cours Écrit probabilité

8/12/2019 Cours crit Probabilit

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Portail Des Etudiants Fsjes

Gnralits

Vocabulaire des probabilits :

L'exemple choisi pour introduire le vocabulaire probabiliste est le jet d'un d )

Epreuve ou exprience alatoire :

exprience pouvant tre rpte dans des conditions identiques et dont l'issue

n'est pas prvisible priori. ( Le jet d'un d en regardant le nombre

correspondant sur la face suprieure est une exprience alatoire)

Eventualit , cas possible :

rsultat d'une preuve, note gnralement 1, 2, ....

(Exemple : 1,2,3,4,5,6 sont les ventualits de l'exprience alatoire dfinie ci-

dessus comme exemple )

Univers :associ une exprience alatoire, ensemble des cas possibles d'une exprience

alatoire. L'univers est gnralement not .

( exemple choisi = {1,2,3,4,5,6} )

vnement :

partie de l'univers.( Exemple : "obtenir un nombre pair" est un vnement, A = {2,4,6} )

Si une ventualit appartient un vnement, on dit qu'elle ralise cet

vnement.

L'vnement particulier est un vnement particulier puisqu'il contient toute

les ventualits d'une mme exprience alatoire, il est donc toujours ralis on

l'appelle vnement certain.Aucune ventualit appartient lvnement , il est donc jamais ralis, est

appel vnement impossible.

vnement lmentaire :


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vnement rduit une seule ventualit ( Exemple : "obtenir 6" est un

vnement lmentaire , B= {6} ) Les vnements tant des ensembles on peutdfinir les mmes oprations que sur les ensembles.

Si A et B sont deux vnements d'une mme exprience alatoire :A le complmentaire de A est appel vnement contraire de A. ( Exemple si A

est l'vnement : A :"Obtenir un nombre pair " , A= {2,4,6} , A est

l'vnement contraire A: " Ne pas obtenir de nombre pair " , A= {1,3,5} ).Remarque deux vnements contraires sont incompatibles.

A B : l'vnement A B est la runion des vnement A et B . ( Exemple si A

est l'vnement : A :"Obtenir un nombre pair " , A= {2,4,6} , et B: " Obtenir un

nombre suprieur ou gal 4 ", B={4,5,6} A B : "Obtenir un nombre pair ou

4" et A B = {2,4,5,6})

A B : l'vnement A B est l'intersection des vnement A et B . ( Exemple siA est l'vnement : A :"Obtenir un nombre pair " , A= {2,4,6} , et B: " Obtenir

un nombre suprieur ou gal 4 ", B={4,5,6} A B : "Obtenir un nombre pair et

4" et A B = {4,6})

Si A B = , les vnements A et B sont ditincompatibles , il ne peuvent passe raliser en mme temps ( Exemple si A est l'vnement : A :"Obtenir un

nombre < 3 " , A= {1,2} , et B: " Obtenir un nombre suprieur ou gal 4 ",B={4,5,6} A B : "Obtenir un nombre < 3 et 4" et A B = ).


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Partition

Utilisation d'une partitionpour dnombrer un ensemble

Exemple d'nonc pour comprendre :

Dans une entreprise de 120 salaris, on sait parler au moins une langue parmi

l'Allemand, l'Espagnol , l'Anglais.

8 personnes parlent les trois langues,

2 parlent l'Allemand et l'Espagnol mais pas l'Anglais,

10 parlent uniquement l'Espagnol,101 personnes parlent l'Anglais,

50 personnes parlent l'Espagnol,

52 personnes parlent l'Allemand.

On veut dterminer :

le nombre de personnes qui

parlent l'Anglais et

l'Espagnol, mais pas

l'Allemand.le nombre de personnes qui

parlent l'Allemand et

l'Anglais mais pas l'Espagnol


parlent l'Anglais seul


parlent l'Allemand seul

On fait le graphe

correspondant :

Chaque disque correspond un groupe de personne pratiquant une langue ( sauf

le rouge)

on peut distinguer 8 partitions .

notons a, b, c, d , e, f , g, h le nombre d'lments de chaque partition, traduisonsl'nonc, on a :


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Il y a c = 30personnes parlant l'Anglais et l'Espagnol , mais pas l'Allemand.Il y a b = 35personnes parlant l'Anglais et l'Allemand mais pas l'Espagnol.

