

sant

les

form

ules

ci-d

esso

usqu

ison

tles

réal

isat

ions

des

estim

ateu

rsci

-des

sus

surn

otre

écha

ntill

on.O

nno

tex

l’éch

antil

lon

(x1,...,

x n),

yl’é

chan

tillo

n(y

1,...,

y n)

et(x,y

)l’é

chan

tillo

n(x

1,y 1

),...,

(xn,y

n).

47/2

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ndA

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iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

48/2

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Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Les

estim

atio

nsde

sm

oyen

nes

mX

etm

Yet

des

écar

tsty

pes

σX

etσ

Yso

nt:

mX

(x)

=x

=1 n

n ∑ i=1

x i,

mY

(y)

=y

=1 n

n ∑ i=1

y i,

σ2 X

(x)

=1

n−

1

n ∑ i=1

(xi−

x)2 ,

48/2

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ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

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eco

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atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

σ2 Y

(y)

=1

n−

1

n ∑ i=1

(yi−

y)2 ,

σX

(x)

=

√ √ √ √1

n−

1

n ∑ i=1

(xi−

x)2 ,

σY

(y)

=

√ √ √ √1

n−

1

n ∑ i=1

(yi−

y)2 .

49/2

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ndA

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iatio

nde

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bles

quan

titat

ives

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ffici

entd

eco

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atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

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ons

On

note

xbi

enqu

’ils’

agis

sede

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oyen

nede

l’éch

antil

lon

xet

que

dece

fait

onpo

urra

itég

alem

enté

crire

x.I

ls’a

gitl

àau

ssi

d’un

eco

nven

tion

mai

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l’on

voul

aitê

treco

hére

ntav

ecle

sno

tatio

nsut

ilisé

espo

urle

sau

tres

estim

ateu

rson

devr

aité

crire

mX

(x).

50/2

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ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

51/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

L’est

imat

ion

dela

cova

rianc

eC

ov[X,Y

]es

tdon

née

par:

C

ov[X,Y

](x,y

)=

1n−

1

n ∑ i=1

(xi−

x)×

(yi−

y).

51/2

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édér

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ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

52/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

L’est

imat

ion

duco

effic

ient

deco

rrél

atio

(X,Y

)es

tdon

née

par:

ρ

(X,Y

)(x,y

)=

1n−

1

n ∑ i=1

(xi−

x)×

(yi−

y)

( σ2 X

(x)×σ

2 Y(y

))1 2

=

1n−

1

n ∑ i=1

(xi−

x)×

(yi−

y)

σX

(x)×σ

Y(y

)

52/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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53/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

53/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

54/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

=

n ∑ i=1

(xi−

x)×

(yi−

y)

(n ∑ i=

1

(xi−

x)2×

n ∑ i=1

(yi−

y)2)

1 2

=

n ∑ i=1

(xi×

y i)−

y

(n ∑ i=

1

x2 i−

x2)1 2

×(

n ∑ i=1

y2 i−

y2)1 2

.

54/2

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édér

icB

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

55/2

14

Coe

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entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Exe

mpl

eO

név

alue

lafo

rmul

eci

-des

sus

pour

l’éch

antil

lon

repr

ésen

téen

roug

epa

ge7

:

PearsoncorrelationofYandX=0,006

55/2

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ndA

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iatio

nde

varia

bles

quan

titat

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14

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rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Sou

sl’h

ypot

hèse

nulleH

0:«

Xet

Yso

ntin

dépe

ndan

tes

»,la

varia

ble

:

√n−

(X,Y

)√

1−

ρ

(X,Y

)2

suit

une

loid

eS

tude

ntT n−

n−

2de

grés

delib

erté

.

56/2

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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eco

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atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Cec

iper

met

deré

alis

erle

test

suiv

ant:

H0

:ρ(X,Y

)=

0

cont

re

H1

:ρ(X,Y

)6=

0.

Pour

pren

dre

une

déci

sion

asso

ciée

àun

test

deni

veau

(1−α

)%

,ils

uffit

donc

detro

uver

lava

leur

criti

que

d’un

elo

ide

Stu

dent

àn−

2de

grés

delib

erté

pourα/2

.

57/2

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nde

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eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Iles

téga

lem

entp

ossi

ble,

enré

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antu

nte

stun

ilaté

ral,

dete

ster

les

hypo

thès

essu

ivan

tes

:

H0

:ρ(X,Y

)=

0

cont

re

H1

:ρ(X,Y

)>

0.

58/2

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nde

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quan

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atio

nsi

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cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

ouen

core

H0

:ρ(X,Y

)=

0

cont

re

H1

:ρ(X,Y

)<

0.

59/2

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iatio

nde

varia

bles

quan

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nsi

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

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2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Not

ons

que,

siρ

06=

0,la

prop

riété

ci-d

essu

sne

perm

etpa

sde

test

erde

shy

poth

èses

duty

pe:

H0

:ρ(X,Y

)=ρ

0

cont

re

H1

:ρ(X,Y

)6=ρ

0.

Pour

proc

éder

àce

sty

pes

dete

st,o

nut

ilise

latra

nsfo

rmat

ion

deFi

sher

60/2

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nde

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61/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Ilex

iste

d’au

tres

trans

form

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nspo

urob

teni

rdes

inte

rval

les

deco

nfian

cepo

urρ

(X,Y

),pa

rexe

mpl

el’a

ppro

xim

atio

nde

Rub

enqu

isem

ble

être

plus

préc

ise

mai

sen

core

plus

com

plex

equ

ece

llede

Fish

er.

On

peut

pare

xem

ple

mon

trerq

ue,q

uelq

ueso

itla

vale

urdu

coef

ficie

ntde

corr

élat

ionρ

(X,Y

),la

varia

ble

aléa

toire

(R−ρ

(X,Y

))√

(n−

2)/[ (1−

R2 )

(1−ρ

(X,Y

)2)]

suit

appr

oxim

ativ

emen

tune

loiT

n−2

deS

tude

ntà

n−

2de

grés

delib

erté

.On

retro

uve

leré

sulta

tde

lapa

ge53

étab

lilo

rsqu

(X,Y

)=

0.Po

urpl

usde

déta

ilsvo

ir[1

]et[

4].

61/2

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iatio

nde

varia

bles

quan

titat

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eco

rrél

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nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

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sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

En

effe

t,Fi

sher

,le

prem

ier,

adé

mon

tréqu

esi

l’on

intro

duit

les

deux

varia

bles

: Z(X,Y

)=

1 2ln(

1+ρ

(X,Y

)

1−ρ

(X,Y

))

=ta

nh−

1(ρ

(X,Y

)),

62/2

14Fr

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

63/2

14

Coe

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rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Z(X,Y

)=

1 2ln

(1

(X,Y

)

1−

ρ

(X,Y

))

=ta

nh−

1(

ρ

(X,Y

)) ,

alor

sla

diffé

renc

e Z(X,Y

)−

Z(X,Y

)su

itun

elo

ivoi

sine

dela

loin

orm

ale

dem

oyen

neρ

(X,Y

)/(2

(n−

1))

etde

varia

nce

proc

hede

1/(n−

3).

63/2

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ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

64/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

On

appr

oxim

era

donc

dans

leca

sgé

néra

lla

loid

ece

ttedi

ffére

nce

paru

nelo

iN(ρ

(X,Y

)/(2

(n−

1)),

1/(n−

3))

etso

usun

ehy

poth

èse

d’in

dépe

ndan

ceen

treX

etY

,qui

impl

ique

donc

ρ(X,Y

)=

0,pa

rune

loiN

(0,1/(

n−

3)).

Pour

pass

erde

sré

sulta

tsob

tenu

spo

urZ

(X,Y

des

résu

ltats

conc

erna

ntρ

(X,Y

),on

utili

sela

trans

form

atio

nin

vers

ede

celle

deFi

sher

:

64/2

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

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quan

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65/2

14

Coe

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eco

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atio

nsi

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eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

ρ(X,Y

)=

exp

(2Z

(X,Y

))−

1ex

p(2

Z(X,Y

))+

(X,Y

)=

tanh

(Z(X,Y

)).

Lapl

upar

tdes

logi

ciel

sde

stat

istiq

uepe

rmet

tent

deca

lcul

erle

ses

timat

ions

pari

nter

valle

sde

ρ(X,Y

).C

erta

ins

prop

osen

tm

ême

des

inte

rval

les

deco

nfian

ceex

acts

.

65/2

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ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

66/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

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ons

•L’e

xist

ence

dede

uxdr

oite

sde

régr

essi

onda

nsle

sét

udes

deco

rrél

atio

nes

tem

bara

ssan

teca

relle

amèn

laqu

estio

nsu

ivan

te:l

aque

llede

sde

uxdr

oite

sre

prés

ente

-t-el

lele

mie

uxla

réal

ité?

On

nepe

uttra

nche

rsa

nsut

ilise

rla

notio

nde

caus

alité

:sil

’on

pens

equ

eX

est

laca

use

deY

,on

retie

ndra

ladr

oite

DY

Xqu

iest

laré

gres

sion

dela

varia

ble

dépe

ndan

tepa

rrap

port

àla

varia

ble

caus

e.

66/2

14Fr

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ertra

ndA

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iatio

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bles

quan

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67/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

Est

imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Dan

sle

sca

soù

l’on

nepe

utét

ablir

une

rela

tion

deca

use

àef

fet,

iln’

ya

pas

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defix

erso

nat

tent

ion

surl

’une

des

droi

tes

deré

gres

sion

plut

ôtqu

esu

rl’a

utre

.Le

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

linéa

ireρ

(X,Y

)es

talo

rsle

para

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rele

plus

inté

ress

ant;

quel

que

soit

sava

leur

,pos

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ouné

gativ

e,il

nepr

éjug

een

rien

d’un

quel

conq

uera

ppor

tde

caus

effe

tent

rele

sva

riabl

esét

udié

es.

67/2

14Fr

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

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68/2

14

Coe

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entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

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sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

Dan

sto

usle

sca

s,l’i

nter

prét

atio

nde

tout

eét

ude

delia

ison

mér

itebe

auco

upde

réfle

xion

s,et

seul

esle

sra

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sph

ysiq

ues

oubi

olog

ique

set

non

stat

istiq

ues

pour

ront

perm

ettre

depo

rter

des

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tsde

caus

effe

t.•

Lors

que

l’on

trouv

eun

eco

urbe

deré

gres

sion

quis

erre

depr

èsle

phén

omèn

eét

udié

,ilf

auts

ega

rder

deco

nclu

requ

ece

ttefo

rmul

etra

duit

lalo

iexa

cte

quig

ouve

rne

leph

énom

ène.

