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PCSI. 01/02. Durée 3 heures. CALCULATRICE INTERDITE.
Physique.Devoir surveillé N°1.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claireet lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Exercice 1. Mouvement d'un point matériel sur une spirale tracée sur un côneSoit C la courbe d'équations paramétriques, en coordonnées cartésiennes :
earz
ery
erx
o
o
o
sin
cos
où aro , sont des constantes positives
représente l'angle entre l'axe (Ox) et le vecteur OH , où H est la projection de M sur le plan (Oxy).Un point M se déplace sur C.
1. Déterminer les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération ( pour cettequestion seulement on considérera que la vitesse angulaire est constante ).En déduire l’expression du module de ces vecteurs.
2. Déterminer la position du point M en coordonnées cylindriques d'axe (Oz).3. Déterminer l'abscisse curviligne s() . On choisira s( = 0) = 0 et on orientera la courbe dans
le sens des croissants.
4. Déterminer le vecteur unitaire tangent T en un point M de la courbe. Ce vecteur sera orientédans le sens des croissants et il sera exprimé dans la base des coordonnées cylindriques.
5. Montrer que le vecteur N du trièdre de Frenet (T , BN , ) en un point M de la courbe a pour
expression : )(2
1reeN .
Déterminer l’expression du vecteur B .En déduire le rayon de courbure Rc de C en M .
6. On suppose que le mouvement de M sur C est uniforme et que (0) = 0 .
On pose v = v > 0. Déterminer la loi du mouvement (t) .
Exercice 2. Modèle mésoscopique de la conduction.Un métal, de masse volumique , de résistivité et de masse atomique Mest en équilibre thermique.Les électrons libres ont une vitesse moyenne d’agitation thermique qui ne sera pas considérée dans cequi suit.
Placés dans un champ oE , ces électrons acquièrent une vitesse d’ensemble ou de dérive v à travers le
métal qui exerce sur eux une action équivalente à une force de frottement fluide
vmF .
1. A la date t = 0, un champ oE est appliqué. Le mouvement d’un électron de masse m et de
charge –e est décrit dans le cadre de la mécanique classique, dans un référentiel galiléen
Oxyz, de base ( zyx uuu ,, ), dans lequel xoo uEE . On néglige l'action de la pesanteur.
Ecrire l'équation différentielle du mouvement de l'électron.Donner la dimension de la constante .
2. Vérifier que l’expression suivante est solution de l’équation différentielle :
o
t
Eem
ev )1(
.
Montrer que la vitesse tend vers une limite v , que l'on exprimera.
Exprimer en fonction de le temps au bout duquel l'électron atteint cette vitesse à 99 % près.
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3. Le milieu est constitué par un fil cylindrique homogène de section s et de longueur l. La d.d.p.appliquée à ses bornes est constante et égale à U.Déterminer l’expression de l’intensité I qui traverse ce fil sachant que la concentrationvolumique des électrons est n*.
4. Déterminer l’expression de la résistance R du fil et celle de la conductivité du métal.5. Déterminer l’expression de . Faire l’application numérique.
Données : -8m ;
3kg.m
-3; M = 63,5 g/mol ; m =
-31kg
e = 1,6.10-19
C ; Nombre d'Avogadro : Na = 6,02.1023
mol-1
.
Exercice 3. Composition de deux mouvements circulaires.Un point A se déplace sur un cercle C de rayon r, de centre O : C est vertical et tourne autour d'un deses diamètres (Oz) à la vitesse angulaire constante . Soit :
= OAOz, ;
l'angle entre un plan vertical fixe (xOz) et le plan du cercle ; R le référentiel fixe (Oxyz) R' le référentiel (Ox’y’z’) lié au cercle.
Tous les vecteurs seront exprimés dans la base ( ',',' zyx eee ) liée au référentiel tournant R’ sauf indica-
tion contraire.
1. Exprimer le vecteur position OA . En déduire par le calcul direct les vecteurs vitesse etaccélération de A dans R exprimés dans la base de R’.
2. Exprimer en fonction de les vecteurs vitesse et accélération de A par rapport à R' dans labase de la base des coordonnées polaires sur le cercle, puis dans la base de R’.
3. Déterminer la trajectoire du point coïncident A* de A dans le référentiel R . Exprimer alors lavitesse d'entraînement et les accélérations d'entraînement et de Coriolis du point A.
4. En déduire, en appliquant les lois de composition des vitesses et des accélérations, les vec-teurs vitesse et accélération de A par rapport à R, exprimés dans la base de R'. Montrer quel'on retrouve bien le résultat de la question 1.
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PCSI. 01/02. Durée 4 heures. CALCULATRICE INTERDITE.
Physique.Devoir surveillé N°2.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Problème 1. Analyse d’un réseau linéaire par le théorème de Thévenin.
On dispose de deux générateurs de tension de f.é.m 1E et 2E , de deux résistances r, et de trois résistances
R. Avec ces éléments on réalise le montage suivant :
En utilisant le théorème de Thévenin, on se propose de déterminer le courant i circulant dans R entre lespoints A et B.
1) Déterminer la résistance équivalente Req entre A et B.
2) Déterminer la f.é.m équivalente Eeq du générateur de Thévenin pour le circuit ouvert entre A etB. Pour déterminer cette grandeur on demande d'appliquer le théorème de Millman.
3) Déterminer l'expression du courant i.
On fixe les résistances r, et on fait varier R.
4) Pour quelle valeur de R, le courant i est-il maximum ? Quel est alors son expression imax ?
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Problème 2. Mouvement d'un point matériel sur une courbe hélicoïdale
On considère un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur 2 r, auquel est lié un repèreorthonormé direct Oxyz : Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy est la base inférieure horizontale. La facelatérale porte un tube mince de forme hélicoïdale HB dans lequel se déplace un petit objet A de masse massimilable à un point matériel. La définition paramétrique de la trajectoire de A est:x = rcos y = rsin z = r(2 - ) avec 0 < < 2 .Le point H correspond à = 0 et le point B à = 2.
Remarque. Le point A subit deux forces de réaction: celle du tube hélicoïdal notée R
et celle de la
surface latérale du cylindre circulaire que l’on nomme « réaction d’appui » et notée N
.
Le cylindre est maintenu fixe et A glisse sans frottement sous l'action de son poids m g
. Il est abandonné
en H sans vitesse initiale.
1) Déterminer la loi s = f(), c'est-à-dire l'abscisse curviligne s() de A sur sa trajectoire enfonction de l’angle polaire .
2) A partir de sa définition, déterminer les composantes du vecteur tangentiel tu
de la base de
Frenet dans la base ( , ,i j k
) du repère Oxyz.
3) Par application de la fondamentale de la dynamique (projetée judicieusement !), montrer que laloi horaire du mouvement, c'est-à-dire l'abscisse curviligne s(t) de A sur sa trajectoire en
fonction du temps s’écrit : 21.
2 2s gt
4) Calculer le temps mis par A pour atteindre le point B et la vitesse en B.
On suppose que le glissement de A se fait maintenant avec frottement. On admet que la valeur de la force
f
de frottement est proportionnelle à la valeur de la réaction normale au déplacement, soit :
f R N
avec < 1 facteur de frottement constant. Ceci constitue la loi de Coulomb.
5) Calculer, en fonction de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base ( , ,i j k
) du
repère Oxyz.6) Déterminer en fonction de r, de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base de
Frenet.7) Exprimer, dans cette base, les projections des forces qui s’appliquent sur A.8) Ecrire les équations du mouvement et déduire de la loi de Coulomb l'équation différentielle
vérifiée par .9) En tenant compte du résultat de la question précédente et, après avoir déterminé l’expression du
rayon de courbure de la trajectoire, exprimer l’équation différentielle relative à s(t).10) Montrer que ( )s t croît et tend vers une limite que l’on déterminera.
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Problème 3. Recherche de positions d’équilibre stables.A. Pendule simple.On considère un point matériel P de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil inextensible et sans masse, delongueur OP = a, accroché en un point fixe O du repère terrestre. On considère le référentiel terrestre
galiléen. On considère le champ de pesanteur uniforme: g
= g zu
. Oz désigne la verticale descendante.
Soit A le point de Oz de cote z = a. Les mouvements de P sont considérés plans et repérés au cours du
temps par l'angle = ( ,OA OP
).
1. En négligeant les frottements et en appliquant le théorème du moment cinétique en O, établirl'équation du mouvement en : équation (1).
2. En notant o la valeur de dans une position d'équilibre possible, écrire l'équation (2) qui
définit ces positions. Montrer que o peut prendre deux valeurs différentes 1 et 2 que l’on
calculera.3. Exprimer en fonction de g et a la pulsation o des petites oscillations de P autour de sa position
d'équilibre stable.
B. Pendule simple soumis a une force supplémentaire.
Un dispositif approprié fait que le point B situé sur l'axe Oz à la cote b > a exerce sur P une force F
centrale de centre B, répulsive, de norme2
k
roù k est une constante positive et r la distance entre B et P.
Le fil reste tendu et inextensible de longueur a.
4. On pose 3 kb
mg . Quelle est l’unité de ?
5. Exprimer la distance r en fonction de a, b, et .
6. Calculer le moment en O de la force F
en fonction de k, a, b, , r, et des vecteurs de la base
( , ,x y zu u u
).
