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Rapport de projet de calcul scientifique de deuxième année ENSIMAG Vassilissa Lebacque et Didier Hébert

1

Juin 2003

Projet de deuxième année ENSIMAG

Calcul Scientifique Vassilissa Lebacque et Didier Hébert

Encadrant : Jérôme Monnier

Fidimag Finite Difference Method IMAG

Une boîte à outils pour le calcul

différences finies


2

TABLE DES MATIERES

Table des matières ..................................................................................................................... 2

1. Introduction....................................................................................................................... 4

1.1 Qu’est-ce que FIDIMAG ? ...................................................................................... 4

1.2 Utilisation de Fidimag .............................................................................................. 4

1.3 Choix et Présentation des schémas ......................................................................... 4

1.4 Notations ................................................................................................................... 5

2. Equation de Transport ...................................................................................................... 6

2.1 Présentation de l’équation....................................................................................... 6

2.2 Schémas numériques................................................................................................ 6 2.2.1 Schéma de Lax................................................................................................... 6 2.2.2 Schéma de Lax-Friedrich................................................................................... 6 2.2.3 Schéma de Lax-Wendroff .................................................................................. 7 2.2.4 Schéma leap-frog ou saute-mouton.................................................................... 7 2.2.5 Schéma de Crank-Nicholson décentré ............................................................... 7 2.2.6 Schéma de Crank-Nicholson centré ................................................................... 7 2.2.7 Schéma implicite centré ..................................................................................... 8

2.3 Comparaison des schémas ....................................................................................... 8

3. Equation de Diffusion..................................................................................................... 14

3.1 Présentation de l’équation..................................................................................... 14

3.2 Schemas numériques.............................................................................................. 14 3.2.1 Schéma Euler explicite ..................................................................................... 14 3.2.2 Schéma de Crank-Nicholson............................................................................ 15 3.2.3 Schéma Euler Implicite .................................................................................... 15

3.3 Comparaison des schémas ..................................................................................... 15

4. Equation de Convection-Diffusion-dissipation.............................................................. 17


4.2 Schémas numériques.............................................................................................. 17 4.2.1 Schéma leap-frog ou saute-mouton.................................................................. 17 4.2.2 Schéma de Crank-Nicholson décentré ............................................................. 17 4.2.3 Schéma de Crank-Nicholson centré ................................................................. 17 4.2.4 Schéma implicite centré ................................................................................... 18

4.3 Comparaison des schémas..................................................................................... 18

5. Equation parabolique non linéaire................................................................................. 20


3


5.2 Schémas numériques.............................................................................................. 20 5.2.1 Schéma explicite .............................................................................................. 20 5.2.2 Schéma implicite avec semi- linéarisation........................................................ 20 5.2.3 Schéma Leap Frog............................................................................................ 20 5.2.4 Schéma implicite avec méthode de Newton .................................................... 21

5.3 Test des schémas..................................................................................................... 21

6. Equation Hyperbolique non linéaire : Equation de Burger.......................................... 24


6.2 Schémas numériques.............................................................................................. 24 6.2.1 Schéma de Lax-Wendroff ................................................................................ 24 6.2.2 Schéma implicite linéarisé sous « forme delta » centré ................................... 25

6.3 Comparaison des deux schémas ............................................................................ 25 6.3.1 Onde de choc .................................................................................................... 25 6.3.2 Onde de détente ................................................................................................ 26

7. Tests de convergence et de validité: Verification des resultats theoriques pour la convection diffusion dissipation ............................................................................................. 29

7.1 Tests de la convergence en espace......................................................................... 29

7.2 Test de la convergence en temps ........................................................................... 31

7.3 Cas de coefficients non constants .......................................................................... 32

7.4 Test de stabilite ....................................................................................................... 32

Références................................................................................................................................ 35

Table des Illustrations............................................................................................................. 36


4

1. INTRODUCTION

1.1 QU’EST-CE QUE FIDIMAG ?

Fidimag est un programme Matlab permettant de résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles en dimension 1 en utilisant des schémas numériques différences finies. On propose la résolution des équations de transport, convection, convection-diffusion-dissipation, parabolique non linéaire et hyperbolique non linéaire. Ce programme pourra être utilisé pour illustrer un cours traitant des différences finies. Les schémas proposés pour ces résolutions sont décrits plus loin ainsi que leurs avantages et inconvénients.

1.2 UTILISATION DE FIDIMAG

Le fichier contenant les programmes permettant d’utiliser Fidimag peut être téléchargé depuis le site http://www-lmc.imag.fr/lmc-edp/Jerome.Monnier/home.html dans la rubrique « La boîte à outils du numéricien ». La commande Matlab qui lance Fidimag est fidimag. Pour obtenir une aide, il est possible d’utiliser la commande standard d’aide en tapant help fidimag.

1.3 CHOIX ET PRESENTATION DES SCHEMAS

De nombreux choix de schémas sont proposés pour chaque modèle. Certains peuvent ne pas paraître pertinents au vu de leurs résultats numériques. En effet, les schémas explicites sont conditionnellement stables et si l’on s’éloigne de cette condition de stabilité, l’approximation des solutions se dégrade. Cependant, ces schémas sont plus simples à coder, ce qui se révèle important en dimension supérieure à 1. De plus, ils ne font pas apparaître dans le calcul des solutions de matrice à inverser comme le font les schémas implicites ou de Crank-Nicholson. Cela rend le temps de calcul légèrement moins important en dimension 1, et beaucoup moins important en dimensions supérieures pour lesquelles la taille des matrices à inverser est plus importante. Les schémas implicites présentent peu d’avantages en dimension 1 par rapport aux schémas de Crank-Nicholson car ils sont souvent d’ordre de convergence inférieur en temps, mais ils sont bien plus simples à coder en dimension supérieure à 1. Les schémas seront présentés ici de la façon suivante : - Une présentation succincte des propriétés des schémas - Un test effectué avec l’ensemble des schémas et les différentes courbes obtenues.


