la science qui étudie les frottements s’appelle la...
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06coursloisdecoulomb.doc LOIS DE COULOMB Les entités vectorielles sont représentées en caractères
gras.
Classes préparatoires St Joseph La Joliverie PTSI associées ICAM NANTES I.1
La science qui étudie les frottements s’appelle la TRIBOLOGIE.
On utilise couramment deux modèles simplifiés de frottement :
le frottement sec - voir aussi le GSTI page 408.
le frottement visqueux (fonction de la vitesse de glissement).
Le frottement sec peut être modélisé par les Lois de Coulomb dont ce cours est l’objet.
Le frottement apparaît au contact entre deux solides, il apparait dans la modélisation du
contact, mettant en évidence une force et un moment.
Les forces de frottement n’influent pas sur la cinématique, ce sont des grandeurs sthéniques
(force ou moment, de sténos en grec) qui influent sur la dynamique du système étudié.
Une liste non exhaustive des paramètres intervenant dans la force de frottement entre deux
solides peut être :
la forme et l’état des surfaces.
la vitesse relative.
la lubrification.
la température.
la répartition des surfaces de contact.
Le type de contact :
ponctuel.
surfacique.
Pré requis : modélisation des liaisons.
Savoir modéliser une liaison (voir le TP).
Reconnaître les symboles des liaisons mécaniques GSTI p.577.
Isoler et appliquer le PFS à un système mécanique.
Plan du cours :
1. Modélisation du contact ponctuel.
2. Enoncé des lois de Coulomb.
3. Moment de roulement et moment de pivotement.
4. Modélisation des contacts linéiques et surfaciques.
5. Frottement dans la liaison pivot.
6. Applications.
7. Arc-boutement.
8. Annexe : le document permettant de refaire le problème.
Coinceur d’escalade
Ecrous NYLSTOP
Frein d’aibus
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1 - Modélisation du contact ponctuel.
Le contact ponctuel est un modèle de contact entre deux solides tendant à se rapprocher d’un
contact sur une surface très petite, entre des matériaux de dureté suffisante ; plus les
matériaux sont durs, plus on se rapproche du contact ponctuel.
Considérons le schéma représenté ci-
contre modélisant un solide réel S1 en
contact quasi-ponctuel en A avec le solide
réel S0. Les matériaux sont tels que la
surface de contact entre les deux solides est
petite (dureté).
A l’instant t, le solide S1 se déplace par
rapport à S0 et la vitesse du point A
appartenant à S1, par rapport à S0, notée
V(A S1)/S
0, est portée par une droite
appartenant au plan tangent de contact.
L’action de contact en A se réduit à une
force AS0 S1
et un moment : MAS0 S1.
Le
torseur d’action de S0 sur S1 s’écrit en A
{AS0 S1
; MAS0 S1
}
AS0 S1
se décompose en deux forces :
une force normale au plan tangent de contact N(A)S0 S1
une tangentielle dans le plan tangent de contact T(A)S0 S1.
La force tangentielle T(A)S0 S1 s’appelle la force de frottement.
Charles Augustin Coulomb (14 juin 1736, Angoulême - † 23 août 1806, Paris) est un
officier, ingénieur et physicien français.
V(A S1)/S
0
N(A)S0 S1
T(A)S0 S1
A A
S1
S0
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2 - Enoncé des lois de Coulomb :
L’angle que forment la force de frottement (T(A)S0
S1) et la force normale au plan
tangent de contact en A (N(A)S0
S1) est compris entre 0 et .
Lorsqu’on charge, l’angle , nul si la charge est nulle, grandit. Quand le solide se met en
mouvement, l’angle a grandit et a atteint une valeur maximale ’. Quand le solide est en
mouvement, l’angle devient < ’ et le solide est alors animé d’un mouvement accéléré.
Il est difficile de modéliser l’évolution de en fonction des critères de vitesse, de
température, ... Dans nombre d’études, prendre en compte un angle , et donc un coefficient
, constants, est bien suffisant et proche de la réalité ; c’est ce que font les lois de Coulomb
énoncées plus haut.
La loi de Coulomb énonce que si le solide S1 se déplace par rapport à S0,
V(A S1)/S
0 T(A)S
0S
1 < 0
V(A S1)/S
0 T(A)S
0S
1 = 0 (vecteur nul)
et T(A)S0
S1 = . N(A)S
0S
1
La loi de Coulomb énonce que si le solide S1 ne se déplace pas par rapport à S0,
T(A)S0
S1 < . N(A)S
0S
1
s’appelle facteur de frottement ou coefficient de frottement
= tan , s’appelle l’angle de frottement.