7. Déterminer la nouvelle équation du mouvement en . On l'exprimera sous la forme :2. ( )o f . Déterminer f() en fonction de , et r. Cette équation est appelée (1’).
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8. Ecrire les équations (2') qui déterminent les valeurs o de qui correspondent à d'éventuelles
positions d'équilibre. Montrer que, en plus des deux valeurs o = 1 et o = 2 indépendantes
de , il peut exister une troisième position d'équilibre o = 3().
9. Déterminer les conditions sur pour que o = 3 existe. Faire apparaître les trois domaines:
domaine : < 1
domaine : 1< < 2
domaine : > 2,
1 et 2 étant des valeurs qu’on déterminera en fonction de a et b.
Dans quel domaine se situe la situation du 1: absence de F
? En déduire, pour ce domaine, lastabilité ou instabilité des différentes positions d'équilibre existantes.
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PCSI. 01/02. Durée 4 heures.
Physique.Devoir surveillé N°3.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Exercice 1. Régime de vent dans l’atmosphère.On définit le repère Oxyz associé au référentiel terrestre RT :
O est un point de la surface de la Terre (de centre T). L'axe Ox est porté par un parallèle et orienté dans lesens Ouest-Est. L'axe Oy est porté par un méridien et orienté dans le sens Sud-Nord. L'axe Oz est portépar le rayon (TO) et orienté de T vers O.Le référentiel terrestre n'est pas considéré galiléen ; par contre on supposera confondue la verticale en Oavec le rayon (TO).Une particule fluide de l'atmosphère, de masse m, est étudiée dans le référentiel terrestre RT.
La particule fluide est soumise à des forces de pression x x y y z zF F e F e F e
.
On note ( , , )v x y z et ( , , )a x y z
respectivement la vitesse et l'accélération de la particule dans RT.
Des observations sont réalisées pendant une durée T = 24 h jusqu'à l'altitude de la troposphère ( c'est-à-dire 10000 m ) sur une région d'environ 1000 km de diamètre au sol et située à des latitudes voisines de
= 45°. Ces observations montrent que les composantes horizontales de la vitesse v
de la particule fluide :x et y , sont de l'ordre de U = 10 m/s et que la composante verticale est de l'ordre de W = 1 cm/s. De
plus si on néglige les « coups de vent » (effets turbulents de courte durée), pour ne retenir qu'un ventmoyen, les composantes
de l'accélération a
ne dépassent pasU
Tpour xet y (respectivement
W
Tpour z ).
1. Etablir la relation entre , , ,a v F m
, le champ de pesanteur g
et le vecteur rotation de la Terre sur
elle-même T
(on donne 57, 29.10T rad/s et g = 9,81 m/s2 )
2. Projeter cette relation sur le repère Oxyz.Montrer que l'on peut procéder à un certain nombre de simplifications. On pourra effectuer desapplications numériques pour faciliter les comparaisons. Donner le nouveau systèmed’équations différentielles.En déduire que la vitesse horizontale de la particule est orthogonale au champ de force
horizontal horizontalF
.Quelle relation a-t-on entre horizontalv et horizontalF ?
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3. En mécanique des fluides on démontre que les forces de pression s'exerçant sur un petit volume
de fluide de masse m sont équivalentes àm
F grad p
( p est la pression atmosphérique au
point M où se trouve la particule fluide et sa masse volumique). Montrer que horizontalF est
orthogonale aux courbes isobares, obtenues par intersection entre une surface isobare et un planhorizontal, et orientée des zones de hautes pressions (anticycloniques) vers les zones de bassespressions (dépressionnaires). En déduire la direction et le sens des vents dans le cas de la figureci-après établie dans l’hémisphère Nord.
4. Estimer la vitesse moyenne des vents dans le cas de la figure ci-après.(on prendra = 1,3 kg.m-3 pour la masse volumique de l'air)
Exercice 2 . Equilibre et petits mouvements d’une perle solidaire d’un cerceau et liéeà un ressort.Une petite perle M, de masse m, est solidaire d'une rigole semi-circulaire (de centre O, de rayon a etcontenue dans un plan vertical fixe Oxy) sur laquelle elle peut glisser sans frottement. La perle M est
liée à un ressort de raideur k de longueur à vide 2ol a et de masse négligeable, dont l'autre
extrémité est fixée en O’ (O’O = a et O’ appartient à la verticale Ox).
L’ensemble perle M-ressort est repéré, par l'angle = ' , 'O x O M
, avec4 4
.
1. Déterminer la distance O’M en fonction de a et cos.2. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle totale Ep( ) du système perle-ressort, en
fonction de g, k, lo, m, a et cos.3. Montrer que le système admet trois positions d'équilibre qu'on déterminera à l'aide des
données.
4. On choisit les caractéristiques du ressort :2
3o
al et
3mgk
a ; dans ces conditions déterminer
les positions d’équilibre et préciser leur stabilité.5. Déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par (t).
On donne a = 20 cm et g = 9,8 m/s2
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Exercice 3. Amplificateur différentiel. Soustracteur pondéré de tensions.On supposera les amplificateurs opérationnels idéaux et en fonctionnement linéaire.On considère le montage suivant :
1. Montrer que ce dispositif qui est un amplificateur différentiel délivre à la sortie la tension :
2 1sv A v v .
Exprimer le gain différentiel A en fonction du coefficient k sans dimension.
On considère maintenant l’opérateur soustracteur pondéré, représenté ci-dessous.
2. Exprimer la tension de sortie sv en fonction des tensions d’entrée 1 2,v v et des coefficients 1k et
2k .
3. Quelle relation doit lier 1k et 2k pour obtenir un amplificateur différentiel dont on déterminera le
gain différentiel en fonction de 1k .
4. Déterminer les résistances d’entrée de chacune des voies 1 et 2.
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Exercice 4. Réponse d’un circuit RLC à deux mailles à un échelon de tension.Dans le réseau représenté ci-dessous, le condensateur est déchargé à l’instant t = 0 où on fermel’interrupteur K.
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par 2 ( )i t .
Donner ensuite son expression numérique.L = 1 H, r = 100, R = 1000 , C = 10 F et E = 200 V.
2. Déterminer la solution 2 ( )i t .
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PCSI. 01/02. Durée 4 heures.
PhysiqueDevoir surveillé N°4.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentationclaire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous formelittérale la plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponsenon justifiée sera considérée comme fausse.
Problème 1. Etude d’un dispositif filtrant.Les parties A et B sont indépendantes.
A. Réponse du circuit à un échelon de tension.On considère un circuit électrique constitué d’un générateur G, d'un interrupteur K, d’unerésistance R puis d'un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L montés enparallèle entre les points A et B. Le générateur fournit une tension continue E positive; onconsidère la résistance de la bobine comme négligeable.
Soient i, il et i2 les intensités, en fonction du temps, des courants relatifs aux différentes branches
du circuit et q2 la charge du condensateur.
1. A un instant donné que l'on prendra comme origine des temps, le circuit est fermé:sachant que le condensateur a été déchargé au préalable, indiquer les expressions dei(o), i1(o), i2(o) et q2(o). Comment se comporte ce circuit juste après la fermeture?
Au bout d’un temps considéré comme infini, déterminer i(), i1() et i2().
Comment se comporte alors le circuit ?2. Etablir que i est solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients
constants de la forme:
cEidt
dib
dt
ida
2
2
et donner les expressions des paramètres a, b et c.
3. On suppose réalisée la condition: L < 4R2C ; démontrer que la solution del’équation différentielle précédente est donnée par :
)tsinBtcosA(eR
Ei t
Expliciter les paramètres et en fonction des données du problème.4. Sachant que les conditions initiales comprennent en particulier q2(o) = 0 et i1(o) = 0,
déterminer les constantes A et B. En déduire les expressions, en fonction du temps, de i,
i1 et i2 (on donnera les résultats en fonction de E, R, , et t).
5. Exprimer la charge du condensateur en fonction du temps. Donner les valeurs de q2(o)
et q2().
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B. Dispositif filtrant.On étudie maintenant le dispositif filtrant suivant :
Pour en déterminer les propriétés on applique entre ses bornes d'entrée E1 et E2 une différence
de potentiel sinusoïdale de pulsation 0, notée : e = Ecos(t).
On mesure alors entre les bornes de sortie S1 et S2, une différence de potentiel notée : s = Scos(t
+ ).Par convention, on choisit VS1 = VE1 = 0.
On considère le circuit de la figure ci-dessous, où R, L et C désignant respectivement unerésistance, une inductance pure, une capacité.
On pose 2o
1
LC , Q = o
L
Ret x =
o
.
6. Déterminer la fonction de transferte
s)jx(H du montage.
7. Déterminer le comportement asymptotique du gain GdB du montage.Tracer le(s) diagramme(s) asymptotique(s) en fonction de X = log x.Tracer le(s) graphe(s) GdB = f(X).
