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PROBABILITES

Cours et exercices

Mr. AHBLI Mustapha

GROUPE EXCELLENCE TANGER 20/03/2015

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SOMMAIRE

I- Le modle probabiliste

1- Evnements

2- Loi de probabilit, espace de probabilit

3- Le cas o les vnements lmentaires sont quiprobables

4- Exercices

II- Probabilits conditionnelles

1- Dfinition

2- Deux rsultats de dcomposition

3- Evnements indpendants

4- Exercices

III- Variables alatoires : gnralits

1- Dfinitions

2- Variables alatoires discontinue

3- Variables alatoires continue

4- Couples de variables alatoires

5- Variables alatoires indpendantes

6- Exercices

IV- Caractristiques dune variable alatoire

1- Esprance mathmatique

2- Variance

3- Covariance

4- Exercices

V- Variables alatoires usuelles

1- Loi de Bernoulli (p)

2- Loi binomiale (n, p)

3- Loi hypergomtrique

4- Loi uniforme

5- Loi de Poisson ()

6- Loi exponentielle

7- Loi normale (, )

8- Exercices

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I- Le modle probabiliste

1. Evnements

Etant donne une exprience alatoire, on note l'ensemble de tous les rsultats possibles de

cette exprience.

Un singleton de est appel vnement lmentaire.

Un sous-ensemble A de est appel un vnement. Un vnement A est donc un ensemble

constitu de rsultats possibles de l'exprience. Si le rsultat d'une exprience est dans A, on

dit que A est ralis.

Exemple 1-2 : Sept tudiants doivent passer un oral d'examen. On leur distribue un numro

d'ordre. On pose :

= {tous les alignements des sept lettres a, b, c, d, e, f, g}

Le rsultat cfabdeg signifie que l'tudiant c est le premier, a le second, ....

L'ensemble des arrangements qui commencent par cf est un vnement.

Dans le cadre de la thorie des probabilits, un vnement est gnralement dfini comme

l'ensemble des rsultats ayant une proprit donne. La plupart du temps, l'ensemble A est

not comme la proprit qui le dfinit. Donnons quelques exemples de telles assimilations :

: vnement certain

: vnement impossible

A B : vnement (A ou B)

A B : vnement (A et B)

: (Non A), vnement contraire de A

A B = : les vnements A et B sont incompatibles

Exercice : Soit l'ensemble des rsultats possibles d'une exprience alatoire, et soient A, B

et C des vnements. Traduire en termes ensemblistes les vnements :

a) les trois vnements A, B et C sont raliss

b) aucun des vnements A, B ou C n'est ralis

c) au moins un des vnements est ralis

d) deux au plus des vnements est ralis

2. Loi de probabilit, espace de probabilit

Dfinition : Soit un ensemble. Une loi de probabilit P sur est une fonction qui tout

vnement A associe un nombre rel P(A), et qui a les trois proprits :

a) 0 P(A) 1,

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b) P () = 1

c) Pour toute famille finie ou dnombrable d'vnements deux deux disjoints :

P ( ) = .

(, P) s'appelle un espace de probabilit.

Exemple : On lance un d et on observe la face du dessus. On posera :

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} et on supposera que le d est parfaitement quilibr, de sorte que la

probabilit de chaque face est la mme :

P ({1}) = P ({2}) = P ({3}) = P ({4}) = P ({5}) = P ({6}) =

Remarquons qu'alors, la probabilit de tout vnement est calculable en utilisant la proprit

c) de la dfinition. Par exemple, comme {1, 3, 4} est la runion des trois ensembles 2 2

incompatibles {1}, {3} et {4}, on a :

P ({1, 3, 4}) = P ({1}) + P ({3}) + P ({4}) =

+

+

=

=

Exercice: Soit (, P) un espace de probabilit.

a) Si A est un vnement de probabilit P(A) connue, que vaut P ( ) ?

b) Si A B, comparer P(A) et P(B).

c) Calculer P (A ou B) en fonction de P (A et B), P(A) et P(B).

d) Montrer que P (A ou B) P(A) + P(B). Gnraliser cette ingalit un nombre fini

d'vnements.

3. Le cas o les vnements lmentaires sont quiprobables

Soit (, P) un espace de probabilit correspondant une exprience alatoire dont l'ensemble

des rsultats possibles est fini :

= {1, 2, ...., n}

Supposons que chaque rsultat "a autant de chances d'tre ralis qu'un autre", soit, en termes

probabilistes, que P est telle que :

P ({1}) = P ({2}) = ... = P ({n})

Comme la somme de ces n nombres est 1, leur valeur commune est gale 1/n. Soit

maintenant un vnement A. Sa probabilit est :

P (A) = = card (A).

=

Cette loi de probabilit est souvent appele loi uniforme sur . Calculer des probabilits par

une mthode directe dans ce cas revient donc dnombrer des ensembles.

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Exercice : 20 sujets sont au programme d'un oral d'examen. Le candidat tire au sort 3 de ces

sujets et traite l'un de ces trois. Combien doit-il avoir rvis de sujets pour avoir au moins 9

chances sur 10 de pouvoir traiter un sujet qu'il a rvis ?

4. Exercices

Exercice 1: Soit (, P) un espace de probabilit, et soient A et B deux vnements.

Montrer que si P(A) = P(B) = 0,9, alors, P (A B) 0,8.

