philippe cibois laboratoire printemps (cnrs) – université de versailles-st-quentin le pem,...
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Philippe Cibois
Laboratoire Printemps (CNRS) – Université de Versailles-St-Quentin
Le PEM, Pourcentage de l'Ecart Maximum
Indices d’association Exigences PEM local PEM global Étalonnage Utilisation
Indices d’association dans un tableau de contingence
T Cj Total
Li Nij Ni
Total Nj N
Observé : Nij
Théorique : Ni x Nj / N
Phi-deux : Khi-deux / N
Coefficient de contingence (Pearson) C2 = Phi-deux / (1 + Phi-deux)
Coefficient de Tchuprov T2 = Phi-deux / racine carrée du degré de liberté
Coefficient de Kramér V = Phi-deux / (plus petite dimension – 1)
0 = indépendance, 1 = maximum
On peut exprimer le V de Kramér en pourcentage : ce que représente le Phi-deux (ou le Khi-deux) par rapport au maximum possible.
Exigences : - indice local et global qui soient dans la même logique, - qui soit réaliste (on peut rencontrer le maximum et le minimum), - dont l’agrégation du local soit cohérent avec le global,- indice exprimé d’une manière usuelle : en pourcentage.
Niveau zéro = indépendance : définie pour une case et pour l’ensemble
Liaison maximum (niveau 100) pour une case du tableau : l’effectif dans la case est le plus élevé possible en tenant compte des contraintes des marges. Effectif-max = min (marge ligne, marge colonne)
PEM = Pourcentage de l’Ecart MaximumOn compare l’écart à l’indépendance observé par rapport à l’indépendance dans le cas du maximum.
T Cj Total
Li Nij Ni
Total Nj N
Observé : NijThéorique : Ni x Nj / NEcartobs = Obs – théoriqueMax = Min (Ni, Nj)Ecartmax = Max – théoriquePEM = Ecartobs / Ecartmax x 100
+------------+------------+------------+------------+
|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total |
|Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |
+------------+------------+------------+------------+
|Masc | 38 15.6| 206 84.4| 244 100|
| | 1.6 -18.6* 0.4 18.6* 2.0 47.7|
+------------+------------+------------+------------+
|Fémi | 60 22.4| 208 77.6| 268 100|
| | 1.5 18.6* 0.3 -18.6* 1.8 52.3|
+------------+------------+------------+------------+
| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|
| en colonne | 3.1 | 0.7 | 3.8 100|
+------------+------------+------------+------------+
Case féminin – école nouvelleObservé Maximum d’attraction
60 98Théorique 268 x 98 / 512 = 51,30
Ecartobs = Observé – Théorique Ecartmax =Maximum – Théorique
60 – 51,30 = 8,70 98 – 51,30 = 46,70Ecartobs / Ecartmax = 8,70 / 46,70 = 0,186
PEM = Pourcentage de l'écart maximum = 18,6%
PEM d’une attraction Le Khi-deux du tableau est de 3.8Degré liberté = 1 Prob.= 0.047
+------------+------------+------------+------------+
|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total |
|Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |
+------------+------------+------------+------------+
|Masc | 38 15.6| 206 84.4| 244 100|
| | 1.6 -18.6* 0.4 18.6* 2.0 47.7|
+------------+------------+------------+------------+
|Fémi | 60 22.4| 208 77.6| 268 100|
| | 1.5 18.6* 0.3 -18.6* 1.8 52.3|
+------------+------------+------------+------------+
| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|
| en colonne | 3.1 | 0.7 | 3.8 100|
+------------+------------+------------+------------+
Case masculin – école nouvelleObservé Maximum de répulsion
38 0Théorique 244 x 98 / 512 =46,70
Ecartobs = Observé – Théorique Ecartmax =Maximum – Théorique
38 – 46,70 = -8,70 0 – 46,70 = -46,70Ecartobs / Ecartmax = -8,70 / -46,70 = 0,186
PEM = Pourcentage de l'écart maximum = -18,6% (négatif par convention)
PEM d’une opposition
+------------+------------+------------+------------+|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total ||Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |+------------+------------+------------+------------+|En avance | 16 17.4| 76 82.6| 92 100|| | 0.1 -9.1| 0.0 9.1| 0.2 18.0|+------------+------------+------------+------------+|A l'heure | 67 17.7| 312 82.3| 379 100|| | 0.4 -7.6| 0.1 7.6| 0.5 74.0|+------------+------------+------------+------------+|En retard | 15 36.6| 26 63.4| 41 100|| | 6.5 21.6* 1.5 -21.6* 8.1 8.0|+------------+------------+------------+------------+| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|| en colonne | 7.1 | 1.7 | 8.8 100|+------------+------------+------------+------------+
Le Khi-deux du tableau est de 8.8Degré liberté = 2 Prob.= 0.012 **
PEM global
Liaison maximum pour l’ensemble du tableau : suppose un ordre pour les lignes et les colonnes. Soit un ordre « naturel » soit un ordonnancement par le premier facteur d’une ACP sur les écarts à l’indépendance.- Indépendance : effectif théorique pour chaque case- Algorithme de chargement de la diagonale qui porte les écarts positifs à l’indépendance.