8. Déterminer la bande passante du filtre ainsi constitué. L’exprimer en fonction de R etC.
9. Déterminer et tracer la courbe = f(X) où est le déphasage de la tension s par rapportà la tension e.
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Problème 2. Exemple de bifurcation en mécanique.Un point matériel A, de masse m, évolue sans frottement sur un guide circulaire C, vertical, decentre O et de rayon r. Le contact se maintient au cours du mouvement: concrètement, A peutêtre représenté par une perle enfilée sur C. Ce guide tourne uniformément, à la vitesse
angulaire
= ze
, ( > 0), autour de son diamètre BH. Ce dernier est dirigé suivant l'axe
vertical ascendant Oz d'un référentiel terrestre R supposé galiléen.
On caractérise la position de A sur C par le paramètre angulaire = ( OB,OA
). En outre, on note
g
le champ de pesanteur terrestre.
1. Exprimer, en fonction de , l'énergie cinétique de A, par rapport au référentiel tournantlié au guide R' = Ox'y'z.
2. Trouver l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de . On prendra comme origine
la valeur à = /2.3. Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle. En
prenant, là aussi, comme origine la valeur à = /2, donner l'expression de cette
énergie potentielle en fonction de .
4. On poser
g2c . Déduire de ce qui précède que l'énergie potentielle totale peut se
mettre sous la forme :
cos
21cosmgrEp
où est une grandeur non dimensionnée que l’on déterminera en fonction de et c.
5. Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait en fonction de , c, et des
dérivées temporelles adéquates de .6. Trouver les positions d'équilibre de A dans R'.7. Que peut-on dire de la stabilité de ces positions d'équilibre? On basera l’étude sur
l’énergie potentielle du système.
8. Tracer le graphe donnant la position d'équilibre stable e 0 en fonction de . On
précisera les valeurs de la pente de/d pour = c et >> c. Le point
correspondant à = c, est appelé point de "bifurcation".
Quelles sont les positions d'équilibre stable pour = c/ 2 et pour = c 2 .
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Problème 3. Mouvement d'un proton dans un liquide.On étudie le mouvement horizontal d'un proton dans un liquide sursaturant (des bulles de gaz secréent au passage du proton et matérialisent sa trajectoire).Un proton de masse m et de charge e, considéré comme un point matériel, a une vitesse initiale
oV
en un point fixe O; il est dans une région de l'espace où règne un champ magnétique
uniforme et constant B
; le liquide exerce sur ce proton une force de frottement fluide f
= - K V
où K est une constante positive et V
est la vitesse du proton à l'instant de date t.
Par la suite, on posera : =eB
met =
m
k.
1. Faire le bilan des forces exercées sur le proton se déplaçant dans le liquide (on négligerale poids du proton).
2. Etablir l'équation différentielle du mouvement du proton.
On désigne par Oxyz un trièdre orthogonal direct lié au référentiel galiléen et par ( x y zu , u , u
) la
base de vecteurs unitaires qui lui est associée.
On choisit : B
= B zu
et oV
= o xV u
.
3. Si la force de frottement était négligeable, quelle serait la variation d'énergie cinétiquedu proton ?Rappeler, avec un minimum de calculs, quelle serait alors la trajectoire du proton (ondonnera les caractéristiques de cette trajectoire).
4. Qualitativement, quelles sont les modifications apportées par la force de frottementfluide sur cette trajectoire ?
5. Montrer que l’équation différentielle de la question 2. peut se mettre sous la forme dedeux équations différentielles :
xdV
dt= aVY – bVX (1)
ydV
dt= - aVX – bVY (2)
Déterminer a et b.
On pose j le nombre complexe tel que j2 = - 1 pour résoudre le système d'équations différentielles,
on introduit le complexe : V = VX + jVY.
6. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes à une équation différentielle dontla solution est :
V = Vo exp - (b + ja)t
En déduire VX et VY.
7. Déduire de V l'expression de X = x(t) + j y(t) en fonction de a, b, Vo et t.
8. Déterminer la limite, notée X , de X lorsque t tend vers l'infini.
9. En déduire la position limite M (x , y ) en fonction de a, b, et .
10. Donner l'allure de la trajectoire.
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PCSI. 01/02. Durée 4 heures. Physique. Devoir surveilléN°5.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme littérale laplus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non justifiée seraconsidérée comme fausse.
Problème 1. Modélisation d'un sismomètre, réponse fréquentielleLe principe d'un sismomètre est schématisé sur la fig.1. Un ressort (1) de masse négligeable, dont laréponse en élongation, linéaire, est caractérisée par une raideur k, est suspendu à un boîtier rigide. Unsolide (2), de masse m, est accroché à l'autre extrémité de ce ressort. Une partie de ce solide est solidaire
d'un amortisseur (3) exerçant sur (2) la force de frottement fluide f hv , où h est une constante,
x
dxv u
dtla vitesse de translation de (2) par rapport au boîtier et
xu le vecteur unitaire porté par l'axe Ox,
vertical, orienté vers le haut, et fixe par rapport au boîtier. L'origine O de cet axe correspond au pointd'attache de (2) dans sa position d'équilibre lorsque le boîtier est immobile sur le sol, ce dernier formantun repère galiléen. On définit aussi un axe O'X vertical et fixe dans un référentiel galiléen (celui du solpar exemple). On étudie la variable x(t) lorsque le boîtier reçoit une onde sismique, supposée verticale etproduisant un mouvement de boîtier repéré par X(t) : l'onde sismique est ainsi caractérisée par X(t) et laréponse du sismomètre est caractérisée par x(t).
1. Justifier soigneusement l'établissement, dans le référentiel lié au boîtier de l'équation
différentielle liant les variables x(t) et X(t) :2 2
202 2
2
d x dx d Xx
dt dt dt
, où 0
k
m est la
pulsation propre du sismomètre et, par définition, 2m
h la constante de temps relative à
l'amortissement.2. On considère une onde sismique sinusoïdale et de pulsation . En régime forcé, la fonction x(t)
est sinusoïdale elle aussi, et de même pulsation. Établir l'expression de la fonction de transfert
mécanique
( ) m
m
xH j
X . On suppose désormais que 0 1 ; déterminer alors l’expression de
( )H j en fonction de la pulsation réduite0
u
.
3. Tracer l'allure des diagrammes de Bode, en amplitude et en phase, de cette fonction de transferten fonction de log u ; préciser les équations des asymptotes. Quel type d'opérateur électronique
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possède une réponse fréquentielle semblable ? Quel est son comportement suivant les deux cas :
0 ou 0 ?
4. La pulsation propre du sismomètre étant 0 =20 rad/s, cet appareil détecte une onde sismique
sous la forme de la fonction périodique x(t) reproduite en fig. 2 ; l'amplitude est en unitéarbitraire.
L'application d'un algorithme de transformée de Fourier à x(t) fournit les spectres de pulsationssignificatives, en amplitude et en phase, tracés en figure 3.
À partir de cette figure, exprimer le développement en série de Fourier sous forme d'une somme
finie de cosinus : 0( ) cos( ) n nx t c c n t .
5. En utilisant la fonction de transfert ( )H j , déduire le développement en série de Fourier de
l'excitation ' ' '0( ) cos( )n nX t c c n t . Le résultat sera présenté en complétant le tableau 1
jusqu'à n= 5. Les angles 'n seront exprimés en radian.
Pensez-vous que ce résultat puisse représenter une onde sismique réelle ?6. Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que l'enregistrement de
x(t) permette de déduire directement X(t) ?
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7. En considérant ce que serait l'allure du diagramme de Bode en amplitude de la fonction detransfert pour 0 1 , expliquer pourquoi ce choix ( 0 1 ) doit être évité.
Problème 2. Filtre du second ordre. Facteur de qualité.On étudie le filtre à AO, supposé idéal et en fonctionnement linéaire.
1. Déterminer la fonction de transfert complexe
( ) m
m
VsH j
Ve de ce filtre en régime harmonique
de pulsation en fonction de , R, Co et C, puis en fonction des paramètres C
nCo
et
x = RC2. Déterminer la pulsation 0 du signal d’entrée pour laquelle le gain est maximal. Quel est alors
le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée ?3. Déterminer, en fonction de R, C, Co le gain maximal Hmax, la bande passante f de ce filtre et
son facteur de qualité Q.4. Tracer le diagramme de Bode en gain en fonction de log x dans le cas où n > 1.
Problème 3. Réponse d’un circuit RLC à deux mailles à un échelon de tension.Dans le montage qui suit, le condensateur est déchargé à l’instant t = 0 où on ferme l’interrupteur K. Larésistance du générateur de tension de f.é.m E constante est négligeable.
On a :L
RCR
et 2 1o
LC .
1. Déterminer en fonction de et o l’équation différentielle vérifiée par le courant i2(t).2. Déterminer l’expression de i2(t) en fonction de E, R, et o dans le cas d’un faible
amortissement.Faire les applications numériques dans le cas où :L = 1,0 H ; C = 10 F ; R = 1,0 k et E = 200 V.
3. Déterminer la valeur du courant i2min et la tension Umax aux bornes du condensateur.
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Problème 4. Bille dans un tube.On envisage la situation d'une bille B, de masse m, quasi-ponctuelle, soumise à la pesanteur et susceptiblede déplacements à l'intérieur d'un tube cylindrique mince T, de longueur 2l, effectuant des mouvementscaractérisés par une vitesse angulaire autour d'un axe contenant son centre O. L’accélération de la
pesanteur estg , de module g constant, et dirigée selon la verticale descendante.