Dans le cas gnral, montrer que P (A B) P(A) + P(B) - 1.

Exercice 2 : Deux personnes sont tires au sort dans un groupe de 30 composs de 10 femmes

et 20 hommes. Avec quelle probabilit ces deux personnes sont-elles des hommes ? Avec

quelle probabilit sont-elles des femmes ?

Exercice 3 : Un tiroir contient en vrac les 20 chaussettes de 10 paires diffrentes. On en sort

au hasard 4 chaussettes. Avec quelle probabilit obtient-on :

a) 2 paires

b) au moins une paire

II- Probabilits conditionnelles

1. Dfinition

Lanons un d parfaitement quilibr. Un bon modle probabiliste en est donn par :

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

muni de la loi de probabilit P uniforme.

Notons A l'vnement "le d donne au moins 4 points" et B l'vnement "le rsultat est

impair". Supposons qu'on ne retienne le rsultat du lancer que s'il est dans B. Dans cette

nouvelle exprience, l'vnement A est ralis quand on obtient un 5, et c'est avec la

probabilit relative

=

=

. Plus gnralement la probabilit relative de A sous

la condition que B est ralis est

. On l'appelle aussi probabilit de A sachant que

B, ou probabilit conditionnelle de A relative B, etc.

Dfinition : Soit (, P) un espace de probabilit, et soit B un vnement tel que P(B) 0. La

probabilit de A sachant que B est note P (A | B), et est dfinie par :

P (A | B) =

Exercice : Lanons un d parfaitement quilibr. Un bon modle probabiliste en est donn par

: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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Muni de la loi de probabilit P uniforme.

Notons A l'vnement "le d donne au moins 3 points" et B l'vnement "le rsultat est

pair".

2. Deux rsultats de dcomposition Les deux rsultats de ce paragraphe utilisent " l'envers" la dfinition de probabilit

conditionnelle, c'est--dire donnent un moyen de calcul de probabilits connaissant des

probabilits conditionnelles. Ils sont trs utiles dans la pratique.

Exemple : Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. Une personne tire une

boule et la garde, une deuxime personne tire une boule. Avec quelle probabilit les deux

boules tires sont-elles blanches ? On peut rpondre cette question en utilisant la dfinition

de probabilit conditionnelle. En effet, notons A l'vnement "la premire personne a tir une

boule blanche" et B l'vnement "la deuxime personne a tir une boule blanche". D'aprs la

dfinition, P (A et B) = P (B | A) P(A). Mais P(A) est connue, c'est 2/3. P (B | A) est aussi

connue : c'est 1/2 car, la premire personne ayant tir une boule blanche, la deuxime

personne tire une boule au hasard dans une urne qui contient une boule blanche et une boule

noire. Ainsi, P (A et B) vaut (2/3).(1/2) = 1/3.

Proposition : Soit (, P) un espace de probabilit, et soient A1, A2,, An des vnements.

On a :

P (An et An-1 et et A1) =

P (An | An-1 et et A1) P (An-1 | An-2 et et A1) P (A2 | A1) P(A1).

Cet nonc est constamment utilis dans le contexte des "chanes de Markov", qui

interviennent naturellement dans les problmes concrets o A1, A2,, An reprsente une

succession (temporelle) d'vnements, la probabilit de ralisation du n-ime vnement An

tant conditionne par "le pass" (probabilit sachant que A1 et et An- ont eu lieu).

Proposition : Soit (, P) un espace de probabilit, et soient C1, C2, , Cn n vnements

deux deux disjoints et dont la runion est l'ensemble de tous les rsultats possibles . En

termes ensemblistes, {C1, C2, , Cn} est donc une partition de ; en termes probabilistes,

on l'appelle un systme complet dvnements. Soit A un vnement. On a bien sr :

A = (A C1) (A C2) (A Cn) et les ensembles (A C1), (A C2), , (A Cn)

sont deux deux disjoints. Ainsi :

P (A) = P (A C1) + P (A C2) + + P (A Cn)

=P (A | C1) P (C1) + P (A | C2) P (C2) + + P (A | Cn) P (Cn)

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Exercice : En mars 1994 (enqute sur l'emploi INSEE 1994), la population active en France

comprend 44,7% de femmes. Le taux de chmage chez les hommes est 10,8% ; il est chez les

femmes 14,3%. On tire au sort une personne parmi les actifs.

a) Avec quelle probabilit est-elle au chmage ?

b) Sachant qu'elle est au chmage, avec quelle probabilit est-ce une femme ?

3. Evnements indpendants

Il est naturel de poser que, du point de vue de leur probabilit de ralisation, deux vnements

A et B sont indpendants si le fait de savoir que B est ralis n'apporte pas d'information sur

les chances de ralisation de A, c'est--dire si la probabilit de A sachant que B est gale

P(A), et donc si P(A B) = P(A).P(B). Posons pour dfinition plus gnrale la suivante :

Dfinition : Soit (, P) un espace de probabilit, et soit (Ai)i I une famille d'vnements. On

dit que ces vnements sont indpendants dans leur ensemble si, quelle que soit la partie finie

J de I, P ( ) = .

Exercice :

a) Montrer que si A et B sont indpendants, A et , et B, et le sont aussi.

b) Deux vnements A et B incompatibles sont-ils indpendants ?

4. Exercices

Exercice 1: Avec quelle probabilit une famille de 3 enfants comporte-t-elle au moins un

garon ?

