principe dinertie, centre de masse linvariance galiléenne impose que les lois de la mécanique...

Principe dinertie, centre de masse Linvariance galilenne impose que les lois de la mcanique classique sont les mmes dans tous les rfrentiels en translation uniforme (vitesse constante et sans rotation). Ces rfrentiel sont appels rfrentiels dinertie ou rfrentiel galilen. Nous admettrons comme postulat de base quil existe des rfrentiels dinertie pour lesquels les lois de la mcanique de Newton sappliquent. Si on ignore les effets de la rotation de la Terre, un rfrentiel li la Terre peut tre considr comme un rfrentiel dinertie. Si on veut tenir compte de la rotation de la Terre, il faut choisir un repre fixe par rapport aux astres.

Quantit de mouvement, principe dinertie La quantit de mouvement dun point matriel de masse m et de vitesse v est : p = m v Dans un rfrentiel dinertie, un systme isol (qui nest soumis aucune force extrieure et nest soumis quaux forces intrieures entre points matriels du systme), la quantit de mouvement totale p est constante, soit : Principe dinerties (1 re loi de Newton) Pour un systme de N points matriels de masse m i et de vitesse v i, la quantit de mouvement totale est :

Exemples de chocs et dexplosions : m1m1 v1v1 m2m2 v 2 = 0 Choc lastique (horizontal) : lnergie est conserve m1m1 v 1 =0 m2m2 v2v2 m 1 = m 2 En fonction des valeurs des masses, on a : m1m1 v1v1 m2m2 v2v2 m 1 < m 2 m1m1 v1v1 m2m2 v2v2 m 1 > m 2

Choc compltement inlastique ou choc mou : lnergie nest pas conserve m1m1 v1v1 m2m2 v 2 = 0 (m 1 +m 2 ) v1v1 Avant le choc Aprs le choc Les deux mobiles restent colls aprs le choc mou, la vitesse de lensemble est plus faible que la vitesse incidente de m 1.

(m 1 +m 2 ) v=0 m1m1 m2m2 v1v1 v2v2 Avant lexplosion lensemble est au repos, la quantit de mouvement est nulle. Aprs lexplosion les deux fragments acquirent des quantits de mouvement p 1 et p 2 dont la somme vectorielle reste nulle Si lnergie disponible pour lexplosion est E dispo, les fragments 1 et 2 se partagent cette nergie : explosion

Fuse V(t) v gaz gaz La fuse de masse au dpart M o jecte une masse de gaz par unit de temps la vitesse v gaz constante par rapport la fuse. La variation de masse de la fuse est : linstant t, la quantit de mouvement de la fuse est : linstant t+dt, la quantit de mouvement de la fuse est : La vitesse du gaz dans le rfrentiel terrestre est, la quantit de mouvement totale du systme fuse + gaz linstant t+dt est : La conservation de la quantit de mouvement implique que : Soit en regroupant :

Centre de masse M1M1 M4M4 MiMi M2M2 M3M3 r1r1 r3r3 r2r2 riri r4r4 O Soit un systme de points matriels M i de masse m i et de rayon vecteur r i = OM i. Le centre de masse est le point G dfini par o M est la masse totale du systme Remarque On a aussi

x y O Exemples : O 2 m 3 m m Trois masses alignes, m 1 = 2m ; m 2 = 3m et m 3 = m, sont situes respectivement 1m ; 6m et 10m dune origine O. Soit : G Nous cherchons la position du centre de masse dun demi disque homogne, de masse par unit de surface et de rayon R. le disque est assimil un ensemble de masses lmentaires dm i telles que : r dr rd G

Mouvement du centre de masse O est un point fixe du rfrentiel dinertie, la vitesse du point G est appele vitesse du centre de masse La quantit de mouvement du centre de masse est la quantit de mouvement totale du systme de masse totale M. Pour un systme isol et par consquent sont constant. G Exemple : explosion Si le systme est isol, aprs lexplosion la vitesse du centre de masse est gale la vitesse du systme avant lexplosion :

Lois de Newton Principe d inertie quantit de mouvement Principe fondamental de la dynamique Principe d action et de raction Exemples de forces gravitation poids frottements

Jusqu' prsent nous avons dfini comment la position et le mouvement d'une particule matrielle pouvait tre dfini. Nous allons maintenant rechercher pourquoi cette particule a un tel mouvement. s'il est au repos il reste au repos s'il est en mouvement, c'est un mouvement rectiligne uniforme c'est dire que la quantit de mouvement de cette particule est constante de mme que son moment cintique. Principe d'inertie (1 re loi de Newton): il existe des rfrentiels dits rfrentiels d'inertie ou de Galile, dans lesquels un point matriel isol ( la force ou la rsultante de toutes les forces qui lui sont appliques est nulle) conserve indfiniment son tat de mouvement:

