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Plan Introduction Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality) Approche utilisant la commande optimale Conclusion et perspectives Observateurs continu-discret par approximation supérieure d’ensemble atteignable Ngoc Thach DINH Université Lyon 1 INSA de Lyon LAGEP Département Génie Electrique Encadrants : V. Andrieu, M. Nadri, U. Serres, T. Redarce 6 septembre 2011 Ngoc Thach DINH Observateurs continu-discret

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PlanIntroduction

Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

Observateurs continu-discret par approximationsupérieure d’ensemble atteignable

Ngoc Thach DINH

Université Lyon 1 INSA de LyonLAGEP Département Génie Electrique

Encadrants : V. Andrieu, M. Nadri, U. Serres, T. Redarce

6 septembre 2011

Ngoc Thach DINH Observateurs continu-discret

PlanIntroduction

Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

1 Introduction

2 Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

3 Approche utilisant la commande optimaleCadre généralExemple particulier

4 Conclusion et perspectives

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PlanIntroduction

Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

Introduction

Etude des phénomènes physiques ou biologiques⇒ Modélisation mathématique

Modèle considéré :x = f (x , u)

Problème : A partir du modèle et des informations y = h(x)⇒ Comment connaıtre l’état du système ?

Une solution : Utiliser un algorithme d’estimation en temps réel(un observateur)

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PlanIntroduction

Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

Quelques approches pour des systèmes avec des mesures continues :

Grand-gain : J. P. Gauthier et. al. A simple observer for nonlinearsystems applications to bioreactors. IEEETransactions on AutomaticControl, 1992...

Par contractions et extension de dynamiques : V. Andrieu et L.Praly. On the existence of Kazantzis-Kravaris / LuenbergerObservers. SIAM Journal on Control and Optimization,2006...

Préservant les symétries du système : S. Bonnabel et. al.Symmetry-preserving observers. Automatic Control, IEEETransactions on, 2008...

Observateurs par intervalles : J. L. Gouzé et. al. Interval observersfor uncertain biological systems. Ecological modelling, 2000...

etc.

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PlanIntroduction

Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

Dans les applications pratiques, les mesures sont souvent discrètes :

Mesures hors-ligne : résultat d’un prélèvement ou d’une analyse d’unéchantillon qui nécessite un temps de traitement.

Mesures en ligne : mesures avec des contraintes de communications.

Synthèse d’observateurs en temps continu-discret est nécessaire.

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Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrixinequality)

Considérons le système :

x(t) = Ax(t) + φ(x(t), u(t))

avec la mesure en temps discret :

yk = Cx(tk) , tk+1 = tk + δ

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Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Hypothèses :

CONDITION D’OBSERVABILITE : La paire (A,C ) observable.

CONDITION DE LIPSCHITZ : Pour chaque (i , j) dans {1, n}2, il existeun nombre réel positif cij tel que pour tout (x , u) dans Rn × Rp :∣∣∣∣∂φi

∂xj(x , u)

∣∣∣∣ ≤ cij

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Approche utilisant le formalisme LMI (Linear matrix inequality)Approche utilisant la commande optimale

Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Classe d’algorithmes considérée : Observateur continu-discret :{˙x(t) = Ax(t) + φ(x(t), u(t)) , t ∈ [tk−1, tk)x(tk) = x(t−k ) + K (yk − Cx(t−k ))

où,x(t−k ) = lim

t→tk ,t<tk

x(t)

Problème d’estimation : Comment peut-on choisir K pour obtenir

limt→+∞

|x(t)− x(t)| = 0 ?

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Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

RAPPEL : le cas de mesure en temps continu{x(t) = Ax(t) + φ(x(t), u(t))y(t) = Cx(t)

Soit R l’ensemble des matrices n × n tel que pour toutes matricesR = (Rij)(i,j)∈{1,n}2 dans R, les éléments Rij prennent deux valeursAij + cij ou Aij − cij .

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Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

THEOREME (Zemouche et. al. dans S&CL 2008) S’il existe une matricesymétrique définie positive P et un vecteur L tels que l’inégalitématricielle suivante est satisfaite :

R ′P + PR − C ′L− L′C < 0, ∀R ∈ R,

alors le système

˙x(t) = Ax(t) + φ(x(t), u(t)) + P−1L(y(t)− Cx(t)),

est un observateur asymptotique dans le cas de mesure en temps continu(i.e. lorsque y(t) = Cx(t)).

