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Présentation | 1.3 TransformARTions

1.3 TransformARTions

Considérant les connaissances et les compétences nécessaires à la réalisation de cette activité, celle-ci est suggérée pour la 2e année du premier cycle.

Comme vous avez pu le constater lors de Show Math, l’art et les ma-thématiques font bon ménage. Les œuvres d’Escher le démontrent dans toute leur beauté.

Dans cette activité, nous proposons aux élèves de laisser libre cours à leur créativité. D’abord, ils devront observer les effets des diverses transformations géométriques sur des figures grâce à des activités pratiques. Ensuite, ils auront à concevoir un dessin et à le réaliser à l’aide d’un logiciel. Ils pourront ainsi approfondir leur compréhen-sion de l’effet des diverses transformations sur les figures.

Dans la dernière partie, ils devront reconstituer le dessin d’un de leurs pairs à l’aide de la liste des transformations géométriques ef-fectuées. Cette section leur donnera l’occasion de développer la compétence 3 ; l’utilisation des bons termes mathématiques pour décrire adéquatement les transformations les aidera à acquérir le vocabulaire propre à la géométrie et à faire ressortir les invariants des transformations géométriques.

Intentions pédagogiques

Faire explorer les propriétés des transformations géométriques aux élèves

Leur faire manipuler, à l’aide d’un logiciel convivial, les différentes transformations géométriques

Les faire participer à une activité qui possède quelques contraintes et qui permet de développer sa créativité

Forme de la production attendue

Réalisation de transformations géométriques sur papier

Dessins avec le logiciel GeoGebra ou tout autre logiciel de représen-tation graphique ( grapheurs )

Concepts utilisés

Transformations géométriques : réflexion, translation, rotation, homothétie

Propriétés des transformations géométriques

Ressources matérielles

Ordinateurs

Le logiciel gratuit! Geogebra : http ://www.geogebra.org/cms/aussi disponible sur la version électronique de la trousse pédagogique

Site Internet où l’on peut tracer des formes et appliquer des trans-formations géométriques pour créer des frises, sélectionner « Les sept familles de frises » : http ://pagesperso-orange.fr/math.lemur/

Matériel de géométrie

Présentation | 1.3 TransformARTions

Commentaires sur l’activité

Préparation

Cette activité peut être réalisée en tout ou en partie avec Geogebra.

Comme nous suggérons d’utiliser le logiciel Geogebra, nous conseillons de parcourir le guide d’utilisation en annexe et de le laisser à la disposition des élèves. Une courte période peut être accordée aux élèves pour leur permettre de s’approprier le logiciel.

Si vous le désirez, vous pouvez utiliser l’annexe 3 qui a été créée afin de permettre une courte révision des différentes transformations géométriques. Dans cette annexe, les élèves doivent identifier les caractéristiques qui différencient une figure initiale de son image selon les différentes transformations géométriques.

Réalisation

Dans la partie 1, les élèves devront tout d’abord appliquer des trans-formations géométriques à quelques formes afin de créer un dessin. À la question 1g, ils devront effectuer deux transformations géomé-triques l’une après l’autre sur une même forme. Vous pouvez leur préciser que l’on appelle ce type de transformation une composée et leur expliquer au besoin comment la nommer.

Dans la partie 2, les élèves devront identifier les transformations géométriques qui ont permis de créer un dessin. Étant donné la variété des réponses possibles, cette partie n’a pas à être corrigée. Il peut être intéressant à cette étape que les élèves comparent leurs réponses. Il serait également pertinent de faire commenter par les élèves l’idée de transformations équivalentes.

Les élèves auront ensuite accès à un arbre décisionnel qui permet d’identifier la transformation géométrique appliquée à une figure. Assurez-vous de leur compréhension avant de poursuivre l’activité. La troisième partie, dans laquelle ils devront identifier les transfor-mations géométriques, permet de s’en assurer.

