Université de Mont réal

Schémas de subdivision pour la construction de courbes

Par

Sahbi Ayari

Département de mathématiques et de statistique

Faculté des arts et des sciences

Thèse présentée à la faculté des études supérieures

en vue de l'obtention du grade de

P hilosophiæ Doctor (P h.D.)

en mat hématiques

Orientation mathématiques appliquées

Mai, 1997

@sahbi Ayari, 1997

National Library 1*1 of Canada Bibliothèque nationale du Canada

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L'auteur conserve la propriété du droit d'auteur qui protège cette thèse. Ni la thèse ni des extraits substantiels de celle-ci ne doivent être imprimes ou autrement reproduits sans son autorisation.

Université d e Mont réal

Faculté des études supérieures

Cet te thèse de doctorat intitulée:

-Schémas de subdivision pour la construction de courbes -

présentée par

Sahbi .\pari

a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:

Jacques Bélair

(président-rapporteur)

Serge Dubuc

(directeur d e recherche)

Gilles Deslauriers

(membre du jury)

Jeau- Louis Merrien

(examinateur externe)

Louis Cartilier

Représentant d u doyen de la FES

Thèse acceptée le: 23 Août 1997

Université de Montréal

Bibliothèque

Sommaire

Le présent travail est une contribution a l'étude des principes et concepts mathémati-

ques de base pour la génération de courbes et surfaces à l'aide de schémas généraux

de subdivision à base 6. Le modèle que nous donnons généralise les schémas de siibdi-

vision qui ont cours depuis une dizaine d'années e t qui ont été exposés en particulier

par 3. Dyn. C. .A. Micchelli. H. Prautzch e t .A. S. Cavaretta. Dans le modèle usuel.

la base b est nécessairement égale à 2. ce dont nous nous affranchissons. !vrais ce qui

est encore plus intéressant. c'est que même dans le cas dyadique. le nouveau modèle

permet certaines constructions géométriques qui sont absentes dans ['ancien modèle.

Cne telle illustration est fournie par I'interpolat ion dyadique d'Hermite proposée par

J. L. !derrien.

Pour cette classe élargie. nous avons trouvé deux conditions qui permet tent de

vérifier la continuité d'un schéma de subdivision à une variable. La première condition

exige très souvent moins de calculs. cependant la seconde condition se prête mieux à

une généralisation aux schémas de subdivision à plusieurs variables. Finalement. nous

discutons de l'aspect algorithmique des schémas de subdivision à base 6 provenant

d'un masque. Plusieurs constructions en géométrie fractale peuvent s'exécuter à l'aide

des algorithmes récursifs qui permet tent d'économiser l'espace mémoire et le temps.

Les algorit hrnes de subdivisions représentent des out ils simples et t rés puissants

pour engendrer des objets géométriques comme les fractales. L'itération est un

ingrédient essentiel pour ces algorithmes de subdivision e t plusieurs équations fonc-

t ionnelies intéressantes en résultent.

Remerciements

J e voudrais exprimer mes remerciements les plus vifs à mon directeur de recherche.

le professeur Serge Dubuc. pour l'intérêt,. les conseils judicieux. sa disponibilité et ses

critiques éclairées. En bref. pour avoir é té un excellent directeur d e recherche.

De plus. je souligne aussi les multiples opportunités scientifiques qui me furent of-

fertes par mon directeur de recherche en termes de conférences. séminaires e t ateliers

où j'ai pu présenter mes travaux. Ce sont autant de raisons pour lesquelles je lui suis

éternellement reconnaissant.

Mon directeur de recherche. ainsi que la FES (Faculté des études supérieures). ont

permis que cette thèse voit le jour par un support financier appréciable.

Je remercie également le D h1S ( Département de mat hématiques et de st atist iqiie )

pour avoir mis à m a disposition tout l'équipement informatique nécessaire à la réalisation

de ce travail. aussi le corps administratif du Département de mathématiques et de

statistique. Tous mes amis e t collègues. specialement Dr. Claude Tardif. pour les

échanges scientifiques fruct ueus.

En terminant. je voudrais décerner une mention speciale à toute m a famille: mon

père Othman. ma mère Néfissa. ma soeur unique Sallouha ainsi que toute sa famille.

mes frères Dr. Slohamed. Dr. 11. Laoucet ( Bal1 aerospace. Colorado. Ci'.S.X. S:

University of Manitoba. Canada ). Dr. 41. .Ali. Dr. hl. Iadh (Université de Montréal).

Dr. M. Arselène ( Cniversi ty of Colorado. U.S.A.) pour leurs encouragements. .CI ERCI

à tous!

Table des matières

Sommaire 1

. . Remerciements 11

Table des matières

Liste des figures v

Introduction 1

1 Interpolations et lissages itératifs unidimensionnels 4

I Schémas de subdivision à base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 La suite fondamentale du schéma de subdivisior, . . . . . . . . . . . . 9

3 Relations fonctionneiles satisfaites par la suite fondamentale . . . . . 10

4 Equations fonctionnelles pour des schémas de subdivision convergents 11

2 Exemples de schémas de subdivision 13

3 Calculs récursifs dans les schémas de subdivision 40

1 Calcul récursif d'une courbe de von Koch . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Algorithme récursif pour l'interpolation dpdique à quatre poids . . . 42

3 Algorithme récursif pour une subdivision à base b . . . . . . . . . . . 4.5

4 Schémas continus de subdivision 48

1 Cne condition nécessaire de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -19

3 Une première condition suffisante de continuité. . . . . . . . . . . . . 53

4 Une seconde condition suffisante de continuité . . . . . . . . . . . . . 59

-5 Exemples de schémas continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Conditions nécessaires et suffisantes de continuité . . - . - . . - - . . 66

Conclusion

A Liste des programmes en langage POSTSCRIPT

B Liste des programmes PASCAL 91

C Programme MAPLE pour le calcul des constantes de continuité

Cr,( h ) 99

Références 102

Liste des figures

La fonction de Hellinger avec les trois premières approximations linéaires

par morceaux. Le paramètre de la fonction est. p = 1 / 3 . q = 1 - p. . .

L'escalier du diable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le graphe de la fonction de Kiesswetter. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courbe de von Koch

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La courbe en C de Lévy

Trois exemples d'interpolations itératives dyadiques. . . . . . . . . . .

Trisection d'un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les approximations successives et le manche de marteau de de Rham

Graphe de la seconde composante de la pararnétrisation du manche de

marteau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La B-spline cubique avec les sommets d'un carré comme points de

contrôle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La B-spline cubique périodique avec les sommets d'un carré comme

points de contrôle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.Approximations successives de la courbe du dragon . . . . . . . . . .

La courbe du dragon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction

Gilles Deslauriers e t Serge Dubuc sont célèbres dans le monde entier pour leur

travail de pionnier sur l'interpolation dyadique. Cette méthode a de nombreuses

applications dans le domaine de la conception géométrique assistée par ordinateur

Tomputer-aided geometric design.' C'est un travail qui remonte a u 21 mai 19S.5

où les auteurs participaient au Séminaire de Haussdorff au laboratoire de thermody-

namique des milieux ioniques e t biologiques à I'Cniversité Paris 7.

Dubuc [IS] e t Deslauriers-Dubuc [13. 1.5. 1S] ont introduit une nouvelle méthode

d'interpolation qui dépend de quatre poids a. 6. c et d. L e point de départ est une

fonction f ( k ) définie sur les entiers relatifs Z. Ces auteurs ont montré. à l'aide

d'une technique qui repose sur un raffinement mult i-échelle. que la fonction peut être

prolongée par continuité sur tout l'axe réel pour engendrer aussi bien des courbes

irrégulières comme les fractales que des courbes régulières comme les splines selon le

choix des paramètres.

Modéliser la géométrie des courbes et des surfaces est un domaine de recherche

important en graphisme e t dans la théorie d'approximation. Ln outil puissant pour

créer de telles fonctions est la subdivision. Les schémas de subdivision jouent un rôle

important en graphisme e t dans la théorie des ondelettes.

Le modèle que nous donnons généralise les schémas de subdivision qu i ont cours

depuis une dizaine d'années et qui ont été exposés par Cavaretta-'ificchelli [6] et par

Dyn [22]. Dans le modèle usuel. la base b est nécessairement égale à 2. ce dont nous

nous affranchissons. Mais ce qui est encore plus intéressant. c'est que même dans le

cas dyadique. le nouveau modèle permet certaines constructions géométriques qui sont

absentes dans l'ancien modèle. Une telle illustration est fournie par l'interpolation

dyadique d'Hermite proposée par Werrien [34] (professeur à I'INSA de Rennes).

La question que nous voulons traiter est la suivante: comment peut-on déterminer

des conditions suffisantes pour que la fonction limite j d'un schéma général de subdi-

vision existe e t soit continue? En conception assistée par ordinateur. c'est la question

préalable à l'utilisation d'un schéma spécifique de subdivision.

Dans cet t e thèse. nous considérerons surtout les schémas d e subdivision invariants

par translation c.à.d qui sont définis à l'aide d'un masque. Le masque consiste en un

ensemble fini de coefficients non nuls a= { a , : i E Z}.

Le plan de notre travail s e décrit comme suit. L e premier chapitre présente un rap-

pel des éléments nécessaires pour la compréhension des chapitres suivants. On définit

dans un cadre général les algorithmes d e subdivision pour engendrer des courbes et des

surfaces. Deus classes d e schémas d e subdivision sont décrites: les schémas interpola-

toires et les schémas invariants par translation. Nous présentons quelques propriétés

de base de ces schémas de subdivision. Finalement. nous déduisons quelques relations

fonctionnelles résultant d'un schéma invariant par translation. La fonction fondamen-

tale telle que définie par Serge Dubuc e t Gilles Deslauriers [13. 171 d e ce schéma est

toujours impliquée dans celles-ci.

Dans le second chapitre. nous illustrons par des exemples intéressants les schémas

invariants par translation tels que la fonction de Hellinger. la coupe des coins (corners

cutting). les courbes d e von Koch. l'interpolation dyadique cubique e t plusieurs autres.

h e première équation fonctionnelle établit l'auto-similarité des courbes d e von Koch.

Xous verrons ensuite qu'il y a un lien étroit entre les B-splines uniformes e t un schéma

particulier de subdivision: c e lien a été observé pour la première fois par Lane et

Riesenfeld [31] e t s'explique par une équation fonctionnelle impliquant la B-spline

cardinale de degré k.

Le chapitre 3 aura pour sujet Làspect algorithmique des schémas d e subdivision

à base b. Nous exposons d'abord un algorithme récursif pour le tracé des courbes

généralisées de von Koch. Ensuite. nous présentons une méthode récursive pour le

calcul d'une fonction d'interpolation selon le schéma de l'interpolation dyadique à

quatre poids. Nous discutons enfin du cas général des schémas de subdivision à une

base quelconque.

Le chapitre 4 traite des conditions tantôt nécessaires, tantôt suffisantes pour qu'un

schéma général de subdivision produise une fonction continue. Une première condition

suffisante est inspirée par Dun. Gregory et Levin [ 2 O ] et une seconde. par Deslauriers.

Dubois et Dubuc (1 71. A travers un exemple de schéma de subdivision. nous illustrons

ces conditions. Nous indiquons que dans le cas des schémas invariants par translation

chacune de ces conditions est également nécessaire pour la continuité du schéma.

Ces chapitres sont suivis d'appendices qui rassemblent des programmes en langage

POSTSCRIPT et PASCAL qui utilisent des algorithmes récursifs pour générer des

courbes fractales ainsi que des fonctions régulières comme les splines. Le dernier ap-

pendice contient un programme en MAPLE qui a servi à I'évaluation du paramètre

C,(h) donné par les formules 4.16 et 4.17 pour la justification de la deuxième condi-

t ion suffisante de continuité des schémas de subdivision à base b à l'aide des puissances

successives numériques de la matrice des poids.

Note. Le premier chapitre a été exposé dans une communication à 1'European Con-

ference on [teration Theory à L-rbino en septembre L996. communication intitulée

-Functional equations through subdivision algorithms-[Il. Aussi une bonne partie

du chapitre IV a servi pour l'article intitulé -Schémas continus de subdivision" et qui

sera publié par Springer Verlag dans les actes de la :%me conférence L'ingénieur et

les Fractales (-Arcachon. 1997) [2].

Chapitre 1

Interpolations et lissages itératifs unidimensionnels

Dans ce chapitre. nous définissons dans un cadre général les schémas d'interpolation

ou de lissage par des subdivisions répétées à base b où 6 est un entier supérieur à un.

Deux classes d e schémas de subdivisions sont décrits: les schémas interpolatoires et

les schémas incariants par translation. Dans le but de mieux présenter les hypothèses

ainsi que les résultats obtenus su r les schémas de subdivision nous dégageons les

principales propriétés algébriques d e ces schémas. Nous déduisons ensuite quelques

relations fonctionnelles résultants d-un schéma invariant par translation. La fonction

fondamentale de ce schéma est toujours impliquée dans ceux-ci.

1 Schémas de subdivision à base b

Xous partons d'une suite infinie au t an t vers la gauche que vers la droite {y;};E-, de

nombres réels (ou parfois complexes). Nous aimerions approcher ces données par une

fonction f définie sur toute la droite réelle où (t/i)l f(i) - yil est petit. ou même nul

dans certains cas. On se sert d'un entier 6 supérieur à un: ce sera la base d u procédé

de subdivision. L'idée de la construction sera d e définir une suite de fonctions {fa}

d'une manière récursive à l'aide d e poids.

fo est la fonction définie sur les entiers relatifs à l'aide de la suite {yi} :

/, est une fonction définie sur les multiples entiers d e I / b par pondération des

valeurs y; :

fi est la fonction définie sur les multiples entiers de 1/b2 par pondération des

valeurs f t ( j l b ) suivant les mêmes poids pi,,

D'une manière générale. si n est un entier. fn+' est la fonction définie sur les

multiples entiers de l/bn+' par pondération des valeurs f,( j / b n ) suivant les

mêmes poids pi,;

En principe. l'équation (1.2) suppose la convergence d'une série. En pratique. toutes

les pondérations pi, que nous rencontrerons admettront la propriété suivante:

Sous cette hypothèse. la série du membre de droite en ( 1.2) n'admet en fait qu'un

nombre fini de termes. elle est toujours bien définie. Enfin. la fonction f est alors la

limite de la suite des fonctions f,. Pour que cet te limite existe. i l ne faut pas que les

poids p , , soient arbitraires. Yous aurons l'occasion de rencontrer une foule de poids

où cette limite existe quelque soit la suite de départ y;.

La fonction fn est définie sur les multiples entiers de 116": on dira de cet te fonction

qu'elle est le nième lissage des données y;. La suite f, de fonctions obtenue à l'aide de

la formule (1 .2) représentera le schéma de subdiz.zsion a base b selon la pondération

Pi , j

Abordons les propriétés les plus élémentaires des schémas d e subdivision. II est

évident que le schéma d e subdivision est linéaire. Yous exprimons cette linéarité

par un premier lemme dont nous omet tons la démonstration.

Lemme 1 Si fn et 9,. n = 0.1.2.. . . . sont les deux suites de lissages qui correspon-

dent respectirement aux données y, et 2,. i E Z selon le schéma (1.2) de subdioision

à base 6. alors la suite de lissages f, + gn correspond à la suite y; + = i . i E Z . Pour

toute constante c. la suite de lissages qui correspond aux données cy; est cf,.

Lemme 2 S i f, est la suite des lissages d u schéma ( 1.2) de subdiczsion base b

a partir de la suite y;. s i rn est un ent ier positif et s i g, est la suite des lissages

du schéma (1.2) de subdioision à base b à partir de la suite z. = / ,(i/bm). alors

( Y n > O)(Vi E Z ) g , ( i / b n ) = f,+,(i/bm+").

Démonstration Si f , et gn représentent les lissages respectifs de yi et z; selon le

schéma ( 1.2). il s'agit de vérifier que g n ( i / b n ) = f,+,(i/bm+ " ) . Vne induction sur le

nombre n permet d'y arriver: selon La formule (1.2) on a les équations suivantes

Définition 1 On dit qu'un schéma de subdivision à base 6 est interpolatoirc si pour

toute suite y;. la première fonction ft est telleque ( V i ) f i ( i ) = yi: exiger cette condition

revient a demander que

Le b est le symbole de Kronecker: (Vi)6;,i = 1 et ( V i ) ( V ; # i ) b i , = 0.

Lemme 3 Considérons un schima de subdirision produisant u n e suite J,,. supposons

que ce schéma est interpolatoire. S i r = i / b n et s i rn > n. alors Jm(x) = f,(r).

Démonstration 3ous allons montrer que pour tout entier r appartenant à Bii et

pour tout n fixé. on a

On peut montrer par induction sur n l'égalité /,+,ji/bn) = f,(i/bn). Supposons

maintenant que la relation ( 1.5) est vraie pour r et montrons qu'elle i'est pour r + 1.

c'est-à-dire jn+,+, ( i / b n ) = f,(i/bn ). pour tout n fixé dans fi-+. En effet.