Il y a d = 7personnes parlant l'Allemand uniquement.


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Dnombrement

Dfinition :

dnombrer, c'est compter les lments d'un ensemble fini. Plusieurs mthodes

permettent de dnombrer un ensemble, le principe c'est d'organiser efficacementles donnes pour viter d'oublier des lments de l'ensemble.

Mthodes de dnombrement :

Arbre

Dnombrement d'un ensemble avec un arbre

Pour comprendre on va prendre un nonc type :

Enonc :

Une urne contient 7 boules numrotes de 1 7

on tire au hasard et successivement 3 boules de cette urnele tirage est avec remise, c'est dire qu'on remet la boule une fois tire. (voir

exemple de tirage ci-dessous)

Quel est alors le nombre de tirages possibles ?


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Il y a 7 choix possibles pour la premire boule de mme pour la seconde une fois

la premire boule sortie et de mme pour la troisime boule.

il y a dans ce cas 7 x 7 x 7 tirages possibles soit 343 tirages

(le nombre de ramification chaque branche est le mme , il s'agit en fait du

nombre de 3-listes dans un ensemble 7 lments )

on tire au hasard et successivement 3 boules de cette urne

le tirage est sans remise, c'est dire qu'on ne remet pas la boule une fois tire.

(exemple de tirage ci-dessous)

Quel est alors le nombre de tirages possibles ?


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Il y a 7 sorties possibles pour lapremire boule, mais la seconde boulesera quant elle tire parmi les 6

restantes et la troisime parmi les 5

restantes.

Le nombre de tirages est donc 7 x 6 x

5 = 210.

( le nombre de ramifications diminued'une branche chaque tape , il s'agit

en fait du nombre d'arrangements de 3lments pris parmi un ensemble de 7

lment )

on tire au hasard et simultanment 3 boules de cette urne(voir exemple de tirage ci-dessous ) il n'y a plus d'ordre d'arrive des boules

vous pouvez construire un arbre comme prcdemment et supprimer lesramifications quivalente puisque par exemple : ( , , ) = ( , , ) =

.....=....


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Ou bien calculer le nombre de

permutations possibles de trois boules

distinctes quelconques en vous aidant

d'un arbre vous devez en trouver 6.

il y a donc 210/6 = 35 tiragespossibles. (il s'agit en fait du nombre

de combinaison de 3 lments pris

dans un ensemble 7 lments)


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Combinaisons

Dfinition :Une combinaison de p lments pris parmi n lments d'unensemble E n lments est un sous ensembles de p lments pris parmi les n

lments de E.Soit E un ensemble n lments

E = { x1; x2; x3; x4; ......; xn}

Exemples de combinaisons de p lments :{x1; x2; x3; x4;.........; xp}

{x2; x3; x4; x5;.........; xp+1}

Remarque :{x1; x2; x3; x4;.........; xp} et {x2; x1; x3; x4;.........; xp} reprsente la

mme combinaison, ce qui fait la diffrence avec un arrangement.

Nombre de combinaison :

Le nombre de combinaisons de p lment pris dans un ensemble n lmentsest gal au coefficient binomial :

( on divise le nombre d'arrangements des p-lments pris parmi n par le nombre

depermutationsde ces p lments)

Dans l'exemple ci-dessous on a

dnombr l'aide d'un arbre le nombre

de combinaisons de 3 lments prisdans l'ensemble

E ={a,b, c, d}.

Le nombre de combinaisons est :

Permutations

Dfinitions :

Une permutation de n lment est un arrangementde n lments pris parmi n.