5

1.4 NOTATIONS

Nous utilisons dans ce rapport des notations standard pour les équations aux dérivées partielles. L’intervalle en espace est noté [0,L]. Il est subdivisé en I intervalles. L’intervalle en temps est noté [0,T]. Il est subdivisé en N intervalles. La valeur approchée des fonctions au point ),( tnxi ∆∆ du maillage sera notée n

iu .

Les dérivées en temps et en espace sont notées respectivement xx ∂

∂=∂ ,

2

2

xxx ∂∂

=∂ ,

txtx ∂∂∂

=∂2

, tt ∂

∂=∂ et

2

2

ttt ∂∂

=∂

Pour une écriture plus lisible des schémas numériques, nous utilisons les notations suivantes :

xuu

uni

nin

i ∆−

= −+

2)( 11δ

2112

)(2

)(x

uuuu

ni

ni

nin

i ∆+−

= −+δ

xuu

uni

nin

i ∆−

= −− 1)(δ

xuu

uni

nin

i ∆−

= ++ 1)(δ

Elles correspondent aux approximations classiques des dérivées en espaces du premier et second ordre. La première approche la dérivée première en espace à l’ordre 2, la seconde au même ordre la dérivée seconde. Les deux dernière approchent la dérivée première à l’ordre 1.


6

2. EQUATION DE TRANSPORT

2.1 PRESENTATION DE L’EQUATION

Le problème considéré est le suivant :

],0[],0[),()()0,(

),()(

0

TLtxxuxu

txfuxvu xt ×∈

=

=∂+∂

Dans le cas où v est constant et f nulle, la solution peut être calculée de façon exacte à partir de la condition initiale. En notant ),()(0 txuxu = on obtiendrait pour ℜ∈x :

)(),( 0 vtxutxu −= . Cette solution correspond au transport de la condition initiale à la vitesse v.

2.2 SCHEMAS NUMERIQUES

2.2.1 Schéma de Lax

Le Schéma de Lax est un schéma d’ordre 1 en espace et 1 en temps aussi appelé Upwind. C’est un schéma explicite et conditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

ni

nii

nii

ni

ni fuxvuv

tuu

=∆−+∆−+

)()( 21

δδ

Ce schéma doit être utilisé sous la condition de stabilité :

( ) 1max ≤∆∆

xt

vii

Ce schéma a pour propriété d’être diffusif. Plus on s’approchera de sa condition de stabilité et plus les solutions données par ce schéma seront proches de la solution exacte.

2.2.2 Schéma de Lax-Friedrich

Le schéma de Lax-Friedrich est d’ordre 1 en temps et 2 en espace. C’est un schéma explicite et conditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

ni

nii

ni

ni

ni fuvuuu

t=+

+−∆ −+

+ )()(211

111 δ


( ) 1max ≤∆∆

xt

vii

Ce schéma a pour propriété d’être diffusif.


7

Plus on s’approchera de sa condition de stabilité et plus les solutions données par ce schéma seront proches de la solution exacte.

2.2.3 Schéma de Lax-Wendroff

Le schéma de Lax-Wendroff est d’ordre 2 en temps et 2 en espace. C’est un schéma explicite et conditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

( ) ni

nii

nii

ni

ni fu

tvuv

tuu

=∆

−+∆−+

)(2

)( 221

δδ


( ) 1max ≤∆∆

xt

vii

Ce schéma a pour propriété d’être diffusif. Il est cependant moins diffusif que les

deux précédents car un terme de correction ( ) nii u

tv )(

222 δ

∆− a été ajouté pour limiter

ce phénomène. Plus on s’approchera de sa condition de stabilité et plus les solutions données par ce schéma seront proches de la solution exacte.

2.2.4 Schéma leap-frog ou saute-mouton

Le schéma leap-frog est d’ordre 2 en temps et 2 en espace. C’est un schéma explicite et conditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

ni

nii

ni

ni fuv

tuu

=+∆− −+

)(2

11

δ


( ) 1max ≤∆∆

xt

vii

Plus on s’approchera de sa condition de stabilité et plus les solutions données par ce schéma seront proches de la solution exacte. Si la solution exacte présente des irrégularités, des oscillations peuvent apparaître dans leur voisinage.

2.2.5 Schéma de Crank-Nicholson décentré

Le schéma de Crank-Nicholson décentré est d’ordre 2 en temps et 1 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

( ) ( ) ( )ni

ni

ni

ni

ini

ni

ini

ni ffuu

xvuu

vt

uu+=+

∆−++

∆− +++

+12121

1

21

)()(2

)()(2

δδδδ

2.2.6 Schéma de Crank-Nicholson centré

Le schéma de Crank-Nicholson centré est d’ordre 2 en temps et 2 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :


8

( ) ( )ni

ni

ni

ni

ini

ni ffuu

vt

uu+=++

∆− ++

+11

1

21

)()(2

δδ

Si la solution exacte présente des irrégularités, des oscillations peuvent apparaître dans leur voisinage.

