phm obs lyon 2010-11. 2010/11/17 mesure de hauteur et navigation2 bibliographie de lexposé (entre...

phmObs Lyon2010-11

2010/11/17 Mesure de hauteur et navigation 2

Bibliographie de l’exposé (entre autre) :

- Le Traité de Navigation. Manuscrit de la Bibliothèque Municipale De Rouen. Denoville, Jean-Baptiste. Ed. Point de Vues http://assprouen.free.fr/denoville/

-Traité de la construction et des principaux usages des instrumens de mathématique (Service Commun de la Documentation de l'Université de Strasbourg)http://num-scd-ulp.u-strasbg.fr:8080/640/

Mémoire sur l'Observation des longitudes en mer, La Caille - MARS 1759, p63-99.

Sur la recherche des longitudes en mer, HARS, 1722, p 96-120.

Astronomie des marins, Pézenas E., 1766, 492 pages : sur Google books, mais planches scannées avec les planches repliées.

HARS et MARS : Histoire et Mémoires de l’Académie Royale des Sciences

http://assprouen.free.fr/denoville/

http://num-scd-ulp.u-strasbg.fr:8080/640/


En mer difficulté de faire des mesures angulaires.

Dans le référentiel local, azimut et hauteur, seule la hauteur est susceptible d’être obtenue avec une précision suffisante pour en déduire la latitude, l’heure locale...

Les astronomes et les mathématiciens ont alors créé à partir de cette mesure un ensemble d’outils permettant de calculer le temps et la position.

Avec les connaissances élémentaires d’Astronomie, établissement des formules pour relier

- hauteur d’un astre- valeurs de positions et de temps.

Calculs possibles si le navigateur emporte dans ses bagages des éphémérides.

Données des éphémérides rattachées à un méridien origine.

Ce référentiel a changé au cours des siècles : méridien de l’île du Fer, méridien de Paris, de Greenwich actuellement.


La sphère céleste ou sphère des fixes est rattachée au système de coordonnées équatoriales (ascension droite et déclinaison).

Nord Sud

e

o

C

q

o

é

N

h

u a t

r i z

PôleSud

Nadir

u r

a

O

S

Ouestn

E

Zénith

90°-Pôle

Nord P H

90°-

Est

Astre

h

a

H A

z =90°-h

Z

Les repères dans le ciel

L’observateur observe dans deux référentiels rattachés à sa position :

Ces deux référentiels sont propres au lieu.

• référentiel horaire (angle horaire et déclinaison).

• référentiel local (azimut et hauteur)

Animations interactives sur les coordonnées


Nord Sud

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C

q

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é

N

h

u a t

r i z

PôleSud

Nadir

u r

a

O

S

Ouestn

E

Zénith

90°-Pôle

Nord P H

90°-

Est

Astre

h

a

H A

z =90°-h

Z


Passage entre - référentiel local - référentiel horaire.

La sphère des fixes tourne pour un observateur autour de l’axe des pôles.

Relation sphère des fixes - système horaire :

temps sidéral TS

Relation élémentaire H = TS -

simple changement de coordonnées

Ou angle horaire du point .


Nord Sud

e

o

C

q

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N

h

u a t

r i z

PôleSud

Nadir

u r

a

O

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Ouestn

E

Zénith

90°-Pôle

Nord P H

90°-

Est

Astre

h

a

H A

z =90°-h

ZLes repères dans le ciel

sin = sin . cos z - cos j . sin z . cos acos . sin H = sin z . sin a

cos . cos H = cos . cos z + sin . sin z . cos a

la latitude du lieuz la distance zénithale complément de la hauteur

● coordonnées horizontales ⇒

coordonnées horaires



cos z = sin . sin + cos . cos . cos Hsin z . sin a = cos . sin H

sin z . cos a = - cos . sin + sin . cos . cos H

Nord Sud

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PôleSud

Nadir

u r

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Ouestn

E

Zénith

90°-Pôle

Nord P H

90°-

Est

Astre

h

a

H A

z =90°-h

Z

● coordonnées horaires ⇒

coordonnées horizontales

la latitude du lieuz la distance zénithale complément de la hauteur


Prendre des hauteurs

Même utilisation ?


Le triangle des calculs

Suivant les éléments connus :

Latitude, déclinaison, heure…

La mesure des hauteurs permet de calculer les autres éléments

Tout se passe dans le triangle PZA

Nord Sud

e

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C

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N

h

u a t

r i z

PôleSud

Nadir

u r

a

O

S

Ouestn

E

Zénith

90°-Pôle

Nord P H

90°-

Est

Astre

h

a

H A

z =90°-h

Z

• angle APZ angle horaire H• angle PZA supplément de l’azimut a• arc PA ou angle PCA : complément de la déclinaison • arc ZA ou angle ZCA : complément de la hauteur h• arc PZ ou angle PCZ : complément de la latitude


Faire le point

Astre sur l’horizon

h = 0°

- lever à l’est,

- coucher à l’ouest.

- réfraction atmosphérique (maximale à l’horizon)

- élévation au dessus du niveau de la mer

- parallaxe pour la Lune (maximale à l’horizon)

Attention aux corrections

Réfraction au niveau de la mer : environ 30’

Elévation : 10 mètres = 6’ d’arc

Parallaxe minimale de la Lune à l’apogée : 54’

Parallaxe maximale de la Lune au périgée : 1° 2’


Réfraction

La réfraction courbe, par effet de prisme, le rayon venant de l’astre.