Soit E un ensemble n lments

E = { x1; x2; x3; x4; ......; xn}Exemples de permutation de n lments :

(x1; x2; x3; x4;.........; xn)

(x2; x1; x3; x4;.........; xn)

(x3; x2; x1; x4;.........; xn)(xn; xn-1; xn-2; xn-3;.........; x1)


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Nombre de permutations de n lments :

On dmontre que le nombre de permutation de n lment est :n! = n(n-1)(n-2)......2x1 ( n ! se lit factorielle n )

Exemple :le nombre de permutations de 3 lments d'un ensemble

E = {a, b,c}est : 3! = 6


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Arrangements

Dfinition :

un arrangement de p lments sur un ensemble n lments est unep-listedans

laquelle les lments sont deux deux distincts. ( p n)Soit E un ensemble n lments

E = { x1; x2; x3; x4; ......; xn}

Exemples d'arrangements de p lments :

(x1; x2; x3; x4;.........; xp)

(x2; x1; x3; x4;.........; xp)

(x2; x3; x4; x5;.........; xp+1)

Remarque :il ne peut plus y avoir rptition d'un mme lment.

Nombre d'arrangement de p lments pris dans un ensemble n lments :

Le nombre d'arrangement de p lment pris dans un ensemble n lments est

gal :


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pour le comprendre on peut faire un arbre :

Dans l'exemple ci-dessous on a

dnombr l'aide d'un arbre le nombre

d'arrangements de 3 lments pris dansl'ensembleE ={a,b, c, d}

le nombre d'arrangements est :

L'ensemble de ces arrangements est

{(a,b,c) ; (a,b,d), (b, a, d) ............}


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Calcul des probabilits

Pour calculer les probabilits associes la loi normale, on utilise gnralement

la loi normale rduite : cest une loi normale pour laquelle et .

La table suivante permet de dterminer la probabilit que la variablexscarte

de la moyenne de plus de z0vers le haut.Pour obtenir z0, on calcule lcart par rapport la moyenne: x - , puis on

divise par lcart type:

0z


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2me

dcimale dez0

Z0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 .500 .496 .492 .488 .484 .480 .476 .472 .468 .464

0.1 .460 .456 .452 .448 .444 .440 .436 .433 .429 .425

0.2 .421 .417 .413 .409 .405 .401 .397 .394 .390 .3860.3 .382 .378 .374 .371 .367 .363 .359 .356 .352 .348

0.4 .345 .341 .337 .334 .330 .326 .323 .319 .316 .312

0.5 .309 .305 .302 .298 .295 .291 .288 .284 .281 .278

0.6 .274 .271 .268 .264 .261 .258 .255 .251 .248 .245

0.7 .242 .239 .236 .233 .230 .227 .224 .221 .218 .215

0.8 .212 .209 .206 .203 .200 .198 .195 .192 .189 .187

0.9 .184 .181 .179 .176 .174 .171 .169 .166 .164 .161

1.0 .159 .156 .154 .152 .149 .147 .145 .142 .140 .138

1.1 .136 .133 .131 .129 .127 .125 .123 .121 .119 .1171.2 .115 .113 .111 .109 .107 .106 .104 .102 .100 .099

1.3 .097 .095 .093 .092 .090 .089 .087 .085 .084 .082

1.4 .081 .079 .078 .076 .075 .074 .072 .071 .069 .068

1.5 .067 .066 .064 .063 .062 .061 .059 .058 .057 .056

1.6 .055 .054 .053 .052 .051 .049 .048 .047 .046 .046

1.7 .045 .044 .043 .042 .041 .040 .039 .038 .038 .037

1.8 .036 .035 .034 .034 .033 .032 .031 .031 .030 .029

1.9 .029 .028 .027 .027 .026 .026 .025 .024 .024 .023

2.0 .023 .022 .022 .021 .021 .020 .020 .019 .019 .0182.1 .018 .017 .017 .017 .016 .016 .015 .015 .015 .014

2.2 .014 .014 .013 .013 .013 .012 .012 .012 .011 .011

2.3 .011 .010 .010 .010 .010 .009 .009 .009 .009 .008

2.4 .008 .008 .008 .008 .007 .007 .007 .007 .007 .006

2.5 .006 .006 .006 .006 .006 .005 .005 .005 .005 .005

2.6 .005 .005 .004 .004 .004 .004 .004 .004 .004 .004

2.7 .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003 .003

2.8 .003 .002 .002 .002 .002 .002 .002 .002 .002 .002

2.9 .002 .002 .002 .002 .002 .002 .002 .001 .001 .001

Lorsque lon doit dterminer une probabilit partir de la loi normale, on essaiede se ramener une probabilit considre dans la table.