Remarque 1 Dans un schéma interpolatoire de subdivision à base b produisant une

suite de fonctions fn. on peut définir une fonction f sur les nombres 6-adiques: si

x = i / b n . on pose

Le lemme précédent nous indique que cette définition est sans ambiguité. On dira de

f qu'elle est la jonction d'interpolation issue de la suite y, ou qu'elle est l'interpolation

itérative de la suite yi.

Maintenant. nous faisons vaioir qu'il est très naturel d'exiger une autre condition sur

les poids p i , j - La matrice pi,j établit une correspondance entre la suite y, et la fonction

f i . Considérons la fonction gl qui correspond à la suite zi = y;+l. Pour une question

d'invariance par translation. i l apparaît raisonnable d'exiger la liaison suivante entre

fi et gl: g l ( i / b ) = f l ( i /b + 1). Que cette relation ait lieu pour toute suite y; revient

à dire que

Définition 2 On dira d'un schéma de subdivision qu'il est invariant par translation

si sa matrice de poids remplit la condition ( 1.6).

Lemme 4 Une matn'ce (pi,) satisfait la relation ( 1.6) si et seulement s f l e x i s f ~ u n e

suite { a ; ) Z - , telle que

( y ) ( j pi, = ai-5] (1.7)

Démonstration On montre par induction sur L que pi,]-i, = pi+bk,,. Pour k = 1 ceci

est vrai à l'aide de la relation (1.6). Supposons que c'est vrai pour k et montrons

- qu'elle l'est aussi pour k + 1. En effet. pi , j -k-1 = pi+(.)-& - Pi+b+b&,j = p,+b(t+l) . , . Si

l'on pose k = j. on obtient pi,-, = pi+a,,, . Si dans la dernière relation on remplace dans

chacun des deux membres i par i - b j . on obtient pi-a,fi = Pi.j- Si l'on pose ai = p i o .

on obtient la relation (1.7). O

Définition 3 Lorsqu'on est en présence d'un schéma de subdivision invariant par

translation. la suite a, donnée par le dernier lemme est appelée le masque de la

subdivision.

Si n désigne l'opérateur qui associe f i à pi: f i = n(yi) et g, à gl = n( yi,, ). si

CT est l'opérateur de décalage ou de translation: o ( y i ) = yi+, et O( f ( x ) ) = f(x + 1).

la liaison recherchée gl ( i l b ) = Ji(i/b + 1) donne lieu au diagramme commutatif

Dorénavant. nous nous limiterons aux schémas de subdivision invariants par transla-

t ion: dans la construction itérative des lissages fn. nous pouvons supposer I'existence

d'un masque a; qui permet la réécriture de l'équation ( 1.2 j:

Il est parfois commode d'écrire autrement l'équation (1.S). Si rn et r sont respec-

tivement le quotient et le reste de la division de i par b alors la relation (1,s) s'écrit

aussi:

avec O 5 r < bet rn dans Z.

On remarque qu'un schéma de subdivision invariant par translation est interpolatoire

si e t seulement si le masque remplit la condition suivante:

(Vi)a, = SiP (1.10)

2 La suite fondamentale du schéma de subdivision

Soit un schéma de subdivision à base b dont le masque est ai.

Définition 4 La suite fondamentale du schéma est la suite de fonctions Fn telles que

a Fo est la fonction définie sur les entiers relatifs à l'aide de la suite de Kronecker

Fo( i ) = ( 1.1 1 )

Si n est un entier. Fn+1 est la fonction définie sur Les multiples entiers de l/bntl

d'une manière récursive:

Remarque 2 Cn lien simple unit le masque et la fonction Fi :

( V i ) a , = Fi(i/b)

Lemme 5 Soit un schéma de subdit.xkion à base b de masque { a , ) . si .V est le plus

grand indice pour lequel a , f O et si .V' est le plus petit indice pour lequel a , # O .

-L- - -v alors la [onction F,, s'annule e n dehors de ( 1 - L/bn)- . ( 1 - l/bn)-] .

6 - 1 b - 1

Démonstration Considérons la suite t , = ( 1 - l / b n ) & . n = 0. L.2.. . . Sous allons

démontrer par induction sur n que t , = rnax{i /bn : Fn( i /bn ) # O ) . Le cas n = O

est évidemment vrai puisque to = O = rnax{i : Fo(i) # O}. Supposons que pour un

entier donné n. i l ait é té vérifié que t , = m a x { i / b n : Fn( i /bn ) # O } . montrons que si

io = bn+' t n+l. alors

I . Fn+i(io/bn+') # O

2- si i > io. alors Fn+l(i /bn+l) = O.

Posons jo = tnbn = ' i ( b n - l ) / ( b - 1). ce qui est bien un entier. et io = .V + bjo. II

est d'abord facile de vérifier que io = bn+' in+, . Maintenant. évaluons Fn+l (io/bn+' )

par la formule ( 1.12). Lorsque dans la somme j est égal à j ~ . alors aio-bjo F'( jo/bn ) =

aN F,(t,) # O. De plus tous les autres éléments de la somme (lia-6j Fn( j/bn) sont nuls

(si j > jo. Fn(j/bn) = O: si j < jo. aio+ = 0 ) . Ilest donc vrai que Fn+l(i~/bn+l) # O.

Si maintenant nous supposons que i > io et que nous évaluons Fn+i(i/bn+l) par la

formule ( L. 12). nous trouvcns que tous les éléments de la somme a,+ Fn( j/bn) sont

nuls (si j > Fn(j/bn) = O: si j < 10. a;+ = O). D'où Fn+l(i/bn+l) = O. La

démonstration par induction est complétée. C'n argument semblable montre que

Fn(i/bn) = O si i/bn < ( 1 - l/bn)s. 61

Théorème 6 Si fn est la suite de fonctions du schCma de subdirision telle q u e fo(i) =

y,. si F,, ESC la suite fondamentale d u schéma. alors

Démonstration. Grâce au lemme.?. la suite d e fonctions g,(i/bn) = XG-, y, Fn(i/bn-

j) est bien définie. La linéarité du schéma de subdivision selon le lemme 1 permet de

démontrer par induction sur n que y, = 1,. Cl

3 Relations fonctionnelles satisfaites par la suite

fondament ale

Plusieurs relations fonctionnelles sont satisfaites par la sui te fondamentale Fn. Ces

relations ont d'autant plus d'importance que plusieurs propriétés des schémas de

subdivision en sont des conséquences.

Théorème 7 Si m. n E R' et si r = i /bn. alors

Démonstration. Soit rn est un entier positif donné. selon le lemme 2. Fm+, (x/bm ).

n = 0.1.2.. . . . est la suite de fonctions produites par le schéma de subdivision à

partir d e la suite pi = Fm(i/bm). Le théorème 6 justifie l'identité

Remarque 3 Le cas m = 1 mérite l'observation suivante. L a formule (1.13) affirme

que Fi ( i l b ) = ai. D'où l'équation fonctionnelle ( 1.15) devient

La relation fonctionneile (1.15) permet le caicul rapide des éléments de la suite îonda-

mentale du schéma. Si la fonction F, a déjà été évaluée sur l'ensemble des fractions

b-adiques de la forme j / bn. il devient économique de procéder à l'évaluation de F2,

sur I'ensemble des fractions 6-adiques de la forme i/b2" en posant dans l'équation

L'évaluation de Fn est amorcée par la formule de récurrence

4 Équations fonctionnelles pour des schémas de subdivision convergents

Définition 5 Considérons la suite j, obtenue à partir d'un schéma de subdivision à

base b défini à partir des données y;. Si la limite suivante existe ( V i ) ( V r n ) f ( i / b m ) =

lim,_, f , ( i /bm) . alors f est appelée la fonction limite. Si pour toute suite de nom-

bres réels Yi. la fonction limite existe. alors on dit que le schéma de subdivision est

con cergent.

Remarque 4 Tout schéma de subdivision interpolatoire est convergent.

Théorème 8 Dans un schéma de subdiazsion de base 6 . interpolatoire el incariant

par Iranslation. de données de départ y; où les f, convergent vers une jonction limite

/. pour tout nombre 6-adique x on a

Démonstration. O n utilise le l emme 5 et le théorème 6 en faisant t endre n vers

1'infini.a

Théorème 9 Dans un schéma de subdivision convergent. la /onction fondamentale

F est une solution de lgéq~uation fonctionnelle définie sur les nombres b-adiques par

(Vm > O ) F(r/bm) = 2 Fm(j/bm)F(s - j ) . ( 1.20) J = - %

Démonstration. On utilise le lemme 5 et Ie théorème ï en faisant tendre n vers

1'infini.D

En particulier. en prenant rn = 1. on obtient l'équation d e raffinement:

F ( x / b ) = a , F ( x - j ) .

Notons que l'équation fonctionnelle (1.21) a été étudiée d'une façon détaillée dans

le contexte de la théorie des ondelettes. en particulier par Daubechies e t Lagarias

[9. 111. Ces derniers ont examiné de très près I'existence. le support . la régularité

locale e t globale (en termes de conditions sur les a,) des solutions d e cet t e équation.

Les solut ions d e celle-ci sont appelées les fonctions d ' i c h ~ l l e ou so.~caling junct ions '*.

Elles sont utilisées à maintes reprises avec leurs dilatations et leurs translations pour

obtenir des expansions orthogonales.

Chapitre 2

Exemples de schémas de subdivision

Les schémas de subdivision forment un outil puissant pour engendrer toutes sortes de

fonctions: on peut obtenir aussi bien des courbes irrégulières comme les fractales que

des fonctions régulières comme les splines. Certaines courbes ont déjà été décrites par

S. Dubuc [12] dans un au t r e contexte d e la géométrie fractale. L'objet d e ce chapitre

est d'illustrer d'une façon élaborée les schémas d e subdivision par d e multiples exem-

ples. surtout pour la méthode d'interpolation itératirre. mais aussi pour quelques cas

d e lissage. .\ussi. nous présentons les tracés de courbes pour cet te variété d'exemples.

a) Les fonctions linéaires par morceaux

Soit f une fonction linéaire par morceaux. où les changements de pente ne peuvent

avoir lieu qu'en des valeurs entières d e Z. Posons a l = a - , = 112. ci0 = 1. a, =

O. lil 2 2. La fonctionnelle (1.S) avec b = 2 donne la relation de récurrence a u point

dyadique de la forme nt/?". où rn est un entier impair de Z.

b ) La fonction de Hellinger

Nous présentons une fonction conçue par le mathématicien allemand Hellinger [ - T I . L a fonction de Hellinger dépend d'un paramètre p dans [O. 11 et peut se définir de la

manière suivante.

Considérons une suite .Yl. -Yz, .Y3. . . . d'épreuves indépendantes d e Bernoulli d e même

paramètre p E [O, 11: pour tou t n.

L a série aléatoire 1 - converge sûrement vers une variable aléatoire .Y: désignons *? n

n=l - par F ( x ) la fonction de répartition de S. F(x) = P (-Y 4 r). Montrons que F est

une interpolante fractale. qu'eile satisfait la relation (1.d) avec 6 = 2 si l'on choisit les

poids a , de façon adéquate.

Les valeurs prises par la fonction F sur les entiers sont faciles à obtenir: F ( n ) = O

si n 5 O et F ( n ) = 1 si n 2 1. La détermination successive de F peut se faire de la

façon suivante. Lorsque m est un entier impair. on a

Si l'on pose a-1 = 1 - p . a0 = 1. al = pe t ai = O pour les autres valeurs de i . lil > 1 .

alors F satisfait la relation (1.S) avec 6 = 2 . En effet. soient n E K et rn un entier

r n - 1 impair. supposons que l'écriture binaire du nombre soit -

où x; = Oou 1.

D'autre part.

De ces deux équations. on retrouve la fonctionnelle ( 2 . 2 ) .

444

44P

4P4

qPP

P 4 4

P4P

PP4

PPP

Figure 1: La fonction de Hellinger avec les trois premières approximations linéaires par morceaux. Le paramètre de la fonction est p = 113, q = 1 - p.

La figure 1 représente le graphe de la fonction F(x) de Hellinger. Lorsque le paramètre

p est différent de 112. cette fonction admet la remarquable propriété d ë t r e une fonc-

tion à la fois strictement croissante et singulière: presque partout par rapport à la

mesure de Lebesgue. F ' ( x ) existe et vaut O. Sur le plan visuel. ce résultat est sur-

prenant. Cne démonstration d e ce fait a été donnée par Salem [U] en 1943.

C ) La distribution uniforme sur l'ensemble de Cantor

L'ensemble de Cantor est désormais classique: c'est une partie cle [O. 11 obtenue après

une infinité de trisections. L'ensemble de Cantor C est l'intersection d'une suite

d'ensembles emboîtés Co 2 Ci 2 3 C3 . . .

C o = [o. 11

Ci = [O. 1/31 U [2/3. 11

Cr = [O. 1/91 U [2/9. 1/31 U [2/3.7/9] U [8/9. 11

Cl est obtenu en partageant [O. 11 en trois parties de même longueur [O. 1/31. ( 1/:3.2/3)

et [2/3. 11 et en éliminant l'intervalle du milieu ( 1 / 3 . 2 / 3 ) .

Cr est obtenu en partageant chacun des deux intervalles formant Ci e n trois parties

de même longueur et en éliminant l'intervalle du milieu de chacun des deux groupes.

Cz est formé des quatre intervalles de longueur 1 /9.

Par récurrence. C, est formé de 2" intervalles de longueur 1 /3". C,+i est obtenu en

partageant chacun des 2" intervalles formant C, en trois parties de même longueur

et en éliminant l'intervalle du milieu de chacun des 2" groupes. C,+l est formé de

Y+' intervalles de longueur 1 /3"+' .

La distribution uniforme sur l'ensemble de Cantor est la mesure p portée par [O. 11

telle que

-4 la génération n. si I est un des 2" intervalles de longueur 5 dont est formé C,. la

mesure p de I est égale +. Avec un abus de notation. désignons par p(x) la mesure

p d e I'intervalle [O. x], la fonction de répartition d e la mesure p. La fonction p est

aussi une interpolante fractale. solution d e la relation (1.8) avec b = 3 si l'on choisit

bien les poids

valeur de i. 1 il a; : a0 = 1. a-;! = a-, = al = a* = 1/:! et ai = O pour toute aut re

> 2. L'équation ( 1.9). selon que r = 0.1 ou 2. devient alors:

Dans les prochaines lignes. justifions que les équations ( 2 . 5 ) sont satisfaites. L e nom-

bre m parcourt Z. Si m < O. alors les équations ( 2 . 5 ) sont satisfaites. car dans ce cas

toutes les évaluations de p sont nulles. De même si rn 2 3 " . les équations (2.5) sont

encore vérifiées car dans ce cas toutes les évaluations de p valent l'unité. Discutons

maintenant du cas où O < rn < 3". Considérons le nombre m/3" exprimé à la hase

3 . c'est à dire sous la forme

rn " Xk

- = C F OÙ rk E {O. 1.2)- 3" t = i

Dist ingiions deux cas:

( 1 ) Si l'un des chiffres r k est égal à 1. alors

A- Xk 1 Eneffet s i sh- = 1. x k # I pour k = 1.2 .... J i - 1 . s i x =CF.et . r ' = ~ + ~ .

k= I

alors la mesure p de [x. XI est égale à zéro: la fonction p est constante sur [s. r']. Les

m :3rn+1 3 m + 2 m + 1 positions où p est évaluée. - 3 " . 3 n + 1 ' Sn+' 3 n . appartiennent à [ x . x']. car

m m + l x 1 s i x < - = C 2 alors - - - C - + 5 x'. D'où [*on tire que les équations 3"

k = l :3 " k= 1 Sk

(1.5) sont satisfaites.

(2 ) Si tous les chiffres xt sont toujours différents de 1. alors

Avec ces relations. les équations (?..j) sont obtenues.

La figure 2 représente les points sous le graphe de la fonction p ( r ) avec le nom

évocateur de l'escalier d u diable.

p est

il exi

Figure 2: L'escalier du diable

une fonction monotone qui passe de O à 1 : p ( 0 ) = O e t p ( 1 ) = 1. D'autre

s te une infinité d'intervalles disjoints In dont la somme des longueurs est

Pa1

éga

't.

le

à un e t tels que p ( z ) est constant sur chacun des in. autrement dit (x. p(x)) : x E In

est une marche et la somme des longueurs des marches est l'unité.

d ) La fonction de Kiesswetter

En 1966. Kiesswetter [30] a défini une fonction I< sur [O. I j de la manière suivante:

K ( 1 ) = 1 et pour x appartenant à [ O . 1). on développe le nombre x à la base 4.

r = En=, .,/-Ln alors que les x n prennent les seules valeurs O. 1.2 ou 3. On pose alors

et Zn est le nombre de chiffres x;, qui sont nuls de rang h < n .

