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PHYSIQUE

Exercice n°1 : corde de guitare

On assimile une corde de guitare à une corde de masse linéique ! = 6,0  !.!!! et de tension T constante. Au repos, elle est confondue avec l’axe horizontal (Ox). Elle est le siège d’ondes transversales de vitesse

de propagation ! = ! ! que l’on repère par le déplacement y(x,t). On note L = 60 cm la longueur de la

corde fixée entre les abscisses x = 0 et x = L.

1. Donner la dimension du terme ! = ! ! en justifiant le calcul. Calculer numériquement c pour

T = 120 N.

2. On envisage la forme suivante pour l’onde : ! !, ! = ! sin !" sin !" + ! . a. Comment nomme-t-on ce type d’onde ? Préciser les noms et les unités des grandeurs ! et !. b. Préciser les conditions aux limites. c. En déduire la valeur de !. Montrer que les valeurs de ! sont quantifiées. Exprimer les valeurs

possibles !! en fonction d’un entier n et de L. d. En déduire que ! est elle aussi quantifiée. Exprimer les valeurs possibles !! en fonction de n, L et c. e. Dessiner l’allure de la corde aux instants !! =

!!!!

et !! =!

!!! pour n = 1 et n = 3.

3. On admet que pour une corde de guitare, l’expression générale de ! !, ! est la suivante :

! !, ! = !1!!

!!

!!!

sin !!!! sin !!!

la somme portant uniquement sur n impair ; A est une constante. a. Quelles sont les fréquences présentes dans le son émis ? b. Calculer numériquement la fréquence du fondamental. Quelle est la fréquence du premier

harmonique excité ? c. Que remarque-t-on concernant les amplitudes des différents harmoniques ? Si on souhaite numériser

le son émis, quelle qualité doit posséder le microphone ?

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Exercice n°2 : Observation avec un microscope On se place dans les conditions de Gauss. Relations de conjugaison des lentilles minces :

!"#$%&'"# ∶                                  1!"′

−1!"

=1!!                      ! =

!"′!"

!"#$%& ∶                !′!′.!" = −!!!                      ! =!!!!

! =!′!"

On désire observer des gouttes de rayon r = 1 µm à l’aide d’un microscope. Le microscope est constitué de deux lentilles convergentes : l’objectif L1 de distance focale image !!! = 5,0  !! et l’oculaire L2 de distance focale image !!! = 25  !! (voir figure ci-dessous qui n’est pas à l’échelle). La distance !!!!! = ∆ est maintenue fixe. On effectue la mise au point en déplaçant l’ensemble des 2 lentilles par rapport à l’objet. L’observateur place son œil au niveau de !!!.

1. La goutte constitue l’objet. On considère que A est sur l’axe optique et que B est en dehors de l’axe avec AB = 1 µm. L’observateur n’accommode pas pour voir l’image !!!! de l’objet !" sans fatigue. Où doit-on placer l’image intermédiaire ?

2. Reproduire le schéma du microscope et construire la position de AB correspondant au réglage précédent.

3. On observe une image nette lorsque A est placé à d = 0,10 mm avant F1. Exprimer la valeur de ∆ en fonction de d et de !!!. Effectuer l’application numérique.

4. Exprimer l’angle !! sous lequel l’observateur voit l’image en fonction de r, ∆, !!! et !!!. 5. Application numérique : calculer !! en degrés. Commenter : le pouvoir de séparation de l’œil est-il

suffisant pour voir la goutte ?

