PROBABILITES ET METHODES

STATISTIQUES PRATIQUES

Mohsine BENABDALLAH

Dpartement de Mathmatiques

bmohsine@gmail.com

SMP Semestre 3

Automne 2013

1

Le but de ce cours est d'introduire quelques modles probabilistes an de les

appliquer aux rsultats statistiques obtenus.

On introduira les modles d'espaces probabiliss en partant d'expriences ala-

toires, on parlera d'espace d'vnements sur lequel on dnira une mesure de

probabilit. Aprs avoir donn les proprits de cette dernire, on voquera le

conditionnement pour aboutir la formule de Bayes.

Les variables alatoires, aussi bien discrtes que continues, seront introduites

pour pouvoir les utiliser dans le chapitre suivant.

Enn, le troisime chapitre donnera un aperu sur les mthodes qu'on appliquera

aux donnes statistiques. On dcriera ces donnes (statistique descriptive) qu'on

pourra utiliser pour passer une population plus grande.

Ce cours s'inspire pour une grande part des notes de cours du Pr. EL Arrouchi.

CHAPITRE 1 : Modles d'espaces probabiliss

CHAPITRE 2 : Modles de variables alatoires

CHAPITRE 3 : Methodes statistiques

2

CHAPITRE 1 :

Modles d'espaces probabiliss

Exprience, Evnement, Univers

Tout commence par une exprience alatoire appele aussi preuve

dont les rsultats sont ds au hasard et mme si elle est rpte dans les

mmes conditions ne donne pas forcment le mme rsultat.

Tous les rsultats possibles d'une exprience sont mis dans une ensemble

appel univers qu'on note gnralement .

Toute partie de l'univers sera appel un vnement.

Exemples

"Lancer un d et noter le rsultat obtenu" est une exprience alatoire qui

donne 6 rsultats ou issues possibles. Les dirents rsultats possibles de

cette preuve sont

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} est compos de 6 vnements lmentaires. "Extraire trois tudiants d'une population d'tudiants constitue de garons

(G) et de lles (F)" est une exprience alatoire dont les rsultats possibles

sont

= {FFF, FFG,FGF,GFF, FGG,GFG,GGF,GGG}

est compos de 8 vnements lmentaires.Notations

1. est l'vnement impossible et est l'vnement certain.2. A est l'vnement complmentaire (ou contraire) de A. C'est l'vnementqui se ralise si A ne l'est pas.

3. Si A et B sont deux vnements , AB est l'vnement qui se ralise dsque A ou B s'est ralis.

4. Si A et B sont deux vnements , AB est l'vnement qui se ralise dsque A et B se sont raliss.

5. L'vnement A \ B est dni par l'ensemble des lments de A qui n'ap-partiennent pas B.

6. L'vnement A implique l'vnement B si A B.7. Les vnements A et B sont disjoints, ou incompatibles si A B = .Exemples

Soient A,B et C trois vnements quelconques. Traduire l'aide de l'critureensembliste les vnements suivants :

E : "au moins un des vnements B et C se ralise" F : "aucun des vnements A et C ne se ralise" G : "C, seul, se ralise" H : "un seul vnement parmi les trois , se ralise" I : "aucun vnement parmi les trois ne se ralise" J : "au moins un parmi les trois vnements se ralise"

3

Espace probabilisable On associe toute exprience l'ensemble A de tousles vnements de . Si est ni ou dnombrable alors A = P() l'ensemblede toutes les parties de .Dnition

Le couple (,A) est appel espace probabilisableExemple

Si on jette une pice de monnaie alors = {P, F} et

A = {, {P}, {F}, {P, F}}

Exercice

Dcrire A quand = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Systme complet

Les vnements A1, ..., An forment un systme complet d'vnements,s'ils constituent une partition de ; c'est dire si tous les couples Ai, Aj sont disjoints quand i 6= j ;

ni=1Ai = .Probabilit : dnition frquentiste

On considre une exprience pouvant donner lieu un rsultat quelconque

parmi N rsultats galement possibles. Supposons que n rsultats soient favor-ables la ralisation d'un vnement particulier A. La probabilit de l'vnementA est dnie comme :

P (A) =nombre de cas favorables

nombre de cas possibles

=Card(A)

Card()=

n

N.

Exemple

Pour les besoins d'un test sur un vaccin V , nous disposons de 10 volontaires,3 d'entre eux appartiennent une mme famille. Deux personnes sont tires au

hasard. Quelle est la probabilit P (F ) que ces deux personnes soient de la mmefamille ?

Solution

L'exprience consiste tirer (simultanment) deux personnes parmi 10. Il s'agit

de dnombrer le nombre de combinaisons de 2 parmi 10 ce qui donne C210 ce quidonne le nombre de cas possibles savoir Card (). Le nombre de cas favorableest le nombre de combinaisons de 2 parmi 3 c'est dire C23 .On obtient P (F ) = 1/15.Probabilit : dnition axiomatique (Kolmogorov) Dnition

Une probabilit P est une application de A dans [0, 1] telle que P () = 1; P (

i=1) =

i=1 P (Ai), pour toute suite dnombrable d'vnementsA1, A2, ...disjoints deux deux appartenant A.Le triplet (,A, P ) dnit un espace probabilis.Proprits d'une probabilit

1. P (A) = 1 P (A) ;2. P () = 0 ;3. P (A \B) = P (A B) = P (A) P (A B) ;

4

4. A B = P (A) P (B) ;5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ;6. Si A1, ..., An forment un systme complet d'vnements, alors pour toutB A,

P (B) =

ni=1

P (B Ai).

Probabilit conditionnelle

Dnition

Soient deux vnements A et B avec P (B) > 0. On dnit la probabilitconditionnelle de A sachant que B est ralis, note P (A|B) par

P (A|B) = P (A B)P (B)

.

Exemple

On jette un d quilibr. Quelle est la probabilit d'avoir un nombre pair sachant

qu'il est suprieur ou gal 4 ?

Indpendance Dnition

Deux vnements A et B sont dits indpendants si

P (A|B) = P (A).