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Quelques cas concrets sont illustrs ci-dessous.

1) x > + z0

xz0 + z0

Prob (table)

2) x < - z0

x

Prob (table)

z0 + z0 3) x plus loign de que z0

x

2Prob (table)

z0 + z0 4) x plus proche de que z0

x

1-2Prob (table)

z0 + z0 5) x z

0

x

1-Prob (table)

z0 + z0


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Exemples :Le poids des tomates produites par un jardinier obit une loi normale de

moyenne 200 gr et d'cart type 40 gr.

a. Calculez la probabilit que le poids d'une tomate excde 250 gr.

Solution:

%6,10106,0Prob

25,140

50gr50200250

0

z

b. Calculez la probabilit que le poids d'une tomate soit infrieur 100 gr.

Solution: gr100200100

la loi normale est symtrique on ne s'occupe pas du signe

5,240

1000

z

moins de 100 gr: on s'carte donc de la valeur moyenne = 200 gr de plus dez0

%6,0006,0Prob

c. Calculez la probabilit que le poids d'une tomate soit infrieur 230 gr.

Solution: gr30200230

75,040

300

z

Lintervalle ( 230 gr) considr contient la valeur moyenne (200 gr) on

prend 1Prob(table):%3,77773,0227,01Prob

d. Calculez la probabilit que le poids dune tomate ne scarte pas de la valeur

moyenne de plus de 20 gr.

Solution: on calcule dabord la probabilit que le poids scarte de plus de 20 gr,vers le haut ou vers le bas :

%9,30309,0Prob

5,040

20

40gr20

0

z

On doit multiplier par 2 car on considre les deux cts Prob = 2 0,309 =

0,618

On a donc une prob. de 0,618 que le poids s'carte de de plus de 20 gr, et donc

une prob. 1-0,618 que le poids ne s'carte pas de plus de 20 gr.

Rponse: 0,382 = 38,2 %


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Les lois de probabi l i ts

Dfinition : Une loi de probabilit est un MODELEreprsentant "au mieux",

une distribution de frquences d'une variable alatoire. Dfinir la loi deprobabilit dune exprience alatoire, cestdterminer les probabilits p1, p2,

, pn, de chacun de ces vnements : x1, x2, , xn.

On distingue deux type de lois :

Les lois "discrtes" Les lois "continues"

Comme l'tude de ces lois n'est pas simple, n'tudierons-nous que quelques-unes

d'entre elles.

Pour chacune d'elles il faut connatre :

L'esprance mathmatique E(X) (ou moyenne ) et la variance Var(X) (note )La forme de la fonction de rpartition et Les domaines et conditions d'utilisation

Dans le cas discret, il faut pouvoir calculer les nombres :Prob(X=k)

Dans les cas continus les nombres:

La fonction de densit sera note f(x), la fonction de rpartition F(x)

Variable alatoire et loi de probabilit

Dfinir une variable alatoire X, cest:

Faire une partition de lunivers avec les vnements constitu par lesdiffrentes issues possibles de lexprience,

Associer chaque vnement dune preuve un nombre rel x i.

Exemple :

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, lune dentre-elles porte

le numro 10, deux portent le numro 5, trois portent le numro 3 et les autres

portent le numro 1.

Lexprience consiste extraire au hasard une boule de lurne et noter son

numro.

Lunivers de cette exprience est form de lensemble des 10 boules. Onsintresse aux 4 vnements suivants qui forment une partition de :

Variable alatoire :

A1 : la boule extraite porte le numro 10 ;



A4 : la boule extraite porte le numro 1 .