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Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Quelques remarques sur ce résultat :

La condition suffisante est donnée en termes de LMI⇒ Nous pouvons utiliser un solveur LMI !

Existence de la solution non garantie en générale ! ! !

Sous l’hypothèse d’observabilité il existe une solution pour desci,j petits.Si (A,C ) sous forme observable et la fonction φ triangulaireinférieure, alors il existe une solution (grand-gain).

Cette approche peut donner une meilleure robustesse par rapport aubruit de mesure, en comparant avec les techniques grand-gain.

Objectif : Etendre cet approche au cas de mesure en temps discret.

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Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Regardons l’erreur d’estimation de système dans le cas de mesure entemps discret

e(t) = Ae(t) + ∆φ(x(t), u(t), e(t)) ,

t ∈ [(k − 1)δ, kδ[ ;

e(kδ) = (In + KC )e(kδ−) ,

où∆φ(x , u, e) = φ(x , u)− φ(x − e, u) .

Le théorème de la valeur moyenne donne :

∆φi (x , u, e) =∂φi

∂x(zi (x , e), u)e, i = 1, . . . , n .

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Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Ainsi, entre deux mesures l’erreur est solution de

e(t) = Ae(t) + V (t)e(t), (Σ)

où V (t) est une matrice n × n, dont les éléments,

vij(t), 1 ≤ i , j ≤ n

sont des contrôles "fictifs" bornés par ci,j .

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Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Etant donné un nombre réel positif δ, on définit une fonction multivaluéee 7→ Uδ(e) ⊂ Rn qui donne l’ensemble atteignable du système (Σ) entemps δ avec la contrainte de commande |vij | ≤ cij .

i.e, pour tout e0 in Rn et pour tout e1 in Uδ(e0), il existe une fonctiont 7→ V (t) telle que pour tout t dans [0, δ],

|vij(t)| ≤ cij , 1 ≤ i , j ≤ n

et telle que la solution e(t) initialisée en e0 avec la commande vij(·)satisfait e(δ) = e1.

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Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

THEOREME Il existe ` fonctions matricielles (t 7→ (Mi (t))i=1,...,` de R+

dans Rn×n, une matrice définie positive P dans Rn×n et un vecteur Wdans Rn tels que :

Uδ(e) ⊆ Convi={1,...,`}{Mi (δ)e} , ∀e ∈ Rn

et tels que l’inégalité matricielle suivante est satisfaite[P ?

(P + WC )Mi (δ) P

]> 0 , ∀i ∈ {1, `} ,

Alors, prenons K = P−1W , l’erreur d’estimation converge vers zéro.

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Conclusion et perspectives

Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

Discussion sur ce résultat :

La première étape est le calcul d’un ensemble atteignable pour dessystèmes bilinéaires

le calcul exact de cet ensemble atteignable n’est pas nécessairemais seulement une approximation supérieure en termes defonctions matricielles (t 7→ Mi (t))i=1,...,`

La deuxième étape est de résoudre une LMI

Pour un δ suffisamment petit, cette approche doit rejoindrel’approche de Zemmouche et. al. (S&CL 2008).⇒ les fonctions matricielles Mi satisfont certaines propriétéslocales

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Rappel : cas de mesures en temps continuUn observateur basé sur le calcul de l’ensemble atteignable

PROPOSITION Supposons qu’il existe P et L satisfaisant l’inégalitématricielle de Zemouche pour un ensemble de matrices R donné. Sil’ensemble de fonctions matricielles {t 7→ Mi (t)}i=1,...,` est tel que :

1 pour tout i , Mi (t) est une fonction de classe C 1 telle queMi (0) = In,

2 et puis {dMi

dt(0)

}i=1,...,`

⊆ R,

alors pour tout δ suffisamment petit, l’inégalité matricielle deAndrieu-Nadri est satisfaite avec la même matrice P et avec W = δL.

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Conclusion et perspectives

Cadre généralExemple particulier

Approche utilisant la commande optimale pour lessystèmes observables

Motivations

Le calcul d’une approximation supérieure de l’ensemble atteignablen’est pas facile

V. Andrieu - M. Nadri donnent une solution en imposant descontraintes structurelles

Equation dynamique de l’erreur d’estimatione(t) = Ae(t) + V (t)e(t) où V (t) = (vij(t)) sont des contrôles"fictifs" bornés par ci,j

⇒ Utiliser la commande optimale pour les système bilinéaires pour élargirla classe de systèmes d’application.