68/2

14Fr

édér

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

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quan

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ives

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Coe

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entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loin

orm

ale

bidi

men

sion

nelle

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imat

ion

des

para

mèt

res

Pro

cédu

rede

test

Rem

arqu

essu

rles

liais

ons

•E

nfin

sign

alon

squ

eso

uven

tdeu

xva

riabl

esX

etY

sont

fort

emen

tcor

rélé

esav

ecun

etro

isiè

me

Z,l

ete

mps

par

exem

ple,

eton

peut

conc

lure

àun

eco

rrél

atio

nsi

gnifi

cativ

een

treX

etY

,alo

rsqu

’àpr

iori

iln’

ya

aucu

nere

latio

nen

trece

sde

uxgr

ande

urs

sice

n’es

tleu

rlia

ison

avec

Z.O

nse

ntal

ors

lané

cess

itéd’

intro

duire

une

mes

ure

delia

ison

qui

perm

ettra

deco

nnaî

trel’a

ssoc

iatio

nde

Xet

Yen

élim

inan

tl’in

fluen

cede

Z:i

ls’a

gitd

ela

notio

nde

corr

élat

ion

part

ielle

quis

era

étud

iée

aux

para

grap

hes

vign

ette

125,

??et

??.

69/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

70/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Som

mai

re

3Le

cas

géné

ral(

n>

2)Lo

imul

tinor

mal

eE

stim

atio

nTe

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

70/2

14Fr

édér

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

71/2

14

Coe

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rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

On

cons

idèr

eun

vect

eurg

auss

ien

dedi

men

sion

p>

1:

X=

(X1,...,

Xp).

Un

telv

ecte

ures

tent

ière

men

tdét

erm

iné

parl

aco

nnai

ssan

cede

sam

oyen

neµ

(X)

etde

sam

atric

ede

varia

nce-

cova

rianc

(X).

Ils’

agit

d’un

eex

tens

ion

dece

que

nous

veno

nsde

voir

pour

leca

sbi

dim

ensi

onne

l.

71/2

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ndA

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nde

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bles

quan

titat

ives

72/2

14

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cas

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nel

Leca

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Loim

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Est

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ion

Test

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ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

En

term

espl

uscl

airs

,ils

uffit

deco

nnaî

tre:

µ(X

)=

(µ1,...,µ

p)

=(E

[X1],...,E

[Xp]),

Σ(X

)=

((σ

i,j=

Cov[ X

i,X

j])) 16

i,j6

p

=

V

ar[X

1]...

Cov

[X1,

Xp]

. . .. .

.. . .

Cov

[Xp,X

1]···

Var

[Xp]

.

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iatio

nde

varia

bles

quan

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ives

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Coe

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nsi

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

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néra

l(n>

2)C

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leC

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rtie

lle

Loim

ultin

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Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

On

intro

duit

alor

sla

mat

rice

des

corr

élat

ionsρ

(X)

entre

les

com

posa

ntes

Xi,

16

i6p

deX

:

ρ(X

)=

((ρ

i,j=

Cor[ X

i,X

j])) 16

i,j6

p

=

1...

Cov

[X1,

Xp]

(Var

[X1]

Var

[Xp])

1 2

. . .. .

.. . .

Cov

[Xp,X

1]

(Var

[Xp]V

ar[X

1])1 2

···

1

.

73/2

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quan

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nel

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Est

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ypot

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stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Afin

deco

nstr

uire

unes

timat

eurs

impl

ede

lam

atric

(X)

ondo

itdi

spos

erd’

unn−

écha

ntill

on(X

1,...,

Xn

)in

dépe

ndan

tet

iden

tique

men

tdis

trib

uédu

vect

eurX

.

74/2

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quan

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75/2

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cas

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nel

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2)C

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nm

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leC

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latio

npa

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lle

Loim

ultin

orm

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Est

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ion

Test

del’h

ypot

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ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Ce

n−éc

hant

illon

estd

onc

com

posé

den

élém

ents

,qui

sont

des

vect

eurs

deta

ille

p,qu

el’o

nno

te(X

1,1,...,

Xp,

1),...,(

X1,

n,...,X

p,n).

Xi,j

estl

ava

riabl

eal

éato

ireas

soci

éeà

lava

leur

pris

epa

rla

i−èm

eco

mpo

sant

eX

ilo

rsde

laré

alis

atio

nde

laj−

ème

expé

rienc

e.P

arex

empl

eX

1,3

sera

itla

varia

ble

aléa

toire

asso

ciée

àla

vale

urpr

ise

parX

1lo

rsde

latro

isiè

me

expé

rienc

eet

X5,

2se

rait

lava

riabl

eal

éato

ireas

soci

éeà

lava

leur

pris

epa

rX5

lors

dela

seco

nde

expé

rienc

e.

75/2

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quan

titat

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orm

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Test

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ypot

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ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Un

estim

ateu

rµde

lam

oyen

neµ

est:

µ=

X1

+···+

Xn

n

=

n ∑ i=1

Xi

n.

On

note

,com

me

d’ha

bitu

de,µ

parx

.Ils

’agi

td’u

nes

timat

eur

sans

biai

set

conv

erge

nt,c

omm

lapa

ge27

:

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quan

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ultin

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ypot

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0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

E[µ

]=

E[ X

1+···+

Xn

n

]=

E

[n ∑ i=

1

Xi]

n

=

n ∑ i=1

E[X

i]

n=

n ∑ i=1

µ

n=µ.

Var

[µ]

=Σ n·

77/2

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quan

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Leca

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2)C

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0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Un

estim

ateu

rρ(X

)de

lam

atric

ede

sco

rrél

atio

nsρ

(X)

est

alor

sdo

nné

par:

ρ(X

)=

((ρ

i,j=ρ

i,j=

C

or[ X

i,X

j])) 16

i,j6

p

78/2

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ypot

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ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

=

1...

1

n−

1

n ∑ i=1

( X1,

i−

X1

)×( X

p,i−

Xp)

σ1×σ

p. . .

. . .. . .

1

n−

1

n ∑ i=1

( Xp,

i−

Xp)×( X

1,i−

X1

)

σp×σ

1···

1

.

79/2

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quan

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2)C

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ion

Test

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ypot

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stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

On

obtie

ntal

ors

lafo

rme

expl

icite

suiv

ante

:

1...

n ∑ i=1

( X1,

i−

X1

)×( X

p,i−

Xp)

n ∑ i=

1

( X1,

i−

X1

) 2×

n ∑ i=1

( Xi,

p−

Xp) 2

1 2

. . .. . .

. . .n ∑ i=

1

( Xp,

i−

Xp)×( X

1,i−

X1

)

n ∑ i=

1

( Xp,

i−

Xp) 2×

n ∑ i=1

( X1,

i−

X1

) 2

1 2···

1

.

80/2

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81/2

14

Coe

ffici

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eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

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nel

Leca

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l(n>

2)C

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nm

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leC

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Loim

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orm

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Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Ladi

strib

utio

nas

ympt

otiq

uede

ρij

est:

√n(ρ

ij−ρ

ij)≈N( 0,

( 1−ρ

2 ij) 2).

Ce

résu

ltatn

’est

pas

asse

zpr

écis

pour

perm

ettre

deré

soud

rele

spr

oblè

mes

quin

ous

inté

ress

entg

énér

alem

ent.

On

l’util

iser

aun

ique

men

tsil

’on

nepe

utpa

sfa

ireau

trem

ente

tsin

>30

.

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ultin

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Test

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ypot

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0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

On

ado

ncun

ees

timat

ionρ

(X)(

x)

deρ

(X)

àl’a

ide

d’un

écha

ntill

onx

den

réal

isat

ions

deX

.En

nota

ntx 1

l’éch

antil

lon

form

épa

rles

nré

alis

atio

ns,(

x 1,1,...,x

1,n),

deX

1,..

.,x p

l’éch

antil

lon

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épa

rles

nré

alis

atio

ns,(

x p,1,...,x

p,n),

deX

pon

a:

ρ(X

)(x

)=

((ρ

(X)(

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i,j(

x i,x

j)=

C

or[X

i,X

j](x

i,x j

)))16

i,j6

p

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ypot

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ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

=

1...

1

n−

1

n ∑ i=1

( x 1,i−

x 1)×( x p

,i−

x p)

σ1(x

1)×σ

p(x

p)

. . .. . .

. . .1

n−

1

n ∑ i=1

( x p,i−

x p)×( x 1

,i−

x 1)

σp(x

p)×σ

1(x

1)

···

1

.

83/2

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eLe

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nel

Leca

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2)C

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nm

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leC

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npa

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Loim

ultin

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Est

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Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

L’est

imat

ionρ

(X)(

x)

deρ

(X)

esta

lors

:

1...

n ∑ i=1

( x 1,i−

x 1)×( x p

,i−

x p)

n ∑ i=

1

( x 1,i−

x 1) 2×

n ∑ i=1

( x i,p−

x p) 2

1 2

. . .. . .

. . .n ∑ i=

1

( x p,i−

x p)×( x 1

,i−

x 1)

n ∑ i=

1

( x p,i−

x p) 2×

n ∑ i=1

( x i,1−

x 1) 2

1 2···

1

.

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Coe

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nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

On

peut

mai

nten

ants

’inté

ress

erau

test

d’in

dépe

ndan

cede

sco

mpo

sant

esd’

unve

cteu

rgau

ssie

n.

H0

:ρij

=0

cont

re

H1

:ρij6=

0.

85/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

86/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Sou

sl’h

ypot

hèse

nulleH

0,al

ors

:

t ij=√

n−

ij(x i,x

j)√

1−ρ

ij(x i,x

j)2

estl

aré

alis

atio

nd’

une

varia

ble

aléa

toire

Tqu

isui

tune

loid

eS

tude

ntà

n−

2de

grés

delib

erté

,i.e

.T∼T n−

2.O

nre

jette

l’hyp

othè

senu

lleH

0au

nive

au(1−α

)%

lors

que

∣ ∣ t ij∣ ∣>T n−

2,α/2.

86/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

87/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Siρ

06=

0,la

prop

riété

dela

page

82ci

-des

sus

nepe

rmet

pas

dete

ster

des

hypo

thès

esdu

type

:

H0

:ρij

0

cont

re

H1

:ρij6=ρ

0.

87/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

88/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Ilex

iste

alor

sde

uxpo

ssib

ilité

s:

•S

il’o

nso

uhai

tefa

ireun

test

dece

type

àla

mai

n,on

utili

sela

trans

form

atio

nde

Fish

erin

trodu

iteci

-des

sus,

àla

page

53,p

ouro

bten

irun

inte

rval

lede

confi

ance

pourρ

ijde

nive

auap

prox

imat

if(1−α

)%

:[ ta

nh

(z−

z α/2

(n−

3)1 2

),t

anh

(z

+z α/2

(n−

3)1 2

)]

oùz

=ta

nh( ρ

ij(x i,x

j)) et

z α/2

estl

equ

antil

ede

lalo

iN

(0,1

).

88/2

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icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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89/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

•C

erta

ins

logi

ciel

s,co

mm

eS

PS

S,R

,SA

Sou

Sta

tXac

t,pr

opos

entd

esve

rsio

nsex

acte

sde

l’int

erva

llede

confi

ance

dont

une

appr

oxim

atio

nes

tdon

née

ci-d

essu

s.E

nef

fetl

adi

strib

utio

nex

acte

deρ

ijn’

estp

asun

edi

strib

utio

nde

prob

abili

técl

assi

que.