On vient dassocier chaque vnement de la partition un nombre rel xiet donc

de dfinir la variable alatoire X : numro de la boule extraite. On dit que xi

=10 est une reprsentation de la variable alatoire XLoi de probabilit :


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A1 : la boule extraite porte le numro 10 dont la probabilit est Error!

A2 : la boule extraite porte le numro 5 , dont la probabilit est Error!

A3 : la boule extraite porte le numro 3 , dont la probabilit est Error!A4 : la boule extraite porte le numro 1 , dont la probabilit est Error!.

On peut consigner ces rsultats dans un tableau tel que celui-ci :

Xi = valeurs possibles de

lexprience

x1=10 x2=5 x3=3 x4=1

Pi probabilit correspondante p1=1/10 p2=2/10 p3=3/10 p4=4/10

Remarque : on a p1+ p2+ + pn= 1

Esprance mathmatique et variance

Esprance mathmatique dune variable alatoire:

Quand les vnements dune partition nont pas la mme probabilit on ne parlepas de moyenne mais desprance mathmatique que on note E{X}.

E{X}= px i

n

i i 1

avec n le nombre dvnements de la partition

Si les pisont tous gaux (quiprobabilit avec pi = 1/n) alors E{X} est gale

une simple moyenne.

Dans notre exemple : E{X}= 10 Error!+ 5 Error!+ 3 Error!+ 1Error!= 3,3Variance dune variable alatoire:

Si la loi de probabilit est quiprobable, la variance chiffre la dispersion des

vnements autour de la valeur moyenne. Si cette dispersion est grande ; la

moyenne est peu significative de la variable alatoire. La variance chiffre en

quelque sorte la qualit de la moyenne. En effet si la moyenne dune classe et de

12 mais que la dispersion est grande, un lve ne peut pas vraiment trepersuad de sa note. Si maintenant il sait que la dispersion est faible, il peut

sattendre avoir une note proche de 12.

Lorsque la loi de probabilit nest pas quiprobable la variance chiffre ladispersion autour de lesprance mathmatique. Elle se note V(X) et :

V(X) = (x1E(X)) p1+ (x2E(X)) p2+ + (xnE(X)) pn. Soit :

2

1

( ) ( )n

i i

i

V X p x E X

On somme les carts lesprance mathmatique au carr afin que les carts

ngatifs ne compensent pas les carts positifs. De la mme faon que dans


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lesprance mathmatique, ces carts sont pondrs avec les probabilits des

vnements.

Afin de saffranchir de cette somme au carr peu parlante on dfinit lcart typede la variable alatoire et :

Lcart type est la racine carre de la variance : X V X La loi de probabilit, lesprance mathmatiques et lcart type dfinissent

clairement une variable alatoire.


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Loi normale ou de Gauss

Supposons que nous tirions des chantillons alatoires d'une population

dont la taille moyenne est de 170 cm, avec un cart type de 10 cm.Traons l'histogramme de la taille, avec des classes de 5cm de large.

Examinons laspect de ces histogrammes.Echantillon de 10 individus

nom

br

e

d

i

nd

iv

id

u

s

taille (cm)140 160 180 200120

2

1

0

3

Echantillon de 100 individus

nom

br

e

d

i

nd

iv

id

u

s

taille (cm)140 160 180 200120

10

5

15

20

Echantillon de 1000 individus

no

mb

re

d

i

ndivi

du

s

taille (cm)140 160 180 200120

100

50

0

150

Echantillon de 10.000 individus

no

mb

re

d

i

ndivi

du

s

taille (cm)140 160 180 200120

1000

500

0

1500

Echantillon de 100.000 individus. (ici, les classes sont de 2 cm)

nom

br

e

d

i

nd

iv

id

u

s

taille (cm)140 160 180 200120

4000

2000

0

6000


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Au fur et mesure que la taille de l'chantillon augmente (et que la taille des

classes diminue), l'histogramme devient de plus en plus rgulier et se rapproche

d'une courbe en cloche, appele loi normale.Loi normale

n

om

b

r

e

d

i

n

d

i

vid

u

s

taille cm140 160 180 200120

La loi normale est la loi statistique la plus rpandue et la plus utile.