On note r OP le rayon vecteur de la position de B dans T à l'instant t, et r = OP la distance OP.
Les grandeurs ro et or caractérisent la position et la vitesse radiale de B à l'instant initial t = 0.
Le tube T est dans le plan horizontal ( x , y ) et tourne autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire constante.
A. Les mouvements de la bille B ont lieu sans frottements.1. Etablir l'équation différentielle en r du mouvement de B.2. Intégrer cette équation pour les conditions initiales ro et or .
3. Etablir l'expression du temps que mettra B pour sortir de T.
4. Application numérique : Calculer pour l = 0,1 m ; ro = 0,01 m ; or = 0 ; = 2 radians.s-1.
B. Les mouvements de la bille B sont soumis à une force de frottement solide de coefficient . On aalors, lorsqu’il y a mouvement, la relation suivante :
RT = RN où RN est la composante normale à la tige de la réactionR et RT la composante tangentielle.
5. Etablir l'équation différentielle en r du mouvement de B.6. En déduire la loi ( )r f r liant la vitesse radiale et la position de B pour la condition suivante
( 0)r r = or .
On posera que g >> 2v pour résoudre l’équation différentielle obtenue qui n’est pas linéaire.7. On constate que B s'arrête à la cote r = r1.
Cette constatation expérimentale permet-elle de justifier l’approximation effectuée en 6 ?En déduire l'expression du coefficient de frottement en fonction de g, , vo et r1.
8. Application numérique: Calculer pour que B s'arrête au bout du tube, avec g = 9,81 m.s-2,
l = 0,1 m, or = 0,5 m.s-1, = 2 radians.s-1.
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PCSI. 01/02. Durée 4 heures. Physique. Devoir surveillé N°6.
Ce devoir est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser lafeuille intitulée Grille des réponses. Renseigner dès maintenant sur cette feuille votre nom.Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. Lorsque vous jugez que la question comporteune bonne réponse vous devez mettre une croix dans l’une des cases a, b, c, d.Chaque bonne réponse est comptée +2, chaque mauvaise réponse est comptée –1.L’abstention ne rapporte ni ne retire de point. Il est fortement déconseillé de répondre auhasard.Toute rature ou surcharge entraîne l’annulation à la question. Pas de réponse au crayon à papier.
Le circuit de la figure ci-dessous est alimenté entre ses bornes "d'entrée" A et B par un générateur qui
délivre à l'instant t la tension )( tue . Cette tension, sinusoïdale, a pour amplitude complexe eU , et pour
pulsation .
"En sortie", entre les bornes A1 et B1, est placé un dipôle D d'impédance complexe Z .
1. Calculer en fonction de L, C, et Z l'impédance complexe eZ du circuit vue entre les bornes A et B
(impédance d'entrée). j est le nombre complexe tel que 12 j .
a))212(
)1(2
22
CZjCLC
LCjLCZe
b)
CZjCL
CZjCLjLCZe
2
22
1
)]1(1[
c))21(
)21()1(2
22222
CZjLCZ
LCLjZLCZe
d)
)1(
)12()1(2
22
CZjLCC
LCjLCCZZ e
2. En déduire la valeur de Z pour laquelle ZZ e (appelée alors impédance itérative).
a) )1
1(2
LC
jLZ
b)22
2 12CC
LZ c)12
22
LCL
Cj
Z d)12
222
LC
LZ
3. Compte tenu du résultat de la question précédente, indiquer le domaine des pulsations pour lesquellesZ a un comportement résistif, quelle que soit la pulsation. On donne L = 1mH et C = 0, 2F.
Dans toutes les questions suivantes, on prend comme valeur de Z celle qui correspond à l'expression de
la question précédente pour les très hautes fréquences ( ). Donner la valeur numérique de larésistance R ainsi obtenue.
a) 14 .10.5 srad b) 18 .10 srad c) 100RZ d) 2000RZ
4. Examiner le comportement du circuit pour = 0 et . Indiquer dans ces conditions si le circuitconstitue un filtre :
a) passe haut b) passe bas c) passe tout d) passe bande
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Dans le plan horizontal (xOy) d'un référentiel galiléen R, un mobile modélisé par un point matériel P demasse m est astreint à se déplacer sur le cercle de centre O et de rayon b. L'équation horaire dumouvement est : )1ln()( tbAParcs où:
• ω est une constante positive,• A est le point du cercle situé sur le demi-axe positif Ox,
5. Calculer la vitesse v de P à la date t en fonction de la seule variable s .
En déduire la vitesse initiale )0t(vv0 .
a)b/s
bv
12 b) b/sebv c) bv 20 d) bv0
6. Calculer en fonction de s et des seuls paramètres b et vo les composantes tangentielles at et normale andu vecteur accélération de P par rapport à R exprimées dans la base de Frenet.
2 2 2 2
3 2
1 1a) exp( 2 / ) b) c) d) exp( 2 / )
(1 / ) (1 / )o o o o
t t n n
v v v va s b a a a s b
b b s b b s b b
7. Indiquer si le mouvement est :a) uniformément décéléré b) uniformément accéléré c) accéléré d) décéléré
8. L'hodographe du mouvement de pôle O est l'ensemble des points N tels que : )/( RPvON où
)/( RPv est le vecteur vitesse de P par rapport à R. Soient r et les coordonnées polaires de N.
Déterminer l'équation polaire de l'hodographe ; identifier celui-ci.
a) exp( ( )) b) sin c) spirale logarithmique d) cercle centré sur l'axe Oy2
o or v r v
9. Donner l'expression en fonction de v de FF , si F est la résultante des forces appliquées à P .
a)2
2
b
mvF b)
b
mvF
22
c) 0/2
2
vveb
mvF d) )
20
2
1ln(v
v
b
mvF
10. Calculer en fonction de s et des paramètres b et 0v le travail W de F pendant l'intervalle
de temps [0, t].
a) )(2
/220 1
1 bsemvW b) )1ln(20
b
smvW
c)bs
bs
e
emvW
/2
/220
1
1
d) )
2/2
0 1(1 bsemvW
11. En déduire le travail total WT de F au cours du mouvement.
a) 20
2
1mvWT b) 2
02
1mvWT c) TW d) 2
0mvWT
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Un moteur équivalent à un résistor de résistance R associé en série avec une bobine de coefficientd'auto-inductance L est alimenté en courant alternatif sinusoïdal de fréquence 50 Hz. Le moteurconsomme une puissance moyenne 4,4 kWMP et son facteur de puissance est égal à 0,6. On mesure
entre ses bornes A et B une tension de valeur efficace 220VU .
12.Calculer le courant efficace I circulant dans la ligne.
a) I = 12,5A b) I = 27,2 A c) I = 42,6 A d) I = 33,3 A
13.Calculer R.
a) 4R b) 8R c) 2R d) 12R
14. Calculer L.a) L = 7 mH b) L = 12 mH c) L = 17 mH d) L = 52 mH
15. Pour relever le facteur de puissance de l'installation, on connecte entre les bornes A et B uncondensateur de capacité C. La tension mesurée aux bornes du moteur a toujours la valeur U = 220 V.Calculer la plus petite valeur de C pour que le nouveau facteur de puissance soit égal à 1.
a) C = 246 F b) C = 381 F c) C = 192 F d) C = 53 F
Une particule chargée M de masse m et de charge q est lancée à l'origine O d'un repère d'espace ( )Oxyz
avec une vitesse initiale 0v
contenue dans le plan zOx : 0 0 0x x z zv v e v e
. Cette particule est soumise à
l'action d'un champ magnétique zB Be
uniforme et constant, dirigé suivant l'axe Oz et qui règne dans
tout l'espace. On désigne par H la projection orthogonale de M sur le plan xOy.On considère un second repère d'espace ( )Ox y z , de même origine O et de même axe Oz que . Ce
repère est animé d'un mouvement de rotation autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire ze
constante.
16. On désigne par v
la vitesse de la particule dans . Donner l'expression de la force magnétique de
Lorentz LF
qui s'exerce sur elle dans .
a) LF qB v
b) LF qv B
c) 02LF qv B
d) 0LF qv B
17. Exprimer la vitesse initiale 0v
de la particule dans .
a) 0 0v v
b) 0 0v v
c) 0 0v
d) 0 0v v
18. On étudie le mouvement de la particule dans . Montrer que la force d'inertie d'entraînement ieF
peut s'écrire :
a)2
ieF m HM
b)2
ieF m HM
c)2
ieF m OH
d)2
ieF m OH
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19. Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m = 10 g, suspendu à un point A situésur l'axe Ox d'un repère galiléen R(Oxyz) par un fil sans masse de longueur l.
On note l'angle que fait le fil que l'on suppose constamment tendu avec la verticale Oy de R(Oxyz).Initialement, le point A reste fixe et confondu avec l'origine O du repère R.Calculer la longueur l du fil pour que la période des petits mouvements du pendule soit To = 1 s. Onprendra pour norme de l'accélération de la pesanteur la valeur g = 9, 81 m.s-2 .
a) l = 0, 196 m b) l = 0, 248 m c) l = 0, 333 m d) l = 1, 225 m20. Le point de suspension A est maintenant animé d'un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal
suivant l'axe Ox de R(Oxyz), d'amplitude xo et de pulsation . On note xA =xosint l'abscisse instantanée
de A. On désigne par RA(A, x',y',z'), le repère d'origine A dont les axes Ax', Ay' et Az' restentrespectivement parallèles aux axes Ox, Oy et Oz de R(Oxyz).