Lade

nsité

duco

effic

ient

deco

rrél

atio

(X,Y

)d’

unco

uple

gaus

sien

(X,Y

)au

poin

t−16

r6

1es

t

1 π(n−

2)(1−

r2 )(n−

4)/2 (1−ρ

2 )(n−

1)/2∫

+∞

0

(cos

hβ−ρr)

n−1,

voir

[6]p

ourp

lus

dedé

tails

.

89/2

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ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

90/2

14

Coe

ffici

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eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Sih

isto

rique

men

t,le

sap

prox

imat

ions

prés

enté

esci

-des

sus

étai

entl

esse

ules

poss

ibili

tés

auxq

uelle

sl’e

xpér

imen

tate

urpo

uvai

entr

ecou

rirpo

urob

teni

rdes

inte

rval

les

deco

nfian

cepo

urρ

ij,il

estd

even

upo

ssib

leav

ecl’a

ugm

enta

tion

des

capa

cité

sde

calc

uldo

ntvo

usdi

spos

ezdé

sorm

ais

dedé

term

iner

les

inte

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les

deco

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ceex

acts

pourρ

ij.C

ecip

rése

nte

l’ava

ntag

ede

nepa

sav

oirà

utili

serd

esré

sulta

tsas

ympt

otiq

ues

quip

euve

nts’

avér

erin

corr

ects

sila

taill

ede

l’éch

antil

lon

estp

etite

.

90/2

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ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

91/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

e

Con

sidé

rons

deux

écha

ntill

ons

x 1et

x 2.

x 1x 2

0,19

577

-0,8

1685

0,92

204

0,58

257

-0,0

4690

1,24

359

0,45

863

0,31

088

-0,5

8454

0,95

124

1,51

722

0,02

028

-0,9

7862

-0,9

1823

-0,0

4557

-0,1

8670

-0,0

3707

-0,9

6033

0,84

505

1,11

031

91/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

92/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eP

rocé

dons

aute

stde

l’hyp

othè

sex 1

esti

ssu

d’un

eva

riabl

eal

éato

ireX

1qu

isui

tune

loin

orm

ale

etau

test

del’h

ypot

hèse

x 2es

tiss

ud’

une

varia

ble

aléa

toire

X2

quis

uitu

nelo

inor

mal

e.C

ompt

ete

nude

sef

fect

ifson

proc

ède

aute

stde

Sha

piro

-Wilk

oupl

utôt

desa

varia

nte

disp

onib

leda

nsM

inita

b:l

ete

stde

Rya

n-Jo

iner

.O

nco

mm

ence

part

este

rla

norm

alité

duco

uple

(X1,

X2)

.

H0

:(X

1,X

2)su

itun

elo

inor

mal

ebi

dim

ensi

onne

lle

cont

re

H1

:(X

1,X

2)ne

suit

pas

une

loib

idim

ensi

onne

lle.

92/2

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iatio

nde

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titat

ives

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93/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

e

93/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

94/2

14

Coe

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rrél

atio

nsi

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eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eLe

sp−

vale

urs

sont

tout

esle

sde

uxsu

périe

ures

à0,

100

:on

nepe

utdo

ncpa

sre

jete

rl’h

ypot

hèse

deno

rmal

itépo

urX

1et

X2.

Not

ons

que

l’on

aun

ique

men

tvér

ifié

lano

rmal

itéde

X1

etce

llede

X2.

Cec

in’im

pliq

uepa

sce

lledu

coup

le(X

1,X

2).I

ls’a

git

néan

moi

nsd’

une

cond

ition

néce

ssai

re.N

ous

verr

ons

àla

page

??co

mm

entv

érifi

erl’h

ypot

hèse

deno

rmal

itédu

coup

le(X

1,X

2).U

nede

spr

emiè

res

chos

esà

faire

estd

ete

ster

lano

rmal

itéde

X1

+X

2et

deX

1−

X2,

voir

[3].

94/2

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icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

95/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

e

95/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

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nde

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bles

quan

titat

ives

96/2

14

Coe

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entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eLe

sp−

vale

urs

sont

supé

rieur

esà

0,10

0,on

nepe

utdo

ncpa

sre

jete

rl’h

ypot

hèse

deno

rmal

itéde

X1

+X

2et

deX

1−

X2.

Atte

ntio

n,no

uste

stio

nsic

ila

mul

tinor

mal

itéde

(X1,

X2)

etno

usav

ons

proc

édé

àqu

atre

test

sde

Sha

piro

-Wilk

.

Nou

sav

ions

,com

me

d’ha

bitu

de,fi

xéun

seui

ldeα

glob

al=

5%

pour

lete

stgl

obal

dem

ultin

orm

alité

.Pou

rgar

antir

ceris

que

glob

alde

5%

,ilf

autfi

xeru

nris

que

diffé

rent

de5

%po

urch

aque

test

deS

hapi

ro-W

ilk,v

ous

avez

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renc

ontré

cepr

oblè

me

dans

leco

ntex

tede

sco

mpa

rais

ons

mul

tiple

sen

anal

yse

dela

varia

nce.

96/2

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iatio

nde

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bles

quan

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97/2

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Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eE

nef

fets

ile

risqu

epo

urch

acun

des

test

sde

Sha

piro

-Wilk

est

fixé

àα

ind

=5

%,a

lors

leris

que

glob

ales

tau

max

imum

deα

glob

al=

1−

(1−

0,05

)4=

0,18

5>

0,05

.

Ain

sion

doit

fixer

unse

uild

ind

=1−

4√1−α

glob

al=

1−

4√0,

95=

0,01

3po

urch

acun

des

test

sde

Sha

piro

-Wilk

,ce

quir

evie

ntà

être

moi

nsex

igea

ntpo

urch

acun

des

test

sin

divi

duel

spu

isqu

e0,

013<

0,05

etdo

ncà

acce

pter

lano

rmal

itéda

nspl

usde

cas.

97/2

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iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

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Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eD

ans

cete

xem

ple

cette

corr

ectio

nne

chan

gerie

laco

nclu

sion

puis

qu’a

ucun

ede

sp−

vale

urs

n’ét

aien

tcom

pris

esen

tre0,

013

et0,

05.

Ain

sion

nepe

utpa

sre

jete

rl’h

ypot

hèse

nulleH

0de

norm

alité

duco

uple

(X1,

X2)

.Te

ston

sm

aint

enan

tl’h

ypot

hèse

d’in

dépe

ndan

cede

X1

etX

2.

98/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

99/2

14

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

e

Pui

sque

leco

uple

(X1,

X2)

suit

une

loin

orm

ale,

l’ind

épen

danc

ede

X1

etX

2es

téqu

ival

ente

àl’a

bsen

cede

corr

élat

ion

linéa

ireen

treX

1et

X2.

Ilsu

ffitd

onc

dete

ster

:

H0

:ρ(X

1,X

2)=

0

cont

re

H1

:ρ(X

1,X

2)6=

0.

99/2

14Fr

édér

icB

ertra

ndA

ssoc

iatio

nde

varia

bles

quan

titat

ives

100/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eCorrelations:X1;X2

PearsoncorrelationofX1andX2=0,270

P-Value=0,450

100

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 26: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

101/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eA

vec

SP

SS

13.0

onob

tient

:

Correlations

X1

X2

X1

PearsonCorrelation

1,270

Sig.(2-tailed)

,450

N10

10

X2

PearsonCorrelation

,270

1Sig.(2-tailed)

,450

N10

10

101

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

102/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eE

nut

ilisa

ntle

mod

ule

Test

sE

xact

sde

SP

SS

13.0

:

Value

Approx.Sig.

ExactSig.

Pearson’sR

0,270

0,450

0,446

NofValidCases

10

Not

ons

que

dans

notre

cas

lasi

gnifi

cativ

itéex

acte

estp

roch

ede

lasi

gnifi

cativ

itéap

proc

hée.

Néa

nmoi

ns,d

ans

deno

mbr

eux

cas

iln’

enva

pas

dem

ême.

102

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

103/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Loim

ultin

orm

ale

Est

imat

ion

Test

del’h

ypot

hèseρ

ij=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

ij=ρ

0,ρ

06=

0

Exe

mpl

eA

insi

avec

une

p−va

leur

de0,

446,

lete

stn’

estp

assi

gnifi

catif

ause

uilα

=5

%.O

nne

peut

reje

terl

’hyp

othè

senu

lleH

0d’

abse

nce

deco

rrél

atio

nen

treX

1et

X2.

On

endé

duit

que

l’on

nepe

utre

jete

rl’h

ypot

hèse

d’in

dépe

ndan

cede

X1

etX

2.

103

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

104/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Som

mai

re

4C

orré

latio

nm

ultip

leD

éfini

tion

Est

imat

ion

Asy

mpt

otiq

ueTe

stde

l’hyp

othè

seR

(X1,

X2)

=0

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,X

2)=

R0,

R06=

0

104

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 27: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

105/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Leco

effic

ient

deco

rrél

atio

nm

ultip

leR

estl

aco

rrél

atio

nm

axim

ale

poss

ible

entre

une

varia

ble

réel

leX

1et

tout

esle

sco

mbi

nais

ons

linéa

ires

deco

mpo

sant

esd’

unve

cteu

ralé

atoi

reX

2.

105

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

106/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Rap

pelo

nsra

pide

men

tce

que

l’on

ente

ndpa

rcom

bina

ison

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ire.

SiU

etV

sont

deux

vect

eurs

deR

k,k

>1,

une

com

bina

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irede

Uet

Ves

tun

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eurC

L(U,V

)(α,β

)dé

finic

omm

ela

som

meα

U+β

Vav

ec(α,β

)∈R

2 .

106

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

107/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Cet

teno

tion

s’ét

end

auca

sde

nve

cteu

rs:s

iU1,...,

Un

sont

nve

cteu

rsde

Rk,k

>1,

une

com

bina

ison

linéa

irede

s(U

i)16

i6n

estu

nve

cteu

rCL(U

1,...,U

n)

(α1,...,α

n)

défin

icom

me

laso

mm

e∑

n i=1α

iUi

avec

(α1,...,α

n)∈R

n.

107

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

108/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Mis

een

équa

tion

:on

disp

ose

deX

1∈R

etX

2∈R

p−1

tels

que

(X1,

X2)∈R

pai

tune

dist

ribut

ion

dans

Rp

dem

oyen

neµ

etde

mat

rice

deva

rianc

e-co

varia

nceΣ

.La

moy

enneµ

duco

uple

(X1,

X2)

estr

elié

lam

oyen

neµ

1de

X1

etµ

2de

X2

par:

µ=

2

).

108

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 28: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

109/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

On

adop

teun

eéc

ritur

epa

rtic

uliè

repo

urΣ

pour

faire

ress

ortir

lava

rianc

ede

X1,

noté

11(X

1),l

am

atric

ede

varia

nce-

cova

rianc

ede

X2,

noté

22(X

2),e

tles

cova

rianc

esde

sco

mpo

sant

esde

X2

avec

X1,

quis

ontl

esco

mpo

sant

esdu

vect

eurΣ

21(X

1,X

2).

