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2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 1phm – Observatoire Lyon - 2010

2012/05/09 Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm 2

Avec le paramètre temps elles parcourront leurs orbites avec leurs positions et vitesses connues.

Les équations des orbes elliptiques des planètes du système solaire, déterminées par Kepler et Newton, permettent de prévoir leurs futures positions, ainsi que retrouver celles du passé.

L’ellipse est devenue la reine des orbes célestes.

Avec le programme de calcul et de tracé géométrique Geogebra, il est possible de construire les orbites elliptiques de planètes avec des paramètres ajustables.

Le tracé graphique vérifiera la 2ème loi de Kepler ou loi des aires et le tracé des vecteurs vitesses montrera les liens entre leurs variations et positions sur l’orbite.

►


L’orbite d’une planète ou d’une exoplanète autour de son étoile suit les lois de Kepler.

►


Les lois de Kepler

► Loi I - Les planètes décrivent autour du soleil des orbites elliptiques dont le soleil occupe un des foyers.

O a

c r

P

F

r

a e

e

1

1

2

co s► Loi II - Une ligne joignant une planète au soleil balaye des aires égales en des temps égaux (loi des aires).

S d

r

2M'

P'

M'1

r d

S

M 2

P

M1

► Loi III - La période de rotation d'une planète et le demi‑grand axe de son orbite sont liés par la relation:

a

PC te

3

2 ou a

P

GM M

3

2 2 1 24

Système solaire : si P est exprimé en années et a en unités astronomiques (l'unité astronomique étant définie comme le demi‑grand axe de l'orbite de la Terre)

a

P

3

21

►


Remarques sur la façon de procéder

Avec Geogebra

Les noms des variables utilisés ne sont pas imposés. Seule la commodité pour le travail en groupe et la construction conseille de les garder tels quels.

Ce document permet, pas à pas, de construire le TD.

Ceci n’est pas absolu, car Geogebra permet souvent de construire les mêmes objets par des procédés différents.

Penser à sauvegarder régulièrement votre travail en lui donnant un nom personnalisé à la première sauvegarde.

A vous de choisir ce qui vous convient.

Ils sont à entrer dans Geogebra avec la syntaxe telle quelle.

Dans le document, les textes et en sont les variables et les expressions.

en gras police Arial

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Pour les débutants avec Geogebra

Avec Geogebra

Le TD sur la construction simple des ellipses sous Geogebra n’utilise que des commandes simples.

Remarque : il est possible de faire des copiés-collés à partir des pages html ou pdf.

Faire attention, quelques caractères seront parfois mal repris comme les apostrophes et les lettres grecques et donneront des erreurs de syntaxe.

Pour les personnes qui débutent dans Geogebra vous pouvez consulter le fichier téléchargeable à la pageelements_geogebra.pdf

http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/astrogebra/astrogebra.htm

http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation/

Les plus courantes sont explicitées dans le document elements_geogebra.pdf

►


I - Orbites képlériennes (rappels)

Ouvrir Geogebra 2D

Le temps étant la variable de base e la simulation, créer un curseur qui concrétise cette variable.

Créer le curseur

Le deuxième objet à créer est l’ellipse ajustable, orbites des planètes.

- plage de 0 à 2000- incrément de 1- largeur 400

Le placer en bas du graphique.

tps

►


Lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante.

FF'

P

PF + PF' = Cte

On définit :a = OA = OA ' : demi-grand axeb = OB = OB ' : demi-petit axec = OF = OF ' : distance foyers - centre

a b cc a e

b a e

2 2 2

21

Rappels - Ellipse

Les points F et F' sont les foyers de l'ellipse.

On pose, c/a = e : excentricité ou ellipticité.

Relations utiles :

►


Paramètres de l’ellipse

Créer deux curseurs : - pour le demi-grand axe exprimé en ua (unité astronomique), - pour l’excentricité, rapport sans dimension.

Curseur minimum maximum incrément largeur

0.2 20 0.1 200

0 1 0.01 150

Calcul de la distance foyers-centre :

(lettre e et non signe exponentiel “ ” sous Geogebra)ℯ

Calcul du petit axe :

La troisième loi de Kepler nous permet de calculer la période que l’on exprimera en jours :

a

PC te

3

2

P = sqrt( a^3 ) * 365.25Créer :La Cte vaut 1 dans le système solaire avec P en années, et a en ua.

b = a * sqrt( 1 – e^2 )

c = a * e

a

e

ae

Comme on veut tracer une ellipse ajustable, il faut se donner deux paramètres variables, soit et ou et .a c a e

►


Tracé de l’ellipse

Mettre un point (Soleil) au centre du graphique :

Centre de l’ellipse :

Second foyer :

ell_C = Ellipse[ S , F' , a ]Créer l’ellipse :

S = ( 0 , 0 )

C’est le premier foyer de l’ellipse.

Par convention l’axe des abscisses est le grand axe de l’orbite.

