chapitre 4 approximation du dupuit dans les ecoulements non confines

1

APPROXIMATION DE DUPUIT

DANS LES ECOULEMENTS NON CONFINES

I. APPROXIMATION DE DUPUIT

Considérons une tranchée dans une nappe libre dont le fond est supposé horizontal et

imperméable.

Comment déterminer la relation entre la forme de la nappe et le débit, pour des

caractéristiques données du sol ?

Dupuit (1863) a formulé des hypothèses simplificatrices en s’appuyant sur la

formulation de Darcy, dans des cas pratiques.

La figure 1 schématise ces simplifications :

- Le régime d’écoulement est permanent

- Le terrain est homogène, isotrope et perméable en petit

- Dans une section verticale de la nappe, les vitesses sont parallèles entre elles et

horizontales

Considérons sous ces hypothèses un point P de la surface libre.

Figure 1.

h(x)

P

qs

Source: www.almohandiss.com

2

Le débit spécifique en P est en réalité donné par :

sin.. Kds

dzK

ds

dKqs (1)

Pour très petit, ce qui revient à supposer une surface libre quasi horizontale au voisinage de

P, l’approximation suivante est valable :

dx

dhtg sin

Cela revient finalement à supposer des surfaces d’égale charge verticales, soit :

)(x

où la charge est indépendante de z.

L’écoulement est alors essentiellement horizontal et la distribution de la pression est

hydrostatique.

Le débit à travers une surface verticale de largeur b perpendiculaire à la direction de

l’écoulement peut être calculé comme suit :

)( ; xhhdx

dhKqx (2)

dx

dhxhbKdz

dx

dhbKQ

xh

x ).(.....

)(

0

(3)

L’avantage essentiel de l’approximation de Dupuit est le fait que le nombre des

variables indépendantes (deux variables x et z) du problème originel se trouve réduit (une seul

variable x.)

C’est l’approche hydraulique de l’écoulement souterrain.

L’écoulement en entier est considéré dans cette approche, et par sa mise en moyenne comme

un tube de courant ; c’est l’approche de l’ingénieur.

Le tube de courant de la figure 1 est limité par la surface libre et par le fond imperméable.



3

II. ESTIMATION DE L’ERREUR INDUITE PAR

L’APPROXIMATION DE DUPUIT

L’approche de Dupuit repose sur le fait de pouvoir négliger la composante verticale du

débit spécifique :

zKq zz

Cette composante varie en réalité entre une valeur nulle sur le fond imperméable et une valeur

non nulle au voisinage de la surface libre.

L’expression exacte du débit par unité de largeur de la nappe, calculé précédemment pour la

figure 1, est en réalité :

dzx

zxKq

xh

xx .),(

)(

0

(4)

La différentiation sous le signe intégrale (formule de Leibnitz) donne :

x

hhxdz

x

zxdzzx

x

xhxh

).,(.

),().,(

)(

0

)(

0

D’où le débit par unité de largeur réellement infiltré par le massif :

)(

0

2

2).,(.

xh

xx

hdzzx

xKq

Soit * la fonction telle que :

xKq xx

.

L’expression de ce potentiel est déterminée en posant :

)(

0

2

).,(~et 2

~.

xh

dzzxhh

h

dans le débit

xq calculé ci-dessus.



4

Selon l’approximation de Dupuit, le débit

xq serait :

x

hK

x

xhxhKq xxx

2/.

)().(.

2

Cela veut dire que a été remplacé par 2

2h.

L’intégration par partie permet d’exprimer comme suit :

2

)(..)],(.

2).,(

2)(

0

)(

0

2)(

0

xhdz

zzzxz

hdzzx

xh

xh

xh

)(

0

2

2

).,(..)(

21.

2

)(xh

z

z

dzzxqzxhK

xh (6)

avec :

0)(et .)(

zzzzz qhq

zKzqq

Le long de la surface libre, nous avons successivement :

h

dx

dh

K

q

K

q

dx

dh

zxdx

dh

x z

z

x

x

hzhz

..

où xq et zq sont évalués en z = h.

Nous avons en plus :

dx

dh

q

q

x

z

d’où :

dx

dh

dx

dh

K

q

K

q

q

q

z

z

x

x

x

z .



5

Cela détermine la pente de la surface libre :

dx

dh

KKq

qq

dx

dh

zxz

x

z .11

.