Consquence

On peut montrer facilement que si A et B sont indpendants, alors

P (A B) = P (A)P (B).

Exercice

Montrer que si A et B sont indpendants, il en est de mme de A et B.Probabilit totales

Soient A1, .., An un systme complet d'vnements,alors pour tout B A

P (B) =

ni=1

P (Ai)P (B|Ai).

Exemple de l'itinraire

Pour se rendre la facult des sciences, un tudiant a le choix entre 3 it-

inraires A,B et C. La probabilit qu'il a de choisir A(resp B,C) est 13 (resp14 ,

512 ). La probabilit d'arriver en retard en empruntant A(resp B,C) est

120 (resp

110 ,

15 ).

Quelle est probabilit que l'tudiant arrive en retard ?

Rponse

Les vnements A,B et C forment un systme complet car A B C = etAB = AC = BC = . Soit R l'vnement "arriver en retard", en utilisantla formule des probabilits totales, on obtient

P (R) = P (A)P (R|A) + P (B)P (R|B) + P (C)P (R|C)

5

Formule de Bayes

Soient A1, .., An un systme complet d'vnements et B A alors

P (Ai|B) = P (Ai)P (B|Ai)nj=1 P (Aj)P (B|Aj)

.

Retour l'exemple de l'itinraire

L'tudiant arrive en retard. Quelle est la probabilit qu'il ait emprunt l'it-

inraire C ?Rponse

On cherche la probabilit de C sachant R, on utilise pour cela la formule deBayes :

P (C|R) = P (C)P (R|C)P (A)P (R|A) + P (B)P (R|B) + P (C)P (R|C)Exercice

Considrons deux urnes U1 et U2. L'urne U1 contient 2 boules blanches et 3boules noires. L'urne U2 contient 1 boule blanche et 4 boules noires. Appelons Bl'vnement "tirer une boule blanche" et N l'vnement "tirer une boule noire".Dans chaque urne, il y a quiprobabili du choix des boules.

On choisit une urne au hasard, chaque urne ayant la mme probabilit d'tre

choisie que l'autre, puis on tire une boule de cette urne.

On sait qu'une boule blanche a t tire. Quelle est la probabilit d'avoir choisi

l'urne U1 ?Exercice 9 :

Une usine de pellicules de photo dispose de trois machines A,B et C quifabriquent respectivement 20%, 50% et 30% de la production totale. Les pro-

portions de pellicules dfectueuses fabriques par les machines A,B ou C sontrespectivement gales 6%, 5% et 3%.

On tire au hasard une pellicule dans la production, calculez :

la probabilit que cette pellicule soit dfectueuse ;

la probabilit qu'elle provienne de la machine A sachant qu'elle est d-fectueuse ;

la probabilit qu'elle provienne de la machine A sachant qu'elle est nondfectueuse.

Corrig Exercice 9 :

On a P (A) = 0.2, P (B) = 0.5, P (C) = 0.3 et en notant D l'vnement lapellicule obtenue est dfectueuse.

Ainsi P (D|A) = 0.06, P (D|B) = 0.05, P (D|C) = 0.03. la probabilit que cette pellicule soit dfectueuse est donne par

P (D) = P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) + P (D|C)P (C) = 0.046 la probabilit qu'elle provienne de la machine A sachant qu'elle est d-fectueuse est donne par

P (A|D) = P (A D)/P (D) = P (D|A)P (A)/P (D) = 6/23 la probabilit qu'elle provienne de la machine A sachant qu'elle est nondfectueuse est donne par

P (A|D) = P (A D)P (D)

=P (A) P (A D)

P (D)=

0.2(1 0.06)0.954

6

CHAPITRE 2 :

Modles de variables alatoires

Dnition

Une variable alatoire relle sur (,A) est une applicationX : Rtelle que pour chaque x R

{ : X() = x} AExemple

On lance deux pices de monnaie. L'ensemble des rsultats possibles est

= {(F, F ); (F, P ); (P, F ); (P, P )}.Chacun des vnements lmentaires de a une probabilit gale 1/4 de seproduire.

Considrons la variable alatoire relle X reprsentant le nombre de 'faces'obtenues. Donc X() = {0, 1, 2}. On a de plus,

X =

0 avec une probabilit 1/41 avec une probabilit 1/22 avec une probabilit 1/4.

0 1 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distribution de "Faces" obtenus

Frquence

Fonction de rpartition

Soit X une variable alatoire relle. La fonction de rpartition de X estla fonction dnie par

FX : R 7 [0, 1]x P (X x)Elle vrie les proprits suivantes

7

limx FX(x) = 0, limx, FX(x) = 1 P (a < X b) = FX(b) FX(a). P (X = a) = FX(a) FX(a) o

FX(a) = lim

xaFX(x)

Variables alatoires discrtes

Dnition

Une variable alatoire relle X est dite discrte si elle ne prend que desvaleurs discrtes, c'est dire X() = {x1, x2, ..}. On appelle distribution de probabilit, ou loi de probabilit de X,l'ensemble des couples

{(xi, pi), i = 1, ...}o pi = P (X = xi) vriant

pi = 1.

Esprance, Variance et cart-type d'une variable alatoire discrte

L'esprance mathmatique d'une variable alatoire discrte est dnie de la

manire suivante :

= E(X) =ni=1

pixi,

sa variance

V(X) = E(X )2 =ni=1

pi(xi )2 =ni=1

pix2i 2

et son cart-type

(X) =V(X)

Exemple

On mise une certaine somme. On lance un d marqu as,roi,dame,valet,dix et

neuf.L'as rapporte 10 DH, le roi et la dame 6 DH , le valet 5 DH alors que le 10

ou le 9 ne rapportent rien. Soit X la variable alatoire indiquant le gain obtenu.

Loi de probabilit

X = xi 0 5 6 10 Totalpi 1/3 1/6 1/3 1/6 1pixi 0 5/6 2 5/3 4,5pix

2i 0 25/6 12 50/3 32,83

E(X) = 4, 5;V(X) = 32, 83 4, 52 = 12, 58.(X) =

V(X) = 3, 55.