F’ = ( – 2*c ,0 )

O = ( – c , 0 )

En conséquence :

On mettra le périhélie du côté des abscisses positives.A

le centre de l’ellipsele second foyerle point aphélie

sont sur l’axe des abscisses du côté des abscisses négatives.

OF’ A’

Créer les points et l’ellipse :

►


Sauvegarder avec un nom personnalisé.

L’ellipse variable

►


■ Observations :

• Faire varier les deux paramètres a et e de l’ellipse

• Tracer un cercle de centre O et de rayon a :

• Que constate-t-on pour les faibles excentricité ?

Effacer le cercle .

• Visualiser les orbites des principales planètes avec les paramètres données en annexe du document pdf.

L’ellipse variable

cc = cercle(O,a)

cc

►


Mouvement képlérien

Pour les démonstrations des formules qui vont suivre, on peut consulter :

Téléchargeable à :

cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation

– Danjon André, Astronomie.

– Cours de Jean Dufay (manuscrit).

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Variables utilisées

Anomalie moyenne

M = 360°/ P * tps

360°M = ––– tps P

– l’ ou angle de position d’un corps fictif sur une trajectoire circulaire de même demi-grand axe et même période.

anomalie moyenne

Il nous faut définir des variables dont les valeurs seront dépendantes du temps .tps

Attention : Ce n’est pas le point de la figure qui ne tourne pas de façon uniforme. est défini par l’angle .

C’C’ u

où est la vitesse angulaire moyenne.360/P

►




La valeur de est définie par

u - e sin u = M

est la projection de sur le cercle circonscrit à l’ellipse, sa position est définie par :

C’ C

– l’anomalie excentrique u

où et sont exprimées en radians. u M

l’équation de Kepler

u

►




Angle en coordonnées polaires entre :- le grand axe- le rayon vecteur Foyer (Soleil)-planète.

tan tan2

1

1 2

e

e

u

L’angle de position de la planète est .C θ

La relation qui lie à est :u θ

Pour se souvenir de la formule, bien voir que est plus grand que , donc le coefficient sous la racine doit être >1. Le signe – est au dénominateur.

θ u

►




a e

e

( )

co s

1

1

2

Et le module du rayon vecteur est donné par l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires

ρ

►



En conclusion, tout est simple :

Mais...

– l’anomalie moyenne croit linéairement avec le temps

M

– l’ nous donne l’anomalie excentrique à partir de

équation de Kepler u M

– une simple équation permet d’avoir l’angle de position de la planète à partir de .

θu

L’ n’a pas de solution analytique.équation de Kepler

– l’équation de l’ellipse donne à partir de l’angle .ρ θ

►



Que faire ?

Plusieurs solutions existent :

C’est celle que nous permet les facilités de Geogebra.

On décompose l’équation en deux parties qui peuvent se représenter par deux fonctions :

f1 = e sin u f2 = u - M

que l’on peut tracer.

La solution est à l’intersection des deux courbes : abscisses du point d’intersection.

– développements limités– itérations en partant

Cette solution converge rapidement seulement si l’excentricité est faible.– solution graphique.

u0 = M

(sinusoïde)(droite)

►


Résolution de l’équation de Kepler

f_1 : y = x – mod( M , 2*pi )f_2 : y = e * sin( x )

u = x(I)

Tracer les deux courbes :

Intersection : I = Intersection[ f_1 , f_2 ]

Anomalie excentrique (en radians), valeur de l’abscisse de pour l’intersection :

u I

►


Résolution de l’équation de Kepler

- angle polaire

θ = 2*atan(tan(u / 2) sqrt((1 + e )/(1 – e)))*180/pi

- module rayon vecteur :

Placement du point :

ρ = a (1 – e² ) / ( 1 + e cos( θ° ) )

C = ( ρ ; θ° )

Sauvegarder.

Coordonnées de la planète au temps tps

On peut cacher dans la construction : f_1, f_2, F’ et I

Tracer le rayon vecteur : svp = segment[ S , C ]

Afficher l’angle :θ θ’ = Angle[ (1,0) , S ,C ]

►


Variations et animations

■ Observations :

Régler la vitesse et le sens Valider Bouton bascule arrêt-marche

■ Animations :

- faire varier le temps et observer le mouvement de , et ceci pour diverses valeurs du demi-grand axe et de l’excentricité

tps Ca e

Pour observer le mouvement on peut aussi animer le curseur

tps

►


A = ( a – c, 0 ) A' = ( – a – c , 0 )

Loi des aires

Geogebra possède une commande pour calculer un secteur angulaire d’une conique :

sct = Secteur[ ell_C, A, C ]

socs = c * y(C) / 2

Placer les points et extrémités du grand axe :A A’

L’aire balayée par le rayon vecteur est la partie de la surface de l’ellipse comprise entre et l’ellipse .

SCSA, SC

ell_C

La surface balayée par le rayon vecteur et que nous voulons calculer est l’aire AOC sous l’ellipse qui est l’aire du secteur moins la surface du triangle

sctOCS

Aire balayée :

►


Loi des aires

0 < θ < π π < θ < 2π

Aire balayée :

L’aire du triangle se retranche L’aire du triangle s’ajoute

Mais ceci nous arrange bien, car pour compris entre 180° et 360°, on doit ajouter la surface du triangle .