109

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

110/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Σ=

11(X

1)σ

21(X

1,X

2)T

Σ21

(X1,

X2)

Σ22

(X2)

)

oùσ

21(X

1,X

2)T

estl

atra

nspo

sée

deσ

21(X

1,X

2).R

emar

quon

squ

eV

ar[X

1]=σ

11(X

1)=

Cov

[X1,

X1]

2 X1

avec

les

nota

tions

dela

page

27.

110

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

111/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

On

mon

trepa

run

peu

deca

lcul

mat

ricie

lque

laco

rrél

atio

nm

axim

ale

Rvé

rifie

:

R2 (X

1,X

2)=σ

21(X

1,X

2)TΣ

22(X

2)−

1 σ21

(X1,

X2)

σ11

(X1)

.

On

peut

vérifi

erqu

’ils’

agit

bien

d’un

nom

bre

réel

.

111

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

112/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Leca

sde

laco

rrél

atio

nsi

mpl

ees

tlég

èrem

entd

iffér

entd

ece

lui-c

ipui

squ’

icio

nne

peut

trouv

erfa

cile

men

tque

lava

leur

abso

lue

deR

(X1,

X2)

.Ano

uvea

uon

doit

faire

lelie

nen

trele

coef

ficie

ntde

déte

rmin

atio

nen

régr

essi

onlin

éaire

mul

tiple

etR

2 (X1,

X2)

:ils

ontl

am

ême

vale

ur.

112

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 29: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

113/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

On

sedo

nne,

com

me

préc

emm

ent,

unn−

écha

ntill

onin

dépe

ndan

teti

dent

ique

men

tdis

trib

ué((

X1,

1,X

2,1),...,(

X1,

n,X

2,n

)).E

nut

ilisa

ntle

ses

timat

eurs

défin

isà

lapa

ge71

,un

estim

ateu

rdu

coef

ficie

ntR

2 (X1,

X2)

est

donn

épa

rla

form

ule

suiv

ante

:

R

2 (X

1,X

2)=

σ

21(X

1,X

2)T

Σ

22(X

2)−

1

σ21

(X1,

X2)

σ 11(

X1)

=

σ21

(X1,

X2)

22(X

2)−

1

σ21

(X1,

X2)

σ 11(

X1)

.

113

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

114/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

On

note

déso

rmai

sx 1

unéc

hant

illon

den

réal

isat

ions

deX

1et

x 2un

écha

ntill

onde

nré

alis

atio

nsde

X2.

Une

estim

atio

nde

R2 (X

1,X

2)es

talo

rs:

R

2(X

1,X

2)(

x 1,x

2)

=

(

σ21(X

1,X

2)(

x 1,x

2))

T( Σ

22(X

2)(

x 2))−

1

σ21(X

1,X

2)(

x 1,x

2)

σ

11(X

1)(

x 1)

·

114

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

115/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

San

shy

poth

èse

supp

lém

enta

ireon

nepo

urra

itrie

ndi

rea

surl

adi

strib

utio

nde

R

2 (X

1,X

2)et

onne

pour

rait

donc

pas

effe

ctue

rde

test

.

a.Le

théo

rèm

ece

ntra

llim

itepe

rmet

d’av

oird

esin

form

atio

nssu

rla

loil

imite

de

R(X

1,X

2)

mai

sce

sre

nsei

gnem

ents

neso

ntva

labl

esqu

epo

urde

sef

fect

ifstrè

sim

port

ants

,n→

+∞

etde

cefa

itne

prés

ente

ntqu

epe

ud’

inté

rêtd

ans

lapr

atiq

ue.

115

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

116/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Sup

poso

nsdé

sorm

ais

que

nos

X1∈R

etX

2∈R

p−1

soie

ntte

lsqu

e(X

1,X

2)∈R

pai

tune

dist

ribut

ion

mul

tinor

mal

eda

nsR

pde

moy

enneµ

etde

mat

rice

deva

rianc

e-co

varia

nceΣ

.En

cons

erva

ntle

sno

tatio

nsde

lapa

ge10

2on

peut

écrir

e:

(X1,

X2)∼N((

µ1µ

2

),(

σ11

σ21

T

σ21

Σ22

)).

116

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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117/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Ladi

strib

utio

nas

ympt

otiq

uede

R(X

1,X

2)es

talo

rsid

entiq

ueà

celle

duco

effic

ient

deco

rrél

atio

nsi

mpl

e:

√n(

R

(X1,

X2)−

R(X

1,X

2))≈N( 0,

( 1−

R(X

1,X

2)2)

2).

Ce

résu

ltatn

’est

pas

asse

zpr

écis

pour

perm

ettre

deré

soud

rele

spr

oblè

mes

quin

ous

inté

ress

entg

énér

alem

ent.

On

l’util

iser

aun

ique

men

tsil

’on

nepe

utpa

sfa

ireau

trem

ente

tsin

>30

.

117

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

118/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Touj

ours

sous

l’hyp

othè

sede

mul

tinor

mal

itédu

vect

eur(

X1,

X2)

com

me

préc

isé

àla

page

112,

onpe

utco

nnaî

trela

loie

xact

ed’

une

fonc

tion

del’e

stim

ateu

rR2 (

X1,

X2)

sous

l’hyp

othè

senu

lle«H

0:L

eco

effic

ient

deco

rrél

atio

nm

ultip

leR

(X1,

X2)

deX

1et

X2

estn

ul»

: n−

p−

1p

R

2 (X

1,X

2)

1−

R

2 (X

1,X

2)2∼F p

,n−

p−1

oùF p

,n−

p−1

estu

nelo

ide

Fish

erà

pet

n−

p−

1de

grés

delib

erté

.

118

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

119/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Sip

=1,

onre

trouv

eex

acte

men

tle

cas

dela

corr

élat

ion

sim

ple.

En

effe

tdan

sce

ttesi

tuat

ion,

onét

udie

laco

rrél

atio

nen

trede

uxva

riabl

esX

1et

X2

àva

leur

sré

elle

s.La

form

ule

ci-d

essu

spo

urR

2 (X1,

X2)

esta

lors

iden

tique

àce

llede

ρ(X

1,X

2)2 .

De

plus

,on

sait

que√

n−2

ρ(X

1,X

2)

√1−

ρ(X

1,X

2)2

suit

une

loid

e

Stu

dent

àn−

2de

grés

delib

erté

.On

mon

trequ

’alo

rsso

nca

rré

(√

n−

2

ρ(X

1,X

2)

√1−

ρ(X

1,X

2)2

)2

=(n−

2)

ρ(X

1,X

2)2

1−

ρ(X

1,X

2)2

=(n−

2)

R2(X

1,X

2)

1−

R2(X

1,X

2)2

suit

une

loid

eFi

sher

à1

etn−

2de

grés

delib

erté

.

119

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

120/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Défi

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nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

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R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

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1,

X2)=

R0,R

06=

0

Cec

iest

bien

conf

orm

eau

résu

ltatd

ece

para

grap

hepu

isqu

esi

p=

1on

avu

que

n−p−

1p

R

2(X

1,X

2)

1−

R2(X

1,X

2)2

=(n−

2)

R2(X

1,X

2)

1−

R2(X

1,X

2)2

suit

une

loid

eFi

sher

àp

etn−

p−

1,c’

est-à

-dire

1et

n−

2,de

grés

delib

erté

.Réc

ipro

quem

ent,

si(n−

2)

R2(X

1,X

2)

1−

R2(X

1,X

2)2

suit

une

loid

e

Fish

erà

1et

n−

2,on

sait

qu’a

lors

√(n−

2)

R2(X

1,X

2)

1−

R2(X

1,X

2)2

=√

n−2

ρ(X

1,X

2)

√1−

ρ(X

1,X

2)2

suit

une

loid

eS

tude

ntà

n−

2de

grés

delib

erté

.

120

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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121/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

On

sese

rtde

cette

prop

riété

pour

test

erle

shy

poth

èses

:

H0

:Le

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

mul

tiple

R(X

1,X

2)de

X1

etX

2es

tnul

cont

re

H1

:Le

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

mul

tiple

R(X

1,X

2)de

X1

etX

2es

tnon

nul.

121

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

122/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

sgé

néra

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2)C

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nm

ultip

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lle

Défi

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nE

stim

atio

nA

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ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Ces

hypo

thès

esso

ntéq

uiva

lent

esau

xhy

poth

èses

:

H0

:X1

etX

2so

ntin

dépe

ndan

ts

cont

re

H1

:X1

etX

2so

ntlié

s.

Pour

obte

nird

esin

terv

alle

sde

confi

ance

pour

R(X

1,X

2)on

peut

auss

iutil

iser

latra

nsfo

rmat

ion

en«

argu

men

ttan

gent

ehy

perb

oliq

ue»,

i.e.e

nta

nh−

1 ,voi

rla

page

53.

122

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

123/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Défi

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nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

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del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

On

sepl

ace

enco

reso

usl’h

ypot

hèse

dem

ultin

orm

alité

duve

cteu

r(X

1,X

2)co

mm

epr

écis

éà

lapa

ge11

2.N

oton

squ

ela

prop

riété

dela

page

115

ci-d

essu

sne

perm

etpa

sde

test

er,s

iR

06=

0,de

shy

poth

èses

duty

pe:

H0

:R(X

1,X

2)=

R0

cont

re

H1

:R(X

1,X

2)6=

R0.

123

/214

Fréd

éric

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trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

124/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

Ladé

mar

che

esta

lors

lam

ême

que

pour

leco

effic

ient

deco

rrél

atio

nsi

mpl

e,vo

irla

page

84.D

eux

appr

oche

sso

ntpo

ssib

les.

124

/214

Fréd

éric

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trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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125/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

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mpl

eLe

cas

bidi

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nel

Leca

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2)C

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ique

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ypot

hèse

R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

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seR(X

1,

X2)=

R0,R

06=

0

•U

tilis

erla

trans

form

atio

nde

Fish

erin

trodu

iteci

-des

sus,

àla

page

53,p

ouro

bten

irun

inte

rval

lede

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ance

pour

R(X

1,X

2)de

nive

auap

prox

imat

if(1−α

)%

:[ ta

nh

(z−

z α/2

(n−

3)1 2

),t

anh

(z

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(n−

3)1 2

)]

oùz

=ta

nh(

R

(X1,

X2)

(x1,

x 2))

etz α/2

estl

equ

antil

ede

lalo

iN(0,1

).

125

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

126/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

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nm

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lle

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nE

stim

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ptot

ique

Test

del’h

ypot

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R(X

1,

X2)=

0Te

stde

l’hyp

othè

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1,

X2)=

R0,R

06=

0

•U

tilis

erde

slo

gici

els,

com

me

SP

SS

,R,S

AS

ouS

tatX

act,

quip

ropo

sent

des

vers

ions

exac

tes

del’i

nter

valle

deco

nfian

cedo

ntun

eap

prox

imat

ion

estd

onné

eci

-des

sus.

