Retour sur la dynamique de rotationMoment de force;Moment d’inertie;

Approximation des petits angles

Énergie dans un pendule simple

Travail personnel

En utilisant:

On trouve:

alors:

0 I

mgsin L I

(car si 0, alors 0)

I mL2

− mgsinθ × L = mL2α

(car: d2dt2

)d 2dt2

+gLsin 0

alors:

équation du genre:

Solution: (en radian)

avec: et

sin ( est exprimé en radian)

T 2 L

g

g

L

max

sin t + )

d 2x

dt 2 + 2x0

d 2dt2

+gL 0

1. La période T est indépendante de l’amplitude (max) pour des petits angles.

2. La période T est indépendante de la masse m.

L

h

m

m

Énergie totale E = K + Ug

Énergie potentielle gravitationnelle:

Énergie cinétique de rotation:

avec le moment d’inertie: I = m L2

Ug mghmgL1cos)

K 12

Iddt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 2

On sait que: (en radian)

alors: (en radian/s)

et: (en Joule)

Pour des petits angles: cos 1 - ½ 2 …

(en radian)(réf. p. 404)

alors:

soit: Ug mgL ×max

2 sin2 t + φ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

max

sin t + )

ddt

max cos t + )

K 12

mL2max2

2 cos2 t+φ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

En prenant:

on obtient:

Remarque: L’énergie dans un mouvement harmonique simple est proportionnelle au carré de l’amplitude !

2 g

L

E 12×mgL × max

2

Exercice 31 (page 30)

La masse de 20 g d’un pendule simple de longueur 0,8 m est lâchée lorsque le fil fait un angle de 30° avec la verticale.a)Trouvez la période;b)La position angulaire (t);c)L’énergie mécanique;d)Le module de la vitesse de la masse à = 15°

Exercice 31 (suite)

a) On sait que

b) Pour la fonction position

alors T =2lg=1,79 s

=g

l= 3,50 s−1

Exercice 31 (suite)

c) On peut calculer l’énergie mécanique totale au point de départ, c’est-à-dire, lorsque le pendule se trouve à la position angulaire = 30°. À ce moment, toute l’énergie se retrouve sous forme d’énergie potentielle gravitationnelle, soit:

d) Pour obtenir la vitesse à = 15°, on utilise la

fonction vitesse:

E =K +U =0 joule + mgh=mgL(1−cos) =21,5 mJ

d t( )

dt=3,50 ×

6

cos 3,50t+2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Exercice 31 (suite)

d) Pour obtenir la phase à = 15°, on utilise la fonction position:

t( ) =π

6sin 3,50t +

π

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=π

12

On trouve , si l’on désire un temps positif, on ajoute 2 à l’angle. Il ne faut pas oublier qu’il y a deux vitesses possibles pour une position donnée. Alors les valeurs possibles de la phase sont:

3,50t +2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=6

56

et 136

Exercice 31 (suite)

Soit: d t( )

dt=3,50 ×

6

cos56

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ et 3,50 ×

6

cos136

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Pour obtenir la vitesse tangentielle, on multiplie par le rayon du mouvement (ici la longueur du pendule), alors:

v =1,80 ×3,50 ×6

cos56

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ et 1,80 ×3,50 ×

6

cos136

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

On obtient v = ± 1,27 m/s. Puisqu’on demande le module de la vitesse, alors v = 1,27 m/s!

Faire l’exemple: 1.9.

La question: 4.

Les exercices: 27, 31 et 79.

Les problèmes 5 et 13