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Exercice n°3 : Etude d’un accéléromètre Un accéléromètre permet de convertir un déplacement mécanique en un signal électrique afin de mesurer une accélération. La partie mécanique est constituée d’un oscillateur mécanique : une masse m = 0,7  µg assimilable à un point matériel A est reliée à l’enveloppe du capteur par des « micro poutres » élastiques modélisées par un ressort de constante de raideur k = 0,17 N.m-1. A se déplace sur l’axe (Oz) fixe par rapport au boîtier. A est en outre soumis à une force de frottement visqueux de coefficient ! = 6,8  !".!!! proportionnelle à la vitesse de A. zA repère la position de A, zB celle d’un point lié au boîtier dont on veut mesurer l’accélération. Au repos zA = zB. On note z = zA - zB. 1. On admet que l’équation du mouvement de A dans le référentiel lié au boîtier s’écrit :  

! +!! ! +

!! ! = −!(!)

où a(t) est l’accélération du boîtier par rapport au référentiel du laboratoire, galiléen. On se place en régime sinusoïdal forcé : on pose ! ! = !  cos  (!") et ! ! = !  cos  (!" + !). On adopte alors la représentation complexe avec ! = !  !!"# et ! = !!!"  !!"# = !  !!"#.

a. Etablir l’expression de ! !. b. Quel est le type de filtre réalisé ? c. Montrer que le capteur permet de mesurer a(t) en basses fréquences. Préciser pour quelles valeurs

numériques de la pulsation. Donner, dans ce cas, l’expression de z(t) en fonction de a(t). 2. Le lien entre la partie mécanique et la partie électronique est réalisé par 2 condensateurs : les armatures  

σ1 et σ2 sont liées au boîtier,  σ0 est liée à A. Le mouvement de A modifie donc les capacités des 2 condensateurs : C1 entre  σ1 et  σ0, C2 entre  σ0 et  σ2. On note 2e = 100  µm la distance entre  σ1 et  σ2. Au repos, l’armature σ0 est équidistante de σ1 et σ2. On donne l’expression de la capacité C d’un condensateur plan dont les armatures de surface S sont distantes de d : ! = !"

! où ! est la permittivité du milieu. Exprimer C1 et C2 en fonction de z, e, ! et S.

3. On connecte alors C1 et C2 à un premier bloc électronique modélisé ci-contre. On choisit !! ! = ! sin !!! = −!!(!) où E = 1 V et ω1 = 2π  105 rad/s >>  ω.

a. Montrer que : !!!!" =

!! − !!!! + !!

!!!  cos  (!!!)  

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b. En déduire !!!!"

en fonction de e, z(t), E,  ω1 et t.

Sachant que  ω1 >> ω, le résultat précédent s’intègre simplement en !!(!) = − !!!(!)  sin  (!!!). L’étage

suivant du traitement du signal est schématisé ci-dessous :

Le premier bloc est un multiplieur délivrant :

!! ! =!!(!)×!!(!)

!  

où !! ! = ! sin !!! . Le filtre passe-bas possède une fréquence de coupure de 400 Hz et un gain de 1. Le dernier bloc est un amplificateur de tension de facteur Av. 4. a. Etablir l’expression de V2(t). Préciser les fréquences dont est composé ce signal.

b. Quel est l’effet du filtre passe-bas sur V2(t) ? En déduire V3(t) puis Vm(t). 5. Pour un accéléromètre « low-g », mesurant de faibles accélérations de fréquence maximale égale à 400

Hz, on souhaite obtenir une sensibilité de 1 V/g c’est-à-dire une variation de Vm égale à 1 V pour une accélération égale à g = 9,8 m.s-2. Calculer la valeur de Av.

Exercice n°4 : Navette spatiale, mise sur orbite d’un satellite Le repérage de la position d’un mobile (navire ou aéronef en vol) relativement à des repères fixes utilise et utilisera de façon croissante des satellites de radiopositionnement, comme ceux du système GPS (Global Positioning System) élaboré par la NASA. Cet exercice étudie quelques aspects de la mécanique des lancements de ces satellites, depuis le véhicule que constitue la navette spatiale. Le lancer d’un satellite depuis cette navette se fait en trois étapes successives : la navette est d’abord mise en orbite circulaire, au moyen de fusées auxiliaires ; à partir de cette orbite circulaire, la navette éjecte le satellite qui gagne progressivement une altitude plus élevée ; enfin, une fois parvenu à son altitude définitive, le satellite s’y stabilise au moyen d’un dispositif de freinage. Dans l’ensemble de cet exercice, la Terre est assimilée à un astre à symétrie sphérique, de rayon R, de centre C fixe à l’origine O des coordonnées d’un référentiel galiléen (RG). On appelle g0 l’accélération de la pesanteur au niveau du sol, et T la période de révolution propre de la Terre autour de l’axe des pôles. La navette spatiale et le satellite qu’elle emporte sont assimilés à deux points matériels notés respectivement A et P. Pour les applications numériques, on prendra R = 6 400 km, g0 = 9,80 m.s-2 et T = 86 164 s.