Exercice 2 : Une exprience est conduite pour tudier la mmoire des rats. Un rat est mis

devant trois couloirs. Au bout de l'un d'eux se trouve de la nourriture qu'il aime, au bout des

deux autres, il reoit une dcharge lectrique. Cette exprience lmentaire est rpte jusqu'

ce que le rat trouve le bon couloir. Sous chacune des hypothses suivantes :

(H1) le rat n'a aucun souvenir des expriences antrieures,

(H2) le rat se souvient de l'exprience immdiatement prcdente,

(H3) le rat se souvient des deux expriences prcdentes, avec quelle probabilit la

premire tentative russie est-elle la k-ime ?

Exercice 3 : Pour dcider d'un traitement thrapeutique, on utilise un test qui est positif 99

fois sur 100 si une personne est effectivement malade. Mais si une personne n'est pas malade,

le test est positif une fois sur 100. On sait par ailleurs que 5 personnes sur 100 ont cette

maladie.

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a) Si le test d'une personne est positif, avec quelle probabilit cette personne est-elle

effectivement malade ?

b) Si le test d'une personne est ngatif, avec quelle probabilit cette personne n'est-elle

effectivement pas malade ?

Calculer ces probabilits quand on sait que 5 personnes sur 1000 ont cette maladie.

Exercice 4 : La probabilit de fermeture du relai i des circuits dcrits ci-dessous est pi.

Tous les relais fonctionnent indpendamment. Dans chacun des cas suivants, quelle est la

probabilit pour que le courant passe entre A et B ?

a) A et B sont spars par n relais relis en srie.

b) A et B sont spars par n relais relis en parallle.

Exercice 5 : Un candidat d'un jeu tlvis amricain est face trois portes. Derrire l'une

d'elles se trouve le prix, - une voiture -. Le candidat se place devant la porte de son choix. Le

prsentateur de l'mission, qui lui sait o se trouve la voiture, ouvre alors l'une des deux autres

portes et indique au candidat que la voiture ne s'y trouve pas. Le candidat peut son tour

ouvrir une porte. S'il dcouvre la voiture, il la gagne.

Un candidat dcide d'adopter l'une des trois stratgies suivantes :

a) ouvrir la porte devant laquelle il s'est plac l'issu de son premier choix,

b) ouvrir l'autre porte,

c) tirer pile ou face et, s'il obtient pile, ouvrir la porte devant laquelle il s'est plac

l'issu de son premier choix, ouvrir l'autre porte s'il obtient face.

L'une de ces trois stratgies est-elle prfrable aux autres ?

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III- Variables alatoires : gnralits

1. Dfinitions

Une variable alatoire X est une variable associe une exprience ou un groupe

d'expriences alatoires et servant caractriser le rsultat de cette exprience ou de

ce groupe d'expriences.

On distingue les variables alatoires discontinues ou discrtes et les variables alatoires

continues.

2. Variable alatoire discontinue

2.1. Dfinition

Une variable alatoire est discrte si elle varie de faon discontinue, la variable ne

peut prendre que des valeurs entires.

Exemple :

Soit X la variable alatoire qui caractrise le rsultat de l'exprience alatoire "jet d'un

d homogne".

X est une variable alatoire discrte, elle peut prendre les valeurs entires 1, 2, 3, 4, 5, et 6.

Soit X la variable alatoire qui caractrise le nombre de garons dans une

famille de quatre enfants.

X est une variable alatoire discrte, elle peut prendre les valeurs entires 0, 1, 2, 3, et 4.

2.2. Distribution de probabilit

chacune des valeurs x que peut prendre une variable alatoire X, correspond une

probabilit p(x), c'est la probabilit que la variable alatoire X prenne la valeur x :

p(x) = p(X = x)

Lensemble des valeurs admissibles x et des probabilits correspondantes p(x)

constitue une distribution de probabilit discontinue. La relation entre x et p(x) est

appele loi de probabilit.

Pour toutes les distributions de probabilits dont les valeurs x correspondent des

vnements complmentaires, le total des probabilits est gal 1.

=1

La distribution cumule des probabilits est appele fonction de rpartition :

F (x) = p (X x) = ) (0 F(x) 1)

Exemple :

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Soit X la variable alatoire qui caractrise le rsultat de l'exprience alatoire "jet d'un

d homogne".

X est une variable alatoire discrte, elle peut prendre les valeurs entires 1, 2, 3, 4,

5, et 6 avec la probabilit constante 1/6.

3. Variable alatoire continue

Une variable alatoire est continue si elle prend n'importe quelle valeur relle

appartenant un intervalle donn.

Exemple :

Le poids est une variable alatoire continue.

La taille est une variable alatoire continue.

Un intervalle continu contient une infinit de valeurs. La probabilit d'obtenir exactement un

rsultat donn est gnralement nulle, bien que ce rsultat ne soit pas strictement impossible.

p(x) = p(X = x) 0

La notion de distribution de probabilit n'a donc plus de sens dans le cas continu. Par contre la

fonction de rpartition conserve toute sa signification.

La fonction f(x), drive de la fonction de rpartition F(x), est appele fonction de densit

de probabilit.

L'ensemble des valeurs admissibles pour une variable alatoire continue et la fonction

de densit de probabilit correspondante dfinissent une distribution de probabilit

thorique continue.