Cet

teap

proc

hees

tpar

ticul

ière

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tint

éres

sant

esi

l’effe

ctif

com

mun

nau

xéc

hant

illon

sx 1

etx 2

estp

etit.

126

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

127/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Som

mai

re

5C

orré

latio

npa

rtie

lleD

éfini

tion

Est

imat

ion

Asy

mpt

otiq

ueTe

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q+

1,...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q+

1,...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

127

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

128/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

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i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Pour

intro

duire

form

elle

men

tle

conc

eptd

eco

rrél

atio

npa

rtie

lle,

unpe

titdé

tour

mat

hém

atiq

uees

tnéc

essa

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plic

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nsse

ront

géné

rale

men

tbea

ucou

ppl

ussi

mpl

es.

Con

sidé

rons

deux

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eurs

X1∈R

qet

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m−

qqu

iont

une

dist

ribut

ion

conj

oint

em

ultin

orm

ale

:

(X1,

X2)∼N((

µ1µ

2

),(

Σ11

Σ12

Σ21

Σ22

)).

128

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Ladi

strib

utio

nco

nditi

onne

llede

X1

sach

antX

2,on

éten

dle

sré

sulta

tsde

lapa

ge17

quic

once

rnai

entl

eca

sde

deux

varia

bles

réel

les

auca

sde

deux

vect

eurs

,est

:

X1|X

2∼N( µ

1+

Σ12Σ

22−

1 (X2−µ

2),Σ

11|2) ,

oùΣ

11|2

1,1−

Σ1,

2Σ2,

2−1 Σ

2,1.

129

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

130/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

En

écriv

antΣ

11|2

=((σ

i,j|q+

1,...,

m))

16i,j6

p,i

ls’a

gitd

’une

mat

rice

carr

éede

taill

ep,

ondé

finit

leco

effic

ient

deco

rrél

atio

npa

rtie

lleen

trele

sco

mpo

sant

esie

tjde

X1

sach

antX

2co

mm

e:

ρi,j|q+

1,...,

m=

σi,j|q+

1,...,

m

σ1 2 i,i|q+

1,...,

1 2 j,j|q+

1,...,

m

.

130

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

131/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Son

inte

rpré

tatio

npr

atiq

uees

tla

suiv

ante

:Le

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

part

ielle

entre

les

com

posa

ntes

iet

jdu

vect

eurX

1sa

chan

tX2

repr

ésen

tela

corr

élat

ion

entre

les

com

posa

ntes

ietj

aprè

sav

oiré

limin

él’e

ffetd

esva

riabl

esde

X2

surl

esco

mpo

sant

esie

tjdu

vect

eurX

1.

131

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

132/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

On

sedo

nne,

com

me

préc

emm

ent,

unn−

écha

ntill

onin

dépe

ndan

teti

dent

ique

men

tdis

trib

ué((

X1,

1,X

2,1),...,(

X1,

n,X

2,n

)).

En

utili

sant

les

estim

ateu

rsdé

finis

àla

page

71,u

nes

timat

eur

duco

effic

ientρ

i,j|q+

1,...,

mes

tdon

népa

rla

form

ule

suiv

ante

:

ρ

i,j|q+

1,...,

m=

σ

i,j|q+

1,...,

m

σ

i,i|q+

1,...,

m1 2

σ

j,j|q+

1,...,

m1 2

,

où((

σ

i,j|q+

1,...,

m))

16i,j6

p=

Σ11

|2=

Σ1,

1−

Σ1,

2Σ2,

2−1 Σ

2,1.

132

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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133/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

On

note

déso

rmai

sx 1

unéc

hant

illon

den

réal

isat

ions

deX

1et

x 2un

écha

ntill

onde

nré

alis

atio

nsde

X2.

Une

estim

atio

nde

ρi,j|q+

1,...,

mes

talo

rs:

ρ

i,j|q+

1,...,

m(x

1,x 2

)=

σ

i,j|q+

1,...,

m(x

1,x 2

)

σ

i,i|q+

1,...,

m(x

1,x 2

)1 2

σj,j|q+

1,...,

m(x

1,x 2

)1 2

,

où((

σ

i,j|q+

1,...,

m(x

1,x 2

))) 16

i,j6

p=

Σ11

|2(x

1,x 2

)=

Σ1,

1(x 1,x

2)−

Σ1,

2(x 1,x

2)( Σ

2,2(

x 1,x

2)) −

2,1(

x 1,x

2).

133

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

134/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Ladi

strib

utio

nas

ympt

otiq

ued’

unco

effic

ient

deco

rrél

atio

npa

rtie

llees

tla

mêm

equ

epo

urun

eco

rrél

atio

nsi

mpl

e,c’

est-à

-dire

:√

n(

ρ

i,j|q+

1,...,

m−ρ

i,j|q+

1,...,

m) ≈N( 0,

(1−ρ

2 i,j|q+

1,...,

m)2)

.

Ce

résu

ltatn

’est

appl

icab

lequ

esi

n>

30.N

es’

ense

rvir

que

sil’o

nne

peut

pas

faire

autre

men

t.

134

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

135/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

On

peut

mai

nten

ants

’inté

ress

erau

test

denu

llité

duco

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ient

deco

rrél

atio

npa

rtie

llede

sco

mpo

sant

esdu

vect

eurg

auss

ien

X1

conn

aiss

antl

eve

cteu

rX2.

H0

:ρi,j|q+

1,...,

m=

0

cont

re

H1

:ρi,j|q+

1,...,

m6=

0.

135

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

136/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Ces

hypo

thès

esso

ntéq

uiva

lent

:

H0

:Les

com

posa

ntes

X1,

iet

X1,

jde

X1

sont

indé

pend

ante

ssa

nsl’e

ffetd

eX

2

cont

re

H1

:Les

com

posa

ntes

X1,

iet

X1,

jde

X1

sont

liées

sans

l’effe

tde

X2.

136

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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137/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Sou

sl’h

ypot

hèse

nulleH

0,al

ors

:

t i,j|q

+1,...,

m(x

1,x 2

)=√

n−

m+

q−

2

ρi,j|q+

1,...,

m(x

1,x 2

)√

1−

ρ

i,j|q+

1,...,

m(x

1,x 2

)2

estl

aré

alis

atio

nd’

une

varia

ble

aléa

toire

Tqu

isui

tune

loid

eS

tude

ntà

n−

m+

q−

2de

grés

delib

erté

,i.e

.T∼T n−

m+

q−2.

137

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

138/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

On

reje

ttel’h

ypot

hèse

nulleH

0au

nive

au(1−α

)%

lors

que

∣ ∣ t i,j|

q+1,...,

m(x

1,x 2

)∣ ∣>

t n−

m+

q−2,α/2.

On

peut

auss

iapp

lique

rla

trans

form

atio

nz

dans

ceco

ntex

te,

voir

lapa

ge53

.

138

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

139/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Siρ

06=

0,la

prop

riété

dela

page

132

ci-d

essu

sne

perm

etpa

sde

test

erde

shy

poth

èses

duty

pe:

H0

:ρi,j|q+

1,...,

m=ρ

0

cont

re

H1

:ρi,j|q+

1,...,

m6=ρ

0.

Ilex

iste

alor

sde

uxpo

ssib

ilité

s.

139

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

140/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

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nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

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ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

•S

il’o

nso

uhai

tefa

ireun

test

dece

type

àla

mai

n,on

utili

sela

trans

form

atio

nde

Fish

erin

trodu

iteci

-des

sus,

àla

page

53,p

ouro

bten

irun

inte

rval

lede

confi

ance

pour

ρi,j|q+

1,...,

mde

nive

auap

prox

imat

if(1−α

)%

:[ ta

nh

(z−

z α/2

(n−

3)1 2

),t

anh

(z

+z α/2

(n−

3)1 2

)]

oùz

=ta

nh(

ρ

i,j|q+

1,...,

m(x

1,x 2

))et

z α/2

estl

equ

antil

ede

lalo

iN(0,1

).

140

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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141/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

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stim

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+1,

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m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

•C

erta

ins

logi

ciel

s,co

mm

eS

PS

S,R

,SA

Sou

Sta

tXac

t,pr

opos

entd

esve

rsio

nsex

acte

sde

l’int

erva

llede

confi

ance

.

141

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

142/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Inté

ress

ons-

nous

auca

sle

plus

sim

ple.

Soi

entX

1,X

2et

X3

trois

varia

bles

aléa

toire

sré

elle

ste

lles

que

lalo

ijoi

nte

de(X

1,X

1,X

3)so

itm

ultin

orm

ale

depa

ram

ètre

etΣ

.

142

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

143/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Ain

sion

aic

im=

3et

q=

2.O

nm

ontre

alor

sla

rela

tion

suiv

ante

:

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12−ρ

13ρ

23√

1−ρ

2 13

√1−ρ

2 23

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12es

tle

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

sim

ple

entre

les

varia

bles

X1

etX

2,ρ

13es

tle

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

sim

ple

entre

les

varia

bles

X1

etX

3etρ

23es

tle

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

sim

ple

entre

les

varia

bles

X2

etX

3,vo

irla

page

68.

143

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

144/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Dan

sla

plup

artd

essi

tuat

ions

expé

rimen

tale

squ

evo

usre

ncon

trere

zce

ttefo

rmul

ese

rasu

ffisa

nte.

On

rem

arqu

eég

alem

entq

uela

défin

ition

ests

ymét

rique

enX

1et

X2,

c’es

t-à-d

ire:

ρ12|3

12−ρ

13ρ

23√

1−ρ

2 13

√1−ρ

2 23

21−ρ

23ρ

13√

1−ρ

2 23

√1−ρ

2 13

21|3.

Laco

rrél

atio

npa

rtie

llede

X1

etX

2sa

chan

tX3

est

heur

euse

men

tla

mêm

equ

ece

llede

X2

etX

1sa

chan

tX3.

144

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Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

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ultip

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latio

npa

rtie

lle

Défi

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nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

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i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

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seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

On

cons

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eun

écha

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onx

indé

pend

ante

tide

ntiq

uem

ent

dist

ribué

suiv

antl

alo

ide

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X3.

On

note

x 1l’é

chan

tillo

nde

sré

alis

atio

nsde

X1,

x 2l’é

chan

tillo

nde

sré

alis

atio

nsde

X2

etx 3

l’éch

antil

lon

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réal

isat

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3.

On

tire

dex

une

estim

atio

nde

ρ12|3

enca

lcul

antd

eses

timat

ions

deρ

12,ρ

13,ρ

23co

mm

eex

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lapa

ge71

.

145

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

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deva

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esqu

antit

ativ

es

146/

214

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...,

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0,ρ

06=

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asde

trois

varia

bles

réel

les

On

peut

mai

nten

ants

’inté

ress

erau

test

denu

llité

duco

effic

ient

deco

rrél

atio

npa

rtie

llede

X1

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tla

varia

ble

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re

H1

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0.