θOCS

Lorsque dépasse 180°, l’ordonnée de devient négative, ainsi que la valeur car l’ordonnée de

θ Csocs C < 0.

►


Loi des aires

aire = sct - socs

Ecrire la valeur de l’aire balayée :

aire = (sct - socs ) / (π ab)

Aire balayée :

La surface de l’ellipse vaut π ab

On peut normaliser la surface balayée en divisant paraire π ab

►


Variation de la surface en fonction du temps

Echelle de temps normalisée :

tps2 = mod(tps / P,1)

Faire apparaître la fenêtre graphique 2.

P_{aire} = ( tps2 , aire )

Activer la trace de ce point.

Sauvegarder.

On trace, l’évolution de la valeur de la surface en fonction du temps .aire tps

- création de qui varie de à quand, varie de à :tps2 0 1 tps 0 P

Construire le point de coordonnées :P_{aire}

Ajuster les fenêtres graphique pour la visibilité.

►


Variation de la surface en fonction du temps

■ Observations :

Que constate-t-on ?

- changer l’excentricité

- changer le demi-grand axe.

- faire varier le temps sur une période P

►


Vecteur vitesse

VC

pe e 1 2 2co s

avec : p a e ( )1 2 C G M p G M a e2 21 ( )

Cette valeur est fonction de la masse de l’étoile.

On prendra une masse solaire 1.989 1030 kg.

Constante de la Gravité G = 6.67384 10-11 m3/kg/s2

M_S = 1.89 * 10^30G = 6.67384 * 10^–11

Rentrer les données :

p = a * (1 – e^2) *150000000000K = sqrt( G * M_S * p)

en mètres

La valeur du module de la vitesse pour une position est donnée par :θ

Calculer les coefficients etp C

►


Vecteur vitesse

Calculer le module de la vitesse exprimé en km/s :

vit = K / p * sqrt( 1 + 2 * e * cos( θ° ) + e * e) / 1000

Pour vérifier que vous êtes au bon ordre de grandeur, avec a = 1, e = 0.01 vous devez retrouver la vitesse orbitale de la terre autour du soleil, soit environ 29 km/s.

Pour que le vecteur vitesse ne soit pas trop grand à l’échelle du graphique en unités astronomique, diviser ce module par 100 :

vit2 = vit / 100

Mise à l’échelle du graphique :

►


Vecteur vitesse

d_{tge} = Tangente[ C , ell_C ]

α = Angle[ axeX , d_{tge} ]

C_V = Translation[C , ( vit2 ; α + pi ) ]

Construction de l’extrémité du vecteur vitesse :

Construire la tangente :

Cette tangente fait un angle avec l’axe des abscisses de :

Vvit = vecteur[ C , C_V ]

Sauvegarder.

Le vecteur vitesse, au point , est sur la tangente à l’ellipse :C

Bien voir pourquoi il faut ajouter ou retrancher à l’angle , en regardant comment Geogebra oriente l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente

π α

►


Vecteur vitesse

■ Observations :

En quels endroits ?

En faisant varier et , trouver les vitesses des planètes sur leurs orbites, vitesses maximum et minimum.

a e

►


Vitesse radiale

Au cours d’une orbite si l’excentricité n’est pas nulle, la planète s’approche ou s’éloigne du Soleil.

Tracer la composante radiale du vecteur vitesse.

Elle a donc une vitesse radiale alternativement positive et négative.

En suivre les variations alternatives avec le temps.

►


Vitesses radiales

amplitude, au facteur d’échelle près des vitesses :

Composante radiale du vecteur vitesse :

d_{prc} = Perpendiculaire[C_V,Droite[S,C]]

C_R = Intersection[d_{prc},Droite[S,C]]

et construction du vecteur vitesse :

V_R = Vecteur[ C , C_R ]

Droite de projection :

Sauvegarder.

Intersection de cette projection avec le rayon vecteur de la planète :SC

Projection de sur la droite :C_V SC

- distance du point à la projection de sur le rayon vecteur . C C_R C_V SC

►


Vitesses radiales

Faire varier le temps,

■ Observations :

- regarder le comportement du vecteur vitesse radiale,

- son amplitude pour différents cas de planètes.

- quand ce vecteur s’annule t-il ?

- quand son module est-il maximum ?

Application à la Terre :

- quel est le maximum de l’amplitude de sa vitesse radiale ?

- sachant que la Terre passe au périhélie le 4 janvier, à quelles dates se produisent ces maximums ?

– quel est le décalage en longueur d’onde de la raie solaire du sodium à 589.5924 nm produit par cette vitesse radiale ?

Autres questions :

– sauriez-vous retrouver la vitesse radiale d’une planète par un autre procédé ? ►


Pour rendre plus lisible le travail, afficher de façon structurée les résultats principaux :

Affichage

θ ρ

a e P tpsVvitV_Retc

Et aussi accessoirement :

►


FIN


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