Proprits de l'esprance et de la variance

Proposition

Soient X et Y deux variables alatoires discrtes sur l'univers . Alors ona, pour tous rels a et b, E(aX + b) = aE(X) + b,

8

E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ), V(aX + b) = a2V(X) Si X et Y sont indpendantes, alorsV(aX + bY ) = a2V(X) + b2V(Y ).Variable de Bernoulli

On dnit une variable alatoire qui ne peut prendre que deux valeurs 0 et

1 comme variable de Bernoulli. Sa loi de probabilit est trs simple pour

laquelle p reprsente la probabilit de l'issue qu'on veut mettre en vidence(succs) et q = 1 p la probabilit de l'autre terme (chec).

X =

{1 avec une probabilit p0 avec une probabilit 1 p.Son esprance vaut

E(X) = (1 p) 0 + p 1 = pSa variance vaut

V(X) = E(X p)2 = (1 p)(0 p)2 + p(1 p)2 = p(1 p)On retiendra que toute situation alatoire d'alternative peut tre reprsen-

te par une variable de Bernoulli dont le paramtre p, gal la probabilit del'issue qu'on cherche mettre en vidence, est gal l'esprance, la variance

tant gale p(1 p).

Exemple

On tire au hasard une boule dans une urne contenant 18 boules rouges et 16

boules blanches. On dsire mettre en vidence le tirage d'une boule rouge. On

dnit alors la variable alatoire de Bernoulli X qui vaut 1 si la boule tire estrouge et 0 sinon. Il reste dterminer p, c'est la probabilit de tirer une boulerouge.

Variable Binomiale

On rpte la mme exprience de Bernoulli, de paramtre p, n fois de manireindpendante et on dsigne par X le nombre de succs obtenus. Alors X estappele variable binomiale de paramtre n et p qu'on note : X B(n, p). Saloi est donne par

P (X = k) = Cknpk(1 p)nk, k = 0, 1, 2, ..., nThorme

Si X B(n, p), alors on aE(X) = np,V(X) = E(X np)2 = np(1 p)

(X) =V(X) =

np(1 p)Exemple

On tire au hasard avec remise et de manire indpendante 5 boules d'uneurne contenant 18 boules rouges et 12 boules blanches. Si X est le nombre deboules rouges obtenues,

alors X suit une loi binomiale de paramtre n = 5 et p = 1830 = 0, 6. Donc,

P (X = k) = Ck5 (0, 6)k(0, 4)5k, k = 0, 1, .., 5

9

Exercice 3 :

Calculez la probabilit qu'il y ait 3 lles et 2 garons dans une famille de 5

enfants :

1. Si on suppose la probabilit de naissance d'une lle gale la probabilit

de naissance d'un garon.

2. Si on suppose la probabilit de naissance d'une lle gale 0,48.

Corrig Exercice 3 :

L'univers est constitu de tous les 5-uplets constitus de F(lle) et G(garon).

= {FFFFF, FFFFG,FFFGF, ..., GGGGG}

Alors Card = 25,

1. Si on suppose la probabilit de naissance d'une lle gale la probabilit

de naissance d'un garon, alors et P ({}) = 125 ) pour tout et parla suite, il reste dnombrer les cas favorables , c'est dire le nombre de

faons de choisir deux places parmi 5 pour y installer les deux garons et

remplir les autres par des lles. Ce nombre est gal C25 et la probabilit

demande est

C2525.

2. Si on suppose la probabilit de naissance d'une lle gale 0,48. Alors la

probabilit d'un garon est de 0,52 et la probabilit d'obtenir une combi-

naison (3 lles et deux garons) est gale (0, 48)3(0, 52)2 ainsi la proba-bilit demande est gale

C25 (0, 48)3(0, 52)2

Variable de Poisson

La variable X suit une loi de Poisson, de paramtre > 0 si

P (X = k) = ek

k!, k = 0, 1, 2, ..

10

On la note X P().Thorme

Si X P() alors on a

E(X) = V (X) = .

Utilisation

La loi de Poisson est la loi discrte reprsentant un nombre d'vnements.

Elle est utilise pour dcrire :

la ralisation d'vnements peu probables, dans une succession d'preuves

trs nombreuses, au moins 50

le nombre d'accidents dans un atelier, le nombre de dfauts sur un appareil,

elle est la loi limite de la loi binomiale, quand n tend vers l'inni et p tendvers zro, le produit np restant ni.La loi de Poisson est la loi des vnements rares ou loi des petites probabilits.

Application 1

Selon les donnes rcoltes depuis plusieurs annes, le nombre de pannes

hebdomadaires du systme lectronique d'une entreprise suit une loi de Pois-

son de paramtre = 0, 05. Soit X la variable alatoire "nombre de panneshebdomadaires" :

P (X = k) = e0,05(0, 05)k

k!

La probabilit que le systme tombe en panne une fois au cours d'une semaine

quelconque (k = 1) est gale 0, 04756.La probabilit qu'il fonctionne sans panne (k = 0) est gale 0, 95122.Quelle est la probabilit d'observer 2 pannes au cours d'une semaine ? d'unmois ?

Application 2

La probabilit pour une ampoule lectrique de claquer son premier al-

lumage est de 0, 01. On suppose poissonnienne cette loi cet ge. Sur un groupede 100 ampoules, quelle est la probabilit d'observer :

1. 0 claquage

2. 1 claquage

3. plus de 2 claquages

Rponse

n = 100 et p = 0, 01 donc sur 100 ampoules la moyenne est np = 1. Xreprsentant le nombre de claquages suit la loi de Poisson P(1). Alors1. P (0 claquage) = P (X = 0) = e1 1

0

0! = 0, 3679

2. P (1 claquage) = P (X = 1) = e1 11

1! = 0, 3679

3. P (plus de 2 claquages) = 1 P (X 2) = 0, 0803Loi gomtrique

On considre une preuve de Bernoulli dont la probabilit de succs est p etcelle d'chec q = 1 p. On renouvelle cette preuve de manire indpendantejusqu'au premier succs. On note X la variable alatoire donnant le rang dupremier succs.