Calculer le moment MA(Fie) par rapport au point A de la force d'inertie d'entraînement qui s'exerce sur
M dans RA.
21. Calculer le moment MA (Fic) par rapport au point A de la force d'inertie de Coriolis qui s'exerce sur M
dans RA.
22. En appliquant le théorème du moment cinétique à la masse m au point A dans RA et en se limitant à
l'étude des mouvements de faibles amplitudes, l'équation différentielle à laquelle obéit l'angle s'écrit :
23. A l'instant t = 0, (0) = 0 et 00
tdt
d. On pose o= 2/To. Montrer que la valeur instantanée de
l'angle est donnée par la relation :
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Le circuit suivant est soumis à un échelon de courant délivré par un générateur de courant idéal :
24. L'équation différentielle vérifié par le courant i est :d d '
a) b)d d
d ' ' d ' 'c) d)
d d
i R R i R R Ri Io i Io
t L L t L L
i R R R i R R R Ri Io i Io
t L L t L L
25. L'intensité i vérifie l'équation suivante :' '
a) exp( ) b) (1 exp( ))' '
' ' 'c) (1 exp( )) d) (1 exp( ))
' '
R R R R R Ri Io t i Io t
R R L R R L
R R R R R Ri Io t i Io t
R R L R R L
26. L'intensité i' a pour expression :
' ' 'a) ' (1- exp( )) b) ' (1 exp( ))
' ' '
' ' 'c) ' (1 exp( )) d) ' (1 exp( ))
'
R R R R R R R Ri Io t i Io t
R R R L R R R L
R R R Ri Io t i Io t
L R R L
27.La tension u s'écrit :
2
' ' ' ' ' 'a) (1- exp( )) b) (1 exp( ))
' '
' ' 'c) ' (1 exp( )) d) (1 exp( ))
'
RR R R R R R R R Ru Io t u Io t
R R L R R R L
R R R Ru R Io t u Io t
L R R L
28. Sous l'action d'une force centrale constamment dirigée vers un point fixe O, une particule de masse m
décrit une spirale dont l'équation en coordonnées polaires est r = roexp(-a ) où a est une constantepositive. Elle est sollicité par une force F(r) de valeur :
3 2a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )
Cte Cte CteF r F r F r F r Cte
r r r
29. On considère le circuit suivant :
Toutes les impédances sont complexes.L'impédance Z équivalente de ce réseau vue des points A et B est :( 2 ) ( )
a) b)
( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )c) d)
S C P C C P S P
C S P C S P
S S P C S P P C S C C P
C S P C S P
Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z
Z Z Z Z Z Z
0
00
tCteIotI
ttI
pour)(
pour)(
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30. Dans le réseau étudié à la question précédente, ZS est une bobine d'inductance L, ZP un condensateurde capacité C.
On pose :22
2
11
2
LC
C
LC
LCLet
)(.
L'impédance Z peut alors se mettre sous la forme :
a) b) c) d)1 1 1 1
C C C C
C C C C
Z Z j Z j Z jZ Z Z Z
j Z j Z Z Z
31. On considère le circuit représenté sur la figure suivante :
Le générateur de Thévénin pour les points A et B a les caractéristiques suivantes :
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 21 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
a) b)
c) d)
E R E R R R E R E R R r R rE R E R
R r R r R R R r R r R r R r
E R E R R r R r E R E R R rE R E R
R r R r R r R r R r R r
2 2
1 1 2 2
R r
R r R r
32. Le dipôle de bornes A et B représenté est alimenté par deux générateurs idéaux de courant continudélivrant le même courant électromoteur d'intensité Io.
Déterminer la résistance RN du générateur de Norton équivalent au dipôle.
33.Déterminer l'intensité IN du courant électromoteur du générateur de Norton équivalent au dipôle de lafigure 3 orienté de B vers A.
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34.A l'aide d'un fil métallique homogène de section constante, on réalise un circuit constitué de deuxconducteurs : l’un a la forme d'un cercle de centre O ; l’autre est un diamètre AB du cercle.
Le conducteur diamétral possède une résistance 2r. Dans toute la suite, on conservera le nombre dans
les expressions des différents courants et résistances à calculer. Calculer la résistance équivalente RABentre A et B.
35. On ajoute sur le conducteur circulaire AB un générateur de tension continue de f.é.m. E et de
résistance interne négligeable devant celle du conducteur. Calculer l'intensité IAB du courant qui circuledans le conducteur diamétral AB.
36. La résistance équivalente du réseau dipolaire entre A et B est égale à :
a) 3R b) R/3 c) 2R d) 3R/2
37.L'axe Oy du référentiel galiléen R(Oxyz) est la verticale ascendante ; on appelle g l'accélération de lapesanteur supposée uniforme. Un mobile assimilable à un point matériel P de masse m est astreint à sedéplacer sans frottement dans le plan (xOy) à l'intérieur d'un guide parabolique qui a pour équation
cartésienne :p2
xy
2
avec p constante positive. A l'instant t = 0, P se trouve au point A d'abscisse p et
possède le vecteur vitesse vo tangent au guide, situé dans le plan de figure et orienté vers le haut (figure12).Outre son poids, le mobile est soumis à la réaction N du support, perpendiculaire à son déplacement.
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Déterminer l'expression de 2x en fonction de la seule variable x (il est commode de faire appel à desconsidérations énergétiques).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
22 2 2 2 2
( ) ( ) 2) ) ) )
2o o o op v gp gx p v gp gx p v gpx p v gpx
a x p b x p c x d xp x p x p px p x
38.Le plan (xOz) symbolisant le sol, calculer l'altitude maximale y1 atteinte par P.
39.Déduire de la question 10 l'expression en fonction de la seule variable x de la composante x selon Oxdu vecteur accélération de P.
2 2 2 22 2
22 2 2 2 2 2 2 2
2) 2 ) ) )
( ) 2
o o o ov gp v gp v gp pv gpxa x x b x p x c x p d x x
p x p x p x p px
40.Déterminer dans ces conditions l'expression en fonction de la seule variable x de la composantey selon Oy du vecteur accélération de P.
41.Déterminer l'expression en fonction de la seule variable x de la composante Nx selon Ox de la réaction
N.
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42.Déterminer l'expression en fonction de la seule variable x de la composante Ny selon Oy de la réaction
N.
43.Une particule de masse m est soumise à une force centrale, dirigée vers le point fixe O,2
2 r
mCF e
pr
où C est la constante des aires et p une constante. L’équation de la trajectoire en coordonnées polairespeut se mettre sous la forme :
1 1 1 cos( ) 1 cos( )) 1 cos( ) ) ) 1 cos( ) )
e ea e b c r e d r
r r p p
44. On considère un circuit RLC série alimenté par une tension alternative sinusoïdale de pulsation . Le
signal de sortie est pris aux bornes du condensateur. On pose .xetR
LQ,
LC
1
o
oo
La fonction de transfert du montage s’écrit :
Q
xjx1
1Hd)
x
Qjx1
1Hb)
Q
xjx1
1Hb)
x
Qjx1
1H)a
2222
45. Le montage étudié est :a) un passe bas b) un passe bande c) un coupe bande d) un passe haut
46. Il y a résonance si :
21Qd)2
1Qc)2
1Qb)21Q)a
47. La bande passante du montage est :
a) x = 1/Q b) x = Q/2 c) x = 2/Q d) x = Q
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PCSI. 01/02.
Concours Blanc 1.
Problème 1. Schéma de principe d’un oscillateur à fréquence modulée.1. Etude d’un oscillateur.1.1. On considère le quadripôle représenté sur la figure 1 ci-dessous :
Dans ce montage, C1 et C2 sont les capacités des deux condensateurs ; v(t) et v2(t) sont les valeursinstantanées des tensions d’entrée et de sortie du quadripôle.On suppose que le régime de fonctionnement du quadripôle est sinusoïdal de pulsation .Pour la suite du problème, on utilisera la notation complexe ; l’amplitude complexe de la grandeur
instantanée sinusoïdale v(t) est notée V .
1.1.1. Exprimer le rapport
2V
Ven fonction de C1 et C2.
Quelle relation existe-t-il entre les phases de v2(t) et de v(t) ?1.1.2. On considère maintenant le quadripôle représenté sur la figure 2 ci-dessous :
On reconnaît, en partie dans cette représentation, le quadripôle de la figure 1.Dans ce montage, R est la valeur de la résistance, L celle de l’inductance de la bobine ; v1(t) est latension d’entrée du nouveau quadripôle.
On convient de noter Z l’impédance complexe de l’ensemble formé par la bobine d’inductance L et lesdeux condensateurs C1 et C2.
Etablir l’expression de Z en fonction de L, C1, C2 et .
1.1.3. Exprimer le rapport
1
V
Ven fonction de R et Z , puis en fonction de R, L, C1, C2 et .