La composante verticale du débit spécifique au voisinage de la surface libre est donnée par :

2

2

.)(1

dx

dh

K

K

dx

dhK

q

z

x

x

hzz

ou en notant i la pente de la surface libre :

2

2

.1 iK

K

iKq

z

x

x

hzz

(7)

L’intégrale figurant dans l’expression (6) de et qui s’écrivait :

)(

0

).,(.

xh

z dzzxqz

peut être encadrée comme suit :

2.

.1

).,(.02

2

2)(

0

h

iK

K

iKdzzxqz

z

x

x

xh

z

Cela donne une estimation de l’erreur relative commise en remplaçant par 2

2h dans (4) :

2

2

2

2

./1

./

2

20iKK

iKK

h

h

zx

zx

(8)



6

Pour la validité de l’approximation de Dupuit, il faut donc que soit vérifiée la condition

suivante :

dx

dhii

K

K

z

x avec 1. 2

C’est une relation entre les composantes principales du tenseur de conductivité et la pente de

la surface libre.

IV. NAPPES CYLINDRIQUES

IV.1. Définition

Une nappe est dite cylindrique lorsque l’écoulement de son fluide est semblable à lui-

même dans des plans parallèles et verticaux.

La surface libre et l’assise imperméable sont dans ce cas des surfaces cylindriques qui

peuvent être définies par leurs génératrices.

La particularité de ces nappes est que le mouvement du fluide peut être étudié dans un

plan vertical (c’est le cas notamment de l’exemple sur lequel l’approximation de Dupuit a été

illustrée.)

Quelques exemples pour lesquels l’équation (3) peut être intégrée sont décrits avec

détail dans ce qui suit.

IV.2. Massif filtrant fini

La figure 2 schématise un massif cylindrique homogène et isotrope de perméabilité K,

sujet à un écoulement d’infiltration sous l’effet d’une différence de charge (h0 – hL).

Le débit infiltré par unité de longueur de massif peut être calculé sous les hypothèses

de Dupuit ou exactement. La différence essentielle réside en réalité dans le tronçon de

suintement lequel n’est pas pris en compte dans l’approximation de Dupuit.

Cet écoulement figure celui s’effectuant dans une digue artificielle établie sur une

assise imperméable, la digue étant supposée très longue de manière à pouvoir décrire

l’écoulement d’infiltration dans un plan perpendiculaire à l’axe.



7

Figure 2.

A. Par la théorie de Dupuit, le débit en question peut être calculé à partir de :

dx

xdhxhKQ

)().(. (9)

L’intégration entre x = 0 et x = L s’écrit :

h

h

x

dhKdQdhxhKdxQ

0

...ou ).(..0

Ceci permet de calculer le débit Q (constant) et d’exprimer l’équation de la surface libre,

toujours selon l’approximation de Dupuit :

K

xQhhh

x

KQ

.2hou .

2

2

0

22

0

2 (10)

Pour h = hL et x = L, nous avons enfin :

K

LQhhh

L

KQ L

.2hou .

2

2

0

2

L

22

0 (11)

h0

hL

hs

x

L

h(x)



8

(10) décrit une parabole passant par (x = 0, h = h0) et ayant comme pentes aux extrémités :

00 .

et . hK

Q

dx

dh

hK

Q

dx

dh

xLLx

(12)

La formulation ci-dessus introduit certaines contradictions qu’il est important de noter

particulièrement au voisinage des parements.

- En x = 0, la surface libre doit normalement être perpendiculaire au parement

amont ; ceci n’est pas le cas en observant la deuxième équation de (12).

- En x = L, en mettant hL = 0, le formalisme précédent conduit à une vitesse infinie

sur le parement aval, ce qui n’a physiquement pas de sens.

B. Pour un calcul exact du débit précédent, partons de l’expression (4) ci-dessus :

dzx

zxKdzqq

xhxh

xx .),(

..

)(

0

)(

0

Le calcul d’intégration opéré dans le paragraphe précédent donne pour le débit exact :

.2

).,(.

)(

0

2

xK

hdzzx

xKq

xh

x

(14)

où :

2).,(

2)(

0

hdzzx

xh

L’intégration sur x donne :

Ch

dzzxxK

qxh

x

2).,(.