Le produit f(x)dx est appel lment de probabilit, c'est l'quivalent de la probabilit

p(x) pour une variable alatoire discontinue.

Pour une variable alatoire continue, le cumul de la fonction de densit de probabilit est gal

1 :

=1

F(x) =

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P (a X b) = F (b) - F (a) =

Exemple :

Soit une variable alatoire continue X dfinie par la fonction de densit de probabilit :

Exercice : Soit X une variable alatoire densit f dfinie par :

f(x) = c x si 1 x 4

= 0 sinon

a) Calculer la valeur de c.

b) Que vaut P (1 X 2) ?

c) Calculer et reprsenter graphiquement la fonction de rpartition de X.

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4. Couples de variables alatoires

Soit (, P) un espace de probabilit, et soient X et Y deux variables alatoires dfinies sur cet

espace. Le couple (X, Y) dfinit ce que l'on peut appeler une variable alatoire valeurs dans

: tout de , il associe en effet le vecteur (X(), Y()).

La loi de (X, Y), souvent appele loi conjointe de (X, Y), est dtermine par la donne, pour

tout sous-ensemble C de , de la probabilit P ({(X, Y) C}).

On montre que la loi conjointe de (X, Y) est dtermine ds qu'on connat P (X A et Y B)

pour tout couple (A, B) de sous-ensembles de R. On montre aussi qu'il suffit pour cela de

connatre la fonction de rpartition F du couple (X, Y) qui est dfinie par :

(x, y) F(x, y) = P ({Xx et Yy }) .

Remarquons que si la loi conjointe de (X, Y) est connue, on en dduit les lois de X et de

Y, appeles dans ce contexte lois marginales. En effet, pour tout sous-ensemble A de :

{X A} = {X A et Y R} = {(X, Y) A},

et on tire :

P (X A) = P ((X, Y) A*R).

Exercice : Soient (X, Y) un couple de variables alatoires dont la loi est telle que, si i et j sont

deux entiers tels que 0 i 2 et -i j i, P {(X, Y) = (i, j)} = 1/9.

a) Reprsenter graphiquement les valeurs prises par le couple (X, Y).

b) Quelle sont les lois marginales de X et Y ?

5. Variables alatoires indpendantes

Dfinition : Soient X et Y deux variables alatoires dfinies sur un espace de probabilit (,

P). On dit qu'elles sont indpendantes si pour tout couple (A, B) de sous-ensembles de R, les

vnements {X A} et {Y B} sont indpendants, c'est--dire si :

P (X A et Y B) = P(X A) P(Y B) .

Exercice:

Soient (X, Y) un couple de variables alatoires de loi donne par :

P {(X, Y) = (-1, 0)} = P {(X, Y) = (1, 0)} == P{ (X, Y) = (0, -1) } = P{ (X, Y) = (0, 1) } =

1/4.

X et Y sont-elles indpendantes ?

Proposition : Soient X et Y deux variables alatoires dfinies sur un espace de probabilit (,

P), de fonctions de rpartitions et . X et Y sont indpendantes si et seulement si, pour

tout couple (x, y) de rels : P(X x et Y y) = (x) (y)

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6. Exercices

Exercice 1 : On quipe un local souterrain de 5 ampoules lectriques. On suppose que les

dures de vie de ces ampoules sont des variables alatoires indpendantes, et de mme densit

f donne par :

f(x) =

si x > 200

= 0 sinon.

On contrle l'tat des ampoules aprs 300 heures d'utilisation. Avec quelle probabilit deux

(exactement) des ampoules sont-elles hors d'usage.

Exercice 2 : Une bote contient 5 transistors, dont on sait que 3 sont dfectueux. On teste l'un

aprs l'autre les transistors et on les met de ct, jusqu' avoir trouv les dfectueux. On note

N1 le nombre de tests effectus pour trouver le premier transistor dfectueux, et N2 le

nombre de tests complmentaires effectus pour trouver le deuxime.

Dcrire la loi conjointe de N1 et N2

IV- Caractristiques d'une variable alatoire

1. Esperance mathmatique

1.1. Dfinition

On appelle esprance mathmatique la valeur moyenne de la variable, elle remplace la

moyenne arithmtique dans le cas d'une variable statistique.

Cas discret : E(X) =

Cas continu : E(X) =

Exemple 1 :

Soit X la variable alatoire qui caractrise le nombre de garons dans une

famille de quatre enfants.

.

E(X) = = 0 0,0625+1 0,2500+2 0,3750+3 0,2500+4 0,0625

E(X) = 2

Dans une famille de quatre enfants on doit s'attendre avoir deux garons.

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Exemple 2 :

Soit une variable alatoire continue X dfinie par la fonction de densit de probabilit :

1.2. Proprits

L'esprance d'une fonction d'une variable X est :

Cas discret : E (g(X)) =

Cas continu : E (g(X)) =

Exemple :

Cas discret : E ( ) =

Cas continu : E ( ) =

Exercice 1 : Quelle est l'esprance de la variable alatoire qui reprsente le nombre de points

obtenus en lanant un d ?

Exercice 2 : Dans chacun des deux cas suivants, calculer E(X), dcrire la loi de et calculer

E ( ) :

a) P(X = -2) = 0,1 P(X = 1) = 0,6 P(X = 2) = 0,3

b) X densit f dfinie par :

f(x) = 1/2 si -1 x 1

= 0 sinon

Proposition : Soient X et Y deux variables alatoires sur un espace de probabilit

(, P), et soient a et b deux rels. Alors :

E (aX+b) = aE(X) + b

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Exercice 1 : Montrer les deux galits de cette proposition dans le cas o les lois de X et Y

sont discrtes.