Enfin, en quatrième partie, les élèves devront faire une esquisse du dessin qu’ils veulent réaliser. Cela leur permettra de réfléchir sur les transformations géométriques qu’ils doivent utiliser pour obtenir leur dessin. Ici, il est intéressant qu’ils utilisent peu de formes initiales afin de tirer davantage profit de leurs nouvelles compétences. Dans cette partie, ils devront décrire les transformations géométriques qu’ils utilisent, puis ils seront prêts à réaliser leur chef-d’œuvre à l’aide d’un ordinateur et d’un logiciel de géométrie dynamique.

Intégration

Chaque élève devra échanger la description précise des transfor-mations géométriques qu’il a utilisées avec un autre élève. Cette description doit être faite à l’aide du langage mathématique. Il de-vra ensuite tenter de refaire le dessin de son camarade uniquement avec ces indications. Les élèves peuvent créer un fichier Geogebra dans lequel les figures initiales de leur dessin sont présentes afin de faciliter le travail.

Pistes de différenciation

Il peut y avoir des restrictions quant au nombre de formes ini-tiales qui peuvent être utilisées.

Il peut aussi y avoir des restric-tions quant au nombre et aux types de transformations géo-métriques qui doivent être pré-sentes dans le dessin.

Les élèves peuvent créer plus d’un chef-d’œuvre.

Annexes

TransformARTions_annexe1 : Annexe contenant un guide d’utilisation du logiciel Geoge-bra. Il permet de se familiariser avec les fonctions du logiciel qui permettent de réaliser l’activité.

TransformARTions_annexe2 : Annexe qui présente quelques exemples de dessins que les élèves pourraient réaliser.

TransformARTions_annexe3 : Annexe contenant un guide qui permet aux élèves d’iden-tifier les différences entre les diverses transformations géo-métriques. Il a été conçu pour être proposé aux élèves qui auraient besoin d’une révision sur les transformations géomé-triques avant de réaliser l’acti-vité. Il est toutefois possible de l’utiliser à des fins d’intégration en demandant aux élèves de justifier leur réponse en utili-sant le vocabulaire adéquat.

TransformARTions_corrige_an-nexe3 : Annexe contenant le corrigé du guide présenté en annexe 3.

Cahier de l’élève | 1.3 TransformARTions | 1

1.3 TransformARTions

Nom : _________________________________________________________

Avez-vous déjà remarqué que des transformations géométriques appliquées à des formes quelconques peuvent générer des dessins étonnants ? Certains artistes ont profité des possibilités offertes par les transformations géométriques pour créer des œuvres d’art. Comme vous avez pu le voir dans Show Math, Escher est l’un d’eux. Dans cette activité, nous vous invitons à découvrir la richesse des dessins que vous pouvez créer avec des transformations géomé-triques. Après tout, l’art et les mathématiques font bon ménage !

Tu as déjà appris à effectuer des

transformations géométriques. Savais-

tu qu’avec de telles connaissances, tu

peux créer des chefs-d’œuvre ? À

l’aide d’un outil informatique, tu pourras

créer ton œuvre personnelle. Viens et

laisse-toi inspirer par le monde sur-

prenant des mathématiques et de l’art !

2 | Cahier de l’élève | 1.3 TransformARTions

Partie 1 : Fais-moi un dessin

Quels objets pouvez-vous reconnaître sur le dessin final ?

A

L

B

C

Y

X V

1.

Appliquez les transformations géométriques suivantes aux objets indiqués.

a ) Rotation de 72° du triangle A autour du point L.

b ) Rotation de 144° du triangle A autour du point L.

c ) Rotation de 216° du triangle A autour du point L.

d ) Rotation de 288° du triangle A autour du point L.

e ) Réflexion d’axe XY du trapèze C.

f ) Translation du triangle B selon la flèche de translation V.

g ) Réflexion d’axe XY du triangle B suivie d’une homothétie de centre X et de rapport 2.

Le saviez-vous ?

Lorsque qu’on regarde vers le nord, le Soleil se lève à l’est, à droite, et fait une rotation vers la gauche pour se coucher à l’ouest. C’est à partir de cette observa-tion qu’on a déterminé les signes des angles de rotation.

Positif : sens antihoraire Négatif : sens horaire

2.