II est possible de vérifier que l'on peut calculer I< en toute fraction dont le dénominateur

est 4" selon la relation (1.S) avec la base 4.

a-3 = -L/Z. a-2 = O . a-l = 1/2. a* = 1. al = 3 / 2 . a , = 1.u3 = L/:!et ai =

O si lil > 3 . l i ( 0 ) = O . K ( 1 ) = 1.

L'écriture de l'équation ( 1.9) pour la fonction de Kiesswetter selon que r = 0. 1.2 ou 3

devient:

Yous justifierons ces relations en faisant appel à un lemme qui a son intérêt propre.

Lemme 1 Soient n E N et x un nombre de [ O . 1 ) dont le développement à la base j

n Xk

est x = - on pose = #{$ : = 0 . k 5 n } . alors k= 1 Ak

Démonstration Yous posons x' = x + l/-Ln. Le développement à la base 4 d e x' est

" 3; X' = C F.. On définit les quantités .Y; et 2; de la même manière que les quant i tés

k= 1

Nous distinguons trois cas.

Premier cas: x, # 13. Dans ce cas. on a que xi = ri. Si = SI. pour L < n et

2;. = 2, pour C 5 n. I<(rt) - i<(x) = (-l)zn(-f-A - -.Y,)/2.. On examine le

tableau suivant.

Pa r ce tableau. on obtient que ( - l)zn(-v; - -Yn) = ( - l)Zn+i et la formule (2.9)

est vérifiée dans ce cas.

Second cas: x, # 3 . xk = 3 . m < k 5 n. Dans ce cas. on a que r i = xt. -K = .Yk

pour k < rn et 2; = Zk pour k 5 m.

On forme le tableau suivant.

Le tableau fait voir que I i ( x ' ) - I i ( x ) = (-L)'~/?". O r Zn+l = Zn. D'où la

formule (2.9) est vérifiée dans ce second cas.

Troisième cas: xk = 3 . 1 5 k 5 n. Dans ce cas. I i ( r ) = 1 - l/'ln.r' = 1 e t

x = 1 D'ou I i ( r ' ) - Ii(x) = 1/2" e t la formule (2.9) est toujours vérifiée.

cl

Démontrons maintenant que la formule (2.8) est valide. Si O 5 m < -ln. si l'on pose

x = m/dn dans le lemme précédent. on obtient que

Si dans ce même lemme. on remplace n par n + 1 tout en prenant les 3 valeurs

4rn I m + 1 -lm+:! suivantes pour r : F. 4n+l . 4n+l . on obtient que

D 'où

Des trois dernières formules. la première donne la seconde formule de (-.Y ). En ad-

dit ionnant. les deux premières des trois dernières formules. on obtient la t roisièrne

formule de (2.8). En additionnant. les trois dernières formules. on obtient la qua-

t rième formule de (2.8).

Figure 3: L e graphe de la fonction de Iiiesswetter.

e ) Courbe de von Koch

En (1904) le mathématicien suédois von Koch [-l'il a construit une courbe simple qui

n'admet en aucun de ses points une tangente. Nous rappelons sa construction. La

courbe sera la limite d'une suite de lignes polygonales du plan. Lo. L 1. L z . . . -

Lo est simplement le segment qui s'étend de l'origine O au point uni té de I'axe des x.

P = (1.0) et Lo = {O. P}.

L I s'obtient en découpant le segment O P en trois segments. en traçant un triangle

équilatéral sur le second segment et en remplaçant ce segment par les deux autres

côtés du triangle équilatéral.

Figure 4: Courbe d e von Koch

= {(0.0).(1/:3-0).(l/2. f i /6) . (2/3.0) .(1.0)}.

ligne polygonale L I est alors formée de 4 segments de longueur 113. s'obtient en découpant chacun des segments de L I en trois segments. en traçant

triangle équilatéral sur chacun des seconds segments et en remplaçant ces seconds

segments par les deux autres côtés des triangles équilatéraux. Lz est formée de 16

segments de longueur 119.

Ln+[ s'obtient par récurrence à l'aide de Ln. On découpe chacun des segments de Ln

en trois segments. on trace un triangle équilatéral sur chacun des seconds segments et

on remplace ces seconds segments par les deux autres côtés des triangles équilatéraux.

est formée de 4"+' segments de longueur 1/3"+l.

Par définition. la courbe de von Koch est la limite de la suite de lignes polygonaies

L n -

Si l'on fait appel au nombres complexes. il est tout à fait possible de décrire les

lignes polygonales Ln à l'aide de la relation (1.8) en se servant de poids complexes.

Considérons donc les 3 nombres complexes suivants: zl = 1/3. z 2 = 1 /2+ m/6. z3 =

3 Si Ln est la ligne polygonale dont les sommets sont les nombres complexes

{Pi : O 5 i 5 4"). indiquons comment on peut calculer la ligne polygonale suivante.

L,,+l = { Q , : 0 5 i 5 4"+'}-

ou si l'on préfère.

On peut voir la courbe de von Koch comme une courbe dans le plan complexe 1 - f ( t ). La ligne polygonale Ln serait donnée par les nombres complexes { f (i/-Ln ) : O 5

i 5 -Ln}. Si l'on introduit les poids suivants:

et ai = O si lil > 3. La relation ( 1.9) avec b = 4 est obtenue à partir des équations

( 2 . La relation ( 1 .Y) donne la récurrence pour les lignes polygonales Ln. Le début

de la récurrence consiste en f ( O ) = O e t f ( 1) = 1.

f) Courbe généralisée de von Koch

Si b est un entier supérieur à un et si { z i . z z . .... a-i} est une succession de b - 1 nombres comp1eres. alors comme l'ont remarqué plusieurs mathématiciens dont

Kahane (281 et Mandelbrot [33]. on peut construire par récurrence une suite Ln de

lignes polygonales selon le même modèle que von Koch. Soit Lo = {O. 1). Si Ln est

la ligne polygonale dont les sommets sont les nombres complexes {PI : O 5 i 5 6") .

alors on peut poser. Ln+l = {Qi : O 5 i 5 bn+' }. où

Figure 5: La courbe en C de Lévy

La courbe en C de Lévy [32] (cf. aussi Edgar [23]) est obtenue en prenant b = 2 et

-1 = ( 1 + - ) / 2 .

g) Interpolation dyadique à quatre poids

Dans [13], G. Deslauriers et S. Dubuc ont défini une nouvelle méthode d'interpolation.

dite interpolation dyadique. Cette méthode dépend de quatre paramètres a. 6. c et d.

Le point de départ est une fonction f (x ) définie sur les entiers relatifs Z. Ces auteurs

ont montré que la fonction peut être prolongée à tout l'axe réel par l'intermédiaire de

la suite de groupes G,, où G, est l'ensemble des nombres rationnels dyadiques ml%" avec m un entier relatif arbitraire. Si le prolongement g (x) de f a déjà été complété

sur G,, le prolongement de f à G.+l se fait selon la formule suivante: si x appartient

à G,+* mais non à G, et si h = 2-"-', les nombres x - 3h, z - h, x + h et x + Jh

appartiennent à G, et on peut poser

g(x) = ag(x - 3h) + bg(x - h) + cg (x + h ) + dg(x + 3h)- (2.13)

Le prolongement de f se poursuit sur l'ensemble des rationnels dyadiques p l q où p

est un entier relatif et q est une puissance entière de 2.

Les valeurs des poids sont: a. = 1. a3 = a. ai = 6. = c. a-3 = d e t a; = O pour les

autres entiers i. Ce type d'interpolation dépend donc d e qua t re paramètres a . b. c e t

d. Pour obtenir la continuité uniforme de l'interpolation. ces paramètres sont sujets

à des restrictions comme leexigence que a + 6 + c + d = 1.

La figure 6 superpose trois exemples d'interpolations dyadiques avec un décalage

vertical entre les courbes pour éviter tout chevauchement en t re elles. Dans chacun

des cas. la fonction f ( n ) dont on fait l'interpolation est la même. c'est la fonction qui

prend la valeur 1 en n = O e t qui prend la valeur O en tout au t r e entier n. La différence

des courbes provient du choix des paramètres a. b. c. d. Ceux-ci sont respect ivement

(-1/16.9/16.9/16. -1/16). ( - 1 6 / 1 0 O . - 1 1 0 ) (-i/lO. :3/lO..>/lO. 1/10).

Figure 6: Trois exemples d'interpolations itératives dyadiques.

L e cas particulier où a = d = - 1/16. 6 = c = 9/16 est très intéressant en pratique.

Dubuc [lS] a analysé cet te situation en 1986. Dyn, Levin et Gregory [19] ont fait

de même en 198'7. .? ce schéma particulier. Dubuc a donné le nom d'interpolation

dyadique cubique. Le qualificatif de cubique provient d u fait que si P(x) est un

polynôme cubique. l'interpolation itérative d e la fonction f ( n ) = P ( n ) selon ce schéma

va reproduire le polynôme P. l'interpolation itérative g obtenue obéira à l'identité

g w = P W .

h) Le manche de marteau de de Rham

Nous reprenons les mots de d e Rham j-ll].

« Les points qui divisent e n trois parties égales les côtés d'un polygone fermé P à

n cotés sont les sommets d 'un nouveau polygone fermé Pr à 'Ln côtés. Pour abréger.

disons que P' se déduit de P par trisection.

Figure 7: Trisect ion d'un polygone

En partant d'un carré Po et en répétant cette opération. on obtient une suite de

polygones P, ( n = 0.1.. . . ) dont chacun se déduit du précédent par trisection. Ces

polygones P. tendent vers une courbe limite C. convexe. qui l imite la région du plan

formée des points qui appartiennent à tous les polygones Pn-

Ce procédé de trisection est utilisé pour tailler les manches d e marteaux et donner

au profil primit ivernent rectangulaire de l'ébauche une forme arrondie. »

Un peu plus tard [NI, d e Rham a proposé un procédé d e trisection plus général

dépendant d'un paramètre r E ( I /2 ,1) . Si Si. S2, . . . , ,C, sont les sommets dit poly-

gone fermé P. alors Les sommets S;. S;. . . . . d u polygone suivant P' sont:

5 ; = rst + ( 1 -r)si+l

en sous-entendant que le point Sn+1 désigne le point SI. O n voit bien que l'on obtient

la construction du manche d e marteau lorsque r = 2/3.

Slontrons que le procédé de trisection illustre la méthode de subdivision binaire (la

base est 2 ) à la modification près que l'on va considérer que la suite f, est une suite

de fonctions t-ectorielles plutôt que scalaires: les 'aleurs prises par les fonctions sont

dans le plan. fo donne les sommets d u carré Po:

fo ( l ) = (l.o).fo(?) = (1. 1). fo(:3) = (o. 1).f0(4) = (o. O). (2.15)

Puis. on prolonge fo par périodicité selon la période 4:

fo(4k + i ) = f o ( i ) . i = 1.2.;3.4. k Ç Z.

Ensuite la suite f, est définie par récurrence:

Cet te équation coïncide avec l'équation ( 1.9) si i'on se sert d u masque a0 = a - , =

(a) (b)

Figure S: Les approximations successives et le manche de marteau de de Rham

r. ai = a-2 = 1 - r e t a , = O pour les autres valeurs de i. La figure (8-a) illustre les

diverses étapes pour obtenir le manche de marteau à partir du carré unité. Quant

à la figure (8-b). elle propose le tracé du manche de marteau de de Rham obtenu

d'après un algorithme récursif. La figure 9 donne le graphe de la seconde composante

du manche de marteau. Si (x( t ). y( t ) ) est la paramétrisation naturelle du manche de

marteau. on trace le graphe de la fonction y( t ). Pour obtenir une courbe limite plus

lisse. i l faut choisir le paramètre r égal à 3/4. La courbe limite est alors Formée d'arcs

de paraboles. C'est de Rham [40] qui a d'abord fait cette observation.

Figure 9: Graphe de la seconde composante de la paramétrisation du manche de marteau.

i ) La coupe des coins

Dans sa trilogie sur le procédé de trisection. de Rham est allé plus loin [42]. Cet te

fois-ci. i l considère une ligne polygonale P à n côtés. qui n'est pas nécessairement

fermée. de sommets So. SI.. . . . Sn. 11 se donne deus paramètres r et s qui serviront

pour la trisection de chaque segment Si. Sici :

-1 7 1 >zi = rSi + ( 1 - i )S i i l . C42i+L = ( 1 - 3)s; + sSiCI. i = O. 1.. . . . n - 1. (2.1s)

Les contraintes exigées sur r et s sont: r > O. s > O. r + s > 1. Cette nouvelle 7 1 ligne polygonale P' de sommets SA. S:. . . . . Sz,-i a donc 2n - 1 côtés. On dit de

cette opération de passage de P à P' que c'est une trisection ou c'est le mot que l'on

utilise plus souvent en modélisation géométrique. que l'on a coupé les coins de la ligne

polygonale P (en anglais cut t ing corners).

Montrons que la méthode de subdivision binaire permet d e couper successivement les

coins d'une ligne polygonale en autant que l'on se serve d'une suite f,, d e fonctions

à valeurs dans le plan. Si la ligne polygonale initiale est formée d e m segments.

/ , (O) . fo(1). . . . .= f o ( m ) seront les sommets consécutifs d e cette ligne. Pour que les

opérations suivantes soient partout définies. on pose fo( i) = / o ( O ) si i < O e t fo(i) =

fo(rn) si i > m. Ensuite la suite f, est définie par récurrence:

Cet te équation coïncide avec l'équation ( 1.9) si l'on se sert du masque a . = r. a -2 =

1 - r.a-1 = s.al = 1 - s e t a , = O pour les autres valeurs de i.

j) Le lissage par des B-splines uniformes

Nous reprenons la présentation d e MicchelIi-Prautschz [39] sur le lissage de données

par une B-spline. On introduit d'abord la suite de fonctions JO. .VI. .V2. . . . .

.\;, est la fonction indicatrice de I'intervalle (O. 1).

.VI est le produit de convolution d e .Vo avec elle-même: .irl = -\io * -bh.

0 .V2 est le cube de .Yo selon le produit d e convolut ion: -Y2 = -\; * 'io * -Yo.

Si k est un entier. .Vk est la puissance ( k + 1)-ème d e .Yo selon le produit de

convolut ion.

.Vk est une fonction spline de degré k dont les noeuds sont des entiers.

On peut calculer explici tement ces B-splines:

t . o s t g

o. autrement

I 0. autrement

Soit une ligne polygonale de sommets Po. Pi.. . . . Pm. ce sont les points de contrôle

qui doivent servir pour déterminer une courbe qui sera une spline de degr6 k. La

courbe proposée a pour équations pararamétriques:

où il est sous-entendu que Pi = Po si i < O et Pi = Pm si i > m.

La figure 10 montre la spline cubique que l'on obtient si les points de contrôle sont les

sommets du carré unité: Po = (0.0). Pl = ( 1.0). Pz = ( 1.1). f i = (O. 1). P4 = (0.0).

On a fait varier le paramètre t de 1 à 4.

Figure 10: La B-spline cubique avec les sommets d'un carré comme points de contrôle.

On modifie la figure 10 pour obtenir la B-spline cubique périodique dont les points

de contrôle sont les sommets du carré unité. voir figure 11.

Figure 11: La B-spline cubique périodique avec les sommets d'un carré c o m m e points de contrôle.

Lemme 2 Si h > O . la B-spline .Vk (x ) satisfait 1 'équation fonctionnelle

Démonstration. On remarque que .b(2x) est la fonction indicatrice d e ( O . 1 /2) e t

-VO(;lx - 1 ) est la fonction indicatrice d e ( 1/2.1). D'oii. presque partout par rapport

à la mesure d e Lebesgue. on a la relation

. \ io(x) = -V0(2x) + .Cf,(Zs - 1). P. P- (2.2 l )

Posons. g(r) = .&(2x) et h ( x ) = .&(2x - 1). .\lors

xo = g + h.

en prenant la ( k + 1)- ème puissance d e convoiution des deux membres d e l'équation

(2.22). on obtient par la formule d u binôme d e Xewton

Si on pose gi la i-ème puissance d e convolution de g e t hi la i-ème puissance d e

convolution de h. on a

d 'où

Considérons maintenant le masque

O sinon.

Xous définissons maintenant la première fonction vectorielle:

JO(;) = pi

et nous définissons les autres fonctions par récurrence:

Théorème 3 Si Pi est une suite de points de contrôle d u plan. si S ( t ) est la spline

donnée par la formule (2.20). si f, est le schéma de subdizukion dont le masque est

( V n ) S ( t ) = f n ( i / Y ) . V k ( 2 " £ - 2 ) .