+------------+------------+------------+------------+|N= %Ligne|EcoleNouvell|CollègeBonne| Total ||Khi2 %Attrac|e |Rép | en ligne |+------------+------------+------------+------------+|En avance | 16 17.4| 76 82.6| 92 100|| | 0.1 -9.1| 0.0 9.1| 0.2 18.0|+------------+------------+------------+------------+|A l'heure | 67 17.7| 312 82.3| 379 100|| | 0.4 -7.6| 0.1 7.6| 0.5 74.0|+------------+------------+------------+------------+|En retard | 15 36.6| 26 63.4| 41 100|| | 6.5 21.6* 1.5 -21.6* 8.1 8.0|+------------+------------+------------+------------+| Total | 98 19.1| 414 80.9| 512 100|| en colonne | 7.1 | 1.7 | 8.8 100|+------------+------------+------------+------------+
Ecole nouvelle
Collège bonne
réputationTotal
En avance 0 92 92
A l'heure 379
En retard 41
Total 98 414 512
Ecole nouvelle
Collège bonne
réputationTotal
En avance 0 92 92
A l'heure 322 379
En retard 0 41
Total 98 414 512
Ecole nouvelle
Collège bonne
réputationTotal
En avance 0 92 92
A l'heure 57 322 379
En retard 41 0 41
Total 98 414 512
Ecole nouv.
Collège bonne rép.
Total
En avance
-1,6 1,6 92
A l'heure
-5,5 5,5 379
En retard
7,2 -7,2 41
Total 98 414 512
Ecole nouv.
Collège bonne rép.
Total
En avance
-17,6 17,6 92
A l'heure
-15,5 15,5 379
En retard
33,2 -33,2 41
Total 98 414 512
Somme des écarts positifs (observé) = 14,3 Somme écarts positifs (maximum) = 66,3
PEM global = 14,3 / 66,3 x 100 = 21,6%
PEM locaux : 9,1 ; 7,6 ; 21,6
Harald Cramèr, Mathematical Methods of Statistics,Princeton, PUP, 1946, p. 444
V =φ2 /(min(nb lignes, nb col) -1)
φ2 = χ2/n
0-1M 1-2M 2-3M +M3
OENF 9558 9558
1ENF 11110 11110
2ENF 3635 3635
3ENF 778 778
4E1+ 182 182
9558 11110 3635 969 25263
Χ2 = 75789 = n x 3
0-1M 1-2M 2-3M +M3
OENF 1339 5173 3046 9558
1ENF 1521 9589 11110
2ENF 3635 3635
3ENF 778 778
4E1+ 182 182
6116 10928 5173 3046 25263
Χ2 = 35867,65
Khi2/Khi2max = 568,5 / 35867,65=0,016PKM = 1,6% (PEM = 10,7%)
S
Il faut situer une observation dans l’univers des possibles (selon Georges Guilbaud)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
105
209
313
417
521
625
729
833
937
1041
1145
1249
1353
1457
1561
1665
1769
1873
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
130
259
388
517
646
775
904
1033
1162
1291
1420
1549
1678
1807
PEM globaux1er quartile=16
Médiane=25 3e quartile=42
Moyenne=30,26Ecart-type=18,18
Enquête REL86 : 1891 tableaux croisés entre 62 questions
V de Cramèr x 1001er quartile=1
Médiane=9 3e quartile=36Moyenne=5,32
Ecart-type=7,27
V de Cramèr = (χ2 /n) / (plus petite dimension – 1)
PEM = Somme écarts positifs / Somme écarts positifs dans le cas du maximum x 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
105
209
313
417
521
625
729
833
937
1041
1145
1249
1353
1457
1561
1665
1769
1873
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
1962
3923
5884
7845
9806
1176
7
1372
8
1568
9
1765
0
1961
1
2157
2
2353
3
2549
4
2745
5
2941
6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
120
239
358
477
