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Exemples d’utilisation du tableur en Analyse

• Exemple 1: la fonction exponentielle:Approximation par la méthode d’Euler

• Exemple 2: la racine carrée:Approximation par l’algorithme de Héron

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Exemple 1: la fonction exponentielle:

Faire le lien avec la physique: y’(x) = k.y(x)

fonction réciproquedu logarithme

solution de l'équation différentielle: y ' = y

Introduction

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Exemple d’application en physique

• N: nombre de noyaux radioactifs dans une population de noyaux

• N : est une grandeur qui varie en fonction du temps: N(t)

• On a :

• Soit: N’(t) = N(t)

noyaudu tiquecaractéris : )(

)( dttNtdN

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La méthode d’Euler pour y’=f(x,y) et y(x0)=y0

On subdivise l’intervalle en n parties : xk=x0+h.k, avec h=(x-x0)/n

En xk, on définit yk :Premier pas:

• en x1, on pose: y1= y0+h. y’(x0) (y1:valeur en x1de la tgte à la courbe représentative en (x0,y0)) On approxime la courbe représentative de la fonction y par sa tangente en x0

Itération:• Étape k: y’=f(x,y) avec y(xk-1)=yk-1,

yk=yk-1+h.f(xk-1,yk-1)

Graphiquement: approximation affine par morceaux obtenue en reliant les points (xk,yk).

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xk= x0+ h.kyk=yk-1 + h. f(xk-1,yk-1) au lieu de y(xk-1)

Fig extraite du site: http://members.aol.com/lucjm/equadiff.htm

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La fonction exponentielle: y’=y et y(0)=1

Soit x un réel. On cherche une approximation de y(x)• Sur [0,x], on prend le pas h=x/n, pour n entier• On obtient: xk=kx/n

yk=yk-1+yk-1x/n k=1,…,nou encore : yk= (1+h).yk-1 k=1,…,n

soit, par récurrence: yn= (1+x/n)n

La valeur y(x) cherchée est donc la limite de (yn)n où yn=(1+x/n)n.• On montre que les suites (vn)n et (zn)n où zn=(1-x/n)-n)n sont

adjacentes et convergent vers la même limite, notée : exp(x) .

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Approximation de exp(x) à l’aide d’un tableur

• Calculer les (xk,yk), • Visualiser la courbe joignant les points (xk,yk)• Comparer avec la courbe de l’exponentielle,

changer le pas h... • A chaque pas, la feuille de calcul affiche:

– La valeur de xk

– La valeur de yk

– L’erreur (différence entre yk et y(xk))

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Exemple 2:la fonction racine carrée

• Algorithme de Héron d’Alexandrie• Soit A>0, on cherche à approcher

Premier pas:• On choisit e1: estimation de la racine• alors la racine est entre e1 et a1= A/e1

Itération:• e2=(a1+e1)/2

• ainsi de suite: en+1=1/2(en+A/en)

• La suite (en)n converge très rapidement vers

(la pente de la tangente de la courbe représentative de f(x)= tend vers 0 qd x

tend vers )

A

A

A)(2

1

xA

x

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Résolution avec le tableur

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Documents bibliographiques• Arzarello F, Bazzini, Chiappini: 2001, ‘A model for analysing algebraic

processes of thinking’, Perspectives on school algebra,Vol.22 Kluwer Academic Publisher

• Capponi B. :1999, ‘Le tableur pour le collège, un outil pour l’enseignement des mathématiques’, Petit x n°52, IREM de Grenoble, pp.5-42

• Capponi B. :2000, ‘Tableur, arithmétique et algèbre’, L’algèbre au lycée et au collège, Actes des journées de formation de formateurs 4-5juin1999, IREM de Montpellier, pp.58-66

• Rojano T.: 1996, ‘Developing algebraic aspects of problem solving within a spreadsheet environment’, Approaches to Algebra, , Kluwer Academic Publisher, pp.137-145

• Rousselet Michel : 1999, ‘Tableur et mathématiques au collège’, CNDP

• Rousselet Michel : 1998, ‘Avec un tableur :quel est le prix de revient d’une page imprimée ?’, Bulletin APMEP n°419,