Exercice 2 : On lance deux ds, et on note S la variable alatoire qui reprsente la somme des

points obtenus. Quelle est l'esprance de S ?

2. Variance

Exemple : Considrons les quatre variables alatoires :

X1 = 0, c'est--dire la variable "alatoire" constante et nulle,

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X2 de loi uniforme sur [-1, 1]

X3 de loi uniforme sur [-100, +100]

X4 telle que P(T=-3000) = 1/2 P(T=2000) = P(T=4000) = 1/4

Elles ont toutes quatre pour esprance 0, mais leurs lois sont clairement diffrentes. Une

caractristique qui les distingue est l'talement, la dispersion, des valeurs qu'elles prennent

autour de leur valeur moyenne E(Xi) = 0. Une faon de mesurer cette dispersion est de

regarder la valeur moyenne de la distance entre Xi et E(Xi). Pour des raisons pratiques, on

prfre choisir la valeur moyenne du carr de la distance entre Xi et E(Xi), qu'on appelle la

variance.

Dfinition : Soit X une variable alatoire sur un espace de probabilit (, P). La variance

(X) de X est :

(X) = E [ ]

L'cart-type (X) de X est : (X) = (X)

Exercice 1 : Soit X une variable alatoire.

Montrer que : (X) = -

Exercice 2 : On lance un d, et on note X la variable alatoire qui reprsente le nombre de

points obtenus. Quelle est la variance de X ?

Proposition : Soit X une variable alatoire.

a) La variance de X est nulle si et seulement si il existe un rel c tel que P(X=c ) = 1. On dit

alors que X est presque srement constante.

b) Soient a et b deux rels. Alors : (aX+b) = (X) (aX+b) = a (X)

Variable centre rduite

Une variable alatoire est dite centre si son esprance mathmatique est nulle, elle est dite

rduite si son cart-type est gal 1.

Toute variable alatoire peut tre transforme en une variable centre rduite par le

changement de variable

3. Covariance

Introduisons la dfinition de la covariance de X et Y :

cov(X, Y) = E [(X - E(X)) (Y - E(Y))]

Proposition : Soient X et Y deux variables alatoires sur (, P). Si X et Y sont indpendants,

alors :

cov(X, Y) = 0

(X+Y) = (X) + (Y) .

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Pour montrer ce rsultat, on commence par montrer que si X et Y sont indpendantes, E(XY)

= E(X) E(Y), et conclut en remarquant que sous cette mme hypothse, les variables

alatoires (X - E(X)) et (Y - E(Y)) sont indpendantes, ou encore en montrant l'galit cov(X,

Y) = E(XY) - E(X) E(Y).

Une caractristique souvent utilise en statistiques est un coefficient appel coefficient de

corrlation de deux variables alatoires X et Y. C'est par dfinition, - et si ni X ni Y n'est

presque srement constante - :

(X, Y) =

.

Remarquons que c'est un coefficient sans dimension.

On peut montrer par des mthodes classiques en analyse que :

-1 (X, Y) 1

(X, Y) = 1 si et seulement si il existe a > 0 et b rel tel que Y = aX + b

(X, Y) = -1 si et seulement si il existe a < 0 et b rel tel que Y = aX + b

Mfions-nous cependant : le fait que le coefficient de corrlation de X et Y est nul ne signifie

pas du tout que X et Y sont indpendantes (qu'il n'y a pas de corrlation entre X et Y).

Prenons par exemple une variable X de loi symtrique par rapport 0 (par exemple de loi

uniforme sur [-1, 1]), et posons Y = X2 . La loi de XY = X3 est aussi symtrique par rapport

0. Ainsi, E(XY) = 0 = E(X) E(Y), et donc (X, Y) = 0.

Pourtant, X et Y ne sont pas (du tout) indpendantes, puisqu'au contraire, la donne de la

valeur prise par X dtermine compltement la valeur prise par Y.

4. Exercices

Exercice 1 : Les transistors fournis par une usine sont dfectueux dans la proportion p. On

teste un transistor aprs l'autre jusqu' en obtenir un bon. On note N le nombre de tests

effectus. Quelle est la loi de N ? Calculer l'esprance de N.

Exercice 2 : Une machine est constitue de n sous-units identiques. Elle fonctionne si toutes

ses sous-units fonctionnent. Le procd de construction des sous-units est tel qu'elles sont

dfectueuses dans la proportion p, et indpendamment les unes des autres.

Pour construire une machine sans dfaut, deux procds sont envisags :

a) On construit une sous-unit, on la teste, si elle est bonne, on la monte, sinon, on la jette,

etc On continue jusqu' avoir mont les n sous-units de la machine. On suppose pour

simplifier qu'il n'y a pas de problme de montage. La machine ainsi construite est donc bonne.

b) On construit et monte sans les tester n sous-units, et on teste la machine ainsi constitue.

Si elle ne marche pas, on la jette, et on recommence jusqu' obtenir une bonne machine.

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On note : cu le cot de construction d'une sous-unit,

tu le cot du test d'une sous-unit,

tm le cot du test d'une machine,

et on suppose pour simplifier que le cot d'assemblage des units est nul.

