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  • 1 Exemples dutilisation du tableur en Analyse Exemple 1: la fonction exponentielle: Approximation par la mthode dEuler Exemple 2: la racine carre: Approximation par lalgorithme de Hron
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  • 2 Exemple 1: la fonction exponentielle: Faire le lien avec la physique: y(x) = k.y(x) fonction rciproque du logarithme solution de l'quation diffrentielle: y ' = y Introduction
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  • 3 Exemple dapplication en physique N: nombre de noyaux radioactifs dans une population de noyaux N : est une grandeur qui varie en fonction du temps: N(t) On a : Soit: N(t) = N(t)
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  • 4 La mthode dEuler pour y=f(x,y) et y(x 0 )=y 0 On subdivise lintervalle en n parties : x k =x 0 +h.k, avec h=(x-x 0 )/n En x k, on dfinit y k : Premier pas: en x 1, on pose: y 1 = y 0 +h. y(x 0 ) (y 1 :valeur en x 1 de la tgte la courbe reprsentative en (x 0,y 0 )) On approxime la courbe reprsentative de la fonction y par sa tangente en x 0 Itration: tape k:y=f(x,y) avec y(x k-1 )=y k-1, y k =y k-1 +h.f(x k-1,y k-1 ) Graphiquement: approximation affine par morceaux obtenue en reliant les points (x k,y k ).
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  • 5 x k = x 0 + h.k y k =y k-1 + h. f(x k-1,y k-1 ) au lieu de y(x k-1 ) Fig extraite du site: http://members.aol.com/lucjm/equadiff.htm
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  • 6 La fonction exponentielle: y=y et y(0)=1 Soit x un rel. On cherche une approximation de y(x) Sur [0,x], on prend le pas h=x/n, pour n entier On obtient:x k =kx/n y k =y k-1 +y k-1 x/n k=1,,n ou encore: y k = (1+h).y k-1 k=1,,n soit, par rcurrence: y n = (1+x/n) n La valeur y(x) cherche est donc la limite de (y n ) n o y n =(1+x/n) n. On montre que les suites (v n ) n et (z n ) n o z n =(1-x/n) -n ) n sont adjacentes et convergent vers la mme limite, note : exp(x).
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  • 7 Approximation de exp(x) laide dun tableur Calculer les (x k,y k ), Visualiser la courbe joignant les points (x k,y k ) Comparer avec la courbe de lexponentielle, changer le pas h... A chaque pas, la feuille de calcul affiche: La valeur de x k La valeur de y k Lerreur (diffrence entre y k et y(x k ))
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  • 12 Exemple 2: la fonction racine carre Algorithme de Hron dAlexandrie Soit A>0, on cherche approcher Premier pas: On choisit e 1: estimation de la racine alors la racine est entre e 1 et a 1 = A/e 1 Itration: e 2 =(a 1 +e 1 )/2 ainsi de suite: e n+1 =1/2(e n +A/e n ) La suite (e n ) n converge trs rapidement vers (la pente de la tangente de la courbe reprsentative de f(x)= tend vers 0 qd x tend vers )
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  • 13 Rsolution avec le tableur
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  • 14 Documents bibliographiques Arzarello F, Bazzini, Chiappini: 2001, A model for analysing algebraic processes of thinking, Perspectives on school algebra,Vol.22 Kluwer Academic Publisher Capponi B. :1999, Le tableur pour le collge, un outil pour lenseignement des mathmatiques, Petit x n52, IREM de Grenoble, pp.5-42 Capponi B. :2000, Tableur, arithmtique et algbre, Lalgbre au lyce et au collge, Actes des journes de formation de formateurs 4-5juin1999, IREM de Montpellier, pp.58-66 Rojano T.: 1996, Developing algebraic aspects of problem solving within a spreadsheet environment, Approaches to Algebra,, Kluwer Academic Publisher, pp.137-145 Rousselet Michel : 1999, Tableur et mathmatiques au collge, CNDP Rousselet Michel : 1998, Avec un tableur :quel est le prix de revient dune page imprime ?, Bulletin APMEP n419,

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