2.2.7 Schéma implicite centré

Le schéma implicite centré est d’ordre 1 en temps et 2 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

1121

)( +++

=+∆− n

inii

ni

ni fuv

tuu

δ

Si la solution exacte présente des irrégularités, des oscillations peuvent apparaître dans leur voisinage.

2.3 COMPARAISON DES SCHEMAS

Pour comparer ces schémas, nous avons choisi l’équation

===

×∈=∂+∂

2),10(2),0(

)()0,(

]10,0[]10,0[),(05,0

0

tutu

xuxu

txsuruu xt

avec tout d’abord une condition initiale est définie par :

∈+−

∈−

=sinon

xsix

xsix

xu2

]5.3,5.2]3710

]5.2,5.1]1310

)(0

Figure 1: Condition initiale à dérivée non continue

Cette solution est intéressante car elle présente plusieurs discontinuités de sa dérivée première mais est continue.


9

Pour que la solution exacte de l’équation soit facile à calculer, nous avons donc choisi une vitesse de propagation constante, 5.0)( =xv et une fonction ),( txf nulle. La solution exacte de cette équation est )5.0(),( 0 txutxu −= . Elle est donc toujours supérieure à 2. Cet exemple permet de mettre en évidence les différentes propriétés des schémas numériques énoncées ci-dessus. En effet on observe de très légères oscillations aux points de discontinuité de la dérivée de u pour les schémas de Lax-Wendroff, Leap-Frog, Crank-Nicholson centré et Implicite centré (une seule figure a été agrandie pour pouvoir voir ces oscillations). On constate que ces oscillations font descendre la solution numérique en dessous de 2, mais donnent une solution très proche de la solution exacte. Les schémas diffusifs donnent des résultats moins satisfaisants dans la mesure où ils donnent des solutions numériques moins satisfaisantes : elles ont perdu les discontinuités de la dérivée première. Voici les courbes correspondants aux différents schémas numériques pour un nombre de points en temps égal à 3001 et un nombre de points en espace égal à 2001.

Figure 2: Explicite décentré


10

Figure 3: Lax-Friedriech

Figure 4: Crank-Nichoson Décentré

Figure 5: Lax-Wendroff

Figure 6: Leap- Frog


11

Figure 7: Crank-Nicholson centré

La deuxième condition initiale que nous avons choisie est un créneau :

∈

=sinon

xsixu

2]5.3,5.1[12

)(0

Figure 8: Condition Initiale

qui n’est cette fois pas continue. On retrouve à nouveau des oscillations aux points de discontinuité, mais elles sont cette fois beaucoup plus accentuées.


12

Une fois encore, ces schémas seront à préférer aux schémas diffusifs malgré les oscillations car les solutions numériques fournies permettent de retrouver les discontinuités de la solution exacte. Les figures ci-dessous représentent les solutions numériques obtenues en t=10 pour 3001 points en temps et 2001 en espace.

Figure 9: Explicite décentré

Figure 10: Lax-Friedrich

Figure 11: Lax-Wendroff

Figure 12: Leap Frog


13

Figure 13:Crank-Nicholson

Décentré

Figure 14:Crank-Nicholson Centré

Figure 15: Implicite


14

3. EQUATION DE DIFFUSION



],0[],0[),(

)(),()(),0(

)()0,(

),(

0 TLtx

thtLutgtuxuxu

txfuau xxt

×∈

===

=∂−∂

La solution de cette équation possède plusieurs propriétés qualitatives intéressantes qu’il est important de retrouver dans les solutions numériques apportées par les différents schémas.

- La première est qu’elle vérifie le principe du maximum : si on note )0,()(0 xuxu = la condition initiale, on a :

∞≤ 0

),(),( utxuMax

tx.

- Contrairement à l’équation de transport, la solution en un point x à l’instant 0>t dépend de toute la donnée initiale.

- Le terme ua xx∂− a une action régularisante sur les solutions de l’équation : on

a une solution ∞C dès que 0>t et ce quelle que soit la condition initiale.


3.2.1 Schéma Euler explicite

Le schéma Euler explicite est d’ordre 1 en temps et 2 en espace. C’est un schéma explicite et conditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

ni

ni

ni

ni fua

tuu

=−∆−+

)( 21

δ


21

2≤

∆∆xt

a

Cette condition est plus sévère que la condition de stabilité des schémas conditionnellement stables choisis pour l’équation de transport. Elle oblige a choisir un pas de temps de l’ordre du pas d’espace au carré, ce qui rend important le nombre des itérations en temps si l’on souhaite utiliser un pas fin en espace.


15

3.2.2 Schéma de Crank-Nicholson

Le schéma de Crank-Nicholson est d’ordre 2 en temps et 2 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

( ) ( )ni

ni

ni

ni

ni

ni ffuu

at

uu+=+−

∆− ++

+1212

1

21

)()(2

δδ

3.2.3 Schéma Euler Implicite

Le schéma Euler Implicite est d’ordre 1 en temps et 2 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

1121

)( +++

=−∆− n

ini

ni

ni fua

tuu

δ

Ce schéma est moins performant que le précédent, sa complexité de calcul étant similaire et son ordre en temps inférieur, mais il pourra être préféré en dimension supérieure à 1 pour sa plus grande facilité d’implémentation.