2)(

0

(15)

En x = 0, = h(x) = h0 , soit :

2.

2

0

0

0

0 hdzhC

h



9

et :

22

).,(.2

02)(

0

hhdzzxx

K

qxh

x

(16)

En x = L, nous avons les conditions :

sL

LL

shzhzzL

hzhzLhh

pour ),(

0pour ),(et

Cela veut dire que l’on tient compte du suintement sur le parement aval, ce qui est réaliste.

22..

22).,(.

2

0

2

0

2

0

2

0

hhdzzdzh

hhdzzxL

K

q s

h

h

h

L

sh

xs

L

Ls

22.

22

0 Lx hhL

K

q

QhhL

Kq Lx 22

0.2

(17)

Nous retrouvons le débit calculé par la théorie de Dupuit ; ceci confirme la validité de cette

théorie pour les nappes de ce type.

Remarquons qu’enfin, ce débit peut s’exprimer en fonction de la perte de charge moyenne par

unité de largeur de massif :

L

L

hhh

hhh

L

hhKQ

0

0

2où ..

IV.3. Massif filtrant semi-fini

Considérons le cas où la frontière amont du massif précédent est rejetée vers -.

Le calcul est semblable et donne après intégration :

dx

xdhxhKQ

)().(.



10

Le débit, constant en régime permanent, sera calculé en fonction de x et de h(x), mais

l’équation suivante donne une approximation seulement de la surface libre :

K

xxQhh L

L

.222

L’équation (13) conduit en effet à une contradiction :

(x ) (h )

IV.4. Hauteur de résurgence dans les nappes cylindriques

L’expérience confirme l’existence d’une hauteur de résurgence accompagnant

inévitablement une différence de charge nette non nulle (h0 – hw).

Cette hauteur, h’ sur la figure 3, lève d’ailleurs la contradiction introduite par l’approximation

de Dupuit quand h devient nul.

Figure 3.

L’équation de la surface libre existant réellement au sein du massif doit donc être modifiée en

conséquence. C’est Vibert qui proposa les équations suivantes :

Equation de la surface libre dans le plan de l’écoulement :

)'(' hxhhy w

h’

hw

h0

R



11

Hauteur de résurgence :

2

)(4'

0

2

whhRRh

h’ est maximum pour h = 0, ce qui correspond au débit maximum :

2

.4 2

0

2

'

max

hRRh

Cette hauteur de résurgence est à ne pas confondre avec le rabattement de la nappe qui

mesure la différence entre la hauteur piézométrique actuelle et le niveau statique.

Il est à remarquer enfin que cette hauteur de résurgence lève la contradiction induite par

l’approximation de Dupuit, et qui se traduit par l ‘apparition de quantités infinies au voisinage

de la jonction entre la surface libre et le suintement.

V. NAPPES A FILETS CONVERGENTS

V.1. Définition

La figure 3 représente une nappe libre d’assise imperméable horizontale ; dans cette

nappe, supposée infinie dans les deux directions du plan horizontal, est creusé un puits

vertical de section circulaire aboutissant jusqu’au fond imperméable.

Figure 3.

R

r

rw

hw

h0 h(r)



12

Initialement, la surface libre dans le puits s’établira au niveau statique de la nappe.

On pompe alors un débit constant Q du puits et on attend à ce que la nappe rétablisse sont

nouvel équilibre.

A ce moment, la surface libre présentera une forme de révolution autour de l’axe du puits, qui

schématise la direction générale des lignes d’écoulement.

Etant donné la géométrie symétrique du système, le débit spécifique se réduit à sa composante

radiale et le débit total peut être calculé sur une surface cylindrique coaxiale au puits.

V.2. Débit d’un puits

Les caractéristiques suivantes peuvent donc être attribuées à cette nappe :

- La composante tangentielle du débit spécifique est nulle

- L’écoulement global peut être obtenu par rotation complète autour de l’axe du

puits de l’écoulement dans un plan méridien

- En admettant, dans un plan méridien, une quasi horizontalité de la surface libre, on

peut aussi admettre que les surfaces d’égale charge sont des cylindres coaxiaux au

puits

Les hypothèses de l’approximation de Dupuit se retrouvent ainsi réunies pour calculer le débit

pompé Q en fonction de la configuration de la nappe.