Dans la loi de Coulomb, le coefficient de frottement
Dépend de la nature des matériaux en contact, des états de surface.
Ne dépend pas de l’étendue des surfaces.
Ne dépend pas de l’intensité de l’action normale.
Quand le solide est prêt à bouger, à la rupture de l’équilibre, on dit alors qu’il est en
équilibre strict.
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3 - Moment de roulement et moment de pivotement.
C’est à cause du moment de pivotement du sol sur les roues avant d’une voiture que l’on a du
mal à tourner le volant lors d’un créneau, sauf si l’on dispose d’une direction assistée !
MpA S0 S1
MrA S0 S1
S1
S0
Lorsque le solide tourne autour de lui
même, il y a un moment de pivotement
qui est créé au niveau du contact;
prenons comme exemple une toupie en
mouvement en contact ponctuel sur le
sol. En fonction de la nature du sol, la
toupie va tourner plus ou moins
longtemps.
Le moment de pivotement MpAS0 S1
est
crée par les forces de frottement
élémentaires df(P) en chaque point P de
la surface de contact.
Mp A S0 S1
= AP df(P)
(se lit somme des AP vectoriel df(P))
df(P)
P MpAS0 S1
Sans détailler, le moment de roulement est
crée par la déformation relative des deux
solides. C’est le cas d’une bille qui roule
plus longtemps sur le carrelage que sur un
lino.
Mr A
S0 S1
. N(A)S0
S1
M r
A S0 S1
T(A)S0
S1
N(A)S0
S1
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4 - Modélisation des contacts linéiques et surfaciques.
Le contact quasi-ponctuel est bien souvent évité car il entraîne une pression de contact
préjudiciable à la durée de vie des mécanismes; cette pression de contact exercée de façon non
continue et répétée conduit à l’écaillage des surfaces et à la détérioration du mécanisme.
Les lois permettant de quantifier cette pression de contact s’appellent les lois de Hertz (non au
programme des classes préparatoires).
Pour diminuer cette pression de contact, on est amené à choisir des contacts linéiques ou
surfaciques.
Premier exemple : les roulements.
Dans le cas des roulements, on recherche à limiter au maximum les frottements, nuisibles à la
bonne transmission de la puissance. L’augmentation des pertes de puissance par frottement
diminue le rendement du système.
Deuxième exemple : les embrayages
Les rouleaux du
roulement à rouleaux
cylindriques sur le
chemin de roulement
sont en contact linéique
rectiligne.
Les billes d’une butée
à billes sur le chemin
de roulement sont en
contact linéique
curviligne.
Embrayage conique
Embrayage monodisque automobile
Embrayage multidisque.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Embrayage
Les contacts sont surfaciques.
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Dual-clutch Transmissions Audi http://auto.howstuffworks.com/dual-clutch-
transmission.htm
Disque et cloche d’embrayage de véhicule
automobile
The Rota-Cam Clutch utilizes the easily installed Roto-Cam® mechanical clutch which completely eliminates external, separately mounted fulcrums, yokes, levers or trunnions and permits a simple, clean compact control system for direct or remote, manual or powered actuation. Roto-Cam provides smooth easy engagement typical of a spring loaded clutch plus a positive, over-centre 'lock-in'. The clutch can be 'inched' or 'Jogged' for complete operator control.
http://www.abssac.co.uk/Prod
ucts/Rotary-
products/104/Clutches_-
_Industrial.html
frein à tambour
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Troisième exemple : les freins
Frein à disque voiture automobile
Détail d’un piston
Frein à sabot de train
Frein V-brake de
vélo
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Exemples de modélisation de contact linéique ou surfacique:
Modélisation d’un contact linéique rectiligne
dans le plan de l’étude.
On se place dans le cadre des hypothèses de
la statique plane.
Le cylindre est en contact avec le plan (ici
horizontal). On néglige son poids propre.
La ligne est contenue dans le plan de l’étude
(xOy).
Sur le schéma ci-contre, le solide est soumis
à :
une force F1 qui fait glisser le solide
vers la droite.
une force F2 qui représente la
charge verticale.
l’action du support AS0 S1
.
Ces trois forces, à l’équilibre strict, sont concourantes, ce qui permet de déduire la position de
la résultante des actions de contact entre le support et la pièce.
En effet ce que l’on représente (AS0 S1
) c’est la résultante de toutes les actions de contact le
long de la ligne, dont on ne connaît pas la répartition.