Quelle que soit la condition initiale, les trois schémas donnent des résultats quasiment identiques. Les tests ont été effectués avec 2001 points en temps et 201 en espace pour le problème suivant :

∈

=×∈

===

=∂−∂

onxsi

xuavectx

tLutu

xuxu

txuu xxt

sin0]6,4[10

)(]10,0[]10,0[),(

0),(0),0(

)()0,(

)cos(325.0

00

Figure 16: Condition Initiale

Les valeurs choisies pour les pas d’espaces et de temps nous placent sur la condition de stabilité du schéma explicite, ce qui permet de ne pas faire trop de calculs. On ne peut pas distinguer à l’œil nu les résultats des différents schémas. Les


16

seules choses qui les différencient restent donc le temps d’exécution et l’ordre de convergence. Les courbes obtenues sont les suivantes :

Figure 17: Résultat de tous les schémas avec 25 images

On constate la régularisation de la donnée initiale due à l’opérateur uxx∂


17

4. EQUATION DE CONVECTION-DIFFUSION-DISSIPATION



],0[],0[),(

)(),()(),0(

)()0,(

),()()(

0 TLtx

thTLutgtuxuxu

txfuxcuxvuau xxxt

×∈

===

=+∂+∂−∂

Cette équation regroupe les 2 phénomènes précédents. L’opérateur ua xx∂− régularise toujours les solutions comme il le faisait pour les solutions de l’équation de convection. Le terme uc est le terme de dissipation.


4.2.1 Schéma leap-frog ou saute-mouton

Le schéma leap-frog est d’ordre 2 en temps et 2 en espace. C’est un schéma explicite et conditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

ni

nii

nii

ni

ni

ni fucuvua

tuu

=++−∆− −+

)()(2

211

δδ

4.2.2 Schéma de Crank-Nicholson décentré

Le schéma de Crank-Nicholson décentré est d’ordre 2 en temps et 1 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

( )

( ) ( ) ( ) ( )ni

ni

ni

ni

ini

ni

ini

ni

i

ni

ni

ni

ni

ffuuc

uuxv

uuv

uua

tuu

+=+++∆

+++

+−∆−

++++

++

112121

2121

21

2)()(

2)()(

2

)()(2

δδδδ

δδ

4.2.3 Schéma de Crank-Nicholson centré

Le schéma de Crank-Nicholson centré est d’ordre 2 en temps et 2 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :


18

( )

( ) ( ) ( )ni

ni

ni

ni

ini

ni

m

ni

ni

ni

ni

ffuuc

uuv

uua

tuu

+=++++

+−∆−

+++

++

111

2121

21

2)()(

2

)()(2

δδ

δδ

4.2.4 Schéma implicite centré

Le schéma implicite centré est d’ordre 1 en temps et 2 en espace. C’est un schéma inconditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

111121

)()( +++++

=++−∆− n

inii

ni

ni

ni

ni fucuviua

tuu

δδ


Il est important de noter que si le coefficient de convection est très important par rapport au coefficient de diffusion, on pourra voir apparaître les mêmes types d’oscillations qui existaient pour une condition initiale irrégulière pour les schémas de Crank-Nicholson centré et implicite centré que l’on voyait apparaître sur les solutions numériques de l’équation de transport. Nous avons effectué nos comparaisons à partir du problème suivant :

]10,0[]10,0[),(

)cos()10cos(),10()cos(),0()cos()0,(

)cos()sin()sin()cos()cos()cos(2)3()]cos()5([25.0 2

×∈

===

−−=+∂−+∂−∂

txavec

tTuttuxxu

txtxtxuxuxxxuu xxxt

On observe qu’au voisinage de x=10, le coefficient de transport )cos()5( xxx − est très supérieur au coefficient de diffusion. De plus, la condition de Dirichlet en x=10 impose une solution qui serait discontinue dans le cas d’un transport pur. C’est pour cela que l’on obtient des oscillations pour les schémas de Crank-Nicholson centré et Implicite centré au voisinage du point x=10.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-10

0

10

20

30

40

50

x

v

vitesse

Figure 18: Coefficient de diffusion


19

Nous obtenons les courbes :

Figure 19: Crank-Nicholson

Décentré

Figure 20: Crank-Nicholson centré

Figure 21: Implicite Centré

Figure 22: Implicite pour t=10


20

5. EQUATION PARABOLIQUE NON LINEAIRE



],0[],0[),(

)(),()(),0(

)()0,(

)(

0 TLtx

thtLutgtuxuxu

ufuau xxt

×∈

===

=∂−∂

Le terme )(uf de l’équation est non linéaire. Pour approcher ce terme, nous utilisons la méthode de semi-linéarisation et la méthode de Newton pour les schémas implicites.


5.2.1 Schéma explicite

Le schéma explicite est conditionnellement stable, mais la condition de stabilité est fonction de )(uf . La formulation de ce schéma est la suivante :

)()( 21

ni

ni

ni

ni ufua

tuu

=−∆−+

δ

Ce schéma ne demande l’inversion d’aucune matrice, il est donc plus rapide que les schémas implicites.

5.2.2 Schéma implicite avec semi-linéarisation

La formulation de ce schéma est la suivante :

( ) 13121

)( +++

−=−∆− n

ini

ni

ni

ni uuCua

tuu

δ

On doit à chaque itération inverser une matrice différente,ce qui entraîne un coût de calcul plus important que pour le schéma explicite.