1. Montrer que P (X = k) = pqk1, k = 1, 2, ... Dans ce cas, on dit que Xsuit une loi gomtrique de paramtre p.

11

2. Montrer que E(X) = 1p et V (X) =qp2 .

Montrons que E(X) = 1p

E(X) =k=1

kpqk1 = limn

nk=1

kpqk1

= limn p

nk=1

d

dq(qk) = lim

n pd

dq

nk=1

(qk)

= limn p

d

dq(q

1 qn1 q ) =

p

(1 q)2 =1

p

Le calcul de la variance est laisse en exercice.

Application

Exercice

Un certain matriel a une probabilit p = 0, 02 constante de dfaillance chaque mise en service. On procde l'exprience suivante, l'appareil est mis

en marche, arrt, remis en marche, arrt, jusqu' ce qu'il tombe en panne.

Quelle est la probabilit que ce matriel tombe en panne (pour la premire fois)

au dixime essai ?

Le nombre d'essais ncessaires pour obtenir la panne est une variable alatoire

X suivant une loi gomtrique de paramtre p. La probabilit que ce matrieltombe en panne (pour la premire fois) au dixime essai est gale :

P (X = 0) = (0, 02)(1 0, 02)9 = 0, 0167Exercice

Un atelier fabrique un grand nombre d'objets. On admet que la probabilit

qu'un objet soit dfectueux est gale 1/100. Combien doit-on contrler depices pour avoir 95 chances sur 100 d'obtenir au moins une pice dfectueuse ?Il s'agit d'une rptition d'une loi de Bernoulli avec une probabilit de succs

(obtenir une pice dfectueuse) p = 0, 01. On considre X la variable alatoirecorrespondant au nombre d'essais eectuer pour obtenir une pice dfectueuse,

X suit alors une loi gomtrique de paramtre p et sa loi est donne par

P (X = k) = p(1 p)k1, k = 1, 2, ...Ainsi on cherche k de telle faon que P (X = k) = 0, 95Variables alatoires continues

Une variable alatoire continue prend ses valeurs sur un ensemble inni non

dnombrable de points, elle dcrit par exemple la dure de vie d'une batterie de

voiture, l'heure d'arrive des voitures un page donn d'autoroute..

Il existe une fonction f non ngative, dnie pour toute valeur x de R et vriant,pour toute partie A de R, la proprit :

P (X A) =A

f(x)dx.

Rf(x)dx = 1

La fonction f est appele la densit de probabilit de la variable alatoireX.

12

La fonction de rpartition de la variable alatoire X, ayant pour densitde probabilit f , est dnie par :

FX(a) = P (X a) = a

f(t)dt

Pour toutes les valeurs a et b appartenant R, on a donc la relation :

P (a < X b) = FX(b) FX(a)

L'esprance d'une variable alatoire continue est donne par :

= E(X) = +

xf(x)dx,

et la variance

2 = V ar(X) =

+

(x )2f(x)dx.

Proprits de l'esprance et de la variance

Proposition

Soient X et Y deux variables alatoires (discrtes ou continues) sur l'espaceprobabilis (,A, P ). Alors on a, pour tous rels a et b, E(aX + b) = aE(X) + b, E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), V ar(aX + b) = a2V ar(X), V ar(X) = E(X2) (E(X))2, V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) si X et Y sont indpendants.Loi uniforme Une loi va tre uniforme si toutes les valeurs sont quiproba-

bles, mais il y a une innit de valeurs, on parlera d'quiprobabilit pour des

intervalles de mme taille.

Dnition

On dit que la variable alatoire continue X suit la loi uniforme sur [a, b] si sadensit est donne par :

f(x) =

{1ba si x [a, b]

0 sinon .

On note alors X U[a,b].Thorme

Soit X une variable alatoire telle que X U[a,b]. Alors

E(X) =a+ b

2

V ar(X) =(b a)2

12

F (x) =

0 si x < a

xaba si x [a, b]

1 si x > b.

13

Loi exponentielle Soit un rel strictement positif. On dit qu'une variablealatoire X suit la loi exponentielle de paramtre si elle admet pourdensit la fonction f dnie sur R par :

f(x) =

{0 si x < 0

ex si x 0.

On note X E().

Proposition

La fonction de rpartition d'une variable alatoire suivant une loi exponen-

tielle de paramtre est :

f(x) =

{0 si x < 0

1 ex si x 0.Thorme

Si X suit une loi exponentielle de paramtre > 0 alors X admet uneesprance et une variance donnes par :

E(X) =1

, V ar(X) =

1

2.

Une situation trs classique aussi o on envisage un modle exponentiel est

celle o on s'intresse au dlai de survenue d'vnements alatoires dans le temps

(souvent appel dure de vie), et o on admet que le devenir X d'un individu(au sens statistique du terme) ne dpend pas de son ge :

P (X x0 + x|X > x0) = P (X x),x > 0,x0 > 0

On peut montrer que cette condition implique que X suit une loi de type expo-nentiel.

Variable normale

Dnition

Soit X une variable alatoire continue. On dit que X suit la loi normale deparamtres m et 2 si sa fonction densit est donne par :

f(x) =1

2pie

(xm)222 , x R.

On note alors X N (m,2).

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Densit de la loi normale

Thorme

Soit X une variable alatoire telle que X N (m,2).On a alors E(X) = m et V ar(X) = 2.Proposition

SoientX et Y deux variables alatoires indpendantes telles queX N (m1, 21)et Y N (m2, 22). Alors

X + Y N (m1 +m2, 21 + 22).