Partie 2 : Comment c’est fait ?

Remarques

Une même transformation peut revenir plus d’une fois.

On peut faire subir à une même forme plus d’une transformation.

Vous pouvez effacer des li-gnes de vos formes à la fin pour arriver exactement à la représentation finale.

Réflexion Rotation Translation Homothétie

3.

Voici un dessin qui a été réalisé en utilisant des transformations géométriques.

a ) À partir des formes du dessin de la voiture, déterminez quelles transformations géométriques peuvent recréer le dessin de la maison avec l’arbre.

b ) Identifiez les étapes des transformations et toutes les figures intermédiaires obtenues.


Combien de transformations avez-vous réalisées ?

Combien de formes différentes de l’automobile avez-vous uti-lisées ? Croyez-vous qu’il serait possible d’en utiliser moins ? Comparez le nombre de formes utilisées avec d’autres élèves.

4.

5.

Voici un arbre décisionnel qui permet de trouver rapidement quelle trans-formation géométrique a été appliquée à une figure initiale pour obtenir une autre figure.

Identifier une transformation géométrique

Est-ce que les points conservent le même ordre ?

Est-ce que l'orientationdes côtés est la même ?

Est-ce que les côtés ont la même mesure ?

Il y a une SYMÉTRIE.*

Il y a une ROTATION.

Il y a une HOMOTHÉTIE. Il y a une TRANSLATION.

NON OUI

NON OUI

NON OUI

* Une réflexion est une symétrie.

Les translations, les réflexions et les rotations permettent d’obte-nir des figures isométriques alors que l’homothétie permet d’obte-nir des figures semblables.


Savais-tu que ?

Lorsque la Terre fait le tour du Soleil, on dit qu’elle effectue une révolution autour du Soleil. Ce mouvement est parfois appelé « translation », mais, en réalité, la Terre ne voyage pas en ligne droite ; elle décrit une ellipse ou une figure ovale.

La Terre tourne aussi autour de l’axe qui passe par ses deux pôles. En trois dimensions, les rotations se font autour d’un axe ( une droite ) au lieu d’un point.

N

S

N

S

N

S

N

S

PRINTEMPS

ÉTÉ AUTOMNE

HIVER

solsticed'été

solsticed'hiver

équinoxed'automne

équinoxede printemps

SOLEIL


Partie 3 : Quelles sont ces transformations géométriques ?

Étoiles :

Bras :

Yeux :

Jambes :

Corps :

6.

Voici un dessin qui a été construit à partir de transformations géométriques appliquées sur les figures en noir. Trouvez quelles sont les transformations qui ont permis de créer le dessin. Lais-sez des traces de vos démarches.

Pour une translation, dessinez la flèche de translation.

Pour une réflexion, dessinez l’axe de symétrie.

Pour une rotation, donnez le nombre de degrés de l’angle, le sens et le centre de rotation.


Partie 4 : Créez votre chef-d’œuvreC’est maintenant à votre tour de créer un chef-d’œuvre avec des transfor-mations géométriques. Créez votre dessin en utilisant le moins de figures initiales possible.

7.

a ) Faites une esquisse de votre dessin et identifiez toutes les transformations dont vous aurez besoin.

b ) Utilisez le logiciel Geogebra pour créer votre dessin.

c ) Donnez la description détaillée de votre dessin à un autre élève pour qu’il puisse le réaliser sur Geogebra.

d ) Comparez les résultats. Est-ce que votre démarche était suffisamment détaillée pour que les deux dessins soient identiques ?


b ) Maintenant, trouvez les réflexions qui permettent d’obtenir cette rotation.

Curieux ?Toutes les isométries sont des composées d’au maximum 3 réflexions.

Une isométrie est une transfor-mation géométrique qui préserve la mesure des segments. La ré-flexion, la rotation et la translation sont des isométries. L’homothétie n’en est pas une.

8.

a ) Trouvez les réflexions qui permettent d’obtenir la translation suivante.

A

B

D E

C

F

G

H

A

B

D

C

a

b

c

La distance séparant les deux axes de symétrie permettant d’obtenir la translation sera égale à la moi-tié de la longueur de la flèche de translation.