Le débit Q peut s’obtenir en intégrant le débit spécifique sur toute surface cylindrique

coaxiale au puits ; puisque cette surface est une surface d’égale charge :

dr

dhrhrKQ ).(..2.

Le calcul suivant donne le débit Q :

dhrhKr

drQ ).(..2.

22

0..ln. w

w

hhKr

RQ

En notant ce débit par Qw, la relation suivante le donne en fonction de la puissance de la

nappe h0, du rayon du puits rw et du rayon d’influence R :

R

r

hhKQ

w

w

w

ln

..22

0 (18)



13

V.3. Formules expérimentales pour les puits

V.3.1. Hauteur de résurgence

Le pompage à partir d’un puits s’accompagne toujours d’une résurgence qui

correspond au tronçon de suintement sur la paroi interne du puits.

La hauteur de résurgence, comme pour les nappes cylindriques ci-dessus, augmentera au fur

et à mesure que le débit deviendra grand.

Figure 4.

Pour tenir compte de cette particularité, M. Vibert propose une correction de la

méridienne de la surface libre et une estimation de la hauteur de résurgence.

Equation de la méridienne de la surface libre :

w

w

w

w

r

R

r

x

hhh

hhy

ln

ln

')(

')(22

0

22

(19)

Estimation de la hauteur de résurgence :

2

0

2

lnln' w

w

w

w

w hhr

Rr

r

Rrh

(20)

x

y

h’

rw

hw

h0

R



14

Cette formulation permet de déterminer la hauteur maximum de résurgence qui correspond à

une profondeur nulle dans le puits :

2

0

2

'

max lnln hr

Rr

r

Rrh

w

w

w

w

(21)

Dans la pratique, on admet souvent comme rayon d’action du puits :

200wr

R (22)

Cela permet d’avoir une estimation du débit maximum d’un puits ; en posant hw = 0 dans

l’équation de Dupuit :

wr

R

hKQ

ln

.. 2

0

max

(23)

On retient enfin à partir de l’approche de Vibert les relations suivantes dont la dernière fournit

une estimation de la conductivité hydraulique K du milieu :

2

0

max7.1et .200h

QKrR w (24)

Les résultats de ces formules ont été vérifiés expérimentalement.

V.4 Coefficient de débit ou module d’un puits

Pour le puits de la figure 5, le débit donné par la théorie de Dupuit s’écrit :

w

ww

r

R

hhhhKQ

ln

.. 00



15

Figure 5.

Posons 0h

où est le rabattement mesuré dans le puits ; Il est évident que

étant h0 – hw.

L’introduction de dans l’expression du débit donne :

)2.(.

ln

.. 2

0

wr

R

hKQ (25)

Posons :

wr

R

hKC

ln

..et )2()(

2

0 (26)

Le débit Q pompé du puits peut s’exprimer comme le produit d’un paramètre C et d’une

fonction du rabattement .

rw

hw

R

h0



16

Q = C. (27)

D’après son expression, le paramètre C caractérise le sol et le puits indépendamment du débit

pompé, C définit le ‘’module’’ ou le ‘’coefficient de débit’’ du puits.

)2()(

QQ

C (28)

Comme est sans dimension, le module C est homogène à un débit.

La valeur = 1, correspondant au débit maximum permet de donner une signification

pratique de C :

C = Qmax (28-1)

V.5 Formules simplifiées de Porchet

Des essais ont permis à Porchet d’établir la formule approchée suivante pour le rayon

d’action d’un puits (figure 5.)

651.4ln wr

R (29)

Selon le même auteur, le débit Q pompé du puits est donné par :

22

0.651.4

.whh

KQ

(30)

Selon cette formule, Q = f(hw) est une parabole.

Dans la réalité, une partie seulement de cette courbe est valable à cause de la résurgence qui

s’accentue quand le débit augmente ; il faut donc prendre des réserves en utilisant cette

formule.



17

VI. QUELQUES APPLICATIONS

POUR LES NAPPES CYLINDRIQUES

VI.1 Substratum imperméable incliné sur l’horizontale

La figure 6 schématise une nappe libre dans un massif poreux en petit, homogène et

isotrope, reposant sur un substratum imperméable incliné d’un angle petit sur l’horizontale.

Figure 6.