Démonstration. Ce théorème est essentiellement le théorème 3.1 de Lane-Riesenfeld

[31]. 11 suffit de procéder par induction sur n. Pour n = 1. en vertu du lemme 2. on

a ( V j ) ;Vk(t - J ) = xi ai-zj~Vk(?t - i). PX conséquent

Supposons que la relation ( 2 . 2 6 ) est vraie pour n. kIontrons qu'elle est également

vérifiée pour n + 1. En effet. posons

en vertu du lemme 2 et par un changement d'indice on a

D'où

La signification géométrique du dernier théorème est qu'à mesure que n augmente.

les points de contrôle , fn( i /Zn) . -m < i < r . forment une ligne polygonale qui

s'approche de plus en plus de la fonction spline S. On se convainc de ce résultat si

l'on tient compte aussi de l'identité

k) La courbe du dragon

Dans sa chronique de Jeux mathématiques du Scientific Xmerican. en mars et avril

1967, Martin Gardner a diffusé une courbe. la courbe du dragon imaginée par le physi-

cien Heighway. Ce physicien avec ses collaborateurs. Harter et Banks, ont donné

trois constructions différentes de celle-ci. Donnons la construction géométrique de

Banks. La courbe du dragon est la limite d'une suite de lignes polygonales du

plan. Lo. Li. L2 . . . . Lo est le segment unité qui s'étend de l'origine O au point

P = (0 .1) . Lo = {O. P } . LI s'obtient en remplaçant le segment O P par les deus

côtés inférieurs du carré dont O P est la diagonale. Les sommets successifs de LI sont

(0.0). ( 1 /2. - 1/2) et ( 1.0): L I est formée de 2 segments. L2 s'obtient en remplaçant

chacun des deux segments de L I par deux côtés successifs de carrés dont ces segments

sont les diagonales. Les sommets successifs de Lz sont ( O . 0 ) . (0 . - 1 /2) . ( I/2. - 112).

( 1 O et ( 1.0). D'une manière générale. Lnil s'obtient de Ln par récurence. Ln

est formée de Y' segments et donc de 2" + 1 sommets: Pj.0 < j 5 2". Lncl sera

formée de Zn+' segments: désignons ses sommets par Q;. O 5 j 5 Zn+' . La procédure

pour remplacer le segment Pj Pjcl consiste à considérer le carré C dont P, est la

diagonale. Parcourons les sommets successifs de C dans le sens positif pour obtenir

les points Pj- R,. Pl I I . S J . On remplace le segment P,PJcl par deux côtés de C. Le

choix des deux côtés dépend de la parité de j. Si j est impair. on remplace PJ

par les deux segments P, Rj et R, Pj+I : Si j est pair. on remplace PJ P,+l par les deux

segments PIS3 et $Pj+,. On peut donc dire que QzJ = P,. Q2,+1 = R, ou 5, selon

que j est impair ou pair et Q21+2 = P,+I

Si on le désire. on peut calculer ces points avec les nombres complexes. Si P, et

Pt + pz+, sont vus comme nombres complexes. le centre du carré C est le point ., . Par

rotation de &90 degrés la demi-diagonale du carré. on peut calculer les deus points

Rj et sj: R, = P; + + iPj - Pj+, P j+Pj+l . P j - P J + , et SI = - 1 3 - *? - -2 - -) - . La rotation

de 90 degrés se fait lors de la multiplication par i. celle de -90 degrés. lors d e la

multiplication par -i. L a figure 1'2 superpose les huit premières étapes de la courbe.

Lr-

Figure 12: .-\pprorirnations successives d e la courbe du dragon

En résumé. le calcul des points Q j se fait de la façon suivante:

La construction des lignes polygonales correspond exactement a u schéma de subdivi-

sion avec une base b = 2 et une matrice de poids (pi,) dont nous donnons les 5 lignes

et Ies 5 colonnes centrales: j = O. * 1. f 2; Xi = 0. & 1. f 2

- 1 - 1 OU peut donner la formule générale des poids p z j , = 1, p 4 j + l e 2 j = . ~ 4 j + l , ~ j + l - 2- - 1-c

P 4 j + 3 , 2 j+l - ~ . P 4 j + ~ , z j + 2 = 2. où j = O. 11. H , . . . . autrement pj,k = O.

La courbe du dragon voir (figure 13) est un exemple de schéma d e subdivision qui

n'est pas invariant par translation. le schéma ne provient pas d'un masque dans le

sens où l'entendent Micchelli, Cavaretta, Dahmen, Dyn? Levin, (5, 6? 19. 22. 361.. . .

Figure 13: La courbe du dragon

1) Interpolation dyadique de Hermite

Sous rappelons le modèle de Jean- Louis bIerrien [NI. repris par Dyn- Levin (2 11.

Yerrien a déterminé une fonction d'une variable réelle f ( x ) définie sur l'intervalle

1 = [O. 11. Cet te fonction admettra une dérivée première continue g = f'. Les deux

valeurs / et g prennent des valeurs spécifiées aux extrémités de I . Nous procédons par

induction sur n. Lorsqu'on est rendu à l'étape ( n > O ) . on suppose que l'on veuille

évaluer f et g en un point de la forme i /2" où i est impair: on pose h = 112"-'.

Construction et algorithme:

O Étape O: connaissant les valeurs de f. g en O e t 1. Les valeurs de contrôle à la

génération n = O sont:

d o ) . f ( 1) - f(O).g( 1) .

O Etape 1: à la génération n = 1. les valeurs de contrôle sont évaluées au point

milieu 1/2:

Etape 2: à la génération n = 2. on définit les valeurs de contrôle comme suit:

O Étape n: on exprime les valeurs de contrôle aux points de la forme il-"+' en

fonction de f et g qui sont déja évaluées à la génération n. o n obtient:

f(*)-r(+) tons d'écrire les déterminations successives des valeurs de contrôle g (+) . L,2,,

d'une génération à une aut re pour tout entier i = O.. . . .Zn. Soit i un entier impair.

on pose h = 1/2"-'. On a

Les neuf lignes et les cinq colonnes centrales de la matr ice d e poids des valeurs de

contrôle sont les suivantes:

La construction de g est un exemple d'opérateur de subdivision. La base est b = 2 .

les données de départ sont y, = O. y1 = 1. Le passage des valeurs de contrôle d'une

génération à l'autre s'effectue de façon linéaire par une ma t rice de poids doublenient

infinie P = (pi,,) :

1 si j = i. 1 si j = i + l . P4i .J = O sinon e t P-ti+iq1 = ?a si j = i + 1 .

( O sinon

312 si J = i. 2a si j = i . 1 - 3 si j = i + l . 1 si j = i + l .

P9i+2.J = J/2 s2 j = 2 + 2. -2a si j = i +-. O sinon O sinon.

Chapitre 3

Calculs récursifs dans les schémas de subdivision

Il est bien connu que plusieurs constructions en géométrie fractale peuvent s'exécuter

par des algorithmes récursifs. Dans ces cas. la récursivité s'avère être un outil efficace

des plus puissants. Dans ce chapitre. nous nous attardons à l'aspect algorithmique

des schémas de subdivision à base 6 . Nous exposons d'abord un algorithme récursif

pour le tracé des courbes généralisées de von Iioch. Ensuite. nous présentons une

méthode récursive pour le calcul d'une fonction d'interpoiation selon le schéma de

l'interpolation dyadique à quatre poids. Yous discutons enfin du cas général des

schémas de subdivision à une base quelconque.

1 Calcul récursif d'une courbe de von Koch

Nous commençons par le calcul de la représentation paramétrique d'une courbe de

von Koch.

Soit b est un entier supérieur à 1 et soit { q . z2' .... z b - ~ } une succession de b - 1

nombres complexes. pour la commodité. on pose 20 = O et zb = 1 . On construit

par récurrence une suite Ln de lignes polygonales selon le modèle de von Iioch. Soit

Lo = {O. 1 } . Si Ln est la ligne polygonale dont les sommets sont les nombres complexes

{ Pi : O < i 5 bn}. alors on peut poser.

La technique la plus fréquente dans le calcul des lignes polygonales consiste à déterminer

les accroissements successifs: - Q j . Si O 5 r < b. alors

Les accroissements Q,+, - Q j s'obtiennent donc directement i partir des accroisse-

ments Ptcl - Pi ainsi que des accroissements élémentaires z , - -0. z:, - z ~ . . . . . z ~ , - zh-, .

Ceci permet d'entrevoir le calcul récursif d'une ligne polygonale. Donnons le pseudo-

code d e ce calcul.

Tracé de la courbe de von Koch variable

dx. d y : tableau[l..-l] d e r é e l s

procédure S u b d i r i s e r ( d u . d c : réel: n : e n t i e r ) si n = O alors

x + z + d u : y - y + d r . écrire(r. y )

sinon pour k de 1 à b faire

Subdiriser(du t dx[k] - da * dy[k]. du * dy[k] + dr * d r [ k ] . n - 1 )

b t - l ; r z - 1 d x [ l ] + 1/:3: dy [l] + O:

Nous avons donné ce programme non pour son originalité. mais pour fin de comparai-

son avec d'autres programmes à venir.

2 Algorithme récursif pour l'interpolation dyadique à quatre poids

Examinons le problème du calcul de la fonction fondamentale F ( r ) du schéma de

l'interpolation dyadique à quat re poids: a. b. c. d. Les valeurs de x seront comprises

entre O et 1. On se propose de faire les calculs avec un souci d'économie de la

mémoire. en ne se servant d'aucun tableau ou en se servant d e tableaux de dimension

très restreinte.

On remarque que la fonction F satisfait ia relation

i un entier impair e t n = 1.2.13. . . . L'idée du calcul récursif est d e s e servir de 6 abscisses z-2.1-1.2~. xl. x2. x3. On

suppose que les abscisses sont en progression arithmétique. que X I - xo = 1/2" et que

xo = k/9" où k E Z. O n suppose que la fonction fondamentale a déjà été évaluée en

ces abscisses: y, = F(x,). -2 5 i 5 3. Puis on effectue un raffinement des abscisses

en insérant des points milieux: r: = x0 + i/ZnC1. - 2 5 i 5 -4. La remarque essentielle

est que I'on peut calculer les quantités y j = F ( x i ) à l'aide des y*:

' - Y-, - 9-1

A partir du 6-uple (y-?. y-1. go. y1 . y?. y3), on peut créer deux autres 6-uples:

(yi,.yL,.y&y;.y;. y;) et (y;,. y;. y;. y;&, y;). Si l'on part des abscisses ( - 2 . -1.0. 1.

2 . 3). le 6-uple de départ est (0.0.1.0,O. O ) o c'est la racine d e l'arbre. Deux branches

sont produites: (0. c. 1.6.0. a ) et (c . 1.6.0. a. O ) . Ce sont les deux 6-uples de la première

génération. Chacune de ces branches produira deux autres branches: à la seconde

génération. i l y aura quatre 6-uples produits. Et ainsi des suite. A la génération m.

2" 6-uples seront produits: si a cette génération. (2-2 .2-1 . ZO. 21- 22. - 3 ) est le 6-uple

d e rang i. alors Fi l /? " ) = 21.

Xous donnons deux programmes en pseudo- Pascal qui font le calcul de F ( LI 1O'L-l).

O < i 5 1024. alors que a = 1 / 1 0 . b = 2/IO.c = 3 / 1 0 . d = 4/10. L e nombre

de générations est donné par la variable m. qui est ici égale à 10. La variable

h vaut 2". la variable x désigne les valeurs possibles de la variable indépendante:

x = i h . O 5 i 5 Zm. La procédure récursive d u premier programme du nom de Sub-

diviser a besoin de i paramètres. les 6 composantes du 6-uple considéré et le nombre

de générations qui reste à parcourir. La procédure récursive d u second programme

porte le même nom. Subdiviser. mais est légèrement différente dans sa construction:

en particulier. en entrée. elle n'a besoin que de 2 paramètres. ['adresse du 6-upie con-

sidéré et le nombre de générations qui reste à parcourir. Dans le second programme.

on se sert d'une procédure de décalage appliquée à un 6-uple: la composante la plus à

gauche est ignorée. toutes les autres composantes sont déplacées d'un cran à gauche

e t une nouvelle valeur prend la place de la sixième composante.

Premier algorithme récursif pour l'interpolation dyadique à quatre poids.

Calcul de la fonction fondamentale sur ( - 3 . 31

procédure S u b d i c i s e r ( ~ ~ . 91. y*. 93. y4. y j : rée l : n : e n t i e r ) si n = O alors

x t x + h écrire( x. y3)

sinon ~ + - - a * ~ o + b * y l + c * y ~ + d * y ~ ~ 2 - a * y i + b * y 2 + c * y 3 + d * y 4 u T 3 + a * y 2 + b * y 3 + c * y 4 + d * y ~ = Su6diL. i ser(y l , cl. y2. w 2 . gs. tc3. n - 1) Subdiviser( uvl. y2. uT2. y3. w3. y+ n - 1 )

Second algorithme récursif pour l'interpolation dyadique à quatre poids

type vecteur = tableau[-'2..3] de réels

var

procédure Décaler (car c: t~ecte ur: nouveau: réel) pour i de -2 à 2 faire

[?[il + u[i + 11 ~$31 + nouveau

procédure Subdiriser(var y : vecteur: n : entier) var u7 : recteur

si n = O alors

sinon pour i de - 1 à I faire

w[2 * il t y [il 1 c [ 2 ~ i + l ] + a * r ~ [ i - l ] + b * y [ i ] + ~ * ~ [ i + I ] + d * y [ i + 2 ]

Subdic*istr(u.. n - 1 ) Décaler(u9. y 121) Subdiriser(Ic. n - i )

a + 0.4: b + 0.3: c + 0. '2: d + 0. 1 m + 10 h t - 1 pour i de 1 à m faire

h + h l 2 z+--O pour i de -1 à :3 faire

Y [il + 0 Y Pl + 1 écrire(r, y [O]) Subdiviseriy, m )

3 Algorithme récursif pour une subdivision à base b

Soit un schéma de subdivision à base b e t dont le masque est pi}^-,. La suite de

fonctions f, satisfait la relation

Yous nous fixons un entier n > O et nous nous demandons comment calculer f,

sur [O. 11. Il n'est pas immédiatement évident comment on peut calculer f, d'une

manière récursive sans se servir d e vecteurs à plusieurs composantes. Yous décrivons

une telle procédure récursive. Dans le prochain pseudo-code. nous calculons sur [O. 11

l'approximation à la génération n de la fonction fondamentale d u schéma de subdi-

vision. Dans le programme principal. la valeur de n que nous retenons est le premier

entier pour lequel l / b n est inférieur à 1/1000. Si nous désignons par rn le plus grand

entier de l'intervalle semi-ouvert [O. .V/(b - 1) ) . le calcul de 1, sur [O. l ] demande la

connaissance des vaIeurs de départ y;. -m < i 5 rn + 1. Pour cette raison. on int ro-

duit le type de variables. vecteur. qui est un tableau[de -m à m + 11 d e nombres réels.

Pour approcher la fonction fondamentale. loaffectat ion initiale du vecteur y consiste à

annuler toutes les composantes sauf que y[01 + 1. Le programme principal se termine

par un appel à la procédure récursive du nom de Subdiviser.

La procédure Subdiviser a comme paramètres d'entrée une variable y du type vecteur

et un entier n. L'entier traduit le nombre de générations qu'il faut encore parcourir.

La première fois oll la condition n = O est remplie. y [O] = f,(O) e t y[ l ] = fn( L/bn).

Lorsque la condition n = O est remplie pour la ième lois. alors r = i /bn et y [ l ] =

fn ( i /b") -

Lorsque n > O. la procédure se propose de partager l'intervalle [O. 11 en b sous-

intervalles [rlb. ( r+ l ) / b ] . r = O. 1. . . . b- 1. Regardons maintenant comment les valeurs

de contrôle d'une génération à l 'autre sont transformées. II s'agit de voir comment

on passe du vecteur y au vecteur v. Au moment de la rème subdivision. la ième

00

composante de v est rt[i] + C p,+i -b jyb] . Dans un premier temps. on montre que j-m

si O 5 r 5 b - 1. si -m 5 i 5 rn + 1 et si j $ [-m. m + 11. alors pT+; -b j = O: pour y

arriver. on se sert de l'inégalité ( b - 1 )( m + I ) > :V. (En effet. par définit ion. m est

le plus grand entier de [O. X / ( b - 1)). d'où rn + 1 2 .V/ (b - 1). De ceci \'on t ire que

r n f l

v[i] + 1 ~,+~-b~yb]. Ceci explique pourquoi la procédure. telle qu'elle est écrite. 3-m

reproduit bien le schéma de subdivision. 11 n'y a enfin aucune raison pour empêcher

l'usage de la récurrence.

Enfin. la procédure de décalage n'est là que pour éviter l'utilisation de tableaux de

plus grande taille que nécessaire.