L’angle séparant les deux axes de symétrie permettant d’obtenir la rotation sera égal à la moitié de l’angle de rotation.

Corrigé | 1.3 TransformARTions | 1

A

L

B

C

Y

X V

1.3 TransforARTionsCorrigé

Partie 1 : Fais-moi un dessin

Quels objets pouvez-vous reconnaître sur le dessin final ?

C’est un bateau et un soleil.( p.2 )

1.

Appliquez les transformations géométriques suivantes aux objets indiqués.

a ) Rotation de 72° du triangle A autour du point L.

b ) Rotation de 144° du triangle A autour du point L.

c ) Rotation de 216° du triangle A autour du point L.

d ) Rotation de 288° du triangle A autour du point L.

e ) Réflexion d’axe XY du trapèze C.

f ) Translation du triangle B selon la flèche de translation V.

g ) Réflexion d’axe XY du triangle B suivie d’une homothétie de centre X et de rapport 2.

2.

( p.2 )

2 | Corrigé | 1.3 TransformARTions

Partie 2 : Comment c’est fait ?

Combien de transformations avez-vous réalisées ?

11 transformations, dont 5 translations, 4 rotations et 2 homo-théties. Note : Différentes réponses sont possibles.

4.

( p.4 )

3.

Voici un dessin qui a été réalisé en utilisant des transformations géométriques.

a ) À partir des formes du dessin de la voiture, déterminez quelles transformations géométriques peuvent recréer le dessin de la maison avec l’arbre.

b ) Identifiez les étapes des transformations et toutes les figures intermédiaires obtenues.

( p.3 )

Réflexion

(Ré)

Rotation

(Ro)

(Ro3)

(Ro1)

(Ro2)

(Ro4)

Translation

(T)

(T1) (T2) (T3) (T4) (T5)

Homothétie

(H)

(H1)

(H2)


Partie 3 : Quelles sont ces transformations géométriques ?

Étoiles :

On obtient les étoiles par deux rotations de -60° et de -120° centrées en A.

Bras :

Réflexion du bras droit par rapport à l’axe AD.

Yeux :

Rotation de l’œil gauche de -90° centrée en D.

Les yeux peuvent aussi être obtenus par réflexion d’axe AD ou par translation.

Jambes :

Translation de la jambe gauche de flèche de translation v.

Corps :

Réflexion du triangle droit par rapport à l’axe AD.

6.

D

A

V

( p.6 )

Combien de formes différentes avez-vous utilisées ? Croyez-vous qu’il serait possible d’en utiliser moins ? Comparez le nombre de formes utilisées avec d’autres élèves.

Il faut utiliser au minimum trois formes ( cercle, carré et triangle équilatéral ). Il est possible de recréer le rectangle avec un carré ( le rectangle est deux fois plus large que haut ).

5.

( p.4 )

Voici un dessin qui a été construit à partir de transformations géométriques appliquées sur les figures en noir. Trouvez quelles sont les transformations qui ont permis de créer le dessin. Lais-sez des traces de vos démarches.

Pour une translation, dessinez la flèche de translation.

Pour une réflexion, dessinez l’axe de symétrie.

Pour une rotation, donnez le nombre de degrés de l’angle, le sens et le centre de rotation.

4 | Corrigé | 1.3 TransformARTions

Curieux ?Toutes les isométries sont des composées d’au maximum 3 réflexions.

Il y a plusieurs solutions possibles. En voici une :

1. Tracer la médiatrice du segment Aa. Nous avons nommé cette médiatrice x.!

2. Faire la réflexion du triangle initial par cette médiatrice ( x ). On obtient le triangle A’ B’ C’.

3. Tracer une droite parallèle à x passant par le point a. Nous avons nom-mé cette droite y.!

4. Faire la réflexion du triangle A’ B’ C’ par cette droite ( y ). On obtient le triangle abc.

A

B

D E

C

b

c

a

X Y

B'

C'

A'

Partie 4 : Créez votre chef-d’œuvre

( p.7 )

( p.8 )

7.

a ) Faites une esquisse de votre dessin et identifiez toutes les transformations dont vous aurez besoin.

b ) Utilisez le logiciel Geogebra pour créer votre dessin.

c ) Donnez la description détaillée de votre dessin à un autre élève pour qu’il puisse le réaliser sur Geogebra.

d ) Comparez les résultats. Est-ce que votre démarche était suffisamment détaillée pour que les deux dessins soient identiques ?