Soient :

- b = b(x) l’épaisseur de l’écoulement saturé

- h = h(x) la cote de la surface libre par rapport à un plan de référence

- est la pente du substratum supposée assez faible pour pouvoir parler d’un

écoulement quasi horizontal.

Le débit par unité de largeur peut s’exprimer, selon l’approximation de Dupuit, par :

dx

dhxbKQ ).(.

L’introduction de la relation géométrique tan.xbh pour un débit Q constant donne :

hQ

Kx

Q

K

dx

dh..tan.

(31)

La résolution de cette équation différentielle ordinaire permettra de déterminer la forme de la

surface libre ; ci-après des indications sur cette résolution.

z

x

h -b

b(x) Q



18

C’est une équation différentielle ordinaire du premier ordre de forme générale :

).().( hxdh

dx

dont la solution s’écrit :

)()(

0 .).( hAA edbexx

Dans la solution ci-dessus :

.)(

)(

).()(

0

b

a

dahA

h

h

soit dans le cas présent :

2tan.

tan..tan..exp.

K

QhKh

Q

KAx

(32)

Dans la pratique, le problème d’un fond imperméable incliné a été résolu par Dupuit et

Pavlovsky en apportant une légère modification aux hypothèses de Dupuit.

Supposons que le long d’une verticale, qui est une équipotentielle, le débit spécifique soit

constant et parallèle au fond.

Le débit spécifique :

ds

dKqs

intégré sur la verticale donne le débit par unité de largeur suivant :

ds

dshKQ

).(. (33)



19

Figure 7.

L’introduction dans cette expression des quantités suivantes:

sin*

).*()(

i

siash

permet d’écrire le débit sous la forme :

*.. i

ds

dhhKQ (34)

où i* est positif dans le cas d’un substratum descendant.

Pour la résolution de cette équation, il y a lieu de distinguer les deux cas où la pente i*

est positive (substratum descendant) et négative (substratum ascendant.)

- i* > 0

Le débit Q s’exprime par :

*.

**.i

ds

dh

i

h

iK

Q (35)

s = 0

a

h(s)

s



20

Introduisons les quantités sans dimension :

*

et *.

*H

h

iK

QH (36)

L’équation suivante est obtenue :

ds

dHi

ds

dhi

H

hi

.**.*.

**

Cette équation s’apprête mieux à une résolution par la méthode des différences finies quand

elle est écrite sous la forme :

1

.1

.*

*

dddds

H

i (37)

En effet, l’intégration entre deux points s1 et s2 donne :

1

1ln.

*

*

1

21212

ss

H

i (38)

- i* < 0

Par un calcul similaire, on retrouve le schéma suivant :

*

1

*

2*

2

*

1121

1ln.

**

**

ss

H

i (39)

Dans (39) :

****

***

***

Ki

QH

H

h

ii

(40)



21

VI.2 Massif avec stratification horizontale

La figure 8 schématise une nappe libre dans un massif constitué de deux couches à

perméabilités différentes mais homogènes et isotropes, reposant sur une assise imperméable

horizontale.

Figure 8.

Deux cas doivent être distingués par la position relative de l’interface selon la position

de a par rapport à hL ; seul le cas où l’interface est complètement sous eau sera traité ci-après.

Si hs est la profondeur correspondant au suintement, alors a < hL < hs.

Le calcul par l’approximation de Dupuit du débit par unité de longueur de massif (écoulement

plan dans (x, z)) donne selon (2) :

dx

dhahK

dx

dhaKQ ).(.. 21 (41)

En négligeant le suintement sur le parement aval, l’intégration sur L de cette équation donne :

dxdx

dhahKdx

dx

dhaKLQ

LL

.).(.....0

2

0

1 (42)

Après développement :

K2

K1

z

x

hs h

a hL

h0

L



22

a

K

Kahhhh

L

KQ LL ..2.2..