Proposition

Soit X une variable alatoire telle que X N (m,2). On pose Z = Xm ,alors Z est une variable alatoire telle que Z N (0, 1).On dit que Z suit la loi normale centre rduite.Utilisation des tables statistiques de N (0, 1)Proposition

Soit Z telle que Z N (0, 1). Alors pour tout a > 0 on a{P (Z > a) = P (Z < a)P (|Z| a) = 2P (Z a) 1

La table 1 donne, pour direntes valeurs de u, les valeurs de p = P (Z u)avec Z N (0, 1). Ainsi

p = P (N (0, 1) u)

15

Exemple d'utilisation de la table 1

Soit Z N (0, 1). Dterminer les probabilits suivantes :P (Z 0), P (Z 1), P (Z 1, 96), P (Z 1)On lit par exemple dans la table 1 :

u = 0 = 0, 0 + 0, 00 p1 = P (Z 0) = 0, 5

u = 1 = 1, 0 + 0, 00 p2 = P (Z 1) = 0, 8413

u = 1, 96 = 1, 9 + 0, 06 p3 = P (Z 1, 96) = 0, 9750

p4 = P (Z 1)1 P (Z 1) = 1 0, 8413 = 0, 1587

16

Exemple d'utilisation de la table 2 Soit Z N (0, 1). Dterminer la valeur

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de u dans les cas suivants :(a) P (Z < u) = 0, 63(b) P (Z > u) = 0.63(c) P (|Z| < u) = 0.63Rponse

(a) On crit d'abord p = 0.63 + 0.000, puis on repre l'intersection de laligne 0.63 et la colonne 0.000 ce qui donne u = 0.3319.(b) On a P (Z > u) = 0.63, P (Z < u) = 1 0.63 = 0.37) donc on critd'abord p = 0.37 + 0.000 puis on repre l'intersection de la ligne 0.37 etla colonne 0.000 ce qui donne u = 0.3319.(u ngatif puisque 0.37 < 0.5.)(c) On remarque que P (|Z| < u) = 2P (Z < u) 1 = 0.63. Donc, P (Z 30, np > 5 et np(1 p) > 5,B(n, p) N (np, np(1 p)).Correction de continuit

On corrige de la faon suivante :

P (X k) P (N (0, 1) k+0,5npnp(1p) )

P (X = k) P ( k0,5npnp(1p) N (0, 1)

k+0,5npnp(1p) )

P (k X m) P ( k0,5npnp(1p) N (0, 1)

m+0,5npnp(1p) )

19

Exemple

On lance une pice de monnaie "honnte" 1000 fois. Quelle est la probabilit

d'obtenir au moins 548 piles ?

On dsigne par X la variable alatoire dsignant le nombre de piles obtenus.X suit une loi binomiale de paramtre n = 1000 et p = 1/2. On dsire calculerP (X 548). On remarque que

P (X 548) = 1 P (X < 548) = 1 P (X 547).On peut approcher la loi de X par une loi normale car n = 1000 > 30, np =500 > 5, np(1 p) = 250 > 5. Donc

P (X 547) P (N (0, 1) 547, 5 5005

10) P (N (0, 1) 3)

En utilisant la table 1, on obtient P (X 547) 0, 99865. D'o P (X 548) 0, 00135.Exercice 10 :

Une machine embouteiller peut tomber en panne. La probabilit d'une

panne chaque emploi est de 0,01. La machine doit tre utilise 100 fois. Soit

X le nombre de pannes obtenues aprs 100 utilisations.

1. Quelle est la loi de X ? Calculer P (X = 0), P (X = 1) et P (X 2).2. On estime le cot d'une rparation 500 dirhams. Soit Y la dpense pourles rparations aprs 100 utilisations. Calculer E(Y ) et V (Y ).Loi du Khi-deux

Dnition

SoientX1, ..., Xn n variables alatoires indpendantes telles queXi N (0, 1),i.Alors

X21 + ...+X2n 2nLa fonction densit de probabilit de 2n est donne par

f2n(t) =2

n2

(n/2)tn/21et/2,t > 0

On a reprsent ci-dessus la loi du 2n pour diverses valeurs de n (k dans lagure).

Densit de la loi du Khi-deux.

20

Thorme

Si X suit la loi du Khi-deux n degrs de libert, alors X admet une es-prance et une variance :

E(X) = n V ar(X) = 2n

Remarque

La table 3 donne les fractiles de la loi du Khi-deux.

Loi de Student

Dnition

Soient X N (0, 1) et Y 2n des variables alatoires indpendantes. AlorsXY/n

Tn

La fonction densit de probabilit de Tn est donne par

fTn(t) =(n+12 )npi(n/2)

(1 +t2

n)(n+1)/2

On a reprsent ci-dessus la densit de la loi de Student pour direntes

valeurs de n.( dans la gure).

21

Thorme

Si X suit la loi de Student n degrs de libert, alors

E(X) = 0 si n > 1

V ar(X) =n

n 2 si n > 2.Remarque

La table 4 donne les fractiles de la loi de Student.

22

CHAPITRE 3 :

Mthodes statistiques

Statistiques Descriptives

Statistique Descriptive : Vocabulaire des statistiques

Ensemble tudi : population

Sous-ensemble de cet ensemble : chantillon

lments de cet ensemble : individus

Objet de l'tude : caractre

Valeurs prises par le caractre : modalits

Ensemble des individus ayant mme modalit ou groupe de modalits :

classe

Type de caractres

Qualitatif : non mesur par un nombre

nominal : quand les modalits ne peuvent pas tre ordonnes.

ordinal : quand les modalits peuvent tre ordonnes.

Quantitatif : mesur par un nombre

discret : si l'ensemble des valeurs possibles est dnombrable.

continu : si l'ensemble des valeurs possibles est continu.

Prsentation fonctionnelle

Soit une population, X un caractre, i un individu. On note X(i) ou xila valeur du caractre X pour l'individu i. Le caractre X est une applicationde dans l'ensemble des modalits.Exemples de caractres qualitatifs

a. Couleur d'une voiture dans un parking (Nominal)

population : les voitures du parking

caractre : la couleur

modalits : bleu, vert,..

b. Dcision nale un examen (Ordinal)

population : un amphi

individus : tudiants

caractre : dcision

modalits : ajourn,passable, AB,B,TB,excellent

Exemples de caractres quantitatifs

a. Nombre d'enfants par famille marocaine (Discret)

population : familles marocaines

caractre : nombre d'enfants

modalits : des nombres entiers.

b. Note l'examen de statistiques des tudiants de votre amphi

(Continu)

population : un amphi

individus : tudiants

caractre : note

modalits : [0, 20].