5.2.3 Schéma Leap Frog

Ce schéma est explicite et conditionnellement stable suivant )(uf . La première itération est celle du schéma explicite normal. La formulation du schéma Leap Frog est la suivante :

)()(2

1211

−−+

=−∆− n

ini

ni

ni ufua

tuu

δ


21

Pour le rayonnement corps noir, la condition de stabilité semble plus contraignante que pour le schéma explicite.

5.2.4 Schéma implicite avec méthode de Newton

La formulation de ce schéma est la suivante :

)()( 1121

+++

=−∆− n

ini

ni

ni ufua

tuu

δ

On a ici un système non linéaire à résoudre à chaque itération. On utilise la méthode de Newton. Il sera alors demandé, avant de lancer le calcul, la dérivée de f(u) par rapport à u, la précision ε souhaitée à chaque itération et le nombre d’itérations maximal pour éviter de boucler. Si on note a et b deux itérés consécutifs de la méthode de Newton, lorsque ε≤−

∞ba ou lorsque le nombre maximal d’itérations

est atteint, on sort de la boucle correspondant à la méthode de Newton. Si le nombre maximal d’itérations est atteint, un message dans la fenêtre d’exécution de Matlab s’affichera. Durant la méthode de Newton, les matrices à inverser sont tridiagonales. Comme une partie de ces matrices est la même tout le long du schéma, cette partie est additionnée à chaque fois à la partie qui évolue selon l’itération en temps et selon l’itération dans la méthode Newton. Pour le problème du rayonnement corps noir, c’est à dire pour 4)( uuf = , et pour une précision de 310− , la méthode de Newton à chaque itération en temps converge rapidement en quelques itérations. Malgré cela, ce schéma reste le plus lent.

5.3 TEST DES SCHEMAS

On cherche à la fois à tester la validité des schémas proposés et les différences de temps d’exécution entre les schémas. Pour cela, nous avons choisi de tester nos schémas sur un problème du type rayonnement du corps noir . Prenons le nombre de points en espace égal à 2001 et le nombre de points en temps égal à 2001, l’intervalle d’espace [0,10], l’intervalle de temps [0,0.04], 25.0=a et

43)( uuf −= . Considérons les conditions Dirichlet nulles en 0 et 10 et considérons la condition initiale :

≤−>−−−+

≤−

sinon

xetxsix

xsi

0

1532

5))2)5(3cos(1(5

32

510

π .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x (à t=0)

u


22

On obtient des résultats de temps CPU qui confirment bien les résultats attendus. Le temps CPU du Leap-Frog n’apparaît pas car ce schéma n’est pas stable pour les paramètres considérés.

96.8213.5889.5

)10:( 3

secondesentempsCPU

précisionNewtonImplicite

ionlinéarisatsemiImpliciteExplicite −−

Le schéma Implicite Newton est bien le plus long en temps CPU. Nous voyons que le fait de modifier la matrice à inverser à chaque itération coûte cher en temps : le temps d’exécution du schéma explicite est alors beaucoup plus court que les deux autres. Les représentations graphiques qui correspondent contribuent à affirmer la validité des codes :

Figure 23: Schéma explicite

Figure 24:Schéma implicite semi-linéaire


23

Figure 25:Schéma implicite Newton


24

6. EQUATION HYPERBOLIQUE NON LINEAIRE : EQUATION DE BURGER


Le problème de considéré est le suivant :

=

ℜ×=∂+∂

0)0,(

[,0]0

uxu

Tsuruuu xt

Il s’agit d’une équation de Burger non visqueuse. Le lecteur intéressé par une étude formelle de ce problème pourra se référer à E.Godlewski, P.A Raviart « Numerical Approximation of hyperbolic systems of conservation laws », Springer, 1996


Si dans le cas d’une détente, on n’a pas unicité de la solution faible du problème de Riemann

[,0]),(

00

)0,(

)1(02

2

Ttxpour

xpouruxpouru

xu

uu xt

ℜ×∈

><

=

=

∂+∂

+

−

Mais la solution physique de ce problème est connue. On s’intéressera donc aux schémas sous forme conservative qui nous donne cette solution. Nous avons choisi d’en coder deux : le schéma de Lax-Wendroff et le schéma implicite linéarisé sous « forme delta » centré.

6.2.1 Schéma de Lax-Wendroff

Le Schéma de Lax-Wendroff est un schéma explicite d’ordre 2 en espace et 2 en temps. C’est un schéma explicite et conditionnellement stable. Sa formulation est la suivante :

( ) ( )( ) 022 12/112/12

111

=−−−∆∆

−∆−

+∆−

−−++−+

+n

in

ini

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni FFAFFA

xt

xFF

tuu

Avec

+= +

+ 21

2/1

ni

nin

i

uuAA et

+= −

− 21

2/1

ni

nin

i

uuAA

Et 2

21

)( uuF = , )(' uFA =


25

Sa condition de stabilité est l’inégalité

1)(' ≤∆∆

xt

uF

On vérifiera cette condition uniquement pour la condition initiale 0u .