2 2

100

2 (43)

Un calcul exact du débit permet d’évaluer ce résultat ; le débit exact par unité de

largeur de massif sera comme au paragraphe II :

dzx

zxKdz

x

zxKQ

h

a

a

.),(

..),(

. 2

0

1

(44)

L’intégration de Leibnitz du second terme donne :

h

a

a

dx

dhhxdzzx

dx

dKdzzx

dx

dKQ ).,().,(.).,(. 2

0

1 (45)

soit :

ChK

dzzxKdzzxKxQ

h

a

a

22

2

0

1 .2

).,(.).,(.. (46)

En x = 0 0),( hzx pour 00 hz , ce qui donne la constante C :

2

..2

0

2210

hKKKhaC (47)

2

02

210

222

0

1 .2

...2

).,(.).,(.. hK

KKhahK

dzzxKdzzxKxQ

h

a

a

(49)

Au parement aval, x = L :

s

LL

hzhzzx

hzhzx

Lpour ),(

0pour ),(

(50)

2

02

210

2222

0

12

...2

....... hK

KKhahK

dzhKdzhKdzhKLQ s

h

h

L

h

a

L

a

L

s

L

L



23

Le calcul et le rangement des différents termes donne le résultat trouvé précédemment avec

l’approximation de Dupuit.

VI.3 Massif avec stratification verticale

La figure 9 schématise une nappe libre dans un massif constitué de deux couches à

perméabilités différentes mais homogènes et isotropes, reposant sur une assise imperméable

horizontale, l’interface est cette fois-ci verticale.

Figure 9.

L’approximation de Dupuit, en supposant les hypothèses vérifiées pour chaque

tranche, permet d’exprimer le débit par unité de largeur de massif en une abscisse x (Eq 3):

Pour x non nul, il vient successivement :

dhxhKdxQ ).(..

22

0..2

hhx

KQ (51)

Ecriture de (51) pour les deux tranches au niveau de l’interface :

K2 K1

hs

hL1

hL

h0

z

x

L

L1 L2



24

Pour x compris entre 0 et L1 :

1

2

0

2 ..2

K

xQhh et en x = L1 :

1

12

0

2

1

2

K

QLhhL (52)

où hL1 est inconnu à priori.

Pour x compris entre L1 et L :

2

12

1

2 2

K

LxQhh L

et en x = L :

2

12

1

2 2

K

LLQhh LL

(53)

où 2

222

1

2

K

QLhh LL

L’élimination de hL1 entre (52) et (53) fournit le débit recherché sous la forme :

2

2

1

1

22

0

.2K

L

K

L

hhQ L (54)

Pour calculer h(x) sous l’approximation de Dupuit, cela suppose que l’on néglige le

suintement, (ce sera une forme approchée de la surface libre qui ne sera valable qu’en cas de

quasi horizontalité de l’écoulement.)

LxLxL

K

L

K

LK

hhhh

Lxx

K

L

K

LK

hhhh

L

L

L

1

2

2

1

12

22

022

1

2

2

1

11

22

02

0

2

pour ) .(

0pour .

(55)

Le calcul du débit exact se fera d’une manière similaire à celle du § II, par

l’intégration du débit spécifique (Darcy) sur la verticale.



25

Pour la première zone K1 :

)(

0

2

1 ).,(2

xh

dzzxh

xKQ (56-1)

Cdzzxh

K

xQxh

)(

0

2

1

).,(2

. (57)

En x = 0 : 0)0,( hx 2

2

0hC (58)

h

dzzxhh

K

xQLx

0

22

0

1

1 ).,(22

. ; 0 (59)

Pour la deuxième zone K2 :

)(

0

2

2 ).,(2

.

xh

dzzxh

xKQ (56-2)

Cdzzxh

K

xQxh

)(

0

2

2

).,(2

. (60)

En x = L :

s

LL

hzhzzx

hzhzx

Lpour ),(

0pour ),(

(61)

Ch

Cdzzdzhh

K

LQ L

h

h

h

Ls

s

L

L

2..

2

.2

0

2

2

(62)

2

.2

2

Lh

K

LQC (63)



26

2

.).,(

2

. ;

2

20

2

2

1L

hh

K

LQdzzx

h

K

xQLxL (64)

L’écriture de (59) et (64) pour la section commune x = L1 permet le calcul du débit exact

recherché.

2

.).,(

2

.

).,(22

.