1) On note C le cot de construction d'une bonne machine. Calculer l'esprance de C dans les

deux cas a) et b).

2) On suppose tu = tm = cu/2 , et n = 10 (puis n = 100). Suivant la valeur de p, quel est le

procd de fabrication qui est prfrable ?

V- Lois usuelles

Le but des lois thoriques est la description des phnomnes statistiques dont le but

de calculer la probabilit de certains vnements et donc d'avoir une certaine

reprsentation de l'avenir.

Nous tudierons au cours de ce paragraphe les lois de probabilits les plus courantes

qui vont nous permettre la description d'un phnomne alatoire dtermin. Nous

prsenterons ainsi la loi de Bernoulli, la loi binomiale, la loi uniforme, la loi exponentielle, la

loi hypergomtrique, la loi de poisson et la loi normale.

1. Loi de Bernoulli (p)

La loi de Bernoulli intervient dans le cas d'une seule exprience alatoire laquelle on associe

un vnement alatoire quelconque.

La ralisation de l'vnement au cours de cette exprience est appele succs et la probabilit

de ralisation est dite probabilit de succs, dsigne par p. Par contre la non-

ralisation de l'vnement est appele chec et la probabilit de non-ralisation est dite

probabilit d'chec, dsigne par q.

La variable alatoire X qui caractrise le nombre de succs au cours d'une seule

exprience alatoire est appele variable de Bernoulli, elle prend les valeurs entires 0

et 1 avec les probabilits respectives q et p.

Les caractristiques d'une variable Bernoulli sont :

Esprance mathmatique : E(X) = p

Variance : V(X) = pq

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Exemple :

On lance une pice de monnaie une seule fois. Soit X la variable alatoire qui caractrise

le nombre de piles obtenues. X est une variable de Bernoulli, elle prend les valeurs entires 0

et 1 avec la probabilit constante 0,5.

2. Loi binomiale (n, p)

La loi binomiale intervient dans le cas de plusieurs expriences alatoires identiques et

indpendantes aux quelles on associe un vnement alatoire quelconque.

La ralisation de l'vnement au cours de chacune des expriences est appele succs

et la probabilit de ralisation est dite probabilit de succs, dsigne par p. Par contre

la non-ralisation de l'vnement est appele chec et la probabilit de non-ralisation

est dite probabilit d'chec, dsigne par q ( q = 1 - p ).

Les probabilits p et q restent constantes au cours d'une suite d'expriences alatoires. C'est le

cas des prlvements d'individus au hasard dans une population infinie ou le

prlvement d'individus dans une population finie, lorsque les individus sont remis en

place au fur et mesure des prlvements.

La variable alatoire X qui caractrise le nombre de succs au cours de n expriences

alatoires indpendantes est appele variable binomiale, elle prend les valeurs entires de 0

n.

La probabilit d'obtenir x succs et donc (n-x) checs au cours de n expriences

alatoires indpendantes est, pour x = 0, 1, ..., n :

La loi binomiale dpend de deux paramtres :

o n = nombre d'expriences alatoires indpendantes ;

o p = probabilit de succs au cours de chacune des n expriences alatoires, p

doit rester constante.

19

Une variable alatoire X qui sui une loi binomiale de paramtres n et p, est dsigne par :

X = (n, p)

Plus gnralement, la loi binomiale (n, p) est la loi d'une somme X de n variables

alatoires indpendantes suivant chacune la mme loi de Bernoulli (p). C'est aussi le

nombre de ralisations d'un vnement A lors de l'excution de n expriences alatoires

indpendantes, le rsultat de chacune ralisant A avec la probabilit p.

Esprance mathmatique

En appliquant la proprit de l'esprance d'une somme on peut crire :

E(X) = E(X1 + X2 + + Xn)

E(X) = E(X1) + E(X2) + + E(Xn)

E(X) = p + p + + p

E(X) = np

Variance et cart-type

En appliquant la proprit de la variance d'une somme de variables alatoires

indpendantes on peut crire :

V(X) = V(X1 + X2 + + Xn)

V(X) = V(X1) + V(X2) + + V(Xn)

V(X) = pq + pq + + pq

V(X) = npq

Ecart type :

(X) =

Exercice 1: On lance 4 fois un d. On note X le nombre de fois o on obtient 6.

a) Pour k = 0, 1, 2, 3, 4, calculer P(X = k).

b) On note Xi la variable de Bernoulli qui vaut 1 si on tire un 6 au i-ime lancer, 0 si on ne

tire pas 6 ce lancer. Ecrire X en fonction des Xi , et en dduire la valeur de E(X) et de (X).

Exercice 2: Dans un lot important de pices, dont 10 % sont dfectueuses, on prlve un

chantillon de 20 pices. Quelle est la probabilit d'obtenir plus de deux pices dfectueuses ?

3. Loi hypergomtrique

La loi hypergomtrique intervient dans le cas de plusieurs expriences alatoires

dpendantes aux quelles on associe un caractre tudi quelconque.

La probabilit de succs varie d'une exprience alatoire l'autre. C'est le cas des

prlvements d'individus au hasard dans une population finie, lorsque les individus ne

sont pas remis en place au fur et mesure des prlvements.

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Dsignons par N l'effectif total de la population dans laquelle on prlve au hasard et

sans remise n individus. La population est compose d'individus qui possdent le caractre

tudi, le nombre de ces individus sera dsign par n1. n2 dsigne le nombre

d'individus de la population qui ne possdent pas le caractre tudi.