Elle reprsente beaucoup de phnomnes alatoires.

De plus, de nombreuses autres lois statistiques peuvent tre approches par la loi

normale, tout spcialement dans le cas des grands chantillons.Son expression mathmatique est la suivante:

2

2

2

2)(

x

e

n

xn

n(x)

+

x

est la moyenne lcart type

n le nombre total dindividus dans lchantillon n(x) le nombredindividus pour lesquels la grandeur analyse a la valeur x.


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Lorsque la distribution des individus dans une population obit la loi normale,

on trouve :

A. 50 % des individus en dessous de la moyenne et 50 % au-dessus (la loi

normale est symtrique)

x

50 %

B. 68 % des individus entre et

x +

68 %

C. 95 % des individus entre -1,96 et +1,96, que nous arrondirons

lintervalle 2,

x2 + 2

95 %

D. 99,7 % des individus entre et (il y a donc trs peu de chances

quun individu scarte de la moyenne de plus de 3).

x3 + 3

99,7 %


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La loi Binomiale

Epreuve de Bernouilli

Considrons une exprience dont l'univers ne contient que deuxvnements lmentaires. On appelle succs la ralisation de A et chec la

ralisation de son contraireA .Posons P(A) = p la probabilit de lvnement A et P(A ) = q la probabilit

de lvnement A . p et q sont lis par la relation p + q = 1

Exemple : Un joueur lance un d non pip et on sintresse lobtention du

six.

Soit A l'vnement on obtient un trois . Nous avons P(A) = 1/6 et P (A )

= 5/6.

Lorsqu'on s'intresse ainsi un vnement A ou son contraire , la

ralisation de l'exprience est appele preuve de Bernoulli.Loi Binomiale

Considrons une suite de n preuves de Bernoulli identiques et

indpendantes. On note p la probabilit commune de succs. On dit alors

quon est dans un schma de Bernoulli caractris par p la probabilit de

succs chaque preuve et n le nombre dpreuves.

Soit n un entier tel que n 1 et soit p [0, 1]. Par dfinition la variable

alatoire X qui dsigne le nombre de succs de probabilit commune p dans

un schma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramtres n et p, note

B (n ; p)Exemple : On lance plusieurs fois un d et on sintresse au nombre

dapparitions du six. On lance le d deux

fois :


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La loi de probabilit de la variable X qui compte le nombre de succs est :

Lesprance mathmatique E (X) = 3

1

6 =

1

2

La variance est V(X) = 3

1

6

5

6 =

5

12

Ainsi E{X} = n p et V(X) ) = n p p

xi 0 1 2 3

p( X = xi)

125

216

25

72

5

72

1

216


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Exemple jeu pile ou face pour n =5 et p = 1/2 pour avoir face

Dterminer la loi de probabilit pour k =6

Rponse

P(x=0) 1/32

P(x=1) =5/35

P(x=2)= 5/16

P(x=3) =5/16

P(x=4) =5/32

P(x=5) =1/3

E(x) =5/2 V(x) =5/4

Exemple 2

Loi de probabilit reprsente

pour p = 1/3 pour n = 5

Fonction de rpartition reprsente pour p = 1/3 n = 5


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pour n = 10

pour n = 10

pour n = 30

pour n = 30


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Loi de Poisson

Loi de Poisson : On dit qu'une variable alatoire X, valeurs dans suit une loi

gomtrique si sa loi de probabilit est :

o est un rel strictement positif

Esprance et variance mathmatique :

L'esprance mathmatique d'une variable alatoire suivant une loi de Poisson de

paramtre est E(X) =

La variance mathmatique d'une variable alatoire suivant une loi de Poisson deparamtre est V(X) =

jusqu' k = 5 pour =2

Loi de probabilit de X :

Reprsentation de la loi de probabilit,

puis de la fonction de rpartition de cette loi pour = 5


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