Algorithme récursif pour un schéma de subdivision à base b

{Calcul de la fonction fondamentale sur [O. 11)

type vecteur = tableau[-m..m + 11 de réels

var y : uecteur

procédure Décaler(var t1 : aecteur: t : réel) pour i de - m à rn faire

c[i] + r[ i + I l r - [ r n + L] 6 t

procédure Subdiriser(var y : vecteur: n : entier) var

P : recteur t : reel

si n = O aIors écrire(r. y[O]) { a la première écriture seulement} x t - x + h écrire(x. y[l])

sinon pour i de -m à m + b faire

m+1

J=-m

si i < m + 1 alors ~ [ i ] + t

sinon Décaler(v. t )

si i 2 m + 1 alors

Lecture de la base b Lecture des poids. p [ i ] . z de -.Y à .V: ( Les autres poids sont nuls) m +le plus grand entier < .V/(b - 1 ) X e 0 pour i de -nz à m + I faire il + 0

Y [O] 1 n + O : h - 1 répéter

n + - n + l : h - h / b jusqu'à h c 0.001 Subdic iser(y . n )

Chapitre 4

Schémas continus de subdivision

Nous déterminons des conditions tantôt nécessaires. tantôt suffisantes pour qu'un

schéma de subdivision produise une fonction continue. Cne première condition suf-

fisante est inspirée par D y . Gregory et Levin (201 et une seconde. par Deslauriers.

Dubnir. Dubuc [17]. La première condition exige très souvent moins de calcul. cepen-

dant la seconde condition se prête mieux à une généralisation aux schémas de subdi-

vision à plusieurs variables. A travers quelques exemples de schémas de subdivision.

nous examinons ces conditions. Enfin. nous indiquons que dans le cas de schémas

invariants par translation chacune de ces conditions est également nécessaire pour la

continuité du schéma.

1 Une condition nécessaire de continuité

Sous partons d'une suite {y i}z- , , de nombres réels. Nous avons choisi la base b d u

procédé de subdivision et nous disposons d'une matrice de poids pi,. Ceci permet d e

définir une suite de fonctions { A } d'une manière récursive.

O fo est la fonction définie sur les entiers relatifs à l'aide des données {y;} :

0 Si n est un entier. fn+i est la fonction définie sur les multiples entiers d e l/bn+'

par pondération des valeurs f n ( j / b n ) suivant les poids pi,] :

%3

fn+i ( i / b n f ' ) = C pi,, fn W b n ).

Toutes les pondérations pi, admettrons la propriété suivante:

(W # I j : pi.] # 01 < S.

Proposition 1.1 .Vous supposons que si rn est un suite de nombres b-adiques telles

que bnr , est toujours entier et lim,-, x, = O. alors la suite /,(r,) converge r e m un

nombre c # O . Ceci implique que

X

Démonstration. Soit i un entier relatif. choisissons un entier ,Y > O

grand pour que p i , = O chaque fois que ( j l > Y. On a que

En faisant tendre n vers l'infini. on obtient que

L a simplification du facteur c # O d e chaque membre de la dernière équation produit

l'identité escomptée. O

Remarque 5 . On peut interpréter [a proposition précédente de la manière suivante:

le vecteur colonne dont toutes les composantes valent 1 est un vecteur propre pour la

matrice des poids: la valeur propre d e ce vecteur propre est égale à 1.

2 Exemples

Reprenons les exemples de schémas d e subdivision du second chapitre. Nous recher-

chons les conditions nécessaires pour que le procédé de subdivision produise une

fonction cont inue.

Interpolation dyadique à quatre poids

Cet te méthode d'interpolation. d i te interpolation dyadique dépend de quatre paramètres

a. b, c e t d. Soit f la fonction définie sur les entiers relatifs à l'aide des donnés

{yi}: f ( i ) = et notre désir est de prolonger cette fonction à tout l'axe réel par

l'intermédiaire de la suite de groupes G, . où C, est l'ensemble des nombres rationnels

dyadiques i / Z n avec i un entier relatif arbitraire. Si le prolongement de f a déjà été

complété sur G,. le prolongement de f à se fait selon Io formule suivante: si r

appartient à G,+I mais non à G, et si h = ?-"-'. les nombres:

appartiennent a G, et on peut poser

f ( r ) al(^ - 3 h ) +bf(r - hl +cf(r + h ) + d f ( r + 3 h ) (4.5)

Le prolongement de f se poursuit sur I'ensemble des rationnels dyadiques de la forme

il-". Les poids sont donnés comme suit:

b sr 1 = 1 . 1 s i j = i. P2i. j = et P ~ I + I . ; - c si j = z + l . O sinon

d si j = i + 2 . ( O sinon

On suppose que /O est d'abord donnée sur les entiers. Puis. nous allons supposer que

la fonction f maintenant définie sur les fractions dyadiques à l'aide de I'équat ion (4.5)

est continue à l'origine. Nous nous demandons ce que ceci implique sur les paramètres

a . 6. c et d.

Pour ce faire. nous considérons la suite de vecteurs à cinq composantes: I.;. I*;. Ci.. . .

En général.

On remarque que les vecteurs Vn sont fortement liés entre eux.

Si .4 est la matrice 5 i( 5

alors C.; = .-IL';. De façon plus générale. on a que

Or l'hypothèse de continuité de f en O entraîne que la suite des vecteurs C i converge

vers le vecteur Ci- dont toutes les composantes sont égales à f(0). 11 est maintenant

facile de voir que Ct' est un vecteur propre pour la mat rice -4. En effet lim,-, I-i = CC:

4 lim n-cc

= .4CV = CC'

Si f(0) # O. alors on saura que le vecteur

condition nécessaire que

Autre remarque. Yous supposons toujours que f est continue en O. Xous allons

indiquer une autre condition nécessaire satisfaite par la matrice -4. La relation =

.-IV, pour tout n permet de dire que Ck = rlnVo. Quel que soit le vecteur de départ

Co. la fonction d'interpolation f associée à Lb est continue en O: la suite de vecteurs

.-ln l.; est toujours convergente. En prenant respectivement comme vecteur de départ

on montre que la suite de matrices An I = -4" est une suite convergente dont la limite

est la matrice

B =

' 0 0 1 0 0 O 0 1 0 0 0 0 1 0 0 O O L O O

\ o o r o o

Ceci a pour conséquence que 1 est une valeur propre simple de .4 avec CC- comme

vecteur propre et que toutes les autres valeurs propres de -4 sont dans le disque unité

du plan complexe. (cf. Varga [16] pour une démonstration de ce fait ). Ceci est

une seconde condition nécessaire pour qu'il existe a u moins une fonction continue

d'interpolation qui ne soit pas ident iquernent nulle.

Dun. Levin et Gregory (201 ont prêté attention au cas symétrique a = d et b = c. Si

l'on tient compte aussi de la condition nécessaire a + b+c+d = 1. ies poids dépendent

alors d'un seul paramètre w : a = d = -cc. b = c = 1/2 + w .

La fonction d9Hellinger

L a base b vaut 2 et les poids sont:

la matrice des poids d'ordre 3 s'écrit

L a fonction d'HelIinger est continue et la relation (4.4) de la proposition 1.1 est bien

vérifiée. La somme des éléments de chacune des lignes de -4 donne 1. Le vecteur

(9 est un vecteur propre pour -4 selon la valeur propre L.

La courbe de von Koch

La base vaut 4 et si {il. 32. z 3 ) des nombres complexes. la courbe de von Koch fait

appel aux poids: si r = O. 1. . . .:3.

L a mat rice des poids est:

si j = i + l sinon

L a courbe de von Koch est continue. La somme des élements de chacune des lignes

de la matrice donne 1 et la condition (4.4) sur les poids est satisfaite.

3 Une première condition suffisante de continuité

On considère tin schéma de subdivision de base b et dont la matrice des poids est piVJ.

pour des données initiales y;. on pose fo(i) = y; on définit la suite de fonctions f, par

la récurrence ( 1.2).

Définition 6 Le schéma est continu si pour toute sui te convergente rn de nombres

b-adiques tels que bnxn est toujours entier. alors la su i te de nombres f, ( r , ) converge.

II faut que cet te convergence se réalise pour chaque choix de données initiales. On

vérifie assez facilement que si x, et x: sont deux suites de nombres 6-adiques con-

vergeant vers la même valeur x et telles que bnx, et bnxn sont toujours entiers. alors

les deux suites f n ( x n ) e t fn(xk) convergent vers la même valeur: ce qui permet de

poser f ( x ) = limn-., f n ( x n ) = lim,-, fn(r',). Dans un schéma continu. on obtient

donc une fonction limite f définie sur tout l'axe réel: dans une telle situation. la

fonction f est continue.

Nous recherchons des conditions sur les poids pi, pour que le schéma d e subdivision

soit continu. X ce t te fin. nous introduisons une série de quantités:

\a matrice

et le coefficient

Lemme 1 Supposons que

(Yi) C pi, = 1-

Démonstration. Démontrons l'inégalité suivante

l n + l 5 I C - ~ ~ V n

Partons d'une valeur déterminée de n. Introduisons 4 vecteurs colonnes -Y. k: V. CF

dont les composantes sont respect ivement

Un calcul relativement simple fait voir que la matrice Q = qi, envoie le vecteur Z-- sur

le vecteur Ct: En effet. si i est donnée. on peut trouver un entier .V tel que pi,, = O et

pi+,, = O si Ijl > .V. On a que

Puisque

on obtient q u e

De la même façon. on a que

Théorème 2 Soit un schéma de subdicision de base 6. de matrice de poids pi,, et de

données de départ yi. On suppose que les conditions suivantes sont remplies:

(3 rV) ( b j - il > .V * pi, = 0:

K < 1 où K est définie par (4.7) e t (4.S).

.4/ors le schéma est continu.

Démonstration. Xous adaptons la démonstration du lemme 3.1 de Dyn-Gregory-

Levin [?O]. Le schéma d e subdivision produit une suite de fonctions f, selon la

formule ( 1.2). f, n'est d'abord définie que sur les multiples entiers de l /bn. Entre

deux mu1 t iples entiers consécutifs. on peut prolonger f,, par interpolation linéaire:

fn devient donc définie sur tout I'ase réel. Avant d'aller plus loin. ajoutons une

hypothèse supplémentaire: les accroissements y,+! - y, sont bornés.

Recherchons une majoration de

Or chaque terme dans la somme du membre de droite ne peut pas dépasser B.V&

si 1, est défini selon -1.6. D'oh .\In ne peut pas dépasser B.V('L.V + 1 )ln. D'autre

part. le lemme 1 indique que 1, 5 K"&: l'hypothèse supplémentaire affirme que A.

est un nombre fini: la série .CI, est donc convergente. puisque K < 1. Par le

critère 51 de Weierstrass. la suite fn est uniformément convergente. La limite / de

cette suite est nécessairement continue. et le schéma est lui-même continu.

Maintenant. mettons de côté l'hypothèse que la suite y;+, - y; est bornée. Pour y

arriver. nous avons besoin du prochain lemme.

Lemme 3 Soit un schéma de subdivision de base b. de matrice de poids p,, e t de

données de départ Y i . on admet ZTeristence d'un nombre .V pour lequel

Considérons u n entier L > O. alors les caleurs prises par chacune d e s fonctions fn

s u r [ -L . LI . ne d ipendent aucunement des caleurs y, lorsque Ijl > L + .\-/(b - 1).

Démonstration. Soit n > 0. considérons un entier j > L + .Y / (b - 1 ). demandons-

nous pour quel entier i. la valeur y , peut avoir une influence sur fn( i/ bn). Or on sait

que la quantité f n ( i/bn ) est la somme des termes de la forme

. . où io = I . c n = j. Pour que yj ait une influence sur fn(i/bn). i l faut que pi,-, +,, #

O. k = 1.2.. . . . n: si bien que it-i 2 bik - .V. b = 1.2.. . . . n et l'on obtiendra que

i 2 jbn - .V - .Vb - .. . - .Vbn-'. S i f , ( i / b n ) est influencé par y,. o n a donc que

i / b n 2 j - ( 1 - 6-").\:/(b - 1) > L. C'est ce qu'il fallait vérifier. O

Revenons a la démonstration d u théorème 2. Soit L > O. on veut démontrer que la

suite f,(x) converge uniformément sur [- L. LI. Posons y, = O si Ijl > L + .V/(b - 1).

D'après le lemme 3. ce changement n'affecte aucunement les valeurs de f,, sur [- L . LI.

D'autre part. les accroissements des Yi modifiés sont bornés: on peut se servir de la

première partie de la démonstration et en conclure la convergence uniforme de la sui te

f n sui [ - L . LI- O

il est possible d'étendre la portée du théorème 2. Pour ce faire. on désigne par P la

matrice pi , j . par p z les éléments de la matrice Pm alors que m > O est un entier. On

pose

afin de déterminer le coefficient

Théorème 4 Soit un schéma de subdivision de base b. de matrice de poids pi, e t de

données de départ y,. On suppose que les conditions suicantes sont remplies:

( Y i ) C P i j = 1:

0 ( 3 m > O ) K,.,, < 1 OU K , est définiepar(-L.II) e t (4.12).

.-Ilors le schéma est continu.

Démonstration. Le schéma de subdivision de base 6 . de matrice de poids p i , et de

données de départ y* engendre la suite de fonctions f,. Si rn est un entier > O. le

schéma de subdivision de base 6". de matrice de poids p c et de données de départ

y; engendre la suite de focctions fo. f m . jzm. - . . . NOUS appliquerons le théorème 2

à ce second schéma de subdivision. b'érifions que dans ce cas. les hypothèses de ce

t héorèrne sont satisfaites.

a En effet. si C' est le vecteur dont toutes les composantes valent 1. par hypothèse

PL,- = \,': d'où Pm I/' =

0 On sait que si 16j - il > .V. alors p i , = O. Soient i et j deux entiers pour

lesquels pi,, # O. Il existe donc une suite de m + L entiers io. il.. . . . i, tels que . .

io = l . = j e t pik- , , lk # O . P = 1.2.. .. .m. Ceci montre que lbik - ik-ll < .V. k = 1.2.. . . . m et de là que l b m j - il < .V(bm - l ) / ( b - 1).

On sait que (Vi)(Vj) l p i , j l 5 B. p; est une somme de termes. chaque terme ne

dépasse pas Bm en valeur absolue et le nombre de ces termes différents de O ne

dépasse pas ( T V + I ) m - l . c'est le nombre de choix dïndices il. i2. . . . . i,-l tels

que [hi. - ic-11 5 .Y. k = 1.2.. . . . rn - 1. alors que io = i et im = j. On a donc

montrz que ( p r , ( 5 Bm(ZN + l )m-l .

a L'hypothèse K, < 1 est précisément la dernière hypothèse du théorème 2 à

rencontrer.

Par le théorème 2. sur tout intervalle [- L. LI. la suite de fonctions fnm. n = 0.1.2. . . . convergent uniformément vers une fonction f . Soit r un entier compris entre O et m - 1.

soit i un entier. alors

Supposons que le nombre i/bnm+' est voisin de r à c près. Cherchons le lien entre s

et j si p:, # O. Dans un tel cas. i l existe une suite d'indices i l . i2.. . . . i,-l tels que

- lbik - 5 Zi. k = 1.2.. . . . r - 1. alors que io = i et i, = j . D'où Ibrj - il 5 .Yr -

-V(b' - l ) / ( b - 1 ) et I j /bnm - i/bnmtrl 4 .V,/bnm+'. L'écart du nombre j / b n m à r

ne dépasse pas c + Yr/bnm+' et le nombre f n m ( j / b n m ) sera voisin de /(r) d'autant

plus que n sera grand. D'autre part. la somme sur j des tous les poids (non nuls)

pLj est égale à 1. On a donc montré que fnm+,(i/bnm+') est voisin de f (x) . La suite

de fonctions f,, convergent uniformément sur [- L. LI vers la fonction f . Le premier

schéma de subdivision est continu. O

4 Une seconde condition suffisante de continuité

Deslauriers-Dubois-Dubuc [1 71 ont déterminé des conditions suffisantes de continuité

dans le cas d'interpolation itérative à plusieurs variables. Ce que nous nous pro-

posons de faire dans cette section est de transposer ces conditions dans le contexte

des opérateurs de subdivision à une variable.

Si h est un nombre positif. si f , ( x ) est la suite de fonctions produites par le schéma

de subdivision de base b et de poids pi , j . alors nous posons

d n ( h ) = S U P { ~ f n ( i / b n ) - fn( i ' /bn) l : li - i'l 5 h } . (4 .14)

Lemme 5 On suppose que Ibj - il > -V pi, = O. Si ( V i ) x;C=-, p i , = 1 et si

h 2 2 N / ( b - 1). alors w n ( h ) 5 [C(h) /9 ]* i io (h) .

Démonstration. Démont rom l'inégalité suivante

dn+i < [C(h)/.)ILc;, V n .

Partons d'une valeur déterminée de n. Considérons deux entiers i et if tels que li - i f l 5

h . Désignons par J la collection d'entiers {j : ( b j - il 5 .V}. Si 1 est hors de .J. alors

pivj = O. D'où

De même. si J' = { j : Ibj - i f 1 5 -V}. alors

Si nous posons .II = max{ f ( j / b n ) : j E J u J f } . m = min{ f ( j / b n ) : j E J U J f } et

c = ( J I + m)/2 . alors nous obtenons que

puisque l'hypothèse ('di) XE-,, pisj = 1 entraîne que XIE JU J t ( p i , j - )c = O - D'où

Un calcul simple fait valoir que le diamètre de J u J' ne dépasse pas (2.1- + h ) /b . ce

qui est majoré par h. De ce fait. on obtient I'inégalité .CI - rn 5 &,(h) de sorte que

et enfin que dn+i ( h ) 5 [C(h)/ 'L]s,(h). La conclusion se vérifie ensuite par récurrence.