2

20

2

1

2

1

0

2

1

2

0

1

1

1

1

L

h

L

h

L

h

K

LQdzzx

h

K

LQ

dzzxhh

K

LQ

L

L

(65)

On retrouve alors le débit identique à celui calculé en admettant l’approximation de Dupuit :

2

2

1

1

22

0

.2K

L

K

L

hhQ L (66)

Pour le cas général où le massif est constitué de n tranches verticales de conductivités

hydrauliques Ki, le débit Q par unité de largeur de massif est :

n

i i

i

L

K

L

hhQ

1

22

0

.2

(67)

VII. QUELQUES APPLICATIONS POUR LES NAPPES A FILETS

CONVERGENTS

VII.1 Méthode de Thiem pour la mesure de K

La figure 10 schématise une nappe dans laquelle un puits est foré jusqu’au fond

imperméable et deux puits piézométriques pour suivre l’évolution de la surface libre placés

respectivement en x1 et x2 de l’axe du puits principal.



27

Figure 10.

A l’équilibre, le débit Q puisé du puits peut s’exprimer par :

dx

dyKyxQ .....2 (68)

tan.....2 KyxQ (69)

où tan est la pente de la surface libre dans le plan méridien. Cette pente peut être déterminée

en relevant les cotes de la surface libre dans les deux piézométres témoins.

Selon la figure 10 :

12

21tanxx

zz

(70)

Considérons deux régimes permanents de débits respectifs '

11 et QQ ; à la distance x1 de l’axe

nous aurons les expressions suivantes :

1111

1111

tan.....2

tan.....2

yxKQ

yxKQ (71)

x2

x1

z1

y1

z2

y2

x



28

Le système (71) donne le rabattement relatif suivant :

'

1

'

1

1

1

1

'

11tantan

....2

1

QQ

xKyy (72)

(72) fournit l’expression de la conductivité hydraulique K :

'111

'

1

'

1

1

1

...2

1.

tantan yyx

QQK

(73)

Dans cette formule, les cotes '

11 et yy , sont difficilement mesurables sur le terrain ; leur

différence peut être remplacée par la différence entre les grandeurs directement mesurables :

1

'

1

'

11 zzyy (74)

Les quantités restantes sont d’après (70) :

12

'

2

'

1'

1

12

211 tanet tan

xx

zz

xx

zz

(75)

VII.2 Puits artésien

La figure 11 représente une nappe captive entre deux couches imperméables supposées

horizontales. La surface piézométrique correspondant à l’absence d’écoulement est située à

une distance h0 du fond imperméable.

Pour le captage de l’eau d’une telle nappe, on fore souvent des puits tubés dont les

parois latérales sont imperméables jusqu’à la couche imperméable supérieure emprisonnant la

nappe.

L’approximation de Dupuit est ici relative à la configuration de la surface

piézométrique qui sera supposée quasi horizontale ; les surfaces équipotentielles seront par

conséquent des cylindres coaxiaux au puits.



29

Figure 11.

Le débit sera alors donné par :

dr

dzrKeQ .....2 (76)

Soit :

r

dr

eK

Qdz .

...2

Le débit :

w

w

r

R

hheKQ

ln

....2 0

(77)

VII.3 Puits absorbant

La figure 12 schématise le plan méridien d’une nappe libre dans le cas où il est

procédé à une recharge artificielle par un puits.

Si le puits reçoit un débit constant Q0, l’approximation de Dupuit reste valable pour une

surface libre proche de l’horizontale ; le débit sera :

z

hw e

h0

R rw



30

dr

dzKrQ ....2

L’intégration donne le débit sous la forme suivante :

w

w

r

r

zhKQ

ln

. 22

(78)

Figure 12.

On aura une intumescence de la nappe au lieu d’une dépression.

VII.4 Puits peu profond

Il s’agit d’une variété de puits dont le fond n’atteigne pas l’assise imperméable de la

nappe.

Des formules empiriques seront proposées ici pour le calcul du débit toujours en régime

permanent, formules qui dépendront de la nature de la paroi du puits. La figure 13 schématise

cette catégorie de puits.

- Type 1.

C’est un puits dont la paroi latérale est imperméable ; le puits reçoit donc de l’eau

uniquement par le fond supposé plan.

Forchheimer propose la formule suivante :

(K)

Q0 z

hw h0

r

w



31

wrK

Qhh

..4

'

00 (79)

Dans (79) :

0h est l’épaisseur de la nappe

'

wh est la cote de la surface de l’eau dans le puits par rapport au fond imperméable.

- Type 2.

C’est un puits dont le fond est imperméable, donc il reçoit l’eau uniquement par sa

paroi latérale.