Réponses variables.

8.

a ) Trouvez les réflexions qui permettent d’obtenir la translation suivante.


Il y a plusieurs solutions possibles. En voici une :

1. Tracer la médiatrice du segment Bb. Nous avons nommé cette médiatrice x.!

2. Faire la réflexion du triangle initial par cette médiatrice ( x ). On obtient le triangle A’ B’ C’.

3. Tracer la médiatrice du segment A’a. Nous avons nommé cette médiatrice y.!

4. Faire la réflexion du triangle A’ B’ C’ par cette médiatrice ( y ). On ob-tient le triangle abc.

A

B

D

C

a

b

c

y

x

A'

C'

B'

b ) Maintenant, trouvez les réflexions qui permettent d’obtenir cette rotation.

Annexe 1 | 1.3 TransformARTions | 1

Annexe 1 : Tutoriel pour l’utilisation de GeoGebraGeoGebra est un logiciel libre de géométrie dynamique.

Fenêtre de travail

Le menu d’icônes permet de créer des objets et d’appliquer des trans-formations géométriques. Chaque case contient une liste d’objets ou de transformations accessible en cliquant sur la flèche dans le coin inférieur droit.

La fenêtre « Algèbre » identifie les objets du dessin et indique leurs positions.

La ligne de commande permet aus-si de créer des objets, mais son uti-lisation est plus complexe.

Pour toutes les icônes, une des-cription sommaire des étapes de construction est donnée dans l’es-pace à droite du menu d’icônes.

Note : Pour faire l’activité sur les transformations géométriques, vous n’aurez pas besoin des axes. Vous pouvez les enlever en cliquant sur le bouton de droite avec la souris, puis en désélectionnant « Axes ».

Opérations de base

Créer un objet Cliquez sur l’icône représentant l’objet dans le menu d’icônes, puis cliquez sur la feuille de travail aux endroits désirés. Pour vous aider, suivez les indi-cations données dans l’espace à droite du menu d’icônes.

Déplacer un objet

Sélectionnez l’icône dans le premier menu.

Déplacer la figure

Sélectionnez l’icône dans le dernier menu à droite.

Montrer ou cacher un objet

Sélectionnez l’icône dans le dernier menu à droite.

Modifier les propriétés d’un objet Lorsque l’icône pour déplacer un objet est sélectionnée, double-cliquez sur l’objet dont vous voulez modifier les propriétés. Vous pourrez modifier la couleur, le remplissage, l’épaisseur des traits, etc.

2 | Annexe 1 | 1.3 TransformARTions

Opérations pour les transformations géométriques

Sélectionnez l’icône translation. Cliquez sur l’objet auquel vous voulez appliquer la transformation, puis sur une flèche de translation que vous avez créée.

Sélectionnez l’icône symétrie axiale. Cliquez sur l’objet auquel vous voulez appliquer la transformation, puis sur un axe de symétrie ( droite ou seg-ment de droite ) que vous avez créé.

Sélectionnez l’icône rotation. Cliquez sur l’objet auquel vous voulez ap-pliquer la transformation, puis sur un centre de rotation ( point ). Dans la fenêtre qui s’ouvre, entrez la valeur de l’angle de rotation.

Sélectionnez l’icône d’homothétie. Cliquez sur l’objet auquel vous vou-lez appliquer la transformation, puis sur un centre d’homothétie ( point ). Dans la fenêtre qui s’ouvre, entrez la valeur du rapport d’homothétie. Note : Pour les valeurs qui ont des décimales, utilisez un point. Exemple : 0.5

Note : Pour chacune des transformations géométriques, vous allez conserver la figure initiale et l’image. Si vous voulez uniquement avoir l’image, vous devez utiliser l’icône « montrer ou cacher un objet ».