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LANCEMENT DE LA NAVETTE SPATIALE : La navette spatiale et son satellite sont solidaires. Avec l’équipage et la charge utile, l’ensemble est assimilé à un point matériel unique de masse M. Le tout est en orbite circulaire d’altitude h et de rayon r = R + h. 1. Déterminer, dans (RG) et en fonction des constantes M, R et g0, la vitesse v(r), la vitesse angulaire ω0(r) et l’énergie mécanique E(r) de l’ensemble. 2. Application numérique : déterminer l’altitude H qu’il faut atteindre pour obtenir la période de rotation de 12 heures, qui est celle des satellites du système GPS. Avant le lancement, la fusée était placée sur un pas de tir situé à la latitude λ (la latitude λ d’un point P de la surface de la Terre est l’angle formé par le segment CP avec sa projection sur le plan équatorial). 3. Déterminer la variation d’énergie mécanique de la fusée, de masse M, entre le lancement (avant la mise en route des fusées) et l’arrivée sur orbite circulaire, en fonction de r, R, M, g0, λ et T. 4. Commenter le choix de λ permettant, avec des moteurs donnés, la mise en orbite la plus favorable possible. 5. Application numérique : l’orbite à atteindre est située à l’altitude de 300 km. Calculer l’économie d’énergie réalisée par unité de masse du système lancé, lors du passage du pas de tir d’Edwards (Californie, λ1 = 34°50’N) à celui de Cape Canaveral (Floride, λ2 = 28°30’N) ; à titre documentaire, un gramme d’essence fournit, typiquement, 40 kJ dans un moteur à explosion. Calculer aussi la vitesse sur orbite v(r).

Exercice n°5 : Le looping Une particule matérielle de masse m est lâchée sans vitesse initiale depuis A et glisse sans frottement dans une gouttière terminée par une boucle circulaire de rayon a.

1) Exprimer la vitesse en M repéré par θ sur la boucle circulaire.

2) Exprimer la réaction normale Rn sur la boucle circulaire.

3) En déduire la hauteur maximale hmin à donner à la gouttière pour que la particule suive intégralement la boucle circulaire et reste en contact.

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Exercice n°6 : Pendule balistique Une plaque carrée de coté a, de masse M, tourne sans frottements autour d'un axe horizontal Δ = Ox coïncidant avec une de ses arrêtes. Initialement au repos, il est mis en mouvement par un projectile de masse m et de vitesse horizontale v0 qui le heurte en son centre. Le projectile reste solidaire de la plaque après le choc (choc mou) et on suppose m << M. 1. Le moment d'inertie de la plaque est !∆ = 1/3 M a2 . Déterminer

l'équation du mouvement du pendule pesant ainsi constitué. 2. On note !! la vitesse angulaire initiale. Le mouvement du pendule a

une amplitude 0θ . En appliquant la conservation de l'énergie mécanique, établir l'expression de !! en fonction de g, a et 0θ .

3. Au moment du choc, il y a conservation du moment cinétique global du système {projectile, plaque}. 3.1. Ecrire le moment cinétique par rapport à l'axe du projectile juste avant le choc et celui de

l'ensemble juste après le choc. 3.2. Appliquer la conservation et en déduire une autre expression de !!. 3.3. Déterminer l'expression de la vitesse v. 3.4. Quelle est la vitesse minimale v0 min pour que la plaque fasse un demi-tour ?