Remarques: Le mouvement d'une particule n'est dfini que par rapport un rfrentiel, ce rfrentiel doit lui-mme tre un rfrentiel d'inertie ou de Galile (en translation rectiligne uniforme ou immobile). La Terre tant en rotation (autour de son axe et autour du soleil) et soumise aux interactions avec d'autre corps clestes, n'est pas un rfrentiel d'inertie. En pratique, l'acclration due la rotation tant faible (0,6 cm/s 2 ) et en ngligeant les interactions avec la Lune et le Soleil, on pourra en premire approximation considrer la Terre comme un rfrentiel d'inertie. Un rfrentiel li au Soleil ne serait pas non plus un vrai rfrentiel d'inertie car il dcrit un mouvement de rotation autour du centre de la galaxie, son acclration d'entranement est cependant trs faible (3 10 -8 cm/s 2 )

o I est le moment d'inertie du solide par rapport l'axe. Principe Fondamental de la dynamique ( 2 me loi de Newton): Ce couple est le moment d'une force applique la particule ou au systme de points par rapport au point O. Pour un solide de rvolution, en rotation autour de son axe, nous tablirons que : Si la quantit de mouvement d'un point matriel varie au cours du temps cela veut dire que cette particule n'est pas isole. Elle est soumise une Force gale la variation de la quantit de mouvement par unit de temps: Si le moment cintique d'une particule par rapport un point O quelconque varie au cours du temps cela veut dire qu'elle est soumise un couple de forces (qui la mette en rotation) gal la variation du moment cintique par unit de temps.

Dans un systme isol de deux points M 1 et M 2, l'action de M 1 sur M 2 est oppose l'action de M 2 sur M 1. Si on appelle la raction de M 1 sur M 2 alors : Principe d'Action et de Raction (3 me loi de Newton) : Soit un systme isol de deux points matriels de masses respectives m 1 et m 2, le systme tant isol on a : soit :

Un projectile, plac dans le champ de la pesanteur terrestre, est lanc avec une vitesse initiale faisant un angle avec lhorizontale. Nous dcrivons le mouvement dans un plan vertical, en le dcomposant suivant lhorizontale Ox et la verticale Oy. Lquation du mouvement rectiligne uniformment acclr est : Mouvement dun projectile Porte : cest la distance horizontale parcourue par le projectile. Si laltitude de dpart et darrive est la mme (Y = 0), le projectile atteint son but linstant t donn par : Les composantes de la vitesse initiale sur Ox et Oy sont : Il ny a pas dacclration dans la direction Ox : et sur Oy nous avons : En tirant t de X et en remplaant dans Y on trouve cest lquation dune parabole do la porte :

= 60 = 45 = 30

Oscillateur harmonique, force de rappel Force de rappel linaire : Exemple dun ressort : oscillateur une dimension o est la pulsation, les solutions sont du type o A et B dpendent des conditions initiales, dans le cas particulier o la vitesse initiale est nulle, on a :

Dans la ralit tout systme est soumis des frottements (fluide ou solide) qui dissipent de lnergie. Nous traitons lexemple dun oscillateur harmonique soumis une force de frottement fluide proportionnelle la vitesse du mobile o est le coefficient de frottement. Soit un ressort de duret k, fixe une extrmit et portant une masse m lautre. Lquation du mouvement est alors : En posant on a : Les solutions de cette quation diffrentielle sont du type do lquation caractristique : dont les solutions sont : On distingue 3 cas : Seules les racines imaginaires conduisent des oscillations, les racines relles donnent lieu des mouvements apriodiques. Pour chaque cas, les solutions gnrales sont des combinaisons linaires des solutions. Nous ne traitons en dtail que le cas des racines imaginaires.

Avec les deux racines imaginaires sont : La solution gnrale est alors une combinaison linaire de ces deux racines : En posant : Les termes entre parenthses reprsentent un mouvement sinusodal, le facteur reprsente la dcroissance exponentielle de lamplitude des oscillations. est la pseudo pulsation du mouvement sinusodal et la pseudo priode T est : Le dcrment logarithmique relie le rapport des amplitudes A 1 (t) et A 2 (t+T) la pseudo priode et lamortissement

Analogie lectrique : Soit un circuit lectrique oscillant comportant une capacit C, une inductance L et une rsistance R. les d.d.p. aux bornes de ces composants sont : Le circuit tant ferm, la somme des d.d.p. est nulle, soit : En comparant loscillateur mcanique amorti : nous pouvons dire que le rle de linductance L est similaire celui de la masse dinertie m, la rsistance R celui du coefficient de frottement et linverse de la capacit C (lastance) celui de llasticit k du ressort. par analogie, la pulsation du circuit lectrique est :

principe dinertie, centre de masse linvariance galiléenne impose que les lois de la mécanique...

Documents