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Cadre généralExemple particulier

On considère un système observable mono sortie qui peut s’écrire sous laforme suivante :

x = Ax + φ(x , u)

A =

0 1 · · · 0...

. . .. . .

......

. . .. . . 1

0 · · · · · · 0

φ(x , u) =

00...

φn(x1, x2, ..., xn, u)

(yk) est une suite de scalaire donnée par

yk = Cx(tk) où C =[

1 0 . . . 0]

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Conclusion et perspectives

Cadre généralExemple particulier

La partie continue du système d’erreur s’écrit sous la forme :

e = Ae + Ve,

avec :

V =

0 0 · · · 0...

. . .. . .

......

. . .. . .

...v1 v2 · · · vn

où |vi | ≤ ci , ∀i ∈ {1, n}.

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Cadre généralExemple particulier

Une approximation supérieur de l’ensemble atteignable est simplementdonné par :

Uδ(e0) ⊆ Conv{ min|vi |≤ci

ej(δ), max|vi |≤ci

ej(δ)}

En dimension 2 cette approche revient à approximer l’ensembleatteignable par le plus petit rectangle contenant cet ensemble :

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Conclusion et perspectives

Cadre généralExemple particulier

Problème de contrôle optimal :

Pj(e0, δ) = minvi∈L∞

loc∀i∈{1,n}−ej(δ) Pn+j(e0, δ) = min

vi∈L∞loc∀i∈{1,n}

ej(δ)

Nous remarquons que dans les problèmes de contrôle optimal ci-dessus,

Le temps final δ est fixé,

Le point initial e0 est fixé,

Le point final est libre.

Le Hamiltonien du système :

H(e, p, v) = 〈p,Ae + Ve〉

où p(.) : [0, δ] −→ Rn une application absolument continue appeléevecteur adjoint.

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Cadre généralExemple particulier

THEOREME Supposons que t 7→ (e(t), v(t)) soit une extrémale associéeau j ème problème de minimisation. Il existe une fonction t 7→ p(t) :

1 pour tout 0 ≤ t ≤ δ nous avons :

e =

(∂H

∂p(e, p, v)

)′p = −

(∂H

∂e(e, p, v)

)′2 La condition de maximisation presque partout sur [0, δ] :

H(e, p, v) = maxs∈Rn,|si |≤ci

H(e, p, s) .

3 La condition de transversalité est :

1 Si j ∈ {1, n}

` ∈ {1, n} : p`(δ) = 0 , ` 6= j , pj(δ) = 1 .

2 Si j ∈ {n + 1, 2n}

` ∈ {1, n} : p`(δ) = 0 , ` 6= j − n , pj−n(δ) = −1 .

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Conclusion et perspectives

Cadre généralExemple particulier

Considérons le système suivant :{x1 = x2

x2 = φ2(u, x1)x = (x1, x2) ∈ R2, u ∈ Rp (p ≤ 2)

∣∣∣∣∂φ2

∂x1

∣∣∣∣ ≤ 1 et la sortie : yk = x1(tk).

Le système bilinéaire :{e1 = e2

e2 = ve1v ∈ [−1, 1] e = (e1, e2) ∈ R2

Avec la condition initiale : e(0) = e0 = (e0,1, e0,2) 6= (0, 0)

Le Hamiltonien :H = p1e2 + p2e1v

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Conclusion et perspectives

Cadre généralExemple particulier

Dans ce cas particulier, les quatres problèmes de contrôle optimals’écrivent :

1 P1(e0, δ) = minv≤1−e1(δ)

2 P2(e0, δ) = minv≤1−e2(δ)

3 P3(e0, δ) = minv≤1

e1(δ)

4 P4(e0, δ) = minv≤1

e2(δ)

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Cadre généralExemple particulier

THEOREME Si δ <√

3− 1 alors le vecteur (P1(e0, δ),P2(e0, δ)) est lasolution évaluée au temps δ du système autonome

e1 = e2 , e2 = signe(e1)e1 , e1(0) = e0,1 , e2(0) = e0,2 ,

et le vecteur (P3(e0, δ),P4(e0, δ)) est la solution évaluée au temps δ dusystème autonome

e1 = e2 , e2 = −signe(e1)e1 , e1(0) = e0,1 , e2(0) = e0,2 ,

⇒ Commande extrémale sous la forme de feedback

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Cadre généralExemple particulier

PROPOSITION Pour toutes valeurs de δ les commandes optimales desproblèmes P1, P2, P3 et P4 sont données par

v(t) = signe(p2(t)e1(t))

où t 7→ (p2(t), e1(t)) est la solution minimisante associé au problème decontrôle optimal en question.