6.2.2 Schéma implicite linéarisé sous « forme delta » centré

Le schéma implicite linéarisé sous « forme delta » centré est d’ordre 1 en temps et 2 en espace. Dans le cas linéaire, il est inconditionnellement stable. Il est obtenu à partir de la linéarisation du schéma

02

11

11

1

=∆−

+∆− +

−+

++

xFF

tuu n

in

ini

ni

Sa formulation est la suivante :

( ) ( )ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni FF

xt

uAuAxt

u 111111 22 −+−−++ −∆∆

−=∆−∆∆∆

+∆

Avec )(' uFA = .

Elle prend ni

ni

ni uuu −=∆ +1 comme inconnue.

6.3 COMPARAISON DES DEUX SCHEMAS

Pour nos tests de validité, nous avons choisi de présenter un choc et une détente.

6.3.1 Onde de choc

Soient l’intervalle d’espace [0,10] et l’intervalle de temps [0,7].

On considère la condition initiale

>≤

=0100

)(0 xsixsi

xu et les conditions de Dirichlet

0),0( =tu et 1),10( =tu . On sait que pour 10<t la solution physique exacte est définie par :

>≤<

≤

=txsi

txsitx

xsi

txu1

0/

00

),(

Pour 7=t , la solution exacte est :


26

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Choc : solution exacte à t=7

x

u

Figure 26:Solution exacte pour l'onde de choc

Pour un nombre de points en espace égal à 201 et un nombre de points en temps égal à 301. On obtient les solutions calculées à 7=t avec le schéma de Lax-Wendroff puis par le schéma implicite linéarisé sous « forme delta ».

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x (à t=7)

u

Hyperbolique non linéaire par Lax-Wendroff: ∆x=0.05 ; ∆ t=0.023333

Figure 27: Choc : Schéma de

Lax-Wendroff à t=7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x (à t=7)

u

Hyperbolique non linéaire par Implicite linéarisé sous "forme delta": ∆x=0.05 ; ∆t=0.023333

Figure 28: Choc : Schéma

implicite à t=7

On peut tout d’abord remarquer que les schémas approchent bien la solution exacte. Pour les deux schémas, on remarque des oscillations près de la discontinuité à gauche. Elles sont plus nombreuses avec le schéma implicite « forme delta ». On constate même que la plus grande oscillation a eu lieu avec le schéma implicite « forme delta », le maximum de la fenêtre en ordonnée étant plus élevé.

6.3.2 Onde de détente

Soient l’intervalle d’espace [0,10] et l’intervalle de temps [0,7].

On considère la condition initiale

>≤

=0100

)(0 xsixsi

xu et les conditions de Dirichlet

0),0( =tu et 1),10( =tu . On sait que pour 10<t la solution physique exacte est définie par :


27

>≤<

≤

=txsi

txsitx

xsi

txu1

0/

00

),(

Pour 7=t , la solution exacte est :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

u

Détente : solution exacte à t=7

Figure 29: Solution exacte pour l'onde de détente pour t=7

Pour un nombre de points en espace égal à 201 et un nombre de points en temps égal à 301. On obtient les solutions calculées à 7=t avec le schéma de Lax-Wendroff puis par le schéma implicite linéarisé sous « forme delta ».

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x (à t=7)

u

Hyperbolique non linéaire par Lax-Wendroff: ∆x=0.05 ; ∆ t=0.023333

Figure 30:Détente : Schéma

Lax-Wendroff à t=7s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x (à t=7)

u

Hyperbolique non linéaire par Implicite linéarisé sous "forme delta": ∆x=0.05 ; ∆ t=0.023333

Figure 31: Détente : Schéma

implicite à t=7s


28


de Lax-Wendroff en fonction du temps


implicite en fonction du temps

Nous voyons que les deux schémas approchent la solution exacte. Le schéma de Lax-Wendroff donne un meilleur résultat numérique car l’approximation qu’il donne est moins diffusive que celle du schéma implicite autour de 7=x . Cependant n’oublions pas que Lax-Wendroff est conditionnellement stable : si on remplace le nombre de points en temps par 31, ce schéma est instable alors que le schéma implicite linéarisé sous « forme delta » donne encore une solution, malheureusement celle-ci est très diffusée autour de 7=x :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x (à t=7)

u

Hyperbolique non linéaire par Implicite linéarisé sous "forme delta": ∆x=0.05 ; ∆t=0.23333


29

7. TESTS DE CONVERGENCE ET DE VALIDITE: VERIFICATION DES RESULTATS THEORIQUES POUR LA

CONVECTION DIFFUSION DISSIPATION

Afin de vérifier l’exactitude des résultats de convergence énoncés pour les différents schémas numériques, nous avons effectué des tests de convergence. La présentation de la totalité des tests de convergence effectués pour l’ensemble des schémas de chaque équation serait fastidieuse et d’un intérêt relatif. Nous avons donc choisi de présenter ici les tests de convergence de trois schémas numériques de l’équation de convection-diffusion-dissipation : Crank-Nicholson centré, de Crank-Nicholson décentré et Implicite centré. Ces trois schémas présentent des propriétés de convergence différentes : le schéma de Crank-Nicholson centré est d’ordre 2 en temps et 2 en espace, le schéma de Crank-Nicholson décentré est d’ordre 2 en temps et 1 en espace et le schéma implicite centré et d’ordre 1 en temps et 2 en espace.