23

Distributions statistiques : Eectifs, frquences

Variable qualitative ou discrte

Modalits Eectifs Frquences Frq. cumules

x1 n1 f1 = n1/N F1 = f1x2 n2 f2 = n2/N F2 = f1 + f2. . . .

. . . .

. . . .

xi ni fi = ni/N Fi = f1 + ..+ fi. . . .

. . . .

. . . .

xk nk fk = nk/N Fk = 100Total N =

ni 100% |||

Tableau des

frquences

Variable quantitative continue

Classes Ampli ni fi Fi di[a0, a1] A1 n1 f1 f1 d1 = f1/A1[a1, a2] A2 n2 f2 f1 + f2 d2 = f2/A2. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

[ai1, ai] Ai = ai ai1 ni fi f1 + ..+ fi di = fi/Ai. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

[ak1, ak] Ak nk fk 100% dkTotal ||| N 100% ||| |||Tableau des frquences

Exercice 1 : Nombre d'enfants par famille observ dans un chantillon de 133

familles

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 9 9 10

Echantillon de taille 133.

24

Solution

Xi ni i fi(%) Fi(%)0 2 2 1.5 1.51 8 10 6.0 7.52 10 20 7.5 153 52 72 39.1 54.14 25 97 18.8 72.95 14 111 10.5 83.46 17 128 12.8 96.27 2 130 1.5 97.78 0 130 0 97.79 2 132 1.5 99.210 1 133 0.8 100.0Total N = 133 ||| 100 |||

Exercice 2 : Age l'admission l'hpital pour un chantillon de 100 patients

10 22 24 42 37 77 89 85 28 63

9 10 7 51 2 1 52 7 48 54

32 29 2 15 46 48 39 6 72 14

36 69 40 61 12 21 54 53 58 32

27 33 1 25 22 6 81 11 56 5

63 53 88 48 52 87 71 51 52 33

46 33 85 22 5 87 28 2 85 61

16 42 69 7 10 53 33 3 85 8

51 60 58 9 14 74 24 87 7 81

30 76 7 6 27 18 17 53 70 49

Dpouiller ces donnes suivant une distribution de frquences en utilisant 9

classes avec 0 comme limite infrieure de la premire classe et 90 comme limite

suprieure de la dernire classe. Quel pourcentage de patients dont l'age est

suprieur ou gal 60 ans ?

Solution

Classes Ci ni fi(%) Fi(%)

[0 10[ 5 22 22 22[10 20[ 15 8 8 30[20 30[ 25 13 13 43[30 40[ 35 10 10 53[40 50[ 45 8 8 61[50 60[ 55 16 16 77[60 70[ 65 7 7 84[70 80[ 75 5 5 89[80 90[ 85 11 11 100Total ||| N = 100 100 |||

Fonction de rpartition Dnition

La fonction de rpartition du caractre quantitatif X est la fonction F ,dnie sur R valeurs dans [0, 1], dnie par :F (x) = proportion d'individus de l'chantillon dont la valeur de X est < x.

25

Si X est discrteAlors

F (x) =

0 si x < xiFi1 si xi1 x < xi, i 21 si x xk.Si X est une variable quantitative continueAlors, d'aprs la mthode d'interpolation linaire, on obtient

F (x) =

0 si x < a0

Fi1 + fiAi (x ai1 si ai1 x < ai, i 11 si x ak.Reprsentations graphiques d'une srie de donnes

Variable nominale

Diagramme en btons

A chaque modalit, on associe un "bton" de longueur hi proportionnelle lafrquence fi (ou, si l'on veut dire l'eectif ni). On a donc hi = cte fi.

Diagramme en secteur

L'angle de chaque secteur i est proportionnel la frquence fi. En degr, ona i = 360 fi.Exemple

Variable ordinale-Variable discrte

Variable ordinale

Diagramme en btons

Diagramme en secteurs

26

Variable discrte

Diagramme en btons car, dans ce cas, l'ordre et l'cart entre les btons

sont signicatifs.

Reprsentation d'une variable continue

Classes Amplitudes ni fi Densits de frquences[a0, a1] A1 n1 f1 d1 = f1/A1[a1, a2] A2 n2 f2 d2 = f2/A2. . . . .

. . . . .

. . . . .

[ai1, ai] Ai = ai ai1 ni fi di = fi/Ai. . . . .

. . . . .

. . . . .

[ak1, ak] Ak nk fk dkTotal ||| N 100% |||Amplitudes et densits de frquences

Histogramme- Polygone des frquences

Exercice

On a relev l'ge de 150 personnes. Les rsultats de l'enqute sont donnes

dans le tableau suivant :

27

Classes Eectifs

[20, 25[ 9[25, 30[ 27[30, 35[ 36[35, 40[ 45[40, 50[ 27[50, 60[ 6Total N=150

1. Tracer l'histogramme des frquences.

2. Tracer le polygone des frquences et la courbe cumulative.

Rponse

Classes Ai ni fi Fi di[20, 25[ 5 9 6 6 1.2[25, 30[ 5 2 18 24 3.6[30, 35[ 5 36 24 48 4.8[35, 40[ 5 45 30 78 6[40, 50[ 10 27 18 96 1.8[50, 60[ 10 6 4 100 0.4Total ||| 150 100 ||| |||

Paramtres associs la distribution d'une srie de donnes

Paramtres de tendance centrale

Paramtres de dispersion

Mode

Il est dni pour tous types de variables. Le mode n'est pas ncessairement

unique.

Dnition

Si X est une variable statistique nominale, ordinale ou discrte, le modede la distribution associe est la modalit de X la plus reprsente, c'est--dire pour laquelle l'eectif est le plus grand.

Si X est une variable continue, le mode (ou classe modale de la dis-tribution associe est la classe dont la densit de frquences est la plus

leve.