596
715
834
953
1072
1191
1310
1429
1548
1667
1786
Enquête Prat89 1891 PEM globaux entre 62 questions
1er quartile=7 Médiane =11 3e quartile =18
Moyenne=14,68 ET=12,38
Enquête Prat89 30628 PEM globaux entre 248 questions
1er quartile=6 Médiane =11
3e quartile =21Moyenne=16,08
ET=15,89
Enquête REL86 : 1891 PEM globaux entre 62 questions
1er quartile=16 Médiane=25
3e quartile=42Moyenne=30,26
ET=18,18
Distributions de PEM
Applications du PEM
Analyse d’un tableau : étalonnage du PEM
PEM global : recherche des questions en attraction avec une variable d’intérêt
Visualisation de liens entre modalités sur un graphique factorielet profil d’une modalité
N= 512 (mères)140 questions
- description fine de l'enfant : ses "qualités", ses "défauts", son attitude en famille ; son comportement et son niveau scolaire, les raisons du choix du collège, ses matières préférées, son avenir ;- ses loisirs ;- le style des relations que la mère avait avec l'enfant (complicité, fermeté, etc.).- situation sociale de la mère : métier, formation (y compris celle des grands-parents),gouts, affiliations politiques, religieuses, associatives, du couple.
Les stratégies éducatives des classes moyennes et supérieures salariées(Ph.Cibois, F. de Singly, Deug socio Paris 5, 1992)
Variable d'intérêt : choix du type de collège (école nouvelle / collège bonne réputation)
• QV83 18 VêtementDeMarque• Q114 18 StatutProfNouvConjoint• QV95 18 PosPolMère• QV34 18 EnfantBonneMatière• QV44 18 RessourcesEnSommeil• QAGS 18 AgeScolaire• QV11 17 Choix3Qualités• QV01 17 Classe• QV62 17 NbTélé• Q120 17 NivEtudesGPèrePat• Q116 17 NivEtudesGPèreMat• QV87 16 QuiAimeBien...• Q82A 16 AideMaternelle1• Q35B 16 MatièresScolaires2• Q26A 16 FreqCollègeAntérieure• Q26B 16 FreqCollègeUltérieure• Q67C 16 CadeauNoël2• Q71B 15 FinirSonAssiette• QV09 15 Choix1Qualités• QV69 15 MénageMaison• Q122 15 SexeEnquêteur• QCSM 15 CSMère• QV98 15 SitProfMère• Q89A 15 SujetsDesaccords1• QV66 15 PersonneAdmirée• Q79B 15 AttitudeEducMère2• Q78D 15 ActivitéAvecEnfant3• QV15 15 ConfidenceAmoureuse• QV10 14 Choix2Qualités• QV02 14 Sexe• Q88C 13 AuCourantSoucisSanté
• Profil de la modalité Q17A TypeEcole
• Nom PEM Intitulé• Q17B 65 Ecole• QV32 36 SatisfactionEnfantEnseign• Q88E 35 AuCourantOpinionsPolitiqu• QV45 31 Jusqu'oùAller• QV20 29 ImpApprentissageAutonomie• QV22 29 ImpRéussiteCollège• QV18 28 ImpProximitéCollège• Q50D 27 Activité3• Q73B 25 PrioritéEducative2• Q50C 25 Activité2• Q67D 25 CadeauNoël3• Q50B 24 Activité1• Q61A 22 ActivitéPréférée1• QV85 22 TypeSanction1• QV30 22 QuiChoixCollège• Q73A 21 PrioritéEducative1• Q65A 21 JeuSociété1• QCSP 21 CSPère• Q92A 21 LoisirPréféréMère1• QV46 21 NiveauFinSouhaité• QV96 21 ReproductionEducative• QV52 21 CompétitionSportive• Q78C 20 ActivitéAvecEnfant2• Q67B 20 CadeauNoël1• QGSM 20 GSGPMat• Q43A 20 AnticipationLycée• Q67E 19 CadeauNoël4• Q92B 19 LoisirPréféréMère2• Q84A 19 MotifRéprimande1• QV97 19 DifférencesEducatives