1. Les matériaux

Les matériaux seront considérés comme homogènes et isotropes,

homogène : on dit qu’un matériaux est homogène, s’il possède les

mêmes caractéristiques en tous ses points. (Caractéristiques

mécaniques)

isotrope : on dit qu’un matériaux est isotrope , lorsqu’il possède les mêmes caractéristiques dans

toutes les directions.

Les hypothèses d’études de la RDM

Les hypothèses d’études de la RDM

On appelle poutre un corps solide dont la représentation géométrique est un volume engendré par la surface

lorsque son barycentre G se déplace sur la courbe C.

la forme de la surface peut évoluer le long de la courbe, cette variation

doit être faible et progressive

2. Définition d’une poutre:

la courbe est une ligne droite ou une courbe à grand rayon de courbure R > 5 . D max

Les hypothèses d’études de la RDM3. Les actions mécaniques extérieures:

La poutre étant définie par sa ligne caractéristique, toute action mécanique extérieure sera représenté par un torseur exprimé en un point de cette ligne

Ces actions mécaniques extérieures peuvent être concentrées ou réparties

Profilé rectangulaire 100*100

Les hypothèses d’études de la RDM

Ordre de grandeur:les déformations ( déplacements des points de la ligne caractéristique) sont

petites par rapport aux dimensions de la poutre

Hypothèse de Navier-Bernouilli:Toute section droite avant déformation, reste, après déformation, une section droite

4. Hypothèses sur les déformations

Les hypothèses d’études de la RDM5. Torseur des actions mécaniques de cohésion:

Le torseur des actions mécaniques de cohésion au niveau de la surface représente les actions mécaniques

exercées par S+ sur S-.

),,(

zZYY

G

SSMfTMfTMtN

TZYX

N : effort Normal

Mt : moment de torsion

Ty : Effort tranchant suivant y

Mfy : moment fléchissant suivant y

Tz : effort tranchant suivant z

Mfz : moment fléchissant suivant z

Si on étudie l’équilibre de S- on obtient:

Si on étudie l’équilibre de S+ on obtient:

On a donc deux possibilités pour déterminer le torseur des actions mécaniques de cohésion.

{TAM1} + {TAM2} + {TS+ / S-} ={0}{TAM3} + {TAM4} + {TS- / S+} ={0}

On l’exprime impérativement au point G, barycentre de , et on le projette sur la base locale (x,y,z) Ses composantes se notent conventionnellement

Exercice Torseur de cohésionUne poutre 1 est en liaison pivot d’axe (A,z) et en contact ponctuel de normale (D,y)

avec un solide 0Des actions mécaniques extérieures exercées sur 1 sont représentées par deux torseurs en B et C:

RB

extT

00

01000

0500

11

RC

extT

00

01000

00

12

on donne: A(0,0,0) B(1,0,0) C(2,0,0) D(3,0,0) longueur en m

0

A DCB

1

A. Déterminer les inconnues des torseurs des liaisons en A et D

B. Écrire le torseur de cohésion le long de la poutre {TS+/S-}

C. Tracer les diagrammes N(x),T(x) et Mfz(x)

Exercice Torseur de cohésionA. Déterminer les inconnues des torseurs des liaisons en A et D

Si on isole la poutre 1 : elle est soumise à 4 actions mécaniques extérieures

RB

extT

00

01000

0500

11

RC

extT

00

01000

00

12

000Y0 X

T 0/10/1

A

0/1A A

A

000 Y00

T 0/1

D

0/1 D D

Si on applique le P.F.S en A on obtient:

On obtient les équations suivantes:

011

R

0)11(

AM

500+XA 0/1=0

-2000+YA 0/1+YD 0/1=0

-(10001)-(10002) +(YD

0/13)=0

XA 0/1= -500N

YD 0/1= 1000N

YA 0/1= 1000N

0

A DCB

1

0 TTTT 0/1DAA0/1A12A11A extext

x

0

A DCB

1

G

x

0

A DCB

1

G

Exercice Torseur de cohésionB. Écrire le torseur de cohésion le long de la poutre {TS+/S-}

Si on effectue une coupure entre[AB] : avec G(x,0,0) et x [0,1]

0TT 0/1GSSG A Si on étudie l’équilibre de S- on obtient:

N = +500 NTy = -1000 NTz = 0 N

Mt = 0 N.mMfy = 0 N.mMfz = 1000.x (N.m)

Si on effectue une coupure entre[AC] : avec G(x,0,0) et x [1,2]

Si on étudie l’équilibre de S- on obtient:

0 TTT EXT/11GA0/1GSSG

N = 0 NTy = 0 NTz = 0 N

Mt = 0 N.mMfy = 0 N.mMfz = 1000 (N.m)