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lent

:

146

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Fréd

éric

Ber

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riabl

esqu

antit

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147/

214

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eLe

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nel

Leca

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0,ρ

06=

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trois

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bles

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varia

bles

X1

etX

2so

ntin

dépe

ndan

tes

sans

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cont

re

H1

:Les

varia

bles

X1

etX

2so

ntlié

essa

nsl’e

ffetd

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3.

147

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

148/

214

Coe

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nel

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bles

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0,al

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:

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3(x 1,x

2,x 3

)=√

n−

12|3

(x1,

x 2,x

3)√

1−ρ

12|3

(x1,

x 2,x

3)2

estl

aré

alis

atio

nd’

une

varia

ble

aléa

toire

Tqu

isui

tune

loid

eS

tude

ntà

n−

3de

grés

delib

erté

,i.e

.T∼T n−

3.

148

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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214

Coe

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nel

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0,ρ

06=

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trois

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les

On

reje

ttel’h

ypot

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nulleH

0au

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)%

lors

que

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2,x 3

)∣ ∣>

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On

peut

auss

iapp

lique

rla

trans

form

atio

nz

dans

ceco

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te,

voir

lapa

ge53

.

149

/214

Fréd

éric

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Ass

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

150/

214

Coe

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eco

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eLe

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nel

Leca

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l(n>

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06=

0C

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trois

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bles

réel

les

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06=

0,la

prop

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dupa

ragr

aphe

ci-d

essu

sne

perm

etpa

sde

test

erde

shy

poth

èses

duty

pe:

H0

:ρ12|3

0

cont

re

H1

:ρ12|36=ρ

0.

Ilex

iste

alor

sde

uxpo

ssib

ilité

s.

150

/214

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éric

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Ass

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riabl

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antit

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es

151/

214

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06=

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asde

trois

varia

bles

réel

les

•S

il’o

nso

uhai

tefa

ireun

test

dece

type

àla

mai

n,on

utili

sela

trans

form

atio

nde

Fish

erin

trodu

iteci

-des

sus,

àla

page

53,p

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bten

irun

inte

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ance

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(1−α

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:[ ta

nh

(z−

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(n−

3)1 2

),t

anh

(z

+z α/2

(n−

3)1 2

)]

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12|3

(x1,

x 2,x

3)) et

z α/2

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equ

antil

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151

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éric

Ber

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Ass

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

152/

214

Coe

ffici

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eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

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nel

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2)C

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rsio

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llede

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ance

.

152

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trand

Ass

ocia

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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153/

214

Coe

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eco

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0,ρ

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0C

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les

Exe

mpl

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Dét

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men

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rrél

atio

npa

rtie

lleda

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nsu

ivan

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l’on

disp

ose

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isva

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esco

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réel

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BM

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3.

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.

153

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Ass

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antit

ativ

es

154/

214

Coe

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2)C

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...,

m=

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m=ρ

0,ρ

06=

0C

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bles

réel

les

Exe

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eO

nra

ppel

lequ

ele

BM

Id’u

nin

divi

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tun

indi

cequ

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parl

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esu

ivan

te:

BM

I=

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ght

Hei

ght2

oùle

poid

ss’

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etla

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een

m.

L’éch

antil

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iéa

unef

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=38

etes

texc

lusi

vem

ent

cons

titué

d’in

divi

dus

dege

nre

fém

inin

.

154

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Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

155/

214

Coe

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eco

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eLe

cas

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Leca

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0C

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Exe

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eno

usl’a

vons

fait

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othè

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cess

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rtie

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sa

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prés

enté

epl

usha

utso

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ela

loid

uve

cteu

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1,X

2,X

3)es

tune

loim

ultin

orm

ale

surR

3 .

Cec

iapo

urco

nséq

uenc

equ

’ilfa

utqu

eX

1,X

2et

X3

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tune

dist

ribut

ion

norm

ale

mai

sco

mm

eno

usl’a

vons

déjà

soul

igné

cen’

estp

assu

ffisa

nt.

155

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Fréd

éric

Ber

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Ass

ocia

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deva

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esqu

antit

ativ

es

156/

214

Coe

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rrél

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dem

ultin

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en[3

].

156

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éric

Ber

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riabl

esqu

antit

ativ

es

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157/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

157

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

158/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

158

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

159/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

159

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

160/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

160

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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161/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eLe

sp−

vale

urs

sont

tout

essu

périe

ures

à0,

100,

onne

peut

donc

pas

reje

terl

’hyp

othè

sede

norm

alité

deX

1,X

2,X

3,X

1+

X2,

X1

+X

3,X

2+

X3

etde

X1

+X

2+

X3.

Atte

ntio

n,no

uste

stio

nsic

ila

mul

tinor

mal

itéde

(X1,

X2,

X3)

etno

usav

ons

proc

édé

àse

ptte

sts

deS

hapi

ro-W

ilk.N

ous

avio

ns,

com

me

d’ha

bitu

de,fi

xéun

seui

ldeα

glob

al=

5%

pour

lete

stgl

obal

dem

ultin

orm

alité

.

161

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

162/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

Pour

gara

ntir

ceris

que

glob

alde

5%

,ilf

autfi

xeru

nris

que

diffé

rent

de5

%po

urch

aque

test

deS

hapi

ro-W

ilk,n

ous

avon

sdé

jàév

oqué

cepr

oblè

me

àl’e

xem

ple

page

88.E

nef

fets

ile

risqu

epo

urch

acun

des

test

sde

Sha

piro

-Wilk

estfi

xéà

αin

d=

5%

,alo

rsle

risqu

egl

obal

esta

um

axim

umde

αgl

obal

=1−

(1−

0,05

)7=

0,30

2�

0,05

.Ain

sion

doit

fixer

unse

uild

ind

=1−

7√1−α

glob

al=

1−

7√0,

95=

0,00

7po

urch

acun

des

sept

test

sde

Sha

piro

-Wilk

,ce

quir

evie

ntà

être

moi

nsex

igea

ntpo

urch

acun

des

test

sin

divi

duel

spu

isqu

e0,

007<

0,05

etdo

ncà

acce

pter

lano

rmal

itéda

nspl

usde

cas.

162

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

163/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

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néra

l(n>

2)C

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ique

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...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

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...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eD

ans

cete

xem

ple

cette

corr

ectio

nne

chan

gerie

laco

nclu

sion

puis

qu’a

ucun

ede

sp−

vale

urs

n’ét

aien

tcom

pris

esen

tre0,

007

et0,

05.

Sui

teà

cette

anal

yse

som

mai

rerie

nne

perm

etde

reje

ter

l’hyp

othè

sede

mul

tinor

mal

itéde

(X1,

X2,

X3)

.O

npe

utdo

ncut

ilise

rune

appr

oche

para

mét

rique

.C

omm

enço

nspa

rétu

dier

les

coef

ficie

nts

deco

rrél

atio

nsi

mpl

e,di

tsde

Pear

son.

163

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

164/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

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+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eCorrelations:BMI;Weight;Height

BMI

Weight

Weight

0,878

0,000

Height

-0,038

0,441

0,820

0,006

CellContents:Pearsoncorrelation

P-Value

164

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 42: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

165/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

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ique

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ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eO

nco

nsta

teai

nsiq

ue:

•A

uni

veau

α=

5%

,on

reje

ttel’h

ypot

hèse

nulleH

0d’

indé

pend

ance

des

varia

bles

BM

Iet

Wei

ght,

car

0,00

0<

0,05

.•

Au

nive

auα

=5

%,o

nne

peut

pas

reje

tterl

’hyp

othè

senu

lleH

0d’

indé

pend

ance

des

varia

bles

BM

Iet

Hei

ght,

car

0,82

0>

0,05

.•

Au

nive

auα

=5

%,o

nre

jette

l’hyp

othè

senu

lleH

0d’

indé

pend

ance

des

varia

bles

Hei

ghte

tWei

ght,

car

0,00

6<

0,05

.

165

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

166/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

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del’h

ypot

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i,j|q

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...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eC

esré

sulta

tsso

nten

acco

rdav

ecla

form

ule

perm

etta

ntde

calc

uler

leB

MIà

l’aid

ede

lata

ille

etdu

poid

s.•

Lalia

ison

estl

inéa

ireet

posi

tive

pour

lepo

ids,

cequ

el’o

nre

trouv

ebi

enic

iave

cla

vale

urde

ρB

W=

0,87

8et

une

p−va

leur

de0,

000.

166

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

167/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

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+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e•

Lalia

ison

estn

égat

ive

pour

lata

ille

mai

s,vu

safa

ible

sse,

ρB

H=−

0,03

8,on

nepe

utpa

sre

jete

rl’h

ypot

hèse

d’in

dépe

ndan

ceen

trece

sde

uxva

riabl

es,p−

vale

urde

0,82

0.La

form

ule

ci-d

essu

sim

pliq

ueun

ere

latio

nno

nlin

éair

een

trele

BM

Ietl

ata

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c’es

tpou

rquo

ile

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

linéa

irene

peut

lam

ettre

enév

iden

ce.

•La

liais

onpo

sitiv

een

trela

taill

eet

lam

asse

,ρW

H=

0,44

1et

p−va

leur

de0,

006,

este

nac

cord

avec

notre

conn

aiss

ance

apr

iori

del’e

xist

ence

d’un

ere

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nlin

éaire

posi

tive

entre

lata

ille

etle

poid

sd’

unin

divi

du.

167

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

168/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eP

asso

nsm

aint

enan

tau

calc

ulde

laco

rrél

atio

nm

ultip

leR

duB

MI

sur(

Hei

ght,

Wei

ght)

,de

laco

rrél

atio

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ultip

leR

duH

eigh

tsu

r(B

MI,

Wei

ght)

etde

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rrél

atio

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ultip

leR

duW

eigh

tsur

(Hei

ght,

BM

I).

Pour

effe

ctue

rce

calc

ulon

utili

sele

fait

que

R2

esté

gala

uco

effic

ient

dedé

term

inat

ion

obte

nulo

rsqu

el’o

nfa

itla

régr

essi

onlin

éaire

mul

tiple

deB

MI

sur(

Hei

ght,

Wei

ght)

.On

obtie

ntpa

rexe

mpl

eav

ecM

inita

b.

168

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 43: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

169/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eRegressionAnalysis:BMIversusWeight;Height

Theregressionequationis

BMI=87,1+0,368Weight-0,529Height

Predictor

Coef

SECoef

TP

Constant

87,090

1,899

45,85

0,000

Weight

0,367955

0,004146

88,75

0,000

Height

-0,52855

0,01252

-42,21

0,000

S=0,432656

R-Sq=99,6%

R-Sq(adj)=99,5%

169

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

170/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

ePo

urca

lcul

erle

sau

tres

coef

ficie

nts

deco

rrél

atio

nm

ultip

le,o

npr

ocèd

ede

mêm

een

chan

gean

tles

rôle

sde

BM

I,H

eigh

tet

Wei

ght.