N = n1 + n2

La variable alatoire X, qui caractrise le nombre d'individus prlevs qui possdent le

caractre tudi, est appele variable hypergomtrique, elle prend les valeurs entires de 0

n.

La probabilit d'obtenir x individus possdant le caractre tudi parmi les n individus

prlevs et donc (n-x) individus ne possdant pas le caractre tudi est, pour x = 0, 1, ..., n :

La loi hypergomtrique dpend de trois paramtres :

o N = effectif total de la population ;

o n1 = nombre d'individus de la population qui possdent le caractre tudi ;

o n = nombre d'individus prlevs sans remise.

Une variable alatoire X qui sui une loi hypergomtrique de paramtres N, n1, et n

est dsigne par :

X = H (N, n1, n)

Les distributions hypergomtriques possdent des proprits semblables celles des

distributions binomiales.

La proportion des individus de la population qui possdent le caractre tudi est :

p=

La proportion des individus de la population qui ne possdent pas le caractre tudi est :

p=

Esprance mathmatique : E(X) = np

Variance et: V(X) =

npq ;

cart-type : (X) =

npq

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Exemple :

Dans une population de 40 personnes, dont 6 personnes sont originaires du Sud, 14 du Nord,

12 de l'Est et 8 de l'Ouest, on choisit au hasard un chantillon de 4 personnes.

La variable alatoire X dsigne le nombre d'individus de l'chantillon qui sont

originaire du Nord.

La population tant finie et les prlvements s'effectuent sans remise, la variable X suit donc

une loi hypergomtrique de paramtres :

N = effectif total de la population = 40

n1= nombre d'individus de la population qui sont originaires du Nord = 14

n = nombre d'individus prlevs sans remise = 4

La distribution de cette variable est telle que, pour x = 0, 1, 2, 3, 4 :

La proportion des individus de la population qui sont originaires du Nord est :

p=14/40=0,35

La proportion des individus de la population qui ne sont pas originaires du Nord est :

q=26/40=0,65

Esprance mathmatique : E(X) = np = 4 0,35 = 1,4

Variance et cart-type : V(X) =

npq =

4 0,65 0,35=0,84

22

Ecart type : (X) = =0,92

4. Loi uniforme

La loi uniforme sur intervalle [a, b] de est la loi de densit f :

f(x) =

si a x b

= 0 sinon.

E(X) =

(X) =

Exercice: Soit X une variable alatoire de loi uniforme sur [0, 1].

a) Calculer directement E(X) et (X).

b) On pose Y = a + (b-a) X . Que valent E(Y) et (Y) ? Quelle est la loi de Y ? Qu'en

conclut-on ?

5. Loi de poisson

La loi de poisson intervient pour des phnomnes statistiques dont le nombre de

ralisation varie de 0 l'infini et dont la frquence moyenne de ralisation est connue.

Exemple :

Nombre d'appels reus par un standard tlphonique.

Nombre d'accidents de la circulation.

Nombre de visiteur d'un centre commercial.

La variable alatoire X qui caractrise le nombre de ralisations de ce phnomne est appele

variable de poisson, elle prend les valeurs entires 0,1, 2, etc.

La probabilit d'obtenir x ralisations est, pour x = 0, 1, 2, ... :

p(x)=

La loi de poisson dpend d'un seul paramtre :

m = frquence moyenne du phnomne tudi.

Une variable alatoire X qui suit une loi de poisson de paramtre m est dsigne par :

X = P(m)

On peut dmontrer que l'esprance mathmatique d'une variable de poisson est gale

sa variance est gale au paramtre m :

E(X) = V(X) = m

Exemple :

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Un port a les moyens techniques de recevoir au maximum 4 bateaux ptroliers par

jour. Le reste est envoy vers un autre port. Quelle est la probabilit qu'un jour donn, le port

ne puisse recevoir tous les bateaux qui se prsentent, si on sait qu'en moyenne 3 bateaux se

prsentent par jour.

Dsignons par la variable alatoire X, le nombre de bateaux qui se prsentent un jour donn.

X suit une loi de poisson de paramtre 3.

X = P(3)

La probabilit qu'un jour donn, le port ne puisse recevoir tous les bateaux qui se

prsentent est :

P(X > 4) = 1 - p(X 4) = 1 - p(0) - p(1) - p(2) - p(3) - p(4)

6. Loi exponentielle

Soit un paramtre strictement positif. La loi exponentielle de paramtre est la loi de

densit f dfinie par :

f(x) = si x 0

= 0 sinon .

Si X suit cette loi :

E(X) = 1/ (X) =1/

7. Loi normale (, )

2.1. Dfinition

La loi normale est la loi continue la plus importante et la plus utilise dans le calcul

de probabilit. Elle est aussi appele loi de LAPLACE GAUSS1.

On appelle variable normale toute variable alatoire continue X dfinie dans l'intervalle

] [, par la fonction de densit de probabilit suivante :

m et sont des paramtres quelconques qui reprsentent respectivement la moyenne et l'cart

type de la variable.

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La loi normale dpend de deux paramtres m et . Une variable alatoire X qui suit

une loi normale de paramtres m et est dsigne par :

X = N (m, )

2.2. Loi normale rduite

On appelle variable normale rduite toute variable alatoire normale Z de paramtres m = 0 et

= 1.