O

Théorème 6 Soit u n schéma de subdivision de base b. de matrice de poids pi, et de

données d e départ y,. On suppose que les conditions suicantes sont remplies:

-4lor.s le schéma est continu.

Démonstration. Nous reprenons en bonne partie la démonstration du théorème 2.

Le schéma de subdivision produit une suite de fonctions f , selon la formule ( 1.2). fn

n'est d'abord définie que sur les multiples entiers d e 1 /bn. Entre deux multiples entiers

consécutifs. on peut prolonger In par ifiterpolation linéaire: fn devient donc définie

sur tout l'axe réel. Avant d'aller plus loin. ajoutons une hypothèse supplémentaire:

la quantité d o ( h 1 est finie.

Recherchons une majoration de

Or chaque terme dans la somme du membre de droite ne peut pas dépasser B.Vs,(h)

si d n ( h ) est défini selon 4.14. D'oÙ .IIn ne peut pas dépasser B-Y(2.V + l )~ . , . D'autre

part. le lemme 5 indique que rc.,(h) 5 [C(h) / 'L]"d0(h): I'hypoihèse supplémentaire

affirme que a 0 ( h ) est un nombre fini; Io série En=, .CIn est donc convergente. puisque

C ( h ) < 2. Par le critère M de Weierstrass, la suite jn est uniformément convergente.

La limite f de cette suite est nécessairement continue' et le schéma est lui-même

continu.

Maintenant. mettons de côté l'hypothèse que d 0 ( h ) est fini. Soit L > O. on veut

démontrer que la suite f,(s) converge uniformément sur [- L. LI. Posons y, = O si

I j / > L + -V/(b - 1 ). D'après le lemme 13. ce changement n'affecte aucunement les

valeurs de f, sur [- L. LI. D'autre part. la quantité d o ( h ) calculée à partir des y,

modifiés est finie: on peut se servir de la première partie de la démonstration et en

conclure la convergence uniforme de la suite f, sur [- L. LI. O

11 est possible d'étendre la ~ o r t é e d u théorème 6. Pour ce faire. on désigne par P la

matrice p,,. par prJ les éléments de la matrice Pm alors que m > O est un entier. On

pose

-\A = max(l6j - il : pr' # O}. (4.17)

Théorème 7 Soit un schéma de subdiciszon de base 6. de matn 'ce de poids pi., e t de

donnée3 de départ y,. O n suppose que les condit ions suica n tes s o n t remplies:

(Yi) pi, = 1:

(3.V) Ib j - il > .V pi,, = O:

( 3 B ) ( V i ) ( v ] ) Ipi.Jl 5 B:

(h >O)C,(h) < 2 où h = max(2.V,,,/(bm - 1). 1) et C,(h) est dgjinie par (4.16).

.-Ifors le sche'ma est cont inu .

Démonstration. 11 suffit de reprendre la démonstration du théorème 4 et de n'y

changer que quelques mots ( K , est remplacé par C,(h)) . Le schéma de subdivision

de base 6. de matrice de poids p i , e t de données de départ yi engendre la suite de

fonctions f,. Si m est un entier > 1. le schéma de subdivision de base bm. de matrice

de poids p: et de données de départ Yi engendre la suite de fonctions fo. f,. f2,. . . . .

Xous appliquerons le théorème 2 à ce second schéma de subdivision. Vérifions que

dans ce cas. les hypothèses de ce théorème sont satisfaites.

En effet. si V est le vecteur dont toutes les composantes valent 1. par hypothèse

Pb- = I/'; dgoù PmI/' = V.

On sait que si Ibj - il > -V. alors pi,, = O. Soient i et j deux entiers pour

lesquels pi, # O. II existe donc une suite de rn + 1 entiers io. il. . . . . i, tels que . .

io = l . l m = j e t # O. k = 1.2.. . . .m. Ceci montre que Ibik - ik-1l 5

-\.. k = 1.2.. . . . rn et de là que lbmj - il 5 .V(bm - l ) / ( b - 1 ) .

On sait que (Vi)(Vj)lp;,,I 5 B. p c est une somme de termes. chaque terme ne

dépasse pas Bm en valeur absolue et le nombre de ces termes différents de O ne

dépasse pas (?Y + l)"-' . c'est le nombre de choix d'indices i l . i2.. . . . im-1 tels

que lbik - ik-ll 4 .V. k = 1.2.. . . .m - 1. alors que io = i et i , = j. On a donc

montré que Jpr , 1 5 Bm(2.V + l ) m - l .

L'hypothèse Cm < 2 est précisément la dernière hypothèse du théorème 6 à

rencontrer.

Par Le théorème 6. sur tout intervalle [- L. LI. la suite d e fonctions fnm. n = O. 1.2.. . .

convergent uniformément vers une fonction /. Soit r un entier compris entre O et rn - 1.

soit i un entier. alors

Supposons que le nombre i/bnm+' est voisin de s à 6 près. Cherchons le lien entre x

et j si p:, # O. Dans un tel cas. il existe une suite d'indices i l . il.. . . . ir- , tels que

lbii-ic-ll 5 .V.k = 1.2 .... .r - 1. alors que i0 = i et i , = j. D'où (b'j - il 5 .Vr =

9(6' - l ) / ( b - 1 ) et Ij/bnm - i/bnm+'l 5 .V,/bnmfr. L'écart du nombre j / b n m à r

ne dépasse pas c + .V,/bnm+' et le nombre f,,(j/bnm ) sera voisin de f ( x ) d'autant

plus que n sera grand. D'autre part. la somme sur j des tous les poids (non nuls)

p l , est égale à 1. On a donc montré que f,,+, (i/bnm+' ) est voisin de f (x). La suite

de fonctions f, convergent uniformément sur [-L. L] vers la fonction f . Le premier

schéma de subdivision est continu.

5 Exemples de schémas continus

Nous allons tenter d'illustrer par quelques exemples les conditions suffisantes pour la

continuité.

La courbe de Hellinger

La matrice des poids est donnée en fonction d'un paramètre p qui est compris entre

O et 1:

si nous faisons appel a u théorème 2 avec sa notation. b = 2. les donnés de départ

sont y, = O. y1 = 1. L'évaluation du paramètre h- selon les formules (4.7) e t (4.8)

vaut le maximum des valeurs p e t 1 - p. Tentons d'illust rer par le même exemple la

deuxième condition suffisante de continuité. Ici h = 2 . le paramètre C ( h ) vaut lui

aussi le maximum des valeurs p e t 1 - p.

Courbe généralisée de von Koch

Si b est un entier supérieur à un et si {zI. -2.. . . . Z&l} est une succession d e b - 1

nombres complexes, la courbe généralisée de von Koch fait appel aux poids complexes

p i , . S i r = 0 . 1 .... 6 - 1 .

1 - z , si j = i

- i I)bi+r . j - 2, si j = i + l O sinon

Regardons ce que donnent les conditions suffisantes dans ce cas. Nous posons zo = O

et zb = 1. Le nombre h- est le maximum des modules

La condition suffisante d e continuité est d'exiger que chacun des segments générateurs

de la courbe soit de longueur I Z , + ~ - zrI inférieure à 1. D'autre part. il est possible

d e vérifier que pour une courbe généralisée de von Koch donnée. la suite des nombres

tcn est une progression géométrique: rc, = nn. Dans le cas d'une courbe de von Koch.

la condition suffisante d e continuité est aussi nécessaire.

Schéma d'interpolation dyadique à quatre poids.

Comme exemple. nous choisissons un schéma d'interpolation dyadique à quatre poids.

Les valeurs des poids sont comme suit:

( O sinon

Xous supposons que la condition nécessaire de continuité est satisfaite: a+b+c+d = 1.

Si on évalue le paramètre n: donné par les formules (4.7) et (4.S). on obtient que

K = la1 + !dl + rnax(la + b( . ( c + dl) .

Si on choisit comme valeurs particulières de ( a . b. c. d ) respectivement:

alors les paramètres respectifs K sont: 5/8.9/10 et 6/5. L a continuité des courbes en-

gendrées par les deux premiers exemples est justifiée par le théorème '2. Pour justifier

la continuité de la troisième courbe. i l faut calculer le paramètre correspondant de la

seconde génération r;z qui lui vaut 0.84 et faire appel au théorème 1.

Maintenant. nous allons tenter d'illustrer par le même exemple la deuxième condition

suffisante de continuité. Ici h = 6. les paramètres respectifs C'(h) sont: 5 / 2 . 161.5

et 2. A la génération suivante. la quantité h vaut encore 6 et les paramètres C z ( h )

sont respectivement: 2.40 . 3.06 et 2. Pour justifier la continuité. il faut se rendre au

moins à la troisième génération où les valeurs de C3(h) sont 1.75 . 2.22 et 1.754. La

continuité pour le premier et le troisième exemple est alors justifiée par le théorème - i . Pour la justification de la continuité du deuxième exemple. il faut calculer le

paramètre C4( h ) de la quatrième génération qui lui vaut 1.37.

Attardons-nous maintenant au cas suivant:

les quatre poids a? 6. c. d sont déterminés par le paramètre de tension uT. C'est un cas

d'abord étudié par Dyn-Levin-Gregory [19]. L e paramètre h: vaut 112 + 21~1. Ce pro-

cessus d'interpolation produit donc des fonctions continues si lzol < 1/4 (Théorème

2): ceci est précisément le Théorème 3.2 d e [19]. Dyn. Gregory et Levin [-O] ont

agrandi les valeurs d e cc pour lesquelles le processus d'interpolation est continu:

-318 < u? < (J(17) - 1)/1. Finalement. dans son article de synthèse [Z]. Dun

affirme que les valeurs exactes pour lesquelles le processus dïnterpolation est continu

sont JulI < 1/2.

Une question qui demeure est de spécifier toutes les valeurs complexes d e w pour

lesquelles le processus d'interpolation correspondant est c ~ n t i n u .

La coupe des coins de de Rham ou 'corners cutting'

Dans cet t e méthode de subdivision binaire. les poids sont donnés par:

r si j = i . 1 - s si j = i . 1 - r si j = i + 1. et pzi+i,, = 3 si j = i + l .

O sinon O sinon

Les paramètres r et s sont strictement positifs e t vérifient la relation r + s > 1. On

obtient selon les formules (4.7) et (-1.S) h- = rnax{r + s - I. II - rl + 11 - SI}. En particulier si r = S. d'après le théorème 2 le procédé de la coupe des coins est continu

pour les valeurs de r dans ( 1 / 2 1 ).

6 Conditions nécessaires et suffisantes de conti- nuité

Soit un schéma de subdivision à base b dont le masque est ai . La suite jondarnentale

d'un schéma de subdivision est la suite de fonctions F, telles que

Fo est la fonction définie sur les entiers relatifs à l'aide de la suite de Kronecker:

Fo(i) = bi,o. (4.18)

0 Si n est un entier. Fn+l est la fonction définie sur les multiples entiers de 1,/bn+'

d'une manière récursive:

Définition 7 On définit la jonction fondamentale d'un schéma de subdivision invari-

an t par translation comme étant la limite de la suite F,.

Dans cette section. nous déterminons une condition nécessaire e t suffisante pour qu'un

schéma de subdivision soit continu-

Xous revenons au paramètre K et nous l'interprétons en relation avec la fonction

fondamentale F. Nous invitons à considérer la fonction des poids cumulés:

Gn(i/bn) = F,(i/bn - j ) .

Cne autre façon d'exprimer r; est

Xous introduisons maintenant une suite ti,. n = 1.1.. . .

11 saute aux yeux que R I = K .

Lorsqu'un schéma de subdivision est invariant par translation. les conditions suf-

fisantes de continuité données par les théorèmes -I et T deviennent également des

condit ions nécessaires.

Théorème 8 Soit un schéma de subdiz~ision d e base 6. dont la matrice dt poids pi.,

satisjait la condition (4 .3 ) . On suppose que le schéma est inryan'ant par translation e t

continu. .-ilors les conditions suivantes sont remplies:

(372 > O) r;, < 1 où r;, est définie par (4.1 1 ) et (4.12):

(372 > O) C,(h) < 2 ou h = rnax(Z:Vn/(bn - 1). 1) . iV, est donnée par (4.17)

Démonstration.

Sous supposons que le schéma est continu. La propriété ( V i ) Cz-, , pi, = 1 est

exactement la conclusion de la proposition 1.1. D'après le lemme 5 du chapitre 1

pi., = ai-b,. Posons .V = max{lil : ai f O}. Si Ibj - il > -V alors piqj = O . Maintenant

comme les poids pisj admet tent la propriété ( Y i ) #{ j : pi, # O} < x alors si B est

le maximum des valeurs absolues des éléments du masque c.a.d que B = rnax{la, 1 ) .

on aura que ( V i ) ( V j j) Ipi, 1 5 B.

Montrons que (3+, < 1. Dégageons d'abord quelques propriétés de la fonction

G W -

G est la limite de la suite de fonctions du schéma de subdivision G, selon les données

de départ:

G o ( i ) = O si i < O et Go(i) = 1 si i 2 0:

pour s'en convaincre. i l suffit de consulter la formule 1.14 d u chapitre 1. Par hy-

pothèse. G est continu.

D'après le lemme 5 du chapitre 1. i l existe un nombre .l' tel que F(x) = O si 1x1 > -\;.

D'où si x < -.Y. alors G ( r ) = O. D'autre part. on sait que les identités

entraîne que

D 'où

G(x) = 1 - C F ( r + j ) .

Si x > .V. alors G ( x ) = 1.

On peut donc prétendre que la fonction G est continue. On peut donc trouver un

nombre 6 tel que si 1.r - s'l < 6. alors

Maintenant. considérons un entier n tel que l/bn < 6. Chacun des nombres

est donc inférieur à I/(?.V + 1 j. D'où K , < 1. Ce qui établit la propriété cherchée.

Finalement. il nous reste à montrer la dernière condit ion du t héorèrne. Sous revenons

a u paramètre Cn(h) et nous \'interprétons cette fois-ci en relation avec la suite fon-

damentale. D'abord. nous donnons la propriété qui relie la matrice de poids Pn et la

suite fondamentale F,. voir Deslauriers-Dubuc [1.5].

Théorème 9 Dans un schéma de subdivision incariant par translation. on a que

p:, = Fn(i/bn - j).

Démonstration. En effet. procédons par induction sur n. Soit -4 = pi,,- Si .-In+' =

on se sert de la relation .-ln+' = .4.4".

Et par l'équation (1.15). p;T1 = Fn+l(i,/bn+l - j ) . O

-4insi nous posons:

et nous reprenons la même preuve que pour le paramètre K, < 1. C e qui met fin à La

preuveduthéorème. O

l'aide d'un approche matriciel. Micchelli [35] a presenté une autre méthode pour la

condition nécessaire et suffisante de continuité des schémas de subdivision binaire ( 6 =

2) . Cet approche considère les transformations matricielles des points de contrôles

qui définissent les schémas de subdivision.

Conclusion

Les schémas d e subdivision forment un outil puissant pour créer toute sorte de

fonctions: c'est ainsi que l'on peut obtenir aussi bien des courbes irrégulières comme

les fractales que des fonctions régulières comme les splines. Xous avons élargi la

classe de ces schémas. Pour cette classe élargie. nous avons trouvé deux conditions

qui permettent d e vérifier la continuité d'un schéma de subdivision à une variable. La

première condition exige très souvent moins de calculs. cependant la seconde condition

se prête mieux à une généralisation aux schémas d e subdivision à plusieurs variables.

Ce nouveau modèle permet certaines constructions géométriques qui sont absentes

dans le cas des schémas de subdivision binaires. C n e telle illustration est fournie par

l'interpolat ion dyadique d'Hermite proposée par Merrien (3-41 ( professeur à 1'1 ?ïS A de

Rennes ). Xous posons ici deux questions. Peut -on trouver des conditions nécessaires

et suffisantes pour que la fonction limite produite par un schéma de subdivision soit

une fonction dérivable'? Quel est le degré de régularité des fonctions produites par un

schéma donné'? La réponse à ces questions pourrait fort bien dépendre des travaux

de Cohen et de ses collaborateurs sur les ondelettes. nous pensons particulièrement

au travail de Cohen. Daubechies et de Ron [IO]. Effectivement. i l y a un lien serré

entre les opérateurs d e subdivision e t la théorie des ondelettes. mais ceci est une autre

histoire.

Notons que. tout le long de ce travail. les résultats ont été démontrés à l'aide des

preuves directes qui ne font pas appel à la transformée de Fourier. Par ailleurs Dubuc-

Deslauriers [ l4] et Deslauriers-Dubois-Dubuc (1 i l ont t rai té d e celle-ci pour l'étude de

la convergence de la distribution de Schwartz associée à l'interpolante fondamentale.