A

0

DCB

1

G

x

Exercice Torseur de cohésionSi on effectue une coupure entre[AD] : avec G(x,0,0) et x [2,3]

0TT D0/1GSSG

N = 0 NTy = 1000 NTz = 0 N

Mt = 0 N.mMfy = 0 N.mMfz = 1000.(3-x) (N.m)

C. Tracer les diagrammes N(x),T(x) et Mfz(x)

Ty en Newton

x en m1 2 3

-1000

1000

Mfz en N.m

x en m

1 2 3

1000

N en Newton

x en m

1 2 3500

Les hypothèses d’études de la RDM6. Notion de contrainte

Définition du vecteur contrainte : Une coupure est effectuée au niveau de la surface soit M un point de cette surface soit un élément de surface d autour de M, l’effort élémentaire transmissible par entre S+ et S-

 on appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur :

 

SSFd

dFdC SSXM

),(

Unités :       - en N

        - en m2

- - en Pa ou Mpa

SSFd

d

),( XMC

Contrainte normale et contrainte tangentielle :

Si on fait une projection vectorielle du vecteur , on obtient :

MMXM xC .),(

Où σ est le vecteur contrainte normale et τ est le

vecteur contrainte tangentielle.

Les hypothèses d’études de la RDM6. Notion de contrainte

Si on projette ce vecteur dans la base on obtient

ZYX

,,

z

yM

XMC

),(

est la composante normaleest la composante tangentielle suivant est la composante tangentielle suivant

My Y

y Z

Relation entre contrainte et torseur de cohésion en G.

Si on généralise ce torseur pour tous les points de la surface , on montre que

dXMG

dXMSS

G

SS

CGMMd

CFdT

),(

),(//

z

y

M

)X,M(C

avec

N = Mt :

Ty = Mfy :

Tz = Mfz :

Σ

(M) dσ

Σ

M)( dy

Σ

M)( dz

Σ

y(M)- z(M) ]dz[y

Σ

(M)- ]dz[

Σ

(M)- ]dy[

1. Sollicitation: La Traction

Zone d’étude (Kt=1)

Zones qui nécessitent des ajustements (Kt>1)

Biellette soumise à de la traction

Traction (N>0) ou Compression (N<0)

SN

RG

N

00

00

0

Torseur de cohésion: {TS+/S- }=

Relation contrainte - déformation : Loi de Hooke :

LlE

Condition de résistance : Rpeσmax

avec : σKσ tmax

sReRpe

Kt coefficient de concentration due à une forme particulière de la pièce . s : coefficient de sécurité

2. Sollicitation: La Flexion

 

Rfz

GM

0

00

00

Rpeσmax

Torseur de Cohésion {TS+/S-}= (flexion pure)

Contrainte normale maxi:

Condition de résistance:Max

GZ

fzM

YIMσ max

Kt coefficient de concentration due à une forme particulière de la pièce .

s : coefficient de sécuritéIgz est le moment quadratique de la section

droite de la poutre

avec : maxMtmax σKσ s

ReRpe

Torseur de Cohésion {TS+/S-}= (flexion simple)

Rfz

GM

Ty

0

0

00

h

b

y

z G 12bIgz h3

4πI R4

Gz

y

zG

R

(flexion simple)

Exercice sur la FlexionI Présentation:

•La potence ci-dessous permet de soulever des charges de 500Kg maximum quand le palan 4 se trouve à l’extrémité de la flèche 1.

•Cette flèche ainsi que l’équerre 3 forment un ensemble articulé avec le fût 2.

•Le fût est fixé au sol.

•L’étude porte sur la flèche 1 considérée encastrée avec l’équerre 3.

III – TRAVAIL DEMANDÉ :

1. Connaissant le torseur de cohésion le long de la poutre, en déduire les types de sollicitation supportées par cette poutre.

2. Déterminer la contrainte maxi, en déduire le coefficient de sécurité adopté pour cette construction, conclusion?

II - DONNÉES :

Profilé constituant la flèche 1 : IPE 200 en acier S355 ; Re = 355 Mpa

Hypothèses :Le poids propre de la poutre est négligé.

5000 N

Modélisation:

BA

2.2 m

cm3194.32YIMaxGZ

Exercice sur la Flexion1.On donne le torseur de cohésion le long de la

poutre:

RG

SS

x

T

)2.2(50000

05000

00

/ 5000 N

Modélisation:

BA Gx

Ty en Newton

x en m

2.2

-5000

Mfz en N.m

x en m

2.2

-11000

La poutre est soumise à de la flexion simple:- du cisaillement Ty= -5000N- de la flexion: Mfz= -5000(2.2-x)

MaxGZ

fzM

YIMσ max

2. Calcul de la contrainte maxi:

56.6Mpa194320

11000000σ maxM

Rpeσmax

sReσmax

88.36.56

220σResmax

maxσRes