Z = N (0, 1)

Une variable normale rduite est dfinie par la fonction de densit de probabilit suivante :

Toute variable normale X de paramtres m et peut tre transforme en une variable normale

rduite par le changement de variable suivant :

2.3. Forme de la loi normale

La reprsentation graphique de la fonction de densit de probabilit d'une variable normale est

une courbe en forme de cloche symtrique par rapport la moyenne m et caractrise

par l'existence d'un maximum en x = 0 et

En particulier la loi normale rduite est symtrique par rapport l'axe des abscisses et

caractrise par l'existence d'un maximum en z = 0 et f(z) = 0,40

La fonction de rpartition correspond l'aire comprise entre cette courbe et l'axe des

abscisses.

2.4. Dtermination pratique des probabilits

Pour le calcul de probabilits sans utiliser la fonction de densit, des tables de la loi normale

rduite ont t labores. On distingue deux tables de la loi normale rduite, relatives l'une

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la fonction de densit de probabilit et l'autre la fonction de rpartition. En raison

de la symtrie de la distribution, ces tables sont limites aux valeurs positives de z.

Par le changement de variable Z=

toutes les variables normales se ramnent la

loi normale rduite.

Table de la fonction de rpartition

Cette table donne les valeurs de la fonction de rpartition (z) pour des valeurs

positives z d'une variable normale rduite. En raison de la symtrie de f(z), on peut

dduire les valeurs

(z) pour les valeurs ngatives de z :

(-z) = p(Z -z) = p(Z > z) = 1 - p(Z z) = 1 - (z)

(-z) = 1 - (z)

Pour une variable normale quelconque X de paramtre m et

F(z)=p(X =p (

)=p (Z = (z)

F(x) = (z)

Pour lire une valeur (z) dans la table, il suffit de lire l'intersection entre la ligne

correspondante la valeur de z et la colonne correspondante au deuxime chiffre

aprs la virgule de z.

Exemple :

Pour qu'une pice fabrique par une machine soit utilisable, sa longueur doit tre

comprise entre 14,7 et 15,3 cm, sinon elle est rejete. Sachant que la longueur de

cette pice est une variable normale de paramtres 15 cm et 0,2 cm, quelle proportion

de pices peuvent tre rejetes.

Si on dsigne par la variable X la longueur des pices, X suit une loi normale :

X = N (15 ; 0,2)

Calculer la probabilit de rejet d'une pice.

2.5. Proprit d'additivit

La somme de deux ou plusieurs variables normales indpendantes est une variable normale de

moyenne la somme des moyennes et d'cart type la racine carre de la somme des

variances des variables initiales.

Soient X1, X2, ,Xn n variables normales de paramtres respectivement m1, m2, , mn et

1, 2, , n

.

26

Exemple : Pour se rendre son travail un ouvrier prend deux bus. La dure du trajet du

premier bus est une variable normale de paramtres 27 minutes et 5 minutes. La dure du

trajet du deuxime bus est une variable normale de paramtres 30 minutes et 2 minutes.

Quelle est la probabilit que cet ouvrier n'arrive pas en retard s'il dispose d'une heure ?

Exemple :

La valeur de (1,36) correspond l'intersection entre la ligne correspondante 1,3 et

la colonne correspondante 0,06, on peut lire la valeur 0,91309.

(-2,24) = 1 - 2,24) = 1 - 0,98745 = 0,01255

27

8. Exercices

Exercice 1 : On a constat que les disquettes produites dans une usine sont dfectueuses avec

une probabilit 0,01 indpendamment les unes des autres. L'usine conditionne ses disquettes

par botes de 10, et offre l'acheteur le remboursement d'une bote ds qu'au moins deux des

10 disquettes sont dfectueuses. Dans quelle proportion les botes sont-elles renvoyes ? Si

quelqu'un achte 3 botes, avec quelle probabilit renvoi-t-il exactement une bote ? au moins

une bote ?

Exercice 2 : On a constat que le nombre N de clients visitant par jour le magasin d'un

tapissier suit une loi de Poisson de paramtre 4, et que chaque client passe une commande 29

avec la probabilit 0,1 . On note C le nombre de commandes passes par jour. Quelle est la loi

de C ? Enoncer un rsultat plus gnral.

Exercice 3 : Le diamtre (exprim en cm.) des tomates livres une usine d'emballage

amricaine suit une loi normale (7, ), o est inconnu. Un tri automatique rejette toutes les

tomates dont le diamtre n'est pas compris entre 6cm et 8 cm.

a) On constate que 10% des tomates livres sont rejetes par ce procd de tri. Calculer l'cart

type .

b) Le directeur veut rduire 5% le pourcentage de tomates rejetes lors du tri. Ne pouvant

agir sur les livraisons, il installe un systme de tri qui rejette les tomates de diamtre infrieur

(7-s) ou suprieures (7+s). Calculer s.

Exercice 4 : On a constat qu'en absence d'pidmie, la variable alatoire qui reprsente le

poids d'un poulet de 81 jours pris au hasard dans un levage des Landes suit une loi normale

(1,8, 0,2), et que les poulets se dveloppent indpendamment. On note X la moyenne

arithmtique des poids de 100 poulets pris au hasard. Avec quelle probabilit a-t-on (1,79 <

X < 1,81) ? Mme question en remplaant 100 par 1000 poulets