Le même auteur propose la formule empirique suivante :

4

1

'

''

22

0

2'2

0

.2.

th

h

t

h

hh

hh

w

ww

w

w (80)

Dans (80) :

t est la profondeur de l’eau dans le puits (elle a été notée hw.)

hw est la cote par rapport au fond imperméable de la surface de l’eau dans un puits fictif

équivalent aboutissant jusqu’au fond imperméable, et duquel on puiserait le même

débit

h0 est la puissance de la nappe

- Type 3.

La paroi latérale et le fond sont perméable pour ce type de puits.

Porchet avait proposé une augmentation virtuelle de la profondeur du puits d’une valeur telle

que l’augmentation de la surface filtrante permettrait d’imperméabiliser virtuellement le fond,

ce qui ramènerait à l’utilisation de la formule classique de Dupuit. L’augmentation t sera

alors telle que :

2....2 ww rtr

Soit :

2

wrt (81)

Ceci revient à remplacer dans (79) t par et t par '

0

'

000 hhhh .

Ce point de vue est contestable car, en raisonnant ainsi, on suppose que le réseau de

l’écoulement situé en dessous du fond du puits fictivement approfondi ne participe pas à

l’alimentation du puits.



32

Figure 13.

La figure 14 schématise la configuration des lignes de l’écoulement indiquant une

participation totale de la nappe à alimenter le puits.

Vibert détermine d’une manière plus réaliste le débit maximal fourni par le puits pour hw = 0.

Il partage l’écoulement en deux parties séparée par une surface horizontale contenant le fond

du puits. Par conséquent, le débit total sera composé de deux débits :

- Q1 provenant de la partie de la nappe située au-dessus du plan de séparation

- Q2 provenant du fond

w

w

r

R

hhhKQ

r

R

hKQ

ln

...

ln

..

'

00

'

0

2

2'

0

1

(82)

Pour t = 0 sur la figure 13, Vibert donne le débit maximum d’un puits de ce type selon (82) :

w

w

r

R

hhhKQ

ln

...

'

00

max

(83)

(K) t

2.rw

hw

2.rw

'

wh

h0



33

où R est le rayon d’action.

Figure 14.

VII.5 Injections appliquées à la mesure de K (méthode Lefranc)

Dans une nappe libre homogène et isotrope de conductivité K, un tube imperméable

est enfoncé verticalement jusqu’à une profondeur qui rejette au loin le niveau statique.

Une cavité sphérique de rayon R très petit comparé à la profondeur est creusée autour de

l’extrémité inferieur du tube.

La paroi du tube lui-même est imperméable mais la cavité est totalement perméable; ceci pour

pouvoir injecter un liquide dans la nappe moyennant le tube et sous certaines conditions qui

appraîteront par la suite.

Ceci est représenté sur la figure 15.

On injecte un débit constant Q dans le tube et on attend à ce que le régime permanent

se rétablisse. On peut supposer avec une bonne approximation que les lignes de courant

partent radialement de la cavité sphérique, ce qui permet de conclure sur la forme des surfaces

d’égale charge qui seront dans ce cas des sphères concentriques à la cavité.

Plaçons-nous sur une sphère de rayon r et exprimons le débit spécifique, qui se réduit à

sa composante radiale, en fonction du débit injecté Q.

2..4 r

Qq

(84)

Entre r et r + dr, la charge hydraulique diminue de dh ; le gradient hydraulique est :

dr

dhJ (85)

'

wh

'

0h

(K)

h0

2.rw



34

La loi de Darcy jointe à (84) et (85) permet d’écrire successivement :

dr

dhKq .

dhr

dr

K

Q

2.

..4 hH

rRK

Q

11.

..4

Des relations précédentes on tire:

dH

dh

Rd

rd

dHR

dK

Q

dhr

dK

Q

1

1

1

...4

1.

..4

(86)

Après manipulation de (86) on arrive à la relation:

teC

r

h (87)

La relation (87) montre une variation hyperbolique de h en fonction de r. Si r est

suffisamment grand, on peut négliger 1/r et la conductivité hydraulique du terrain sera donnée

par:

HR

QK

...4 (88)

On vient d’exposer le principe de la méthode Lefranc pour la mesure in-situ de la conductivité

d’un terrain



35

Figure 15.

Niv. Stat.

dr r

2R

dh h

H

Q



chapitre 4 approximation du dupuit dans les ecoulements non confines

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