7.1 TESTS DE LA CONVERGENCE EN ESPACE

Pour tester la convergence en espace des solutions, nous avons choisi des équations dont la solution est stationnaire pour que l’erreur mesurée soit due uniquement à une approximation de la solution en espace. On se place sur les intervalles [0,100] en temps et [0,10] en espace. A partir de la solution )cos(10),( xtxu = que nous souhaitions obtenir, nous avons déduit la condition initiale )cos(10)0,( xxu = et les conditions de Dirichlet : 10),0( =tu et )10cos(10),10( =tu . Donc pour le problème

]100,0[]10,0[),(

)10cos(10),10(10),0(

)cos(10)0,(

),(2

×∈

===

=+∂−∂−∂

tx

tutu

xxu

txfuuuu xxxt

on obtient pour que u soit solution ))sin()(cos(20),( xxtxf += . Fixons 2=∆t (c’est-à-dire le nombre de points en temps est fixé à 51).

Pour les 12,,0,21

K==∆ ixi

(c’est-à-dire les nombres de points en espace sont

12,,0,1210 K=+× ii ), on effectue le calcul de la solution approchée par les schémas de Crank-Nicholson centré, de Crank-Nicholson décentré et Implicite centré. On calcule ensuite l’erreur : n

jnj

nj

utxu −==

),(max50,,010,,0

KK

où les ),( nj tx sont les points

communs à chaque maillage : les points d’espaces considérés quel que soit le pas d’espace sont donc les points 0,1,…,10.


30

-8 -6 -4 -2 0-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

log(∆x)

log(

erre

ur)

avec ∆t constant : Crank-Nicholson centré

-8 -6 -4 -2 0-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

log(∆x)

log(

erre

ur)

avec ∆ t constant : Crank-Nicholson décentré

-8 -6 -4 -2 0-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

log(∆x)

log(

erre

ur)

avec ∆t constant : Implicite centré

-6 -4 -2 0-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

log(∆t)

log(

erre

ur)

avec ∆x constant : Crank-Nicholson centré

-6 -4 -2 0-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

log(∆t)

log(

erre

ur)

avec ∆x constant : Crank-Nicholson décentré

-6 -4 -2 0-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

log(∆t)

log(

erre

ur)

avec ∆x constant : Implicite centré

Figure 34 : convergence


31

On trace ensuite les trois graphes )log( erreur en fonction )log( x∆ . Les points semblent alignés. On calcule le coefficient directeur de la droite aux moindres carrés pour chacun des trois cas par la commande polyfit de Matlab. On obtient les résultats suivants :

2.0029130.9755002.002027

--

directeurtcoefficien

centréImplicitedécentréNicholsonCrankcentréNicholsonCrank

On sait que le schéma de Crank-Nicholson centré et le schéma implicite centré sont d’ordre 2 en espace et le schéma de Crank-Nicholson décentré est d’ordre 1 en espace. Les résultats obtenus sont donc proches des résultats attendus.

7.2 TEST DE LA CONVERGENCE EN TEMPS

Suivant le même principe que précédemment, nous avons choisi une solution exacte ne dépendant pas de x : )cos(10),( ttxu = . Le problème de convection-diffusion-dissipation obtenu est le suivant :

===

−=+∂

)cos(10),10()cos(10),0(

10)0,())sin()(cos(10

ttuttu

xuttuut

Fixons 2,0=∆x (c’est-à-dire le nombre de points en espace est fixé à 51).

Pour les 10,,0,21

K==∆ iti

(c’est-à-dire les nombres de points en temps sont

10,,0,1210 K=+× ii ), on obtient les erreurs. On trace ensuite les trois graphes )log( erreur en fonction )log( t∆ (colonne 2). Les points semblent alignés. On calcule

le coefficient directeur de la droite aux moindres carrés pour chacun des trois cas par la commande polyfit de Matlab. On obtient :

0.97986572.0024632.002464

--

directeurtcoefficien

centréImplicitedécentréNicholsonCrankcentréNicholsonCrank

Ces résultats sont proches des résultats théoriques, les schémas de Crank-Nicholson étant d’ordre 2 en temps et le schéma Implicite centré étant d’ordre 1 en temps.


32

Les tests précédents ont été réalisés pour des coefficients constants et des solutions ne dépendant que d’une variable. Il est donc important de réaliser des tests supplémentaires pour prouver la validité des schémas choisis. De même qu’il aurait été fastidieux de faire apparaître ici tous les tests de convergence effectués, il serait long de faire apparaître les tests de validité de tous les schémas implémentés. Nous proposons donc ici le résultat du test de validité du schéma de Crank-Nicholson centré pour l’équation de convection-diffusion-dissipation qui est la plus générale.

7.3 CAS DE COEFFICIENTS NON CONSTANTS

Soient l’intervalle de temps [0,10] et l’intervalle d’espace [0,10]. On souhaite montrer l’exactitude du schéma pour une équation à coefficients non constants dont la solution exacte serait )cos()cos(),( txtxu = .

On choisi comme coefficients 25.0=a , )cos()5()( xxxxv −= et 23)( xxc = . u doit donc être solution du problème

]10,0[]10,0[),(

)cos()10cos(),10()cos(),0()cos()0,(

),(3)cos()5(25.0 22

×∈

===

=+∂−+∂−∂

tx

xtuttuxxu

txfuxuxxxuu xxxt

Pour cela, il suffit qu’on ait )cos()sin()cos()5()cos()cos()325.0()sin()cos(),( 2 txxxxtxxtxtxf −−++−= .