PROPOSITION Pour les 4 problèmes de commande optimale l’élémentp2 du vecteur adjoint ne change pas de signe pour δ <

√3− 1.

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Cadre généralExemple particulier

Résolution des deux premiers problèmes P1 et P2

Le système que nous devons intégrer est de la forme{e1 = e2

e2 = signe(e1)e1

Si e1 > 0 : {e1 = e2

e2 = e1

e(0) = e0 = (e0,1, e0,2)

Nous trouvons :

e21 − e2

2 = e20,1− e2

0,2 (l’équation d’hyperbole)

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Cadre généralExemple particulier

Si e1 < 0 : {e1 = e2

e2 = −e1

e(0) = e0 = (e0,1, e0,2)

Nous trouvons :

e21 + e2

2 = e20,1 + e2

0,2 (l’équation de cercle)

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Cadre généralExemple particulier

⇒ 3 zones différentes correspondant au nombre de commutationsmaximal 0, 1 ou 2 comme nous illustrons dans la figure :

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Cadre généralExemple particulier

Bilan :

Remarque : δ <√

3− 1 ⇒ au plus une commutation

Zone max|u|≤1

e1(δ) max|u|≤1

e2(δ)

(0) e0,1 cosh δ + e0,2 sinh δ e0,1 sinh δ + e0,2 cosh δ

(1) e0,1 cos δ + e0,2 sin δ −e0,1 sin δ + e0,2 cos δ√e20,1 + e2

0,2 sinh(δ − α)√

e20,1 + e2

0,2 cosh(δ − α)

(2) e0,1 cosh δ + e0,2 sinh δ e0,1 sinh δ + e0,2 cosh δ

−√

e20,2− e2

0,1 sin(δ − tc) −√

e20,2− e2

0,1 cos(δ − tc)

où tc =1

2ln

(e0,2 − e0,1

e0,1 + e0,2

)et α = arctan

(−e0,1

e0,2

)α ∈ [0, π]

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Cadre généralExemple particulier

L’ensemble de matrices Mi :

Mi (δ) =

[ai bi

ci di

]où

ai ∈ {cos δ, cosh δ}bi ∈ {sin δ, sinh δ, cosh δ tan δ, tanh δ cos δ}ci ∈ {− sin δ, sinh δ}

di ∈{

cos δ, cosh δ,1

cos δ+ sinh δ tan δ,

1

cosh δ+ sin δ tanh δ

}⇒ 64 matrices

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Cadre généralExemple particulier

Avec le solver Sedumi et le LMI, on trouve δ ≤ 0.638.

Le gain obtenu est : K = [−1.0000, −1.6591]′ .

Simulation ⇒ pendule sans frottement.

Le model : θ +g

lsin θ = 0 de type x = f (x) avec

x =

[x1 = θ

x2 = θ

]et f (x) =

[x2

−g

lsin x1

]

Fixons g = 9.8m.s−2, l = 1m ⇒ Constante de Lipschitz c =g

l' 10

Méthode d’Euler Semi Implicite :

La condition initiale de l’observateur : xob =(π

8, 0.2

)La condition initiale du système : xm =

(π8, 0)

Pas d’intégration : 0.001

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Cadre généralExemple particulier

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Conclusion et perspectives

Quelques résultats :

Extension de l’approche proposée par V. Andrieu et M. Nadri pourune classe de systèmes non linéaires plus larges en utilisant desoutils de commande optimale.

Evaluation de l’observateur continu-discret dans le cas d’un exemplede simulation ⇒ L’idée d’utiliser des outils de commande optimaleest excellente et prometteur

Perspectives :Généraliser l’approche proposée pour des systèmes MISO (pour lesystème d’erreur) en dimension n.

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Conclusion et perspectives

Merci de votre attention

Des questions ?

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