1.1.4. En déduire l’expression de la fonction de transfert
2
1
( )V
H jV
que l’on mettra sous la forme:
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2
1
1( )
1
VH j
V a djbj
Expliciter les coefficients a, b et d de la fonction de transfert H en fonction de R, L, C1 et C2.Quelles sont les dimensions des coefficients a, b et d?
1.2. On envisage maintenant l’utilisation d’un amplificateur opérationnel, supposé idéal, en régimede fonctionnement linéaire. Dans ces conditions, on a v+ = v- = 0 et i+ = i- = 0. (Fig3).
L’amplificateur opérationnel est inséré dans le montage représenté sur la figure 4 ci-dessous. R1 et R2
sont deux résistances. On remarquera la présence du quadripôle de la figure 2 dans ce montage.
1.2.1. On envisage, pour ce montage, un régime de fonctionnement sinusoïdal permanent.
Exprimer l’amplitude complexe, V de deux manières différentes, tout d’abord :
en fonction de ,Ve Vs , R1 et R2 puis
en fonction de H et Vs.
En déduire une relation entre Ve et Vs faisant intervenir H , R1 et R2.
1.2.2 On relie maintenant R1 directement à la masse, ce qui revient à annuler la tension d’entrée(ve = 0 ).Montrer que, sous certaines conditions, on peut malgré tout avoir vs(t) différent de zéro.Dans cette situation, vs(t) peut être une fonction sinusoïdale du temps. Exprimer la conditiond’oscillation par une relation simple entre R1, R2, C1 et C2.On pose C’ = C1 C2/( C1 + C2). Exprimer la pulsation des oscillations en fonction de L et C’.
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2. Etude d'un oscillateur a fréquence modulée.2.1. Pour réaliser un oscillateur à fréquence modulée, on branche une diode à capacité variable (ou“varicap”) en parallèle avec la bobine d’inductance L.Une varicap peut être assimilée à un condensateur dont la capacité C(s) est fonction d’une grandeur s,susceptible de varier avec le temps.La capacité C(s) varie avec s selon la loi : C(s) = Asn où A et n sont des constantes positives.Le quadripôle représenté sur la figure 2 est alors modifié. Son nouveau schéma est reporté sur lafigure 5 :
La fonction de transfert '( )H j de ce nouveau quadripôle peut s’écrire:
1'( )
1' '
'
H j
a d jb j
Expliciter les coefficients a’, b’ et d’ en fonction de C(s), R, L, C1 et C2, en remarquant qu’il suffit deremplacer l’impédance complexe de la bobine par celle de l’ensemble bobine et “varicap” en parallèle.
2.2. On reprend le montage de la figure 4, dans lequel ve = 0, en y introduisant la “varicap”.On obtient le montage de la figure 6.
On fixe s à la valeur constante So, pour laquelle C(So) = Co.Exprimer la pulsation de l’oscillateur, en fonction de Co, L, C1 et C2.
2.3. On impose maintenant s(t) = So + cos(t), où et sont des constantes positives.2.3.1. Sachant que << So, établir l’expression approchée au premier ordre de C(t).2.3.2. En déduire l’expression de la pulsation instantanée (t) de l’oscillateur. On convient de poser:
(t) = o (1 -o
cos t
).
Etablir les expressions de et du taux de modulation = /o.On parle, en langage courant, de “porteuse” et de “signal modulant”. Quelles sont les pulsationsde ces deux signaux ? Quels sont leurs rôles respectifs?
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Problème 2. Un système mécanique au comportement surprenant.On propose, dans cette partie, d’étudier l’expérience suivante. Deux objets ponctuels M et M’ demasses respectives m et m’, sont reliés entre eux par un fil sans masse et inextensible de longueur lo. Onfait passer le fil autour d’une tige cylindrique fixe et l’on tient entre ses doigts M de telle sorte que le filfasse avec la verticale un petit angle
L’expérience a été réalisée avec m’ >> m. A l’instant t = 0 on lâche l’objet M. Durant tout le problème,le diamètre de la tige sera négligé ainsi que les effets de toutes les forces de frottements. Curieusement,pour un rapport de masse = m’/m >> 1, l’objet M’ ne tombe pas sur le sol et la masse M s’enrouleautour du corps cylindrique du support. Si on effectue un grand nombre de fois cette expérience, onconstate que le nombre de tours effectués par M est sensiblement constant et ne dépend que de . Afind’étudier plus en détail cette expérience, on simule à l’aide d’un ordinateur le mouvement de M avec >> 1 et les conditions initiales suivantes :
(0) 0 ; '(0) 0 ; (0) ; (0) 1oz z z l
On pose OM = r et toute l’étude se fera dans le référentiel R galiléen attaché au sol. Dans tout leproblème on admettra que M’ effectue un mouvement de translation suivant Oz et que M se déplacedans le plan fixe xOz. Les courbes obtenues par simulations informatiques sont données ci-après :
1. On propose dans cette question de montrer que pour > 1 le mouvement de M est borné.
1.1. Etablir l’expression de l’énergie mécanique Eméca du système en fonction de , , , , , ,r r g m et
d’une constante Ei qui ne dépend que du choix de l’origine des énergies potentielles.
1.2. Donner l’expression de méca io
E Ee
m
et préciser son unité.
1.3. Qu’appelle-t-on système conservatif? Le dispositif étudié présente-t-il cette propriété ?
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1.4. A partir de l’expression de e0 , montrer que si > 1 le mouvement est borné, c’est-à-dire que M
évolue dans une zone limité du plan (r, ) avec : max( 1)
oer r
g
.
2.1. A partir du bilan des actions mécaniques s’exerçant sun M, établir les équations différentiellessuivantes :
( , , , , ) (1)
( , , , , ) (2)
r F r g
G r r g
2.2. En utilisant la courbe 2, proposer une valeur approximative de ( )t pour 1t t . Quelle forme
simple (équation 1’) prend alors l’équation différentielle (1) ?
2.3.1. Intégrer cette équation différentielle et établir la fonction r(t) pour 1t t .
2.3.2. Quelle est alors la nature du mouvement de M’ ?2.3.3. Exprimer r(t) en fonction de g, t et lo (pour >> 1 ).
2.4. On appelle durée d’inversion, l’intervalle de temps compris entre t1 et t3 pendant lequel (t)varie fortement.
2.4.1. Simplifier l’équation (1) en considérant que >> 1 et que durant la zone d’inversion2r
g
.
2.4.2. On admet que, pendant cette durée, la tension exercée par le fil sur M est très grande devant lepoids de M. Quelle est alors la direction de la résultante des forces qui s’appliquent sur M ?Quelle est la nature du mouvement de M ?
2.4.3. Comment appelle-t-on alors le produit 2r C et quelle est sa particularité ?
2.4.4. Exprimer2
2
d u
den fonction de et de
1u
r .
2.4.5. En déduire l’expression de r() (notée équation (3)) en fonction de r2, et 2 où r2 désigne lavaleur minimale de r et 2 l’angle correspondant.
2.5. On admettra que l’équation (3) reste valable pour les valeurs de r() très supérieures à r2, c’est-à-dire même en dehors de l’intervalle de temps (t1 ; t3 ).
2.5.1. Vers quelles valeurs les expressions de et 3 -2 tendent-elles si et sont les anglespour lesquels r est très supérieur à r2 ?
2.5.2. En déduire l’expression de = 3 -2 en fonction de . Combien de tours la masse M a-t-
elle effectué pendant l’inversion ? Application numérique : = 50.
2.6.1. A partir de l’expression de la constante des aires montrer que l’intégration de l’expression de rétablie en 2.4.1. conduit à :
2 222 2
2 22
r rCr
r r
où r2 est la valeur minimum prise par r durant cette phase.
2.6.2. Exprimer 21r en fonction de C, , r1 , r2.
2.6.3. Le modèle établi dans les questions 2.1 à 2.3 rend compte de l’expérience pour 1t t . Le
modèle que nous venons de développer rend compte de l’expérience pour 1 3t t t . Pour t = t1 ,
en r = r1 la courbe r(t) présente un point d’inflexion, en déduire la relation liant , r1 , 1 et g.
On rappelle que >> 1.
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2.6.4. r prend la valeur r1 à l’instant t1 = 0, 45s. Calculer numériquement r2. On donne = 50,g = 9.8m/s2 et r(0) = 1,0 m.
3. Dans cette partie, on se propose d’étudier un comportement du dispositif dans le cas µ < 1 c’est-à-dire si m > m’. Le mouvement de M n’est pas borné. On peut cependant l’analyser et obtenir desinformations sur son comportement asymptotique. Dans cette partie on étudie le mouvement de Mdurant une phase où l’angle (t) reste petit devant l’unité.3.1.1. Dans la limite des petits angles, développer l’expression de rau premier ordre en . On pourra
considérer ( )t comme un infiniment petit du premier ordre.