Pour tester la validité du schéma, nous regardons la valeur de l’erreur entre la solution approchée et la solution exacte pour un nombre de points en espace égal à 3001 et un nombre de points en temps égal à 2001. On obtient 7

2000,,03000,,0

1057024.8),(max −

==

×=−= njnj

nj

utxuerreurKK

.

7.4 TEST DE STABILITE

Les schémas numériques correspondant à un problème parabolique bien posé doivent vérifier un résultat fondamental de stabilité. On définie l’erreur discrète par

)(., nnh

nh tuue −=

où nhu est l’approximation de la solution exacte u par le schéma numérique choisi au

temps nt . On définie n

hε par :


33

( )),(),(2

2),(),(

2),(),(

2

),(),(2),(),(),(2),(2

),(),()(

21

1

111

11

1

211

2

11

111

11

ni

ni

i

ni

ni

ni

nim

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

nin

in

ini

txutxuc

xtxutxu

xtxutxuv

xtxutxutxu

xtxutxutxua

ttxutxu

ff

+−

∆−

+∆−

−

∆

+−+

∆+−

+∆−

−−=∈

+

−++

−+

+

−++

−++

+

++

Pour assurer la stabilité du schéma, on souhaite vérifier l’inégalité :

tempsenpointsdenombrelenbtetnbtnteen

k

khh

nh 1,,1,

1

0

0 −=∆+≤ ∑−

=

Kε

qui est la condition qui correspond au schéma de Crank-Nicholson centré que nous avons choisi d’étudier. On considère le problème

]10,0[]10,0[),(

)cos()10cos(),10()cos(),0()cos()0,(

)cos()sin()cos()cos(2)sin()cos(2

×∈

===

−+−=+∂+∂−∂

tx

xtuttuxxu

txtxtxuuuu xxxt

Sa solution exacte est )cos()cos(),( txtxu = . On calcule alors pour tout n : n

jnjnbxj

nh utxue −=

−=),(max

1,,0 K et

∑∑−

=−=

−

=

∆=∆1

01,,0

1

0

maxn

k

kj

nbxj

n

k

kh tt εε

K.

On a 00 =he .

On trace en fonction de n la différence nh

n

k

kh et −

∆ ∑

−

=

1

0

ε , ce que l’on appellera

erreurborne − dans les graphes. Cette courbe doit rester positive. C’est ce que l’on vérifie dans les graphes pour 2001=nbx et 2001=nbt , puis pour 5001=nbx et

1001=nbt (avec nbx le nombre de points en x).


34

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-5 borne-erreur: la courbe doit etre positive

indice du temps de 0 à 2000

Figure 35

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

4

5

6x 10

-5 borne-erreur: la courbe doit etre positive

indice du temps de 0 à 1000

Figure 36


35

REFERENCES

Nous avons principalement utilisé le cours d’équations aux dérivées partielles dispensé à l’ENSIMAG.


36

TABLE DES ILLUSTRATIONS

Figure 3: Condition initiale à dérivée non continue ................................................................... 8 Figure 4: Explicite décentré ....................................................................................................... 9 Figure 5: Lax-Friedriech .......................................................................................................... 10 Figure 6: Crank-Nichoson Décentré ........................................................................................ 10 Figure 7: Lax-Wendroff ........................................................................................................... 10 Figure 8: Leap- Frog ................................................................................................................ 10 Figure 9: Crank-Nicholson centré ............................................................................................ 11 Figure 10: Condition Initiale .................................................................................................... 11 Figure 11: Explicite décentré ................................................................................................... 12 Figure 12: Lax-Friedrich.......................................................................................................... 12 Figure 13: Lax-Wendroff ......................................................................................................... 12 Figure 14: Leap Frog................................................................................................................ 12 Figure 15:Crank-Nicholson Décentré ...................................................................................... 13 Figure 16:Crank-Nicholson Centré .......................................................................................... 13 Figure 17: Implicite .................................................................................................................. 13 Figure 18: Condition Initiale .................................................................................................... 15 Figure 19: Résultat de tous les schémas avec 25 images ......................................................... 16 Figure 20: Coefficient de diffusion.......................................................................................... 18 Figure 21: Crank-Nicholson..................................................................................................... 19 Figure 22: Crank-Nicholson centré .......................................................................................... 19 Figure 23: Implicite Centré ...................................................................................................... 19 Figure 24: Implicite pour t=10 ................................................................................................. 19 Figure 25: Schéma explicite ..................................................................................................... 22 Figure 26:Schéma implicite semi- linéaire................................................................................ 22 Figure 27:Schéma implicite Newton........................................................................................ 23 Figure 32:Solution exacte pour l'onde de choc ........................................................................ 26 Figure 33: Choc : Schéma de Lax-Wendroff à t=7 .................................................................. 26 Figure 34: Choc : Schéma implicite à t=7................................................................................ 26 Figure 35: Solution exacte pour l'onde de détente pour t=7..................................................... 27 Figure 36:Détente : Schéma Lax-Wendroff à t=7s .................................................................. 27 Figure 37: Détente : Schéma implicite à t=7s .......................................................................... 27 Figure 38: Détente : Schéma de Lax-Wendroff en fonction du temps..................................... 28 Figure 39: Détente : Schéma implicite en fonction du temps .................................................. 28 Figure 40 : convergence ........................................................................................................... 30 Figure 41 .................................................................................................................................. 34 Figure 42 .................................................................................................................................. 34

projet de deuxième année ensimag calcul …jmonnie/enseignement/...une boîte à outils pour le...

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