Enregistrer le travail

Dans le menu fichier, vous pouvez enregistrer votre travail. Pour obte-nir une image que vous pourrez in-sérer dans un document, vous pou-vez exporter l’image en format png ou jpg. Nous vous conseillons de réduire la fenêtre de présentation de votre dessin afin que celui-ci oc-cupe tout l’espace disponible.


Annexe 2 : ExemplesVoici des exemples de dessins que les élèves pourraient faire.

Dessin fait uniquement avec des rotations

Rotation du triangle DEF de centre D de 120° et 240°.

Rotation du triangle ABC, du cercle et des trois triangles de centre A de 60°, 120°, 180°, 240° et 300°.

Dessin fait uniquement avec des cercles

Dessin fait uniquement avec des carrés


Annexe 3 : Des transformations uniques

On peut retracer les transformations géométriques appliquées sur différentes figures. Dans cette partie, vous découvrirez comment on peut y arriver !

a ) Le polygone A’B’C’D’E’ est l’image par la réflexion d’axe f du polygone ABCDE. Quelles caractéristiques permettent de différen-cier les deux formes ?

Regardez les sommets et les seg-ments du polygone. Dans quel ordre sont-ils présentés dans la figure initiale ? Et dans la figure finale ? Quelle est la mesure des angles et des segments ? Leur orientation change-t-elle ?

b ) Le polygone A’B’C’ est l’image par la rotation autour du centre de rota-tion!D du polygone ABC. Quelles caractéristiques permettent de diffé-rencier les deux formes ?

2 | Annexe 3 | 1.3 TransformARTions

c ) Le polygone A’B’C’D’E’ est l’image par la translation de flèche de trans-lation u du polygone ABCDE. Quelles caractéristiques permettent de différencier les deux formes ?

d ) Le polygone A’B’C’D’ est l’image par homothétie de centre E du po-lygone ABCD. Quelles caractéristiques permettent de différencier les deux formes ?

Annexe 3 – Corrigé | 1.3 TransformARTions | 1

Annexe 3 : Des transformations uniquesCorrigé

Les points et les segments se lisent dans le sens horaire sur la figure initiale alors qu’ils se lisent dans le sens antihoraire sur l’image.

L’orientation des angles et des seg-ments est différente dans les deux figures.

L’ordre des segments et des points est conservé dans les deux figures. Les mesures des angles et des seg-ments aussi.

L’orientation des angles et des seg-ments est différente dans les deux figures.

On peut retracer les transformations géométriques appliquées sur diffé-rentes figures. Dans cette partie, vous découvrirez comment on peut y arriver !

a ) Le polygone A’B’C’D’E’ est l’image par la réflexion d’axe f du polygone ABCDE. Quelles caractéristiques permettent de différen-cier les deux formes ?

b ) Le polygone A’B’C’ est l’image par la rotation autour du centre de rota-tion!D du polygone ABC. Quelles caractéristiques permettent de diffé-rencier les deux formes ?

2 | Annexe 3 – Corrigé | 1.3 TransformARTions

L’ordre des segments et des points est conservé dans les deux figures. Les mesures des angles et des seg-ments aussi.

L’orientation des angles et des seg-ments est la même dans les deux figures.

L’ordre des segments et des points est conservé dans les deux figures.

Les mesures des angles sont les mêmes pour les deux figures. Les mesures des segments sont diffé-rentes dans les deux figures, mais le rapport des côtés correspondants est équivalent.

L’orientation des angles et des seg-ments est la même dans les deux figures.

c ) Le polygone A’B’C’D’E’ est l’image par la translation de flèche de trans-lation u du polygone ABCDE. Quelles caractéristiques permettent de différencier les deux formes ?

d ) Le polygone A’B’C’D’ est l’image par homothétie de centre E du po-lygone ABCD. Quelles caractéristiques permettent de différencier les deux formes ?

1.3 transformartions - smac.ulaval.ca · t cette activité peut être réalisée en tout ou en...

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