3.1.2. En déduire l’expression de ( )r t avec les conditions initiales suivantes (0) = 0, (0) 0 ,
(0) 0r et r(0) = 0. On pourra poser a = g/ avec1
1
3.2. On pose = ln(t/t0) avec to = 1 s et t 0. Déduire de l’équation (2), l’équation différentielle en
suivante :2
23 2 0
d d
d d
3.3.1. Justifier rapidement que le mouvement n’est pas oscillant pour µ < 1/17.
3.3.2. Etablir l’expression de (t) pour 1/17 < µ < 1 en fonction de t, 8 9 et des constantes
d’intégration i et i
4. On se propose, dans cette partie, d'étudier le comportement de M lorsque M’ se déplace trèslentement.4.1. Donner l’expression de l'énergie mécanique Em de M en choisissant l’origine de l’énergie
potentielle de pesanteur en z = 0.
4.2. Dans cette question r est supposé constant.4.2.1. En se limitant aux petits angles, établir l'équation différentielle vérifiée par
4.2.2. Intégrer cette équation avec les conditions initiales (t = 0) = max et ( 0) 0t .
4.2.3. Ca1cu1er <Em> la moyenne temporelle de l'énergie mécanique au deuxième ordre en max.4.2.4. Calculer de même <T> la moyenne temporelle de la norme de la tension qui s’exerce sur M, au
deuxième ordre en max .
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MPSI 1. 01/02.
Concours Blanc 1.
Problème 1. Recherche de positions d’équilibre stables.A. Pendule simple.On considère un point matériel P de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil inextensible et sansmasse, de longueur OP = a, accroché en un point fixe O du repère terrestre. On considère le
référentiel terrestre galiléen. On considère le champ de pesanteur uniforme: g
= g zu
. Oz désigne
la verticale descendante. Soit A le point de Oz de cote z = a. Les mouvements de P sont considérés
plans et repérés au cours du temps par l'angle = ( ,OA OP
).
Attention axe Oz vers le bas !!!1. En négligeant les frottements et en appliquant le théorème du moment cinétique en O,
établir l'équation du mouvement en : équation (1).2. En notant o la valeur de dans une position d'équilibre possible, écrire l'équation (2) qui
définit ces positions. Montrer que o peut prendre deux valeurs différentes 1 et 2 que
l’on calculera.3. Exprimer en fonction de g et a la pulsation o des petites oscillations de P autour de sa
position d'équilibre stable.
B. Pendule simple soumis a une force supplémentaire.Un dispositif approprié fait que le point B situé sur l'axe Oz à la cote b > a exerce sur P une force
F
centrale de centre B, répulsive, de norme2
k
roù k est une constante positive et r la distance
entre B et P. Le fil reste tendu et inextensible de longueur a.
Il est à noter que le triangle OPB est non rectangle.
4. On pose 3 kb
mg . Quelle est l’unité de ?
5. Exprimer la distance r en fonction de a, b, et .
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6. Calculer le moment en O de la force F
en fonction de k, a, b, , r, et des vecteurs de la
base ( , ,x y zu u u
).
7. Déterminer la nouvelle équation du mouvement en . On l'exprimera sous la forme :2. ( )o f . Déterminer f() en fonction de , et r. Cette équation est appelée (1’).
8. Ecrire les équations (2') qui déterminent les valeurs o de qui correspondent à
d'éventuelles positions d'équilibre. Montrer que, en plus des deux valeurs o = 1 et
o = 2 indépendantes de , il peut exister une troisième position d'équilibre o = 3().
9. Déterminer les conditions sur pour que o = 3 existe. Faire apparaître les trois
domaines:domaine : < 1
domaine : 1< < 2
domaine : > 2,
1 et 2 étant des valeurs qu’on déterminera en fonction de a et b.
Dans quel domaine se situe la situation du 1: absence de F
? En déduire, pour cedomaine, la stabilité ou instabilité des différentes des différentes positions d’équilibreexistantes.
Problème 2. Etude d’un montage réjecteur.On considère le montage suivant :
1. Montrer que la fonction de transfert du montage s’écrit en fonction de x = RC :
2
1
1 41
sH
jxex
. On utilisera pour cela le théorème de Millman aux points A, B et S.
2. Déterminer l’expression du gain en décibel GdB.
Déterminer le comportement asymptotique de GdB. On posera X = log x.3. Déterminer les limites de la bande de réjection. La bande réjection est constituée de
l’ensemble des fréquences pour les quelles on a :2
)(~ maxH
jxH .
4. Tracer la courbe de réponse en gain en fonction de X = 20 log x. On fera un schéma soignéen précisant des valeurs remarquables.
5. Etudier les variations de l'argument de la fonction de transfert en fonction de X = 20 log x.Tracer la courbe de réponse en phase.
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Problème 3. Réponse du circuit à un échelon de tension.On considère un circuit électrique constitué d’un générateur G, d'un interrupteur K, d’une résistanceR puis d'un condensateur de capacité C et d’une bobine d’inductance L montés en parallèle entre lespoints A et B. Le générateur fournit une tension continue E positive; on considère la résistance de labobine comme négligeable.
Soient i, il et i2 les intensités, en fonction du temps, des courants relatifs aux différentes branches du
circuit et q2 la charge du condensateur.
1. A un instant donné que l'on prendra comme origine des temps, le circuit est fermé:sachant que le condensateur a été déchargé au préalable, indiquer les expressions de i(o),
i1(o), i2(o) et q2(o). Comment se comporte ce circuit juste après la fermeture?
Au bout d’un temps considéré comme infini, déterminer i(), i1() et i2().
Comment se comporte alors le circuit ?2. Etablir que i est solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients
constants de la forme:
cEidt
dib
dt
ida
2
2
et donner les expressions des paramètres a, b et c.3. On suppose réalisée la condition: L < 4R2C ; démontrer que la solution de
l’équation différentielle précédente est donnée par :
)tsinBtcosA(eR
Ei t
Expliciter les paramètres et en fonction des données du problème.4. Sachant que les conditions initiales comprennent en particulier q2(o) = 0 et i1(o) = 0,
déterminer les constantes A et B. En déduire les expressions, en fonction du temps, de i,i1 et i2 (on donnera les résultats en fonction de E, R, , et t).
Exprimer la charge du condensateur en fonction du temps. Donner les valeurs de q2(o) et
q2().
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PCSI. 01/02. Durée 2 heures.
Physique. Devoir surveillé N°8.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme littérale la plussimplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non justifiée sera considéréecomme fausse.
Cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling
Après une étude graphique des machines dithermes, à l'aide du diagramme de Raveau, et une vérificationexpérimentale de l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, on compare les efficacités des cycles moteurs deCarnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes, notamment unfaible niveau de pollution, une durée de vie élevée et une excellente efficacité.
1. Machine ditherme
Une masse m de gaz, constituée principalement d'air, subit un cycle moteur entre deux sources thermiques,l'une la source froide à la température Tf = 290 K, l'autre la source chaude à la températureTc = 1450 K.
1.1.Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On introduira les quantitésalgébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Qf , Qc , Sp ; W est le travail reçu (algébriquement) parle fluide (si W > 0, il est effectivement reçu par le fluide, si W < 0, il est effectivement fourni par lefluide). De même Qf est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source froide ; Qc est la chaleurreçue par le fluide de la part de la source chaude.Dans l'écriture de Sp , qui désigne l'entropie produite, p est un indice et non un exposant.
1.2.Représenter, sur un même graphe, donnant Qc en fonction de Qf , appelé diagramme de Raveau, lesdeux équations précédentes, W et Sp étant des quantités déterminées. En déduire la position du pointde fonctionnement sur le diagramme, compte tenu des signes de W et Sp, ainsi que le sens deséchanges thermiques (signes de Qc et Qf ).
1.3.Etablir l'expression de l'efficacité du moteur, appelée aussi rendement, en fonction de Tc, Tf , Qc etSp.
1.4.Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon un cycle de Carnot ?Calculer sa valeur c . Ce résultat, sensiblement inférieur à 1, doit-il être attribué à une imperfectionde la machine (frottements divers) ou provient-il d' une limitation fondamentale ? Dans ce dernier cas,préciser la nature de cette limitation.
1.5.On définit le degré d' irréversibilité du cycle à l'aide du rapport r = / c. Sachant que r = 0,94 et quele moteur fournit un travail de 15 kJ par cycle, trouver Qc , Qf et Sp . Porter avec soin ces résultats surun graphe, donnant Qc en fonction de Qf dans lequel 1 cm représente 5 kJ.
2. Entropie d'un gaz parfait.
2.1.Le rapport des capacités thermiques isobare et isochore d'un gaz parfait est 1,67 pour un gazmonoatomique, tel que l'argon, et 1,4 pour un gaz diatomique, tel que l'air. Justifier ces valeurs àl'aide de considérations simples issues de la théorie cinétique des gaz ?
2.2.Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz parfait monoatomique enfonction de sa température T et de sa pression p. Montrer que l' entropie du gaz peut s'écrire :S = ( -ln p + ln T + Cte) étant un coefficient que l' on exprimera, en fonction du nombre n de moles et de la constante R desgaz parfaits, et un facteur que l'on déterminera. La constante Cte qui apparaît dans la formuleprécédente a pu être déterminée expérimentalement à l' aide du graphe Cp(T) donnant la capacitéthermique molaire de l'argon gazeux, sous 1 bar, en fonction de la température. Comment accède-t-onà l'entropie à partir de Cp(T) ?
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2.3.Dans le cas d'un gaz parfait diatomique, = 7/2. En déduire la relation entre la pression et latempérature d'un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution isentropique.