Vaut un peu plus de 30' d’arc à l’horizon

Il paraît plus élevé sur l’horizon et la mesure augmente la hauteur.

Déviation est nulle au zénith

Maximale à l’horizon

Variable avec l’état de l’atmosphère


Elévation

La hauteur d’un astre mesuré est augmentée de dh

Sur un bateau ou à terre, on est au-dessus du niveau de la mer de e.

On a un faux horizon.

Il permet de voir un peu en dessous de l’horizon vrai.

cos dh = RT / (RT+e)

A 10 mètres de haut, dh = 6'.


Parallaxe

Par rapport à un observateur géocentrique, la parallaxe p fait voir l’objet plus bas (h’ au lieu de h).

La parallaxe est maximale avec la Lune sur l’horizon et vaut environ 1’

et diminue la hauteur

sin p = cos h’ (RT / DL)

Pour le Soleil et la Lune il faut faire une correction pour se ramener au centre :

Correction variable avec les distances de la Lune et du Soleil à la Terre

Correction à ajouter ou retrancher si l’on a visé le bas ou le haut du disque.


Astre à l’horizon

Par l’observation de la hauteur de la polaire.

cos ZA = cos PA cos PZ + sin PA sin PZ cos H0 = cos (90°-) cos (90°-) + sin (90°-) sin (90°-) cos H

0 = sin sin + cos cos cos H

La latitude est connue

Détermination de l’heure locale

Si l’Astre observé est le Soleil, on a immédiatement l’heure locale :

cos H = -tan tan

A transformer en temps solaire moyen avec la correction de l’équation du temps.

La déclinaison de l’astre est donnée par les éphémérides.T = H + 12h

Avec une horloge réglée sur le méridien origine, TG, on a alors la longitude :

TM = T + E

Long. = TM - TG



cos PA = cos ZA cos PZ + sin ZA sin PZ cos (180° - a)cos (90°-) = - sin (90°-) cos a

sin = - cos cos a

L’azimut au moment du lever est calculable aussi.

On prend la formule qui exprime le côté PA :

cos a = - sin / cos Cette mesure permet de corriger le compas si on a repéré l’azimut du Soleil ou de l’étoile, au moment de son lever ou coucher avec un compas de variation.

On rectifie les variations de la boussole ou orientation de celle-ci suivant le lieux géographiques.



Si l’objet est une étoile, on obtient son angle horaire HA et pour calculer l’angle horaire du Soleil il faut la différence d’ascension droite Soleil – étoile :

On a alors (figure du bas) :

HS = HA +

Qui donne le temps local.


Astre au-dessus de l’horizon

Cas général h ≠ 0

Toujours dans le triangle PZA

sin h = sin sin + cos cos cos H

cos ZA = cos PA cos PZ + sin PA sin PZ cos H

donne

cossin sin sin

cos cosH

h

Et pour l’azimut

sinsin co s

co sa

H

h


Changements de systèmes de coordonnées

coordonnées horizontales coordonnées horaires coordonnées équatoriales⇒ ⇒

sin δ = sin ϕ . cos z - cos ϕ . sin z . cos acos δ . sin H = sin z . sin acos δ . cos H = cos ϕ . cos z + sin ϕ . sin z . cos aα = T - H

coordonnées équatoriales coordonnées horaires coordonnées horizontales⇒ ⇒

H = T - αcos z = sin ϕ . sin δ + cos ϕ . cos δ . cos Hsin z . sin a = cos δ . sin Hsin z . cos a = - cos ϕ . sin δ + sin ϕ . cos δ . cos H

Note : L’angle horaire et l’ascension droite habituellement exprimés en heures d’angle doivent être convertis en degrés pour être utilisés dans les formules trigonométriques (1 heure = 15°)

Dans les triangles sphériques, le changement de système se fait par des relations trigonométriques. A cause de l'incertitude sur la valeur d'un angle dont on connaît seulement une ligne trigonométrique (sin, cos...), il faut deux relations pour déterminer les angles variant de 0 à 2π.


Changements de systèmes de coordonnées

coordonnées équatoriales coordonnées écliptiques⇒

sin b = cos ε . sin δ - sin ε . cos δ . sin αcos b . cos l = cos δ . cos αcos b . sin l = sin ε . sin δ + cos ε . cos δ . sin α

coordonnées écliptiques coordonnées équatoriales⇒

sin δ = cos ε . sin b + sin ε . cos b sin lcos δ . cos α = cos b . cos lcos δ . sin α = -sin ε . sin b + cos ε . cos b . sin l

Note : L’angle horaire et l’ascension droite habituellement exprimé en heures d’angle doit être converti en degrés pour être utilisé dans les formules trigonométriques (1 heure = 15°)


Distance angulaire entre deux points

Dans un système de coordonnées sphériques à deux variables a et b

Distance angulaire d entre deux points E1 (a1, b1) et E2 (a2,b2) est :

cos d = sin b1 sin b2 + cos b1 cos b2 cos (a2-a1)

Coordonnées locales a et h :

cos d = sin h1 sin h2 + cos h1 cos h2 cos (a2-a1)

Coordonnées horaires H et :

cos d = sin 1 sin 2 + cos 1 cos 2 cos (H2-H1)

Coordonnées équatoriales et :

cos d = sin 1 sin 2 + cos 1 cos 2 cos (2-1)

Coordonnées écliptiques l et b :

cos d = sin b1 sin b2 + cos b1 cos b2 cos (l2-l1)


. . . . . FIN

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