Exemple

Modalit ni fi(%)A 19 37,3

B 14 27,5

C 12 23,5

D 6 11,8

Mode=A

Classes Ai ni fi(%) di[20, 25[ 5 9 6 1.2[25, 30[ 5 2 18 3.6[30, 35[ 5 36 24 4.8[35, 40[ 5 45 30 6[40, 50[ 10 27 18 1.8[50, 60[ 10 6 4 0.4Total ||| 150 100 |||

28

Classe modale=[35,40[

Mdiane

Dnition

La mdiane est la valeur centrale de la srie. On dit qu'elle partage la

srie en deux moitis. Ainsi 50% des lments de l'chantillon ont une valeurinfrieure la mdiane et 50% une valeur suprieure.

En gnral, on note x(1) < x(2) < ...... < x(n) la srie ordonne par ordrecroissant de la srie brute x1, x2, ..., xn de donnes.Alors,

Si n est impair M = x(n+12 )

Si n est pair M =1

2{x(n2 ) + x(n2+1)}

Exemple : Cas continu

Trouver la mdiane de la srie brute suivante :

21, 25, 28, 30, 27, 24, 31, 21, 28, 30, 25, 28, 26, 25.

Rponses : On ordonne la srie par ordre croissant :

21, 21, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 28, 28, 30, 30, 31

On a n = 14 qui est pair, donc la mdiane est

M =x(7) + x(8)

2=

26 + 27

2= 26, 5.

Cas continu

Dnition La mdiane de la distribution d'une variable continue X, r-partie en classes [ai1, ai[ est donne par : si F (ai1) < 0, 5 et F (ai) > 0, 5, la classe mdiane est [ai1, ai[ et oncalcule la mdiane par interpolation linaire sur l'intervalle [ai1, ai[ :

M = ai1 + (ai ai1) 0, 5 F (ai1)F (ai) F (ai1)avec F fonction de rpartition de X si F (ai1) = 0, 5 alors M = ai1.Exemple : Cas continu

Classes ni fi(%) Fi(%)[20, 25[ 9 6 6[25, 30[ 27 18 24[30, 35[ 36 24 48[35, 40[ 45 30 78[40, 50[ 27 18 96[50, 60[ 6 4 100Total 150 100 |||

29

D'aprs la table, la classe mdiane et [35, 40[ car

F (35) = 0, 48 < 0, 5 < F (40) = 0, 78.

En appliquant la formule de la mdiane, on obtient

M = 35, 33

Quantiles

Soit dans l'intervalle ]0, 1[. On note x(1) < x(2) < ...... < x(n) la srieordonne par ordre croissant de la srie brute x1, x2, ..., xn de donnes. Alors ondnit le nombre Q, quantile d'ordre , par

Si n n'est pas un entier naturel Q = x([n]+1)

Si n est un entier naturel Q = {12{x(n) + x(n+1)}

o [n] reprsente la partie entire de n.Si F (ai1) < et F (ai) > , par interpolation linaire on obtient :

Q = ai1 + (ai ai1) F (ai1)F (ai) F (ai1)Quartiles-Dciles

Quartiles

Les quartiles partagent la srie en 4 :

Q0,25 premier quartile ; Q0,5 mdiane ; Q0,75 dernier quartile.Dciles

Les dciles partagent la srie en 10 : (Q0,1, Q0,2, ..., Q0,9).Exemple : Cas discret

Trouver les quartiles de la srie brute suivante :

21, 25, 28, 30, 27, 24, 31, 21, 28, 30, 25, 28, 26, 25.

Rponses : On ordonne la srie par ordre croissant :

21, 21, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 28, 28, 30, 30, 31

On a n = 14 14 = 3, 5 qui n'est pas entier, doncQ0,25 = x(4) = 25.

Ainsi, 14 34 = 11, 5 n'est pas entier, doncQ0,75 = x(12) = 30.

Exemple : Cas continu

Classes ni fi(%) Fi(%)[20, 25[ 9 6 6[25, 30[ 2 18 24[30, 35[ 36 24 48[35, 40[ 45 30 78[40, 50[ 27 18 96[50, 60[ 6 4 100Total 150 100 |||

30

D'aprs la table, on obtient Q0,25 = 30, 2 et Q0,75 = 39, 5.Asymtrie

on emploie ce type de paramtres pour tudier la symtrie. Si

M Q0,25 >> Q0,75 M asymtrie gauche. sinon asymtrie droite.

Exemple

On considre les moyennes du semestre de deux classes de SMP :

Notes 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Eectifs SMP1 0 3 4 4 5 7 3 4 2 1 0 0Eectifs SMP2 2 4 3 3 3 4 3 2 2 3 1 2

Etudier l'asymtrie de ces deux sries.

Rponses :

SMP1 : M = 10, Q0,25 = 8, Q0,75 = 11 SMP2 : M = 10, Q0,25 = 7, Q0,75 =12, 5Moyenne arithmtique Dnition

La moyenne arithmtique d'une srie de donnes x1, ..., xn ou tout simplementmoyenne, note X est dnie par :

X =1

n

ni=1

xi =1

n

ki=1

nixi =

ki=1

fixi.

Dnition

La moyenne arithmtique d'une variable continue rpartie en classe [ai1, ai[ estdnie par

X 1n

ki=1

nici =

ki=1

fici.

o ci =ai1+ai

2 est le centre de la classe [ai1, ai[.Forme d'une distribution

Paramtres de dispersion

tendue

Etendue = x(n) x(1)cart interquartile

IQ = Q0,75 Q0,25. Cet intervalle englobe la moiti

31

Variance-cart type

Cas discret

V ar(X) =1

n

ni=1

(xi x)2 = 1n

ki=1

ni(xi x)2 =ki=1

fi(xi x)2

Cas continu

V ar(X) 1n

ki=1

ni(ci x)2 =ki=1

fi(ci x)2

Thorme

La variance peut aussi s'crire

Discret

V ar(X) =1

n

ni=1

x2i x2 =1

n

ki=1

nix2i x2 =

ki=1

fix2i x2.