170

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

171/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eRegressionAnalysis:WeightversusBMI;Height

Theregressionequationis

Weight=-236+2,71BMI+1,44Height

Predictor

Coef

SECoef

TP

Constant

-236,083

5,253

-44,95

0,000

BMI

2,70570

0,03049

88,75

0,000

Height

1,43599

0,03050

47,09

0,000

S=1,17324

R-Sq=99,6%

R-Sq(adj)=99,6%

171

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

172/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eRegressionAnalysis:HeightversusBMI;Weight

Theregressionequationis

Height=164-1,86BMI+0,686Weight

Predictor

Coef

SECoef

TP

Constant

164,436

0,933

176,17

0,000

BMI

-1,85552

0,04396

-42,21

0,000

Weight

0,68556

0,01456

47,09

0,000

S=0,810650

R-Sq=98,4%

R-Sq(adj)=98,4%

172

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 44: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

173/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eO

na

ains

itro

uvé

succ

essi

vem

ent:

ρB/

s (H,W

)=

99,6

%

ρW/

s (B,H

)=

99,6

%

ρH/

s (B,W

)=

98,4

%

173

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

174/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

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...,

m=

0Te

stde

l’hyp

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...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eC

alcu

lons

déso

rmai

sle

stro

isco

rrél

atio

nspa

rtie

lles

ρ(H

eigh

t,Wei

ght)|B

MI;

ρ(W

eigh

t,BM

I)|H

eigh

t;ρ(H

eigh

t,BM

I)|W

eigh

t.

174

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

175/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

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...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eO

nap

pliq

uela

form

ule

ci-d

essu

s:

ρH

W|B

HW−ρ

HBρ

WB

√1−ρ

2 HB

√1−ρ

2 WB

≈0,

992

ρW

B|H

WB−ρ

WHρ

BH

√1−ρ

2 WH

√1−ρ

2 BH

≈0,

998

ρH

B|W

HB−ρ

HWρ

BW

√1−ρ

2 HW

√1−ρ

2 BW

≈−

0,99

0.

175

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

176/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eC

esré

sulta

tsso

ntà

com

pare

rave

cle

sva

leur

sde

corr

élat

ion

sim

ple.

En

part

icul

ierl

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rrél

atio

nen

trele

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set

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imin

antl

’effe

tdu

poid

sse

mbl

esi

gnifi

cativ

e.Po

ural

lerp

lus

loin

etdé

cide

rde

lasi

gnifi

cativ

itéde

ces

corr

élat

ions

,on

peut

seré

ferr

erà

une

tabl

eou

utili

serl

alo

idu

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

part

ielle

énon

cée

aux

page

s13

1et

139.

Cer

tain

slo

gici

els,

com

me

SP

SS

,nou

sre

nsei

gnen

tdire

ctem

ent

surl

esp−

vale

urs

asso

ciée

sau

xco

rrél

atio

nspa

rtie

lles.

176

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 45: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

177/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

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nE

stim

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nA

sym

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ypot

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i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

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|-----------------|------|-----------------------|------|------|

|ControlVariables|

||Weight|Height|

|-----------------|------|-----------------------|------|------|

|BMI

|Weight|Correlation

|1,000

|,992

||

||-----------------------|------|------|

||

|Significance(2-tailed)|.

|,000

||

||-----------------------|------|------|

||

|df

|0

|35

||

|------|-----------------------|------|------|

||Height|Correlation

|,992

|1,000

||

||-----------------------|------|------|

||

|Significance(2-tailed)|,000

|.

||

||-----------------------|------|------|

||

|df

|35

|0

||-----------------|------|-----------------------|------|------|

177

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

178/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

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nE

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m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

ePartialCorrelations

|-----------------|------|-----------------------|------|-----|

|ControlVariables|

||Weight|BMI

||-----------------|------|-----------------------|------|-----|

|Height

|Weight|Correlation

|1,000

|,998

||

||-----------------------|------|-----|

||

|Significance(2-tailed)|.

|,000

||

||-----------------------|------|-----|

||

|df

|0

|35

||

|------|-----------------------|------|-----|

||BMI

|Correlation

|,998

|1,000|

||

|-----------------------|------|-----|

||

|Significance(2-tailed)|,000

|.

||

||-----------------------|------|-----|

||

|df

|35

|0

||-----------------|------|-----------------------|------|-----|

178

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

179/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

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nel

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2)C

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0,ρ

06=

0C

asde

trois

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bles

réel

les

Exe

mpl

ePartialCorrelations

|-----------------|------|-----------------------|-----|------|

|ControlVariables|

||BMI

|Height|

|-----------------|------|-----------------------|-----|------|

|Weight

|BMI

|Correlation

|1,000|-,990

||

||-----------------------|-----|------|

||

|Significance(2-tailed)|.

|,000

||

||-----------------------|-----|------|

||

|df

|0

|35

||

|------|-----------------------|-----|------|

||Height|Correlation

|-,990|1,000

||

||-----------------------|-----|------|

||

|Significance(2-tailed)|,000

|.

||

||-----------------------|-----|------|

||

|df

|35

|0

||-----------------|------|-----------------------|-----|------|

179

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

180/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

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néra

l(n>

2)C

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latio

nm

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leC

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npa

rtie

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06=

0C

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trois

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bles

réel

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Exe

mpl

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nco

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teai

nsiq

uele

stro

iste

sts

sont

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ifica

tifs

ause

uil

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nne

peut

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d’in

dépe

ndan

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bles

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me

etce

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les

trois

cas

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ght,

Wei

ght)|B

MI,

(Wei

ght,

BM

I)|H

eigh

tet

(Hei

ght,

BM

I)|W

eigh

t.

180

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

Page 46: Sommaire es - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~fbertran/enseignement/Master1_2016_2/4pages... · ne Mais corrélation. ... a que (X; Y) et b. and es. 13/214 simple bidimensionnel

181/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

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eLe

cas

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men

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nel

Leca

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2)C

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06=

0C

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trois

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bles

réel

les

Exe

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vez-

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odèl

equ

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utili

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i?P

arex

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ypot

hèse

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ultin

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alité

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l’infi

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(Hei

ght,

Wei

ght)

nede

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elle

pas

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cem

odèl

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181

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

182/

214

Coe

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0,ρ

06=

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asde

trois

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bles

réel

les

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mpl

e

On

réal

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dans

unco

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deux

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sd’

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nco

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sél

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nre

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npo

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eurc

ompé

tenc

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hém

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ues

etl’a

utre

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ort,

lete

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mis

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enco

urse

àpi

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espe

rform

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son

tété

noté

essu

r10

0da

nsle

sde

uxte

sts

puis

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enée

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note

ssu

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On

disp

ose

donc

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Mat

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note

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ique

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e,•

l’aut

reap

pelé

eSp

ort(

S)et

asso

ciée

àla

note

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ortq

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reçu

unél

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182

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

183/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

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eLe

cas

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Leca

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m=ρ

0,ρ

06=

0C

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bles

réel

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Exe

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sdo

nnée

son

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Mat

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1711

,56

7,92

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19,

114

7,14

6,04

1911

,33

13,4

95

5,47

7,53

209,

4910

,99

64,

434,

0421

16,9

916

,54

74,

527,

4522

14,8

616

,03

86,

634,

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18,9

116

,41

183

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

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184/

214

Coe

ffici

entd

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rrél

atio

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eLe

cas

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trois

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bles

réel

les

Exe

mpl

e Élè

veM

ath

Spor

lève

Mat

hSp

ort

95,

437,

5024

19,3

514

,81

107,

7810

,18

2519

,24

17,6

311

9,79

13,5

926

14,6

218

,78

1213

,40

6,92

2720

,00

18,5

413

8,68

7,51

2819

,19

20,0

014

11,3

59,

5929

19,2

815

,64

1510

,62

13,1

930

16,5

919

,73

L’éch

antil

lon

étud

iéa

unef

fect

ifn

=30

etes

texc

lusi

vem

ent

cons

titué

d’in

divi

dus

dege

nre

mas

culin

.

184

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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185/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eC

omm

eno

usl’a

vons

fait

rem

arqu

er,l

’hyp

othè

sené

cess

aire

àl’a

ppro

che

para

mét

rique

dela

corr

élat

ion

sim

ple,

mul

tiple

oupa

rtie

llequ

ivou

sa

été

prés

enté

epl

usha

utes

tque

lalo

idu

vect

eur(

M,S

)es

tune

loim

ultin

orm

ale

surR

2 .

Cec

iapo

urco

nséq

uenc

equ

’ilfa

utqu

eM

,Sai

entu

nedi

strib

utio

nno

rmal

em

ais

com

me

nous

l’avo

nsdé

jàso

ulig

néce

n’es

tpas

suffi

sant

.On

doit

pare

xem

ple

auss

ites

terl

ano

rmal

itéde

M+

Set

M−

S.S

eré

fére

ràla

page

??po

urun

expo

sédé

taill

éde

ste

sts

dem

ultin

orm

alité

ouau

livre

deR

.C

hris

tens

en[3

].

185

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

186/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

186

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

187/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

187

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

188/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eLe

sp−

vale

urs

sont

tout

essu

périe

ures

à0,

100,

onne

peut

donc

pas

reje

terl

’hyp

othè

sede

norm

alité

deM

,S,M

+S

etM−

S.

Atte

ntio

n,no

uste

stio

nsic

ila

mul

tinor

mal

itéde

(M,S

)et

nous

avon

spr

océd

éà

quat

rete

sts

deS

hapi

ro-W

ilk.N

ous

avio

ns,

com

me

d’ha

bitu

de,fi

xéun

seui

ldeα

glob

al=

5%

pour

lete

stgl

obal

dem

ultin

orm

alité

.Pou

rgar

antir

ceris

que

glob

alde

5%

,il

faut

fixer

unris

que

diffé

rent

de5

%po

urch

aque

test

deS

hapi

ro-W

ilk.

188

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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189/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

hèseρ

i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eE

nef

fets

ile

risqu

epo

urch

acun

des

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sde

Sha

piro

-Wilk

est

fixé

àα

ind

=5

%,a

lors

leris

que

glob

ales

tau

max

imum

deα

glob

al=

1−

(1−

0,05

)4=

0,18

5>

0,05

.Ain

sion

doit

fixer

unse

uild

ind

=1−

4√1−α

glob

al=

1−

4√0,

95=

0,01

3po

urch

acun

des

test

sde

Sha

piro

-Wilk

,ce

quir

evie

ntà

être

moi

nsex

igea

ntpo

urch

acun

des

test

sin

divi

duel

spu

isqu

e0,

013<

0,05

etdo

ncà

acce

pter

lano

rmal

itéda

nspl

usde

cas.

Dan

sce

texe

mpl

ece

tteco

rrec

tion

nech

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rien

àla

conc

lusi

onpu

isqu

’auc

une

des

p−va

leur

sn’

étai

entc

ompr

ises

entre

0,01

3et

0,05

.Sui

teà

cette

anal

yse

som

mai

rerie

nne

perm

etde

reje

terl

’hyp

othè

sede

mul

tinor

mal

itéde

(M,S

).