3. Cycle de Beau de Rochas et Otto.
Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m = 2,9 g , assimilé à un gaz parfait diatomique, de massemolaire M = 29 g, suit une évolution cyclique réversible ABCD, constituée de deux portions isentropiques, ABet CD, .séparées par deux portions isochores, BC et DA. Le cycle n'est plus ditherme : il y a mise en contact dufluide avec une succession de sources chaudes et froides.Les températures et les pressions aux points A et C sont. respectivement :TA = 290 K pA = 1 bar TC = 1450K pC = 40 barEn outre, le taux de compression v =VA / VC est égal à 8.
3.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD ? Calculer les pressions,en bar, pB et pD en B et D respectivement, ainsi que les volumes en litre en ces points.
3.2.Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de Clapeyron (p,V). Justifier le sens dedescription du cycle.
3.3.Calculer, en kJ, le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs calculées.
3.4.Quelle est l'efficacité BO de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieuextérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion BC dudiagramme ? Comparer BO à l'efficacité C d'un cycle moteur ditherme fonctionnant entre lestempératures TA et TC. Commenter.
4. Cycle de Stirling
Dans un cycle de Stirling, une même masse d' air (m = 2,9 g) suit une évolution cyclique réversible A' B' C' D' ,constituée de deux portions isothermes A' B' et C' D' séparées par deux portions isochores B'C' et D'A'. Lestempératures et les pressions aux points A' et C' sont les mêmes qu' aux points A et C respectivement. Le tauxde compression (v = VA / VC) est aussi le même que précédemment.
4.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes A' B' et C' D' ? En déduire lespressions pB' et pD' , en B' et D', respectivement.
4.2.Représenter avec soin le cycle A'B'C'D' dans le diagramme de Clapeyron. Comparer ce diagramme auprécédent.
4.3.Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.4.4.Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide d'un régénérateur interne à la
machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. Quelle estl'efficacité S de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu extérieur sur la chaleurreçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion C'D' du diagramme ? Comparer S à BO etC .
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PCSI. 01/02. Durée 2 heures.
Physique. Devoir surveillé N°8.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme littérale laplus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non justifiée seraconsidérée comme fausse.
Cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling
Après une étude graphique des machines dithermes, à l'aide du diagramme de Raveau, et une vérificationexpérimentale de l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, on compare les efficacités des cycles moteursde Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes,notamment un faible niveau de pollution, une durée de vie élevée et une excellente efficacité.
1. Machine ditherme
Une masse m de gaz, constituée principalement d'air, subit un cycle moteur entre deux sourcesthermiques, l'une la source froide à la température Tf = 290 K, l'autre la source chaude à la températureTc = 1450 K.
1.1.Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On introduira les quantitésalgébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Qf , Qc , Sp ; W est le travail reçu(algébriquement) par le fluide (si W > 0, il est effectivement reçu par le fluide, si W < 0, il esteffectivement fourni par le fluide). De même Qf est la chaleur reçue par le fluide de la part de lasource froide ; Qc est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude.Dans l'écriture de Sp , qui désigne l'entropie produite, p est un indice et non un exposant.
1.2.Représenter, sur un même graphe, donnant Qc en fonction de Qf , appelé diagramme de Raveau,les deux équations précédentes, W et Sp étant des quantités déterminées. En déduire la positiondu point de fonctionnement sur le diagramme, compte tenu des signes de W et Sp, ainsi que lesens des échanges thermiques (signes de Qc et Qf ).
1.3.Etablir l'expression de l'efficacité du moteur, appelée aussi rendement, en fonction de Tc, Tf ,Qc et Sp.
1.4.Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon un cycle de Carnot ?Calculer sa valeur c . Ce résultat, sensiblement inférieur à 1, doit-il être attribué à uneimperfection de la machine (frottements divers) ou provient-il d' une limitation fondamentale ?Dans ce dernier cas, préciser la nature de cette limitation.
1.5.On définit le degré d' irréversibilité du cycle à l'aide du rapport r = / c. Sachant que r = 0,94et que le moteur fournit un travail de 15 kJ par cycle, trouver Qc , Qf et Sp . Porter avec soin cesrésultats sur un graphe, donnant Qc en fonction de Qf dans lequel 1 cm représente 5 kJ.
2. Entropie d'un gaz parfait.
2.1.Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz parfait monoatomique enfonction de sa température T et de sa pression p. Montrer que l' entropie du gaz peut s'écrire :S = ( -ln p + ln T + Cte) étant un coefficient que l' on exprimera, en fonction du nombre n de moles et de la constanteR des gaz parfaits, et un facteur que l'on déterminera. La constante Cte qui apparaît dans laformule précédente a pu être déterminée expérimentalement à l' aide du graphe Cp(T) donnant lacapacité thermique molaire de l'argon gazeux, sous 1 bar, en fonction de la température.
2.2.Dans le cas d'un gaz parfait diatomique, = 7/2. En déduire la relation entre la pression et latempérature d'un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution isentropique.
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3. Cycle de Beau de Rochas et Otto.
Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m = 2,9 g , assimilé à un gaz parfait diatomique, demasse molaire M = 29 g, suit une évolution cyclique réversible ABCD, constituée de deux portionsisentropiques, AB et CD, .séparées par deux portions isochores, BC et DA. Le cycle n'est plus ditherme :il y a mise en contact du fluide avec une succession de sources chaudes et froides.Les températures et les pressions aux points A et C sont. respectivement :TA = 290 K pA = 1 bar TC = 1450K pC = 40 barEn outre, le taux de compression v =VA / VC est égal à 8.
3.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD ? Calculer lespressions, en bar, pB et pD en B et D respectivement, ainsi que les volumes en litre en ces points.
3.2.Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de (p,V). Justifier le sens dedescription du cycle.
3.3.Calculer, en kJ, le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion ducycle. Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs calculées.
3.4.Quelle est l'efficacité BO de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieuextérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion BC dudiagramme ? Comparer BO à l'efficacité C d'un cycle moteur ditherme fonctionnant entre lestempératures TA et TC. Commenter.
4. Cycle de Stirling
Dans un cycle de Stirling, une même masse d' air (m = 2,9 g) suit une évolution cyclique réversible A' B'C' D' , constituée de deux portions isothermes A' B' et C' D' séparées par deux portions isochores B'C' etD'A'. Les températures et les pressions aux points A' et C' sont les mêmes qu' aux points A et Crespectivement. Le taux de compression (v = VA / VC) est aussi le même que précédemment.
4.1.Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes A' B' et C' D' ? En déduire lespressions pB' et pD' , en B' et D', respectivement.
4.2.Représenter avec soin le cycle A'B'C'D' dans le diagramme (p,V). Comparer ce diagramme auprécédent.
4.3.Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle.4.4.Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide d'un régénérateur interne à
la machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes.Quelle est l'efficacité S de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieuextérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion C'D' dudiagramme ? Comparer S à BO et C .
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Problème 2. Mouvement d'un point matériel sur une courbe hélicoïdale
On considère un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur 2 r, auquel est lié un repèreorthonormé direct Oxyz : Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy est la base inférieure horizontale. Laface latérale porte un tube mince de forme hélicoïdale HB dans lequel se déplace un petit objet A demasse m assimilable à un point matériel. La définition paramétrique de la trajectoire de A est:x = rcos y = rsin z = r(2 - ) avec 0 < < 2 .Le point H correspond à = 0 et le point B à = 2.
Remarque. Le point A subit deux forces de réaction: celle du tube hélicoïdal notée et celle de la surfacelatérale du cylindre circulaire que l’on nomme «réaction d’appui« et notée N.Le cylindre est maintenu fixe et A glisse sans frottement sous l'action de son poids mg. Il est abandonnéen H sans vitesse initiale.
1) Déterminer la loi s = f(), c'est-à-dire l'abscisse curviligne s() de A sur sa trajectoire enfonction de l’angle polaire .
2) A partir de sa définition, déterminer les composantes du vecteur tangentiel ut de la base de
Frénet dans la base (i, j, k) du repère Oxyz.3) Par application de la fondamentale de la dynamique (projetée judicieusement !), montrer que la
loi horaire du mouvement, c'est-à-dire l'abscisse curviligne s(t) de A sur sa trajectoire en
fonction du temps s’écrit : .gt22
1s 2
4) Calculer le temps mis par A pour atteindre le point B et la vitesse en B.
On suppose que le glissement de A se fait maintenant avec frottement. On admet que la valeur de la forcef de frottement est proportionnelle à la valeur de la réaction normale au déplacement, soit : f =
NR avec < 1 facteur de frottement constant. Ceci constitue la loi de Coulomb.
5) Calculer, en fonction de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base (i, j, k) durepère Oxyz.
6) Déterminer en fonction de r, de (t) et de ses dérivées, l'accélération de A dans la base deFrénet.
7) Exprimer, dans cette base, les projections des forces qui s’appliquent sur A.8) Ecrire les équations du mouvement et déduire de la loi de Coulomb l'équation différentielle
vérifiée par .9) En tenant compte du résultat de la question précédente et, après avoir déterminé l’expression du
rayon de courbure de la trajectoire, exprimer l’équation différentielle relative à s(t).10) Montrer que )t(s croît et tend vers une limite que l’on déterminera.
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