Contact plan:
On se place dans le cadre des hypothèses de
la statique plane.
Le solide est en contact plan avec le plan.
(ici horizontal).
Bilan des actions sur le solide
Le poids du solide étant négligé devant F2.
Sur le schéma ci-contre, le solide est soumis
à :
une force F1 qui tend a faire glisser
le solide vers la droite.
une force F2 qui représente la
charge verticale.
l’action du support AS0 S1
.
x
y
N(A)S0
S1
T(A)S0
S1
AS0 S1
A
F1
F2
V(A S1)/S
0
x
y
N(A)S0
S1
T(A)S0
S1
AS0 S
1
A
F1
F2
V(A S1)/S
0
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Remarque : la vitesse VA S1/S
0 représente le mouvement que le solide aurait s’il y avait
rupture de l’équilibre strict.
1ère
application :
Un dispositif destiné à déterminer le
coefficient de frottement entre des
couples de matériaux est schématisé
ci-contre :
Le solide en mouvement a une masse
M.
La masse suspendue est notée m.
Les autres masses sont négligées.
Les frottements dans la poulie sont
négligés.
Déterminer f si M =2 kg et si une
masse m = 125 g fait bouger le solide.
Graphiquement et analytiquement.
o Dans le premier cas, la masse m1 est trop faible pour faire bouger le
solide.
poid
s P
m1.g. x = F1
poid
s P
poid
s P
poid
s P
poid
s P
poid
s P
’
m2.g. x = F2 m3.g. x = F3
Câble
Poulie
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o Dans le deuxième cas, la masse m2 fait bouger le solide précédemment au
repos, puis le solide acquiert un mouvement uniformément accéléré.
o Dans le troisième cas, la masse m3 continue à faire bouger le solide si on
lui donne une impulsion de départ.
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2ème application :
Un des plus vieux types de frein de
véhicule à roue est le frein à sabot :
On considère le problème plan.
On étudie le système à la limite du
glissement sabot-roue, le chariot se
déplaçant vers la droite.
Isolons le sabot.
Il est en équilibre et soumis à deux
actions :
Abras sabot
inconnue
Iroue sabot
résultante des
actions de la roue sur le sabot.
Les deux actions sont directement
opposées telles que la résultante des
actions roue sur sabot fait un angle
avec la normale au contact au lieu de
la résultante.
Ensuite on isole le levier et on peut
alors connaître l’action du sabot sur
le levier en fonction de la force
exercée sur le levier.
Le couple (moment) de freinage est calculé en multipliant la norme de la force
en I du sabot sur la roue par le bras de levier d indiqué sur la figure.
I sabot bras
Abras sabot
I roue sabot
F
F
I sabot bras
d : bras de levier
Exercice
On demande de déterminer la loi
donnant la force F à appliquer en C pour
freiner la masse M à l’équilibre strict
(limite du glissement). On donne OA =
a, OC = c, AB = b, rayons du treuil r et
R, coefficient de frottement sabot/treuil
5E-1.
On suppose que le plan tangent de
contact sabot-treuil est parallèle à xOz,
le rayon R grand devant AB.
A
B
M
O F
x
y
C
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3ème
application : On utilise en
fabrication des cames de serrage par
excentrique constituée d’un grand
cylindre de rayon R, tournant autour
d’un axe de rayon r (voir ci-contre).
Pour serrer on applique une force F :
déterminer alors graphiquement la
force de serrage sur la pièce.
Une fois serrée, on lâche le levier ; la
pièce doit rester serrée : donner la
condition pour que la pièce reste
serrée.
tan 12 entre S1 et S2
tan 23 entre S2 et S3
Pour placer la force de frottement au
contact came-pièce on utilise la loi de
Coulomb.
L’action A coupe la force F en K
Pour placer la force de frottement au
contact entre l’axe fixe et la came, on
utilise la loi de Coulomb en plaçant
les actions normales et tangentielle
telles que l’action I1 2 tangente le
cercle r . sin 12 du bon coté.
VA 2/3
T 3 2
N 3 2
VI 2/1
T 1 2 N 1 2
r.sin 12
S1
S2
S3 pièce à serrer
K
F
23
12
support de
A3 2
support de I1 2
I
A
cercle r.sin 12
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Si maintenant on supprime la force F,
que se passe t-il ?
Le solide doit être en équilibre sous
l’action de deux forces :
I1 2
A3 2
Ces deux forces doivent être
directement opposées si le solide est
en équilibre.
S1
S2
S3 pièce à serrer
I
A
cercle r.sin 12