189

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

190/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

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nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

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ypot

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i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eO

npe

utdo

ncut

ilise

rune

appr

oche

para

mét

rique

etut

ilise

rle

coef

ficie

ntde

corr

élat

ion

deM

etS.

CorrélationdePearsondeMathsetSport=0,833

Valeurdep=0,000

On

cons

tate

ains

iqu’

ause

uilα

=5

%,o

nre

jette

l’hyp

othè

senu

lleH

0d’

indé

pend

ance

des

varia

bles

Mat

het

Spor

t,ca

r0,

000<

0,05

.

190

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

191/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

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nE

stim

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nA

sym

ptot

ique

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ypot

hèseρ

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+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eO

ndé

cide

donc

qu’il

ya

une

corr

élat

ion

sign

ifica

tive

entre

les

résu

ltats

enm

athé

mat

ique

set

ensp

ort.

Lava

leur

del’e

stim

atio

n,0,

833,

duco

effic

ient

deco

rrél

atio

nét

antp

ositi

ve,

l’ass

ocia

tion

estp

ositi

ve,c

’est

-à-d

ire,p

lus

ones

tfor

ten

spor

tpl

uson

estf

orte

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athé

mat

ique

s.Q

u’en

pens

ez-v

ous

?D

equ

elau

tre

fact

eur

faud

rait-

ilte

nir

com

pte

?

191

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

192/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

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nm

ultip

leC

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npa

rtie

lle

Défi

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nE

stim

atio

nA

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...,

m=

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stde

l’hyp

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+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eIl

esté

vide

ntqu

ele

sré

sulta

tsde

sél

èves

àce

ste

sts

dépe

ndde

leur

âge

puis

que

lem

ême

ques

tionn

aire

estp

osé

àto

usle

sél

èves

quel

que

soit

leur

nive

au,d

onc

auss

ibie

nen

clas

sede

6ème

qu’e

ncl

asse

de3èm

e .

Fort

heur

euse

men

tila

été

poss

ible

dere

trouv

erl’â

ge,e

tmêm

eun

ein

form

atio

nen

core

plus

préc

ise,

lada

tede

nais

sanc

e,de

chac

unde

sél

èves

quia

part

icip

éà

l’éva

luat

ion.

On

aal

ors

déci

déde

code

rl’â

geco

mm

eun

eva

riabl

eal

éato

irequ

antit

ativ

eco

ntin

ue,a

ppel

éeA

geet

parfo

isab

régé

een

A.C

ette

déci

sion

corr

espo

ndà

l’idé

e,re

lativ

emen

trai

sonn

able

,sui

vant

e:l

edé

velo

ppem

entd

’un

enfa

ntne

sera

itpa

sex

acte

men

tle

mêm

esi

celu

i-cie

stné

endé

buto

uen

find’

anné

eci

vile

.

192

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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193/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

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latio

nm

ultip

leC

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npa

rtie

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nE

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ptot

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m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

Élè

veM

ath

Spor

tA

geÉ

lève

Mat

hSp

ort

Age

17,

152,

6911

,72

1612

,29

13,1

614

,02

27,

7910

,56

12,3

317

11,5

67,

9215

,02

38,

578,

9111

,91

1814

,31

9,11

13,4

04

7,14

6,04

11,9

219

11,3

313

,49

13,7

05

5,47

7,53

12,6

420

9,49

10,9

914

,14

64,

434,

0412

,07

2116

,99

16,5

415

,56

74,

527,

4512

,12

2214

,86

16,0

316

,31

86,

634,

5811

,23

2318

,91

16,4

116

,30

193

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

194/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

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2)C

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nm

ultip

leC

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latio

npa

rtie

lle

Défi

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nE

stim

atio

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ptot

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m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

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m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

e

Élè

veM

ath

Spor

tA

geÉ

lève

Mat

hSp

ort

Age

95,

437,

5012

,65

2419

,35

14,8

116

,23

107,

7810

,18

12,4

025

19,2

417

,63

15,8

911

9,79

13,5

913

,99

2614

,62

18,7

815

,44

1213

,40

6,92

14,5

027

20,0

018

,54

16,2

913

8,68

7,51

14,0

428

19,1

920

,00

16,6

214

11,3

59,

5914

,64

2919

,28

15,6

416

,07

1510

,62

13,1

914

,60

3016

,59

19,7

315

,27

194

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

195/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

sgé

néra

l(n>

2)C

orré

latio

nm

ultip

leC

orré

latio

npa

rtie

lle

Défi

nitio

nE

stim

atio

nA

sym

ptot

ique

Test

del’h

ypot

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i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eP

uisq

ueno

usin

trodu

ison

sun

eno

uvel

leva

riabl

eal

éato

ireA

ge,

pour

étud

ierl

esco

rrél

atio

nsdu

vect

eur(

Mat

h,Sp

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Age

)no

usde

vons

test

erla

norm

alité

duve

cteu

r(M

ath,

Spor

t,A

ge).

On

proc

ède

com

me

préc

édem

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t.E

ns’

appu

yant

surl

esré

sulta

tsde

ste

sts

deno

rmal

itéci

-des

sus,

onvo

itqu

’ilne

rest

epl

usqu

’às’

inté

ress

erà

lano

rmal

itéde

Age

,Mat

h+

Age

,Sp

ort+

Age

etde

Mat

h+

Spor

t+A

ge.

195

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

196/

214

Coe

ffici

entd

eco

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cas

bidi

men

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nel

Leca

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néra

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2)C

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latio

nm

ultip

leC

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latio

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rtie

lle

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nE

stim

atio

nA

sym

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i,j|q

+1,

...,

m=

0Te

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seρ

i,j|q

+1,

...,

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0,ρ

06=

0C

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trois

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bles

réel

les

Exe

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e

196

/214

Fréd

éric

Ber

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Ass

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

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197/

214

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cas

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e

197

/214

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Ber

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deva

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esqu

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ativ

es

198/

214

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eLe

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198

/214

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deva

riabl

esqu

antit

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199/

214

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Maths

Sport

Sport

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0,000

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0,909

0,837

0,000

0,000

Contenudelacellule:corrélationdePearson

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199

/214

Fréd

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Ber

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deva

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esqu

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200/

214

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rrél

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nm

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200

/214

Fréd

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deva

riabl

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antit

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es

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201/

214

Coe

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201

/214

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202/

214

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L’équationderégressionest

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0,000

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0,2437

0,1412

1,73

0,096

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2,1258

0,4189

5,07

0,000

S=2,071

R-Sq=84,3%

R-Sq(adj)=83,2%

202

/214

Fréd

éric

Ber

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Ass

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esqu

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203/

214

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tles

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Mat

h,Sp

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tAge

.

203

/214

Fréd

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Ber

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deva

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antit

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es

204/

214

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0,ρ

06=

0C

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trois

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Exe

mpl

eRegressionAnalysis:SportversusMaths;Age

L’équationderégressionest

Sport=-12,5+0,408Maths+1,37Age

Régresseur

Coef

Er-Tcoef

TP

Constante

-12,533

7,565

-1,66

0,109

Maths

0,4077

0,2362

1,73

0,096

Age

1,3701

0,7099

1,93

0,064

S=2,679

R-Sq=73,1%

R-Sq(adj)=71,1%

204

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

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tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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205/

214

Coe

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eLe

cas

bidi

men

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nel

Leca

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2)C

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rtie

lle

Défi

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nE

stim

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m=

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stde

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othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eRegressionAnalysis::AgeversusMaths;Sport

L’équationderégressionest

Age=10,3+0,230Maths+0,0885Sport

Régresseur

Coef

Er-Tcoef

TP

Constante

10,3401

0,3338

30,97

0,000

Maths

0,22965

0,04525

5,07

0,000

Sport

0,08848

0,04585

1,93

0,064

S=0,6807

R-Sq=84,7%

R-Sq(adj)=83,6%

205

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

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tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

206/

214

Coe

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ypot

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...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

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bles

réel

les

Exe

mpl

eO

na

ains

itro

uvé

succ

essi

vem

ent:

ρM/

s (S,A)

=84,3

%

ρS/

s (M,A)

=73,1

%

ρA/

s (M,S

)=

84,7

%.

206

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

207/

214

Coe

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eLe

cas

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ptot

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ypot

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...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

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m=ρ

0,ρ

06=

0C

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Exe

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lons

déso

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sle

stro

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atio

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rtie

lles

ρ(M

aths,S

port)|A

ge;

ρ(M

aths,A

ge)|S

port

;ρ(S

port,A

ge)|M

aths

.

207

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

208/

214

Coe

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eco

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atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

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nel

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nm

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l’hyp

othè

seρ

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m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

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bles

réel

les

Exe

mpl

eO

nap

pliq

uela

form

ule

ci-d

essu

s:

ρM

S|A

MS−ρ

MAρ

SA

√1−ρ

2 MA

√1−ρ

2 SA

≈0,

833

ρM

A|S

MA−ρ

MSρ

SA

√1−ρ

2 MS

√1−ρ

2 SA

≈0,

909

ρS

A|M

SA−ρ

MSρ

MA

√1−ρ

2 MS

√1−ρ

2 MA

≈0,

837.

208

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

tion

deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

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209/

214

Coe

ffici

entd

eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

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men

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nel

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l(n>

2)C

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leC

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stim

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ypot

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...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

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bles

réel

les

Exe

mpl

eC

esré

sulta

tsso

ntà

com

pare

rave

cle

sva

leur

sde

corr

élat

ion

sim

ple.

En

part

icul

ierl

aco

rrél

atio

nen

trele

poid

set

lata

ille

enél

imin

antl

’effe

tdu

poid

sse

mbl

esi

gnifi

cativ

e.Po

ural

lerp

lus

loin

etdé

cide

rde

lasi

gnifi

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itéde

ces

corr

élat

ions

onpe

utse

réfe

rrer

àun

eta

ble

ouut

ilise

rla

loid

uco

effic

ient

deco

rrél

atio

npa

rtie

lleén

oncé

eau

xpa

ges

131

et13

9.

209

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

210/

214

Coe

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eco

rrél

atio

nsi

mpl

eLe

cas

bidi

men

sion

nel

Leca

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2)C

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nm

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lle

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mpl

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ciel

s,co

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PS

S,n

ous

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irect

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sas

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corr

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ions

part

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s.

210

/214

Fréd

éric

Ber

trand

Ass

ocia

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deva

riabl

esqu

antit

ativ

es

211/

214

Coe

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entd

eco

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nsi

mpl

eLe

cas

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men

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nel

Leca

sgé

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2)C

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leC

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lle

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stim

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ypot

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+1,

...,

m=

0Te

stde

l’hyp

othè

seρ

i,j|q

+1,

...,

m=ρ

0,ρ

06=

0C

asde

trois

varia

bles

réel

les

Exe

mpl

eCorrelations

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||

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211

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/214

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213

/214

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214

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217

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