D'autres auteurs comme Daubechies [S. 9. 111. Dun [02] se sont servi de la transformée

de Fourier afin d'analyser la régularité de la fonction d'échelle.

Sous terminons en exposant une version à plusieurs variables des opérateurs de

subdivision que nous avons analysés dans cette thèse. Nous indiquons qu'une version à

plusieurs variables des schémas d'interpolation itérative est présentés dans l'excellent

article de Deslauriers. Dubois et Dubuc (171.

Nous proposons de définir une fonction f sur I'espace euclidien md à l'aide de

valeurs de contrôle uniformément réparties. Pour ce faire. nous supposons que nous

disposons d'un sous-groupe discret fermé G' de @ Z d . Rd est engendré par G. Les

valeurs de contrôle seront les nombres y, où l'indice i parcourt le sous-groupe G.

Nous proposons de raffiner les valeurs de contrôle à l'aide d e deus instruments:

une matrice de poids pi, dont les indices i et j varient dans G:

un opérateur linéaire T : OPd -+ Rd.

Ce que l'on suppose sur T e t pi , . c'est que (Vi) # { j : pi,, # O } < x e t T ( G ) > G.

Tout ceci permet de définir une suite d e fonctions {fn} d'une rnaniére récursive.

fo est la fonction définie sur le sous-groupe G' à l'aide des valeurs de contrôle

{ Y * }

Si n est un entier. fn+l est la fonction définie sur le sous-groupe T'+'(Ci) par

pondération des valeurs de f, par les poids pi,] :

L a suite f, de fonctions obtenue à l'aide de la formule ( 2 ) représentera le schéma de

subdiuîûion à d variables d'après la pondération pivJ et l'opérateur d e raffinement T

sur le groupe G et à partir des valeurs de cont rde y,. Enfin. la fonction f est alors

la limite de la suite des fonctions f , . Pour que cette limite existe. il ne faut pas que

les poids pi, soient arbitraires. De plus. pour que f puisse se définir par continuité à

tout Rd. i l faudra supposer que U ï Tn (G) est dense dans Rd.

L e choix le plus fréquent pour le sous-groupe G dans Rd est G = Z? L'exemple

dominant pour l'opérateur T de raffinement dans Rd est T z = x / 2 . En se limitant à

la dimension d = 2. nous pouvons obtenir une foule de surfaces en faisant varier G.

T et Pi,] -

Appendice A

Liste des programmes en langage POSTSCRIPT

Dans cette appendice nous rassemblons les programmes ayant servi aux tracés des figures du chapitre deux. Ces programmes. sont conçus d'une façon récursive. Le langage Postscript permet à une procédure de s'appeler elle-même.

Tracé de la courbe de Hellinger en POSTSCRIPT % ! PS-Adobe-2.0 %./.BoundingBox: 220 180 490 450

/p 1 3 div def

/q 1 p sub def /dim 360 def

/fin {pop h exch rlineto) def

/Hellinger

% Procédure recursive utilisant deux arguments, % la profondeur de la récurrence et incrément de l'ordonnée

{exch dup O eq

(fin) {l sub exch 2 copy p mu1 Hellinger

q mu1 Hellinger) if else

3 def 160 100 translate

% Tracé des trois premieres approximations polygonales % de la fonction de Hellinger

/h dim 2 div def newpath O O moveto 1 dim Hellinger

s t r o k e

/h dim 4 d iv def newpath O O moveto 2 dim Hel l inger s t r o k e /h dim 8 d iv def nevpath O O moveto 3 dim Hel l inger s t r o k e

% Tracé de la fonction de Hel l inger

/h dim 1024 div def newpath O O moveto 10 dim Hel l inger s t r o k e / f i n (pop h exch rmoveto cur ren tpoin t p a v e [3 31 O setdash 0.5 se t l inewid th newpat h

2 COPY pop O moveto

2 COPY l i n e t o 2 COPY exch pop O exch l i n e t o s t r o k e g r e s t o r e gsave newpath 2 O 360 arc gsave 1 se tg ray f i l 1 g r e s t o r e stroke g r e s t o r e

) def

% Tracé des v e r t i c a l e s et des horizontales a t t a c h é e s % la t rois ihme approximation

/h dim 8 d iv def newpath O O moveto 3 d i m Hel l inger

% Paramhtres: (x l . yl) et (x2. y%)

/f l e c h e {cur ren tpo in t s t r o k e gsave t r a n s l a t e newpath moveto O O l i n e t o r l i n e t o s t r o k e g r e s t o r e ) def

% Tracé de 1' axe des x

newpath O O moveto dim 1.125 mu1 O l i n e t o -8 2 -8 -2 f l e c h e

X É c r i t u r e de s p r inc ipaux a b s c i s s e s

/Times-Roman f i nd fon t 14 s c a l e f o n t s e t f o n t -8 -12 moveto h O rmoveto cu r r en tpo in t (1/8) show moveto h O rmoveto cu r r en tpo in t (1/4) show moveto

h O rmoveto cu r r en tpo in t (3/8) show moveto h O rmoveto cur ren tpo in t (1/2) show moveto

h O rmoveto cu r r en tpo in t (5/8) show moveto

h O rmoveto cur ren tpo in t (3/4) show moveto h O rmoveto cu r r en tpo in t (7/8) show moveto

h O rmoveto cu r r en tpo in t ( 1) show moveto

/T imes- I ta l i c f i nd fon t 14 s c a l e f o n t s e t f o n t h 2 d i v 18 rmoveto ( x) show

% Tracé d e l ' a x e des y

newpath O O moveto O dim 1.1 mu1 l i n e t o 2 -8 -2 -8 f l e c h e 8 dim 12 add moveto (F(x)) show

% É c r i t u r e d e s accroissements de s ordonnées

/ecrire (/y0 y def mu1 mu1 dim mu1 y add

/y exch def -24 y0 y add 2 d i v moveto show ) def

/y -3 def

% Écr i t u r e l e long de 3 v e r t i c a l e s

dim 2 div dim p mu1 2 d i v moveto 2 -2 rmoveto (p l show dim 4 div dim p p mu1 mu1 2 d i v noveto 2 -4 rmoveto (pl show /Times-~ornan f i n d f o n t 12 s c a l e f o n t s e t f o n t O 5 rmoveto (2) show /Times-Roman f i n d f o n t 14 s c a l e f o n t s e t f o n t dirn dim 2 d i v moveto 2 -2 rmoveto (1) show

Tracé de la courbe de l'escalier du diable en POSTSCFUPT % ! PS-Adobe-2.0 %%BoundingBox: 20 00 420 400

/ d i a b l e % dx x dy

{dup 8 g ( 3 copy .5 mu1 3 1 r o l l exch -333333 mu1 exch 3 -1 r o l l d i a b l e .5 mu1 3 1 r o l l exch -333333 mu1 dup 3 1 r o l l 2 mu1 add 3 -1 r o l l d i a b l e )

{exch cur ren tpo in t exch pop l i n e t o r l i n e t o ) i f e l s e

def 72 252 translate newpath O O moveto 432 O 432 d i a b l e O -432 r l i n e t o c losepa th f i l 1

/Helvet ica f i n d f o n t 18 s c a l e f o n t s e t f o n t 144 486 moveto

Tracé de la courbe de Kiesswetter en POSTSCFUPT % ! PS-Adobe-2.0 %%BoundingBox: O O 216 432

% 3 pouces de l a r g e , 6 pouces de haut

{pop h exch r i i n e t o )

(1 sub

2 COPY exch - 5 mu1 exch Kiesswet te r 2 COPY exch -5 mu1 exch Kiesswet te r 2 COPY exch .5 mu1 exch Kiesswet te r exch .5 mu1 exch Kiesswet ter ) i f else ) def 180 400 t r a n s l a t e /h 216 4096 d i v def newpath O O moveto 216 6 Kiesswet ter s t r o k e newpath -14 230 moveto O -464 r l i n e t o 244 O r l i n e t o O 464 r l i n e t o -244 O rlineto c l o s e p a t h s t r o k e /Times-Roman f i n d f o n t 12 s c a l e f o n t s e t f o n t / y 212 def %212

/1 212 def /str 4 s t r i n g def

/i exch def i newpath

54 mu1 /x exch def x -234 moveto O 6 r l i n e t o -6 -24 rmoveto i 0 .25 mu1 s t r c v s show s t r o k e 1 def /hor € /i exch def i newpath

4 54 mu1 mu1 /y exch def -14 y moveto 6 O r l i n e t o -20 -4 rmoveto i str cvs show st r o k e > def O 1 4 ( v e r t ) f o r -1 1 1 { h o r ) f o r showpage

Tracé de la courbe de von Koch en POSTSCFUPT % ! PS-Adobe-2.0 / x l 1 3 d i v de f /y1 O def /x2 1 6 d i v def /y2 3 sqrt 6 d i v def /x3 1 6 d i v def /y3 y2 neg def

/x4 1 3 d i v def /y4 O def

/pouce {72 mul) def

/vonkoch %dx dy p

Cl sub /p exch def /dy exch def /dx exch def p O lt {dx dy r l i n e t o )

Cx4 dx mu1 y4 dy mu1 sub y4 dx mu1 x4 dy mu1 add p x3 dx mu1 y3 dy mu1 sub y3 dx mu1 x3 dy mu1 add p x2 dx mu1 y 2 dy mu1 sub y2 dx mu1 x2 dy mu1 add p x l dx mu1 y1 dy mul sub y1 dx mu1 x i dy mu1 add p vonkoch vonkoch vonkoch vonkoch) i f else )def / t i t r e (/Times-Roman f indf ont 12 s c a l e f o n t setf o n t -2 pouce -1 pouce moveto

(Approximations success ives de l a courbe de von Koch) show ) def 1.5 pouce 9 pouce t r a n s l a t e newpath O O moveto 2 pouce O O vonkoch s t r o k e 3 pouce O translate newpath O O moveto 2 pouce O 1 vonkoch s t r o k e -3 pouce -1 - 5 pouce t r a n s l a t e newpath O O moveto

2 pouce O 2 vonkoch s t r o k e 3 pouce O t r a n s l a t e newpat h

O O moveto 2 pouce O 3 vonkoch s t r o k e -3 pouce -1.5 pouce t r a n s l a t e newpath O O moveto 2 pouce O 4 vonkoch s t r o k e 3 pouce O t r a n s l a t e newpath O O moveto 2 pouce O 5 vonkoch s t r o k e

Tracé de la Courbe en C de Lévy en POSTSCRIPT

%PS-Adobe-2.0 /pouce C72 mul) def

% Deux arguments, accroissement de s ab sc i s s e s e t d e s ordonnées

( r l i n e t o ) def

% Procedure r é c u r s i v e avec deux arguments,

% accroissement de s a b s c i s s e s e t de s ordonnées

{ 2 copy abs eps lt exch abs eps lt and

{ f i n ) {2 copy /y exch def /x exch def

x xl mu1 y y1 mu1 sub y xl mu1 x y1 mu1 add f r a c t a l e

/y exch def /x exch def

x x2 mu1 y y2 mu1 sub y x2 mu1 x y2 mu1 add f r a c t a l e )

i f e l s e ) def /eps 1 def

x2.5 pouce 5 pouce t r a n s l a t e 2 . pouce 5 pouce t r a n s l a t e

/ x l 0 .5 def /y1 0.5 def

/x2 0 . 5 def /y2 -0.5 def newpath O O moveto 3 pouce O f r a c t a l e s t r o k e

%showpage

%end

Superposition de trois graphes de fonctions obtenues avec un opérateur de subdivision binaire à quatre poids en POSTSCRIPT

% Profondeur

/n 10 def

% Fac t eu r d J é c h e l l e

/y 48 def

/h y n <2 div) r e p e a t def

% P o s i t i o n du debut de l a première courbe

O 2 y mu1 t r a n s l a t e

/Times-Roman f i n d f o n t 10 s c a l e f o n t s e t f o n t 0 .5 s e t l i n e w i d t h

/ s u b d i v i s e r (1 sub /m exch def /y5 exch def

/y4 exch def

/y3 exch def

/y2 exch def

/y1 exch def

/y0 exch def

m -1 eq

{/x x h add def x y2 l i n e t o )

U w I d y0 mul c y1 mu1 add

b y2 mu1 add a y3 mu1 add def

/w2 d y1 mu1 c y2 mu1 add

b y3 mu1 add a y4 mu1 add def

/ w 3 d y2 mu1 c y3 mu1 add

b y4 mu1 add a y5 mu1 add def

w 1 y2 v2 y 3 v3 y4 m y1 w l y2 w2 y3 w 3 m

subdiviser subdiviser) ifelse) def

Cs copy 11 5 roll) def

newpath O 9 moveto show /x O def x O moveto %O O O O O y n subdiviser %O O O O y O n subdiviser %O O O y O O n subdiviser %O O y O O O n subdiviser %O y O O O O n subdiviser %y O O O O O n subdiviser 0 0 0 0 0 y copie5 n subdiviser O copie5 n subdiviser O copie5 a subdiviser O copie5 n subdiviser O copie5 n subdiviser O n subdiviser stroke grestore) def

% Première courbe /a -1 16 div def /b 9 16 div def /c 9 16 div def /d -1 16 div def ((1)) tracer % Deuxième courbe /a -2 10 div def /b 6 10 div def /c 7 10 div def /d -1 10 div def O y neg translate ((2) ) tracer

% Troisième courbe

/a 4 10 d i v def /b 3 10 d i v def /c 2 10 d i v def /d 1 10 d i v def O y neg t r a n s l a t e

( (3)) t r a c e r

Trisection d'un polygone

% ! PS-Adobe-2.0 35 110 t r a n s l a t e

/SC 200 def % é c h e l l e

/XX 200 def /yy 200 def % o r i g i n e

/coord

a load pop SC mu1 yy add exch SC mu1 xx add exch

3 def /vsub { exch a load pop exch 3 -1 r o l l a l o a d pop 4 1 r o l l sub 3 1 r o l l exch sub 2 packedarray

3 def

/vsum

exch aload pop exch 3 -1 r o l l a l o a d pop 4 1 r o l l add 3 1 r o l l exch add 2 packedarray

/vnmul

/ f a c t o r exch def a l oad pop f a c t o r 2 packedarray

)def

Y. Figure i n i t i a l e (polygone)

/ f ig [ [ -.25 O 1 ( . 5 -.25 3 [ 1

1 def

% Nombre d J é t ape s

mu1 exch f a c t o r mu1 exch

25 - 1 5 1 [ .85 1.251 [ .15 1 - 1 5 ]

/n 2 def

/nn 2 def l i n (

nn ge { [ 3 3 ] O s e tda sh ) i f fig dup l e n g t h /1 exch def 1 1 sub get coord moveto

f i g C coord l i n e t o ) f o r a11

c lo sepa th s t r o k e f i g a load l eng th /1 exch def

1 2 copy 2 3 d i v vnmul exch 1 3 d i v vnmul vsum 1 1 add 1 r o l l 2 copy 1 3 d i v vnmul exch 2 3 d i v m u 1 vsum 1 1 add 1 r o l l 1 1 r o l l ) r epea t

1 C pop 1 repea t

1 2 mu1 packedarray / f i g exch def

) f o r showpage

Approximations successives du manche de marteau de de Rham

% ! PS-Adobe-2.0 %XBoundingBox: 40 120 340 420

%-30 -30 t r a n s l a t e /Times-Roman f i nd fon t 18 s c a l e f o n t setf ont

/ S C 200 def % é c h e l l e

/XX 200 def /yy 200 def % o r i g i n e

/coord 1 a load pop SC mu1 yy add exch SC mu1 xx add exch

exch a load pop exch 3 -1 r o l l a load pop 4 1 r o l l sub 3 1 r o l l exch sub 2 packedarray

> de f

exch a load pop exch 3 -1 r o l l a load pop 4 1 r o l l add 3 1 r o l l exch add 2 packedarray

>

def

/vnmul < / f ac to r exch def a load pop f a c t o r mu1 exch f a c t o r mu1 exch 2 packedarray

1 def

% Figure i n î t i a l e ( c a r r é unité)

/n 4 def 1 1 a {dup 1 eq { [3 31 O setdash){[] O s e tdash ) i f e l s e f i g dup length /1 exch def 1 1 sub ge t coord moveto

f i g { coord l i n e t o ) fo ra11

closepath s t roke f i g aload length /1 exch def

1 2 copy 2 3 d iv vnmul exch 1 3 d iv vnmul vsum 1 1 add 1 r o l l 2 copy 1 3 d i v vnmul exch 2 3 d i v vnmul vsum

1 1 add 1 r o l l I 1 r o l l ) repeat

1 C pop > repea t 1 2 mu1 packedarray / f i g exch def ) f o r newpath [O -45 -0.11 coord moveto ((a) ) show s t roke

showpage

Le manche de marteau de de Rham

% ! PS-Adobe-2.0 %%BoundingBox: 100 -80 400 220 /Times-Roman f indf on t 18 scalefont s e t f ont