Continu

V ar(X) 1n

ki=1

nic2i x2 =

ki=1

fic2i x2.

Dnition

On dnit l'Ecart-type :

(X) =V ar(X).

Coecient de variation

L'objectif de ce coecient est de fournir un indice quantitatif permettant de

comparer la dispersion de deux distributions de faon indpendante du choix

des units de mesure.

C.V. =(X)

X 100%Plus le coecient de variation est lev, plus la dispersion autour de la moyenne

est leve.

Exemple

On considre les moyennes du semestre de deux classes de SMP :

Notes 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

nide SMP1 0 3 4 4 5 7 3 4 2 1 0 0nide SMP2 2 4 3 3 3 4 3 2 2 3 1 2

1. Calculer les coecients de variations de SMP1 et SMP2.

2. Commenter.

Rgression linaire

On s'intresse tudier la relation entre deux variables X et Y . On veuttrouver la fonction f :

Y = f(X)

32

La srie statistique est alors une suite de n couples des valeurs prises par deuxvariables sur chaque individu :

(x1, y1), ....(xi, yi), ...(xn, yn)

Nuage de points

Exemple de nuage de points.

Analyse des variables : paramtres marginaux

X =1

n

ni=1

xi, 2(X) =

1

n

ni=1

(xi X)2;

Y =1

n

ni=1

yi, 2(Y ) =

1

n

ni=1

(yi Y )2.

Dnition

La covariance est dnie

Cov(X,Y ) =1

n

ni=1

(xi X)(yi Y ).

Proprits de la covariance

Remarque

La covariance peut prendre des valeurs positives, ngatives ou nulles.

Quand X = Y,Cov(X,Y ) = 2(X) = 2(Y ).Thorme

La covariance peut galement s'crire :

Cov(X,Y ) =1

n

ni=1

xiyi XY .

33

Corrlation

Dnition

Le coecient de corrlation est dni par :

r(X,Y ) =Cov(X,Y )

(X)(Y ).

Le coecient de dtermination est le carr du coecient de corrlation :

r2(X,Y ).

r(X,Y ) mesure la dpendance linaire entre X et Y .Nuages de points et Corrlation

Droite de rgression

Dnition

La droite de rgression est la droite qui ajuste au mieux un nuage de

points.

On considre que la variable X est explicative (indpendante) et que lavariable Y est explique (dpendante). Donc, l'quation d'une droite est y =a+ bxCritre des moindres carrs

Pour dterminer la valeur des coecients A et b on utilise le principe desmoindres carrs qui consiste chercher la droite qui minimise la somme des

carrs des rsidus :

M(a, b) =

ni=1

e2i =

ni=1

(yi a bxi)2.

Le rsidu ei est l'erreur que l'on commet en utilisant la droite de rgressionpour prdire yi partir de xi. Donc

34

Les valeurs yi = a+ bxi sont appeles les valeurs prdites. On a

Y = Y .

Les valeurs ei = yi yi sont appeles rsidus. On aE = 0.

Nuage de points et Rsidu

Estimation de a et bThorme

Les coecients a et b qui minimisent le critre des moindres carrs sontdonns par :

b =Cov(X,Y )

2(X), a = Y bX.

L'quation de la droite de rgression de Y en X :

y =Cov(X,Y )

2(X)(x X + Y .

La droite de rgression de Y en X n'est pas la mme que la droite dergression de X en Y . On a la formule de dcomposition de la variance :

V ar(Y ) = V ar(Y ) + V ar(E)

Qualit de la rgression

On appelle r2(X,Y ) (coecient de dtermination) la part de variance ex-plique :

r2(X,Y ) =V ar(Y )V ar(Y )

.

C'est un indicateur de la qualit de la rgression.

Exemple 1

On considre les deux variables X et Y dont on connat quelques valeurs :

35

xi 10 20 30 40 50 60yi 30 60 90 120 150 180

Quelle est la droite de rgression de Y en fonction de X ? Rponse :X = 35, Y = 105, Cov(X,Y ) = 875, 2(X) = 291.66, a = 0, b = 3. Ainsi ladroite de rgression de Y en fonction de X est y = 3x.

Exemple 2

Le tableau suivant donne la longueur totale X d'un oiseau (en cm) en fonctionde la longueur Y de son uf (en mm).

X 15 32 79 40 55 16 22 20Y 8 25 60 32 38 10 15 13X 28 17 16 18 57 30 23Y 16 11 8 11 60 26 13

1. Calculer les moyennes respectives X et Y des variables X et Y .

2. Calculer les variances respectives 2(X) et 2(Y ) des variables X et Y .

3. Calculer le coecient de corrlation linaire r(X,Y ) entre X et Y . Com-menter ce rsultat.

4. Dterminer la droite de rgression linaire de Y en X.

5. Quelle longueur de l'uf peut-on prvoir pour une longueur totale de

l'oiseau de 70 cm?

1. X = 31, 2 cm et Y = 23, 07 mm.

2. V ar(X) = 2(X) = 332, 29 cm2 et V ar(Y ) = 2(Y ) = 285, 13 mm2.

3. (X) = 18, 23 cm, (Y ) = 16, 89 mm, Cov(X,Y ) = 296, 32 cm.mm ainsir(X,Y ) 0, 96.Le coecient de dtermination r2(X,Y ) 0, 93 est proche de 1. Il existedonc une forte dpendance linaire entre X et Y .

4. L'quation de la droite de rgression linaire est y = a+bx avec a 4, 76et b 0, 89.5. La longueur de l'uf 4, 76 + 0, 89 70 = 57, 54 mm.

Rgression non-linaire

De nombreux modles non-linaires se ramnent facilement aux modles

linaires par des simples transformations. Voici quelques cas frquents :

Dpendance Transformation Droite de

non-linaire rgression linaire

y = kex Y = log(y) Y = log k + x

y = kx Y = log(y), X = log(x) Y = log(k) + X

y = xx+k Y =1y , X =

1x Y =

1 +

kX

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