% Facteur d ' é c h e l l e

/L 200 def

% Profondeur de l a récur rence

/p 9 def

/CouperAuTiers

%Extraire deux dlements de la pile (LG. rl), produire le résultat x O + ( r l -

x o ) / 3

{2 copy pop sub 3 div add) def

% Procédure récursive

%(IO. yO). ( x l . yl). (x2.yZ). n: 7 paramètres

(1 sub /n exch def /y2 exch def

/x2 exch def /y1 exch def /xi exch def /y0 exch def

/xO exch def n -1 eq

Cx2 xO sub 2 div y2 y0 sub 2 div rlineto) (/uO xO xl CouperAuTiers def

/vO y0 y1 CouperAuTiers def /u? XI XO CouperAuTiers def

/vl y1 y0 CouperAuTiers def

/u2 xl x2 CouperAuTiers def /v2 yl y2 CouperAuTiers def

/u3 x2 x l CouperAuTiers def

/v3 y2 y1 CouperAuTiers def ul vl u2 v2 u3 v3 n uO vO ul vi u2 v2 n partager partager) if else )def

% Tracé du manche newpath L 2 div O moveto O O L O L L p partager L O L L O L p partager L L O L O O p partager O L O O L O p partager stroke

% Tracé du carre en pointillé

[ 3 3 ] O se tdash newpath O O moveto L O l i n e t o L L l i n e t o O L l i n e t o c lo sepa th stroke newpath

89 -20 moveto ( (b ) ) show s t r o k e showpage

La B-spline cubique avec les sommets d'un carré comme points de contrôle

/t exch def t 1 le t O ge and { t dup dup mu1 mu1 6 d i v )

{ t 2 l e t 1 ge and ( 1 6 d i v t 1 sub 2 d i v add t 1 sub dup mu1 2 d i v add

t 1 sub dup dup mu1 mu1 2 d i v sub)

C t 3 l e L 2 ge and {1 6 d i v 3 t sub 2 d i v add 3 t sub dup mu1 2 d i v add

3 t sub dup dup mu1 mu1 2 d i v sub )

t 4 l e t 3 ge and 1 4 t sub dup dup mu1 mu1 6 d i v )

O ifelse

) i f e l s e 1 i f e l s e

) i fe l se

3 def

/S

/tt exch def tt 1 sub N tt 2 sub N add SC mu1 XO add tt 2 sub N t t 3 sub N add SC mu1 Y0 add 3 def

SC mu1 Y0 add exch SC mu1 XO add exch > def

/XO 100 def /Y0 100 def /SC 200 def

%200 200 t r a n s l a t e newpath 2 S moveto 2 0 . 1 6 ( S l i n e t o ) f o r

s t r o k e newpath O O H moveto O 1 H l i n e t o 1 1 H l i n e t o 1 O H l i n e t o closepath s t r o k e showpage

La B-spline cubique périodique avec les sommets d'un carré comme points de contrôle

/N

/t exch def t 1 l e t O ge and { t dup dup mu1 mu1 6 d i v )

€ t 2 l e t 1 ge and C 1 6 d i v t 1 s u b 2 div add t 1 sub dup mu1 2 d i v add

t 1 sub dup dup mu1 mu1 2 d i v sub)

< t 3 l e t 2 g e and {1 6 d i v 3 t sub 2 d i v add 3 t sub dup mu1 2 d i v add

3 t sub dup dup nul mu1 2 d i v sub 3

t 4 l e t 3 ge and i 4 t sub dup dup

O 3 i f e l s e

) i fe lse > i f e l s e

) i f e l s e > de f

mu1 mu1 6 d i v )

/s < /tt exch def tt 2 sub N tt 1 sub N add tt 5 sub N add SC mu1 XO add tt 3 sub N t t 2 sub N add t t 1 add N add SC mu1 Y0 add > def

/H

SC mu1 Y0 add exch SC mu1 XO add exch > def /XO 100 def /Y0 100 def /SC 200 def %200 200 t r a n s l a t e newpath 2 S moveto 2 0 . 1 6 ( S l i n e t o ) f o r s t r o k e C 3 3 1 O s e t d a s h newpath

O O H moveto O 1 H l i n e t o 1 1 H l i n e t o 1 O H l i n e t o c lo sepa th s t r o k e showpage

Approximations successives de la courbe du dragon %procédure r é c u r s i v e avec 4 arguments: %accroissement d e s a b s c i s s e s et d e s ordonn4es. é t a t , profondeur

% ! PS-Adobe-2.0 %%BoundingBox: O O 432 648

(1 sub /m exch def /k exch def /dy exch def

/dx exch def m -1 eq

{dx dy r l i n e t o )

( /dxl dx x l mu1 dy y1 mu1 sub def

/dy l dx y 1 mu1 dy x1 mu1 add def

(/dx2 dx dx1 sub def /dy2 dy dy1 sub de f )

(/dx2 dx1 def /dy2 dyl def

/dxl dx dx2 sub def /dy l dy dy2 sub de f ) if e l s e dx2 dy2 O m dx l dy l 1 m s u b d i v i s e r

subdiv i se r ) i f e l s e ) def

/ x l 0 .5 def /y1 -0.5 def 108 684 t r a n s l a t e gsave newpath O O moveto 144 O 1 1 subdiviser s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 2 subdiv i se r s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 3 subdiv i se r s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 4 subdiviser s t r o k e g r e s t o r e 252 O t r a n s l a t e gsave newpath O O moveto 144 O 1 5 subdiviser s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 6 subdiviser s t r o k e O -180 t r a n s l a t e sewpath O O moveto 144 O 1 7 subdiviser s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 8 subdiviser s t r o k e g r e s t o r e 108 684 t r a n s l a t e gsave newpath O O moveto 144 O 1 9 subdiviser s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 10 subdiv i se r s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 11 subdiv i se r s t r o k e O -180 t r a n s l a t e newpath O O moveto 144 O 1 12 subdiv i se r s t r o k e

grest ore 252 O translate gsave newpath O O moveto 144 O 1 13 subdiviser stroke O -180 translate neupath O O moveto 144 O 1 14 subdiviser stroke O -180 translate new-path O O moveto 144 O 1 15 subdiviser stroke O -180 translate newpath O O moveto 144 O 1 16 subdiviser stroke grestore

Tracé de la courbe du dragon Xprccédure récursive avec 4 arguments:

%accroissement des abscisses et des ordonnées, parite, profondeur % ! PS-Adobe-2.0 %%BoundingBox: O O 432 648

(1 sub /m excb def /k exch def /dy exch def /dx exch def m -1 eq

{dx dy rlineto) (k 1 eq

dy neg dx 1 m dx dy O m dy dx neg 1 m) {dy dx neg O m dx dy 1 m dy neg dx O m

dx dy 1 m) if else subdiviser subdiviser subdiviser subdiviser) ifelse) def %Une p i l e trop grosse e s t apparue avec p = 9 /p 8 def /h 288 p { 2 div) repeat def 180 288 translate newpath O O moveto h O 1 p subdiviser stroke

Appendice B

Liste des programmes PASCAL

Le premier programme permet le tracage de la fonction fondamentale. Le second pro- gramme Pascal utilise un algorithme récursif pour ies schémas de subdivision généraux provenant d'un masque.

Ce programme permet de tracer la fonction fondamentale à une dimension en POSTSCRIPT program fondamentale;

var b , min, max, p r o f , minl, maxi, i : i n t e g e r ;

P : a r ray 1-19. -291 of r e a l ; y08 Y i : ar ray f-999. .999] o f r e a l ; p i n , ymax : r e a l ; nom, t i t r e : s t r i n g ; so : t e x t ;

{Cette procédure lit les données à partir des f i c h i e r s poids0, poids1 e t

poids2} procedure LireLesPoids; var

en : t e x t ; i : i n t e g e r ; ch : string;

begin

{ ~ e c t u r e du t i t r e de l a courbe e t a c q u i s i t i o n des d i f f é r e n t s paramètres} r e s e t (en, nom) ; readln (en, t i t r e ) ; w r i t e l n ( t i t r e ) ; readln(en , ch) ; w r i t e l n (ch) ; readln(en, b) ;

wri t e ln (b : 5); readln(en , ch) ;

begin w r i t e l n ( s o , x : 10 : 5 , y : 10 : 5 , maveto ' ) ;

end ;

procedure LinetoPS (x , y : r e a l ) ; begin

w r i t e l n ( s o , x : 10 : 5 , y : 10 : 5 , ' l i n e t o '1 ; end ;

procedure DrawStringPS (ch: s t r i n g ) ; begin

v r i t e l n ( s o , ( ' , ch , ' ) show' ) ; end ;

procedure DessinPS; cons t

largeur = 400 ; hauteur = 400 ;

var j , bm : i n t e g e r ; f x , f y , m i n , xmax : r e a l ;

begin bm := 1; for j := 1 t o prof do

bm := bm * b; m i n : = m i n / (b - 1); xmax : = max / (b - 1) ;

f x : = l a r g e u r / (xmax - m i n ) ;

f y := hau teu r / ( p a x - p i n ) ; if f y < f x t h e n

fx := fy e l s e

f y := fx;

r racé du graphe de l a f o n c t i o n fondamentale}

{conversion du f i c h i e r "tempoJ) en format POSTSCRIPT. Impression du t i t r e

du graphe h l a pos i t i on voulue PO=(Z90J190), P1=(190, 29O), P2=(190, 290))

w r i t e l n ( s o , '/Times-Roman f i nd fon t 14 s c a l e f o n t s e t f o n t ' ) ;

~ o v e t o P ~ (190, 290) ; w r i t e l n ( s o , '300 350 t r a n s l a t e ' ) ; Draw~tr ingPS ( t i t r e ) ;

writeln(s0, fx : 7 : 2, fy : 7 : 2, ' scale'); vriteln(so, '1 ', fx : 7 : 2, ' div setlinewidthJ); writeln(s0, 'newpath') ;

Movet oPS ( m i n , O) ; for j := minl t o maxi do

~inetoP~(j / bm, yl[j]); LinetoPS (xmax , O) ; writeln(so, Jstroke');

end ;

{~ebut du Programme principal}

begin

{choix du fichier pour la lecture des données}

nom := 'poidsOJ; nom := 'poidsi'; nom := 'poids2';

LireLesPoids; minl := 0; maxl := 0; y1Col := 1; writeln; writeln('support des composantes non nullesJ); for i := 1 to prof do

Raffiner ; DessinPS ; writeln('FINJ) ;

end.

Algorithme récursif pour les schémas de subdivision provenant d'un masque. program Subdivision; {graphe de la fonction fondamentale)

type vecteur = array [ -2. -31 of real ; var n, S, m, base: integer; i, j, k: integer; x, h: real; y: vecteur; p: arrayc-10. .IO] of real; nom: string; en, so: t e x t ;

procedure LireLesPoids; var

i , min, max: i n t ege r ; ch: s t r i n g ; begin ( l ec tu re des donnees) r e s e t (en, nom) ; readln(en, ch) ; readln(en, ch) ; readln(en, base) ; wri t e ln ( so , '%' , ' b a s e ' , base : 5 ) ; readln(en, ch) ; readln(en, min, max) ; s := max; readln(en, ch) ; wri te ln(s0 , ' % ' , ch) ; f o r i := -s t o s do begin readln(en, p [il ) ; wri te ln(s0 , 'XI, i , p[i] : 10 : 6) ;

end ; close(en) ; end ; procedure Decaler (var v: vecteur; t : r e a l ) ; va r i: in teger ; begin

f o r i := -m t o m do v[ i ] := vCi + 11; v[m + il := t ;

end ; procedure Subdiviser (var y : vecteur; n: i n t e g e r ) ; v a r

i , j , k : i n t ege r ; t : r e a l ;

v : vecteur; begin

i f n = O then begin

x := x + h; wr i t e ln ( so , x : 8 : 4, y[ l l : 8 : 4 , ' l i n e t o l ) ;

end e l s e

f o r i := -m t o m + base do begin t := 0 ; f o r j := -m t o m + 1 do

begin k := i - base * j; if abs(k) <= s t hen t := t + pCk1 * ycj]; end ; i f i <= m + 1 then -- v[i] := t else Decaler (v, t ) ; if i >= m + 1 then subdiviser (v, n - 1) ; end ; end ;

begin {*nom := >dyadiquecubique'; *) nom := 'dyadiqueEx2'; {*nom := JdyadiqueEx3';*) {*rewrite(so , concat (nom, ' . ps ' ) ) ; *) rewrite(s0, 'tempoJ); writeln(s0, ' % ! PS-Adobe-2.0 ' ) ; writeln(so, '%%~oundingBox: O O 432 180 '1; writeln(so, 288 72 translate' ) ; writeln(s0, ' /f 72 def ' ) ; writeln(s0, 'f f s c a l e ' ) ; writeln(so, ' 1 f div setlinewidth' ) ; LireLesPoids; n := 10; h := 1; f o r i := 1 to n do h := h / base; rn : = trunc (s / (base - 1) ) ; if (m * (base - 1) = s) then m := rn - 1; writeln (so , ' %Echant illon du graphe de la fonction fondamentale ) ; for i := -m to m + 1 do y c i ] := O; y[m + 11 := 1; x := -m - 1; for i := -m - 1 to m do begin writeln(so, 'newpathJ ) ; writeln(s0, x : 8 : 4, y[i] : 8 : 4, ' moveto ' ) ; Subdiviser (y, n) ; ~ecaler(y, O) ;

end ; end.

Trois exemples de fichiers de données de départ. 1) Premier f ichier : I n t e r p o l a t i o n f r a c t a l e symétrique d e poids ( -1 ,9 ,9 ,1) Il6 coéff i c i e n t d e d i l a t a t i o n

2 suppor t de s po ids non n u l s

-3 3 l i s te de s po ids -0.0625 O O . 5625 1 O. 5625 O -0.0625 profondeur

6

2) Deuxième f i c h i e r : I n t e r p o l a t i o n f r a c t a l e ( -2 ,6 ,7 , -1) /10 coéff i c i e n t de d i l a t a t i o n

2 suppor t des po ids non n u l s

-3 3 liste d e s po ids -0.2 O 0 .6 1 0.7 O -0.1 profondeur 8

3)Trois ième f i c h i e r : I n t e r p o l a t i o n f r a c t a l e ( 4 , 3 , 2 , 1 ) / I O coéff i c i e n t de d i l a t a t i o n 2 suppor t des po ids non n u l s

l i s te des po ids

0.2 O O. 1 profondeur 8

Appendice C

Programme MAPLE pour le calcul des constantes de continuité Cn(h)

Dans cet te appendice nous proposons un programme en langage Waple qui a servi à l'évaluation du paramètre C,(h) donné par les formules 4.16 et 4-17 pour la justifica-

tion de la continuité des schémas de subdivision à base 6 .

# Les t r o i s exemples de l'interpolation dyadique cubique

# PROF : nombre de génerat i o n s , CPROF(h) < 2 # B: l a b a s e du schéma de subdivision

B:=2; PROF : =3 ; g:=B+l; indice:=3; nn:=l; NN:=~*(B-PROF-I)/(B-~); bb:=B^PROF;

for i from -g*bbA2 t o g*bbn2 do

F [i/bb] :=O : od ; Fi01 :=l: for i from -indice t o indice do p c i l :=O;

#Affec ta t ion des p o i d s . #Masque de 1 ' i n t e r p o l a t i o n dyadique cubique

#Poids de l a courbe von Koch

% p C-31 : =l/3 ;

# p C-21 : =1/2+I*sqrt (3) /6 ;

# pC-11 :=2/3; # p[01:=1;

# p[1]:=2/3;

# p [2] : =1/2-I*sqrt (3) / 6 ;

# pC3l :=1/3; whi le nn < BnPROF do nn:=B*nn; N : =g*(nn-1) ; f o r i from -g*nn t o g*nn do

FF [i/nn] : =O ; f o r j from -g*m t o g * ~ do if abd i -B* j ) <= i n d i c e t h e n

FF [i/nn] : =FF [i/nn] +p Ci-B*j] *F [B* j/nn] f i ; od ; od ; f o r i from -g*nn t o g*nn do F [i/nn] : =FF [i/nn] od ; od ; N : = 2 * g * ( ~ - l ) + l ;

#Calcul de l a c o n s t a n t e CPROF(h) h:=6; MAXIMUM: =2 : MAX : =4 : MAX:=O: f o r i l t o N do

f o r i 2 t o N do SS:=O; f o r j t o N do

i f abs ( i1 - i2 ) <= h t hen ss : = ~ ~ + a b s (F [(il-NN-1-nn* (j-NN-1)) /nn]

-F [(il-NN-1-nn*(j-NN-l))/nn] ) ; fi;

od ; MAX : =max (SS ,MAX) ; od ; od ; C [PROF] =MAX ; C [PROFI =@vaif (MAX) ;

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